Sovelletun fysiikan laitos Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 1
|
|
- Vilho Petri Laine
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Marko Vauhkonen Kuopion yliopisto Sovelletun fysiikan laitos Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 1
2 Sisältö Mallintamisesta mallien käyttötarkoituksia (suora ja epäsuora) Estimointiteoriaa havaintomalli mallin parametrien estimointia lineaarinen ja epälineaarinen tilanne huonosti asetettu ongelma Impedanssitomografia ongelman kuvaus tilannetta kuvaava matemaattinen malli mallin ratkaiseminen (suora ongelma) tomografiakuvan ratkaiseminen (käänteisongelma) sovelluksia tuloksia Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 2
3 Matemaattiset mallit ja niiden soveltaminen Matemaattisia malleja sovelletaan useilla eri tieteenaloilla, useisiin eri tilanteisiin ja ongelmiiin Tutkittavasta tilanteesta tehdyn mallin avulla voidaan tietokoneella simuloida todellista tilannetta (kokeen korvike) Jatkossa tarkastellaan fysikaalisia malleja, joissa lähtökohtana on fysiikan lait. Usein ODY:ä Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 3
4 Mallien suora käyttö Usein matemaattisia malleja sovelletaan tutkittaessa mallitettavan kohteen käyttäytymistä eri tilanteissa, erilaisilla parametreilla ja reunaehdoilla Testataan mitä jos -tilanteita Esimerkiksi Kolarisimulaattorilla voidaan testata erilaisa törmäysnopeuksia, törmäyssuuntia, runkorakenteita ja -vahvuuksia yms. Sekoittimen virtauslaskentamallilla voidaan testata erilaisia sekoittimen lapoja, haittalevyjen tai sekoituskammion muotoja, yms. Pään sähkökenttälaskentaan tehdyn mallin avulla voidaan testata mm. johtokyvyn muutosten vaikutusta virran kulkuun Näissä tilanteissa malli (suora ongelma) ratkaistaan käyttän siihen soveltuvaa ohjelmistoa Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 4
5 Mallien epäsuora käyttö, optimointi Malleja hyödynnetään optimoitaessa esim. mallitettavan kappaleen jotakin ominaisuutta tai mallin jotakin reunaehtoa Esimerkiksi Purjeveneen runkomuodon optimointi (kestävä, kevyt, nopea + rajoitukset pituus, paino) Sädehoidon annossuunnittelussa optimoidaan säteilykenttien suunnat ja voimakkuudet parhaan hoitovasteen saavuttamiseksi Näissä minimoidaan (maksimoidaan) jotakin kriteeriä tietyin rajoituksin Mallin parametrejä muutetaan sopivaan suuntaan, jotta optimi saavutettaisiin Kunkin muutoksen jälkeen malli joudutaan ratkaisemaan uusilla parametrien arvoilla. Iteraatiota jatketaan, kunnes optimi saavutetaan Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 5
6 Mallien epäsuora käyttö, parametrien estimointi Mallien suora soveltaminen ja optimointi voidaan tehdä puhtaasti tietokonetta hyödyntäen Mallin parametrejä (kohteen fysikaalisia ominaisuuksia) estimoitaessa tutkittavasta kohteesta tehdään havaintoja Havaintojen ja mallin avulla pyritään laskemaan arvio, estimaatti, mallin jollekin tuntemattomalle parametrille Esim. keskinopeuden v estimointi. Nopeutta hankala mitata suoraan. Mitataan tiettyyn matkaan s (säädettävä muuttuja) käytetty aika t (havainto). Malli on muotoa t = 1 v s (1) josta saadaan (yksi mittaus) ˆv = s t (2) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 6
7 Mallien epäsuora käyttö, parametrien estimointi Esim. jousivaa an jousivakion k määrittäminen. Malli (approksimatiivinen) on muotoa F = kx (3) missä F on jousen venyttämiseen käytetty voima ja x on poikkeama tasapainoasemasta Venymien x ja tunnettujen voimien F avulla pyritään ratkaisemaan jousivakio k (useita mittauksia, eri F ) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 7
8 Mallien epäsuora käyttö, parametrien estimointi Esim. pään sisäisen virtalähteen I paikantaminen EEG-mittausten perusteella (dipoliestimointi). Tähän liittyvä malli on muotoa σ u = I, kohteessa (4) σ u n u = U l, elektrodeilla (5) = 0, kohteen reunalla (6) missä u on potentiaali, σ on sähkönjohtavuus ja n on pinnan yksikkönormaali Pään pinnalta mitattujen jännitteiden Ul (σ oletetaan tunnetuksi) avulla pyritään estimoimaan virtalähdettä I Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 8
9 Parametrien estimoinnista Parametriestimoinnissa tarvitaan siis aina kohteesta tehtyjä mittauksia, havaintoja (tietysti nämäkin voi simuloida...) Mittauksia suoritetaan useita, erilaisilla säädettävien muuttujien arvoilla (mahd. myös toistomittauksia) Esim. jousivakioesimerkissä tuntematonta jousta venytetään tunnetuilla painoilla F j. Kirjoitetaan edellä esitetty malli muotoon x j = F j 1 k (7) ja merkitään k = 1/k ja lisätän malliin vielä dummy vakio c, jolloin saadaan x j = F j k + c (8) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 9
10 ja edelleen x 1 = F 1 k + c (9) x 2 = F 2 k + c (10).. (11) Tämä voidaan kirjoittaa edelleen matriisimuotoon x 1 x 2.. x N = F 1 1 F F N 1 ( k c ) (12) jolloin ns. havaintomalli on muotoa x = F b (13) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 10
11 Havaintomalli Yleisesti (diskreetti) havaintomalli on muotoa z = h(θ, x, v) (14) missä z=havainnot θ= tuntemattomat (estimoitavat) parametrit x = säädettävät (tunnetut) muuttujat v = virhe (kohina) Usein havaintomalli on additiivinen kohinan suhteen z = h(θ, x) + v (15) ja edelleen, jos malli on lineaarinen parametrien θ suhteen z = H(x)θ + v (16) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 11
12 Jatkossa merkitään (epälineaarinen tilanne) tai lineaarisessa tapauksessa z = h(θ) + v (17) z = Hθ + v, z R N, H R N M, θ R M, v R N (18) Usein on myös tilanteita, jossa malli on lineaarinen säädettävien (tunnettujen) muuttujien suhteen, mutta epälineaarinen estimoitavien parametrien suhteen, jolloin z = H(θ)x + v (19) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 12
13 Estimointiteoriaa, lineaarinen tilanne Estimointiteoria käsittelee parametriestimointia huomioimalla suureiden θ, v ja z todennäköisyysjakaumat Tässä tarkastelussa keskitytään PNS-estimointiin (Pienimmän NeliöSumman), jossa θ, v ja z ovat deterministisiä Tehtävänä on siis laskea estimaatti parametrille θ kun z on mitattu PNS-mielessä tämä tapahtuu siten, että ratkaistaan minimointiongelma Ratkaisu on helppo löytää normaaliyhtälöiden min θ z Hθ 2 2 (20) H T (Hθ z) = 0 (21) avulla, josta saadaan PNS-estimaatti (jos (H T H) 1 olemassa) ˆθ = (H T H) 1 H T z (22) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 13
14 Epälineaarinen estimointi Epälineaarisessa PNS-estimoinnissa minimoidaan, kuten lineaarisessa tapauksessa funktionaalia Φ = z h(θ) 2 2 (23) Ratkaisussa joudutaan käyttämään iteratiivisia menetelmiä, esim. Gauss-Newton -menetelmää Ratkaisuksi saadaan tällöin ˆθ i+1 = ˆθ i + (J T i J i ) 1 (J T i (z h(ˆθ i )) (24) missä J i on kuvauksen h(θ) Jacobin matriisi Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 14
15 Jacobin matriisi Jacobin matriisi on muotoa h 1 h 1 θ 1 θ 2 h 1 θ M h 2 h 2 θ 1 θ 2 h 2 θ M..... RN M (25) h N θ 1 h N θ 2 h N θ M Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 15
16 Huonosti asetetut (ill-posed) ongelmat Useat käytännön estimointiongelmat ovat niin sanottuja huonosti asetettuja (ill-posed) Tällaisten ongelmien erityispiirteitä ovat Ratkaisu ei ole yksikäsitteinen Pienet muutokset havainnoissa saattavat aiheuttaa suuria muutoksia estimoiduissa parametreissä (herkkä mallin ja havaintojen virheille) Havaintomatriisin H (tai Jacobin) singulaariarvot lähestyvät vähitellen nollaa Suurimman ja pienimmän singulaariarvon suhde on suuri Lääkkeenä tällaisiin ongelmiin on korvata huonosti asetettu ongelma lähellä olevalla hyvin asetetulla ongelmalla. Tällöin puhutaan ongelman regularisoinnista Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 16
17 Tikhonov-regularisoidut ratkaisut Lineaarisessa, huonosti asetetussa ongelmassa edellä esitetty minimointi korvataan lausekkeella min θ { z Hθ 2 + α 2 Lθ 2} (26) missä L on ns. regularisointimatriisi ja α regularisointiparametri. Tämän ratkaisu on muotoa ˆθ = (H T H + α 2 L T L) 1 H T z (27) Epälineaarisessa tilanteessa minimoidaan vastaavanlaista lauseketta ja Gauss-Newton ratkaisu on muotoa ˆθ i+1 = ˆθ i + (J T i J i + α 2 L T L) 1 (J T i (z h(ˆθ i )) α 2 L T Lˆθ i ) (28) Edelliset ovat vain esimerkkejä mahdollisista ratkaisuista. Regularisointiteoria on laaja ja paljon tutkittu Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 17
18 Impedanssitomografia Impedanssitomografia (Electrical Impedance Tomography, EIT) on matemaattisessa mielessä epälineaarinen huonosti asetettu parametriestimointiongelma (käänteisongelma) EIT:ssä tavoitteena on laskea arvio tutkittavan kohteen sähkönjohtavuusjakaumalle ( impedanssijakauma ) Kohteena voi olla esim. ihmisen rintakehä, pää, teollisuuden virtausputki tai maaperä Kohteen pinnalta tehdään mittauksia elektrodien avulla. Pinnalle asetettujen elektrodien kautta syötetään virtaa (säädettävä muuttuja, x) ja mitataan vastaavat jännitteet (havainnot, z) Näiden havaintojen avulla lasketaan estimaatti johtavuusjakaumalle Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 18
19 Impedanssitomografia, 3D-mittaus sylinterissä Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 19
20 Matemaattinen malli Ensimmäinen tehtävä on löytää malli estimoitavan suureen ja havaintojen välille Lähtökohtana ovat Maxwellin yhtälöt, jotka ovat (osa niistä) E = B t H = J + D t (29) (30) missä E on sähkökenttä, H magneettikenttä, B magneettivuon tiheys, D sähköinen siirtymä ja J on virtatiheys Käytetään muotoa E = Ẽeiωt, B = Be iωt (31) olevia kenttiä (taajuustaso, ω) ja oletetaan väliaine lineaariseksi ja isotrooppiseksi. Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 20
21 Tällöin saadaan E = iωµh (32) H = J + iωɛe (33) Jaetaan virtatiheys lähdevirtaan J s ja ohmiseen virtaan J o = σe, missä σ on kohteen johtavuusjakauma, eli J = J s + J o Nyt edellä olevat yhtälöt saadaan muotoon E = iωµh (34) H = (σ + iωɛ)e + J s (35) EIT:ssä tehdään vielä staattisuusoletus, jolloin sähkökenttä on muotoa missä u on sähköinen potentiaali E = u (36) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 21
22 Lisäksi kapasitiiviset efektit jätetään usein huomioimatta, jolloin saadaan E = u (37) H = σe + J s (38) Ottamalla nyt divergenssi yhtälöstä (38) (roottorin divergenssi = 0) ja sijoittamalla sitten (37) yhtälöön (38), saadaan joka on voimassa kohteen sisällä (σ u) = 0, x Ω (39) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 22
23 Jatkuva malli j(ζ) = C cos(kζ), (40) Matemaattisen mallintamisen jatkokurssi, 2002 Reunaehdot Mallista tulee järkevä vasta kun reunaehdot virralle (ja jännitteelle) on asetettu Reunaehdoista on useita versioita, ns. elektrodimalleja Gap-malli j = { Il e l x e l, l = 1, 2,..., L 0 x Ω/ L l=1 e l, (41) missä e l on elektrodin l pinta-ala ja I l on syötetty virta Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 23
24 Oikosulkumalli, syötevirta e l σ u ν ds = I l, x e l, l = 1, 2,..., L (42) ja elektrodin oikosulkuefekti kirjoitetaan muotoon u = U l, x e l, l = 1, 2,..., L, (43) missä U l on elektrodilta l mitattu jännite Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 24
25 Täydellinen elektrodimalli σ u = 0, x Ω (44) u + z l σ u ν = U l, x e l, l = 1, 2,..., L (45) e l σ u ν ds = I l, x e l, l = 1, 2,..., L (46) σ u ν = 0, x Ω \ L l=1e l, (47) missä z l on elektrodin l ns. efektiivinen kontakti-impedanssi Lisäksi tarvitsemme ehdot virralle ja jännitteelle L I l = 0 (48) l=1 L U l = 0 (49) l=1 Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 25
26 Mallin diskretointi ja ratkaisu elementtimenetelmällä, FEM Diskretointi järkevintä tehdä elementtimenetelmällä Variationaalimuoto (heikko muoto) B s ((u, U), (v, V )) = L I l V l (50) l=1 missä B s ((u, U), (v, V )) = Ω σ u v dx + L l=1 1 z l e l (u U l )(v V l ) ds (51) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 26
27 FEM-teorian mukaisesti, käyttämällä u:lle ja U:lle ratkaisuapproksimaatioita u h = N n i=1 α i ϕ i (52) ja U h = L 1 j=1 β j n j, (53) missä vektorit n j R L on valittu s.e. n 1 = (1, 1, 0,..., 0) T, n 2 = (1, 0, 1,..., 0) T,..., n L 1 = (1, 0,..., 1) T, saadaan diskreetti matriisiyhtälö Ab = f (54) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 27
28 Edellisessä b = (α, β) T R N n+l 1 ja datavektori f on f = ( 0 L l=1 I l(n j ) l ) = ( 0 C T I ) (55) missä 0 = (0,..., 0) T R N n ja C R L (L 1) on harva matriisi, muotoa C = (56) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 28
29 Matriisi A R (N n +L 1) (N n +L 1) on muotoa ( ) B C A = C T G (57) missä B i,j = C i,j = G i,j = Ω ( σ ϕ i ϕ j dx + 1 z 1 L l=1 e 1 ϕ i ds 1 z j+1 1 z l 1 i N n, 1 j L 1 L { 1 (n i ) l (n j ) l ds = z l e l l=1 1 i, j L 1. ϕ i ϕ j ds, 1 i, j N n, e l ) e j+1 ϕ i ds e 1 z 1 e 1, z 1, i j + e j+1 z j+1, i = j, Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 29
30 Diskretti malli estimoitavien parametrien σ, säädettävien suureiden I (syötetyt virrat) ja (mitattujen) jännitteiden U h välillä on muotoa U h = Cβ = C R h (σ, z)c T I = R h (σ, z)i, (58) missä R h (σ, z) on osa matriisin A käänteismatriisia Nyt siis tehtävänä on estimoida σ, kun Il kiinnitetään ja mitataan vastaavat jännitteet U l Havaintoja kerätään erilaisia (riippumattomia) virtakuvioita hyväksi käyttäen Yleisin tapa on syöttää kahden vierekkäisen elektrodin väliltä ja mitata lopuista vierekkäisistä (neljäelektrodisysteemi) Myös kaikkia elektrodeja voi käyttää virransyöttöön. Vaatii monimutkaisemman laitteiston ja kontakti-impedanssi on ongelmana Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 30
31 Johtavuusjakauman estimointi Merkintöjä. Mitattu jännitevektori, L elektrodia K erilaista virransyöttöä V = (V (1) 1,..., V (1) L,..., V (K) 1,..., V (K) L )T R KL. Vastaavasti lasketut jännitteet U(σ) = (U (1) 1 (σ),..., U (1) L (K) (σ),..., U 1 (σ),..., U (K) L (σ))t R KL, Kuten edellä johtavuusestimaatti voidaan ratkaista minimoimalla lauseketta Φ(σ) = V U(σ) 2 + α 2 R(σ σ ) 2, (59) missä R on regularisointimatriisi Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 31
32 Ratkaisua voi hakea esim. Gauss-Newton iteroinnilla σ i+1 = σ i + (J T i J i + α 2 R T R) 1 (J T i (V U(σ i )) α 2 R T R(σ i σ )) (60) Estimoinnissa σ on usein oletettu vakioksi kussakin FEM-elementissä. Se voi olla myös paloittain lineaarinen tai esitetty kokonaan eri kannassa, erilaisessa hilassa Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 32
33 Mahdollisia sovelluksia Ensimmäiset kokeilut geofysiikan ja lääketieteen alueelta, esimerkiksi Malmiesiintymien paikantaminen Maan sisään rakenettujen säiliöiden vuotojen paikantaminen Sydämen ja keuhkojen toiminnan kuvantaminen Rintasyövän havaitseminen Vatsan tyhjenemistutkimukset Pään johtavuusjakauman estimointi. Tarvitaan paikannettaessa virtalähteitä EEG:n avulla Viimevuosina teollisuudessa on kiinnostuttu prosessitomografiasta Ilmakuplien havaitseminen putkistoissa, esim. ydinvoimala Ilmajakauman ja -määrän arviointi sekoituskammioissa Mittarina prosessien säädössä Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 33
34 2D-hila ja epähomogeenisuus A structured, unconstrained mesh. A structured, unconstrained mesh. Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 34
35 Potentiaalijakauma sisällä ja elektrodeilla Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 35
36 Rekonstruktiot Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 36
37 3D tankki, jossa epähomogeenisuus Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 37
38 3D rekonstruktio Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 38
39 Rintakehän kuvasta rekonstruoitu impedanssikardiografi resistivity time (s) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 39
40 Lisätietoja Väitöskirja (PDF,PS) sekä 2D EIT-ohjelmisto Matlabille osoitteesta mvauhkon Lisää tarinaa ja linkkejä Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 40
Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:
Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een
031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11
Lisätiedot3.2.2 Tikhonovin regularisaatio
3 Tikhonovin regularisaatio Olkoon x 0 R n tuntematon, M R m n teoriamatriisi ja y Mx + ε R m (316 annettu data Häiriöherkässä ongelmassa pienimmän neliösumman miniminormiratkaisu x M + y Q N (M x + M
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Kevät 20 Regularisointi Eräs keino yrittää ratkaista (likimääräisesti) huonosti asetettuja ongelmia on regularisaatio. Regularisoinnissa ongelmaa
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotLyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY
Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTELYTUVAKESKUS STÅLSÄKEHETSCENTALEN ADATON AND NUCLEA SAFETY AUTHOTY Ei enää tarkastella neutronien kulkua, vaan työn alla on simppeli tuntemattoman differentiaaliyhtälöryhmä
LisätiedotMuodonmuutostila hum 30.8.13
Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotHypoteesin testaus Alkeet
Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä
LisätiedotHavaitsevan tähtitieteen peruskurssi I
Havaintokohteita 9. Polarimetria Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Havaintokohteita Polarimetria Havaintokohteita (kuvat: @phys.org/news, @annesastronomynews.com) Yleiskuvaus: Polarisaatio
LisätiedotMalliratkaisut Demo 4
Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) () = 2+1. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että minimoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) () = (suurin kokonaisluku
Lisätiedot110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
Lisätiedot9. Tila-avaruusmallit
9. Tila-avaruusmallit Aikasarjan stokastinen malli ja aikasarjasta tehdyt havainnot voidaan esittää joustavassa ja monipuolisessa muodossa ns. tila-avaruusmallina. Useat aikasarjat edustavat dynaamisia
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
Lisätiedot1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011
1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan
LisätiedotNormaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
Lisätiedoton radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).
H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotLevel Set -menetelmä impedanssitomografiassa
Level Set -menetelmä impedanssitomografiassa Antti Voss Filosofian maisterin tutkielma Fysiikan koulutusohjelma Itä-Suomen yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos ITÄ-SUOMEN YLIOPISTO, Luonnontieteiden ja
LisätiedotLikimääräisratkaisut ja regularisaatio
Luku 3 Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Käytännön inversio-ongelmissa annettu data y ei aina ole tarkkaa, vaan sisältää häiriöitä. Tuntemattomasta x on annettu häiriöinen data y F (x + }{{}}{{} ε.
LisätiedotMatemaattisesta mallintamisesta
Matemaattisesta mallintamisesta (Fysikaalinen mallintaminen) 1. Matemaattisen mallin konstruointi dynaamiselle reaalimaailman järjestelmälle pääpaino fysikaalisella mallintamisella samat periaatteet pätevät
LisätiedotHarjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox
Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3 Kevät 2011 1 Singulaariarvohajotelma (Singular Value Decomposition, SVD) Olkoon A R m n matriisi 1. Tällöin A voidaan esittää muodossa A = UΣV T,
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Lineaarinen regressiomalli ja suurimman uskottavuuden menetelmä Minimin löytäminen
Lisätiedotx = ( θ θ ia y = ( ) x.
Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan systeemianalyysin laitos Mat-2429 Systeemien Identifiointi 5 harjoituksen ratkaisut Esitetään ensin systeemi tilayhtälömuodossa Tiloiksi valitaan
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotKeskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6)
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit kevät Keskipisteen lisääminen k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Esim (Montg. ex. 9-, 6-): Tutkitaan kemiallisen prosessin saannon Y riippuvuutta faktoreista
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Lisätiedot1. TILASTOLLINEN HAHMONTUNNISTUS
1. TILASTOLLINEN HAHMONTUNNISTUS Tilastollisissa hahmontunnistusmenetelmissä piirteitä tarkastellaan tilastollisina muuttujina Luokittelussa käytetään hyväksi seuraavia tietoja: luokkien a priori tn:iä,
LisätiedotIteratiiviset ratkaisumenetelmät
Iteratiiviset ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Yleinen iteraatio Lineaarisen yhtälöryhmän iteratiivinen ratkaisumenetelmä voidaan esittää muodossa: Anna alkuarvaus: x 0 R n
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
LisätiedotJakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen
Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0
LisätiedotOsakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016
Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotTässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.
Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotTeknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut
Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet Mikkola/Ärölä 4. harjoituksen ratkaisut Teht. 1 Jacobin determinantin J det F materiaalisen aikaderivaatan laskemiseksi lasketaan
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
LisätiedotViikko 2: Ensimmäiset ennustajat Matti Kääriäinen matti.kaariainen@cs.helsinki.fi
Viikko 2: Ensimmäiset ennustajat Matti Kääriäinen matti.kaariainen@cs.helsinki.fi Exactum C222, 5.-7.11.2008. 1 Tällä viikolla Sisältösuunnitelma: Ennustamisstrategioista Koneoppimismenetelmiä: k-nn (luokittelu
LisätiedotSAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä. Antti Suoperä 16.11.2009
SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä Antti Suoperä 16.11.2009 SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä: Matriisi ja vektori laskennan ohjelmisto edellyttää
LisätiedotPelaisitko seuraavaa peliä?
Lisätehtävä 1 seuraavassa on esitetty eräs peli, joka voidaan mallintaa paramterisena tilastollisena mallina tehtävänä on selvittää, kuinka peli toimii ja näyttää mallin takana oleva apulause (Tehtävä
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotEllipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio
Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä
LisätiedotIMPEDANSSITOMOGRAFIA AIVOVERENVUODON DIAGNOSOINNISSA - TARVE UUDELLE TEKNOLOGIALLE
IMPEDANSSITOMOGRAFIA AIVOVERENVUODON DIAGNOSOINNISSA - TARVE UUDELLE TEKNOLOGIALLE NINA FORSS YLILÄÄKÄRI, LINJAJOHTAJA HUS NEUROKESKUS AALTO YLIOPISTO (NEUROTIETEEN JA LÄÄKETIETEELLISEN TEKNIIKAN LAITOS)
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
Lisätiedot4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =
BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B
LisätiedotHarjoitus 9: Optimointi I (Matlab)
Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen Optimointitehtävien
LisätiedotTIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010
TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Optimaalisuus: objektiavaruus f 2 min Z = f(s) Parhaat arvot alhaalla ja vasemmalla
LisätiedotVastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een
031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 31.03.2012 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Jukka Kemppainen Mathematics
LisätiedotAki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI
Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotSäätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002
Matlab tehtäviä 1. Muodosta seuraavasta differentiaaliyhtälöstä siirtofuntio. Tämä differentiaaliyhtälö saattaisi kuvata esimerkiksi yksinkertaista vaimennettua jousi-massa systeemiä, johon on liitetty
LisätiedotJohdantoa. Jokaisen matemaatikon olisi syytä osata edes alkeet jostakin perusohjelmistosta, Java MAPLE. Pascal MathCad
Johdantoa ALGORITMIT MATEMA- TIIKASSA, MAA Vanhan vitsin mukaan matemaatikko tietää, kuinka matemaattinen ongelma ratkaistaan, mutta ei osaa tehdä niin. Vitsi on ajalta, jolloin käytännön laskut eli ongelman
LisätiedotMissä mennään. systeemi. identifiointi. mallikandidaatti. validointi. malli. (fysikaalinen) mallintaminen. mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot
Missä mennään systeemi mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot käyttö- (fysikaalinen) mallintaminen luonnonlait yms. yms. identifiointi kokeita kokeita + päättely päättely vertailu mallikandidaatti validointi
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
LisätiedotHarjoitustyö 3. Heiluri-vaunusysteemin parametrien estimointi
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien identifiointi Harjoitustyö 3 Heiluri-vaunusysteemin parametrien estimointi Yleistä Systeemianalyysin laboratoriossa
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8 Kevät 2011 1 Iteratiivisista menetelmistä Tähän mennessä on tarkasteltu niin sanottuja suoria menetelmiä, joissa (likimääräinen) ratkaisu saadaan
LisätiedotSÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI. NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013
SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013 1. RESISTANSSI Resistanssi kuvaa komponentin tms. kykyä vastustaa sähkövirran kulkua Johtimen tai komponentin jännite on verrannollinen
LisätiedotHarjoitustyö, joka on jätetty tarkastettavaksi Vaasassa 10.12.2008
VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Janne Lehtonen, m84554 GENERAATTORI 3-ULOTTEISENA Dynaaminen kenttäteoria SATE2010 Harjoitustyö, joka on jätetty tarkastettavaksi Vaasassa 10.12.2008
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
Lisätiedot. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 6: 1 Kalmanin suodatin Aiemmin käsitellyt
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
LisätiedotMALLINNUSVIRHEIDEN HUOMIOIMINEN AKUSTISESSA TOMO- GRAFIASSA
MALLINNUSVIRHEIDEN HUOMIOIMINEN AKUSTISESSA TOMO- GRAFIASSA Janne Koponen 1, Tomi Huttunen 1, Tanja Tarvainen 1,2 ja Jari P. Kaipio 1,3 1 Sovelletun fysiikan laitos, Itä-Suomen yliopisto PL 1627, 70211
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
LisätiedotFYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto
FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteet o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotLuento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu
Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa
LisätiedotFysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi
Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)
LisätiedotUseita oskillaattoreita yleinen tarkastelu
Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i =,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Matriisinormi
Lisätiedot4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT
TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/7 FYSIIKAN LABORATORIO V 1.6 5.014 4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT TYÖN TAVOITE Työssä tutkitaan vitajohtimen aiheuttamaa magneettikentää. VIRTAJOHTIMEN SYNNYTTÄMÄ MAGNEETTIKENTTÄ
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän
LisätiedotMateriaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä.
JÄNNITYS-JAMUODONMUUTOSTILANYHTYS Materiaalimalleista Jännitys- ja muodonmuutostila ovat kytkennässä toisiinsa ja kytkennän antavia yhtälöitä sanotaan materiaaliyhtälöiksi eli konstitutiivisiksi yhtälöiksi.
Lisätiedot30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset
30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset Mitä on lineaarinen optimointi (LP)? LP= lineaarinen optimointiongelma (Linear Programming) Menetelmä, jolla etsitään
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 2015
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 205 Päivityksiä: 4.0.205 klo 5:0. Tehtävässä 3b vektorin x lauseke korjattu. 5.0.205 klo 3:20. Tehtävässä 8d viittaus väärään tehtävään
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
LisätiedotKirjallisuuskatsaus sisäpistemenetelmiin ja niiden soveltamiseen eri optimointiluokille (valmiin työn esittely)
Kirjallisuuskatsaus sisäpistemenetelmiin ja niiden soveltamiseen eri optimointiluokille (valmiin työn esittely) Ilari Vähä-Pietilä 28.04.2014 Ohjaaja: TkT Kimmo Berg Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa
LisätiedotPienimmän neliösumman menetelmä
Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen
LisätiedotPythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
LisätiedotLuento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät
Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
Lisätiedot