Todennäköisyyslaskenta: Liitteet. Liite 1. Joukko oppi Liite 2. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Ilkka Mellin (2006) 449

Liitteet Todennäköisyyslaskenta: Liitteet Liite 1. Joukko oppi Liite 2. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK @ Ilkka Mellin (2006) 449

Liitteet TKK @ Ilkka Mellin (2006) 450

Liitteet Sisällys 1. JOUKKO OPPI 453 1.1. JOUKKO OPIN PERUSKÄSITTEET 454 JOUKKOJEN MÄÄRITTELEMINEN 454 NUMEROITUVT JOUKOT 455 YLINUMEROITUVT JOUKOT 456 JOUKKOJEN SMUUS 456 OSJOUKKO 457 VENN DIGRMMIT 457 TYHJÄ JOUKKO 458 PERUSJOUKKO 458 ONGELMT JOUKON KÄSITTEEN NIIVISS MÄÄRITELMÄSSÄ 458 NIIVIN JOUKKO OPIN PRDOKSIT 458 1.2. JOUKKO OPIN PERUSOPERTIOT 459 KOMPLEMENTTIJOUKKO 459 YHDISTE 460 LEIKKUS 460 DE MORGNIN LIT 461 PISTEVIERT JOUKOT 461 EROTUS 462 YHDISTE PISTEVIERIDEN JOUKKOJEN YHDISTEENÄ 463 SYMMETRINEN EROTUS 463 1.3. JOUKKO OPIN LSKUSÄÄNNÖT 464 OSJOUKKO RELTIO J JOUKKO OPIN OPERTIOT 464 JOUKKOJEN LGEBRN LSKUSÄÄNNÖT 465 1.4. FUNKTIOT 466 FUNKTIO 466 KUV 466 FUNKTION MÄÄRITTELYLUE J RVOLUE 467 FUNKTIOIDEN SMUUS 467 SURJEKTIO, INJEKTIO, BIJEKTIO 467 IDENTTINEN FUNKTIO 468 VKIOFUNKTIO 468 YHDISTETTY FUNKTIO 468 YHDISTETYN FUNKTION OMINISUUKSI 469 KÄÄNTEISFUNKTIO 469 KÄÄNTEISFUNKTION OMINISUUKSI 470 1.5. TULOJOUKOT J FUNKTIOIDEN KUVJT 471 JÄRJESTETTY PRI 471 KRTEESINEN TULO 471 FUNKTION KUVJ 471 FUNKTION KUVJN OMINISUUDET 472 YLEISTETTY KRTEESINEN TULO 473 1.6. JOUKKO OPIN PERUSOPERTIOIDEN YLEISTYKSET 473 JOUKKOPERHEET 473 POTENSSIJOUKOT 474 INDEKSOIDUT JOUKKOPERHEET 474 YLEISTETYT JOUKKO OPERTIOT 475 YLEISTETYT DISTRIBUUTIOLIT 477 TKK @ Ilkka Mellin (2006) 451

Liitteet YLEISTETYT DE MORGNIN LIT 477 OSITUKSET 477 1.7. BOOLEN LGEBRT 477 BOOLEN LGEBRN KSIOOMT 478 BOOLEN LGEBROIDEN OMINISUUDET 478 1.8. σ LGEBRT 480 σ LGEBRN KSIOOMT 480 σ LGEBROIDEN OMINISUUDET 480 2. TODENNÄKÖISYYSLSKENT J PUUDIGRMMIT 482 2.1. VERKOT 483 VERKON MÄÄRITELMÄ 483 REITTI J SILMUKK 484 VERKON YHTENÄISYYS 485 2.2. PUUT 486 PUUN MÄÄRITELMÄ 486 PUUN OMINISUUDET 486 PUUDIGRMMI 486 2.3. PUUTODENNÄKÖISYYDET 487 PUUTODENNÄKÖISYYDET 489 TULOSÄÄNTÖ PUUTODENNÄKÖISYYKSILLE 489 YHTEENLSKUSÄÄNTÖ PUUTODENNÄKÖISYYKSILLE 490 2.4. PUUT J TODENNÄKÖISYYSLSKENNN PERUSLSKUSÄÄNNÖT 490 KOMPLEMENTTITPHTUMN TODENNÄKÖISYYS 491 YLEINEN TULOSÄÄNTÖ 491 TULOSÄÄNTÖ RIIPPUMTTOMILLE TPHTUMILLE 492 YLEINEN YHTEENLSKUSÄÄNTÖ 492 YHTEENLSKUSÄÄNTÖ TOISENS POISSULKEVILLE TPHTUMILLE 494 EROTUSTPHTUMN TODENNÄKÖISYYS 495 KOKONISTODENNÄKÖISYYDEN KV 496 TKK @ Ilkka Mellin (2006) 452

1. Joukko oppi 1.1. Joukko opin peruskäsitteet 1.2. Joukko opin perusoperaatiot 1.3. Joukko opin laskusäännöt 1.4. Funktiot 1.5. Tulojoukot ja funktioiden kuvaajat 1.6. Joukko opin perusoperaatioiden yleistykset 1.7. Boolen algebrat 1.8. σ algebrat Liitteessä 1 esitellään naiivin joukko opin peruskäsitteet ja perusoperaatiot laajuudessa, mikä riittää huomattavaan osaan perusmatematiikkaa. Erityisesti liitteen 1 tavoitteena on kuitenkin esitellä sellaisia joukko opin käsitteitä ja operaatioita, joita voidaan soveltaa todennäköisyyslaskennassa. vainsanat: funktio, joukko ksiomaattinen joukko oppi, lkio, lkukuva, rvo alue, Bijektio, Boolen algebra, Erotus, Funktio, Funktion kuvaaja, Funktioiden samuus, Funktioiden yhdistäminen, Identtinen funktio, Injektio, Joukko, Joukkojen samuus, Joukko opin laskusäännöt, Joukkoperhe, Joukon määritteleminen, Järjestetty pari, Indeksoitu joukkoperhe, Karteesinen tulo, Komplementti, Kuulua joukkoon, Kuva, Kuvaaja, Kuvaus, Käänteisalkio, Käänteisfunktio, Leikkaus, Lukujoukko, Määrittelyalue, Naiivi joukko oppi, Numeroituva joukko, Olla osajoukkona, Osajoukko, Ositus, Paradoksi, Perusjoukko, Pistevieraus, Russellin paradoksi, σ algebra, Surjektio, Symmetrinen erotus, Tulojoukko, Tyhjä joukko, Unioni, Vakiofunktio, Venn diagrammi, Yhdiste, Yhdistetty Yleistetty joukko operaatio, Yleistetty karteesinen tulo, Ylinumeroituva joukko, Äärellinen TKK @ Ilkka Mellin (2006) 453

1.1. Joukko opin peruskäsitteet Tässä kappaleessa esitellään naiivin joukko opin peruskäsitteet joukko ja sen alkiot, joukkoon kuuluminen, perusjoukko, tyhjä joukko sekä osajoukko. Joukkojen määritteleminen Joukko on joukon alkioiksi kutsuttujen olioiden kokoelma. Sanomme, että joukko on hyvin määritelty, jos jokaisesta oliosta voidaan sanoa onko se joukon alkio vai ei. Joukko on siis hyvin määritelty, jos sen alkiot tunnetaan. On syytä huomata, että joukkoja määriteltäessä on aina syytä spesifioida perusjoukko, jonka alkioita kaikkien tarkasteltavien olioiden on oltava. Merkitsemme joukkoja tavallisesti isoilla kirjaimilla, B, C,, X, ja joukon alkiota pienillä kirjaimilla a, b, c,, x, Jos joukko on äärellinen, se voidaan määritellä luettelemalla sen alkiot. Jos äärellisen joukon X alkiot ovat niin merkitsemme x 1, x 2,, x n X = {x 1, x 2,, x n } Esimerkki 1. Joukko ja sen alkiot. Rahanheiton tulosvaihtoehdot ovat kruuna ja klaava. Siten voimme määritellä rahanheiton tulosvaihtoehtojen joukon S kirjoittamalla S = {Kruuna, Klaava} Joukko määritellään usein kuvailemalla sen alkioiden ominaisuudet. lkioiden ominaisuudet määrittelevä lause kirjoitetaan tavallisesti lainausmerkkien väliin: = Joukon alkioiden ominaisuudet määrittelevä lause Esimerkki 2. Joukkojen määritteleminen. Määritellään seuraavat joukot: = Teknilliseen korkeakouluun vuonna 2005 hyväksyttyjen uusien opiskelijoiden joukko B = Lottoarvonnan tulosvaihtoehtojen joukko C = Yhtälön sin(x) = 0 ratkaisujen joukko, kun x on reaaliluku D = Yhtälön x 2 = 1 ratkaisujen joukko, kun x on kompleksiluku Matematiikassa joukko määritellään tavallisesti antamalla looginen ehto, jonka sen alkioiden on toteutettava. Jos on niiden perusjoukon S alkioiden x joukko, jotka toteuttavat ehdon P(x) eli joille lause P(x) on tosi, niin kirjoitamme = { x S Px ( )} TKK @ Ilkka Mellin (2006) 454

Esimerkki 3. Joukon määritteleminen ehtolauseen avulla. Olkoon niiden reaalilukuparien (x, y) joukko, jotka toteuttavat ehdon x + y = 1 2 2 Joukko on siis origokeskisen yksikkösäteisen ympyrän kehän pisteiden joukko tasossa. Joukko voidaan määritellä kirjoittamalla 2 2 {(, ),, 1} = x y x y x + y = jossa on reaalilukujen joukko. Joukon ja sen alkioiden suhde on joukko opin perusrelaatio. Jos x on joukon alkio eli x kuuluu joukkoon, niin merkitsemme x Jos x ei ole joukon alkio eli x ei kuulu joukkoon, niin merkitsemme x Esimerkki 4. Relaatio kuulua joukkoon. Olkoon 2 2 {(, ),, 1} = x y x y x + y = jossa on reaalilukujen joukko. Esimerkiksi lukupari koska 3 4, 5 5 Sen sijaan lukupari koska 2 2 3 4 9 16 + = + = 1 5 5 25 25 ( 1,1) Numeroituvat joukot 2 2 1 + 1 = 1+ 1= 2 1 Jos joukon alkiot voidaan järjestää jonoon, sanomme joukkoa numeroituvaksi. Äärelliset joukot ovat aina numeroituvia. Äärettömiä numeroituvia joukkoja sanotaan numeroituvasti äärettömiksi. Esimerkki 1. Luonnollisten lukujen, kokonaislukujen ja rationaalilukujen joukot. Voidaan osoittaa, että sekä luonnollisten lukujen joukko = { 0,1, 2,3, K} kokonaislukujen joukko { K, 3, 2, 1,0, 1, 2, 3, K} = + + + TKK @ Ilkka Mellin (2006) 455

että rationaalilukujen joukko m = q q =, m, n, n 0 n ovat numeroituvasti äärettömiä ja siis yhtä mahtavia, millä tarkoitetaan sitä, että joukkojen, ja välille voidaan määritellä kääntäen yksikäsitteiset kuvaukset eli bijektiot; lisätietoja bijektiivisistä kuvauksista: ks. tämän liitteen kappaletta Funktiot. Monet numeroituvasti äärettömät joukot voidaan määritellä luettelemalla niiden alkioiden muodostamasta jonosta muutama ensimmäisen alkio. Esimerkki 2. Lukujoukkojen määritteleminen. Ylinumeroituvat joukot {1, 3, 5, } = Parittomien positiivisten kokonaislukujen joukko = { k k = 2n+ 1, n } {2, 4, 6, } = Parillisten positiivisten kokonaislukujen joukko = { k k = 2n+ 2, n } Jos joukko on ääretön ja sen alkioita ei voida järjestää jonoon, sanomme joukkoa ylinumeroituvaksi. Esimerkki 1. Reaalilukujen ja kompleksilukujen joukot. Voidaan osoittaa, että reaalilukujen joukko ja kompleksilukujen joukko { z z x iy, x, y, i 1} = = + = ovat ylinumeroituvia. Joukot ja ovat yhtä mahtavia ja lisäksi aidosti mahtavampia kuin luonnollisten lukujen joukko. Joukkojen samuus Joukot ovat samat, jos niillä on samat alkiot. Siten joukot ja B ovat samat, jos jokaiselle oliolle s pätee: s s B Merkitsemme sitä, että joukot ja B ovat samat seuraavasti: = B Esimerkki 1. Joukkojen samuus. Olkoon yhtälön x 2 = 4 ratkaisujen joukko reaalilukujen joukossa : 2 { 4} = x x = TKK @ Ilkka Mellin (2006) 456

Olkoon Tällöin B = { 2, +2} = B Osajoukko Olkoot joukot ja B perusjoukon S osajoukkoja. Jos jokainen joukon B alkio on myös joukon alkio eli x B x niin joukko B on joukon osajoukko ja merkitsemme B Venn diagrammit Joukko opin käsitteitä ja operaatioita voidaan havainnollistaa ns. Venn diagrammien avulla. y Venn diagrammin konstruointi: (i) Kuvataan perusjoukkoa suorakaiteella. (ii) Kuvataan perusjoukon osajoukkoja suorakaiteen osa alueilla. Ylemmässä kuvassa oikealla havainnollistetaan sitä, että joukko on perusjoukon S osajoukko. Lisäksi kuvassa havainnollistetaan sitä, että perusjoukon S alkio x kuuluu joukkoon : x x S ja perusjoukon S alkio y ei kuulu joukkoon : y lemmassa kuvassa oikealla havainnollistetaan sitä, että joukko B on joukon osajoukko: B Esimerkki 1. Parillisten positiivisten kokonaislukujen muodostama joukko. Joukko { 2 2, } C = k k = n+ n on parillisten positiivisten kokonaislukujen muodostama joukko. Olkoon D = {2, 4, 1024, 2 100 } Tällöin D C TKK @ Ilkka Mellin (2006) 457

Tyhjä joukko Joukko on tyhjä, jos siinä ei ole yhtään alkiota. Merkitsemme tyhjää joukkoa symbolilla Tyhjä joukko on kaikkien joukkojen osajoukko. Siis, jos on perusjoukon S mielivaltainen osajoukko, niin Perusjoukko Kuten edellä kohdassa Joukkojen määritteleminen todettiin, joukkoja on sekaannusten ja väärinkäsitysten välttämiseksi aina syytä tarkastella jonkin hyvin määritellyn perusjoukon osajoukkoina. Merkitsemme perusjoukkoa usein kirjaimella S. Esimerkki 1. Perusjoukon eksplisiittisen tai implisiittisen määrittelemisen tärkeys. Jos kirjoitetaan 2 { x x 1} = = niin joukko ei ole hyvin määritelty, koska emme tunne perusjoukkoa. Jos sen sijaan kirjoitamme 2 { 1} B= x x = jossa on reaalilukujen joukko, niin tiedämme, että B = ja jos kirjoitamme 2 { 1} C = x x = jossa on kompleksilukujen joukko, niin tiedämme, että jossa {, } B = + i i i = 1 Ongelmat joukon käsitteen naiivissa määritelmässä Tässä esityksessä joukko on määritelty kokoelmana joukon alkioiksi sanottuja olioita. Tämä naiivin joukko opin määritelmä joukolle ei ole matemaattisesti täsmällinen, koska se on kehämääritelmä: Kokoelma Joukko Joukon käsitteen epätäsmällisestä määrittelemisestä seuraa se, että naiivissa joukko opissa on mahdollista määritellä joukkoja, joilla on ristiriitaisia ominaisuuksia; ks. seuraavaa kappaletta. Naiivin joukko opin paradoksit Naiivissa joukko opissa voidaan johtaa useita erilaisia paradokseja. Kaikki naiivin joukko opin paradoksit perustuvat siihen, että naiivissa joukko opissa voidaan määritellä joukkoja, joilla on TKK @ Ilkka Mellin (2006) 458

ristiriitaisia ominaisuuksia. Tämä merkitsee sitä, että naiivi joukko oppi suhtautuu liian vapaamielisesti joukkojen määrittelemiseen. Esimerkki 1. Russellin paradoksi. Joukot eivät ole yleensä itsensä alkioita. Olkoon Z kaikkien niiden joukkojen joukko, jotka eivät ole itsensä alkiota: Z = { X X X} Kysymys: Onko joukko Z itsensä alkio vai ei? Kysymykseen voidaan antaa kaksi vastausta, joihin kumpaankin sisältyy ristiriita: (i) Jos Z on joukon Z alkio, Z ei kuuluu joukkoon Z joukon Z määritelmän mukaan. (ii) Jos Z ei ole joukon Z alkio, Z kuuluu joukkoon Z joukon Z määritelmän mukaan. Joukon Z määritelmästä johdettua ristiriitaa kutsutaan Russellin paradoksiksi. Joukko opin paradoksit vältetään, jos ristiriitaisilla ominaisuuksilla varustettujen joukkojen määritteleminen estetään. Ristiriitaisilla ominaisuuksilla varustettujen joukkojen määritteleminen voidaan estää esittämällä joukko oppi sopivalla tavalla aksiomaattisena järjestelmänä. Koska naiivi joukko oppi kuitenkin riittää perustaksi kaikissa joukko opin tavanomaisissa sovelluksissa, tässä esityksessä ei käytetä aksiomaattista esitystapaa. 1.2. Joukko opin perusoperaatiot Olkoot joukot ja B perusjoukon S osajoukkoja. Tarkastelemme tässä kappaleessa seuraavien joukoista ja B johdettujen perusjoukon S osajoukkojen määrittelemistä: (i) (ii) Joukon komplementtijoukko. Joukkojen ja B unioni eli yhdiste. (iii) Joukkojen ja B leikkaus. (iv) Joukkojen ja B erotus. (v) Joukkojen ja B symmetrinen erotus. Komplementtijoukko Olkoon joukko perusjoukon S osajoukko. Joukon komplementti c on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka eivät kuulu joukkoon : Ks. kuvaa oikealla. { } c = x S x c S TKK @ Ilkka Mellin (2006) 459

Esimerkki 1. Olkoon ja Tällöin Lause 1. Todistus: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {1, 3, 6} c = {2, 4, 5} ( c ) c = c c c x ( ) x x Yhdiste Olkoot joukot ja B perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen ja B unioni eli yhdiste B on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon tai joukkoon B: { } B = x S x tai x B Ks. kuvaa oikealla. Huomaa, että sana tai tarkoittaa tässä sitä, että perusjoukon S alkio x saa kuulua joukkoon tai joukkoon B tai molempiin. Esimerkki 2. B B Olkoon = {1, 2} ja B = {2, 3} Tällöin B = {1, 2, 3} Leikkaus Olkoot joukot ja B perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen ja B leikkaus B on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon ja joukkoon B: { } B = x S x ja x B TKK @ Ilkka Mellin (2006) 460

Ks. kuvaa oikealla. Esimerkki 3. Olkoon ja Tällöin De Morganin lait = {1, 2} B = {2, 3, 4} B = {2} De Morganin lakien mukaan yhdiste voidaan määritellä leikkauksen ja komplementin avulla ja leikkaus voidaan määritellä yhdisteen ja komplementin avulla. Tämä merkitsee sitä, että toinen operaatioista yhdiste ja leikkaus on joukko opin operaationa redundantti. Lause 2. Todistus: Lause 3. Todistus: Pistevieraat joukot Jos B = ( c B c ) c c c c x ( B ) c c x B c c x tai x B x tai x B x B B = ( c B c ) c c c c x ( B ) c c x B c c x ja x B x ja x B x B B = TKK @ Ilkka Mellin (2006) 461

niin sanomme, että joukot ja B ovat pistevieraita. Pistevierailla joukoilla ei ole yhteisiä alkioita. Ks. kuvaa oikealla. Esimerkki 1. Olkoon ja Erotus Tällöin = {1, 3} B = {2, 4} B = Olkoot joukot ja B perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen ja B erotus \B on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon, mutta eivät kuulu joukkoon B: \B ={ x x ja x B} B S Ks. kuvaa oikealla. Esimerkki 1. Olkoon = {1, 2} ja B = {2, 3, 4} Tällöin \B = {1} ja B\ = {3, 4} Erotus voidaan määritellä leikkauksen ja komplementin avulla; Lause 4. \B = B c Todistus: x \ B x ja x B x ja x B c x B c TKK @ Ilkka Mellin (2006) 462

Lauseesta 1 seuraa, että erotus on joukko opin operaationa redundantti. Toisaalta komplementti voidaan määritellä erotuksen avulla: Lause 5. Todistus: c = S \ x c x S ja x x S \ Yhdiste pistevieraiden joukkojen yhdisteenä Joukkojen ja B yhdiste B voidaan esittää pareittain pistevieraiden joukkojen yhdisteenä: Symmetrinen erotus \ B, B \, B B = (B \ ) = B ( \ B) = ( \ B) ( B) (B \ ) Olkoot joukot ja B perusjoukon S osajoukkoja. Joukkojen ja B symmetrinen erotus B on niiden perusjoukon S alkioiden joukko, jotka kuuluvat joko joukkoon tai joukkoon B, mutta eivät kuulu molempiin: Esimerkki 1. Olkoon ja Tällöin B = { x S joko x tai x B, mutta x B} = {1, 2} B = {2, 3, 4} B= {1, 3, 4} B Symmetrinen erotus voidaan määritellä usealla eri tavalla muiden joukko opin operaatioiden avulla. Siten symmetrinen erotus on joukko opin operaationa redundantti. TKK @ Ilkka Mellin (2006) 463

Lause 6. Todistus: B= ( B)\( B) x B x tai x B, mutta x B x B, mutta x B x ( B)\( B) B B Lause 7. B= ( \ B) ( B\ ) Perustelu: x B x tai x B, mutta x B x, mutta x B tai \ B B B \ x B, mutta x x \ B tai x B\ x ( \ B) ( B\ ) B 1.3. Joukko opin laskusäännöt Tähän kappaleeseen on koottu tärkeimmät osajoukkorelaation ominaisuudet sekä tärkeimmät laskusäännöt joukko opin perusoperaatioille. Osajoukko relaatio ja joukko opin operaatiot (1) (2) B ja B = B (3) B ja B C C (4a) (4b) ( B) B ( B) (5a) (5b) ( B) ( B) B TKK @ Ilkka Mellin (2006) 464

(6) ( B) ( B) (7a) (7b) ( \ B) (B \ ) B (8) ( B) ( B) (9a) ( \ B) ( B) (9b) ( B\ ) ( B) (10) B B c c (11) B B = B (12) B B = (13) B \ B = (14) B (B \ ) = B (15) B ( B) = B\ Joukkojen algebran laskusäännöt Idempotenttisuus (1a) = (1b) = ssosiatiivisuus (2a) ( B) C = (B C) (2b) ( B) C = (B C) Kommutatiivisuus (3a) B = B (3b) B = B Distributiivisuus (4a) (B C) = ( B) ( C) (4b) (B C) = ( B) ( C) Identiteetti lait (5a) = (5b) S =, jossa on perusjoukon S osajoukko TKK @ Ilkka Mellin (2006) 465

(6a) (6b) Komplementti lait (7a) (7b) (8a) (8b) De Morganin lait (9a) (9b) 1.4. Funktiot S = S, jossa on perusjoukon S osajoukko = c = S, jossa on perusjoukon S osajoukko c = ( c ) c = S c = ja c = S, jossa S on perusjoukko ( B) c = c B c ( B) c = c B c Tässä kappaleessa tarkastellaan funktion ja käänteisfunktion käsitteitä sekä funktioiden yhdistämistä. Funktio Olkoon f sääntö, joka liittää jokaiseen joukon alkioon yksikäsitteisen joukon B alkion. Tällöin sanomme, että f on funktio eli kuvaus joukosta joukkoon B. Jos f on funktio joukosta joukkoon B, niin merkitsemme tai Kuva f : B f Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: f : B B Jos f liittää joukon alkioon a joukon B alkion b, merkitsemme tai f(a) = b f a f( a) = b ja sanomme, että funktio f kuvaa joukon alkion a joukon B alkiolle b. Kutsumme alkiota f(a) = b B alkion a kuvaksi kuvauksessa f. Siinä tapauksessa, että ja B ovat lukujoukkoja, sanomme tavallisesti, että funktio f saa arvon pisteessä a. f(a) = b TKK @ Ilkka Mellin (2006) 466

Funktion määrittelyalue ja arvoalue Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: f : B Tällöin joukkoa sanotaan funktion f määrittelyalueeksi ja niiden joukon B alkioiden joukkoa, jotka ovat jonkin määrittelyalueen alkion kuvia kuvauksessa f, sanotaan funktion f arvoalueeksi. Funktion f : B arvoalue f() voidaan määritellä seuraavalla tavalla: f() = {b B On olemassa a siten, että f(a) = b} Funktion f: B arvoalue f() on aina joukon B osajoukko: f() B Funktioiden samuus Olkoot f ja g kaksi funktiota, joilla on sama määrittelyalue. Funktiot f ja g ovat samat, jos ne saavat samat arvot. Jos funktioiden f ja g määrittelyalueena on joukko, niin funktiot f ja g ovat samat, jos f(a) = g(a) kaikille a. Jos funktiot f ja g ovat samat, kirjoitetaan f = g Surjektio, injektio, bijektio Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: f : B Funktio f on surjektio, jos joukon B jokainen alkio on jonkin joukon alkion kuva eli funktion f arvoalueena on koko joukko B. Siten funktio f : B on surjektio, jos f() = B Tällöin sanimme, että funktio f kuvaa joukon joukolle B. Funktio f on injektio, jos yksikään joukon B alkio ei ole kahden tai useamman joukon alkion kuva. Siten funktio f : B on injektio, jos tai yhtäpitävästi f(a) = f(a ) a = a a a f(a) f(a ) Funktio f on bijektio eli kääntäen yksikäsitteinen kuvaus, jos se on surjektio ja injektio eli seuraavat kaksi ehtoa pätevät: (i) f() = B (ii) f(a) = f(a ) a = a tai yhtäpitävästi: a a f(a) f(a ) TKK @ Ilkka Mellin (2006) 467

Identtinen funktio Olkoon f funktio joukosta joukkoon : f : Funktio f on identtinen funktio tai kuvaus joukossa, jos se kuvaa joukon jokaisen alkion itselleen. Siten funktio f : on identtinen funktio joukossa, jos f(a) = a kaikille a. Identtistä funktiota joukossa merkitään usein seuraavasti: Vakiofunktio 1 Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: f : B Funktio f on vakiofunktio tai kuvaus, jos se kuvaa joukon jokaisen alkion samalle joukon B alkiolle. Siten funktio f : B on vakiofunktio, jos on olemassa b B niin, että kaikille a. Yhdistetty funktio f(a) = b Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: f : B ja g funktio joukosta B joukkoon C: g : B C Kuvaus f liittää jokaiseen joukon alkioon a yksikäsitteisen joukon B alkion b: a f(a) = b B Kuvaus g liittää jokaiseen joukon B alkioon b yksikäsitteisen joukon C alkion c: b B g(b) = c C Soveltamalla kuvauksia f ja g peräkkäin saadaan sääntö, joka liittää jokaiseen joukon alkioon a yksikäsitteisen joukon C alkion c. Jos siis a, niin f(a) = b B Soveltamalla kuvausta g joukon B alkioon f(a) = b saadaan jokin joukon C alkio c: g(f(a)) = g(b) = c C Tätä kuvausten yhdistämistä voidaan kuvata seuraavalla kaaviolla: Jos siis a, niin f g a f( a) = b g( f( a)) = g( b) = c TKK @ Ilkka Mellin (2006) 468

ja f(a) = b B g(f(a)) = g(b) = c C Määritellään funktioiden f ja g yhdistetty funktio kaavalla ( go f): C ( go f)( a) = g( f( a)) Yhdistetyn funktion ominaisuuksia Olkoon f : B jokin funktio ja olkoon 1 : identtinen funktio joukossa ja 1 B : B B identtinen funktio joukossa B. Tällöin pätee: f o1 1 B = o f = f f Olkoot f: B, g: B C ja h: C D funktioita. Voimme yhdisttää funktiot f, g ja h seuraavilla tavoilla: (i) Muodostetaan ensin yhdistetty funktio go f ja sitten yhdistetty funktio ho( go f). (ii) Muodostetaan ensin yhdistetty funktio ho g ja sitten yhdistetty funktio ( hog) o f. Näin muodostetut yhdistetyt funktiot ovat samat: Käänteisfunktio ho( go f) = ( hog) o f Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: f : B Joukon alkio a on joukon B alkion b käänteisalkio kuvauksessa f, jos f(a) = b Joukon B alkiolla voi olla useita käänteisalkioita, mutta toisaalta kaikilla joukon B alkiolla ei ole välttämättä yhtään käänteisalkiota. Sen sijaan, jos funktio f on surjektio, niin joukon B jokaisella alkiolla on käänteisalkio. Edelleen, jos joukon B alkiolla on käänteisalkio ja funktio f on injektio, käänteisalkio on yksikäsitteinen. Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: f : B TKK @ Ilkka Mellin (2006) 469

Joukon B osajoukon D alkukuva kuvauksessa f on niiden joukon alkioiden a joukko, jotka f kuvaa joukolle D. Jos siis f : B ja D B, niin joukon D alkukuva f 1 (D) kuvauksessa f voidaan määritellä seuraavalla tavalla: f 1 ( D) = { a f( a) = b D} Joukon B osajoukon D alkukuva f 1 (D) on joukon osajoukko: f 1 (D) Huomaa, että joukon B osajoukon D alkukuva f 1 (D) voi olla tyhjä. Joukon B alkion b alkukuva kuvauksessa f on niiden joukon alkioiden a joukko, jotka f kuvaa alkiolle b. Jos siis f : B ja b B, niin alkion b alkukuva f 1 (b) kuvauksessa f voidaan määritellä seuraavalla tavalla: f 1 ( b) = { a f( a) = b} Joukon B alkion b alkukuva f 1 (b) on joukon osajoukko: f 1 (b) Huomaa, että joukon B alkion b alkukuva f 1 (b) voi koostua yhdestä tai useammasta joukon alkiosta tai voi olla tyhjä. Jos funktio f on bijektio, joukon B jokaisen alkion b alkukuva f 1 (b) koostuu täsmälleen yhdestä joukon alkiosta a. Tällöin jokaiseen joukon B alkioon b voidaan liittää yksikäsitteinen käänteisalkio f 1 (b) = a Olkoon siis funktio f bijektio joukosta joukkoon B: f : B Sääntö, joka liittää jokaiseen joukon B alkioon b yksikäsitteisen käänteisalkion f 1 (b) = a määrittelee funktion f käänteisfunktion f 1 joukosta B joukkoon : f 1 : B Käänteisfunktion ominaisuuksia Oletetaan, että funktio f : B on bijektio, jolloin sillä on käänteisfunktio f 1 : B 1 Tällöin yhdistetty funktio ( f o f) on identtinen funktio joukossa ja yhdistetty funktio on identtinen funktio joukossa B: Olkoot 1 ( f o f) = 1 1 ( f o f ) = 1B 1 ( f o f ) TKK @ Ilkka Mellin (2006) 470

ja f : B g : B Oletetaan, että yhdistetty funktio ( go f): on identtinen funktio joukossa ja yhdistetty funktio ( f og): B B on identtinen funktio joukossa B. Tällöin g on funktion f käänteisfunktio: g = f 1. 1.5. Tulojoukot ja funktioiden kuvaajat Tarkastelemme tässä kappaleessa karteesisen tulon määrittelemistä sekä funktion kuvaajan esittämistä karteesisen tulon määrittelemässä tulojoukossa. Järjestetty pari Sanomme, että kaksikko (a, b) on olioiden a ja b järjestetty pari, jossa a = parin 1. alkio b = parin 2. alkio Järjestetyt parit (a, b) ja (c, d) ovat samat, jos Karteesinen tulo a = c ja b = d Olkoot ja B joukkoja. Joukkojen ja B tulojoukko eli karteesinen tulo B muodostuu kaikista järjestetyistä pareista joissa joten Funktion kuvaaja (a, b) a ja b B B = {(a, b) a, b B} Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: f : B Funktion f kuvaaja f on kaikkien niiden järjestettyjen parien (a, b) joukko, joissa a ja b = f(a), joten f = {(a, b) a, b = f(a)} TKK @ Ilkka Mellin (2006) 471

Siten funktion f kuvaaja f on tulojoukon B osajoukko: f B Funktion kuvaajan ominaisuudet Olkoon f funktio joukosta joukkoon B: f : B Tällöin funktion f kuvaajalla on seuraavat ominaisuudet: f = {(a, b) a, b = f(a)} (i) Jos a ja f(a) = b, niin järjestetty pari (a, b) f. (ii) Jokainen a voi olla ensimmäisenä alkiona täsmälleen yhdessä joukkoon f kuuluvassa järjestetyssä parissa: Jos (a, b) f ja (a, c) f, niin b = c. Kääntäen: Olkoon f joukkojen ja B karteesisen tulon osajoukko: B = {(a, b) a, b B} f B Oletetaan lisäksi, että joukolla f on seuraavat ominaisuudet: (i) Jos a, niin on olemassa b B siten, että järjestetty pari (a, b) f. (ii) Jokainen a voi olla ensimmäisenä alkiona täsmälleen yhdessä joukkoon f kuuluvassa järjestetyssä parissa: Jos (a, b) f ja (a, c) f, niin b = c. Siten f määrittelee säännön, joka liittää jokaiseen joukon alkioon a yksikäsitteisen joukon B alkion b: Ominaisuus (i) takaa sen, että jokaiseen joukon alkioon a liittyy jokin joukon B alkio b. Ominaisuus (ii) takaa sen, että joukon alkioon a liittyvä joukon B alkio b on yksikäsitteinen. Tämä merkitsee sitä, että f määrittelee funktion f joukosta joukkoon B. Edellä esitetystä seuraa, että jokaista funktiota f : B vastaa kääntäen yksikäsitteisesti karteesisen tulon B osajoukko f, joka toteuttaa ehdot (i) Jos a, niin on olemassa b B siten, että järjestetty pari (a, b) f. (ii) Jos (a, b) f ja (a, c) f, niin b = c. Siten funktiot ja ehdot (i) ja (ii) toteuttavat karteesisten tulojen osajoukot voidaan samaistaa, joten funktiota ja sen kuvaajaa ei tarvitse normaalisti erottaa toisistaan. TKK @ Ilkka Mellin (2006) 472

Funktiot voidaan siis määritellä myös seuraavalla tavalla (vrt. tätä määritelmää kappaleessa Funktiot annettuun määritelmään): Karteesisen tulon B = {(a, b) a, b B} osajoukko f määrittelee funktion joukosta joukkoon B, jos jokainen a on ensimmäisenä alkiona täsmälleen yhdessä joukkoon f kuuluvassa järjestetyssä parissa. Yleistetty karteesinen tulo Olkoot joukkoja ja 1, 2,, n niiden alkioita siten, että a 1, a 2,, a n a 1 1, a 2 2,, a n n Kutsutaan alkioiden a 1, a 2,, a n järjestettyä jonoa (a 1, a 2,, a n ) n tuppeliksi (tai n:iköksi). Joukkojen karteesinen tulo 1, 2,, n 1 2 n on kaikkien joukkojen 1, 2,, n alkioiden a 1, a 2,, a n n tuppeleiden eli järjestettyjen jonojen muodostama joukko: (a 1, a 2,, a n ) 1 2 n = {(a 1, a 2,, a n ) a 1 1, a 2 2,, a n n } 1.6. Joukko opin perusoperaatioiden yleistykset Tarkastelemme tässä kappaleessa joukko opin perusoperaatioiden yhdiste ja leikkaus yleistämistä useamman kuin kahden (äärettömän monen) joukon tapaukseen. Määrittelemme lisäksi käsitteet joukkoperhe, potenssijoukko eli joukon kaikkien osajoukkojen perhe eli sekä joukon ositus. Joukkoperheet Kutsutaan joukkojen kokoelmaa eli joukkoa, jonka alkiot ovat joukkoja joukko perheeksi. Joukkoperhe on siis joukko, jonka alkiot ovat joukkoja. TKK @ Ilkka Mellin (2006) 473

Potenssijoukot Olkoon joukko perusjoukon S osajoukko. Joukon kaikkien osajoukkojen muodostamaa joukkoperhettä kutsutaan joukon potenssijoukoksi. Merkitään joukon potenssijoukkoa seuraavasti: 2 Joukon potenssijoukko 2 voidaan määritellä formaalisti seuraavalla tavalla: Esimerkki 1. Olkoon 2 = { C C } = {1, 2, 3} Tällöin joukon potenssijoukko on 2 = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Siten joukon potenssijoukko 2 on joukkoperhe, jonka alkioina ovat: (i) Tyhjä joukko: (ii) Kaikki joukon yhden alkion osajoukot: {1}, {2}, {3} (iii) Kaikki joukon kahden alkion osajoukot: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} (iv) Joukko itse: {1, 2, 3} Jos joukko on äärellinen ja siinä on n = n() alkiota, niin joukon potenssijoukossa 2 on 2 n alkiota; ks. lukua Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka. Indeksoidut joukkoperheet Olkoon jokin joukkoperhe eli joukkojen kokoelma ja olkoon I jokin joukko. Indeksoidulla joukkoperheellä { } tarkoitetaan funktiota i i I f : I jossa joukkoa I kutsutaan indeksijoukoksi, joukon I alkiota i kutsutaan indeksiksi ja joukkoa i kutsutaan indeksoiduksi joukoksi. Esimerkki 2. Olkoon indeksijoukkona I äärellinen joukko {1, 2,, n} (n ensimmäistä positiivista kokonaislukua). Tällöin TKK @ Ilkka Mellin (2006) 474

{ } {,,, } = K i i I 1 2 on indeksoitu joukkoperhe. Esimerkki 3. Olkoon indeksijoukkona I luonnollisten lukujen joukko. Tällöin { } {,,, } = i i 1 2 K 3 on indeksoitu joukkoperhe. Yleistetyt joukko operaatiot Olkoon { } i i I indeksoitu joukkoperhe. Joukkojen i, i I yhdiste U i I i on niiden alkioiden x joukko, jotka kuuluvat ainakin yhteen joukoista i, i I: U Joukkojen i, i I leikkaus n i = { x On olemassa i I siten, että x i} i I I i I i on niiden alkioiden x joukko, jotka kuuluvat jokaiseen joukoista i, i I: I i = { x x i kaikille i I } i I Jos indeksijoukkona I on luonnollisten lukujen joukko, niin joukkojen i, i yhdiste voidaan määritellä muodossa U i= 1 = { x On olemassa, i = 1, 2,3, Ksiten, että x } i i i ja joukkojen i, i leikkaus voidaan määritellä muodossa I i= 1 = { x x kaikille i = 1, 2,3, K} i i Jos indeksijoukkona I on äärellinen joukko {1, 2,, n}, niin joukkojen i, i I yhdiste voidaan määritellä muodossa n U i= 1 = { x On olemassa, i= 1, 2, K, n siten, että x } i i i ja joukkojen i, i I leikkaus voidaan määritellä muodossa TKK @ Ilkka Mellin (2006) 475

n I i= 1 = { x x kaikille i = 1,2, K, n} i i TKK @ Ilkka Mellin (2006) 476

Yleistetyt distribuutiolait Olkoon { } i i I indeksoitu joukkoperhe ja olkoon B mielivaltainen joukko. Tällöin ja ( i) ( i) U B = B i I U i I ( i) ( i) I B = B i I Yleistetyt De Morganin lait Olkoon { } i i I indeksoitu joukkoperhe. Tällöin ja Ositukset I i I ( ) c c i = i U i I I i I ( ) c c i = i I i I U i I Olkoon perusjoukon S osajoukko ja olkoot B i, i I joukon epätyhjiä osajoukkoja: B i, i I Joukot B i,, i I muodostavat joukon osituksen, jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät: (i) (ii) Joukko saadaan joukkojen B i, i I yhdisteenä: U B i I i = Joukot B i, i I ovat pareittain pistevieraita: 1.7. Boolen algebrat B i B j =, jos i j Tässä kappaleessa tarkastellaan Boolen algebroita. Boolen algebran aksioomat muodostavat perustan joukko opin aksiomaattiselle käsittelylle ja joukko opin peruslaskusäännöt voidaan todistaa Boolen algebran aksioomista. TKK @ Ilkka Mellin (2006) 477

Boolen algebran aksioomat Olkoon S joukko ja jokin F joukon S osajoukkojen muodostama perhe eli F S Joukkoperhe F onboolen algebra, jos seuraavat ehdot pätevät: (i) (ii) Tyhjä joukko on joukkoperheen F alkio: F Jos joukko on joukkoperheen F alkio, niin myös sen komplementti c on joukkoperheen F alkio: c F F (iii) Jos joukot ja B ovat joukkoperheen F alkioita, niin myös niiden yhdiste B on joukkoperheen F alkio: F, B F B F Boolen algebroiden ominaisuudet Lause 1. Olkoon F jokin perusjoukon S osajoukoille määritelty Boolen algebra ja oletetaan, että Tällöin (a) Todistus: F, B F S F (b) B F (c) \ B F (d) B\ F Olkoon F jokin perusjoukon S osajoukoille määritelty Boolen algebra ja oletetaan, että F, B F Huomaa, että Boolen algebran aksioomista seuraa, että (a) c c F, F, B F, B F Osoitetaan, että S F Todetaan ensin, että c S = Boolen algebran aksiooman (i) mukaan F TKK @ Ilkka Mellin (2006) 478

(b) (c) (d) Boolen algebran aksiooman (ii) mukaan c F = S Osoitetaan, että B F Todetaan ensin, että De Morganin lain mukaan B= ( B ) c c c Boolen algebran aksiooman (ii) mukaan, c c F B F F, B F Boolen algebran aksiooman (iii) mukaan c c c c F, B F B F Boolen algebran aksiooman (ii) mukaan F c c c c c B F ( B ) = B F Ks. kuvaa oikealla. Osoitetaan, että \ B F Todetaan ensin, että \ B= B Boolen algebran aksiooman (ii) mukaan B B c c F Kohdan (b) mukaan F, c c F B F B = \ B F Ks. kuvaa oikealla. Sen osoittaminen, että B\ F tapahtuu samalla tavalla kuin (c) kohdan todistus. Boolen algebran aksioomista ja lauseesta 1 seuraa, että Boolen algebrat ovat suljettuja tavanomaisten joukko opin operaatioiden suhteen, kun operaatioita tehdään äärellinen määrä. Tällä tarkoitetaan siitä, että äärellinen määrä tavanomaisia joukko opin operaatioita ei vie Boolen algebran ulkopuolelle: Jos Boolen algebran F joukkoihin sovelletaan äärellinen määrä tavanomaisia joukko opin operaatioita komplementti, yhdiste, leikkaus ja erotus, niin tuloksena saatavat joukot kuuluvat edelleen Boolen algebraan F. Esimerkki 1. Boolen algebra. Olkoon S mielivaltainen joukko ja olkoon TKK @ Ilkka Mellin (2006) 479

S mielivaltainen joukon S osajoukko. Tällöin joukkoperhe c F= {,,, S} muodostaa Boolen algebran joukossa S, koska (i) F (ii) B c F B (iii) B F, C F B C F jossa B ja C voivat olla mitkä tahansa kaksi joukoista c,,, S F 1.8. σ algebrat Tässä kappaleessa tarkastellaan σ algebroita. σ algebran aksioomat muodostavat laajennuksen Boolen algebran aksioomille ja niitä tarvitaan tilanteissa, joissa halutaan operoida samanaikaisesti numeroituvasti äärettömän monella joukolla. σ algebran aksioomat Olkoon S joukko ja jokin F joukon S osajoukkojen muodostama perhe eli F S Joukkoperhe F on σ algebra, jos seuraavat ehdot pätevät: (i) (ii) Tyhjä joukko on joukkoperheen F alkio: F Jos joukko on joukkoperheen F alkio, niin myös sen komplementti c on joukkoperheen F alkio: c F F (iii) Jos joukot 1, 2, 3, ovat joukkoperheen F alkioita, niin myös niiden yhdiste i on joukkoperheen F alkio:,,, K F i F 1 2 3 σ algebroiden ominaisuudet U i= 1 Jos joukkoperhe F toteuttaa σ algebran aksioomat, niin se toteuttaa Boolen algebran aksioomat. Siten kaikki Boolen algebroiden laskusäännöt pätevät σ algebroille. Erityisesti siis kappaleessa Boolen algebrat esitettyä lausetta 1 vastaava lause pätee myös σ algebroille: Lause 1. Olkoon F jokin perusjoukon S osajoukoille määritelty σ algebra ja oletetaan, että F, B F TKK @ Ilkka Mellin (2006) 480

Tällöin: (a) S F (b) B F (c) \ B F (d) B\ F Lauseen 1 kohta (b) voidaan laajentaa koskemaan numeroituvaa määrää σ algebran joukkoja: Lause 2. Todistus: Olkoon F jokin perusjoukon S osajoukoille määritelty σ algebra ja oletetaan, että 1, 2, 3, F Tällöin joukkojen 1, 2, 3, leikkaus i on σ algebran F alkio: 1, 2, 3, K F i F I i= 1 Olkoon F jokin perusjoukon S osajoukoille määritelty σ algebra ja oletetaan, että 1, 2, 3, F Todetaan ensin, että De Morganin lain yleistyksen mukaan c c Ii = Ui i= 1 i= 1 σ algebran aksiooman (ii) mukaan,,, K F,,, K F c c c 1 2 3 1 2 3 σ algebran aksiooman (iii) mukaan c c c c 1, 2, 3, K F U i i= 1 F σ algebran aksiooman (ii) mukaan c U c c i F U i I i i= 1 i= 1 i= 1 = F σ algebran aksioomista ja lauseista 1 ja 2 seuraa, että σ algebrat ovat suljettuja tavanomaisten joukko opin operaatioiden suhteen, kun operaatioita tehdään korkeintaan numeroituva määrä. Tällä tarkoitetaan siitä, että numeroituva määrä tavanomaisia joukko opin operaatioita ei vie σ algebran ulkopuolelle: Jos siis σ algebran F joukkoihin sovelletaan korkeintaan numeroituva määrä tavanomaisia joukkoopin operaatioita komplementti, yhdiste, leikkaus ja erotus, niin tuloksena saatavat joukot kuuluvat edelleen σ algebraan F. TKK @ Ilkka Mellin (2006) 481

Liite 2: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit 2. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit 2.1. Verkot 2.2. Puut 2.3. Puutodennäköisyydet 2.4. Puut ja todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Liitteessä 2 esitellään verkkoteorian peruskäsitteet sellaisessa laajuudessa, että voimme määritellä puumaiset verkot eli puut. Liitteen varsinaisena päätavoitteena on näyttää miten todennäköisyyslaskennan sääntöjä voidaan havainnollistaa puumaisten verkkojen avulla. vainsanat: lkupiste, Epäyhtenäisyys, Erotustapahtuma, Erotustapahtuman todennäköisyys, Kokonaistodennäköisyyden kaava, Komplementti, Komplementtitapahtuman todennäköisyys, Leikkaus, Loppupiste, Piste, Puu, Puudiagrammi, Puutodennäköisyys, Reitti, Riippumattomuus, Silmukka, Särmä, Toisensa poissulkevuus, Tulosääntö, Tulosääntö riippumattomille tapahtumille, Unioni, Verkko, Verkkodiagrammi, Yhdiste, Yhteenlaskusääntö, Yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille, Yhtenäisyys, Yleinen tulosääntö, Yleinen yhteenlaskusääntö TKK @ Ilkka Mellin (2006) 482

Liite 2: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit 2.1. Verkot Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa, operaatiotutkimuksessa, peli ja päätösteoriassa sekä todennäköisyyslaskennassa. Tässä kappaleessa tarkastellaan verkkoteorian peruskäsitteitä. Verkon määritelmä Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta ja insidenssikuvauksesta jossa : V V V,, V = Insidenssikuvaus kertoo mitkä verkon pisteistä ovat särmien yhdistämiä. Olkoon a v, w V ja ( a) = ( vw, ) Tällöin sanomme, että : v = särmän a = (v, w) alkupiste w = särmän a = (v, w) loppupiste Jos piste v ei ole yhdenkään särmän alkupiste tai loppupiste, sanomme, että piste v on eristetty. Verkkoja tarkastellaan tässä esityksessä suunnattuina verkkoina, millä tarkoitetaan sitä, että verkon jokaisella särmällä on suunta, joka osoittaa särmän alkupisteestä särmän loppupisteeseen. Verkkodiagrammi on verkon graafinen esitys. Verkkodiagrammi voidaan konstruoida seuraavalla tavalla: (i) (ii) Merkitään verkon pisteet tasoon. Piirretään jokaisen särmän a = (v, w) alkupisteestä v nuoli särmän loppupisteeseen w. Ks. kuvaa oikealla. a w v TKK @ Ilkka Mellin (2006) 483

Liite 2: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Esimerkki 1. Verkko. Tarkastellaan oikealla olevaa verkkodiagrammia. Pisteiden joukko V: Särmien joukko : Insidenssikuvaus : V = { v, v, v, v, v, v, v, v, v, v, v } 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 = { a, a, a, a, a, a, a, a, a, a } 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ( a ) = ( v, v ) ( a ) = ( v, v ) 1 1 2 6 5 8 ( a ) = ( v, v ) ( a ) = ( v, v ) 2 1 3 7 5 9 ( a ) = ( v, v ) ( a ) = ( v, v ) 3 2 5 8 9 6 ( a ) = ( v, v ) ( a ) = ( v, v ) 4 6 2 9 7 10 ( a ) = ( v, v ) ( a ) = ( v, v ) 5 6 3 10 11 7 Esimerkiksi piste v 6 on särmien a 4 ja a 5 alkupiste ja särmän a 8 loppupiste. Särmän a 7 alkupiste on v 5 ja loppupiste on v 9. Piste v 4 on eristetty, koska se ei ole yhdenkään särmän alku tai loppupiste. Reitti ja silmukka Särmät { a, a,, } 1 2 K ak 1 muodostavat reitin pisteestä v 1 pisteeseen v k, jos on olemassa pisteet siten, että v 1, v 2,, v k ( a ) = ( v, v ), i= 1,2, K, k 1 i i i+ 1 Jos pisteestä v 1 pisteeseen v k on reitti, sanotaan, että reitti vie pisteestä v 1 pisteeseen v k tai, että pisteestä v 1 pääsee pisteeseen v k. Esimerkki 1. Reitti. Reitti Viereisen kuvan verkossa on useita reittejä. Pisteestä v 1 pääsee pisteisiin v 2, v 3, v 5, v 6, v 8, v 9 vähintään yhtä reittiä pitkin. Pisteestä v 1 pisteeseen v 3 vie kaksi reittiä: Reitti 1: {a 2 } Reitti 2: {a 1, a 3, a 7, a 8, a 5 } Pisteestä v 6 ei pääse pisteeseen v 1 ja pisteestä v 1 ei pääse pisteisiin v 4, v 7, v 10, v 11. { a, a,, } 1 2 K ak 1 TKK @ Ilkka Mellin (2006) 484

Liite 2: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit muodostaa silmukan, jos on olemassa pisteet siten, että ja lisäksi v 1 = v k. v 1, v 2,, v k Esimerkki 2. Silmukka. ( a ) = ( v, v ), i= 1,2, K, k 1 i i i+ 1 Viereisen kuvan verkossa on yksi silmukka: {a 3, a 7, a 8, a 4 } Huomaa, että esimerkiksi särmät {a 1, a 4, a 5, a 2 } eivät muodosta silmukkaa. Verkon yhtenäisyys Verkko on yhtenäinen, jos sen pisteiden joukkoa V ei voida osittaa kahdeksi epätyhjäksi osajoukoksi siten, että verkon jokaisen särmän alkupiste ja loppupiste kuuluvat samaan osajoukkoon. Siten yhtenäisen verkon pisteiden joukkoa V ei voida osittaa kahteen epätyhjään osajoukkoon V 1 ja V 2 seuraavalla tavalla: Jos a = (v, w) on verkon mielivaltainen särmä, niin täsmälleen toinen ehdoista (i) tai (ii) pätee: (i) v V 1 ja w V 1 (ii) v V 2 ja w V 2 Verkko on epäyhtenäinen, jos se ei ole yhtenäinen. Epäyhtenäisen verkon pisteet voidaan osittaa kahdeksi (tai useammaksi) epätyhjäksi osajoukoksi siten, että verkon jokaisen särmän alkupiste ja loppupiste kuuluvat täsmälleen yhteen osajoukoista. Esimerkki 1. Yhtenäisyys. Viereisen kuvan verkko on epäyhtenäinen, mutta se koostuu kolmesta yhtenäisestä aliverkosta: liverkko 1: liverkko 2: liverkko 3: V = { v, v, v, v, v, v, v } {,,,,,,, } 1 1 2 3 5 6 8 9 = a a a a a a a a V 1 1 2 3 4 5 6 7 8 { v } 2 4 2 = = {,, } { a, a } V = v v v 3 7 10 11 = 3 9 10 TKK @ Ilkka Mellin (2006) 485

Liite 2: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit 2.2. Puut Tässä kappaleessa tarkastellaan puumaisten verkkojen eli puiden määrittelemistä. Puun määritelmä Verkko on puu, jonka juurena on piste v 1, jos seuraavat ehdot pätevät: (i) (ii) Verkko on yhtenäinen. Verkossa ei ole silmukoita. (iii) Jos w v 1 on mielivaltainen verkon piste, pisteestä v 1 pisteeseen w pääsee täsmälleen yhtä reittiä pitkin. Puun ominaisuudet Puulla on täsmälleen yksi alkupiste, sen juuri v 1. Puun alkupisteestä v 1 vie täsmälleen yksi reitti puun jokaiseen muuhun pisteeseen. Puun alkupisteeseen v 1 ei tule yhtään särmää. Puulla on yksi tai useampia loppupisteitä. Puun loppupisteestä ei lähde yhtään särmää. Jokaisen särmän loppupiste (ellei se ole samalla koko puun loppupiste) on yhden tai useamman särmän alkupiste. Puudiagrammi Puudiagrammi on puun graafinen esitys. Puudiagrammi voidaan konstruoida seuraavalla tavalla: (i) Merkitään puun pisteet tasoon. (ii) Piirretään jokaisen särmän a = (v, w) alkupisteestä v nuoli särmän loppupisteeseen w. Puudiagrammin piirtämisessä käytetään tavallisesti toista seuraavista tavoista: Puu piirretään ylösalaisin niin, että sen juuri eli alkupiste on ylhäällä ja loppupisteet ovat alhaalla. Puu piirretään makaamaan niin, että sen juuri eli alkupiste on vasemmalla ja loppupisteet ovat oikealla. Esimerkki 1. Viereisen kuvan verkko ei ole puu. Perustelut: (i) Verkko ei ole yhtenäinen. (ii) Verkossa on silmukoita. (iii) Esimerkiksi pisteestä v 1 ei pääse pisteeseen v 4. TKK @ Ilkka Mellin (2006) 486

Liite 2: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Esimerkki 2. Viereisen kuvan verkko on puu. Perustelut: (i) Verkko on yhtenäinen. (ii) Verkossa ei ole silmukoita. (iii) Verkon alkupisteestä eli juuresta v 1 vie reitti verkon jokaiseen muuhun pisteeseen. Puun loppupisteiden joukko: {v 5, v 7, v 8, v 9, v 10 } lkupisteestä v 1 loppupisteisiin v 5, v 7, v 8, v 9, v 10 vievät reitit: 1. Loppupisteeseen v 5 vie reitti {a 2, a 4 } 2. Loppupisteeseen v 7 vie reitti {a 1, a 3, a 6 } 3. Loppupisteeseen v 8 vie reitti {a 1, a 3, a 7 } 4. Loppupisteeseen v 9 vie reitti {a 2, a 5, a 8 } 5. Loppupisteeseen v 10 vie reitti {a 2, a 5, a 9 } 2.3. Puutodennäköisyydet Tässä kappaleessa tarkastellaan miten satunnaisilmiötä havainnollistetaan konstruoimalla ilmiölle puumainen verkko sekä miten ilmiöön liittyviä todennäköisyyksiä lasketaan konstruoidun puun avulla. Puudiagrammin konstruointi Periaatteessa jokainen alkeistodennäköisyyslaskennan tehtävä voidaan ratkaista käyttämällä apuna ns. puudiagrammeja. Jos tehtävän satunnaisilmiö on osattu kuvata puudiagrammilla, tehtävän ratkaisemisessa tarvittavat puutodennäköisyydet saadaan määrätyksi käyttämällä kahta yksinkertaista laskusääntöä, tulosääntöä ja yhteenlaskusääntöä. Puun konstruointi Satunnaisilmiötä voidaan kuvata puudiagrammilla, jos ilmiö osataan esittää seuraavassa muodossa: (i) (ii) Ilmiöllä on alkutila ja useita vaihtoehtoisia lopputiloja. Ilmiö koostuu tapahtumajonoista, joissa alkutilasta siirrytään vaiheittain johonkin ilmiön vaihtoehtoisista lopputiloista. (iii) Jokaisessa ilmiön vaiheessa kohdataan yksi tai useampia tapahtumavaihtoehtoja, joista yksi realisoituu ja johtaa uusin tapahtumavaihtoehtoihin. TKK @ Ilkka Mellin (2006) 487

Liite 2: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Satunnaisilmiötä vastaavan puudiagrammin konstruointi: 1. setetaan puun juuri vastaamaan ilmiön alkutilaa. 2. setetaan puun loppupisteet ( oksien kärjet ) vastaamaan ilmiön lopputiloja. 3. setetaan puun pisteet ( oksien haarautumiskohdat ) vastaamaan ilmiön tapahtumia. 4. Viedään puun jokaisesta pisteestä särmä ( oksa ) kaikkiin sellaisiin pisteisiin, joita vastaavat tapahtumavaihtoehdot ovat ilmiön siinä vaiheessa mahdollisia. 5. Liitetään jokaiseen pisteestä lähtevään särmään siinä vaiheessa mahdollisten tapahtumavaihtoehtojen todennäköisyydet. Puudiagrammin konstruointia voidaan havainnollistaa alla olevalla kuviolla. Siinä tarkastellaan satunnaisilmiötä vaiheessa, jossa tapahtuma on sattunut. Olkoot :n sattumisen jälkeen mahdolliset tapahtumavaihtoehdot B i, i = 1, 2,, m Viedään pisteestä särmä jokaiseen pisteistä B i, i = 1, 2,, m Liitetään jokaiseen särmään (, B i ), i = 1, 2,, m ehdollinen todennäköisyys r p = Pr( B ) i i jossa r on tapahtumajono, joka on tuonut pisteeseen. Koska :n sattumisen jälkeen ei ole muita mahdollisia tapahtumavaihtoehtoja kuin niin todennäköisyyksien on toteutettava ehto Huomautuksia: B i, i = 1, 2,, m p i, i = 1, 2,, m m m r p = Pr( B ) = 1 i i= 1 i= 1 i Puudiagrammi piirretään tavallisesti joko niin, että sen alkupiste on ylhäällä ja loppupisteet ovat alhaalla tai niin, että sen alkupiste on vasemmalla ja loppupisteet ovat oikealla. Useat puun pisteet saattavat vastata samaa tapahtumaa. Mistä tahansa puun pisteestä lähtevien särmien todennäköisyyksien summa on 1. B 1 p 1 B k p k p m B m TKK @ Ilkka Mellin (2006) 488

Liite 2: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyydet Puutodennäköisyydellä tarkoitetaan todennäköisyyttä päästä puun alkupisteestä yhden tai useamman muun puun pisteen määräämään yhdistettyyn tapahtumaan. Mielivaltaisen puun pisteen todennäköisyys saadaan määräämällä alkupisteestä ko. pisteeseen vievän reitin todennäköisyys. Reitin todennäköisyys saadaan soveltamalla reittiin kuuluvien särmien todennäköisyyksiin tulosääntöä. Usean pisteen määräämän yhdistetyn tapahtuman todennäköisyys saadaan soveltamalla ko. pisteisiin vievien reittien todennäköisyyksiin yhteenlaskusääntöä. Tulosääntö puutodennäköisyyksille Reitin todennäköisyys saadaan määräämällä reittiin kuuluvien särmien todennäköisyyksien tulo. Sääntöä kutsutaan puutodennäköisyyksien tulosäännöksi. Perustelu: (1) Reitti on tapahtumajono, jonka muodostavat reitin pisteet. (2) Reitin muodostava tapahtumajono sattuu, jos jokainen jonon tapahtumista sattuu. (3) Todennäköisyyslaskennan yleisen tulosäännön mukaan reitin todennäköisyys saadaan määräämällä reittiin kuuluvien särmien todennäköisyyksien tulo. Olkoon siis L, 1, 2,, k jokin niistä vaihtoehtoisista tapahtumajonoista, joista satunnaisilmiö muodostuu. Tällöin parit (L, 1 ), ( 1, 2 ), ( 2, 3 ),, ( k 1, k ) muodostavat satunnaisilmiön alkutilasta L satunnaisilmiön (loppu ) tilaan k vievän reitin särmät. Liitetään reitin (L, 1 ), ( 1, 2 ), ( 2, 3 ),, ( k 1, k ) särmiin todennäköisyydet seuraavalla tavalla: (L, 1 ) Pr( 1 ) = p 1 ( 1, 2 ) Pr( 2 1 ) = p 2 ( 2, 3 ) Pr( 3 1 2 ) = p 3 L p 2 p 1 1 2 p 3 3 Reitin ( k 1, k ) Pr( k 1 2 3 k 1 ) = p k (L, 1 ), ( 1, 2 ), ( 2, 3 ),, ( k 1, k ) todennäköisyys on yleisen tulosäännön nojalla: Pr( 1 2 3 k ) = Pr( 1 ) Pr( 2 1 ) Pr( 3 1 2 ) Pr( k 1 2 3 k 1 ) = p 1 p 2 p 3 p k p k k Reitti k k 1 TKK @ Ilkka Mellin (2006) 489

Liite 2: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyyksien tulosääntöä voidaan havainnollistaa yllä olevalla puudiagrammilla. Reitin k todennäköisyys on puutodennäköisyyksien tulosäännön mukaan Pr(Reitti k) = p 1 p 2 p 3 p k Yhteenlaskusääntö puutodennäköisyyksille Jos useita (loppu ) tiloja yhdistetään yhdeksi tapahtumaksi, näin saadun yhdistetyn tapahtuman todennäköisyyssaadaan määräämällä ko. tiloihin vievien reittien todennäköisyyksien summa. Sääntöä kutsutaan puutodennäköisyyksien yhteenlaskusäännöksi. Perustelu: ko. (1) Puun eri pisteisiin vievät reitit ovat toisensa poissulkevia. (2) Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön mukaan useista (loppu ) pisteistä yhdistämällä saatavan tapahtuman todennäköisyys saadaan määräämällä pisteisiin vievien reittien todennäköisyyksien summa. Yhdistetään satunnaisilmiön (loppu ) tilat B 1, B 2,, B k yhdeksi tapahtumaksi C = B 1 B 1 B k Olkoot tiloja B 1, B 2,, B k vastaavat reitit Reitti 1, Reitti 2,, Reitti k Koska puun eri pisteisiin vievät reitit ovat toisensa poissulkevia, tapahtuman C todennäköisyys on toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön nojalla: Pr(C) = Pr(Reitti 1 tai Reitti 2 tai tai Reitti k) = Pr(Reitti 1) + Pr(Reitti 2) + + Pr(Reitti k) Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusääntöä voidaan havainnollistaa viereisellä puudiagrammilla: Pr(C) = Pr(Reitti 1) + Pr(Reitti 2) + Pr(Reitti k) 2.4. Puut ja todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Tässä kappaleessa tarkastellaan seuraavien todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen havainnollistamista puudiagrammin avulla: (i) Komplementtitapahtuman todennäköisyys. Reitti:...... B 1 B 2 B k 1 2 k 1 4 2 4 43 C TKK @ Ilkka Mellin (2006) 490

Liite 2: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit (ii) (iii) (iv) (v) (vi) Yleinen tulosääntö Tulosääntö riippumattomille tapahtumille. Yleinen yhteenlaskusääntö. Yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille. Erotustapahtuman todennäköisyys. (vii) Kokonaistodennäköisyyden kaava. Komplementtitapahtuman todennäköisyys Olkoon S jokin otosavaruuden S tapahtuma ja olkoon c = ei satu tapahtuman komplementtitapahtuma. Koska joukot ja c muodostavat otosavaruuden S osituksen eli c = S c = niin todennäköisyyden aksioomista seuraa, että Pr(S) = Pr( c ) = Pr() + Pr( c ) = 1 josta saadaan komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaava Pr( c ) = 1 Pr() Kaavaa voidaan havainnollistaa oikealla olevalla Venndiagrammilla. Komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavaa voidaan havainnollistaa myös viereisellä puudiagrammilla. Yhdistetyn tapahtuman c = S todennäköisyydeksi saadaan puutodennäköisyyksien yhteenlaskusäännön nojalla Pr(S) = Pr() + Pr( c ) = 1 josta komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaava seuraa. Yleinen tulosääntö Olkoot S ja B S otosavaruuden S tapahtumia. Yleisen tulosäännön mukaan yhdistetyn tapahtuman todennäköisyys on B = ja B sattuu Pr( B) = Pr()Pr(B ) c L Pr() Pr( c ) c S TKK @ Ilkka Mellin (2006) 491

Liite 2: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Sääntöä voidaan havainnollistaa oikealla olevalla Venn diagrammilla. Yleistä tulosääntöä voidaan havainnollistaa myös viereisellä puudiagrammilla. Yhdistetyn tapahtuman B = ja B sattuu todennäköisyydeksi saadaan puutodennäköisyyksien tulosäännön nojalla Pr( B) = Pr()Pr(B ) Tulosääntö riippumattomille tapahtumille Olkoot S ja B S otosavaruuden S riippumattomia tapahtumia. Riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan yhdistetyn tapahtuman todennäköisyys on B = ja B sattuu Pr( B) = Pr()Pr() Riippumattomien tapahtumien tulosääntöä voidaan havainnollistaa viereisellä puudiagrammilla. Koska tapahtumien ja B riippumattomuudesta seuraa, että Pr(B ) = Pr(B) niin yhdistetyn tapahtuman B = ja B sattuu todennäköisyydeksi saadaan puutodennäköisyyksien tulosäännön nojalla Pr( B) = Pr()Pr(B) L Pr() Pr(B ) B L Pr() Pr(B) B Yleinen yhteenlaskusääntö Olkoot S ja B S otosavaruuden S tapahtumia. Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan yhdistetyn tapahtuman todennäköisyys on B = tai B sattuu Pr( B) = Pr() + Pr(B) Pr( B) Sääntöä voidaan havainnollistaa viereisellä Venndiagrammilla. Yleisen yhteenlaskusäännön todistus voidaan perustaa siihen, että joukot TKK @ Ilkka Mellin (2006) 492