MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato satuaisotos ormaalijakaumasta N(µ,σ ). Tällöi satuaismuuttujat X i ovat riippumattomia ja oudattavat samaa ormaalijakaumaa N(µ,σ ): X, X,!, X X i N(µ,σ ), i =,,, Normaalijakauma parametreja µ, σ ei tueta. Se sijaa o havaittu datapisteet x = (x,...x ). Asetetaa ormaalijakauma N(µ,σ ) tutemattomalle odotusarvolle ollahypoteesi H :µ = µ. Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi H kassa? Ogelma ratkaisua o yhde otokse t-testi odotusarvolle. Hypoteesit yhde otokse t-testissä odotusarvolle Tilastokokee stokastista mallia koskeva pohjahypoteesi H: X, X,, X X i ~ N(µ,σ ), i =,,, Pohjahypoteesiä ei tässä yhteydessä testata, vaa se oletetaa oleva varmistettu muilla tavoi. Nollahypoteesi H :µ = µ. Vaihtoehtoiset hypoteesit H: µ > µ H: µ < µ H : µ µ -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Parametrie estimoiti yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoot M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) /33
ja m(x ) = i= X i s (X ) = i= (X i m(x )) tilastokokee stokastista mallia vastaava keskiarvo ja otosvariassi. Testisuure yhde otokse t-testissä odotusarvolle Määritellää testisuure t(x ) = m(x ) µ s(x ) /. Jos pohjahypoteesi H ja ollahypoteesi H ovat voimassa, ii (satuaie) testisuure t(x) oudattaa Studeti t-jakaumaa vapausastei -. R-ohjelmalla ko. jakauma kertymäfuktio pisteessä x saadaa komeolla pt(x,- ). Testisuuree t(x) ormaaliarvo o olla, koska ollahypoteesi H pätiessä E(t(X)) =. Site itseisarvoltaa suuret testisuuree arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H ei päde. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) /33
e määrittämie yhde otokse t-testissä odotusarvolle Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. (i) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:µ > µ, ii testi hylkäysalue o muotoa ( + t α, + ). Kriittie arvo +tα saadaa ehdosta Pr(t(X ) +t α ) = α, (ii) joka o - vapausastee Studeti t-jakauma taso -α kvatiili, eli R:llä tα = qt(-α, -). Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:µ < µ, ii testi hylkäysalue o muotoa (, t α ). Kriittie arvo tα saadaa ehdosta Pr(t(X ) t α ) = α, missä tα o - vapausastee Studeti t-jakauma taso α kvatiili. Luku tα saadaa R:llä kaavasta tα = -qt(α, -) = qt(-α, -). (iii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:µ µ, ii testi hylkäysalue o muotoa (, t ) ( + t, + ). α/ α/ Kriittiset arvot tα/ ja +tα/ saadaa ehdoista Pr( t t ) = α / α / Pr( t + t ) = α / α / eli R:llä tα/ = qt(-α, -). Nollahypoteesi hylätää, jos testisuuree arvo osuu hylkäysalueelle. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 3/33
Alla olevat kuviot havaiollistavat testi hylkäysaluee määräämistä: > H:µ < µ H:µ µ H:µ µ t ( ) t ( ) t ( ) α α α α α α α + t α t α t α / +t α / p-arvo määrittämie yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo testisuuree datajoukosta x=(x,...,x ) laskettu arvo t = t(x). Alla olevat kuviot havaiollistavat testi p-arvo määrittämistä: > H:µ < µ H:µ µ H:µ µ t ( ) t ( ) t ( ) p p p p p p p t + t t t Testi p-arvo = p Testi p-arvo = p Testi p-arvo = p Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o piei. Yhde otokse testi variassille Olkoo X i, i =,,, satuaisotos ormaalijakaumasta N(µ, σ ). Tällöi satuaismuuttujat X i, i =,,, ovat riippumattomia ja oudattavat samaa ormaalijakaumaa N(µ,σ ): X, X,!, X X i N(µ,σ ), i =,,, Asetetaa ormaalijakauma N(µ,σ ) variassiparametrille σ ollahypoteesi H :σ = σ. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 4/33
Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi H kassa? Ogelma ratkaisua o yhde otokse χ -testi variassille. Hypoteesit yhde otokse testissä variassille Yleie hypoteesi H X, X,, X X i ~ N(µ,σ ), i =,,, Nollahypoteesi H :σ = σ. Vaihtoehtoiset hypoteesit H: σ > σ -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit H: σ < σ H : σ σ -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Parametrie estimoiti yhde testissä variassille Olkoot ja m(x ) = i= X i s (X ) = i= (X i m(x )) tavaomaiset harhattomat estimaattorit ormaalijakauma parametreille µ ja σ. Tuusluku m(x) o tilastokokee stokastise malli X=(X,...,X ) keskiarvo ja s (X) se otosvariassi. Testisuure yhde otokse testissä variassille Määritellää testisuure χ (X ) = ( )s (X ) σ. Jos ollahypoteesi H pätee, ii testisuure χ (X) oudattaa χ -jakaumaa ("khii toisee") vapausastei. Testisuuree χ (X) ormaaliarvo o, koska ollahypoteesi H pätiessä E(χ (X)) =. Site sekä pieet että suuret testisuuree arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H ei päde. e määräämie yhde otokse testissä variassille Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. (i) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:σ > σ, M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 5/33
ii testi hylkäysalue o muotoa ( α, ) χ +. Kriittie arvo χ saadaa ehdosta α Pr( α ) χ χ = α, (ii) mssä χ : χ ( ). Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:σ < σ, ii testi hylkäysalue o muotoa (, χ ). α Kriittie raja χ saadaa ehdosta missä α Pr( χ χ ) = α, α χ : χ ( ). (iii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:σ σ, ii testi hylkäysalue o muotoa (, χ α/ ) ( χα/, + ) Kriittiset arvot χ ja χ saadaa ehdoista missä α / α / α / α / Pr( χ χ ) = α/ Pr( χ χ ) = α/ χ : χ ( ). Nollahypoteesi hylätää, jos testisuuree arvo osuu hylkäysalueelle. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 6/33
Alla olevat kuviot havaiollistavat testi hylkäysaluee määräämistä: H:σ > σ H:σ < σ H:σ σ χ ( ) χ ( ) χ ( ) α α α α α α α χ α χ α χ χ α α p-arvo määräämie yhde otokse testissä variassille Olkoo testisuuree datajoukosta x=(x,...,x ) laskettu arvo χ = χ (x). Alla olevat kuviot havaiollistavat testi p-arvo määräämistä, ku vaihtoehtoie hypoteesi o yksisuutaie: H:σ > σ H:σ < σ χ ( ) χ ( ) p p p p H:σ σ tapauksessa testi p-arvo o χ χ Testi p-arvo = p Testi p-arvo = p Kaksisuutaise vaihtoehtoise hypoteesi { } p = mi Pr( χ χ ),Pr( χ χ ) jossa χ : χ ( ) Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o piei. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 7/33
Kahde riippumattoma otokse t-testi Testausasetelma kahde riippumattoma otokse t-testissä odotusarvoille Olkoo X i, i =,,, satuaisotos ormaalijakaumasta N( µ, σ ). Tällöi satuaismuuttujat X i, i =,,, ovat riippumattomia ja oudattavat samaa ormaalijakaumaa N( µ, σ ) : X, X,!, X X i N(µ,σ ), i =,,, Olkoo X j, j =,,, satuaisotos ormaalijakaumasta N( µ, σ ). Tällöi satuaismuuttujat X j, j =,,, ovat riippumattomia ja oudattavat samaa ormaalijakaumaa N( µ, σ ) : X, X,!, X X j N(µ,σ ), j =,,, Oletetaa lisäksi, että otokset ja X i, i =,,, X j, j =,,, ovat riippumattomia toisistaa. Asetetaa ormaalijakaumie N( µ, σ) ja N( µ, σ) odotusarvo- eli paikkaparametreille µ ja µ ollahypoteesi H :µ = µ = µ. Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi H kassa? Ogelma ratkaisua o kahde riippumattoma otokse t-testi odotusarvoille. Hypoteesit kahde riippumattoma otokse t-testissä odotusarvoille Yleie hypoteesi H: X i ~ N(µ,σ ), i =,,, X j ~ N(µ,σ ), j =,,, Nollahypoteesi Havaiot X i ja X j ovat riippumattomia kaikille i ja j H :µ = µ = µ M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 8/33
Vaihtoehtoiset hypoteesit: H: µ > µ H: µ < µ H : µ µ -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Parametrie estimoiti kahde riippumattoma otokse t-testissä odotusarvoille Olkoot k, k =, ja m k (X ) = k i= X ik s k (X ) = k k (X ik m k (X )), k =, i= tavaomaiset harhattomat estimaattorit ormaalijakauma parametreille µ ja σ. Tuusluku m k (X ) o havaitoje X ik, i =,,, k, keskiarvo ja s k (X) o havaitoje X ik, i =,,, k, otosvariassi. Testisuure yleisessä tapauksessa kahde riippumattoma otokse t-testissä odotusarvoille Määritellää tilastokokee stokastista mallia vastaava testisuure t A (X ) = m (X ) m (X ). s (X ) + s (X ) Jos ollahypoteesi H pätee, ii testisuure t A oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa N(,). Testisuuree t A (X) ormaaliarvo o olla, koska ollahypoteesi H pätiessä E(t A (X)) =. Site itseisarvoltaa suuret testisuuree arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H ei päde. Pieissä otoksissa testisuuree t A (X) jakaumalle saadaa parempi approksimaatio käyttämällä approksimoivaa jakaumaa t-jakaumaa vapausastei (s. Satterthwaite approksimaatio) ν =! # "! s (X ) + s (X ) $ # & " % s (X ) $ & +! # % " s (X ) Jos ν ei ole kokoaisluku, ν: arvo o tapaa pyöristää alaspäi lähimpää kokoaislukuu. $ & % k k M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 9/33
e määräämie kahde riippumattoma otokse t-testissä odotusarvoille Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. Käsittelemme tässä kriittiste rajoje määräämistä vai, ku testisuuretta t A approksimoidaa ormaalijakaumalla. Kriittiste rajoje määräämie, ku testisuuretta t A approksimoidaa t- jakaumalla, tapahtuu täsmällee samalla tavalla kui yhde otokse t-testi tapauksessa. (i) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:µ > µ, ii testi hylkäysalue o muotoa ( + t α, + ). (ii) Kriittie arvo +tα saadaa ehdosta jossa t : N(,). Pr( t + t α ) = α, Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:µ < µ, ii testi hylkäysalue o muotoa (, t α ). Kriittie arvo tα saadaa ehdosta missä Pr( t t α ) = α, t : N(,). (iii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:µ µ, ii testi hylkäysalue o muotoa (, t ) ( + t, + ). α/ α/ Kriittiset arvot tα/ ja +tα/ saadaa ehdoista jossa t : N(,). Pr( t t ) = α / α / Pr( t + t ) = α / α / Nollahypoteesi hylätää, jos testisuuree arvo osuu hylkäysalueelle. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) /33
Alla olevat kuviot havaiollistavat testi hylkäysaluee valitaa: > H:µ < µ H:µ µ H:µ µ N(,) N(,) N(,) α α α α α α α + t α t α t α / +t α / p-arvo määräämie kahde riippumattoma otokse t-testissä odotusarvoille Olkoo testisuuree datajoukosta x laskettu arvo havaittu arvo t = t A (x) Käsittelemme tässä testi p-arvo määräämistä vai, ku testisuuretta t A (X) approksimoidaa ormaalijakaumalla. p-arvo määräämie, ku testisuuretta t A approksimoidaa t-jakaumalla, tapahtuu täsmällee samalla tavalla kui yhde otokse t-testi tapauksessa. Alla olevat kuviot havaiollistavat testi p-arvo määräämistä: > H:µ < µ H:µ µ H:µ µ N(,) N(,) N(,) p p p p p p p t + t t t Testi p-arvo = p Testi p-arvo = p Testi p-arvo = p Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o piei. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) /33
t-testi parivertailuille Testausasetelma t-testissä parivertailuille Oletetaa, että havaiot muodostuvat määrällistä muuttujaa koskevista havaitopareista (X i, X i ), i =,,,, missä X i ja X i voivat riippua toisistaa, mutta jokaie pari o muista pareista riippumato. Tavoitteea o verrata mittauksia X i ja X i toisiisa: Atavatko mittaukset ja keskimääri sama tulokse? Muodostetaa mittaustuloksie X i ja X i erotukset D i = X i X i, i =,,,. Mittaukset ja atavat keskimääri sama tulokse, jos erotukset D i saavat keskimääri arvo olla. Parivertailuogelma ratkaisua o tavaomaie yhde otokse t-testi mittaustuloksie X i ja X i erotuksie D i odotusarvolle. Hypoteesit t-testissä parivertailuille Yleie hypoteesi H Nollahypoteesi D, D,, D D i ~ N(µ D,σ D ), i =,,, H : µ = Vaihtoehtoiset hypoteesit D H: µ D > H: µ D < -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit H : µ -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi D Parametrie estimoiti t-testissä parivertailuille Olkoot ja m(d) = i= D i s (D) = i= (D i m(d)) tavaomaiset harhattomat estimaattorit ormaalijakauma parametreille µ ja σ. Tuusluku m(d) o erotuste D i = X i X i, i =,,, keskiarvo ja s (D) o erotuste D i = X i X i, i =,,, otosvariassi. D D M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) /33
Testisuure t-testissä parivertailuille Määritellää stokastista mallia vastaava testisuure t(d) = m(d) s(d) /. Jos ollahypoteesi H pätee, ii testisuure t(d) oudattaa Studeti t-jakaumaa vapausastei. Testisuuree t ormaaliarvo o olla, koska ollahypoteesi H pätiessä E(t(D)) =. Site itseisarvoltaa suuret testisuuree arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H ei päde. e määräämie t-testissä parivertailuille Kriittiste arvoje määräämie tapahtuu vastaavalla tavalla kui yhde otokse t-testi tapauksessa. p-arvo määräämie t-testissä parivertailuille Testi p-arvo määräämie tapahtuu vastaavalla tavalla kui yhde otokse t-testi tapauksessa. Testi suhteelliselle osuudelle Tarkastellaa seuraavaksi laadullisia biaariarvoisia muuttujia. Testausasetelma testissä suhteelliselle osuudelle Olkoo A perusjouko S tapahtuma ja olkoo Pr(A) = p Pr(A c ) = p = q Määritellää satuaismuuttuja, jos tapahtuma A sattuu X =, jos tapahtuma A ei satu Tällöi satuaismuuttuja X oudattaa Beroulli-jakaumaa parametriaa p: X Ber(p) ja E( X) = p Var( ) D ( ) X = X = pq Oletetaa, että tapahtuma A o muotoa A = Perusjouko S alkiolla o omiaisuus P Tällöi M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 3/33
p = Pr(A) o todeäköisyys poimia perusjoukosta S satuaisesti alkio, jolla o omiaisuus P. Jos perusjoukko S o äärellie, ii todeäköisyys p kuvaa iide perusjouko S alkioide suhteellista osuutta, joilla o omiaisuus P. Olkoo X, X,, X satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa Beroulli-jakaumaa Beroulli(p). Tällöi X, X,, X X i Beroulli( p), i =,,, Asetetaa Beroulli-jakauma odotusarvoparametrille p ollahypoteesi H : p = p. Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi H kassa? Ogelma ratkaisua o testi suhteelliselle osuudelle. Hypoteesit testissä suhteelliselle osuudelle Yleie hypoteesi Nollahypoteesi X, X,, X X i Beroulli( p), i =,,, H : p = p Vaihtoehtoiset hypoteesit H: p> p H: p< p H : p p -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Parametrie estimoiti testissä suhteelliselle osuudelle Olkoo ˆp(X ) = i= X i tavaomaie harhato estimaattori Beroulli-jakauma parametrille p. Huomaa, että X i = f (X ) i= o tapahtuma A frekvessi siiä -kertaisessa riippumattomie Beroulli-kokeide sarjassa, jota yksikertaise satuaisotokse poimita Beroulli-jakaumasta Beroulli(p) merkitsee. Site ˆp(X ) = f (X ) o tapahtuma A suhteellie frekvessi ja M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 4/33
f (X ) = X i Bi(, p). Testisuure testissä suhteelliselle osuudelle i= Määritellää tilastokokee stokastista mallia vastaava testisuure Jos ollahypoteesi z(x ) = ˆp(X ) p. p ( p ) H : p = p pätee, ii testisuure z(x) oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa N(,): z(x) a N(,). Testisuuree z ormaaliarvo o olla, koska ollahypoteesi H pätiessä E(z(X)) =. Site itseisarvoltaa suuret testisuuree arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H ei päde. e määräämie testissä suhteelliselle osuudelle Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. (i) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:p> p, ii testi hylkäysalue o muotoa ( + z α, + ). (ii) Kriittie arvo +zα saadaa ehdosta jossa z : N(,). Pr( z + z α ) = α, Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:p< p, ii testi hylkäysalue o muotoa (, z α ). Kriittie arvo zα saadaa ehdosta jossa z : N(,). Pr( z z α ) = α, (iii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:p p, M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 5/33
ii testi hylkäysalue o muotoa (, z ) ( + z, + ). α/ α/ Kriittiset arvot zα/ ja +zα/ saadaa ehdoista jossa Pr( z z ) = α / α / Pr( z + z ) = α / z : N(,). α / Nollahypoteesi hylätää, jos testisuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Alla olevat kuviot havaiollistavat testi hylkäysaluee valitaa: H:p > p H:p < p H:p p N(,) N(,) N(,) α α α α α α α + z α z α z α / +z α / p-arvo määräämie testissä suhteelliselle osuudelle Olkoo testisuuree datajoukosta x=(x,...,x ) laskettu arvo z = z(x). Alla olevat kuviot havaiollistavat testi p-arvo määräämistä: H:p > p H:p < p H:p p N(,) N(,) N(,) p p p p p p p z + z z z p-arvo = p p-arvo = p p-arvo = p Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o piei. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 6/33
Suhteelliste osuuksie vertailutesti Testausasetelma suhteelliste osuuksie vertailutestissä Olkoo A perusjouko S k, k =, tapahtuma ja olkoot Pr(A) = p k, k =, Pr(A c ) = p k = q k, k =, Määritellää satuaismuuttujat X k, k =, : Tällöi ja X k, jos Atapahtuu perusjoukossa Sk =, jos Aei tapahdu perusjoukossa S X k ~ Beroulli(p k ), k =, E( X ) = p k k Var( Xk) = D ( Xk) = pkqk Oletetaa, että tapahtuma A o muotoa Tällöi A = Perusjouko alkiolla o omiaisuus P p k = Pr(A) o todeäköisyys poimia perusjoukosta S k, k =, satuaisesti alkio, jolla o omiaisuus P. Jos perusjoukko S k, k =, o äärellie, ii todeäköisyys p k kuvaa iide perusjouko S k alkioide suhteellista osuutta, joilla o omiaisuus P. Olkoo X, X, K, X satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa Beroulli-jakaumaa Beroulli(p ). Tällöi Olkoo X, X, K, X X : Beroulli( p ), i=,, K, i X, X, K, X satuaisotos perusjoukosta S, joka oudattaa Beroulli-jakaumaa Beroulli(p ). Tällöi X, X, K, X X : Beroulli( p ), i=,, K, i Olkoot otokset lisäksi toisistaa riippumattomia. Asetetaa Beroulli-jakaumie parametreille p ja p ollahypoteesi H : p = p = p Testausogelma: Ovatko havaiot sopusoiussa ollahypoteesi H kassa? i k M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 7/33
Ogelma ratkaisua o suhteelliste osuuksie vertailutesti. Hypoteesit suhteelliste osuuksie vertailutestissä Yleie hypoteesi: Nollahypoteesi: Vaihtoehtoiset hypoteesit: X : Beroulli( p ), i=,, K, i X : Beroulli( p ), i=,, K, i X, X, K, X, X, X, K, X H : p = p = p H: p H: p H : p > p < p p i -suutaiset vaihtoehtoiset hypoteesit -suutaie vaihtoehtoie hypoteesi Parametrie estimoiti suhteelliste osuuksie vertailutestissä Olkoo k pˆ = X, k =, k k i = ik tavaomaie harhato estimaattori Beroulli-jakauma parametrille p k, k =,. Huomaa, että k i= X = f, k =, ik k o tapahtuma A frekvessi siiä -kertaisessa riippumattomie Beroulli-kokeide sarjassa, jota yksikertaise satuaisotokse poimita Beroulli-jakaumasta Beroulli(p k ), k =, merkitsee. Site fk pˆ k =, k =, k o tapahtuma A suhteellie frekvessi otoksessa k =, ja Jos ollahypoteesi k f = X : Bi(, p ) k ik k k i= H : p = p = p pätee, voidaa otokset yhdistää ja parametri p harhato estimaattori o tapahtuma A suhteellie frekvessi yhdistetyssä otoksessa: pˆ + pˆ f + f pˆ = = + + Jos ollahypoteesi H pätee, ii M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 8/33
p( p) p( p) Var( pˆ pˆ ) = + = p( p) + Testisuure suhteelliste osuuksie vertailutestissä Määritellää testisuure Jos ollahypoteesi z = pˆ pˆ pˆ( pˆ) + H : p = p = p pätee, ii testisuure z oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa: z a N(,) Testisuuree z ormaaliarvo =, koska ollahypoteesi H pätiessä E(z) = Site itseisarvoltaa suuret testisuuree z arvot viittaavat siihe, että ollahypoteesi H ei päde. e määräämie suhteelliste osuuksie vertailutestissä Valitaa testi merkitsevyystasoksi α. (i) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:p > p ii testi hylkäysalue o muotoa ( + z α, + ) k (ii) Kriittie raja tai arvo +zα saadaa ehdosta jossa z : N(,). Pr( z + z α ) = α Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa H:p < p ii testi hylkäysalue o muotoa (, z α ) Kriittie raja tai arvo zα saadaa ehdosta jossa z : N(,). Pr( z z α ) = α (iii) Jos vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 9/33
H:p p ii testi hylkäysalue o muotoa (, z ) ( + z, + ) α/ α/ Kriittiset rajat tai arvot zα/ ja +zα/ saadaa ehdoista jossa Pr( z z ) = α / α / Pr( z + z ) = α / z : N(,). α / Nollahypoteesi hylätää, jos testisuuree arvo osuu hylkäysalueelle. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) /33
Alla olevat kuviot havaiollistavat testi hylkäysaluee valitaa: H:p > p H:p < p H:p p N(,) N(,) N(,) α α α α α α α + z α z α z α / +z α / p-arvo määräämie suhteelliste osuuksie vertailutestissä Olkoo z-testisuuree z havaittu arvo z. Alla olevat kuviot havaiollistavat testi p-arvo määräämistä: H:p > p H:p < p H:p p N(,) N(,) N(,) p p p p p p p z + z z z p-arvo = p p-arvo = p p-arvo = p Nollahypoteesi hylätää, jos testi p-arvo o kylli piei. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) /33
Esimerkki 9. Koe valmistaa auloja, joide tavoitepituutea o cm. Nauloje pituus vaihtelee kuiteki satuaisesti oudattae ormaalijakaumaa. Nauloje laatua seurataa site, että tasatuei edellise tui aikaa valmistettuje auloje joukosta poimitaa yksikertaie satuaisotos, joka koko o 3 ja otoksee poimittuje auloje keskipituutta verrataa tavoitearvoo. Eräässä otoksessa auloje pituuksie keskiarvoksi saatii 9.95 cm ja otosvariassiksi. cm. Testaa ollahypoteesia, että ko. tui aikaa valmistettuje auloje todellie keskipituus o tavoitearvo mukaie, ku vaihtoehtoisea hypoteesia o, että keskipituus o tavoitearvoa pieempi. Käytä testissä %: merkitsevyystasoa. Esimerkki 9. Mitä opimme? Esimerkissä 9. testataa ormaalijakautueeksi oletetu määrällise muuttuja (tutemattomasta) odotusarvosta tehtyä hypoteesiä soveltae yhde otokse t-testiä. Esimerkki 9. Ratkaisu Koee valmistamie auloje joukosta poimitaa yksikertaie satuaisotos, joka koko = 3. Määritellää satuaismuuttujat X i = aula i pituus otoksessa, i =,,, 3. Yleie stokastista mallia koskeva pohjahypoteesi H o muotoa: X, X,!, X 3 X i N(µ,σ ), i =,,,3 Pohjahypoteesi voimassaoloa ei testata tässä testissä, vaa se oletetaa oleva voimassa muide jo tehtyje testie perusteella. Nollahypoteesi o muotoa H : µ =. Vaihtoehtoie hypoteesi o muotoa: H : µ <. Sovelletaa yhde otokse t-testiä. Stokastise malli testisuureea o missä t(x ) = m(x ) µ s(x ) /, m(x ) = X i, s (X ) = (X i m(x )). i= i= Jos pohjahypoteesi H ja ollahypoteesi H pätevät, testisuure t(x) oudattaa Studeti t- jakaumaa vapausastei -=9. Itseisarvoltaa suuret testisuuree t arvot johtavat ollahypoteesi hylkäämisee. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) /33
Tehtävä tapauksessa = 3, m(x) = 9.95, s (x) =., µ =, jote datasta laskettu testisuuree arvo o t(x) = m(x) µ s(x) / = 9.95./ 3 =.739. Koska vaihtoehtoisea hypoteesia o yksisuutaie vaihtoehto H : µ <, testisuuree t(x) arvoa.739 vastaavaksi p-arvoksi saadaa R:llä (kometo pt(-.739,9)) tai Excelillä (kometo TDIST(.739,9,)) Pr(t(X).739) =.5. Site ollahypoteesi H voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla, koska p =.5 <.. Toisaalta merkitsevyystasoa. vastaava kriittie arvo o t. =.46, sillä t(9)- jakauma taulukoide perusteella Pr(t(X).46) =.. R:llä tämä luku saadaa komeolla qt(.,9). Koska t(x) < -.46, o datasta laskettu testisuuree arvo t(x) = -.739 o osuut hylkäysalueelle ja ollahypoteesi H voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla ja vaihtoehtoie hypoteesi H voidaa hyväksyä. Johtopäätös: Koe tekee auloja, joide keskimääräie pituus o tilastollisesti merkitsevästi tavoitearvoa cm pieempi. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 3/33
Esimerkki 9. Kuulalaakeritehtaassa o kaksi kuulalaakeri kuulia valmistavaa koetta, K ja K. Koeide valmistamie kuulie paiot vaihtelevat satuaisesti (ja toisistaa riippumatta) oudattae ormaalijakaumaa. Kummaki koee valmistamie kuulie joukosta poimitaa toisistaa riippumattomat yksikertaiset satuaisotokset ja otoksista lasketaa kuulie paioje keskiarvot ja otoskeskihajoat. Otoksista koottu data o aettu alla olevassa taulukossa. Testaa ollahypoteesia, että koeet K ja K valmistavat keskimääri samapaioisia kuulia, ku vaihtoehtoisea hypoteesia o, että koeide K ja K valmistamie kuulie keskipaiot eroavat toisistaa. Käytä testissä %: merkitsevyystasoa. Koe Keskiarvo (g) Otoskeskihajo ta (g) Otoskoko K.. 3 K.. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 4/33
Esimerkki 9. Mitä opimme? Esimerkissä 9.. sovelletaa kahde riippumattoma otokse t-testiä. Esimerkki 9. Ratkaisu Tehtaalla valmistetaa kuulalaakeri kuulia kahdella koeella K ja K. Koee K valmistamie kuulie joukosta poimitaa yksikertaie satuaisotos, joka koko = 3. Koee K valmistamie kuulie joukosta poimitaa (edellisestä riippumato) yksikertaie satuaisotos, joka koko =. Määritellää satuaismuuttujat X i = koee K tekemä kuula paio otoksessa i =,,, 3 X j = koee K tekemä kuula paio otoksessa j =,,, Yleie pohjahypoteesi H o muotoa X X j : N( µ, σ ), i =,,, 3 i : N( µ, σ ), j =,,, Havaiot X i ja X j ovat riippumattomia kaikille i ja j Nollahypoteesi H o muotoa H : µ = µ = µ Vaihtoehtoie hypoteesi H o muotoa H : µ µ Määritellää seuraavat otossuureet: Testisuuretta m k (X ) = k k, k =, i= s k (X ) = k X ik k (X ik m k (X )), k =, i= s p (X ) = ( )s (X ) + ( )s (X ) + t A (X ) = m (X ) m (X ) s (X ) + s (X ) voidaa käyttää kaikissa testausasetelmissa, joissa yleie hypoteesi H pätee. Jos lisäksi ollahypoteesi H pätee, ii testisuure t A oudattaa suurissa otoksissa likimai stadardoitua ormaalijakaumaa: t A (X) a N(,). Pieissä otoksissa testisuuree jakaumalle saadaa parempi approksimaatio käyttämällä approksimaatioa Studeti t-jakaumaa, jossa vapausasteide lukumäärää käytetää lukua M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 5/33
ν = s s + s s + Itseisarvoltaa suuret testisuuree t A arvot sotivat ollahypoteesia H : µ = µ = µ vastaa. Tehtävä tapauksessa datasta lasketut tuusluvut ovat m (x) =., m (x) =., s (x) =.4, s (x) =., = 3, =, jote datasta laskettu testisuure o t A (x) = m (x) m (x) s (x) + s (x) =...4 3 +. =.363. Koska vaihtoehtoisea hypoteesia o kaksisuutaie H : µ µ, testisuuree t A arvoa.363 vastaavaksi p-arvoksi saadaa ormaalijakauma-approksimaatiota käyttäe Pr(Z >.363) = x (.999) =.8, missä Z N(,). Site ollahypoteesi H jää voimaa %: merkitsevyystasolla, koska p =.8 >.. Jos käytämme t-jakauma-approksimaatiota, vapausasteide lukumääräksi tulee ν =! # "! s (x) + s (x) $ # & " % s (x) $ & +! # % " s (x) $ = 46.69, & % jote käytämme vapausasteide lukumäärää alaspäi pyöristettyä lukua 46. Koska vaihtoehtoisea hypoteesia o kaksisuutaie H : µ µ, testisuuree t A arvoa.363 vastaavaksi p-arvoksi saadaa t-jakauma-approksimaatiota käyttäe esim. Excelillä Pr(T >.363) =. =., ku T t(46). Site ollahypoteesi H jää voimaa %: merkitsevyystasolla, koska p =. >.. Koska vaihtoehtoisea hypoteesia o -suutaie vaihtoehto H : µ µ, t-jakauma taulukoista saadaa %: merkitsevyystasoa vastaaville kriittisille arvoille t.5 ja +t.5 arviot M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 6/33
Koska t.5 (.74,.678) +t.5 (+.678, +.74).678 < t A =.363 < +.678 testisuuree t A arvo.363 o osuut hyväksymisalueelle ja ollahypoteesi H jää voimaa %: merkitsevyystasolla. Johtopäätös: Koeide tekemie kuulie keskimääräiset paiot eivät poikkea tilastollisesti merkitsevästi toisistaa. Huomaa kuiteki, että johtopäätös vaihtuisi päivastaiseksi, jos testi merkitsevyystasoksi olisi valittu 5 %. Esimerkki 9.3 Testattaessa erästä verepaielääkettä samoje potilaide (8 kpl) verepaie mitattii ee ja jälkee lääkkee auttimise. Koetulokset (verepaieet mm/hg) o esitetty alla olevassa taulukossa. Testaa hypoteesia, että lääke ei keskimääri alea verepaietta, ku vaihtoehtoisea hypoteesia o, että lääke keskimääri aletaa verepaietta. Käytä testissä %: merkitsevyystasoa. 3 4 5 6 7 8 Jälkee 8 76 49 83 36 8 58 Ee 34 74 8 5 87 36 5 68 Esimerkki 9.3 Mitä opimme? Esimerkissä 9.3. sovelletaa t-testiä parivertailuille. Huomaa, että tehtävä 9.. riippumattomie otoksie t-testiä ei saa käyttää, koska verepaiemittaukset ee ja jälkee lääkkee atamise eivät luultavasti ole riippumattomia: Potilailla, joilla o keskimääräistä korkeampi (matalampi) verepaie ee lääkkee atoa o luultavasti keskimääräistä korkeampi (matalampi) verepaie myös lääkkee atamise jälkee, vaikka lääke laskisiki verepaietta; ts. mittaustuloksilla ee ja jälkee lääkkee atamise o luultavasti selvä positiivie korrelaatio. Esimerkki 9.3 Ratkaisu Koska verepaiemittaukset ee ja jälkee lääkkee atamise luultavasti riippuvat toisistaa, tällaisessa parivertailuasetelmassa toimitaa seuraavasti: Määrätää havaitoarvoje parikohtaiset erotukset ja testataa ollahypoteesia, joka mukaa erotukset ovat keskimääri ollia. Olkoot X Ei = potilaa i verepaie ee lääkkee atamista, i =,,, 8 X Ji = potilaa i verepaie ee lääkkee atamista, i =,,, 8 M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 7/33
D i = X Ei X Ji, i =,,, 8 Yleie hypoteesi H o muotoa D : µ σ, i =,,, 8 i N( D, D) Erotukset D, D,, D 8 ovat riippumattomia Nollahypoteesi H o muotoa E(D i ) =, i =,,, 8. Sovelletaa yhde otokse t-testiä mittaustuloste erotuksille. Testisuureea o missä t(d) = m(d) s(d) /, m(d) = D i, s (D) = (D i m(d)). i= i= Jos H pätee, testisuure t(d) oudattaa Studeti t-jakaumaa vapausastei =7. Tällöi itseisarvoltaa suuret testisuuree arvot johtavat ollahypoteesi hylkäämisee. Tehtävä tapauksessa datasta lasketut tuusluvut ovat = 8, m(d) = 4.5, s (d) =6.6. Site datasta laskettu testisuuree arvo o t(d) = m(d) s(d) / = 4.5 4.7 / 8 = 3.3. Koska vaihtoehtoisea hypoteesia o yksisuutaie vaihtoehto H: µ D >, testisuuree t arvoa 3.3 vastaavaksi p-arvoksi saadaa esim. Excel -ohjelmalla Pr(T > 3.3) =.83, missä T t(7). Site ollahypoteesi H voidaa hylätä merkitsevyystasolla., koska p =.83 <.. Toisaalta merkitsevyystasoa. vastaava kriittie arvo o +t. =.998, sillä t-jakauma taulukoide mukaa ku T t(7). Koska Pr(T.998) =., t(d) = 3.3 >.998, ollahypoteesi H voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla ja vaihtoehtoie hypoteesi H hyväksyä. Johtopäätös: Lääkkeellä o tilastollisesti merkitsevästi keskimääräistä verepaietta aletava vaikutus. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 8/33
Esimerkki 9.4 Tuottee valmistaja väittää, että se tuotteista korkeitaa 5 % o viallisia. Asiakas poimii sille toimitettuje tuotteide joukosta otokse, joka koko o ja löytää 9 viallista tuotetta. Oko valmistaja väite oikeutettu? Testaa ollahypoteesia, että valmistaja väite o oikeutettu, ku vaihtoehtoisea hypoteesia o, että vialliste suhteellie osuus o suurempi kui valmistaja väittämä 5 %. Käytä testissä %: merkitsevyystasoa. Esimerkki 9.4 Mitä opimme? Esimerkissä 9.4 sovelletaa testiä suhteelliselle osuudelle. Esimerkki 9.4 Ratkaisu Tuottee valmistaja väittää, että se tuotteista korkeitaa 5 % o viallisia. Asiakas poimii sille toimitettuje tuotteide joukosta otokse, joka koko o ja löytää 9 viallista tuotetta. Oko valmistaja väite oikeutettu? Olkoo A = Tuote o viallie Tuottee valmistaja mukaa Pr(A) = p =.5 Määritellää riippumattomat satuaismuuttujat Tällöi X i, jos i. tarkastettu tuote o viallie =, jos i. tarkastettu tuote ei ole viallie X i Ber(p) Asetetaa ollahypoteesi H : p = p =.5. Määritellää testisuure jossa z = pˆ p p( p) = Tarkastettavaksi poimittuje tuotteide lukumäärä ˆp = Vialliste tuotteide suhteellie osuus tarkastettuje joukossa Jos ollahypoteesi H pätee, testisuure z oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa: z a N(,) Tehtävässä datasta lasketut tuusluvut ovat =, ˆp(x) =9 / =.95. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 9/33
jote datasta laskettu testisuuree arvo o z(x) = ˆp(x) p p ( p ) =.95.5.5(.5) =.9. Koska vaihtoehtoisea hypoteesia o -suutaie vaihtoehto H: p >.5, testisuuree arvoa.9 vastaavaksi p-arvoksi saadaa ormaalijakauma taulukoista Pr(z >.9) =.8. Site havaiot sisältävät voimakasta evidessiä ollahypoteesia H vastaa; ollahypoteesi H voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla. Toisaalta merkitsevyystasoa. vastaava kriittie arvo o +z. = +.33, sillä ormaalijakauma taulukoide mukaa Koska Pr( z.33) =.. z =.9 >.33, testisuuree arvo.9 o osuut hylkäysalueelle ja ollahypoteesi H voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla ja vaihtoehtoie hypoteesi H voidaa hyväksyä. Johtopäätös: Vialliste suhteellie osuus o tilastollisesti merkitsevästi valmistaja ilmoittamaa arvoa suurempi. Esimerkki 9.5 6 erääsee vakavaa tautii sairastuutta potilasta jaettii satuaisesti kahtee ryhmää A ja B, joissa kummassaki oli 3 potilasta. Ryhmälle A aettii tautii kehitettyä uutta lääkettä ja ryhmälle B paljo käytettyä vahaa lääkettä. (a) (b) Ryhmässä A taudista parai 95 potilasta ja ryhmässä B 5 potilasta. Suosittelisitko uude lääkkee ottamista käyttöö koetulokse perusteella? Ryhmässä A taudista parai 5 potilasta ja ryhmässä B 95 potilasta. Suosittelisitko uude lääkkee ottamista käyttöö koetulokse perusteella? Esimerkki 9.5 Mitä opimme? Esimerkissä 9.5 sovelletaa suhteelliste osuuksie vertailutestiä riippumattomille otoksille. Esimerkki 9.5 Ratkaisu 6 erääsee vakavaa tautii sairastuutta potilasta jaettii satuaisesti kahtee ryhmää A ja B, joissa kummassaki oli 3 potilasta. Ryhmälle A aettii uutta lääkettä ja ryhmälle B vahaa lääkettä. (a) Ryhmässä A taudista parai 95 potilasta ja ryhmässä B 5 potilasta. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 3/33
Jos uusi lääke parataa vähemmä potilaita kui vaha lääke, ei tilastollista testausta tarvita se johtopäätökse tekemiseksi, että uutta lääkettä ei kaata ottaa käyttöö aiakaa tästä kokeesta saadu evidessi perusteella. Se sijaa, jos uusi lääke parataa eemmä potilaita kui vaha lääke, o testaus tarpee, jotta saadaa selville oko paratueide määrä lisäätymistä pidettävä sattumavaraisea eli otosvaihtelusta johtuvaa vai ei. (b) Ryhmässä A taudista parai 3 potilaasta 5 ja ryhmässä B parai 3 potilaasta 95. Olkoo ja A = Potilas paraee Pr(A) = p, jos potilas kuuluu ryhmää A Pr(A) = p, jos potilas kuuluu ryhmää B Määritellää riippumattomat satuaismuuttujat jossa Tällöi X ik, jos i. potilas paraee ryhmässä k =, jos i. potilas ei parae ryhmässä k i=,, K,, k =, k = ryhmä A k = ryhmä B X ik Ber(p k ), k =, Asetetaa ollahypoteesi H : p = p Määritellää testisuure z = pˆ pˆ pˆ( pˆ) + Testisuuree lausekkeessa ja k = Potilaide lukumäärä ryhmässä A ˆp = Paratueide suhteellie osuus ryhmässä A = Potilaide lukumäärä ryhmässä B ˆp = Paratueide suhteellie osuus ryhmässä B ˆp = Paratueide suhteellie osuus kaikkie potilaide joukossa M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 3/33
Koska Huomaa, että jossa ja ˆp = f / ˆp = f / f = Paratueide lukumäärä ryhmässä A f = Paratueide lukumäärä ryhmässä B f + f pˆ + pˆ pˆ = = + + Jos ollahypoteesi H pätee, testisuure z oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa: Tehtävässä jote Site z a N(,) = 3, pˆ = 5/3 =.75 = 3, pˆ = 95/3 =.65 pˆ + pˆ 5 + 95 + 3 + 3 pˆ = = =.7 z pˆ pˆ.75.65 = = = pˆ( pˆ) +.7(.7) + 3 3 Jos vaihtoehtoisea hypoteesia o -suutaie vaihtoehto H:p > p, testisuuree z arvoa.67 vastaavaksi p-arvoksi saadaa ormaalijakauma taulukoista Pr(z >.67) =.38 Site aieisto sisältää voimakasta evidessiä ollahypoteesia H vastaa; ollahypoteesi H voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla. Jos vaihtoehtoisea hypoteesia o -suutaie vaihtoehto H:p > p, merkitsevyys- tasoa. vastaava kriittie arvo o +z. = +.3 sillä ormaalijakauma taulukoide mukaa Pr( z.33) =. z =.67 >.33.67 M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 3/33
testisuuree z arvo o osuut hylkäysalueelle ja ollahypoteesi H voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla ja vaihtoehtoie hypoteesi H voidaa hyväksyä. Johtopäätös: Uude lääkkee käyttööotto o (b)-kohda tapauksessa perusteltua, koska paratueide suhteellie osuus o uutta lääkettä saaeide joukossa tilastollisesti merkitsevästi vahaa lääkettä saaeide osuutta suurempi. Huomautuksia tilastollisesta testauksesta: () Testi tulos eli se, hylätääkö testi ollahypoteesi vai jätetääkö se voimaa, riippuu sekä valitusta merkitsevyystasosta että vaihtoehtoise hypoteesi muodosta. () Käytäö tutkimuksessa apuasi ei ole lueoitsijaa, joka ataisi siulle ollahypoteesi ja vaihtoehtoise hypoteesi muodo ja testissä käytettävä merkitsevyystaso. (3) Tilasto-ohjelmistot tulostavat ykyää tavallisesti testisuuree arvo ja sitä vastaava p-arvo (tai testisuuree arvoa vastaava s. hätätodeäköisyyde). Tällöi tutkija o päätettävä testi p-arvo (tai hätätodeäköisyyde) perusteella hylätäkö ollahypoteesi vai ei. (4) Merkitsevyystaso valita tai ollahypoteesi hylkäämisee johtava kyysarvo valita p-arvolle ovat valitoja, joihi o aettava vaikuttaa myös se, mitä seurauksia o ollahypoteesi hylkäämisestä ja mitä ollahypoteesi jäämisestä voimaa. M Kibble, L Leskelä, I Melli (5) 33/33