impedanssitomografian mallintaminen sisäisille virtalähteille

impedanssitomografian mallintaminen sisäisille virtalähteille Mika Tarvainen Pro Gradu -tutkielma Syyskuu 999 Kuopion yliopisto Sovelletun fysiikan laitos

KUOPION YLIOPISTO, luonnontieteiden ja ympäristötieteiden tiedekunta Fysiikan koulutusohjelma Lääketieteellisen fysiikan suuntautumisvaihtoehto TARVAINEN MIKA P.: Impedanssitomografian mallintaminen sisäisille virtalähteille Opinnäytetutkielma, 65 s. Opinnäytetutkielman ohjaajat: FT Marko Vauhkonen FT Jari Kaipio Syyskuu 999 Avainsanat: impedanssitomografia, sisäinen virtalähde, reunaelementtimenetelmä, Greenin funktio Impedanssitomografia (Electrical Impedance Tomography, EIT) kuvantamismenetelmänä perustuu tutkittavassa kohteessa olevien rakenteiden erilaiseen sähkönjohtokykyyn. Mittauksissa kohteeseen syötetään pinnalla olevien elektrodien kautta heikkoa vaihtovirtaa. Syntyvät jännitteet mitataan samoilta tai erillisiltä elektrodeilta. Tietyissä tilanteissa on mahdollista käyttää pintaelektrodien lisäksi sisäisiä virtalähteitä virransyötöissä ja jännitteiden mittauksissa. Kerätystä virta- ja jännitedatasta pyritään ratkaisemaan kohteen johtokykyjakauma. EIT:ssa mallinnetaan tilavuusjohdetta elliptisellä osittaisdifferentiaaliyhtälöllä, johon on liitetty sopivat reunaehdot. Sisäisiä virtalähteitä käytettäessä ongelmaa kuvaa Poisson-yhtälö, jonka ratkaisuna, kun syötetyt virrat ja johtokykyjakauma tunnetaan, saadaan elektrodeilla syntyvät jännitteet. Tätä sanotaan suoran ongelman ratkaisuksi. Vastaavan käänteisen ongelman ratkaisuna saadaan kohteen johtokykyjakauma, kun syötetyt virrat tunnetaan ja syntyvät jännitteet mitataan. Käänteisongelman ratkaiseminen edellyttää aina vastaavan suoran ongelman ratkaisua. Tässä opinnäytetyössä esitetään reunaelementtimenetelmään perustuvat EIT:n suoran ja käänteisen ongelman ratkaisut käytettäessä sisäisiä virtalähteitä. Käänteisen ongelman ratkaisussa käytetään yleistettyä Tihonovregularisointia. Suoritetuista suoran ja käänteisen ongelman simulaatioista havaitaan, että tietyissä tilanteissa sisäisiä virtalähteitä käyttämällä saavutetaan huomattavasti parempia tuloksia.

Esipuhe Tämä opinnäytetutkielma on tehty Kuopion yliopiston sovelletun fysiikan laitokselle vuosina 998 999. Työn valmistumisen johdosta haluan erityisesti kiittää ohjaajaani FT Marko Vauhkosta hyvistä neuvoista ja kärsivällisestä opastuksesta. Lisäksi haluan kiittää työn toista tarkastajaa Jouko Tervoa matemaattisista neuvoista. Kiitokset myös työn toiselle ohjaajalle FT Jari Kaipiolle. Kuopiossa 24.9.999 Mika Tarvainen

Sisältö Johdanto 5 2 Reunaelementtimenetelmän teoriaa 7 2. Integraaliyhtälöistä ja Greenin funktioista........... 7 2.. Greenin funktio fysikaalisesti............... 9 2.2 Reunaelementtimenetelmä.................... 2.2. Poisson-yhtälön ratkaisu BEM:llä............ 2.2.2 Diskretointi........................ 6 2.3 Paloittain homogeenisen alueen BEM.............. 2 3 Impedanssitomografian matemaattinen mallintaminen 24 3. Impedanssitomografian perusteet................ 24 3.. Elektrodimallit...................... 25 3.2 EIT:n suoran ongelman ratkaisu BEM:llä käytettäessä sisäisiä virtalähteitä............................ 27 3.2. Suoran ongelman ratkaisu 2D:ssa............ 28 3.2.2 Integrointi elementin yli................. 3 3.2.3 Suoran ongelman ratkaisu 3D:ssa............ 34 3.2.4 Kolmion yli integrointi.................. 38 4 Käänteisen ongelman ratkaisu 4 4. Epälineaariset käänteisongelmat................. 4 4.2 Käänteisongelma impedanssitomografiassa........... 44 4.2. Regularisointiparametrin ja -matriisin valinta..... 47 5 Simulaatiot 49 5. Suoran ongelman simulaatiot................... 49 5.2 Käänteisongelman simulaatiot.................. 55 6 Pohdinta 6 4

Luku Johdanto Impedanssitomografia (Electircal Impedance Tomography, EIT) on kuvantamismenetelmä, joka perustuu tutkittavan kohteen sisäisten rakenteiden erilaiseen sähkönjohtokykyyn. Menetelmässä kohteeseen syötetään pinnalla olevista elektrodeista heikkoa vaihtovirtaa ja syntyvät jännite-erot mitataan samoilta elektrodeilta. Kerätystä virta- ja jännitedatasta voidaan ratkaista kohteen impedanssijakauma eli tomografiakuva. Tietyissä tilanteissa on mahdollista käyttää pinnalla olevien elektrodien lisäksi sisäisiä virtalähteitä. Esimerkiksi lääketieteellisissä tutkimuksissa voidaan potilaalle asettaa elektrodeja aivokuoren pinnalle ja käyttää näiden lisäelektrodien antamaa informaatiota hyväksi kallon johtavuuden arvioinnissa. Jos sisäisiä virtalähteitä käytettäessä kohteen johtokykyjakauma ja elektrodeihin syötetyt virrat sekä sisäinen lähdevirtajakauma tunnetaan, voidaan potentiaalijakauma ja jännitteet elektrodeilla ratkaista. Tätä kutsutaan suoran ongelman ratkaisuksi. Vastaavassa käänteisongelmassa syötetyt virrat tunnetaan ja syntyvät jännitteet mitataan, jolloin voidaan ratkaista kohteen sisäinen johtavuusjakauma. EIT:n suoran ongelman ratkaisuun käytetään yleensä jotain numeerista menetelmää. Eräs paljon käytetty menetelmä on äärellisten elementtien menetelmä (Finite Element Method, FEM). Tässä opinnäytetyössä suoran ongelman ratkaisuun käytetään reunaelementtimenetelmää (Boundary Element Method, BEM), joka on osittaisdifferentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaisumenetelmä. Menetelmässä annetun reuna-arvotehtävän ratkaisu palautetaan integraaliyhtälön muotoon käyttäen hyväksi Greenin funktioiden ominaisuuksia. Tätä integraaliyhtälömuotoa kutsutaan alkuperäisen yhtälön variationaalimuodoksi. Reunaelementtimenetelmässä pyritään aina muodostamaan variationaalimuoto siten, että se koostuu ainoastaan reunaintegraaleista. Tällöin numeerisen ratkaisun löytämiseksi tarvitsee diskretoida vain tarkastelualueen reuna. Alunperin reunaelementtimenetelmät kehittyivät integraaliyhtälömene- 5

telmistä, jotka tunnettiin reunaintegraaliyhtälömenetelmien (Boundary Integral Equation Method, BIEM) nimellä. Menetelmät jaettiin kahteen formuloinneiltaan täysin eroaviin lajeihin. Epäsuora menetelmä on fysikaalisempi lähestymistapa, jossa alueen reunakäyrää mallinnetaan lähteillä ja nieluilla. Tätä menetelmää käytettiin aiemmin mm. sähkökenttälaskennassa. Toinen ns. suora menetelmä perustuu differentiaaliyhtälön Greenin funktion löytämiseen. Vasta vuoden 978 jälkeen alettiin käyttää reunaelementtimenetelmä nimitystä. BEM:iä on käytetty monilla eri fysiikan osa-alueilla, mutta menetelmän soveltaminen impedanssitomografiaan on ollut melko vähäistä []. Sen sijaan esim. EEG (electroencephalography) ongelmassa BEM:iä on käytetty paljon [2, 8, 7]. Tässä opinnäytetyössä käsitellään aluksi hieman Greenin funktioiden teoriaa ja niiden merkitystä reunaelementtimenetelmässä. Osoittautuu, että ongelmaa kuvaavaa reuna-arvotehtävää vastaavan Greenin funktion löytäminen on merkittävä tekijä ratkaistaessa ongelmaa BEM:llä. Lisäksi tarkastellaan Poisson-yhtälön ratkaisemista BEM:llä ja saadun ratkaisun diskretointia sekä esitellään selkeä menetelmä paloittain homogeenisen alueen käsittelemiseen. Poisson-yhtälön ratkaisun mukaisesti johdetaan EIT:n suoran ongelman ratkaisut kahdessa ja kolmessa dimensiossa. Ratkaisuissa otetaan huomioon mahdolliset alueen sisäiset virtalähteet. Sisäisissä virtalähteissä keskitytään lähinnä pistemäisten lähteiden mallintamiseen. Suoran ongelman ratkaisun yhteydessä käsitellään tarvittavien polku- ja pintaintegraalien numeerista laskemista. Suoran ongelman ratkaisun jälkeen tarkastellaan EIT:n käänteisen ongelman, eli kohteen johtokykyjakauman ratkaisemista. Lopuksi testataan esiteltyjä menetelmiä ja tutkitaan sisäisten virtalähteiden merkitystä ja niiden käytöstä mahdollisesti saatavaa hyötyä. 6

Luku 2 Reunaelementtimenetelmän teoriaa Reunaelementtimenetelmä (Boundary Element Method, BEM) on differentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaisumenetelmä. Menetelmä perustuu annetun reuna-arvotehtävän formulointiin integraaliyhtälön muodossa. Formuloinnissa ongelman dimensio alenee yhdellä, jolloin integraaleissa päädytään ainoastaan reunaintegraaleihin. Ratkaiseva merkitys formuloinnissa on ongelmaa kuvaavan differentiaaliyhtälön Greenin funktion ominaisuuksien hyödyntämisellä. Jos Greenin funktio aseteltuja reunaehtoja vastaten hyvin määritellyllä pinnalla tunnetaan, saadaan reuna-arvotehtävän ratkaisu integraaliyhtälön muodossa. Tämän jälkeen ratkaisu voidaan laskea numeerisesti diskretoimalla alueen reuna äärelliseen määrään reunaelementtejä. Reunaelementtimenetelmä vaatii siis ainoastaan kohteen reunan (pinnan) diskretoinnin, kun äärellisten elementtien menetelmässä (Finite Element Method, FEM) diskretoidaan koko alue. Tästä syystä BEM vaatii tietyissä tilanteissa huomattavasti vähemmän laskennallisia resursseja FEM:iin verrattuna. [3, 9] 2. Integraaliyhtälöistä ja Greenin funktioista Tarkastellaan differentiaaliyhtälön muuntamista integraaliyhtälön muotoon ja esitystä integraalioperaattorin avulla. Osoittautuu, että differentiaalija integraalioperaattoreiden välillä on läheinen yhteys. Lisäksi differentiaaliyhtälön yksikäsitteiseen ratkaisuun tarvittavien reunaehtojen merkitys, liitettäessä yhteen differentiaali- ja integraalioperaattoreita, on olennainen. Tämä operaattoreiden välinen yhteys on osa Greenin funktioiden teoriaa. 7

Greenin funktioiden ymmärtämiseksi tarkastellaan yksinkertaista alkuarvotehtävää dy dx = f(x) (2.) y(a) = y. (2.2) Integroimalla yhtälö (2.) puolittain saadaan x y(x) = f(t) dt + C, (2.3) missä C on integroimisvakio. Sijoittamalla alkuehto y(a) = y yhtälöön saadaan integroimisvakiolle edelliseen Nyt ratkaisulle saadaan x a y(x) = f(t) dt f(t) dt + y = C = y a f(t) dt. (2.4) x a f(t) dt + y. (2.5) Näin on saatu differentiaaliyhtälön (2.) ratkaisu integraalin avulla. Oletetaan seuraavaksi, että x [a, b]. Yhtälö (2.5) voidaan tällöin kirjoittaa muodossa y(x) = b missä H(x t) on porrasfunktio a H(x t) = f(t)h(x t) dt + y, (2.6) {, x > t, x < t. Yhtälö (2.6) voidaan kirjoittaa myös muodossa missä K on integraalioperaattori s.e. Kf(x) = (2.7) y(x) = Kf(x) + y, (2.8) b a H(x t)f(t) dt. (2.9) Termiä H(x t) kutsutaan integraalioperaattorin K ytimeksi. Ydin riippuu differentiaalioperaattorista ja alkuarvosta. Kun ydin määrätään yhtälölle, joka sisältää differentiaalioperaattorin, kutsutaan ydintä differentiaalioperaattorin Greenin funktioksi (merkitään G(x, t)) tietyillä reunaehdoilla. Tässä tapauksessa G(x, t) = H(x t) (2.) on differentiaalioperaattorin d/dx Greenin funktio alkuehdolla y(a) = y. 8

2.. Greenin funktio fysikaalisesti Tutkitaan hieman Greenin funktioiden fysikaalisia ominaisuuksia ja esitellään menetelmä Greenin funktioiden ratkaisemiseksi. Suoritetaan tarkastelut yksinkertaisuuden vuoksi yhdessä dimensiossa, mutta pidetään mielessä, että ne voidaan yleistää useampaan dimensioon. Olkoon ongelmaa kuvaava yhtälö epähomogeeninen lineaarinen differentiaaliyhtälö Ly(x) = f(x), x [a, b], (2.) missä L on lineaarinen differentiaalioperaattori, y(x) on tuntematon funktio ja f(x) on jokin tunnettu funktio. Liitetään yhtälöön reunaehdot, jotka takaavat ratkaisun yksikäsitteisyyden. Olkoon L sellainen differentiaalioperaattori, että ratkaisu saadaan integraalimuodossa y(x) = b a G(x, t)f(t) dt. (2.2) Tällöin ydin G(x, t) on operaattoria L vastaava Greenin funktio annetuilla reunaehdoilla. Tarkastellaan Greenin funktion fysikaalista merkitystä. Kuvitellaan tilanne, jossa tunnettuna funktiona on deltafunktio (impulssifunktio), eli f(x) = δ(x x k ). Formaalisti deltafunktiolla on ominaisuudet δ(x x k ) dx = (2.3) g(x)δ(x x k ) dx = g(x k ). (2.4) Olkoon x k jokin välin ]a, b[ piste. Tällöin ratkaisulle saadaan y(x) = b a G(x, t)δ(t x k ) dt = G(x, x k ). (2.5) Eli ratkaisua kaikissa pisteissä x [a, b] kuvaa Greenin funktio G(x, x k ). Tämän ominaisuutensa vuoksi Greenin funktiota kutsutaan usein myös (piste)vastefunktioksi tai perusratkaisuksi. Tämä fysikaalinen tulkinta johtaa yleiseen tapaan ratkaista yhtälöille Greenin funktioita. Olkoon tilannetta kuvaava differentiaaliyhtälö yhtälön (2.) mukainen. Asetetaan lisäksi reunaehdot, jotka takaavat ratkaisun yksikäsitteisyyden. Tällöin operaattoria L vastaava Greenin funktio saadaan laskettua seuraavasti [9] 9

. Sijoitetaan tunnetuksi funktioksi f = δ(x x k ) ja korvataan ratkaisu y Greenin funktiolla. Tällöin ratkaistava yhtälö on muotoa LG(x, x k ) = δ(x x k ). 2. Ratkaistaan edellä esitetty differentiaaliyhtälö. 3. Liitetään ratkaisuun todellisia reunaehtoja vastaavat homogeeniset reunaehdot. Eli jos reunaehtoina ovat y(a) = y ja y(b) = y, käytetään reunaehtoja G(a, x k ) = ja G(b, x k ) =. 4. Näin on saatu operaattoria L vastaava Greenin funktio annetuilla reunaehdoilla. Kun Greenin funktio on saatu laskettua, voidaan alkuperäisen differentiaaliyhtälön Ly = f ratkaisu konstruoida seuraavalla tavalla. Ratkaistaan homogeeniyhtälö Ly h = perinteisillä menetelmillä. 2. Sovelletaan ratkaisuun y h todellisia reunaehtoja integroimisvakioiden määräämiseksi. 3. Yhtälön täydellinen ratkaisu on nyt y(x) = y h + b a G(x, t)f(t) dt. (2.6) Tietyissä tapauksissa Greenin funktio on symmetrinen, eli on voimassa G(a, b) = G(b, a). (2.7) Sähkökenttälaskennassa Greenin funktio G(a, b) kuvaa potentiaalia tarkastelualueen sisällä pisteessä a, kun pisteessä b vaikuttaa pistevaraus. Tällöin symmetria ominaisuus voidaan helposti ymmärtää resiprookki periaatteen avulla. Sen mukaan lähde pisteessä a aiheuttaa saman vaikutuksen pisteeseen b, kuin lähde pisteessä b aiheuttaisi pisteeseen a. 2.2 Reunaelementtimenetelmä Sähkökenttälaskennassa on usein lähtökohtana Poisson-yhtälö. Tässä kappaleessa johdetaan Poisson-yhtälölle numeerinen ratkaisu reunaelementtimenetelmää käyttäen. Ratkaisussa käytetään painotettujen residuaalien menetelmää. Reunaehtojen tulee olla määriteltyjä koko alueen reunalla, jotta ongelma olisi hyvin asetettu. Kaikkien reunaintegraalien laskemisessa on

9 / huomioitava integroimissuunta Greenin lauseen mukaisesti. Toisin sanoen integroinnit suoritetaan siten, että tarkasteltava alue jää vasemmalle puolelle kuvan 2. mukaisesti. Jatkossa tarvitaan seuraavia integrointikaavoja. Olkoon u ja v hyvin käyttäytyviä differentioituvia funktioita. Olkoon lisäksi alue Ω ja sen reunakäyrä Γ riittävän säännöllisiä. Tällöin pätee Greenin kaavat [2] (u 2 v v 2 u) dr = (u v v u) ν dγ (2.8) Ω Γ (u 2 v + u v) dr = (u v) ν dγ. (2.9) Ω 2.2. Poisson-yhtälön ratkaisu BEM:llä Tarkastellaan Poisson-yhtälöä sähkökenttälaskennassa Γ 2 u = f, r Ω (2.2) reunaehdolla u = q, r Γ, (2.2) ν missä u on sähköinen potentiaali, f on lähdetermi, ν on pinnan ulospäin suunnattu yksikkönormaali, q on reunaehto alueen reunalla Γ. Tutkitaan annetun yhtälön ratkaisua kahdessa dimensiossa, jolloin Ω R 2 ja r = (x, y). Ratkaisun formulointi kolmessa dimensiossa etenisi vastaavasti. Ratkaistaessa tällaista osittaisdifferentiaaliyhtälöä reunaelementtimene- / Kuva 2.: Tarkastelualue Ω. Γ = Γ Γ2 ulospäin suunnattu yksikkönormaali. on alueen reunakäyrä ja ν on telmällä käytetään ns. painotettujen residuaalien menetelmää. Siinä tilannetta kuvaavalle yhtälölle johdetaan variationaalimuoto (heikko muoto), joka on alkuperäisen yhtälön ja sen reunaehtojen toinen esitystapa. Kerrotaan

yhtälö (2.2) testifunktiolla v ja integroidaan tarkastelualueen yli. ( 2 u)v dr = fv dr (2.22) Ω Käyttämällä osittaisintegrointia (eli Greenin kaavaa (2.9)) yhtälön (2.22) vasempaan puoleen saadaan v u ν dγ v u dr = fv dr. (2.23) Ω Γ Ω Integroidaan nyt osittaisintegroinnilla termi v u dr uudelleen. Tällöin Ω edellinen yhtälö tulee muotoon v u ν dγ u v ν dγ + u 2 v dr = fv dr. (2.24) Ω Γ Γ Koska u ν = u/ ν = q, voidaan reunaehto (2.2) liittää yhtälöön ja saadaan vq dγ u v ν dγ + u 2 v dr = fv dr. (2.25) Γ Γ Ω Ω Tässä vaiheessa käytetään hyväksi aiemmin esitettyjä Greenin funktion ominaisuuksia. Valitaan testifunktio v = v k siten, että Ω Ω 2 v k = δ(r r k ), r, r k Ω, k =, 2,... (2.26) Yhtälö (2.26) määrittelee Laplace-operaattorin Greenin funktion, joka R 2 :ssa ilman reunaehtoja on muotoa [9] v k = 2π ln r r k, (2.27) missä r r k = (x x k ) 2 + (y y k ) 2. Greenin funktion normaalinsuuntaiselle derivaatalle saadaan Koska lisäksi v k ν = v k ν = (r r k ) ν 2π r r k. (2.28) 2 Ω uδ(r r k ) dr = u(r k ), (2.29) saadaan integraaliyhtälö (2.25) muotoon q u(r k ) + Γ 2π ln r r u (r r k ) ν k dγ dγ Γ 2π r r k 2 f = 2π ln r r k dr. (2.3) 2 Ω

O N O N Nyt jatkettaisiin diskretoimalla edellinen integraaliyhtälö ja ratkaisemalla näin saatu matriisiyhtälö. Yhtälö (2.3) on kuitenkin voimassa vain kun r k Ω. Tarkastellaan seuraavassa miten yhtälöä joudutaan modifioimaan, kun piste r k on reunalla Γ. H 9 9 / / H Kuva 2.2: Reunan muutos tarkasteltaessa reunalla olevaa pistettä r k. Olkoon piste r k alueen reunalla Γ. Piirretään reunalle pieni lisäkaari Γ ε kuvien 2.2 ja 2.3 mukaisesti siten, että piste r k jää alueen sisään. Olkoon kaaren säde ε. Nyt saadaan yhtälön (2.3) ensimmäisestä integraalista Γ q 2π ln r r k dγ = lim ε Γ ε + lim ε Γ Γ ε q 2π ln r r k dγ q 2π ln r r k dγ. (2.3) Tarkastellaan näistä ensimmäistä termiä, joka on kriittinen reunan muutokselle. Kaarella Γ ε on dγ = ε dθ, missä θ on kuvan 2.3 mukainen kulma. Lisäksi kaarella Γ ε pätee r r k = ε. Näin ollen saadaan lim ε Γ ε q α 2π ln r r q k dγ = lim (ln ε)ε dθ. (2.32) ε 2π Tarkastellaan tilannetta missä piste r k on polygonin kulmapiste. Tällöin kuvan 2.3 mukainen kulma α ei riipu ε:sta ja raja-arvo voidaan viedä integraalin sisään. Helposti voidaan osoittaa, että lim ε ε ln ε =, joten tarkasteltu termi häviää. Yhtälön (2.3) jälkimmäinen integraali lähestyy alkuperäistä integraalia, joten reunapisteellä ei ole vaikutusta tarkasteltuun integraaliin [3]. Tarkastellaan edelleen kulmapistettä ja suoritetaan samanlainen tarkastelu yhtälön (2.3) toiselle integraalille. Se saadaan muotoon 3

@ / / A / A @ G = G H / A Kuva 2.3: Reunan muutos suurennettuna tarkasteltaessa reunalla olevaa pistettä r k. Γ on se reunan Γ osa, joka jää lisäkaaren Γ ε sisään. Γ u (r r k ) ν dγ = lim 2π r r k 2 ε Γ ε + lim ε Γ Γ ε u (r r k ) ν 2π u 2π dγ r r k 2 (r r k ) ν dγ. (2.33) r r k 2 Näistä jälkimmäinen termi palautuu alkuperäiseksi integraaliksi, joten tarkastellaan ensimmäistä termiä. Pisteessä r Γ ε yksikkönormaali ν osoittaa samaan suuntaan kuin ε = r r k, joten (r r k ) ν = ε ν = ε. Kun lisäksi r r k = ε, saadaan lim ε Γ ε u (r r k ) ν α dγ = lim 2π r r k 2 ε u 2π ε α ε dθ = lim ε2 ε u dθ. (2.34) 2π Viemällä rajankäynti integraalin sisään, saadaan raja-arvoksi lim ε u = u(r k ), joten saadaan u(r k ) α u(r k ) dθ = α k 2π 2π. (2.35) Vastaavanlaiset tarkastelut pisteen r k ollessa sileällä reunalla on suoritettu kirjassa [3].Nyt voidaan kirjoittaa lopullinen ratkaisu Poisson-yhtälölle, joka on voimassa kun piste r k sijaitsee alueessa Ω tai sen reunalla Γ. Ratkaisu saadaan kirjoitettua muotoon c k u(r k ) + 2π Γ q ln r r k dγ 2π = 2π 4 u (r r k) ν dγ Γ r r k 2 f ln r r k dr, (2.36) Ω

missä Lähdetermi, r k Ω c k = /2, r k sileällä reunalla α k /(2π), r k polygonin kulmapiste. (2.37) Ongelmia yhtälössä (2.36) tuottaa oikean puolen termi, joka on tilavuusintegraali eikä reunaintegraali. Tämä voitaisiin laskea kuten FEM:ssä jakamalla alue esimerkiksi kolmioelementteihin ja suorittamalla integrointi näiden avulla. Erona kuitenkin se, että sisäalueessa ei ole tuntemattomia muuttujia. Pyrkimyksenä reunaelementtimenetelmässä (jo nimensäkin perusteella) on kuitenkin päätyä ainoastaan reunaintegraaleihin, jolloin tarvitsee diskretoida vain alueen reunakäyrä. Joissain harvoissa tapauksissa on mahdollista muuntaa yhtälön (2.36) oikean puolen tilavuusintegraali reunaintegraaliksi. Tämä on mahdollista, jos lähdetermi f on harmoninen, eli kun pätee Määritellään nyt funktio U k siten, että 2 f =. (2.38) 2 U k = v k. (2.39) Nyt tilavuusintegraali voidaan muuntaa reunaintegraaliksi käyttämällä Greenin integraalikaavaa (2.8) ( f 2 U k U k 2 f ) ( dr = f U ) k ν U f k dγ. (2.4) ν Ω Koska 2 f = saadaan tilavuusintegraalille (2.39) nojalla ( fv k dr = f U ) k ν U f k dγ. (2.4) ν Ω Γ Ongelmia saattaa aiheuttaa funktion U k löytyminen. Tilanne on yksinkertaisin silloin, kun lähdetermi f koostuu pistelähteistä. Tällöin lähdetermi on muotoa Γ f(r) = L P l δ(r r l ), (2.42) l= 5

missä L on pistelähteiden lukumäärä, r l Ω on l:nnen lähteen sijainti ja P l sen voimakkuus. Tällöin tilavuusintegraalille saadaan L f(r)v k (r) dr = P l v k (r l ) = L P l ln r l r k, r l r k. (2.43) 2π Ω l= Tarkastellaan vielä lähdetermin f mallintamista virtadipolilla. Ideaalista virtadipolia voidaan kuvata kahdella vastakkaismerkkisellä pistelähteellä, jolloin f on ns. temporoitu distribuutio [23] f = P [δ ( r + d 2 l= ) δ ( r d )], (2.44) 2 missä P on pistelähteiden voimakkuuden itseisarvo, d on dipolivektori ja r on origosta dipolivektorin keskipisteeseen suuntautuva vektori. Tällöin yhtälön (2.36) tilavuusintegraali korvataan lausekkeella fv k dr = f(v k ), (2.45) Ω joka saadaan muotoon [ ( f(v k ) = P v k r + d ) ( v k r d )]. (2.46) 2 2 Edelleen käyttämällä differentiaalilaskennan väliarvolausetta ( ( d f(v k ) = P [ v k (ξ) 2 d ))], (2.47) 2 missä ξ on jokin dipolivektorin d piste. Jos d, niin ξ r joten, kun d on pieni f(v k ) P v k (r ) d = P (r r k ) d 2π r r k. (2.48) 2 2.2.2 Diskretointi Tarkastellaan edellä johdetun Poisson-yhtälön variationaalimuodon (2.36) diskretointia, kun lähdetermi f koostuu sisäisistä pistelähteistä. BEM:iä käytettäessä on diskretointi kahdessa dimensiossa varsin helppo, koska tarvitsee diskretoida vain alueen reuna kuvan 2.4 mukaisesti. Jaetaan reunakäyrä Γ äärelliseen määrään elementtejä, ja sijoitetaan reunalle solmupisteitä, joissa ratkaisu lasketaan. Merkitään valitun diskreetin hilan solmupisteitä r n :llä (n =,..., N) ja elementtejä Γ m :llä (m =,..., M). Lisäksi merkitään β n = ratkaisun u(r) arvo solmupisteessä r n γ n = reunaehto q(r) solmupisteessä r n. 6

9 H / 9 / H H H H / H H / / / H / / = > Kuva 2.4: Alueen Ω reunan diskretointi M:ään elementtiin käyttäen a) vakioelementtejä tai b) lineaarisia elementtejä. Määritellään ratkaisun u ja reunaehdon q oletettu käyttäytyminen kussakin elementissä sopivan kantafunktiojoukon avulla. Merkitään ratkaisun u(r) approksimaatiota m:nnessä elementissä u m (r):llä. Esitetään ratkaisu diskreetisti kussakin elementissä valitun kantajoukon avulla u m (r) = P βp m φ m p (r), (2.49) p= missä φ m p (r) on elementin m p:s kantafunktio, βp m on ratkaisu elementin m solmupisteessä p ja P on yhden elementin sisältämien solmujen lukumäärä. Reunaehtoa q(r) elementissä m approksimoidaan vastaavasti q m (r) = P γp m φ m p (r), (2.5) p= missä γ m p on reunaehto elementin m solmupisteessä p. Lähdetermin f ollessa muotoa (2.42) voidaan yhtälölle (2.36) kirjoittaa diskreetti approksimaatio solmupisteessä r k c k u(r k ) + 2π M m= Γ m q m (r) ln r r k dγ 2π = 2π M m= u m (r) (r r k) ν dγ Γ m r r k 2 L P l ln r l r k. (2.5) l= 7

Vakioelementit Yksinkertaisin tapa valita hilajako on olettaa ratkaisun ja reunaehdon olevan vakioita kussakin elementissä. Tällöin sijoitetaan yksi solmupiste kunkin elementin keskelle kuvan 2.4 a) mukaisesti, jolloin yhtälöissä (2.49 2.5) P = ja kantafunktio φ m (r) valitaan siten, että se on kyseisessä elementissä ja nolla muualla. Koska piste r k on aina suoralla, niin c k = /2 kaikissa solmupisteissä. Kertomalla yhtälö (2.5) puolittain 2π:llä saadaan πβ k + M m= (r r k ) ν dγ β m Γ m r r k 2 = + M ln r r k dγ γ m Γ m L P l ln r l r k. (2.52) Kun hilajako valitaan edellä esitetyllä tavalla, puhutaan vakioelementeistä. Tällöin elementtien ja solmupisteiden lukumäärät ovat samoja eli N = M. Indeksoimalla solmupisteet ja reunaelementit kuvan 2.4 a) mukaisesti havaitaan, että elementin m sisältämä solmupiste on diskreetin hilan m:s solmu r m. Tällöin β m = β m ja γ m = γ m. Kiinnittämällä jokainen solmupiste r k vuorollaan saadaan yhtälöryhmä, joka voidaan esittää matriisimuodossa m= l= diag(π)β + Hβ = Gγ + B, (2.53) missä diag(π) on M M diagonaalimatriisi, jonka diagonaalialkioina on π, B on ns. Poisson termi ja H(k, m) = (r r k ) ν dγ, Γ m r r k 2 k, m =,..., M (2.54) G(k, m) = ln r r k dγ, Γ m k, m =,..., M (2.55) L B(k) = P l ln r l r k, r l r k, k =,..., M (2.56) l= β = (β, β 2,..., β M ) T (2.57) γ = (γ, γ 2,..., γ M ) T. (2.58) Kun sijoitetaan H = H diag(π), saadaan Hβ = Gγ + B. (2.59) 8

Lineaariset elementit Parempia tuloksia saavutetaan, kun käytetään vakioelementtien sijasta lineaarisia elementtejä. Tällöin solmut sijoitetaan elementtien liitoskohtiin kuvan 2.4 b) mukaisesti, jolloin kukin elementti sisältää kaksi solmupistettä. Ratkaisun u(r) ja reunaehdon q(r) oletetaan käyttäytyvän lineaarisesti kussakin elementissä. Näiden approksimaatiot elementissä m ovat u m (r) = β m φ m (r) + β m 2 φ m 2 (r) (2.6) q m (r) = γ m φ m (r) + γ m 2 φ m 2 (r), (2.6) missä β m on ratkaisu elementin m ensimmäisessä solmussa ja β2 m on ratkaisu elementin m toisessa solmussa. γ m ja γ2 m ovat vastaavat reunaehdon arvot. φ m ja φ m 2 ovat lineaariset kantafunktiot elementille m. Nyt c k = α k /(2π), missä α k on niiden kahden elementin välinen kulma, alueen ulkopuolelta katsoen, joita piste r k yhdistää. Kerrotaan yhtälö (2.5) puolittain 2π:llä, jolloin saadaan M (2π α k )β k + u m (r) (r r k) ν dγ Γ m r r k 2 = m= M m= Γ m q m (r) ln r r k dγ + L P l ln r r k.(2.62) Tarkastellaan lähemmin yhtälön vasemman puoleista summalauseketta. Merkitsemällä (r r k) ν r r k =: g 2 k ja sijoittamalla approksimaatio (2.6) saadaan M M u m (r)g k dγ = (β m φ m + β2 m φ m 2 ) g k dγ m= Γ m m= Γ m M ( ) = φ m g k dγ β m + φ m 2 g k dγ β2 m (2.63). Γ m Γ m m= Kuvasta 2.4 b) nähdään, että elementin m ensimmäinen solmupiste on diskreetin hilan m:s solmu r m. Tällöin β m = β m, β2 m = β m+ ja erikoisesti β2 M = β. Kirjoittamalla summalauseke auki saadaan M u m (r)g k dγ = φ g k dγ β + φ 2g k dγ β 2 m= Γ m Γ Γ + φ 2 g k dγ β 2 + φ 2 2g k dγ β 3 +... Γ 2 Γ 2 + φ M g k dγ β M + φ M 2 g k dγ β. (2.64) Γ M Γ M 9 l=

Ryhmittelemällä termejä saadaan edelleen M ( ) u m (r)g k dγ = φ g k dγ + φ M 2 g k dγ β m= Γ m Γ Γ M ( ) + φ 2 g k dγ + φ 2g k dγ β 2 +... Γ 2 Γ ( ) + φ M g k dγ + φ2 M g k dγ β M,(2.65) Γ M Γ M joka voidaan kirjoittaa summamuotoon M M ( ) u m (r)g k dγ = φ m g k dγ + φ m 2 g k dγ β m, (2.66) Γ m Γ m Γ m m= m= missä m:n arvolla Γ = Γ M ja φ 2 = φ M 2. Yhtälön (2.62) oikean puolen summatermille voidaan johtaa vastaavanlainen lauseke. BEM-yhtälöryhmä saadaan jälleen muodostettua kiinnittämällä yhtälössä (2.62) kaikki solmupisteet r k vuorollaan. Saatu yhtälöryhmä voidaan esittää matriisimuodossa diag(2π α)β + Hβ = Gγ + B, (2.67) missä α = (α, α 2,..., α M ) T ja diag(2π α) on M M diagonaalimatriisi, jonka k:s diagonaalialkio on 2π α k ja (r r k ) ν (r r k ) ν H(k, m) = dγ + dγ, (2.68) r r k 2 r r k 2 G(k, m) = Γ m φ m k, m =,..., M φ m 2 Γ m φ m ln r r k dγ + Γ m φ m 2 ln r r k dγ, Γ m (2.69) k, m =,..., M. B(k), β ja γ ovat kuten yhtälöissä (2.56-2.58). Sijoituksella H =H diag(2π α) saadaan yhtälö (2.67) muotoon Hβ = Gγ + B. (2.7) 2.3 Paloittain homogeenisen alueen BEM Paloittain homogeenisen alueen tapauksessa reunaelementtimenetelmä on käyttökelpoinen, kun alue voidaan jakaa kohtuulliseen määrään homogeenisia alueita. Muussa tapauksessa on syytä käyttää esimerkiksi äärellisten 2

9 / 9 / 9! 9 " /! / " Kuva 2.5: Tarkasteltava paloittain homogeeninen alue. elementtien menetelmää. Lisäksi on mahdollista yhdistää näiden menetelmien käyttö siten, että osaan aluetta käytetään BEM:iä ja osaan FEM:iä [7]. Olkoon tarkastelualue epähomogeeninen siten, että se koostuu äärellisestä määrästä homogeenisia alueita. Tällöin ongelmaa on järkevintä käsitellä seuraavasti. Jaetaan alue homogeenisiin alueisiin, ja kirjoitetaan jokaiselle homogeeniselle alueelle oma BEM-yhtälö ottaen huomioon, että vierekkäisillä alueilla on yhteisiä solmupisteitä, joihin liitetään lisäehdot. Myös muunlaisia lähestymistapoja paloittain homogeenisen alueen käsittelyyn BEM:llä on esitetty [4, 2]. Tarkastellaan kuvan 2.5 mukaista aluetta, joka voidaan jakaa neljään homogeeniseen alueeseen Ω, Ω 2, Ω 3 ja Ω 4, joihin viitataan jatkossa yläindekseillä, 2, 3 ja 4. Jokaisessa solmupisteessä on kaksi muuttujaa, ratkaisun ja sitä vastaavan vuon arvot. Käytetään seuraavanlaisia merkintöjä β = ratkaisun u(r) arvot reunalla Γ alueelle Ω β2 = ratkaisun u(r) arvot reunalla Γ 2 alueelle Ω γ = vuon arvot reunalla Γ alueelle Ω γ2 = vuon arvot reunalla Γ 2 alueelle Ω B = Poisson termit reunalle Γ alueelle Ω B2 = Poisson termit reunalle Γ 2 alueelle Ω. Vastaavasti määritellään muille alueille Ω 2 : β 2 2, β 2 3, γ 2 2, γ 2 3, B 2 2 ja B 2 3 Ω 3 : β3, 3 β4, 3 γ3, 3 γ4, 3 B3 3 ja B4 3 Ω 4 : β4, 4 γ4 4 ja B4. 4 2

Toisin kuin ulkoreunalla, alueen sisäreunoilla Γ 2, Γ 3 ja Γ 4 ovat sekä ratkaisu u(r) että sitä vastaava vuo q(r) tuntemattomia. Kirjoitetaan kaikille alueille yhtälön (2.7) mukaiset BEM-yhtälöt H β = G γ + B (2.7) H 2 β 2 = G 2 γ 2 + B 2 (2.72) H 3 β 3 = G 3 γ 3 + B 3 (2.73) H 4 β 4 = G 4 γ 4 + B 4. (2.74) Jakamalla matriisit lohkoihin siten, että kunkin reunan termit ovat omassa lohkossaan, saadaan ( ) ( ) ( ) β ( H H 2 ) γ β2 = ( G G 2 ) B γ2 + B2 (2.75) ( ) ( ) ( ) β 2 ( H2 2 H2 3 ) 2 γ β3 2 = ( G 2 2 G 2 2 3 ) 2 B 2 γ3 2 + 2 B3 2 (2.76) ( ) ( ) ( ) β 3 ( H3 3 H3 4 ) 3 γ β4 3 = ( G 3 3 G 3 3 4 ) 3 B 3 γ4 3 + 3 B4 3 (2.77) H 4β 4 4 4 = G 4 4γ4 4 + B4. 4 (2.78) Yhteisillä reunoilla voidaan asettaa jatkuvuusehdot (C ) ratkaisulle ja vuolle. Nämä ehdot ovat β 2 = β 2 2 β 2, γ 2 = γ 2 2 γ 2, reunalla Γ 2 (2.79) β 2 3 = β 3 3 β 3, γ 2 3 = γ 3 3 γ 3, reunalla Γ 3 (2.8) β 3 4 = β 4 4 β 4, γ 3 4 = γ 4 4 γ 4, reunalla Γ 4. (2.8) Ratkaisua varten yhtälöt (2.75 2.78) on hyvä kirjoittaa sellaiseen muotoon, missä tuntemattomat ovat vasemmalla ja tunnetut oikealla puolella. Oletetaan, että tunnetaan vuon arvot ulkopinnalla γ ja lähdetermit B k (k =,..., 4). Käyttämällä jatkuvuusehtoja saadaan BEM-yhtälöt muotoon ( H H 2 G 2 ) β ( ) β 2 B = G γ + (2.82) ( H2 2 H2 3 G 2 2 G 2 3 ) γ 2 β 2 β 3 γ 2 γ 3 = ( B 2 2 B 2 3 ) B 2 (2.83) 22

( H3 3 H3 4 G 3 3 G 3 4 ) β 3 β 4 γ 3 γ 4 ( H4 4 G 4 4 ) ( β4 γ 4 = ( B 3 3 B 3 4 ) ) (2.84) = B 4 4. (2.85) (2.86) Edelliset neljä yhtälöä voidaan yhdistää yhdeksi yhtälöksi, jolle saadaan H H 2 G 2 H2 2 H2 3 G 2 2 G 2 3 H3 3 H3 4 G 3 3 G 3 4 H4 4 G 4 4 β β 2 β 3 β 4 γ 2 γ 3 γ 4 = G γ + (2.87) Näin saadun yhtälön oikean puolen termit ovat kaikki tunnettuja, joten oikea puoli palautuu tunnetuksi vektoriksi. Yhtälö (2.87) esittää siis tavallista lineaarista yhtälöryhmää. Yhtälöiden lukumääräksi tulee solmujen kokonaismäärä ynnä yhteisten reunojen solmujen lukumäärä. B B2 B2 2 B3 2 B3 3 B4 3 B4 4. 23

Luku 3 Impedanssitomografian matemaattinen mallintaminen 3. Impedanssitomografian perusteet Impedanssitomografia kuvantamismenetelmänä perustuu kohteen sisällä olevien rakenteiden erilaiseen sähkönjohtokykyyn. Mittauksissa tutkittavan kohteen pinnalle asetetaan elektrodeja, joista syötetään muutaman ma:n vaihtovirtaa yleensä taajuudella khz khz. Syntyvät jännite-erot mitataan samoilta tai erillisiltä elektrodeilta. Tietyissä tilanteissa (tarkasteltavasta kohteesta riippuen) on mahdollista käyttää pinnalla olevien elektrodien lisäksi kohteen sisäisiä virtalähteitä. Toistettaessa mittauksia erilaisille virransyöttökuvioille voidaan ratkaista arvio sisäiselle impedanssijakaumalle. Virransyötössä ja syntyneiden jännite-erojen mittauksissa käytetyt menetelmät jaetaan karkeasti kahteen pääryhmään [25, 9]. Kahden elektrodin menetelmässä syöttö ja mittaus suoritetaan samoilta elektrodeilta. Neljän elektrodin menetelmässä virtaa syötetään joistain elektrodeista ja syntyvät jännitteet mitataan muilta elektrodeilta. Neljän elektrodin menetelmässä saadaan kohteen ja elektrodin välille muodostuva kontakti-impedanssi minimoitua, kun jännitemittauksia ei tehdä virtaa syöttävistä elektrodeista. Mittaustapahtumaa kuvaavien matemaattisten mallien avulla saadaan yhteys mitattujen jännitteiden, syötettyjen virtojen, sisäisten lähdevirtojen ja impedanssijakauman välille [25, 5, 6, 22, 4]. Tällä hetkellä paras käytettävissä oleva malli on niin sanottu täydellinen elektrodimalli, joka ottaa huomioon sekä kohteen pinnalla olevat elektrodit että kontaktiimpedanssit. 24

3.. Elektrodimallit Tarkastellaan sähkömagneettisten kenttien käyttäytymistä väliaineessa lähtien Maxwellin yhtälöistä E = B t (3.) H = J + D t, (3.2) missä E on sähkökentän voimakkuus, H on magneettikentän voimakkuus, B on magneettivuon tiheys ja J on virtatiheys. Oletetaan lisäksi, että väliaine on lineaarinen ja isotrooppinen, jolloin on voimassa D = ɛe (3.3) B = µh (3.4) J = σe, (3.5) missä ɛ on permittiivisyys, µ on permeabiliteetti ja σ on ominaisjohtokyky eli konduktiivisuus, jotka kaikki ovat riippuvaisia käytetystä taajuudesta ω. Isotrooppisuus tarkoittaa sitä, että virran voimakkuus ei ole riippuvainen tarkastelusuunnasta. Jaetaan J kahteen eri komponenttiin J = J o + J s, missä J o = σe on ns. ohminen virta ja J s on kohteeseen syötetty virtatiheys (lähdevirta). Jos syötetyt virrat ovat harmonisia taajuudella ω (J s = J s e iωt ), ovat sähkö- ja magneettikentät muotoa Tällöin yhtälöt (3.) ja (3.2) saadaan muotoon tai edelleen E = Ẽeiωt, B = Be iωt. (3.6) E = iωb (3.7) H = J o + J s + iωɛe, (3.8) E = iωµh (3.9) H = (σ + iωɛ)e + J s. (3.) Ottamalla divergenssi puolittain yhtälöstä (3.) saadaan (σ + iωɛ)e = J s. (3.) Oletetaan, että tarkastellaan staattista tilannetta, jolloin yhtälöiden (3.) ja (3.2) aikaderivaatat ovat nollia. Koska EIT:ssä käytetyt taajuudet ovat 25

luokkaa 2 khz, voidaan magneettinen induktio olettaa merkityksettömäksi. Näillä oletuksilla yhtälön (3.) perusteella on olemassa sähköinen potentiaali u siten, että [25] E = u. (3.2) Yhtälö (3.) saadaan nyt muotoon (σ + iωɛ) u = J s. (3.3) Oletetaan vielä kapasitiiviset vaikutukset merkityksettömiksi (iωɛe yhtälössä (3.)), jolloin ongelmaa kuvaavaksi yhtälöksi saadaan approksimaatio (σ u) = I v, r Ω. (3.4) Tämä on sähkönjohtumista kuvaava Poisson-yhtälö. I v = J s on kohteen sisällä oleva lähdevirtajakauma, missä alaindeksi v viittaa virtaan tilavuusyksikköä kohden. Mittauksissa kohteeseen syötetään virtaa pinnalla olevien elektrodien kautta. Nämä virrat synnyttävät pintaan virtatiheyden, jonka sisäänpäin osoittavan normaalin suuntaista komponenttia merkitään j:llä. Tilannetta kuvaavaksi reunaehdoksi voidaan asettaa [4, 25] σ u ν = j, r Ω. (3.5) Jos j valitaan jatkuvaksi funktioksi, muodostavat yhtälöt (3.4) ja (3.5) niin sanotun jatkuvan mallin. Kyseinen malli on matemaattisesti yksinkertainen, mutta epätarkka. Todellisuudessa virtaa syötetään kohteeseen elektrodien avulla, joten asetetaan j vakioksi elektrodien kohdalla ja nollaksi elektrodien välissä, eli j = { Il / e l elektrodilla e l, l =, 2,..., L elektrodien välissä, (3.6) missä e l on elektrodin pinta-ala. Yhtälöt (3.4-3.6) muodostavat ns. diskreetin mallin. Otetaan vielä huomioon oikosulkuefekti olettamalla elektrodi täydelliseksi johteeksi, jolloin potentiaali elektrodin kohdalla on vakio. u = U l elektrodilla e l, l =, 2,..., L, (3.7) missä vakiot U l ovat mitatut jännitteet eli suoran ongelman ratkaisu. Oikosulkuefekti syntyy, kun metalliset elektrodit muodostavat virralle matalavastuksisen tien, jolloin osa virrasta kulkee kohteen pintaa pitkin ja kohteen 26

sisälle saadaan pienempi virtatiheys. Lisäksi, koska j:tä ei tiedetä tarkasti, muutetaan reunaehtoa (3.5) seuraavasti σ u e l ν ds = I l, l =, 2,..., L (3.8) σ u ν =, elektrodien välissä. (3.9) Yhtälöistä (3.4), (3.7), (3.8) ja (3.9) muodostuvaa mallia kutsutaan oikosulkumalliksi. Malli ei huomioi kohteen pinnan ja elektrodin välille muodostuvaa kontakti-impedanssia z l. Kun lisätään yhtälöön (3.7) kontakti-impedanssin huomioiva tekijä saadaan täydellinen elektrodimalli, joka koostuu seuraavista yhtälöistä [25, 5, 6, 22, 4] (σ u) = I v, r Ω (3.2) u + z l σ u = U l, r e l, l =, 2,..., L (3.2) ν σ u e l ν ds = I l, r e l, l =, 2,..., L (3.22) σ u ν =, r Ω\ Lisätään malliin vielä varauksen säilymislaki L e l. (3.23) l= L I l =, (3.24) l= joka takaa ratkaisun olemassaolon, sekä maapotentiaalin määritelmä L U l =, (3.25) l= joka takaa ratkaisun yksikäsitteisyyden. Täydellisen mallin antamat jännitearvot vastaavat hyvin kokeellisia arvoja. Tarkimmillaan mallilla voidaan ennustaa mitatut jännitteet.% tarkkuudella [22]. 3.2 EIT:n suoran ongelman ratkaisu BEM:llä käytettäessä sisäisiä virtalähteitä Tarkastellaan EIT:n suoran ongelman ratkaisua kahdessa ja kolmessa dimensiossa käytettäessä sisäisiä pistelähteitä. Suoran ongelman ratkaisuna saa- 27

daan syntyvät jännitteet elektrodeilla, kun syötetyt virrat ja kohteen impedanssijakauma tunnetaan. Tomografiakuvan eli EIT:n käänteisen ongelman ratkaisu edellyttää aina vastaavan suoran ongelman ratkaisemista. Sisäisiä virtalähteitä käytettäessä kuvaa ongelmaa Poisson-yhtälö (σ u) = I v, r Ω, (3.26) missä lähdetermi on muotoa I v = L l= P lδ(r r l ) yhtälön (2.42) mukaisesti. Koska BEM:iä käytettäessä ratkaisu formuloidaan homogeeniselle alueelle ja paloittain homogeeninen alue käsitellään kappaleessa 2.3 esitetyllä tavalla, voidaan ominaisjohtokyky σ olettaa vakioksi. Tällöin yhtälö (3.26) saadaan muotoon σ 2 u = I v, r Ω. (3.27) Asetetaan reunaehdoksi [] σ u ν = j, r Ω, (3.28) missä j on syötetty virtatiheys alueen pinnalla Ω. Käytetään ns. diskreettiä elektrodimallia, jolloin reunaehto diskretoidaan yhtälön (3.6) mukaisesti. Tällöin virtatiheys on vakio elektrodin pinnalla ja nolla elektrodien välissä. Lisäksi pitää olla voimassa varauksen säilymislaki (3.24) ja maapotentiaalin määritelmä (3.25), jotta ratkaisu olisi yksikäsitteisesti olemassa. 3.2. Suoran ongelman ratkaisu 2D:ssa Kahdessa dimensiossa Ω = Γ on tarkasteltavan alueen Ω reunakäyrä ja r = (x, y). EIT:n suoran ongelman ratkaisu reunaelementtimenetelmällä lähtee liikkeelle johtamalla yhtälölle (3.27) variationaalimuoto reunaehdolla (3.28). Yhtälö kerrotaan puolittain testifunktiolla ja integroidaan tarkastelualueen yli. Testifunktioksi valitaan alkuperäisen yhtälön perusratkaisu eli Greenin funktio. Ratkaisun formulointi 2D:ssa etenee kappaleen 2.2 mukaisesti, kun otetaan huomioon yhtälössä (3.27) ja reunaehdossa (3.28) mukana oleva ominaisjohtokyky σ, joka oletettiin vakioksi. Ratkaisulle saadaan yhtälön (2.36) mukaisesti c k σu(r k ) + 2π missä kerroin c k on yhtälön (2.37) mukainen. Γ j ln r r k dγ σ u (r r k) ν 2π Γ L 28 = 2π l= r r k 2 dγ P l ln r l r k, (3.29)

Kun saatu integraaliyhtälö diskretoidaan alueen reunalla lineaarisiin reunaelementteihin kappaleen 2.2.2 mukaisesti, saadaan ratkaisulle kirjoitettua diskreetti approksimaatio matriisimuodossa missä Γ m φ m Hβ = Gγ + B, (3.3) H = H diag(σ(2π α)) (3.3) ( ) (r r k ) ν (r r k ) ν H(k, m) = σ dγ + dγ,(3.32) r r k 2 r r k 2 G(k, m) = B(k) = φ m 2 Γ m k, m =,..., M φ m ln r r k dγ + Γ m φ m 2 ln r r k dγ, Γ m (3.33) k, m =,..., M L P l ln r l r k, r l r k k =,..., M (3.34) l= β = (β, β 2,..., β M ) T (3.35) γ = (γ, γ 2,..., γ M ) T. (3.36) Nyt β sisältää potentiaalit ja γ syötetyt vuot diskreetin hilan solmupisteissä. Ratkaisulle β saadaan β = H (Gγ + B). (3.37) Tarkasteltaessa paloittain homogeenista aluetta kappaleen 2.3 mukaisesti saadaan suoran ongelman ratkaisuna potentiaalin β ja vuon γ arvot ulkoreunan solmupisteiden lisäksi myös sisäreunojen (tarkastelualueen sisäisten epähomogeenisuuksien reunakäyrät) solmupisteissä. Kun potentiaalin ja vuon arvot alueen reunan solmupisteissä tunnetaan, voidaan laskea potentiaalin arvoja halutuissa pisteissä alueen sisällä. Tarkastellaan potentiaalin laskemista mielivaltaisessa pisteessä r k Ω, jolloin yhtälössä (3.29) kerroin c k =. Jakamalla (3.29) puolittain σ:lla ja järjestelemällä termejä saadaan u(r k ) = 2π ( u (r r k) ν dγ Γ r r k 2 σ Γ j ln r r k dγ σ ) L P l ln r l r k. (3.38) Kun saatu yhtälö diskretoidaan alueen reunalla lineaarisiin reunaelementteihin, saadaan diskreetti approksimaatio, joka voidaan kirjoittaa yhtälöiden l= 29

(3.32 3.36) merkintöjä käyttäen muodossa ( u(r k ) = M ) M H(k, m)β m G(k, m)γ m B(k), r k Ω. (3.39) 2πσ m= m= Saadun yhtälön mukaisesti voidaan laskea potentiaaleja halutuissa pisteissä alueen sisällä eli ratkaista potentiaalijakauma. Paloittain homogeenisen alueen tapauksessa yhtälössä (3.38) tarvitsee integroida vain sen homogeenisen osa-alueen reunojen yli, missä piste r k sijaitsee. Tarkastellaan seuraavaksi yhtälöissä (3.32) ja (3.33) esiintyvien integraalien numeerista laskemista. 3.2.2 Integrointi elementin yli Tarkastellaan integrointia elementin yli lineaaristen elementtien tapauksessa. Vakioelementeille tarkastelu olisi vielä yksinkertaisempi. Elementin yli integrointeja tarvitaan kaavoissa (3.32) ja (3.33). Merkitään φ i :llä peruselementin kantafunktioita ja φ m i :llä globaalin elementin kantafunktioita sekä ξ:llä peruselementin pisteitä ja (x, y):llä globaalin elementin pisteitä. Tarkoituksena on kuvata peruselementti globaaliksi elementiksi kuvan 3. mukaisesti. N O B B. N / N / N N O Kuva 3.: Peruselementin Γ kuvaus globaaliksi elementiksi Γ m. φ ja φ 2 ovat peruselementin lineaariset kantafunktiot. Kuvaus F on elementtikohtainen ja se voidaan valita siten, että [24] 2 F (ξ) = φ i (ξ)(x i, y i ). (3.4) i= F on diffeomorfismi Γ Γ m, φ i (ξ) on peruselementin i:s kantafunktio ja (x i, y i ) on globaalin elementin i:s solmupiste. Tällöin kuvaukselle F pätee φ i (ξ) = (φ m i F )(ξ). (3.4) 3

Valitaan peruselementiksi väli [, ], jolloin peruselementin lineaariset kantafunktiot ovat muotoa [3] Kuvaukselle F saadaan φ = 2 ( ξ), φ 2 = ( + ξ). (3.42) 2 F (ξ) = 2 ( ξ)(x, y ) + 2 ( + ξ)(x 2, y 2 ) ( x2 x = ξ + x + x 2 2 2, y 2 y ξ + y + y 2 2 2 ). (3.43) Tarvittavien integraalien laskemiseen voidaan käyttää polkuintegraalikaavaa [] g(x, y) dγ = (g F )(ξ) F (ξ) dξ, (3.44) Γ missä F (ξ) on F (ξ):n derivaatta ξ:n suhteen. Tämän normille saadaan (x2 ) 2 ( ) 2 F x y2 y (ξ) = + = F. (3.45) 2 2 Yhtälöissä (3.32) ja (3.33) esiintyvät integraalit saadaan laskettua seuraavasti φ m i g(x, y) dγ = ((φ m i g) F )(ξ) F (ξ) dξ Γ m = = F (φ m i F )(ξ)(g F )(ξ) F (ξ) dξ φ i (ξ)(g F )(ξ) dξ, (3.46) joka saadaan laskettua numeerisesti käyttämällä Gaussin quadratuuria [9] ĝ(ξ) dξ N w i ĝ(ξ i ), (3.47) missä w i on Gaussin pistettä ξ i vastaava painokerroin. Tarvittavat Gaussin pisteet ja painokertoimet on esitetty taulukossa 3.. Yhtälöiden (3.32) ja (3.33) mukaiset matriisien H ja G alkiot lasketaan numeerisesti käyttäen Gaussin quadratuuria. Matriisin G alkioiden laskennassa havaitaan singulariteetti, kun r r k. Tämä ei kuitenkaan vaikuta merkittävästi integrointitarkkuuteen, koska evaluointipisteinä ei käytetä elementin päätepisteitä. Vastaavasti matriisin H alkioiden laskennassa havaitaan i= 3

Taulukko 3.: Yhtälön (3.47) mukaisten integraalien laskemiseen tarvittavat Gaussin pisteet ξ i ja painokertoimet w i. N on käytettävien pisteiden lukumäärä. N ξ i w i 2 2 ±/ 3 3 8/9 ± 3/5 5/9 4 ±.86363.34785485 ±.339984.652455 5.56888888 ±.5384693.47862867 ±.967985.23692689 6 ±.238699.4679393 ±.662939.367657 ±.9324695.732449 7.479598 ±.458455.38835 ±.74539.2797539 ±.94979.2948497 seuraavaa. Jos piste r k on jompikumpi integroitavan elementin solmuista, on (r r k ) kohtisuorassa yksikkönormaalia ν vastaan, ja näin ollen (r r k ) ν =, eli integraali häviää. Tästä syystä H:n diagonaalialkiot ovat nollia, ja matriisin H k:s diagonaalialkio on H(k, k) = σ(2π α k ), k, (3.48) missä α k on solmupisteestä r k ulospäin avautuva kulma. Käytännön tilanteissa kulman α k laskeminen kaikille solmupisteille r k on usein laskennallisesti työlästä. Varsinkin kolmessa dimensiossa avaruuskulmien määrääminen saattaa osoittautua hyvinkin hankalaksi. Tästä syystä matriisin H diagonaalialkion arviointiin on kehitelty erilaisia menetelmiä. Joitain menetelmiä ja niiden vaikutusta ratkaisun tarkkuuteen on pohdittu artikkeleissa [6, 5]. Esitetään seuraavaksi eräs yksinkertainen tapa laskea H:n diagonaalial- 32

kiot [9, 3]. BEM-yhtälö saatiin matriisimuotoon Hβ = Gγ + B, (3.49) missä H ja G matriisien alkiot eivät ole millään lailla riippuvaisia reunaarvoista, vaan riippuvat ainoastaan geometriasta. Ajatellaan tilanne, jossa potentiaali β on vakio a koko reunalla ja sisäisiä virtalähteitä ei ole (B = ). Tällöin potentiaali on vakio koko tarkastelualueessa. Tämä vastaa tasapainotilannetta, jolloin vuo γ on nolla koko reunalla. Nyt siis a H ạ. = G. a =.. (3.5) Tämän perusteella jokaisen H:n rivin summan tulee olla nolla, joten diagonaalialkio voidaan laskea yhtälöstä H(k, k) = M m= m k H(k, m), k. (3.5) Yhtälö (3.5) antaa hyvin yksinkertaisen tavan laskea H:n diagonaalialkiot, kun muut alkiot on ensin laskettu. Joissain tapauksissa matriisilla H ei ole olemassa käänteismatriisia tai käänteismatriisi on olemassa, mutta yhtälöstä (3.37) saatavat ratkaisut ovat epätarkkoja. Ratkaisu saadaan yksikäsitteiseksi määrittelemällä maapotentiaali seuraavasti. Ratkaistava matriisiyhtälö on muotoa h h 2... h M h 2 h 22... h 2M...... h M h M2... h MM β β 2. β M = b b 2. b M, (3.52) missä h km :t ovat matriisin H alkioita ja b k :t ovat yhtälön (3.3) oikeasta puolesta muodostuvan tunnetun vektorin alkioita. Edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa β h h 2. h M + β 2 h 2 h 22. h M2 +... + β M 33 h M h 2M. h MM = b b 2. b M. (3.53)

Oletetaan, että tiedetään jännitteen arvo ensimmäisessä solmupisteessä β =. Tällöin yhtälön (3.53) mukaisesti matriisin H ensimmäinen sarake häviää. Eliminoimalla tunnettua referenssipistettä vastaava rivi yhtälöstä (3.52) saadaan h 22... h 2M β 2 b 2...... =., (3.54) h M2... h MM b M jonka ratkaisu on yksikäsitteinen. Vastaavalla menettelyllä voidaan kiinnittää mikä tahansa solmu referenssipisteeksi. β M 3.2.3 Suoran ongelman ratkaisu 3D:ssa Kolmessa dimensiossa Ω = S on tilavuutta Ω rajoittava pinta ja r = (x, y, z). Variationaalimuodon formulointi yhtälölle (3.27) lähtee liikkeelle kuten 2D:ssa. Testifunktioksi valitaan jälleen Laplace-operaattorin Greenin funktio, joka R 3 :ssa ilman reunaehtoja on muotoa [9] v k = 4π r r k. (3.55) Greenin funktion normaalin suuntaiselle derivaatalle saadaan v k ν = v k ν = (r r k ) ν 4π r r k. (3.56) 3 Nyt yhtälön (2.25) mukaisesti saadaan ratkaisulle kirjoitettua sisäisiä pistelähteitä käytettäessä j σu(r k ) S 4π r r k ds σ u (r r k ) ν ds S 4π r r k 3 = L P l 4π r l r k, (3.57) joka on voimassa kun piste r k Ω. Yhtälöä pitää vielä modifioida, jotta se olisi voimassa myös kun r k S. Tarkastellaan, miten yhtälölle käy, kun piste r k on pinnalla S. Olkoon r k alueen pinnalla. Ajatellaan pinnalle pieni lisäpinta S ε (pallopinta, jonka keskipiste on r k ja säde ε) kuvan 3.2 mukaisesti, jolloin r k jää alueen sisään. Yhtälön (3.57) vasemman puolen integraalien tarkastelut suoritetaan kuten 2D:ssa. Havaitaan, että ensimmäiseen integraaliin ei pisteen l= 34

5 H 5 5 Kuva 3.2: Reunan muutos kolmessa dimensiossa tarkasteltaessa reunalla olevaa pistettä r k. S ε on se pinnan S osa, joka jää pallopinnan S ε sisään. r k sijainnilla ole vaikutusta [3]. Tarkastellaan jälkimmäistä integraalia, josta saadaan S u (r r k ) ν ds = lim 4π r r k 3 ε S ε + lim ε S S ε u (r r k ) ν 4π u 4π ds r r k 3 (r r k ) ν ds. (3.58) r r k 3 Havaitaan, että näistä jälkimmäinen termi palautuu alkuperäiseksi integraaliksi, joten tarkastellaan ensimmäistä termiä. Differentiaalinen pinta-alkio pinnalla S ε on muotoa ds = ε 2 dω. Lisäksi pisteessä r S ε on r r k = ε ja (r r k ) ν = ε (vrt 2D tapaus), joten ensimmäisestä integraalista saadaan lim ε S ε u (r r k ) ν ds = lim 4π r r k 3 ε Ω k u 4π ε ε 3 ε2 dω = lim ε Ω k u dω, (3.59) 4π missä Ω k on pisteestä r k ulospäin avautuva avaruuskulma. Olkoon r k monitahokkaan kulmapiste, jolloin kulma Ω k ei riipu ε:sta. Tällöin rajankäynti voidaan viedä integraalin sisään, jolloin u u(r k ), kun ε, saadaan u(r k ) 4π Ω k dω = Ω k u(r k ) 4π. (3.6) Jos piste r k on sileällä pinnalla saadaan integraalista (3.59) u(r k )/2 [3]. Nyt voidaan kirjoittaa lopullinen ratkaisu Poisson-yhtälölle 3D:ssa, joka on voimassa pisteen r k sijainnista riippumatta 35

c k σu(r k ) 4π S j r r k ds σ u (r r k) ν 4π S L = 4π l= r r k 3 ds P l r l r k, (3.6) missä, r k Ω c k = /2, r k sileällä pinnalla Ω k /(4π), r k monitahokkaan kulmapiste. (3.62) Seuraavaksi diskretoidaan saatu integraaliyhtälö alueen pinnalla jakamalla pinta S äärelliseen määrään kolmioelementtejä kuvan 3.3 mukaisesti. Oletetaan ratkaisun ja reunaehdon käyttäytyvän lineaarisesti kussakin elementissä. Solmupisteet sijoitetaan kolmion kärkipisteisiin, jolloinkukin elementti sisältää kolme solmupistettä. Merkitään valitun hilan solmupisteitä r n :llä (n =,..., N) ja elementtejä S m :llä (m =,..., M). Esitetään ratkaisun ja vuon approksimaatiot valitun lineaarisen kantajoukon avulla muodossa u(r) j(r) N β n φ n (r) (3.63) n= N γ n φ n (r), (3.64) n= missä φ n (r) on solmupisteeseen r n liittyvä lineaarinen kantafunktio, β n on ratkaisun arvo solmupisteessä r n ja γ n on vuon arvo solmupisteessä r n. Solmuun r n liittyvä kantafunktio valitaan siten, että se saa arvon kyseisessä solmussa ja arvon muissa solmuissa. Merkitään ratkaisua k:nnessa solmupisteessä β k :lla. Sijoitetaan yhtälöön (3.6) c k = Ω k /(4π) ja kerrotaan puolittain 4π:llä. Tällöin ratkaisulle saadaan diskreetti approksimaatio solmupisteessä r k N σ(4π Ω k )β k + β n σ φ n (r) (r r k) ν ds n= S r r k 3 N = γ n φ n (r) n= S r r k ds L l= P l r l r k. (3.65) 36

Kuva 3.3: Sylinterimäisen kappaleen pinnan diskretointi kolmioelementteihin. Kiinnittämällä edellisessä yhtälössä kaikki solmupisteet r k vuorollaan saadaan yhtälöryhmä, joka voidaan kirjoittaa matriisimuodossa diag(σ(4π Ω))β + Hβ = Gγ B (3.66) Hβ = Gγ B, (3.67) missä Ω = (Ω, Ω 2,..., Ω N ) T ja diag(σ(4π Ω)) on N N diagonaalimatriisi, jonka k:s diagonaalialkio on σ(4π Ω k ). Matriisi H = H diag(σ(4π Ω)) ja H(k, n) = σ φ n (r) (r r k) ν ds, k, n =,..., N (3.68) S r r k 3 G(k, n) = φ n (r) ds, k, n =,..., N (3.69) r r k B(k) = S L l= P l r l r k, r l r k, k =,..., N (3.7) β = (β, β 2,..., β N ) T (3.7) γ = (γ, γ 2,..., γ N ) T. (3.72) Matriisien H ja G alkioiden laskeminen 3D:ssa onkin jo hieman hankalampaa. Näiden alkioiden laskennassa havaitaan seuraavaa. Ominaisuuksiensa mukaisesti kantafunktio φ n (r) on nollasta poikkeava ainoastaan solmupistettä r n ympäröivien kolmioelementtien alueella. Tästä syystä yhtälöissä (3.68-3.69) olevat pintaintegraalit palautuvat pistettä r n ympäröivien kolmioiden yli laskettujen integraalien summaksi. 37

. Yhtälöstä (3.67) saadaan ratkaistua potentiaalit β reunan solmupisteissä. Kun reunaehdot (potentiaali β ja vuo γ) alueen reunalla tunnetaan, voidaan laskea potentiaali mielivaltaisessa pisteessä r k alueen sisällä. Kuten 2D:ssa, saadaan yhtälöstä (3.6) potentiaalille sisäpisteessä u(r k ) = 4πσ ( N H(k, n)β n + n= ) N G(k, n)γ n + B(k), r k Ω, (3.73) n= missä H(k, n), G(k, n) ja B(k) ovat yhtälöiden (3.68 3.7) mukaisia. 3.2.4 Kolmion yli integrointi Tarkastellaan integrointia kolmioelementin yli lineaaristen elementtien tapauksessa. Kolmion yli integrointia tarvitaan yhtälöiden (3.68) ja (3.69) integraalien laskemisessa. Merkitään φ i :llä peruselementin S kantafunktioita ja φ m i :llä globaalin elementin S m kantafunktioita sekä (ξ, η):lla peruselementin pisteitä ja (x, y, z):lla globaalin elementin pisteitä. Valitaan peruselementiksi kolmio jonka kärkipisteet ovat (,), (,) ja (,). Pyritään kuvaamaan peruselementti globaaliksi elementiksi kuvan 3.4 mukaisesti. Kuvaus F on D N O N! O!! 5 5 N N O Kuva 3.4: Peruselementin S kuvaus globaaliksi elementiksi S m kolmessa dimensiossa. elementtikohtainen, ja se voidaan valita siten, että [24] 3 F (ξ, η) = φ i (ξ, η)(x i, y i, z i ), (3.74) i= missä F on diffeomorfismi F : (ξ, η) (x, y, z), φ i (ξ, η) on peruselementin S i:s kantafunktio ja (x i, y i, z i ) on globaalin elementin S m i:s solmupiste. Tällöin kuvaukselle F pätee φ i (ξ, η) = (φ m i F )(ξ, η). (3.75) 38