Sovelletun fysiikan laitos Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 1

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Sovelletun fysiikan laitos E-mail: Marko.Vauhkonen@uku.fi. Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 1"

Transkriptio

1 Marko Vauhkonen Kuopion yliopisto Sovelletun fysiikan laitos Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 1

2 Sisältö Mallintamisesta mallien käyttötarkoituksia (suora ja epäsuora) Estimointiteoriaa havaintomalli mallin parametrien estimointia lineaarinen ja epälineaarinen tilanne huonosti asetettu ongelma Impedanssitomografia ongelman kuvaus tilannetta kuvaava matemaattinen malli mallin ratkaiseminen (suora ongelma) tomografiakuvan ratkaiseminen (käänteisongelma) sovelluksia tuloksia Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 2

3 Matemaattiset mallit ja niiden soveltaminen Matemaattisia malleja sovelletaan useilla eri tieteenaloilla, useisiin eri tilanteisiin ja ongelmiiin Tutkittavasta tilanteesta tehdyn mallin avulla voidaan tietokoneella simuloida todellista tilannetta (kokeen korvike) Jatkossa tarkastellaan fysikaalisia malleja, joissa lähtökohtana on fysiikan lait. Usein ODY:ä Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 3

4 Mallien suora käyttö Usein matemaattisia malleja sovelletaan tutkittaessa mallitettavan kohteen käyttäytymistä eri tilanteissa, erilaisilla parametreilla ja reunaehdoilla Testataan mitä jos -tilanteita Esimerkiksi Kolarisimulaattorilla voidaan testata erilaisa törmäysnopeuksia, törmäyssuuntia, runkorakenteita ja -vahvuuksia yms. Sekoittimen virtauslaskentamallilla voidaan testata erilaisia sekoittimen lapoja, haittalevyjen tai sekoituskammion muotoja, yms. Pään sähkökenttälaskentaan tehdyn mallin avulla voidaan testata mm. johtokyvyn muutosten vaikutusta virran kulkuun Näissä tilanteissa malli (suora ongelma) ratkaistaan käyttän siihen soveltuvaa ohjelmistoa Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 4

5 Mallien epäsuora käyttö, optimointi Malleja hyödynnetään optimoitaessa esim. mallitettavan kappaleen jotakin ominaisuutta tai mallin jotakin reunaehtoa Esimerkiksi Purjeveneen runkomuodon optimointi (kestävä, kevyt, nopea + rajoitukset pituus, paino) Sädehoidon annossuunnittelussa optimoidaan säteilykenttien suunnat ja voimakkuudet parhaan hoitovasteen saavuttamiseksi Näissä minimoidaan (maksimoidaan) jotakin kriteeriä tietyin rajoituksin Mallin parametrejä muutetaan sopivaan suuntaan, jotta optimi saavutettaisiin Kunkin muutoksen jälkeen malli joudutaan ratkaisemaan uusilla parametrien arvoilla. Iteraatiota jatketaan, kunnes optimi saavutetaan Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 5

6 Mallien epäsuora käyttö, parametrien estimointi Mallien suora soveltaminen ja optimointi voidaan tehdä puhtaasti tietokonetta hyödyntäen Mallin parametrejä (kohteen fysikaalisia ominaisuuksia) estimoitaessa tutkittavasta kohteesta tehdään havaintoja Havaintojen ja mallin avulla pyritään laskemaan arvio, estimaatti, mallin jollekin tuntemattomalle parametrille Esim. keskinopeuden v estimointi. Nopeutta hankala mitata suoraan. Mitataan tiettyyn matkaan s (säädettävä muuttuja) käytetty aika t (havainto). Malli on muotoa t = 1 v s (1) josta saadaan (yksi mittaus) ˆv = s t (2) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 6

7 Mallien epäsuora käyttö, parametrien estimointi Esim. jousivaa an jousivakion k määrittäminen. Malli (approksimatiivinen) on muotoa F = kx (3) missä F on jousen venyttämiseen käytetty voima ja x on poikkeama tasapainoasemasta Venymien x ja tunnettujen voimien F avulla pyritään ratkaisemaan jousivakio k (useita mittauksia, eri F ) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 7

8 Mallien epäsuora käyttö, parametrien estimointi Esim. pään sisäisen virtalähteen I paikantaminen EEG-mittausten perusteella (dipoliestimointi). Tähän liittyvä malli on muotoa σ u = I, kohteessa (4) σ u n u = U l, elektrodeilla (5) = 0, kohteen reunalla (6) missä u on potentiaali, σ on sähkönjohtavuus ja n on pinnan yksikkönormaali Pään pinnalta mitattujen jännitteiden Ul (σ oletetaan tunnetuksi) avulla pyritään estimoimaan virtalähdettä I Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 8

9 Parametrien estimoinnista Parametriestimoinnissa tarvitaan siis aina kohteesta tehtyjä mittauksia, havaintoja (tietysti nämäkin voi simuloida...) Mittauksia suoritetaan useita, erilaisilla säädettävien muuttujien arvoilla (mahd. myös toistomittauksia) Esim. jousivakioesimerkissä tuntematonta jousta venytetään tunnetuilla painoilla F j. Kirjoitetaan edellä esitetty malli muotoon x j = F j 1 k (7) ja merkitään k = 1/k ja lisätän malliin vielä dummy vakio c, jolloin saadaan x j = F j k + c (8) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 9

10 ja edelleen x 1 = F 1 k + c (9) x 2 = F 2 k + c (10).. (11) Tämä voidaan kirjoittaa edelleen matriisimuotoon x 1 x 2.. x N = F 1 1 F F N 1 ( k c ) (12) jolloin ns. havaintomalli on muotoa x = F b (13) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 10

11 Havaintomalli Yleisesti (diskreetti) havaintomalli on muotoa z = h(θ, x, v) (14) missä z=havainnot θ= tuntemattomat (estimoitavat) parametrit x = säädettävät (tunnetut) muuttujat v = virhe (kohina) Usein havaintomalli on additiivinen kohinan suhteen z = h(θ, x) + v (15) ja edelleen, jos malli on lineaarinen parametrien θ suhteen z = H(x)θ + v (16) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 11

12 Jatkossa merkitään (epälineaarinen tilanne) tai lineaarisessa tapauksessa z = h(θ) + v (17) z = Hθ + v, z R N, H R N M, θ R M, v R N (18) Usein on myös tilanteita, jossa malli on lineaarinen säädettävien (tunnettujen) muuttujien suhteen, mutta epälineaarinen estimoitavien parametrien suhteen, jolloin z = H(θ)x + v (19) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 12

13 Estimointiteoriaa, lineaarinen tilanne Estimointiteoria käsittelee parametriestimointia huomioimalla suureiden θ, v ja z todennäköisyysjakaumat Tässä tarkastelussa keskitytään PNS-estimointiin (Pienimmän NeliöSumman), jossa θ, v ja z ovat deterministisiä Tehtävänä on siis laskea estimaatti parametrille θ kun z on mitattu PNS-mielessä tämä tapahtuu siten, että ratkaistaan minimointiongelma Ratkaisu on helppo löytää normaaliyhtälöiden min θ z Hθ 2 2 (20) H T (Hθ z) = 0 (21) avulla, josta saadaan PNS-estimaatti (jos (H T H) 1 olemassa) ˆθ = (H T H) 1 H T z (22) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 13

14 Epälineaarinen estimointi Epälineaarisessa PNS-estimoinnissa minimoidaan, kuten lineaarisessa tapauksessa funktionaalia Φ = z h(θ) 2 2 (23) Ratkaisussa joudutaan käyttämään iteratiivisia menetelmiä, esim. Gauss-Newton -menetelmää Ratkaisuksi saadaan tällöin ˆθ i+1 = ˆθ i + (J T i J i ) 1 (J T i (z h(ˆθ i )) (24) missä J i on kuvauksen h(θ) Jacobin matriisi Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 14

15 Jacobin matriisi Jacobin matriisi on muotoa h 1 h 1 θ 1 θ 2 h 1 θ M h 2 h 2 θ 1 θ 2 h 2 θ M..... RN M (25) h N θ 1 h N θ 2 h N θ M Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 15

16 Huonosti asetetut (ill-posed) ongelmat Useat käytännön estimointiongelmat ovat niin sanottuja huonosti asetettuja (ill-posed) Tällaisten ongelmien erityispiirteitä ovat Ratkaisu ei ole yksikäsitteinen Pienet muutokset havainnoissa saattavat aiheuttaa suuria muutoksia estimoiduissa parametreissä (herkkä mallin ja havaintojen virheille) Havaintomatriisin H (tai Jacobin) singulaariarvot lähestyvät vähitellen nollaa Suurimman ja pienimmän singulaariarvon suhde on suuri Lääkkeenä tällaisiin ongelmiin on korvata huonosti asetettu ongelma lähellä olevalla hyvin asetetulla ongelmalla. Tällöin puhutaan ongelman regularisoinnista Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 16

17 Tikhonov-regularisoidut ratkaisut Lineaarisessa, huonosti asetetussa ongelmassa edellä esitetty minimointi korvataan lausekkeella min θ { z Hθ 2 + α 2 Lθ 2} (26) missä L on ns. regularisointimatriisi ja α regularisointiparametri. Tämän ratkaisu on muotoa ˆθ = (H T H + α 2 L T L) 1 H T z (27) Epälineaarisessa tilanteessa minimoidaan vastaavanlaista lauseketta ja Gauss-Newton ratkaisu on muotoa ˆθ i+1 = ˆθ i + (J T i J i + α 2 L T L) 1 (J T i (z h(ˆθ i )) α 2 L T Lˆθ i ) (28) Edelliset ovat vain esimerkkejä mahdollisista ratkaisuista. Regularisointiteoria on laaja ja paljon tutkittu Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 17

18 Impedanssitomografia Impedanssitomografia (Electrical Impedance Tomography, EIT) on matemaattisessa mielessä epälineaarinen huonosti asetettu parametriestimointiongelma (käänteisongelma) EIT:ssä tavoitteena on laskea arvio tutkittavan kohteen sähkönjohtavuusjakaumalle ( impedanssijakauma ) Kohteena voi olla esim. ihmisen rintakehä, pää, teollisuuden virtausputki tai maaperä Kohteen pinnalta tehdään mittauksia elektrodien avulla. Pinnalle asetettujen elektrodien kautta syötetään virtaa (säädettävä muuttuja, x) ja mitataan vastaavat jännitteet (havainnot, z) Näiden havaintojen avulla lasketaan estimaatti johtavuusjakaumalle Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 18

19 Impedanssitomografia, 3D-mittaus sylinterissä Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 19

20 Matemaattinen malli Ensimmäinen tehtävä on löytää malli estimoitavan suureen ja havaintojen välille Lähtökohtana ovat Maxwellin yhtälöt, jotka ovat (osa niistä) E = B t H = J + D t (29) (30) missä E on sähkökenttä, H magneettikenttä, B magneettivuon tiheys, D sähköinen siirtymä ja J on virtatiheys Käytetään muotoa E = Ẽeiωt, B = Be iωt (31) olevia kenttiä (taajuustaso, ω) ja oletetaan väliaine lineaariseksi ja isotrooppiseksi. Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 20

21 Tällöin saadaan E = iωµh (32) H = J + iωɛe (33) Jaetaan virtatiheys lähdevirtaan J s ja ohmiseen virtaan J o = σe, missä σ on kohteen johtavuusjakauma, eli J = J s + J o Nyt edellä olevat yhtälöt saadaan muotoon E = iωµh (34) H = (σ + iωɛ)e + J s (35) EIT:ssä tehdään vielä staattisuusoletus, jolloin sähkökenttä on muotoa missä u on sähköinen potentiaali E = u (36) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 21

22 Lisäksi kapasitiiviset efektit jätetään usein huomioimatta, jolloin saadaan E = u (37) H = σe + J s (38) Ottamalla nyt divergenssi yhtälöstä (38) (roottorin divergenssi = 0) ja sijoittamalla sitten (37) yhtälöön (38), saadaan joka on voimassa kohteen sisällä (σ u) = 0, x Ω (39) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 22

23 Jatkuva malli j(ζ) = C cos(kζ), (40) Matemaattisen mallintamisen jatkokurssi, 2002 Reunaehdot Mallista tulee järkevä vasta kun reunaehdot virralle (ja jännitteelle) on asetettu Reunaehdoista on useita versioita, ns. elektrodimalleja Gap-malli j = { Il e l x e l, l = 1, 2,..., L 0 x Ω/ L l=1 e l, (41) missä e l on elektrodin l pinta-ala ja I l on syötetty virta Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 23

24 Oikosulkumalli, syötevirta e l σ u ν ds = I l, x e l, l = 1, 2,..., L (42) ja elektrodin oikosulkuefekti kirjoitetaan muotoon u = U l, x e l, l = 1, 2,..., L, (43) missä U l on elektrodilta l mitattu jännite Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 24

25 Täydellinen elektrodimalli σ u = 0, x Ω (44) u + z l σ u ν = U l, x e l, l = 1, 2,..., L (45) e l σ u ν ds = I l, x e l, l = 1, 2,..., L (46) σ u ν = 0, x Ω \ L l=1e l, (47) missä z l on elektrodin l ns. efektiivinen kontakti-impedanssi Lisäksi tarvitsemme ehdot virralle ja jännitteelle L I l = 0 (48) l=1 L U l = 0 (49) l=1 Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 25

26 Mallin diskretointi ja ratkaisu elementtimenetelmällä, FEM Diskretointi järkevintä tehdä elementtimenetelmällä Variationaalimuoto (heikko muoto) B s ((u, U), (v, V )) = L I l V l (50) l=1 missä B s ((u, U), (v, V )) = Ω σ u v dx + L l=1 1 z l e l (u U l )(v V l ) ds (51) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 26

27 FEM-teorian mukaisesti, käyttämällä u:lle ja U:lle ratkaisuapproksimaatioita u h = N n i=1 α i ϕ i (52) ja U h = L 1 j=1 β j n j, (53) missä vektorit n j R L on valittu s.e. n 1 = (1, 1, 0,..., 0) T, n 2 = (1, 0, 1,..., 0) T,..., n L 1 = (1, 0,..., 1) T, saadaan diskreetti matriisiyhtälö Ab = f (54) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 27

28 Edellisessä b = (α, β) T R N n+l 1 ja datavektori f on f = ( 0 L l=1 I l(n j ) l ) = ( 0 C T I ) (55) missä 0 = (0,..., 0) T R N n ja C R L (L 1) on harva matriisi, muotoa C = (56) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 28

29 Matriisi A R (N n +L 1) (N n +L 1) on muotoa ( ) B C A = C T G (57) missä B i,j = C i,j = G i,j = Ω ( σ ϕ i ϕ j dx + 1 z 1 L l=1 e 1 ϕ i ds 1 z j+1 1 z l 1 i N n, 1 j L 1 L { 1 (n i ) l (n j ) l ds = z l e l l=1 1 i, j L 1. ϕ i ϕ j ds, 1 i, j N n, e l ) e j+1 ϕ i ds e 1 z 1 e 1, z 1, i j + e j+1 z j+1, i = j, Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 29

30 Diskretti malli estimoitavien parametrien σ, säädettävien suureiden I (syötetyt virrat) ja (mitattujen) jännitteiden U h välillä on muotoa U h = Cβ = C R h (σ, z)c T I = R h (σ, z)i, (58) missä R h (σ, z) on osa matriisin A käänteismatriisia Nyt siis tehtävänä on estimoida σ, kun Il kiinnitetään ja mitataan vastaavat jännitteet U l Havaintoja kerätään erilaisia (riippumattomia) virtakuvioita hyväksi käyttäen Yleisin tapa on syöttää kahden vierekkäisen elektrodin väliltä ja mitata lopuista vierekkäisistä (neljäelektrodisysteemi) Myös kaikkia elektrodeja voi käyttää virransyöttöön. Vaatii monimutkaisemman laitteiston ja kontakti-impedanssi on ongelmana Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 30

31 Johtavuusjakauman estimointi Merkintöjä. Mitattu jännitevektori, L elektrodia K erilaista virransyöttöä V = (V (1) 1,..., V (1) L,..., V (K) 1,..., V (K) L )T R KL. Vastaavasti lasketut jännitteet U(σ) = (U (1) 1 (σ),..., U (1) L (K) (σ),..., U 1 (σ),..., U (K) L (σ))t R KL, Kuten edellä johtavuusestimaatti voidaan ratkaista minimoimalla lauseketta Φ(σ) = V U(σ) 2 + α 2 R(σ σ ) 2, (59) missä R on regularisointimatriisi Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 31

32 Ratkaisua voi hakea esim. Gauss-Newton iteroinnilla σ i+1 = σ i + (J T i J i + α 2 R T R) 1 (J T i (V U(σ i )) α 2 R T R(σ i σ )) (60) Estimoinnissa σ on usein oletettu vakioksi kussakin FEM-elementissä. Se voi olla myös paloittain lineaarinen tai esitetty kokonaan eri kannassa, erilaisessa hilassa Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 32

33 Mahdollisia sovelluksia Ensimmäiset kokeilut geofysiikan ja lääketieteen alueelta, esimerkiksi Malmiesiintymien paikantaminen Maan sisään rakenettujen säiliöiden vuotojen paikantaminen Sydämen ja keuhkojen toiminnan kuvantaminen Rintasyövän havaitseminen Vatsan tyhjenemistutkimukset Pään johtavuusjakauman estimointi. Tarvitaan paikannettaessa virtalähteitä EEG:n avulla Viimevuosina teollisuudessa on kiinnostuttu prosessitomografiasta Ilmakuplien havaitseminen putkistoissa, esim. ydinvoimala Ilmajakauman ja -määrän arviointi sekoituskammioissa Mittarina prosessien säädössä Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 33

34 2D-hila ja epähomogeenisuus A structured, unconstrained mesh. A structured, unconstrained mesh. Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 34

35 Potentiaalijakauma sisällä ja elektrodeilla Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 35

36 Rekonstruktiot Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 36

37 3D tankki, jossa epähomogeenisuus Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 37

38 3D rekonstruktio Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 38

39 Rintakehän kuvasta rekonstruoitu impedanssikardiografi resistivity time (s) Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 39

40 Lisätietoja Väitöskirja (PDF,PS) sekä 2D EIT-ohjelmisto Matlabille osoitteesta mvauhkon Lisää tarinaa ja linkkejä Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 40

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

3.2.2 Tikhonovin regularisaatio

3.2.2 Tikhonovin regularisaatio 3 Tikhonovin regularisaatio Olkoon x 0 R n tuntematon, M R m n teoriamatriisi ja y Mx + ε R m (316 annettu data Häiriöherkässä ongelmassa pienimmän neliösumman miniminormiratkaisu x M + y Q N (M x + M

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Kevät 20 Regularisointi Eräs keino yrittää ratkaista (likimääräisesti) huonosti asetettuja ongelmia on regularisaatio. Regularisoinnissa ongelmaa

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY

Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTELYTUVAKESKUS STÅLSÄKEHETSCENTALEN ADATON AND NUCLEA SAFETY AUTHOTY Ei enää tarkastella neutronien kulkua, vaan työn alla on simppeli tuntemattoman differentiaaliyhtälöryhmä

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =

Lisätiedot

Hypoteesin testaus Alkeet

Hypoteesin testaus Alkeet Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I Havaintokohteita 9. Polarimetria Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Havaintokohteita Polarimetria Havaintokohteita (kuvat: @phys.org/news, @annesastronomynews.com) Yleiskuvaus: Polarisaatio

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 4

Malliratkaisut Demo 4 Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) () = 2+1. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että minimoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) () = (suurin kokonaisluku

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op

805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista

Lisätiedot

9. Tila-avaruusmallit

9. Tila-avaruusmallit 9. Tila-avaruusmallit Aikasarjan stokastinen malli ja aikasarjasta tehdyt havainnot voidaan esittää joustavassa ja monipuolisessa muodossa ns. tila-avaruusmallina. Useat aikasarjat edustavat dynaamisia

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu

Lisätiedot

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1). H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

Level Set -menetelmä impedanssitomografiassa

Level Set -menetelmä impedanssitomografiassa Level Set -menetelmä impedanssitomografiassa Antti Voss Filosofian maisterin tutkielma Fysiikan koulutusohjelma Itä-Suomen yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos ITÄ-SUOMEN YLIOPISTO, Luonnontieteiden ja

Lisätiedot

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Luku 3 Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Käytännön inversio-ongelmissa annettu data y ei aina ole tarkkaa, vaan sisältää häiriöitä. Tuntemattomasta x on annettu häiriöinen data y F (x + }{{}}{{} ε.

Lisätiedot

Matemaattisesta mallintamisesta

Matemaattisesta mallintamisesta Matemaattisesta mallintamisesta (Fysikaalinen mallintaminen) 1. Matemaattisen mallin konstruointi dynaamiselle reaalimaailman järjestelmälle pääpaino fysikaalisella mallintamisella samat periaatteet pätevät

Lisätiedot

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3 Kevät 2011 1 Singulaariarvohajotelma (Singular Value Decomposition, SVD) Olkoon A R m n matriisi 1. Tällöin A voidaan esittää muodossa A = UΣV T,

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Lineaarinen regressiomalli ja suurimman uskottavuuden menetelmä Minimin löytäminen

Lisätiedot

x = ( θ θ ia y = ( ) x.

x = ( θ θ ia y = ( ) x. Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan systeemianalyysin laitos Mat-2429 Systeemien Identifiointi 5 harjoituksen ratkaisut Esitetään ensin systeemi tilayhtälömuodossa Tiloiksi valitaan

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Keskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6)

Keskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit kevät Keskipisteen lisääminen k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Esim (Montg. ex. 9-, 6-): Tutkitaan kemiallisen prosessin saannon Y riippuvuutta faktoreista

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

1. TILASTOLLINEN HAHMONTUNNISTUS

1. TILASTOLLINEN HAHMONTUNNISTUS 1. TILASTOLLINEN HAHMONTUNNISTUS Tilastollisissa hahmontunnistusmenetelmissä piirteitä tarkastellaan tilastollisina muuttujina Luokittelussa käytetään hyväksi seuraavia tietoja: luokkien a priori tn:iä,

Lisätiedot

Iteratiiviset ratkaisumenetelmät

Iteratiiviset ratkaisumenetelmät Iteratiiviset ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Yleinen iteraatio Lineaarisen yhtälöryhmän iteratiivinen ratkaisumenetelmä voidaan esittää muodossa: Anna alkuarvaus: x 0 R n

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä

Lisätiedot

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0

Lisätiedot

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut

Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet Mikkola/Ärölä 4. harjoituksen ratkaisut Teht. 1 Jacobin determinantin J det F materiaalisen aikaderivaatan laskemiseksi lasketaan

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n

Lisätiedot

Viikko 2: Ensimmäiset ennustajat Matti Kääriäinen matti.kaariainen@cs.helsinki.fi

Viikko 2: Ensimmäiset ennustajat Matti Kääriäinen matti.kaariainen@cs.helsinki.fi Viikko 2: Ensimmäiset ennustajat Matti Kääriäinen matti.kaariainen@cs.helsinki.fi Exactum C222, 5.-7.11.2008. 1 Tällä viikolla Sisältösuunnitelma: Ennustamisstrategioista Koneoppimismenetelmiä: k-nn (luokittelu

Lisätiedot

SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä. Antti Suoperä 16.11.2009

SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä. Antti Suoperä 16.11.2009 SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä Antti Suoperä 16.11.2009 SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä: Matriisi ja vektori laskennan ohjelmisto edellyttää

Lisätiedot

Pelaisitko seuraavaa peliä?

Pelaisitko seuraavaa peliä? Lisätehtävä 1 seuraavassa on esitetty eräs peli, joka voidaan mallintaa paramterisena tilastollisena mallina tehtävänä on selvittää, kuinka peli toimii ja näyttää mallin takana oleva apulause (Tehtävä

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Ellipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio

Ellipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä

Lisätiedot

IMPEDANSSITOMOGRAFIA AIVOVERENVUODON DIAGNOSOINNISSA - TARVE UUDELLE TEKNOLOGIALLE

IMPEDANSSITOMOGRAFIA AIVOVERENVUODON DIAGNOSOINNISSA - TARVE UUDELLE TEKNOLOGIALLE IMPEDANSSITOMOGRAFIA AIVOVERENVUODON DIAGNOSOINNISSA - TARVE UUDELLE TEKNOLOGIALLE NINA FORSS YLILÄÄKÄRI, LINJAJOHTAJA HUS NEUROKESKUS AALTO YLIOPISTO (NEUROTIETEEN JA LÄÄKETIETEELLISEN TEKNIIKAN LAITOS)

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1 Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n

Lisätiedot

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A

Lisätiedot

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C = BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B

Lisätiedot

Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab)

Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen Optimointitehtävien

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Optimaalisuus: objektiavaruus f 2 min Z = f(s) Parhaat arvot alhaalla ja vasemmalla

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 31.03.2012 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Jukka Kemppainen Mathematics

Lisätiedot

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

Säätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002

Säätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002 Matlab tehtäviä 1. Muodosta seuraavasta differentiaaliyhtälöstä siirtofuntio. Tämä differentiaaliyhtälö saattaisi kuvata esimerkiksi yksinkertaista vaimennettua jousi-massa systeemiä, johon on liitetty

Lisätiedot

Johdantoa. Jokaisen matemaatikon olisi syytä osata edes alkeet jostakin perusohjelmistosta, Java MAPLE. Pascal MathCad

Johdantoa. Jokaisen matemaatikon olisi syytä osata edes alkeet jostakin perusohjelmistosta, Java MAPLE. Pascal MathCad Johdantoa ALGORITMIT MATEMA- TIIKASSA, MAA Vanhan vitsin mukaan matemaatikko tietää, kuinka matemaattinen ongelma ratkaistaan, mutta ei osaa tehdä niin. Vitsi on ajalta, jolloin käytännön laskut eli ongelman

Lisätiedot

Missä mennään. systeemi. identifiointi. mallikandidaatti. validointi. malli. (fysikaalinen) mallintaminen. mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot

Missä mennään. systeemi. identifiointi. mallikandidaatti. validointi. malli. (fysikaalinen) mallintaminen. mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot Missä mennään systeemi mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot käyttö- (fysikaalinen) mallintaminen luonnonlait yms. yms. identifiointi kokeita kokeita + päättely päättely vertailu mallikandidaatti validointi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Harjoitustyö 3. Heiluri-vaunusysteemin parametrien estimointi

Harjoitustyö 3. Heiluri-vaunusysteemin parametrien estimointi Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien identifiointi Harjoitustyö 3 Heiluri-vaunusysteemin parametrien estimointi Yleistä Systeemianalyysin laboratoriossa

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8 Kevät 2011 1 Iteratiivisista menetelmistä Tähän mennessä on tarkasteltu niin sanottuja suoria menetelmiä, joissa (likimääräinen) ratkaisu saadaan

Lisätiedot

SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI. NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013

SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI. NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013 SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013 1. RESISTANSSI Resistanssi kuvaa komponentin tms. kykyä vastustaa sähkövirran kulkua Johtimen tai komponentin jännite on verrannollinen

Lisätiedot

Harjoitustyö, joka on jätetty tarkastettavaksi Vaasassa 10.12.2008

Harjoitustyö, joka on jätetty tarkastettavaksi Vaasassa 10.12.2008 VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Janne Lehtonen, m84554 GENERAATTORI 3-ULOTTEISENA Dynaaminen kenttäteoria SATE2010 Harjoitustyö, joka on jätetty tarkastettavaksi Vaasassa 10.12.2008

Lisätiedot

Kanta ja Kannan-vaihto

Kanta ja Kannan-vaihto ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V

Lisätiedot

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että

Lisätiedot

Dynaamiset regressiomallit

Dynaamiset regressiomallit MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 6: 1 Kalmanin suodatin Aiemmin käsitellyt

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan

Lisätiedot

MALLINNUSVIRHEIDEN HUOMIOIMINEN AKUSTISESSA TOMO- GRAFIASSA

MALLINNUSVIRHEIDEN HUOMIOIMINEN AKUSTISESSA TOMO- GRAFIASSA MALLINNUSVIRHEIDEN HUOMIOIMINEN AKUSTISESSA TOMO- GRAFIASSA Janne Koponen 1, Tomi Huttunen 1, Tanja Tarvainen 1,2 ja Jari P. Kaipio 1,3 1 Sovelletun fysiikan laitos, Itä-Suomen yliopisto PL 1627, 70211

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteet o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)

Lisätiedot

Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu

Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i =,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Matriisinormi

Lisätiedot

4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT

4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/7 FYSIIKAN LABORATORIO V 1.6 5.014 4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT TYÖN TAVOITE Työssä tutkitaan vitajohtimen aiheuttamaa magneettikentää. VIRTAJOHTIMEN SYNNYTTÄMÄ MAGNEETTIKENTTÄ

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot

Materiaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä.

Materiaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä. JÄNNITYS-JAMUODONMUUTOSTILANYHTYS Materiaalimalleista Jännitys- ja muodonmuutostila ovat kytkennässä toisiinsa ja kytkennän antavia yhtälöitä sanotaan materiaaliyhtälöiksi eli konstitutiivisiksi yhtälöiksi.

Lisätiedot

30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset

30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset 30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset Mitä on lineaarinen optimointi (LP)? LP= lineaarinen optimointiongelma (Linear Programming) Menetelmä, jolla etsitään

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 2015

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 2015 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 205 Päivityksiä: 4.0.205 klo 5:0. Tehtävässä 3b vektorin x lauseke korjattu. 5.0.205 klo 3:20. Tehtävässä 8d viittaus väärään tehtävään

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =

3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) = BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot

Lisätiedot

Kirjallisuuskatsaus sisäpistemenetelmiin ja niiden soveltamiseen eri optimointiluokille (valmiin työn esittely)

Kirjallisuuskatsaus sisäpistemenetelmiin ja niiden soveltamiseen eri optimointiluokille (valmiin työn esittely) Kirjallisuuskatsaus sisäpistemenetelmiin ja niiden soveltamiseen eri optimointiluokille (valmiin työn esittely) Ilari Vähä-Pietilä 28.04.2014 Ohjaaja: TkT Kimmo Berg Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa

Lisätiedot

Pienimmän neliösumman menetelmä

Pienimmän neliösumman menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät

Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja

Lisätiedot

Värähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.

Värähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima. Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)

Lisätiedot