Rekursioyhtälö ratkaisu ja aisogamia Eeva Vilkkumaa.0.2008
Rekursioyhtälö ratkaisu (Liite I) Edellie esitelmä: +/m -koiraide (p) ja -aaraide (P) osuus populaatiossa kehittyy rekursiivisesti: p P + + a P 2a * b P 2b* + p 2 + p 2 () a*:b* alkup. populaatio koiraat:aaraat a:b mutaatiopopulaatio (+/m) koiraat:aaraat
Yleisesti: Lasketaa kerroimatriisi C omiaisarvot: P p P P p p δ γ β α + + + + (3) 0 ) ( ) ( ) det( 2 + + βγ αδ λ δ α λ λ δ γ β α I A C (2) Rekursioyhtälö ratkaisu
Rekursioyhtälö ratkaisu Lieaarise differessiyhtälöryhmä ratkaisu o tällöi p Aλ + Bλ 2 (4) P A' λ + B' λ 2 (5) missä λ ja λ 2 ovat karakterise yhtälö (3) ratkaisut.
Rekursioyhtälö ratkaisu Parametrit α,β,γ,δ mutati ja ESS: ilmiasuje (a,b), (a*,b*) fuktioita Aluee reualla myös bf(a) ja b*f(a*) Karakteristie yhtälö (3) voidaa siis kirjoittaa: φ ( λ, a, a*) 0 (6)
Rekursioyhtälö ratkaisu Merkitää ρ(p, P) Tällöi: p+ ρ + Cρ λρ p+ λp λ p jote omiaisarvo λ mittaa mutati (a) suhteellise osuude kasvuvauhtia ESS a*:ee verrattua
Siispä: Rekursioyhtälö ratkaisu (i) Ku aa*, λ (ii) a* o ESS, jote λ< ku a a*, ts. mutatti ei voi vallata alaa ESS:ltä a* siis maksimoi fuktio λ(a), eli dλ da 0; d 2 a a* da a a* 2 λ < 0 (7)
Rekursioyhtälö ratkaisu Karakterisesta yhtälöstä (6): dφ φ dλ+ λ φ da a 0 dλ da φ / a φ. λ Jos siis φ / a 0, dλ / da 0 ESS-ilmiasu a* löytyy täte ratkaisemalla yhtälö: φ a a λ 0 a * (8)
Rekursioyhtälö ratkaisu Edellise esitelmä tapauksessa systeemi oli muotoa (), jolloi karakteristie yhtälö (3): φ( λ, a, a*) Tällöi 2 b b a λ + λ+ 2 b* 4 b* a * 0 φ a 2b db λ+ da 4b* db da 4a*
Rekursioyhtälö ratkaisu Sijoitetaa (8): mukaisesti λ ja aa*, jolloi ESSilmasulle (a*,b*) tulee päteä: a* + * 0, kute edellisessä esitelmässä todettii. b db da *
Aisogamia Aisogamia: lisäätymisessä aktiiviset sukusolut erikokoisia (vrt. muasolu ja siittiösolu) Isogamia: sukusolut samakokoisia Tutkiaa evoluutiopeliteoreettisi meetelmi, kumpi tilae o ESS tiettyje olosuhteide vallitessa
Oletuksia: Aisogamia: oletuksia (i) Tuotettuje sukusoluje yhteismassa korkeitaa M (ii) Yhde sukusolu vähimmäismassa δ (iii) Yksilöt voivat tuottaa kaikekokoisia sukusoluja [δ,m] (iv) Yksilö tuottaa vai yhdetyyppisiä sukusoluja, + tai (mua- tai siittiösolu)
Aisogamia: oletuksia Merkitää S(x) t., että x-massaie hedelmöittyyt solu säilyy hegissä aikuiseksi sukusoluje tuottajaksi Ol. S(x): [0, ] [0,] kasvava fuktio, S(0)0. Aikuie voi tuottaa kpl m-massaista sukusolua s.e. mm
δ-populaatio isogamia Kysymys: oko vai δ-massaisia sukusoluja tuottava populaatio evolutiivisesti stabiili? (Isogamia) Tällaisessa populaatiossa: Yksilö tuottaa M/δ sukusolua Hedelmöittyee sukusolu massa o 2δ Kelpoisuus mitattua aikuiseksi selviävie jälkeläiste lukumäärällä o M W δ S( 2δ ) δ
δ-populaatio isogamia Ol. mutatti, joka tuottaa m-massaisia sukusoluja, m > δ m-solu lisäätyy δ-solu kassa, jote m-tuottaja kelpoisuus: W m M S( m+ δ ) m Jotta δ-populaatio olisi ev. stabiili, o oltava W δ >W m : M S(2δ ) > δ M m S( m+ δ ), eli S(2δ ) δ > S( m+ δ ) m
Stabiili δ-populaatio: S-käyrä kulkee 2δ: jälkee S(2δ)/δ-suora alla
m*-populaatio isogamia Kuva 7b tapaus: isommat mutattisukusolut pääsevät tukeutumaa δ-populaatioo Oko tuloksea aisogamia, vai isompie sukusoluje isogamia? Kysytää esi: mikä o lokaalisti stabiili koko m*?
m*-populaatio isogamia Nyt: W m M S( m+ m*) M S( m+ m*) 2 m m m m Jos m* o ESS, o se maksimoitava kelpoisuus, eli: Wm S( m+ m*) 0, ts. m m S(2m*) * m m* m m* m
m*-populaatio lok. stabiili: S(2m*)/m*-suora tageeraa S:ää 2m*:ssä
Aisogamia Oko tulos siis isompie sukusoluje populaatio isogamia? Kysymys: Oko m*-populaatio stabiili δ-tuottajaa vastaa? Jotta äi olisi, o pädettävä W m* > W δ, ts.: M m * S(2m*) > M δ S( m* + δ ), eli S(2m*) m* > S( m* + δ ) δ
Aisogamia Jos edellie ehto ei päde, voi δ-tuottaja tukeutua populaatioo Tuloksea δ-isogamia Isoje ja pieie sukusoluje aisogamia, jos δ-populaatio ei ole ev. stabiili mutaatioita vastaa
Yhteeveto Aisogamia / isogamia stabiilisuus riippuu tjakauma S(x) muodosta Löyhästi Kupera S(x): δ- populaatio isogamia Kellomaisempi S(x): aisogamia Vahvasti kellomaie S(x): isompie sukusoluje isogamia
Kotitehtävä Olkoo S(x)5x 4-4x 5, δ0.2, M Oko δ-populaatio stabiili? Jos ei, etsi lokaalisti stabiili m* Oko m* stabiili δ-tuottajaa vastaa? Mikä johtopäätökse voit tehdä (aisogamia/isogamia)? Piirrä myös kuva (esim. Matlabilla)