Äärellisistä ryhmistä, transversaaleista ja luupeista

Äärellisistä ryhmistä, transversaaleista ja luupeista Pro Gradu - tutkielma Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006

Oulun yliopisto Tiedekunta/osasto/laitos Matemaattisten tieteiden laitos Tiivistelmä opinnäytetyöstä Tekijä Miikka Rytty Työn nimi Äärellisistä ryhmistä, transversaaleista ja luupeista Oppiaine Työn laji Aika Sivumäärä Matematiikka Pro Gradu - tutkielma syyskuu 2006 69 Tiivistelmä Tässä tutkielmassa perehdytään transversaaleihin ja niiden soveltamiseen ryhmien ja luuppien teorioissa. Päähuomio on äärellisissä ryhmissä. Aluksi transversaalien avulla muodostetaan tulosten todistuksissa hyödyllisiä ryhmän toimintoja joukolle, mutta lopuksi tutkitaan miten tietyntyyppisten transversaalien olemassaolo vaikuttaa suoraan ryhmän rakenteeseen. Todistuksissa käytetään pääasiassa ryhmäteorian alkeistuloksia, mutta välillä joudutaan viittaamaan syvällisempiin tuloksiin kuten Feit-Thompsonin lauseeseen. Alussa tarkastelun kohteena ovat ryhmän ali- ja tekijäryhmien komplementtien olemassaolo. Näihin liittyen todistetaan Burnsiden lause, joka osoittaa, että äärellisen ryhmän Sylowin p-aliryhmällä on normaali komplementti, mikäli se sisältyy normalisoijansa keskukseen. Sovellutuksena tästä tarkastellaan äärellisten yksinkertaisten ryhmien kertalukuja. Lisäksi todistetaan Schur- Zassenhausin lause, joka takaa, että äärellisten ryhmien normaaleilla Hallaliryhmillä on komplementti ja että nämä komplementit muodostavat konjugointiluokan. Fuusion käsitettä tutkittaessa saadaan uusia komplementteja koskevia tuloksia. Näistä tärkeimpänä on tulos, joka antaa yhtäpitävän ehdon sille, että ryhmän G nilpotentilla tekijäryhmällä H/J, jolla syt([g : H], H/J ) = 1, on normaali komplementti. Lisäksi todistetaan Frobeniuksen lause, jonka nojalla äärellinen ryhmä G on p-nilpotentti jos ja vain jos tekijäryhmä N G(Q)/C G(Q) on p-ryhmä jokaisella p-ryhmällä Q G. Tutkielman loppupuolella huomio käännetään luuppeihin ja H-yhdistettyihin transversaaleihin. Aluksi tarkastellaan miten H-yhdistetyt transversaalit vaikuttaavat ryhmän rakenteeseen. Lisäksi esitellään ryhmien eräs eiassosiatiivinen yleistys, luuppi, ja näiden kertolaskuryhmät. Näiden päätuloksena todistetaan, että ryhmä G on isomorfinen jonkun luupin kertolaskuryhmän kanssa jos ja vain jos ryhmällä G on aliryhmä H, jolla L G(H) = {1} ja on olemassa kaksi H-yhdistetyttyä transversaalia, jotka generoivat ryhmän G. Lopuksi tehdään pieni huomio liittyen äärellisen ryhmän ratkeavuuteen. Tämän avulla todistetaan, että äärellinen luuppi on ratkeava, mikäli sen sisäisen kertolaskuryhmän kertaluku on kahdeksan. Muita tietoja 1

Sisältö 1 Johdanto 3 2 Perusteita 4 2.1 Perustuloksia............................. 4 2.2 Ketjut ja ryhmän normaali rakenne................. 12 2.3 Ryhmän toiminta joukolle...................... 17 3 Transversaalit 21 3.1 Perusteita transversaaleista..................... 21 3.2 Transversaaleja ryhmän toimintojen kohteena........... 24 4 Hall-aliryhmistä ja komplementeista 31 4.1 Ryhmä, jonka kaikki Sylowin aliryhmät ovat syklisiä....... 35 4.2 Äärellisen ryhmän normaaleista Hall-aliryhmistä......... 37 5 Fuusiosta 42 6 H-yhdistetyt transversaalit 52 7 Luupeista 60 7.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 60 7.2 Luuppien kertolaskuryhmät ja transversaalit............ 63 8 Pieni huomio äärellisen ryhmän ja luupin ratkeavuudesta 67 8.1 Sananen luuppien ratkeavuudesta.................. 68 2

1 Johdanto Tässä tutkielmassa perehdytään transversaaleihin ja niiden soveltamiseen ryhmien ja luuppien teorioissa. Päähuomio on äärellisissä ryhmissä. Tutkielman alkuosassa transversaaleja käytetään lähinnä työkaluina tuloksia todistettaessa, mutta lopussa tutkitaan miten tietyntyyppisten transversaalien olemassaolo vaikuttaa suoraan ryhmän rakenteeseen. Aluksi esitellään joukko perustuloksia, joita tarvitaan tutkielman päätuloksien todistuksissa. Tarkempi huomio kohdistetaan nilpotentteihin ryhmiin ja niiden ominaisuuksiin. Lisäksi esitellään ryhmän toiminta joukolle, jota voidaan pitää permutaation yleistyksenä. Kolmannessa kappaleessa tutustutaan transversaalien määritelmään ryhmäteoriassa. Ryhmän G aliryhmän H määräämien transversaalien joukolle määritellään ekvivalenssirelaatio, jonka ekvivalenssiluokkien joukolle kohdistuvaa ryhmän G toimintaa tutkimalla pystytään osoittamaan milloin kommutatiivisella tekijäryhmällä H/J on normaali komplementti ryhmässä G. Neljännessä kappaleessa esitellään Hall-aliryhmän ja p-nilpotenttisuuden käsite. Kolmannen kappaleen tulosten seurauksina esitetään erilaisia ehtoja sille milloin Hall-aliryhmällä on normaali komplementti. Tärkeimpinä lauseina ovat Burnsiden ja Schur-Zassenhausin lauseet. Burnsiden lauseen sovelluksina todistetaan rajoituksia äärellisen yksinkertaisen ryhmän kertaluvulle ja tutkitaan äärellisiä ryhmiä, joiden kaikki Sylowin aliryhmät ovat syklisiä. Lisäksi todistetaan yhteys nilpotenttisuuden ja p-nilpotenttisuuden välille äärellisissä ryhmissä. Fuusion käsite ryhmässä esitellään viidennessä kappaleessa. Tämän sovellutuksina saadaan yleistettyä aikaisempia ryhmän hajoamista koskevia tuloksia. Lisäksi todistetaan Frobeniuksen lause, joka antaa yhtäpitävän ehdon sille milloin äärellinen ryhmä on p-nilpotentti. Kuudennessa kappaleessa käsitellään H-yhdistettyjä transversaaleja ja miten niiden olemassaolo vaikuttaa ryhmän rakenteeseen. Seitsemännessä kappaleessa esitellään luupit, jotka ovat ryhmän eräs ei-assosiatiivinen yleistys. Huomio kiinnitetään luuppien kertolaskuryhmiin, jolloin luuppien rakennetta voidaan tutkia ryhmäteorian avulla. Kappaleen päätuloksena osoitetaan yhtäpitävä ehto sille, että ryhmä on isomorfinen jonkin luupin kertolaskuryhmän kanssa. Viimeisessä kappaleessa käytetään kolmen aikaisemman kappaleen päätuloksia. Näiden avulla saadaan pieni huomio liittyen äärellisen ryhmän ratkeavuuteen, kun tällä on tietyn normaalin rakenteen omaava aliryhmä H ja H-yhdistetyt transversaalit. Tämän seurauksena saadaan osoitettua, että äärellinen luuppi on ratkeava, mikäli sen sisäisen kertolaskuryhmän kertaluku on kahdeksan. 3

2 Perusteita Esitiedoiksi vaaditaan ryhmäteorian perusteita (lähteet [5], [6] ja [7]), jotka voi löytää valtaosasta abstraktia algebraa käsittelevistä kirjoista. Jatkossa 1 merkitsee luvun yksi lisäksi myös minkä tahansa ryhmän neutraalialkiota ja joukko {1} on minkä tahansa ryhmän neutraalialkion muodostama aliryhmä. Luonnollisten lukujen joukko N sisältää positiivisten kokonaislukujen Z + lisäksi nollan. Termi suppein sellainen aliryhmä tarkoittaa, että kyseinen aliryhmä sisältyy kaikiin muihin vastaavan ominaisuuden omaaviin aliryhmiin. Vastaavasti myös puhutaan laajimmasta aliryhmästä. Sovitaan, että jatkossa p tulee tarkoittamaan alkulukua ja ϖ merkitsee joukkoa alkulukuja. Tällöin äärellinen ryhmä G on ϖ-ryhmä, mikäli p ϖ aina, kun p jakaa kertaluvun G. Jos ϖ = {p}, niin merkitään vain ϖ = p. Ryhmän G osajoukkojen X 1, X 2,... X n generoimaa aliryhmää merkitään X 1, X 2,... X n. Mikäli osajoukko X i koostuu vain yhdestä alkiosta x i, niin joukon aaltosulkeet voidaan jättää generaattoreiden merkinnästä pois. 2.1 Perustuloksia Aluksi esitellään pari hyödyllistä perustulosta ilman todistuksia. Homomorfismien peruslauseen lisäksi tarvitaan tulosta, jota jatkossa kutsutaan ensimmäiseksi isomorfialauseeksi. Todistus löytyy lähteestä [11], teoreema 3.30 (s. 50). Lause 1 (Ensimmäinen isomorfialause). Olkoon K G. Tällöin jokainen tekijäryhmän G/K aliryhmä on muotoa H/K, missä K H G. Lisäksi H/K G/K jos ja vain jos H G ja tällöin G/H = G/K H/K. Seuraavaa isomorfialausetta tullaan kutsumaan toiseksi isomorfialauseeksi. Sen todistus löytyy lähteestä [11], teoreema 3.40 (s. 56). Lause 2 (Toinen isomorfialause). Olkoon H G ja K G. Tällöin H K H ja HK/K = H/(H K). Lopuksi ilman todistusta otetaan niin kutsuttu Dedekindin sääntö, joka löytyy lähteestä [11] teoreemasta 7.3 (s. 122). Lemma 1 (Dedekindin sääntö). Olkoot A, B ja C ryhmän G aliryhmiä ja B A. Tällöin A (BC) = B(A C) ja (A C)B = A CB. Seuraavassa esitetetään ja todistetaan sekalainen joukko perustuloksia, joita käytetään apuna vaativampien tulosten todistuksissa. Lemma 2. Olkoon G ryhmä, K G ja [G : K] = n. Jos g m K ja syt(n, m) = 1 eräällä g G, niin g K. Lisäksi g n K aina, kun g G. 4

Todistus. Oletuksen perusteella (gk) m = g m K = K. Täten alkion (gk) generoiman syklisen ryhmän kertaluku k jakaa luvun m. Toisaalta gk G/K eli kertaluku k jakaa tekijäryhmän kertaluvun n. Nyt siis 1 k syt(n, m) = 1 eli k = 1. Täten gk = K eli g K. Koska g n K = (gk) n = K, niin g n K kaikilla g G. Lause 3. Olkoon G äärellinen Abelin ryhmä ja p alkuluku. Jos p G, niin ryhmällä G on kertalukua p oleva syklinen ryhmä. Lisäksi jokaista kertaluvun G jakajaa n kohti on olemassa kertalukua n oleva ryhmän G aliryhmä. Todistus. Todistetaan ensimmäinen väite induktiolla. Perusaskel on triviaali, joten voidaan olettaa, että G > 1 ja väite pätee tätä kertalukua pienemmillä ryhmillä. Jos ryhmä G on syklinen, niin väite on selvä. Voidaan siis olettaa, että ryhmän G kertaluku m on yhdistetty luku ja p on luvun m eräs aito alkutekijä. Lisäksi tiedetään, että ryhmällä G on ei-triviaali normaali aliryhmä K. Nyt alkuluku p jakaa toisen kertaluvuista K = k tai G/K = n. Ensimmäisessä tapauksessa väite seuraa suoraan induktio-oletuksesta. Toisessa tapauksessa voidaan lisäksi olettaa, että p k. Induktio-oletusta soveltamalla saadaan, että on olemassa sellainen x G \ {1}, että xk = p. Siis x p = y eräällä y K. Tarkastellaan alkiota x k. Jos x k = 1, niin (xk) k = K eli p k, mikä on ristiriita. Siis x k 1. Koska p oli alkuluku ja (x k ) p = y k = 1, niin x k on etsitty syklinen ryhmä. Todistetaan toinenkin väite induktiolla. Perusaskel m = 1 on triviaali ja voidaan olettaa m > 1. Olkoon n m ja 1 < n < m mielivaltainen. Olkoon p eräs luvun n alkutekijöistä. Nyt todistuksen alun perusteella ryhmällä G on syklinen kertalukua p oleva normaali aliryhmä K. Nyt G/K = m p, joten induktiooletusta voidaan soveltaa ja on olemassa sellainen kertalukua n p oleva aliryhmä A/K G/K, missä ensimmäisen isomorfialauseen nojalla K A G. Nyt A = n p K = n. Lemma 3. Olkoon G äärellinen ryhmä ja p alkuluku. Tällöin ryhmällä G on normaali aliryhmä, jolla on indeksi p jos ja vain jos p G/G. Todistus. Olkoon K G ja [G : K] = p. Täten G/K on syklinen ryhmä. Siis G K ja G/G = [G : K] [K : G ] = p [K : G ]. Oletetaan nyt, että p G/G. Merkitään G = abp n ja G = ap k, missä oletuksen nojalla n > k. Nyt G/G = bp n k. Koska G/G on Abelin ryhmä, niin lauseen 3 nojalla sillä on kertalukua bp n k 1 oleva normaali aliryhmä H/G. Nyt ensimmäisen isomorfialauseen nojalla G H G ja H = bp n k 1 G = abp n 1. Lemma 4. Olkoon G ryhmä ja H, K G ja A, B G. Tällöin (i) [A, B] A, B ja erityisesti [A, G] G, (ii) [H, K] H K ja [H, K] G sekä 5

(iii) jos lisäksi H K = {1} niin ryhmien H ja K alkiot kommutoivat keskenään. Todistus. [12], 3.4.6 (s. 58) ja [11], 3.53 (s. 59) (i) Ensinnäkin [a, bc] = a 1 c 1 b 1 abc = a 1 c 1 acc 1 a 1 b 1 abc = [a, c] [a, b] c ja vastaavasti [ab, c] = [a, c] b [b, c]. Täten [h, k] l = [hl, k] [l, k] 1 [A, B] ja [h, k] m = [h, m] 1 [h, km] [A, B] kaikilla h, l A ja k, m B. Jos u [A, B], niin u = x 1 x 2 x n, missä x i = [y i, z i ] ±1, y i A ja z i B kaikilla i = 1, 2,..., n. Nyt alun perusteella u x [A, B] kaikilla x A B tai x 1 A B. Täten induktiivisesti voidaan päätellä, että jos g A, B, niin u g [A, B] kaikilla u [A, B]. Siis [A, B] g [A, B] ja vastaavasti [A, B] g 1 [A, B], josta väite seuraa. (ii) Koska H G, niin [h, k] = h 1 h k H eli [H, K] H. Vastaavasti [H, K] K. Lisäksi [h, k] g = [h g, k g ] = [h, k ] eräillä h H ja k K. Täten [H, K] = [H, K] g, koska ryhmien generaattorit ovat samat. Siis [H, K] G. (iii) Jos H K = {1}, niin edellisen kohdan nojalla h 1 k 1 hk = 1 eli hk = kh kaikilla h H ja k K. Lemma 5. Olkoon G ryhmä. Olkoon H ja K ovat sellaisia ryhmän G aliryhmiä, että hk = kh kaikilla h H ja k K. Jos A H ja B K, niin [AB, HK] = [A, H] [B, K]. Todistus. Olkoon a A, b B, h H ja k K mielivaltaisia. Tällöin [ab, hk] = b 1 a 1 k 1 h 1 abhk = b 1 k 1 a 1 h 1 ahbk koska [a, h] H. Väite seuraa tästä. = b 1 k 1 [a, h] bk = [a, h] [b, k], Lemma 6. Olkoon G ryhmä, U G ja H G. Tällöin C G (U g ) = C G (U) g ja Z(H g ) = (Z(H)) g kaikilla g G. Todistus. Selvästi xy g = y g x jos ja vain jos x g 1 y = yx g 1 kaikilla x, y, g G. Väite seuraa tästä suoraan joukkojen määritelmien perusteella. Lemma 7. Olkoon G ryhmä ja H, J ja K sen normaaleja aliryhmiä. Jos J H ja H/J Z(G/J), niin HK/JK Z(G/JK). 6

Todistus. Oletuksen nojalla h g J = (hj) (gj) = hj kaikilla h H ja g G. Olkoon k K mielivaltainen ja k g = k K. Tällöin ((hk)jk) gjk = (h g k g )JK = h g Jk K = hjkk = (hk)jk eli HK/JK Z(G/JK). Lemma 8. Olkoon G ryhmä ja K G. Jos ryhmät H/K ja J/K konjugoivat ryhmässä G/K, niin aliryhmät H ja J konjugoivat ryhmässä G. Todistus. Oletuksen nojalla on olemassa sellainen g G, että (gk) 1 (H/K)(gK) = J/K. Täten H g /K = J/K eli kaikilla h H pätee h g = j eräällä j J. Siis H g J. Vastaavasti J H g, mistä väite seuraa. Lemma 9. Jos H on ryhmä, niin Z(H) on ryhmän H karakteristinen aliryhmä. Erityisesti jos H G, niin Z(H) G. Todistus. Osoitetaan aluksi, että Z(H) on ryhmän H karakteristinen aliryhmä. Olkoon f : H H ryhmän H automorfismi ja x Z(H). Nyt kuvauksen f bijektiivisyyden nojalla jokaisella y H on olemassa sellainen yksikäsitteinen z H, että y = f(z). Täten f(x)y = f(xz) = f(zx) = yf(x) eli f(x) Z(H). Siis f(z(h)) Z(H). Toisaalta myös f 1 (Z(H)) Z(H) ja ottamalla f puolittain saadaan Z(H) f(z(h)). Koska Z(H) on karakteristinen aliryhmä normaalille ryhmälle H, niin Z(H) G. Määritelmä 1. Olkoon G ryhmä ja H G. Aliryhmä H on intravariantti ryhmässä G, mikäli jokainen ryhmän G automorfismi kuvaa ryhmän H konjugaatilleen ryhmässä G. Lemma 10. Olkoon G ryhmä ja H K G. Jos aliryhmä H on intravariantti ryhmässä K, niin G = N G (H)K. Todistus. Olkoon τ g : G G, τ g (x) = x g. Nyt kuvauksen τ g rajoittuma aliryhmään K on ryhmän K automorfismi, koska τ g (K) = K g = K. Täten kaikilla g G on olemassa sellainen k K, että τ g (H) = H g = H k. Täten gk 1 N G (H) kaikilla g G, mistä väite seuraa. Sylowin lauseiden nojalla Sylowin p-aliryhmät ovat intravariantteja ryhmissään. Täten edellisestä lemmasta saadaan Frattinin lemma. Jos K on äärellisen ryhmä G normaali aliryhmä ja P on ryhmän K Sylowin p-aliryhmä, niin G = N G (P )K. Lemma 11. Olkoon G äärellinen Abelin ryhmä. Tällöin G on syklinen jos ja vain jos ryhmän G jokainen Sylowin aliryhmä on syklinen. 7

Todistus. Jos G on syklinen, niin triviaalisti sen kaikki aliryhmät ovat syklisiä. Oletetaan nyt, että G on Abelin ryhmä ja G = p n1 1 pns s, missä luvut p i ovat kertaluvun alkutekijät. Olkoon lisäksi P i ryhmän G Sylowin p i -aliryhmä ja P i = x i. Merkitään J k = kaikilla k = 1,..., s. Koska P i G, niin tulon järjestyksellä ei ole merkitystä. Osoitetaan induktiivisesti, että aliryhmä J k G on syklinen ja että J k = k i=1 k i=1 P i p ni i. Perusaskel k = 1 on selvä. Oletetaan nyt, että väite on tosi, kun k < m. Nyt J m = J m 1 P m. Toisen isomorfialauseen perusteella J m 1 P m /P m = Jm 1 /(J m 1 P m ). Koska J m 1 P m sisältyy aliryhmiin J m 1 ja P m täytyy sen kertaluku olla 1. Täten J m = J m 1 P m = m i=1 p ni i. Toisaalta koska J m 1 = x, P m = x m, syt( x, x m ) = 1 ja alkiot x ja x m kommutoivat ryhmässä G, niin xx m = J m, mikä todistaakin induktioväitteen. Lemma 12. Äärellisen ryhmän G Sylowin p-aliryhmät ovat keskenään isomorfisia. Todistus. Olkoon P mielivaltainen ryhmän G Sylowin p-aliryhmä. Määritellään funktio f g : G G, f g (x) = x g kaikilla g G. Nyt f g (P ) = P g käy Sylowin lauseiden nojalla läpi kaikki ryhmän G Sylowin p-aliryhmät, kun g käy läpi ryhmän G alkiot, ja funktion f g rajoittuma joukkoon P on haluttu bijektiivinen isomorfismi. Lemma 13. Olkoon G äärellinen ryhmä, jonka kaikki Sylowin p-aliryhmät ovat syklisiä. Jos H G, niin kaikki ryhmän H Sylowin p-aliryhmät ovat syklisiä. Jos K G, niin kaikki tekijäryhmän G/K Sylowin p-aliryhmät ovat syklisiä. Todistus. Olkoon H G. Jos P on ryhmän H Sylowin p-aliryhmä, niin se on myös ryhmän G p-aliryhmä. Sylowin lauseiden nojalla se sisältyy johonkin ryhmän G Sylowin p-aliryhmään, josta ensimmäinen väite seuraa. Olkoon K G. Olkoon K = kp n ja G = mkp l+n, missä p k, m. Tällöin H/K on ryhmän G/K Sylowin p-aliryhmä jos ja vain jos H/K = p l. Sylowin 8

lauseiden nojalla ryhmällä K on olemassa Sylowin p-aliryhmä, joka on aliryhmänä jossain ryhmän G Sylowin p-aliryhmässä P. Tällöin K P = p n. Toisen isomorfialauseen nojalla P K K = P P K ja P K/K = p l. Jos P on syklinen, niin sen tekijäryhmät ovat syklisiä eli P K/K on ryhmän G/K syklinen Sylowin p-aliryhmä. Väite seuraa nyt lemmasta 12. Lemma 14. Olkoon G äärellinen kertalukua n oleva syklinen ryhmä. Tällöin Aut(G) = Z n ja Aut(G) = ϕ(n). Todistus. Koska kaikki äärelliset sykliset ryhmät ovat keskenään isomorfisia, niin riittää tarkastella yhteenlaskuryhmää Z n. Tarkastellaan kuvaksia ρ x : Z n Z n, ρ x ([a]) = [ax], missä 0 < x < n ja syt(n, x) = 1. Ne ovat homomorfismeja ja ρ x ([a]) = [ax] = [0] jos ja vain jos [a] = [0]. Tämä pätee, koska syt(n, x) = 1, joten n ax jos ja vain jos n a. Siis Ker(ρ x ) = {[0]} eli kuvaus ρ x : Z n Z n on injektio äärelliseltä joukolta itselleen, joten se on myös bijektio. Täten se on joukon Z n automorfismi. Nyt kuvaus ρ : Z n Aut(Z n ), [x] ρ x on distributiivisuuden nojalla homomorfismi. Toisaalta, jos ρ x = ρ y, niin [ax] = [ay] kaikilla a Z. Täten n a(x y) ja koska luvun a Z sai valita vapaasti, niin n (x y) eli [x] = [y]. Siis kuvaus ρ on injektio. Jos σ Aut(Z n ), niin σ([a1]) = aσ([1]) kaikilla a Z. Valitaan σ([1]) [x], missä 0 < x < n. Jos olisi olemassa sellainen alkuluku p, että p n ja p x, niin n = bp ja x = cp eli bx = nc, missä 0 < b < n. Tällöin σ([b]) = [bx] = [nc] = [0] eli [0] [b] Ker(σ), jolloin σ ei olisi joukon Z n automorfismi. Täten syt(n, x) = 1 eli σ = ρ x eräällä [x] Z n. Täten kuvaus ρ on surjektio. Siis kuvaus ρ : Z n Aut(Z n ) on isomorfia. Erityisesti Aut(Z n ) = Z n = ϕ(n). Lemma 15. Olkoon G ei-syklinen ryhmä, jonka kertaluku on alkuluvun p neliö. Tällöin Aut(G) = p(p + 1)(p 1) 2. Todistus. Koska ryhmän G kertaluku on alkuluvun neliö, niin se on Abelin ryhmä. Sylowin lauseiden nojalla sillä on kertalukua p oleva aliryhmä P. Täten P = x eräällä x G. Jos y G \ P, niin ryhmän G ei-syklisuuden nojalla alkion y kertaluku on p. Merkitään Q = y. Tällöin P Q = {1} ja P Q = P Q P Q = p2 9

eli G = P Q. Muodostetaan automorfismi σ : G G. Ensiksi täytyy valita σ(1) = 1. Alkion x kuva σ(x) voidaan valita nyt p 2 1 eri tavalla. Asetetaan σ(x k ) = (σ(x)) k, jolloin määrätään alkioiden x, x 2,..., x p 1 kuvat. Alkion y kuva σ(y) voidaan nyt valita p 2 p eri tavalla, jotta σ voisi säilyä injektiivisenä. Asetetaan σ(y k ) = (σ(y)) k, jolloin määrätään alkioiden y, y 2,..., y p 1 kuvat. Asetetaan vielä σ(x k y n ) = (σ(x)) k (σ(y)) n kaikilla n, k Z. Koska G = P Q, niin jokainen ryhmän G alkio voidaan esittää alkioiden x ja y potensseina ja täten kaikille alkioille g G on määrätty kuva. Kuvaus σ on nyt todella homomorfismi, sillä kaikilla a, b, c, d Z pätee σ((x a y b )(x c y d )) = σ(x a )σ(x c )σ(y b )σ(y d ) = σ(x a y b )σ(x c y d ), koska G oli Abelin ryhmä. Siis Aut(G) = (p 2 1)(p 2 p) = p(p + 1)(p 1) 2. Lemma 16. Olkoon G = x, y syklinen p-ryhmä. Tällöin G = x tai G = y. Todistus. Olkoon G = p n. Koska G on syklinen, niin jokaista 0 k < n kohti on täsmälleen yksi kertalukua p k oleva aliryhmä. Nyt rajoituksetta voidaan olettaa, että y x, jolloin y x. Täten täytyy päteä, että G = x. Määritelmä 2. Olkoon p annettu alkuluku. Prüferin p-ryhmä on joukko C p = {e 2πni p m m, n Z + } varustettuna kompleksilukujen kertolaskulla. Prüferin p-ryhmän todentaminen ryhmäksi on helppoa. Lisäksi se on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on e 2πi = 1 ja sen jokaisen alkion x 1 kertaluku on jokin luvun p aito potenssi. Lemma 17. Jos {1} < H < C p, niin H on äärellinen syklinen p-ryhmä. Lisäksi jokainen ryhmän C p äärellinen osajoukko generoi äärellisen ryhmän ja {1} < C p < C p 2 < C p 3 <... < C p, missä C n on kertalukua n oleva syklinen ryhmä. Todistus. Osoitetaan, että jos alkion x kertaluku on pienempi kuin kertalukua p k olevan alkion y, niin x kuuluu alkion y generoimaan kertalukua p k olevaan sykliseen ryhmään. Olkoon x = e 2πni p m, missä m, n Z +. Rajoituksetta voidaan olettaa, että n = 1. Olkoon y = e 2πli p k H 10

kertaluvun p k alkio. Täten syt(l, p) = 1, joten rajoituksetta voidaan olettaa, että l = 1. Oletetaan, että k = m + r, missä r > 0. Nyt y pr = e 2πi p m+r pr = x, joten x y. Täten jos {1} < H < C p, niin voidaan valita x C p \ H. Koska jokaisen ryhmän C p alkion kertaluku on äärellinen, niin alun perusteella H x, josta ensimmäinen väite seuraa. Toisaalta ryhmän C p äärellisen osajoukon generoima aliryhmä on alun tuloksen nojalla sen kertaluvultaan suurimman alkion generoima aliryhmä. Selvästi ryhmällä C p on kertalukua p k olevia alkioita kaikilla k Z +, joten viimeinen väitekin on todistettu. Määritelmä 3. Dihedraalinen ryhmä D 2n, missä n 2, on kertalukua 2n oleva ryhmä, jonka generoivat sellaiset kertalukua n oleva alkio x ja kertalukua 2 oleva alkio y, että x n 1 = yxy. Lemma 18. Olkoon G kertalukua 8 oleva ryhmä, jolla on aliryhmä, joka ei ole normaali ryhmässä G. Tällöin G = D 8. Todistus. Selvästi G ei ole Abelin ryhmä ja sillä voi olla vain kertalukua 1, 2 tai 4 olevia alkioita. Jos kaikkien ryhmän G alkioiden x 1 kertaluku on 2, niin G on Abelin ryhmä. Täten voidaan olettaa, että on olemassa kertalukua 4 oleva syklinen aliryhmä H = x. Koska [G : H] = 2, niin H G. Samalla periaatteella jokainen kertalukua 4 oleva ryhmä on normaali ryhmässä G. Koska H on syklinen ryhmä, niin sillä on yksikäsitteinen kertalukua 2 oleva aliryhmä N. Jos N olisi ryhmän G ainoa kertalukua 2 oleva aliryhmä, niin N G, jolloin ryhmän G jokainen aliryhmä olisi normaali ryhmässä G. Siis on olemassa sellainen kertalukua 2 oleva aliryhmä K = y, että H K = {1}. Koska G = HK, niin lemman 4 nojalla K ei ole normaali ryhmässä G ja lisäksi x ei voi kommutoida alkion y kanssa. Toisaalta G = H Hy. Nyt joko x 3 yx, xyx 3 tai x 2 yx 2 ei kuulu ryhmään K. Selvästi yksikään näistä kolmesta alkiosta ei voi olla muotoa x, x 2 tai x 3. Jos x 3 yx K, niin tällöin se on joko xy, x 2 y tai x 3 y. Jos x 3 yx = xy, niin yx = x 2 y eli x 2 = yxy. Tällöin 1 = x 4 = yx 2 y eli x 2 = 1, mikä on ristiriita. Jos x 3 yx = x 3 y, niin yx = x, mikä on ristiriita. Jos xyx 3 K, niin tällöin se on joko xy, x 2 y tai x 3 y. Jos xyx 3 = xy, niin yx 3 = y, mikä on ristiriita. Mikäli xyx 3 = x 3 y, niin x 2 yx 3 = y eli x 2 y = yx, mikä aikaisemman on mahdotonta. Jos x 2 yx 2 K, niin se on joko xy, x 2 y tai x 3 y. Jos x 2 yx 2 = xy, niin yx 2 = x 3 y ja käänteisalkiot ottamalla saadaan, että x 2 y = yx, mikä johtaa ristiriitaan aikaisemman nojalla. Jos x 2 yx 2 = x 2 y, niin yx 2 = y, mikä on selvä ristiriita. Jos x 2 yx 2 = x 3 y, niin yx 2 = xy eli x 2 = yxy, mikä aikaisemman nojalla on mahdotonta. 11

Siis on vain mahdollista, että x 3 yx = x 2 y tai xyx 3 = x 2 y. Ensimmäisessä tapauksessa yx = x 3 y eli x 3 = yxy. Toisessa tapauksessa käänteisalkiot ottamalla saadaan, että xyx 3 = yx 2 eli xy = yx 3. Siis tällöinkin x 3 = yxy. Täten G = D 8. 2.2 Ketjut ja ryhmän normaali rakenne Määritelmä 4. Ryhmän G ketju on {1} = G 0 G 1 G 2... G n = G. Ketjussa olevien peräkkäisten ryhmien tekijäryhmiä G i+1 /G i, i = 0, 1,..., n 1 sanotaan ryhmän G tekijöiksi. Ryhmän G tekijä H/K on keskeinen, jos K G ja H/K Z(G/K). Ryhmä G on nilpotentti, jos sillä on olemassa ketju, jonka jokainen tekijä on keskeinen. Määritelmien nojalla on selvää, että jokainen Abelin ryhmä on nilpotentti. Seuraava lemma osoittaa, että on olemassa nilpotentteja ryhmiä, jotka eivät ole kommutatiivisia. Lemma 19. Olkoon G äärellinen p-ryhmä. Tällöin G on nilpotentti. Todistus. [11], 7.44 (s. 145) Todistetaan väite induktiolla. Perusaskel on triviaali, joten voidaan olettaa, että {1} < Z(G) < G. Induktio-oletuksen nojalla G/Z(G) on nilpotentti p-ryhmä. Ensimmäisen isomorfialauseen nojalla on olemassa aliryhmät Z(G) G 1 G 2... G n = G, joilla G i+1 /G i = G i+1 /Z(G) G i /Z(G) Z ( ) G/Z(G) G i /Z(G) = Z(G/G i ) ja G i G kaikilla i = 1,..., n 1. Nyt {1} Z(G) G 1 G 2... G n = G on ryhmän G ketju, jonka jokainen tekijä on keskeinen. Lemma 20. Olkoon G ryhmä, K H G. Tällöin K G ja H/K Z(G/K) jos ja vain jos [H, G] K Todistus. [11], 7.45 (s. 145) Olkoon K G ja H/K Z(G/K). Jos x H ja y G, niin (xk)(yk) = (yk)(xk) eli [x, y] K = K. Siis [H, G] K. Oletetaan, että [H, G] K. Tällöin kaikilla x H ja y G pätee, että x y xk. Valitsemalla x K H huomataan, että K G. Toisaalta (xy)k = (yx)k kaikilla x H ja y G, joten H/K Z(G/K). Lemma 21. Olkoon G nilpotentti ryhmä. Tällöin (i) jos H G, niin ryhmä H on nilpotentti, (ii) jos f : G f(g) on homomorfismi, niin f(g) on nilpotentti ryhmä ja (iii) jos K G, niin tekijäryhmä G/K on nilpotentti. 12

Todistus. [11], 7.46 (s. 146) ja [12], 6.4.6 (s. 142) Olkoon {1} = G 0 G 1 G 2... G n = G ryhmän G ketju, jossa jokainen tekijä on keskeinen. Siis [G i+1, G] G i kaikilla i = 0, 1,..., n 1. (i) Olkoon H G. Nyt {1} = G 0 H G 1 H G 2 H... G n H = H on ryhmän H ketju. Nyt kaikilla i = 0, 1,..., n 1 pätee G i H H ja [G i+1 H, H] [G i+1, G] H G i H. Täten jokainen yllä olevan ketjun tekijä on keskeinen ja täten aliryhmä H on nilpotentti. (ii) Oletetaan, että f : G f(g) on homomorfismi. Tällöin f on surjektio ja {1} = f(g 0 ) f(g 1 ) f(g 2 )... f(g n ) = f(g). Olkoon i = 0, 1,..., n 1 valittu ja x f(g i+1 ) ja y f(g) mielivaltaisia. Siis on olemassa sellaiset x G i+1 ja y G, että x = f(x) ja y = f(y). Nyt [x, y ] = f([x, y]) f(g i ) eli [f(g i+1 ), f(g)] f(g i ). Täten ryhmä f(g) on nilpotentti. (iii) Jos K G, niin f : G G/K, f(x) = xk on surjektiivinen homomorfismi eli f(k) = G/K. Väite seuraa nyt edellisestä kohdasta. Määritelmä 5. Määritellään ryhmän G aliryhmät Γ n (G) ja Z n (G) induktiivisesti asettamalla Γ 1 (G) = G ja Z 0 (G) = {1} sekä ( ) Z i (G) Γ i+1 (G) = [Γ i (G), G] ja Z i 1 (G) = Z G Z i 1 (G) kaikilla i Z +. Lemman 4 nojalla Γ n (G) G kaikilla n Z +. Nyt jos Γ n (G) = {1} eräällä n Z +, niin lemman 20 nojalla ketjun Γ n (G) Γ n 1 (G)... Γ 1 (G) tekijät ovat keskeisiä. Koska ryhmän keskus on normaali aliryhmä, niin Z n (G) G kaikilla n N. Jos Z n (G) = G eräällä n N, niin määritelmän nojalla ketjun Z 0 (G) Z 1 (G)... Z n (G) tekijät ovat keskeisiä. Lemma 22. Olkoon G ryhmä. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitävät (i) ryhmä G on nilpotentti, (ii) Γ n (G) = {1} eräällä n Z + ja 13

(iii) Z m (G) = G eräällä m N. Todistus. [11], 7.54 (s. 152) Oletetaan, että G on nilpotentti. Tällöin on olemassa ryhmän G ketju {1} = G n G n 1... G 1 = G, missä [G i, G] G i+1 kaikilla i = 1, 2..., n 1. Osoitetaan, että Γ i (G) G i kaikilla i = 1, 2..., n. Perusaskel k = 0 on selvä. Oletetaan siis, että k > 0 ja Γ k 1 (G) G k 1. Nyt Γ k (G) = [Γ k 1 (G), G] [G k 1, G] G k. Täten induktioväite menee läpi ja Γ n (G) = {1}. Vaihdetaan ryhmän G keskeisen ketjun indeksointia {1} = G 0 G 1... G m = G ja osoitetaan, että G i Z i (G) kaikilla i N. Perusaskel on selvä, joten oletetaan, että i > 0 ja G i 1 Z i 1 (G). Tällöin G i 1 Z i 1 (G) = Z i 1 (G) ja lemman 7 nojalla G i Z i (G) Z i 1 (G) = G iz i (G) G i 1 Z i 1 (G) Z ( G G i 1 Z i 1 (G) ) ( = Z G Z i 1 (G) ) = Z i (G) Z i 1 (G) eli G i Z i (G). Siis induktioväite menee läpi. Toisiin suuntiin väitteet ovat selvät lemmaa edeltävien huomautuksien nojalla. Todistuksen nojalla nilpotentin ryhmän G ketju Γ n (G) Γ n 1 (G)... Γ 1 (G) on ryhmän G nopeiten supistuva keskeinen ketju. Täten tämän ketjun nimitys alin keskeisketju on osuva. Lisäksi koska ketjun tekijät Γ n (G) /Γ n+1 (G) ovat kommutatiivisia, niin induktiivisesti nähdään, että G (n) Γ n+1 (G) kaikilla n Z +. Täten jokainen nilpotentti ryhmä on myös ratkeava. Toiseen suuntaan tämä ei pidä paikkaansa, kuten symmetrinen ryhmä S 3 osoittaa. Toisaalta nilpotentin ryhmän G ketju Z 0 (G) Z 1 (G)... Z n (G) on nopeimmin kasvava keskeinen ketju. Täten tämän ketjun nimitys ylin keskeisketju on sattuva. Lemma 23. Olkoon G ryhmä. Jos Z 1 (G) > {1}, niin Z(G) > {1}. Erityisesti kaikilla ei-triviaaleilla nilpotenteilla ryhmillä on ei-triviaali keskus. Todistus. Nyt Z(G) = Z(G/Z 0 (G)) = Z 1 (G) /Z 0 (G) = Z 1 (G) > {1} eli ensimmäinen väite on selvä. Jos G > {1} on nilpotentti, niin lemman 22 nojalla Z 1 (G) > {1}. Lemma 24. Olkoon G äärellinen ryhmä. Jos kaikilla H < G pätee H < N G (H), niin jokainen ryhmän G Sylowin p-aliryhmä on normaali ryhmässä G kaikilla alkuluvuilla p. Erityisesti tämä pätee kaikille äärellisille nilpotenteille ryhmille. 14

Todistus. [12], 6.4.8 ja 6.4.12 (s. 143) Ensimmäinen väite on selvä, jos Sylowin p-aliryhmä P = G. Voidaan siis olettaa, että P < G. Jos P ei ole normaali ryhmässä G, niin N G (P ) < G ja oletuksen nojalla P < N G (P ) < N G (N G (P )). Koska ryhmä P on ryhmän N G (P ) ainoa Sylowin p-aliryhmä, niin P on karakteristinen ryhmässä N G (P ). Koska N G (P ) N G (N G (P )), niin P N G (N G (P )) eli N G (P ) = N G (N G (P )), mikä on ristiriita. Siis P G. Olkoon H < G. Lemman 22 nojalla voidaan valita sellainen k Z +, että Γ k+1 (G) H ja on olemassa alkio x Γ k (G) \ H. Valitaan h H. Tällöin x 1 hxh 1 = [ x, h 1] [Γ k (G), G] = Γ k+1 (G) H. Täten h x H eli x N G (H). Siis H < N G (H). Myöhemmin lemmassa 50 yleistetään tätä tulosta. Lause 4. Olkoon G äärellinen ryhmä. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä (i) ryhmä G on nilpotentti, (ii) jos H < G, niin H < N G (H) ja (iii) jokainen ryhmän G Sylowin p-aliryhmä on normaali ryhmässä G kaikilla alkuluvuilla p. Todistus. [11], 11.3 (s. 266) Lemman 24 nojalla tarvitsee vain osoittaa, että väitteestä (iii) seuraa väite (i). Olkoon G = p ni 1 pn2 2 pn k k, missä p i ovat eri alkulukuja. Jos P i on Sylowin p i -aliryhmä, niin P i G kaikilla i = 1, 2,... k. Lisäksi P i P j = {1} eli lemman 4 nojalla ryhmien P i ja P j alkiot kommutoivat keskenään kaikilla i j. Vastaavasti, jos H = P 1 P 2 P i, niin H G ja ryhmien H ja P = P i+1 alkiot kommutoivat keskenään. Osoitetaan induktiolla, että Γ n (HP ) = Γ n (H) Γ n (P ). Perusaskel on selvä, joten oletetaan n > 1. Tällöin lemman 5 nojalla Γ n+1 (HP ) = [Γ n (HP ), HP ] = [Γ n (H) Γ n (P ), HP ] = [Γ n (H), H] [Γ n (P ), P ] = Γ n+1 (H) Γ n+1 (P ). Täten induktioväite menee läpi. Selvästi G = P 1 P 2 P k eli induktiivisesti voidaan päätellä, että Γ n (G) = k Γ n (P i ). i=1 Koska p-ryhmät olivat nilpotentteja ja k on äärellinen, niin voidaan valita sellainen m Z +, että Γ m (P i ) = {1} kaikilla i = 1, 2,..., k eli Γ m (G) = {1}. Myöhemmin lauseessa 10 ja lemmassa 5 esitetään lisää äärellisissä ryhmissä nilpotenttisuuden kanssa yhtäpitäviä ehtoja. 15

Määritelmä 6. Ryhmän G kompositioketju on {1} = G 0 G 1... G n = G, missä H = G i+1 aina, kun G i H G i+1 jokaisella i = 0, 1,..., n 1. Lemma 25. Olkoon G äärellinen, ratkeava ja yksinkertainen ryhmä. Tällöin ryhmä G on syklinen ja sen kertaluku on alkuluku. Todistus. [11], 7.55 (s. 153) Koska G on ratkeava, niin G G. Yksinkertaisuuden nojalla voidaan ensiksi päätellä, että G = {1} eli G on Abelin ryhmä ja toiseksi, että G on syklinen. Nyt G voi olla yksinkertainen vain jos sen kertaluku on alkuluku. Lemma 26. Kompositioketjun jokainen tekijä on yksinkertainen. Jos G on ratkeava äärellinen ryhmä, niin ryhmän G kompositioketjun tekijöiden kertaluku on alkuluku. Todistus. Olkoon G i+1 /G i mielivaltainen kompositioketjun tekijä. Jos olisi {1} < H/G i G i+1 /G i, niin toisen isomorfialauseen perusteella G i H G i+1, mikä on ristiriita. Täten tekijä G i+1 /G i on yksinkertainen. Oletetaan lisäksi, että G on ratkeava äärellinen ryhmä. Tällöin tekijäryhmä on G i+1 /G i on myös ratkeava ja väite seuraa lemmasta 25. Lemma 27. Olkoon G äärellinen ryhmä ja K G. Tällöin ryhmälle G voidaan muodostaa kompositioketju, jossa K on eräänä aliryhmänä. Todistus. [11], 1.8 (s. 8) Todistetaan väite induktiolla ryhmän G kertaluvun mukaan. Jos G = 1, niin väite on triviaali. Olkoon G > 1 ja oletetaan, että väite pätee, jos ryhmän kertaluku on lukua G pienempi. Jos K = {1} tai K = G, niin riittää muodostaa vain jokin kompositioketju. Tällöin valitaan kertaluvultaan laajin sellainen aliryhmä H, että H G. Nyt ryhmällä H on kompositioketju {1} = H 0... H n = H ja ryhmän G kompositioketju on {1} = H 0... H n = H G. Jos K ei ole triviaali aliryhmä, niin valitaan laajin sellainen aliryhmä L, että K L G. Mahdollisesti täytyy valita L = K, mutta joka tapauksessa ryhmällä L on kompositioketju {1} = G 0... L, jossa K on yhtenä aliryhmänä. Tällöin haluttu ryhmän G kompositioketju on {1} = G 0... L G. Määritelmä 7. Ryhmän G pääketju on {1} = G 0 < G 1 <... < G n = G, missä G i G ja jos H G ja G i < H G i+1, niin H = G i+1 kaikilla i = 0, 1,..., n 1. Pääketjun tekijöitä G i+1 /G i kutsutaan ryhmän G päätekijöiksi. Määritelmä 8. Ryhmän G normaali aliryhmä N > {1} on ryhmän G minimaalinen normaali aliryhmä, mikäli ehdoista {1} < L N ja L G seuraa, että N = L. 16

Lemma 28. Olkoon G äärellinen ryhmä sekä H ja K ryhmän G normaaleja aliryhmiä, missä K < H. Tällöin H/K on ryhmän G eräs päätekijä jos ja vain jos ryhmä H/K on ryhmän G/K on minimaalinen normaali aliryhmä. Todistus. [11], 7.36 (s. 142) Oletetaan, että H ja K ovat ovat erään ryhmän G pääketjun aliryhmiä. Jos olisi olemassa sellainen L G, että {1} < L/K H/K, niin K < L H eli L = H. Siis H/K on ryhmän G/K minimaalinen normaali aliryhmä. Oletetaan, että H/K on ryhmän G/K minimaalinen normaali aliryhmä. Tällöin jos K < L H ja L G, niin H = L. Merkitään H = M 0 ja valitaan nyt laajin sellainen aliryhmä M 1, että H < M 1 G. Jatketaan tätä induktiivisesti valitsemalla laajin sellainen aliryhmä M i+1 G, että H < M i+1 < M i kaikilla i Z +. Koska G on äärellinen, niin on olemassa sellainen k N, että aliryhmän M k jälkeen valintaa ei voida enää tehdä. Vastaavalla tavalla merkitään K = L 0 ja induktiivisesti valitaan laajin sellainen L i G, että L i < K kaikilla i Z +. Koska K on äärellinen ryhmä, niin on olemassa sellainen m N, että aliryhmän L m jälkeen valintaa ei voida enää tehdä. Nyt {1} = L m... L 0 = K H = M 0 M k... M 1 G on kysytty ryhmän G pääketju. Lause 5. Olkoon G äärellinen ryhmä. Tällöin ryhmä G on nilpotentti jos ja vain jos jokainen päätekijä on keskeinen. Todistus. [11], 7.58 (s. 154) Oletetaan, että ryhmä G on nilpotentti ja olkoon L = H/K eräs ryhmän G päätekijä. Lemman 28 nojalla L on ryhmän M = G/K minimaalinen normaali aliryhmä. Koska lemman 21 nojalla ryhmä M on myös nilpotentti, niin Γ n (M) = {1} eräällä n Z +. Nyt lemman 4 nojalla [L, M] M ja [L, M] L. Koska L on minimaalinen normaali aliryhmä, niin joko [L, M] = L tai [L, M] = {1}. Jos [L, M] = L, niin osoitetaan induktiivisesti, että L Γ k (M) kaikilla k Z +. Perusaskel k = 1 on selvä, joten oletetaan k > 1 ja [L, M] Γ k 1 (M). Nyt L = [L, M] [Γ k 1 (M), M] = Γ k (M) eli induktioväite menee läpi. Siis 1 < L Γ n (M) = {1}, mikä on ristiriita. Täten [L, M] = {1} eli L Z(M) eli tekijä L = H/K on keskeinen. Jos ryhmän G mielivaltaisen pääketjun jokainen päätekijä on keskeinen, niin tämä pääketju osoittaa ryhmän G nilpotentiksi. 2.3 Ryhmän toiminta joukolle Jatkossa tarvitaan työkaluina ryhmän toimintoja ei-tyhjälle joukoille X. Ne voidaan ajatella joukon X permutaatioiden yleistyksinä. Näitä käsitellessä tarkastellaan homomorfismeja ryhmältä G ryhmälle S X. Tällöin joudutaan pyörittämään kuvauksia ja niiden yhdistämisiä, joille otetaan käyttöön merkinnät τ(x) = xτ ja (σ τ)(x) = σ(τ(x)) = σ(xτ) = (xτ)σ = x(τσ). 17

Molempia merkintöjä tullaan käyttämään tilanteesta riippuen, mutta niitä ei käytetä samoissa lausekkeissa sekaannuksien välttämiseksi. Määritelmä 9. Olkoon G ryhmä ja X ei-tyhjä joukko. Ryhmän G vasen toiminta joukolle X on binäärinen funktio G X X, joka toteuttaa ehdot (g 1 g 2 )x = g 1 (g 2 x) ja 1x = x kaikilla g 1, g 2 G ja x X, missä gx on parin (g, x) kuva. Tällöin sanotaan, että ryhmä G toimii joukolle X vasemmalta. Vastaavalla tavalla määritellään kuinka ryhmä G toimii joukolle X oikealta. Mikäli ryhmästä, joukosta tai siitä kummalta puolelta ryhmä toimii ei ole epäselvyyttä, voidaan ne jättää mainitsematta. Lemma 29. Olkoon G ryhmä, joka toimii ei-tyhjälle joukolle X vasemmalta. Tällöin kuvaus λ g : X X, λ g (x) = gx on joukon X permutaatio jokaisella g G. Lisäksi kuvaus λ : G S X, λ (g) = λ g 1 on homomorfismi. Todistus. [11], 4.3 (s. 69) ja 10.10 (s. 237) Ensiksi xλ (g1g 2) = (g 1 g 2 )x = g 1 (g 2 x) = g 1 (xλ g2 ) = (xλ g2 )λ g1 kaikilla g 1, g 2 G ja x X eli λ (g1g 2) = λ g2 λ g1. Lisäksi λ 1 = (1) S X. Nyt xλ (gg 1 ) = (gg 1 )x = x = (g 1 g)x = xλ (g 1 g) kaikilla g G ja x X. Siis λ g λ g 1 = (1) = λ g 1λ g eli jokaisella kuvauksella λ g on käänteiskuvaus. Siis kuvaukset λ g : X X ovat bijektioita eli ne ovat joukon X permutaatioita. Toisaalta λ (g 1 g 2 ) = λ (g 1 2 g 1 1 ) = λ g 1 1 eli kuvaus λ : G S X on homomorfismi. λ g 1 2 = λ (g 1 )λ (g 2 ) Kuvausta λ kutsutaan ryhmän toiminnon permutaatioesitykseksi. Jos tämä permutaatioesitys on injektiivinen, niin ryhmän toimintoa sanotaan uskolliseksi. Siis uskollisella ryhmän toiminnolla pätee, että jos λ g 1 = λ h 1, niin g = h. Kuten muutkin lemmat, tämä lemma saadaan pienillä muutoksilla todistettua myös ryhmän G oikealle toiminnolle joukolle X. Tosin tässä tapauksessa permutaatioesitykseksi pitää valita kuvaus λ : G S X, λ (g) = λ g. Tällöin uskollisella toiminnolla pätee, että jos λ g = λ h, niin g = h. Määritelmä 10. Olkoon G ryhmä, joka toimii ei-tyhjälle joukolle X vasemmalta. Tällöin alkion x X rata on joukko {gx g G} ja stabilisoija on joukko Stab G (x) = {g G gx = x}. Jos joukon X kaikki alkiot kuuluvat samaan rataan, niin ryhmän toiminto on transitiivinen. Jos toiminto on transitiivinen ja Stab G (x) = {1} kaikilla x X, niin toiminto on säännöllinen. 18

Helposti voidaan nähdä, että alkion x X rata on joukon X ekvivalenssiluokka ja Stab G (x) G. Lemma 30. Olkoon G ryhmä, joka toimii ei-tyhjälle joukolle X vasemmalta. Jos Stab G (x) = {1} eräällä x X, niin toiminto on uskollinen. Todistus. Osoitetaan siis toimintoa vastaavan permutaatioesityksen injektiivisyys. Oletetaan, että λ g 1 = λ h 1 eräillä g, h G ja osoitetaan, että g = h. Täten g 1 x = h 1 x, jolloin 1x = gh 1 x. Siis mistä väite seuraa. gh 1 Stab G (x) = {1}, Erityisesti tästä seuraa, että säännölliset toiminnot ovat uskollisia. Lemma 31. Olkoon G ryhmä, joka toimii ei-tyhjälle joukolle X vasemmalta. Tällöin kaikilla x X ja g G. Stab G (gx) = g Stab G (x) g 1 Todistus. Olkoon x X ja g G mielivaltaisia. Nyt y Stab G (gx) jos ja vain jos y(gx) = gx eli y g x = x. Tämä on yhtäpitävää ehdon y g Stab G (x) kanssa. Lauseen väite seuraa tästä. Jos G S X, niin ryhmä G toimii joukolle X joko oikealta tai vasemmalta, merkinnästä riippuen. Tätä ryhmän G toimintoa sanotaan luonnolliseksi toiminnoksi. Lemma 32. Olkoon X ei-tyhjä joukko ja A S X Abelin ryhmä. Jos ryhmän A luonnollinen toiminto on transitiivinen joukolle X, niin A = C SX (A). Todistus. [11], 10.12 (s. 238) Koska A on kommutatiivinen ryhmä, niin A C SX (A). Otetaan mielivaltainen c C SX (A) ja osoitetaan, että c A. Transitiivisyyden nojalla jokaisella x X voidaan valita sellainen a A, että xa = xc. Nyt kaikilla a A pätee, että (xa )a = (xa)a = (xc)a = (xa )c. Koska ryhmän A määräämä toiminto on transitiivinen joukossa X ja alkion a A sai valita vapaasti, niin alkio xa X käy läpi kaikki joukon X alkiot. Siis xa = xc kaikilla x X. Siis c = a A. Lemma 33. Olkoon H ryhmä, J H ja ryhmä H toimii joukolle X vasemmalta. Jos jx = x kaikilla j J ja x X, niin tekijäryhmä H/J toimii joukolle X vasemmalta määrittelemällä (Jh)x = hx kaikilla h H ja x X. 19

Todistus. [11], 10.9 (s. 236) Osoitetaan ensiksi, että yhtälö (Jh)x = hx on hyvin määritelty. Oletetaan, että h Jh eli h = jh eräällä j J. Tällöin (Jh )x = (Jjh)x = (Jh)x, joten ongelmaa ei synny. Kun alkiot h H ja x X on kiinnitetty, niin alkio (Jh)x = hx on yksikäsitteinen, koska ryhmä H toimii joukolle X vasemmalta. Lisäksi jos x X, niin (Jh 1 h 2 )x = (h 1 h 2 )x = h 1 (h 2 x) = (Jh 1 )(h 2 x) = (Jh 1 )(Jh 2 x) kaikilla h 1, h 2 H ja (Jj)x = Jx = (J1)x = 1x = x kaikilla j J. Lopuksi esitellään vielä lemma, joka osoittautuu äärimmäisen hyödylliseksi. Lemma 34. Olkoon H G. Tällöin C G (H) N G (H) ja tekijäryhmä on isomorfinen jonkin ryhmän Aut(H) aliryhmän kanssa. Todistus. [11], 4.36 (s. 84) Koska h g H kaikilla h H ja g N G (H), niin ryhmä N G (H) toimii joukolle H konjugoinnin avulla. Olkoon kuvaus λ : N H (H) S H tätä toimintaa vastaava permutaatioesitys. Koska C G (H) N G (H), niin Ker(λ ) = C G (H). Täten homomorfismien peruslauseen nojalla C G (H) N G (H) ja N G (H) C G (H) = N G(H) Ker(λ ) = Im(λ ). Konjugointi ryhmän N G (H) alkiolla permutoi aliryhmää H, joten se on myös ryhmän H automorfismi. Siis Im(λ ) Aut(H). 20

3 Transversaalit 3.1 Perusteita transversaaleista Määritelmä 11. Olkoon G ryhmä ja H G. Joukkoa T sanotaan aliryhmän H oikeaksi transversaaliksi ryhmässä G, mikäli se sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta ryhmän G oikeasta sivuluokasta Ha. Vastaavasti määritellään aliryhmän H vasen transversaali ryhmässä G. Jos H G, niin tällöin joukko T on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G jos ja vain jos joukko T on aliryhmän H vasen transversaali ryhmässä G. Tämä koska T Hg = T gh kaikilla g G. Tällöin voidaan puhua vain aliryhmän H transversaaleista ryhmässä G. Jatkossa toispuoleisia transversaaleja voidaan tekstin lyhentämiseksi kutsua vain transversaaleiksi, jolloin puoleisuuden oletetaan olevan asiayhteydestä selvää. Seuraavaksi todistetaan muutama ominaisuus oikeille transversaaleille, mutta todistukset voidaan helposti muuntaa myös vasemmanpuoleisiin tapauksiin. Lemma 35. Olkoon G ryhmä, H G ja T aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G. Tällöin G = HT ja T = [G : H]. Lisäksi T g ja ht ovat aliryhmän H oikeita transversaaleja ryhmässä G kaikilla g G ja h H. Todistus. Koska HT G, niin riittää osoittaa, että mielivaltainen g G kuuluu myös kompleksiin HT. Transversaalin määritelmän nojalla on olemassa sellainen t T, että t = hg eräällä h H. Nyt g = h 1 t HT. Transversaalin alkioiden lukumäärää on [G : H], koska se sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta aliryhmän H sivuluokasta. Olkoon Ha mielivaltainen aliryhmän H määräämä oikea sivuluokka. Koska ryhmä G voidaan esittää sivuluokkien unionina, on g = h g eräillä h H ja g G. Lisäksi on olemassa t T H(ag 1 h 1 ) eli t = hag 1 h 1 eräällä h H. Täten Täten T g Ha. tg = hag 1 h 1 h g = ha Ha. Nyt voidaan olettaa, että x, y T g Ha. Tällöin xg 1, yg 1 T Hag 1, joten transversaalin määritelmän nojalla xg 1 = yg 1 eli x = y. Siis T g Ha = 1 mielivaltaisella sivuluokalla Ha. Täten myös joukko T g on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G. Jos h H, niin t T Ha jos ja vain jos ht ht hha = ht Ha. Siis myös ht on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G. Lemma 36. Olkoon G ryhmä ja H G. Tällöin joukko T G on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G jos ja vain jos jokainen ryhmän G alkio 21

voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa ht, missä h H ja t T. Erityisesti jos T G on aliryhmän H oikea transversaali, niin jokaista g G kohti on olemassa sellainen yksikäsitteinen t T, että gt 1 H. Todistus. Oletetaan, että ryhmän G jokainen alkio voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa ht, missä h H, t T ja olkoon Ha mielivaltainen sivuluokka. Oletuksen nojalla a = ht, missä h H ja t T ovat yksikäsitteisiä. Nyt t = h 1 a Ha T. Olkoon lisäksi t Ha T. Siis 1t = t = h a = h ht eräällä h H. Koska 1, h h H ja oletuksen perusteella tämä esitys on yksikäsitteinen, niin 1 = h h ja t = t. Siis T Ha = 1 ja T on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G. Oletetaan, että joukko T G on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G. Lemman 35 nojalla riittää osoittaa vain yksikäsitteisyys eli jos g = ht = h t, missä h, h H ja t, t T, niin h = h ja t = t. Nyt t = h 1 h t Ht ja koska 1 H, niin myös t Ht. Siis t, t T Ht eli t = t transversaalin alkioiden valinnan perusteella. Täten myös h = h. Jos joukko T G on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G, niin todistuksen alun perusteella jokaisella g G pätee, että g = ht, missä h H ja t T ovat yksikäsitteisiä. Siis gt 1 H. Jos gt 1 H, niin g Ht eli g = h t eräällä h H. Yksikäsitteisyyden nojalla t = t, josta viimeinen väite seuraa. Lemma 37. Olkoon G ryhmä ja H G. Jos T G on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G ja T H = {1}, niin T = T. Todistus. Olkoon t 1, t 2 T mielivaltaisia. Lemman 36 nojalla t 1 t 1 2 = ht, missä h H ja t T. Siis t 1 t 1 2 t 1 T H = {1} eli t 1 t 1 2 T. Täten T on ryhmän G aliryhmä. Nyt lemman 36 nojalla seuraavan määritelmän indeksointi voidaan tehdä ja parit (t i, u i ) tulevat olemaan yksikäsitteisiä. Määritelmä 12. Olkoon G ryhmä, J H G, [G : H] = n ja H/J Abelin ryhmä. Olkoon T = {t 1, t 2,..., t n } ja U = {u 1, u 2,..., u n } aliryhmän H oikeita transversaaleja ryhmässä G ja indeksointi valittu siten, että t i u 1 i H. Asetetaan tällöin T/U = n i=1 Jt i u 1 i H/J. Koska H/J on Abelin ryhmä ja Jt i u 1 i H/J kaikilla i = 1, 2,... n, niin alkion T/U määritelmä on yksikäsitteinen tulojen järjestyksestä riippumatta. 22

Lemma 38. Olkoon G ryhmä, J H G, [G : H] = n ja H/J Abelin ryhmä. Jos T, U ja V ovat aliryhmän H oikeita transversaaleja ryhmässä G, niin (i) T/T = J, (ii) T/V = (T/U)(U/V ) (iii) T/U = (U/T ) 1, (iv) T g/ug = T/U = ht /hu kaikilla g G ja h H ja (v) ht /T = Jh n kaikilla h H. Todistus. [11], 10.3, 10.5 ja 10.7 (s. 233-235) Olkoon T = {t 1, t 2,..., t n }, U = {u 1, u 2,..., u n } ja V = {v 1, v 2,..., v n } indeksoitu siten, että t i u 1 i, t i v 1 i H kaikilla i = 1, 2,... n. Tällöin (i) Koska t i t 1 i (t i u 1 i ) 1 t i v 1 i = 1 H, niin = u i t 1 i t i v 1 i = u i v 1 i H. T/T = n i=1 Jt i t 1 i = J. (ii) Nyt koska J(ab) = (Ja)(Jb) kaikilla a, b H, niin T/V = = n i=1 i=1 Jt i v 1 i = n i=1 Jt i (u 1 i u i )v 1 i n (Jt i u 1 i )(Ju i v 1 i ) = (T/U)(U/V ). Viimeisessä vaiheessa käytettiin ryhmän H/J alkioiden kommutatiivisuuta. (iii) Väite saadaan kahdesta edellisesta kohdasta huomaamalla, että J = T/T = (T/U) (U/T ). (iv) Olkoon g G ja h H mielivaltaisia. Lemman 35 nojalla T g ja Ug ovat myös vaadittuja transversaaleja. Lisäksi t i g(u i g) 1 = t i u 1 i H kaikilla i = 1, 2,..., n. Täten alkio T g/ug on hyvin määritelty ja T g/ug = n Jt i g(u i g) 1 = i=1 n i=1 Jt i u 1 i = T/U. Jos h H, niin samaisen lemman nojalla ht ja hu ovat transversaaleja. Lisäksi ht i (hu i ) 1 = ht i u 1 i h 1 H eli alkio ht /hu on hyvin määritelty 23

ja ht /hu = = = n Jht i (hu i ) 1 = i=1 n i=1 n (Jh)(Jt i u 1 i )(Jh 1 ) = i=1 n i=1 Jt i u 1 i koska H/J oli Abelin ryhmä. = T/U, (v) Olkoon h H mielivaltainen. Tällöin ht /T = n i=1 ( Jhti t 1 i Jht i u 1 i h 1 n (Jh)(Jt i u 1 )(Jh) 1 i=1 ) n = (Jh) = Jh n. i=1 i 3.2 Transversaaleja ryhmän toimintojen kohteena Lemma 39. Olkoon G ryhmä, J H G, [G : H] = n ja H/J Abelin ryhmä. Olkoon T ryhmän G kaikkien aliryhmän H määräämien oikeiden transversaalien joukko ja asetetaan sille relaatio T U jos ja vain jos T/U = J. Tällöin on joukon T ekvivalenssirelaatio. Todistus. [11], 10.6 (s. 235) Väite seuraa suoraan lemmasta 38. Refleksiivisyys on selvä. Symmetrisyys seuraa, koska jos T U eli T/U = J, niin U/T = J 1 = J eli U T. Transitiivisuuden huomaamiseksi oletetaan, että T U ja U V. Tällöin T/V = (T/U)(U/V ) = J eli T V. Jatkossa Ω tarkoittaa joukon T ekvivalenssiluokkien muodostamaan joukkoa. Lemma 40. Olkoon ω Ω, T ω ja h H. Määritellään, että hω on se ekvivalenssiluokka, johon transversaali ht kuuluu. Tällöin ryhmä H toimii joukolle Ω vasemmalta. Todistus. [11], 10.6 (s. 235) Olkoon T, U ω ja h, h H. Lemman 38 nojalla ht /hu = T/U = J eli ht, hu hω. Siis ekvivalenssiluokka hω on yksikäsitteinen riippumatta transversaalin valinnasta. Toisaalta (hh )ω = h(h ω), koska (hh )T = h(h T ). Lopulta 1ω = ω, koska 1T /T = T/T = J. Lemma 41. Oletetaan lemman 39 oletukset. Tällöin tekijäryhmä H/J toimii joukolle Ω vasemmalta määrittelemällä kaikilla h H ja ω Ω. (Jh)ω = hω 24

Todistus. Lemman 38 nojalla jt /T = Jj n = J kaikilla j J H eli jt T. Siis jω = ω kaikilla j J, joten lemmaa 33 voidaan soveltaa. Lemma 42. Oletetaan lemman 39 oletusten lisäksi, että [H : J] = m ja syt(n, m) = 1. Tällöin (i) ryhmän H vasen toiminto joukolle Ω on transitiivinen ja Stab H (ω) = J kaikilla ω Ω ja (ii) ryhmän H/J vasen toiminto joukolle Ω on säännöllinen. Todistus. [11], 10.11 (s. 237) (i) Olkoon T, U Ω mielivaltaisia. Oletuksen syt(n, m) = 1 nojalla on olemassa sellaiset a, b Z, että an + bm = 1. Valitaan sellainen h H, että Jh = (T/U) a. Koska T/U H/J ja H/J = m, niin (T/U) m = J. Nyt lemman 38 nojalla ht /U = (ht /T ) (T/U) = (Jh) n (T/U) = (T/U) an+1 = (T/U) bm = J. Siis ht U, joten operaatio on transitiivinen. Suoraan määritelmiä soveltamalla saadaan, että h Stab H (ω) jos ja vain jos h n J. Jos h n J, niin lemmaa 2 käyttämällä saadaan, että h J eli Stab H (ω) J. Toiseen suuntaan sisältyvyys on triviaali, joten Stab H (ω) = J. (ii) Koska (Jh)ω = hω kaikilla h H, niin transitiivisyys ryhmän H/J suhteen palautuu edelliseen kohtaan. Lisäksi Stab H/J (ω) = {Jh (Jh)ω = ω} = {Jh hω = ω} = {Jh h J} = J, josta säännöllisyys seuraa. Lemma 43. Oletetaan lemman 39 oletukset. Olkoon ω Ω, T ω ja g G. Määritellään, että ωg on se ekvivalenssiluokka, johon transversaali T g kuuluu. Tällöin ryhmä G toimii joukolle Ω oikealta. Todistus. [11], 10.6 (s. 235) Olkoon T, U ω ja g, g G. Lemman 38 nojalla T g/ug = T/U = J eli T g, Ug ωg. Siis ekvivalenssiluokka ωg on riippumaton transversaalin valinnasta. Toisaalta ω(gg ) = (ωg)g, koska T (gg ) = (T g)g. Väite ω1 = ω on selvä. Lause 6. Olkoon J H G, H/J Abelin ryhmä, [G : H] = n, [H : J] = m ja syt(n, m) = 1. Oletetaan, että H/J toimii joukolle Ω vasemmalta kuten lemmassa 41 ja että G toimii joukolle Ω oikealta, kuten lemmassa 43. Tällöin jokaista g G kohti on olemassa sellainen yksikäsitteinen g H/J, että ωg = g ω kaikilla ω Ω. Lisäksi kuvaus g g on homomorfismi ryhmältä G tekijäryhmälle H/J. 25

Todistus. [11], 10.13 (s. 239) Olkoon φ g : ω ωg, missä g G, lemmassa 29 mainittu oikeanpuoleisen ryhmän toiminnon antama joukon Ω permutaatio. Vastaavasti merkitään λ (Jh) : ω (Jh)ω, missä h H, vasemmanpuoleisen ryhmän toiminnon määrittelemä joukon Ω permutaatio ja olkoon λ : Jh λ (Jh 1 ) tämän toiminnon permutaatioesitys. Nyt A = Im(λ ) S Ω on Abelin ryhmä, sillä λ (Jh)λ (Jh ) = λ ((Jh)(Jh )) = λ ((Jh )(Jh)) = λ (Jh )λ (Jh) kaikilla h, h H, koska H/J oli kommutatiivinen ryhmä. Lemman 42 nojalla ryhmän H/J vasen toiminto joukolle Ω on transitiivinen. Tällöin jos ω 1, ω 2 Ω, niin on olemassa sellainen Jh H/J, että ω 1 = (Jh)ω 2 = λ (Jh 1 )(ω 2 ), missä λ (Jh 1 ) Im(λ ) = A. Siis permutaatioryhmän A määrämä luonnollinen toiminto joukolle Ω on transitiivinen. Täten lemman 32 nojalla A = C SΩ (A). Olkoon nyt g G ja h H mielivaltaisia. Jos T ω ja U h(ωg), niin U h(t g) eli J = U/h(T g) = U/(hT )g. Siis U (ht )g, joten h(ωg) = (hω)g kaikilla ω Ω. Nyt eli (Jh)(ωg) = h(ωg) = (hω)g = ((Jh)ω)g λ (Jh) φ g = φ g λ (Jh). Koska h H oli mielivaltainen, niin φ g C SΩ (A) = A kaikilla g G. Täten jokaista g G kohti on olemassa sellainen g H/J, että φ g = λ g eli ωg = g ω. Jos h ω = gω = g ω, niin ω = (h ) 1 g ω eli (h ) 1 g = Stab H/J (ω) = J lemman 42 nojalla. Täten h = g eli alkio g on yksikäsitteinen. Olkoon nyt g 1, g 2 G mielivaltaisia. Täten kaikilla ω Ω (g 1 g 2 ) ω = ω(g 1 g 2 ) = (ωg 1 )g 2 = g 2(g 1ω) = (g 2g 1)ω = (g 1g 2)ω, koska H/J oli Abelin ryhmä. Lemman 42 nojalla ryhmän H/J toiminto joukolle ω oli säännöllinen, joten se on myös uskollinen. Täten (g 1 g 2 ) = g 1g 2, joten kuvaus g g on homomorfismi. Määritelmä 13. Funktiota τ : G H/J, τ(g) = T g/t sanotaan ryhmän G siirroksi tekijäryhmään H/J. Lemma 44. Olkoon G ryhmä, J H G, [G : H] = n ja H/J Abelin ryhmä. Tällöin siirtofunktio τ : G H/J on riippumaton transversaalin T valinnasta ja τ on homomorfismi. Lisäksi Ker(τ) = Stab G (ω) kaikilla ω Ω käyttäen lemmassa 43 määriteltyä ryhmän G oikeanpuoleista toimintoa joukolle Ω. 26