Numeerinen analyysi Harjoitus 3 / Kevät 2017
|
|
- Anneli Turunen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Numeerinen analyysi Harjoitus 3 / Kevät 2017 Palautus viimeistään perjantaina Tehtävä 1: Tarkastellaan funktion f(x) = x evaluoimista välillä x [2.0, 2.3]. Muodosta interpoloiva polynomi p 3 (x), kun y i = f(x i ), missä x i = i ja i {0, 1, 2, 3}. Laske virhearvio ja piirrä (esimerkiksi Matlabilla) virhefunktio R(x) = f(x) p 3 (x). Mikä on virhe pisteissä 2.05 ja 2.25? Ratkaisu 1: Aloitetaan kokoamalla funktion f(x) arvot datapisteissä taulukoksi: x f(x) Lasketaan interpolaatiopolynomi vaikkapa Newtonin muodossa. Jaetut erotukset ovat: f[x 0 ] = f[x 1 ] = f[x 0, x 1 ] = f[x 2 ] = f[x 1, x 2 ] = f[x 0, x 1, x 2 ] = f[x 3 ] = f[x 2, x 3 ] = f[x 1, x 2, x 3 ] = f[x 0, x 1, x 2, x 3 ] = Taulukon ensimmäinen sarake on tiedossa. Loput alkiot voidaan laskea näistä rekursiivisesti. Alkio d ij saadaan kaavasta Newtonin polynomi on nyt d ij = d i,j 1 d i 1,j 1 x i 1 x i j. p(x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 )(x x 1 ) + a 3 (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ), missä kertoimet a 0, a 1, a 2 ja a 4 ovat taulukon diagonaalialkiot. Sijoittamalla lukuarvot ja sieventämällä saadaan p(x) = x x x 3 Interpolaatiovirhe on R(x) = f(x) p 3 (x) = f (3+1) (ξ) (3 + 1)! 3 (x x j ) j=0 = f (4) (ξ) (x 2.0)(x 2.1)(x 2.2)(x 2.3). 24 Tiedostoa viimeksi muokattu: 11. maaliskuuta /5
2 Tässä f (4) (ξ) = x , kun x [2.0, 2.3]. Saadaan siis virhearvio R(x) (x 2.0)(x 2.1)(x 2.2)(x 2.3). Piirretään nyt Matlabilla todellinen virhe ja virhearvio samaan kuvaan >> f sqrt(x); >> p *x *x^ *x^3; >> virhearvio 4*10^(-3)*abs((x - 2.0)*(x - 2.1)*(x - 2.2)*(x - 2.3)); >> x=2.0:0.01:2.3; >> virhe = x; >> arvio = x; >> for i=1:length(x);... virhe(i) = abs(f(x(i))-p3(x(i))); arvio(i) = virhearvio(x(i));... end; >> plot(x,virhe,x,arvio) ja saadaan oheinen kuva, josta nähdään että virhearvio pitää paikkansa. Virhe pisteissä 2.05 ja 2.25 on R(2.05) ja R(2.25) Kuva 1: Kuva keskipistesäännöllä laskettavasta pinta-alasta. Tehtävä 2 (Greenbaum & Chartier 8.8, teht. 3): a) Kirjoita jaetut erotukset ja Newtonin interpolaatiopolynomi seuraavalle datapisteistölle: Tiedostoa viimeksi muokattu: 11. maaliskuuta /5
3 x 1 3/2 0 2 f(x) b) Näytä, miten saamasi polynomin arvo annetussa pisteessä x voidaan evaluoida neljällä askeleella hieman samaan tapaan kuin Hornerin säännöllä. Yleistä menettely n-asteiselle polynomille. a) On annettu neljä pistettä, joten käytetään kolmannen asteen Newtonin polyno- Ratkaisu 2: mia p(x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 )(x x 1 ) + a 3 (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ). Jaetut erotukset on kätevää koota taulukoksi f[x 0 ] = 2 f[x 1 ] = 6 f[x 2 ] = 0 f[x 3 ] = 14 f[x 0, x 1 ] = 6 2 = 8 3/2 1 f[x 1, x 2 ] = 0 6 = 4 f[x 0 3/2 0, x 1, x 2 ] = 4 8 = f[x 2, x 3 ] = 14 0 = 7 f[x 2 0 1, x 2, x 3 ] = 7 4 = 6 f[x 2 3/2 0, x 1, x 2, x 3 ] = 6 4 = Taulukon ensimmäinen sarake on tiedossa. Loput alkiot voidaan laskea näistä rekursiivisesti. Alkio d ij saadaan kaavasta d ij = d i,j 1 d i 1,j 1 x i 1 x i j. Newtonin interpolaatiopolynomin kertoimet a 0, a 1, a 2 ja a 3 ovat edellisen taulukon diagonaalialkiot. Interpolaatiopolynomi siis on p(x) = 2 + 8(x 1) + 4(x 1)(x 3/2) + 2(x 1)(x 3/2)(x 0) = 2x 3 x 2 + x. On helppo tarkistaa, että saatu polynomi kulkee annettujen pisteiden kautta. b) Polynomin arvo pisteessä x voidaan evaluoida neljällä askeleella käyttäen seuraavaa algoritmia Askel 1: Asetetaan y = a 3. Askel i = 2, 3, 4: Korvataan y arvolla y(x x 4 i ) + a 4 i. Vastaavasti n-asteisen Newtonin muotoa olevan polynomin arvo voidaan evaluoida n askeleella seuraavasti Askel 1: Asetetaan y = a n 1. Askel i = 2, 3,..., n: Korvataan y arvolla y(x x n i ) + a n i. Tiedostoa viimeksi muokattu: 11. maaliskuuta /5
4 Tehtävä 3: Olkoon f(x) = 28 13x 2 + 8x + 4. Muodosta Lagrangen muotoa oleva interpolaatiopolynomi p(x), joka interpoloi funktiota f pisteissä x 0 = 5, x 1 = 1, x 2 = 0 ja x 3 = 1. Näytä, että myös polynomi q(x) = p(x) x 4 5x 3 + x 2 + 5x interpoloi funktiota f annetuissa pisteissä. Miksi tämä ei ole ristiriidassa interpolaatiopolynomin yksikäsitteisyyden kanssa? Ratkaisu 3: Lasketaan interpolaatiopolynomi vaikkapa Lagrangen muodossa. Saadaan ϕ 0 (x) = ϕ 1 (x) = ϕ 2 (x) = ϕ 3 (x) = joten kysytty polynomi on (x + 1)(x 0)(x 1) ( 5 + 1)( 5 0)( 5 1) = (x x3 ) (x + 5)(x 0)(x 1) ( 1 + 5)( 1 0)( 1 1) = 1 8 ( 5x + 4x2 + x 3 ) (x + 5)(x + 1)(x 1) (0 + 5)(0 + 1)(0 1) = 1 5 (5 + x 5x2 x 3 ), (x + 5)(x + 1)(x 0) (1 + 5)(1 + 1)(1 0) = 1 12 (5x + 6x2 + x 3 ), p(x) = f( 5)ϕ 0 (x) + f( 1)ϕ 1 (x) + f(0)ϕ 2 (x) + f(1)ϕ 3 (x) = (x x3 ) ( 5x + 4x2 + x 3 ) (5 + x 5x2 x 3 ) (5x + 6x2 + x 3 ) = 7x x x Olkoot nyt q(x) = p(x) x 4 5x 3 + x 2 + 5x = x 4 + 2x x x Nähdään että q( 5) = 476, q( 1) = 84, q(0) = 56 ja q(1) = 140 eli myös q interpoloi funktiota f annetuissa pisteissä. Teorian mukaan mille tahansa pistejoukolle (x i, y i ), i = 0, 1,... n on olemassa yksikäsittäinen polynomi p astetta n siten että y i = p(x i ). Nyt kuitenkin n = 3 ja polynomi q on astetta n + 1, joten tehtävä ei ole ristiriidassa interpolaatiopolynomin yksikäsitteisyyden kanssa. Tehtävä 4 ( ): Funktio f(x) = cos(x) taulukoidaan arvoilla x k = k m 45, k = 0, 1,..., m. Taulukkoa käytettäessä muodostetaan toisen asteen interpolaatiopolynomi argumenttia x lähinnä olevista taulukkopisteistä ja käytetään polynomin arvoa f(x):n approximaationa. Miten suuri m on valittava, jos halutaan, että interpolaatiovirheelle pätee f(x) p(x) Ratkaisu 4: Interpolaatiovirheen kaava on R(x) = f(x) p(x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! n (x x j ), missä n on interpolaatiopolynomin aste, x j :t ovat interpolaatiopisteitä ja ξ on jokin tuntematon piste interpolointivälillä. Tehtävän tapauksessa n = 2, joten lasketaan f (ξ) = sin(ξ). On helppo todeta että funktion sin(ξ) suurin arvo taulukointivälillä ξ [0, π] on Toisin sanoen f (ξ) 1 2 ja saadaan siis R(x) 1 n 6 x x j. 2 Tiedostoa viimeksi muokattu: 11. maaliskuuta /5 j=0 j=0
5 Olkoot nyt x lähimpänä taulukointipistettä x k eli x x k < h, missä h = π. Tällöin etäisyydet 2 4m lähimpään kolmeen taulukointipisteeseen ovat x x k, x x k + h ja x x k h ja siten R(x) (x x k)(x x k + h)(x x k h). Merkitään u = x x k ja g(u) = u(u + h)(u h) = u 3 h 2 u. Jälleen on helppo todeta että funktion g(u) suurin arvo välillä u [ h, h 3h3 ] on. Sjoittamalla tämä virhekaavaan saadaan R(x) h h3. Jos halutaan että R(x) 10 5, on valittava h (rad) Siis valinta m = 13 on riittävä. Matlab-tehtävä 2 (Greenbaum & Chartier 8.8, teht. 4 abc): Tässä tehtävässä voi olla hyötyä Matlabin rutiineista polyfit ja polyval. Ensimmäistä voi käyttää apuna interpolaatiopolynomien muodostamisessa. Jälkimmäistä taas voi käyttää polynomin arvojen evaluoimiseen annetulla välillä ja siten tarvittavien kuvien piirtämiseen. Ohjeita rutiinien käyttämiseen saa komennoilla help polyfit ja help polyval. a) Käytä Matlabia sovittaaksesi 12. asteen polynomi funktiolle f(x) = x 2 siten, että se interpoloi funktiota 13 tasan jakautuneessa pisteessä välillä -5 ja 5. Pisteet saat muodostettua komennolla x = [-5:5/6:5];. Piirrä itse funktio sekä muodostamasi 12. asteen interpolaatiopolynomi samaan kuvaan. b) Toista a-kohta käyttäen 12. asteen polynomia, joka interpoloi funktiota f skaalatuissa Chebyshevin pisteissä ( ) πj x j = 5 cos, j = 0,..., c) Jos annetulle funktiolle yrittää Matlabin polyfit-rutiinilla sovittaa liian korkea-asteista polynomia, saa Matlabilta varoituksen, jonka mukaan tehtävä on huonosti asetettu eivätkä tulokset välttämättä ole tarkkoja. Barysentristä interpolaatiokaavaa voi kuitenkin yhä käyttää ja tässä tapauksessa painot saadaan kaavasta w j = 2n 1 5 n n { ( 1) j /2 jos j = 0 tai j = n ( 1) j muulloin, missä edessä oleva kerroin supistuu itse asiassa pois lopullisesta polynomin lausekkeesta. Muodosta tällä tavoin tarkempi approksimaatio funktiolle f käyttäen interpolaatiopisteinä 21 skaalattua Chebyshevin pistettä ( ) πj x j = 5 cos, j = 0,..., Piirrä kuva interpolaatiopolynomista p 20 (x) ja virheistä f(x) p 20 (x) välillä [ 5, 5]. Tiedostoa viimeksi muokattu: 11. maaliskuuta /5
6 Palauta Matlab-tehtävä kurssin sivuilla annettujen ohjeiden mukaan. Tiedostoa viimeksi muokattu: 11. maaliskuuta /5
7 %*****a-kohta***** %Interpolaatiopisteet x = [-5:5/6:5]; y = 1./(1 + x.^2); plot(x, y, 'ko'); %Piirretään samaan kuvaan hold on; %Tiheämpi jako piirtämistä varten xx = [-5:0.01:5]; %Alkuperäinen funktio fy = 1./(1 + xx.^2); plot(xx, fy); %Interpolaatiopolynomi p = polyfit(x, y, 12); py = polyval(p, xx); plot(xx, py, 'g'); %Otsikko title('tasavälisissä pisteissä laskettu interpolaatiopolynomi') %*****b-kohta***** %Uusi kuva figure(); hold on; %Interpolaatiopisteet j = [0:1:12]; x = 5*cos(pi*j/12); y = 1./(1 + x.^2); plot(x, y, 'ko'); %Alkuperäinen funktio fy = 1./(1 + xx.^2); plot(xx, fy); %Interpolaatiopolynomi p = polyfit(x, y, 12); py = polyval(p, xx); plot(xx, py, 'g'); %Otsikko title('chebyshevin pisteissä laskettu interpolaatiopolynomi') %*****c-kohta***** %Uusi kuva 1
8 figure(); hold on; %Interpolaatiopisteet j = [0:1:20]; x = 5*cos(pi*j/20); y = 1./(1 + x.^2); plot(x, y, 'ko'); %Barysentrisen interpolaation painot w = (-1).^j; w(1) = w(1)/2; w(21) = w(21)/2; %Alkuperäinen funktio fy = 1./(1 + xx.^2); plot(xx, fy); %Barysentrinen interpolaatiopolynomi p sum(w.*y./(t - x)) / sum(w./(t - x)); for i = 1:length(xx) py(i) = p(xx(i)); end %Silmukan sijaan voisi käyttää komentoa py = arrayfun(p, xx) plot(xx, py, 'g'); %Otsikko title('interpolaatio barysentristä muotoa käyttäen') %Virheet figure(); ey = abs(py - fy); plot(xx, ey, 'r'); %Otsikko title('barysentrisen muodon virheet') %HUOM: Barysentrinen interpolaatiokaava ei ole määritelty %interpolaatiopisteissä. Tästä syystä edellä oleva koodi antaa vektorin py %ensimmäiseksi ja viimeiseksi arvoksi NaN (Not a number). Harkitummassa %toteutuksessa barysentristä kaavaa tulisi käyttää vain %interpolaatiopisteiden ulkopuolella. Edellä tämä seikka on jätetty %huomiotta selkeyden säilyttämiseksi. 2
9 3
10 4
11 Published with MATLAB R2013b 5
Funktioiden approksimointi ja interpolointi
Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion
LisätiedotNumeerinen analyysi Harjoitus 1 / Kevät 2017
Numeerinen analyysi Harjoitus 1 / Kevät 2017 Palautus viimeistään perjantaina 3.3. Tehtävä 1: Oheinen MATLAB-funktio toteuttaa eksponenttifunktion evaluoinnin. 1 function y = seriesexp ( x ) 2 oldsum =
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 8 To 29.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 8 To 29.9.2011 p. 1/36 p. 1/36 Interpolointi kuutiosplinillä Osavälit: I i = [t i 1,t i ], i = 1,2,...,n
Lisätiedotx j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu
2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)
Lisätiedotk=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 7. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 7 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 1 / 43 Luennon 7 sisältö Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Paloittainen
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotNumeerinen integrointi ja derivointi
Numeerinen integrointi ja derivointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Interpolaatiokaavat Approksimoitava integraali I = b a f(x)dx. Tasavälinen hila: x i = a+ (b a)i n, i = 0,...,n Funktion
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
Lisätiedotx 0 x 1 x 2... x n y 0 y 1 y 2... y n Taulukko 1:
[?, Luku 10], interpolaatio.tex 6.7.04 1 Interpolaatio Olkoon annettu taulukko x 0 x 1 x 2... x n y 0 y 1 y 2... y n Taulukko 1: Voidaan ajatella, että kyse on annetun funktion taulukoiduista arvoista
LisätiedotHarjoitus 4 -- Ratkaisut
Harjoitus -- Ratkaisut 1 Ei kommenttia. Tutkittava funktio: In[15]:= f x : x 1 x Sin x ; Plot f x, x, 0, 3 Π, PlotRange All Out[159]= Luodaan tasavälinen pisteistö välille 0 x 3 Π. Tehdään se ensin kiinnitetyllä
Lisätiedot. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37
Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Tehtävä 1: Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko Tehtävä (L): Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske
Lisätiedotmlvektori 1. Muista, että Jacobin matriisi koostuu vektori- tai skalaariarvoisen funktion F ensimmäisistä
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos mlvektori 1. Muista, että Jacobin matriisi koostuu vektori- tai skalaariarvoisen funktion F ensimmäisistä osittaisderivaatoista: y 1... J F =.
LisätiedotTässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.
Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 11 Ti 11.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 11 Ti 11.10.2011 p. 1/34 p. 1/34 Automaattiset integrointialgoritmit Numeerisen integroinnin tarkkuuteen
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotPienimmän neliösumman menetelmä
Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
Lisätiedoty = k 1 x + b 1, x < s y = k 2 x + b 2, x > s
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos mlcurvefit 1. Oletetaan, että meille on annettu dataa muodossa (x k, y k ).k = 1... m, johon muodustuu kaksi murtopisteen erottamaa lineaarista
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
Lisätiedot0 3 y4 dy = 3 y. 15x 2 ydx = 15. f Y (y) = 5y 4 1{0 y 1}.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 18 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsar I 1. Satunnaismuuttujilla X Y on tkuva yhteiskauma yhteistiheysfunktiolla f
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotAalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Mat-1.C Matemaattiset ohjelmistot
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Mat-1.C Matemaattiset ohjelmistot Apiola/Kuortti Harjoitus 2 (-3) 21-28.3.2012 DokuT Kirjallinen työ, m-tiedosto/mw-worksheet lähetetään Petrille
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
. Lasketaan valmiiksi derivaattoja ja niiden arvoja pisteessä x = 2: f(x) = x + 3x 3 + x 2 + 2x + 8, f(2) = 56, f (x) = x 3 + 9x 2 + 2x + 2, f (2) = 7, f (x) = 2x 2 + 8x + 2, f (2) = 86, f (3) (x) = 2x
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
Lisätiedot(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).
NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotTehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
Lisätiedotmplperusteet 1. Tiedosto: mplp001.tex Ohjelmat: Maple, [Mathematica] Sievennä lauseke x 1 ( mplp002.tex (PA P1 s.2011)
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos -e mplperusteet. Tiedosto: mplp00.tex Ohjelmat: Maple, [Mathematica] Sievennä lauseke x ( x )( + x ). Kokeile funktiota simplify. 2. mplp002.tex
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
Lisätiedot, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
LisätiedotBM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 2016
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 2016 1. (a) Anna likiarvo lineaarisen approksimaation avulla sille mitä on T (100.5), kun T (100) = 45 ja T (100) = 10. (b) Käyttäen lineaarista
LisätiedotReaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
LisätiedotMatemaattiset ohjelmistot MS-E1999
Matemaattiset ohjelmistot MS-E1999 2. luennon tehtävät Palauta kustakin harjoitustehtävistä MATLABin publish-toiminnolla julkaistu pdf-dokumentti kurssin Moodle-sivulle viimeistään torstaina 13.3. 23.59
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotBM20A1501 Numeeriset menetelmät 1 - AIMO
6. marraskuuta 2014 Opetusjärjestelyt Luennot + Harjoitukset pe 7.11.2014 10-14 2310, 14-17 7337 la 8.11.2014 9-12 2310, 12-16 7337 pe 14.11.2014 10-14 2310, 14-17 6216 la 15.11.2014 9-12 2310, 12-16 7337
LisätiedotMatlab- ja Maple- ohjelmointi
Perusasioita 2. helmikuuta 2005 Matlab- ja Maple- ohjelmointi Yleistä losoaa ja erityisesti Numsym05-kurssin tarpeita palvellee parhaiten, jos esitän asian rinnakkain Maple:n ja Matlab:n kannalta. Ohjelmien
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 4 Tehtävä 5 (L): a) Oletetaan, että λ 0 on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että /λ on matriisin A
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 12
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.
Lisätiedotz 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2
BM20A5700 - Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden
LisätiedotTodistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia, niin A on rekursiivinen.
Lause: Tyhjyysongelma ei ole osittain ratkeava; ts. kieli ei ole rekursiivisesti lueteltava. L e = { w { 0, 1 } L(M w ) = } Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia,
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 9 Ti 4.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti 4.10.2011 p. 1/44 p. 1/44 Funktion approksimointi Etsitään p siten, että p f, mutta ei vaadita, että
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotLuento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja
Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja Seuraavassa esitetään optimointitehtävien numeerisia ratkaisumenetelmiä, eli optimointialgoritmeja, keittokirjamaisesti.
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotHarjoitus 7 -- Ratkaisut
Harjoitus 7 -- Ratkaisut 1 Solve osaa ratkaista polynomiyhtälöitä, ainakin astelukuun 4 asti. Erikoistapauksissa korkeammankin asteen yhtälöt ratkeavat. Clear a, b, c, d, e, x ; Solve a x 3 b x 2 c 0,
LisätiedotEpäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
Lisätiedotmlcurvefit 1. mlcf01.tex [Maple:../../mplteht/mplCurveFit/mplCF01.tex]
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos -e mlcurvefit 1. mlcf01.tex [Maple:../../mplteht/mplCurveFit/mplCF01.tex] Hermiten interpolaatio: Interpolaatioehdoissa esiintyy myös derivaattoja.
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
Lisätiedot1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle
Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)
LisätiedotH5 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa
LisätiedotVektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018
Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018 Ylimääräisiä harjoitustehtäviä 1. Osoita, että normin neliö f : R n R, f(x) = x 2 on differentioituva pisteessä a R n ja, että sen derivaatalle on voimassa 2.
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =
Lisätiedot= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin
BMA7 - Integraalimuunnokset Harjoitus 9. Määritä -jaksollisen funktion f x = coshx, < x < Fourier-sarja. Funktion on parillinen, joten b n = kun n =,,3,... Parillisuudesta johtuen kertoimet a ja a n saadaan
LisätiedotNumeeriset Menetelmät
Numeeriset Menetelmät Kurssilla käydään läpi laskennallisen matematiikan perusteet. Opitaan kuinka matematiikkaa oikeasti käytetään sekä millaisia perustehtäviä ratkaistaan numeerisesti. (Monimutkaisemmat
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma
LisätiedotPienimm"an neli"osumman sovitus
Pienimm"an neli"osumman sovitus Aluksi luentoesimerkki V2 19.3. 2002, V3 lokakuu -02 2013kevat/maple/ restart with(linearalgebra):alias(tr=transpose): with plots : xd:=[-1.3,-0.1,0.2,1.3]; yd:=[0.103,1.099,0.808,1.897];
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 4. Kurssikerta Petrus Mikkola 4.10.2016 Tämän kerran asiat Funktion raja-arvo Raja-arvon määritelmä Toispuolinen raja-arvo Laskutekniikoita Rationaalifunktion esityksen
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA Timo Mäkelä Tässä tekstissä esitellään yhden muuttujan reaaliarvoisten funktioiden differentiaalilaskentaa sekä sarjoja. Raja-arvot Raja-arvoja voidaan laskea käyttämällä
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 26..208 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Lisätiedot3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)
LisätiedotKERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
Lisätiedot(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt
LisätiedotHarjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,
LisätiedotMS-A0103 / Syksy 2015 Harjoitus 2 / viikko 38 / Ennakot
Harjoitus 2 / viikko 38 / Ennakot Sekä tiistain 15.9. että torstain 17.9. luentoja pohjustavat ennakkotehtävät löytyvät MyCoursesin Tehtävät-osiosta. Lisätietoja itse tehtävissä. Tiedostoa viimeksi muokattu:
LisätiedotNumeeriset menetelmät Pekka Vienonen
Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3 Kevät 2011 1 Singulaariarvohajotelma (Singular Value Decomposition, SVD) Olkoon A R m n matriisi 1. Tällöin A voidaan esittää muodossa A = UΣV T,
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset. I.1. Todista Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset I.1. Todista Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö kun x, y R. x y x y, Ratkaisu: Tiedetään, että x + ty 2
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotHarjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (21.4.2015) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s. t. g(x) 0 h(x) = 0 x X olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on missä max θ(u, v) s. t.
Lisätiedot