MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
|
|
- Tero Aaltonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Kalle Kytölä, Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015
2 Sisältö Tilastollisen hypoteesin testaamisen periaatteet Hypoteesi määrällisen muuttujan odotusarvosta Kahden odotusarvon yhtäsuuruuden testaaminen Binaariarvoisen laadullisen muuttujan testaus
3 Sisältö Tilastollisen hypoteesin testaamisen periaatteet Hypoteesi määrällisen muuttujan odotusarvosta Kahden odotusarvon yhtäsuuruuden testaaminen Binaariarvoisen laadullisen muuttujan testaus
4 Esimerkkikysymyksiä hypoteesin testaamiseen Kehitettävän uuden lääkkeen vaikutus Onko uusi lääke tehokkaampi kuin aiempi vakiintunut hoitomenetelmä? (Tai: onko uusi lääke edes lumelääkettä tehokkaampi?) Paviaaniurosten omien ja muiden poikasten auttaminen Auttavatko urokset omia poikasiaan herkemmin kuin muiden poikasia? Erityisesti, tietävätkö urokset ketkä ovat heidän omia jälkeläisiään? Väitetty selvännäkijä Pystyykö selvännäkijä ennustamaan kolikonheiton tuloksia pelkkää arvaamista osuvammin?
5 Nollahypoteesi ja vaihtoehtoinen hypoteesi Testaamista varten muotoillaan: Nollahypoteesi H 0 Varovainen ja konservatiivinen hypoteesi ilmiöstä (sisältö tyypillisesti: mitään uutta tai yllättävää ei tarvita havaintojen selittämiseen ) Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 Vaihtoehto konservatiiviselle hypoteesille (sisältönä tyypillisesti uusi ja kiinnostava selitys ilmiölle) Kehitettävän uuden lääkkeen vaikutus H 0 Uusi lääke ja lumelääke ovat yhtä tehokkaita. H 1 Uusi lääke on lumelääkettä tehokkaampi. Paviaaniurosten omien ja muiden poikasten auttaminen H 0 Urokset auttavat kaikkia lauman poikaisia yhtä todennäköisesti. H 1 Urokset auttavat omia poikaisiaan muita todennäköisemmin. Väitetty selvännäkijä H 0 Ennustukset ovat yhtä hyviä kuin arvaukset. Ennustukset ovat osuvampia kuin arvaukset. H 1
6 Tilastollisen hypoteesin testaamisen vaiheet 1. Muotoillaan nollahypoteesi H 0 ja vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 ja muodostetaan nollahypoteesia vastaava tilastokokeen stokastinen malli. 2. Valitaan testisuure, jonka jakauman voidaan olettaa olevan riittävän erilainen riippuen siitä päteekö nollahypoteesi H 0 vai vaihtoehtoinen hypoteesi H Johdetaan testisuureen jakauma (tai sen approksimaatio) olettaen että nollahypoteesi H 0 pätee. 4. Tarkastellaan, olisivatko havainnot poikkeuksellisia, jos nollahypoteesi olisi tosi. - ei kovin poikkeuksellisia ei hylätä nollahypoteesia - poikkeuksellisia hylätään nollahypoteesi Miten poikkeuksellisuutta arvoidaan? * p-arvo: p = Pr(havainnot vähintään näin poikkeuksellisia H 0 ) * hylätään tai ei hylätä ennalta määrätyn merkitsevyystason α mukaan (p α tai p > α)
7 Sisältö Tilastollisen hypoteesin testaamisen periaatteet Hypoteesi määrällisen muuttujan odotusarvosta Kahden odotusarvon yhtäsuuruuden testaaminen Binaariarvoisen laadullisen muuttujan testaus
8 Esim. Kahviautomaatti Kahviautomaatin on tarkoitus laskea jokaiseen kuppiin keskimäärin 10.0 cl kahvia. Kahviautomaatin toimintaa testattiin valuttamalla automaatista 30 kupillista ja mittamalla kahvin määrät kupeissa. Mittauksessa havaittiin arvot (cl): Onko kahviautomaatti oikein kalibroitu? Havaitun aineiston x keskiarvo on m(x) = , joka poikkeaa tavoitearvosta µ 0 = Onko poikkeama tilastollisesti merkitsevä?
9 Tilastokokeen stokastinen malli Analyysiä helpottava (tai sen mahdollistava) yleinen hypoteesi H: Havaitut arvot ovat realisaatioita riippumattomista N(µ, σ 2 )-jakaumaa noudattavista satunnaismuuttujista. Normaalijakauman parametreja µ ja σ 2 ei tunneta. Yleisen hypoteesin pätiessä tilastokokeen tulos (ennen sen havaitsemista) on satunnaisvektori X = (X 1,..., X n ), jonka komponentit ovat riippumattomat ja N(µ, σ 2 )-jakautuneet. Huom Normaalijakaumaoletus on erittäin rajoittava ja ennen testaamista on syytä pohtia (tai testata) onko normaalijakaumaoletus perusteltu. Jos ei, niin suurelle aineistolle voidaan silti toisinaan käyttää normaaliarviota. On myös olemassa muita testejä, jotka soveltuvat pienemmillekin otoksille. Näitä käsitellään kurssilla Tilastollisen analyysin perusteet.
10 Tilastokokeen stokastisen mallin tunnusluvut Tilastokokeen stokastinen malli on X = (X 1,..., X n ), jonka komponentit ovat riippumattomat ja N(µ, σ 2 )-jakautuneet. Stokastisesta mallista laskettu keskiarvo on satunnaisluku m(x ) = 1 n n X i, i=1 jonka odotusarvo on µ ja keskihajonta σ/ n. Jos hypoteesi µ = µ 0 pätee, niin suure noudattaa N(0, 1)-jakaumaa. m(x ) µ 0 σ/ n
11 Esim. Kahviautomaatti: aineiston jakauma Havaitun aineiston x keskiarvo on m(x) = Onko aineisto normaalijakautunut? Kahvimäärien histogrammi frekvenssi Määrä(cl)
12 Esim. Kahviautomaatti: Normalisoitu keskiarvo Jos aineisto on normaalijakautunut, niin poikkeaman tilastollista merkitsevyyttä voidaan verrata N(0, 1)-jakaumaan, kunhan m(x) normalisoidaan muotoon m(x) µ 0 σ/ n = σ/ 30 =? Ongelma: Parametri σ on tuntematon. Ratkaisu: Korvataan σ estimaatilla s(x) = Aineistosta saadaan tunnusluku t(x) = m(x) µ 0 s(x)/ n = / 30 = 4.60.
13 Keskihajonnan korvaaminen otoskeskihajonnalla Yleisen hypoteesin (normaalijakautuma) ja nollahypoteesin (µ = µ 0 ) pätiessä normalisoitu tunnusluku m(x ) µ 0 σ/ n N(0, 1) Entä t(x ) := m(x ) µ 0 s(x )/ n? Fakta Yleisen hypoteesin ja nollahypoteesin pätiessä tunnusluku t(x ) noudattaa Studentin t(n 1)-jakaumaa vapausastein n 1.
14 Studentin t-testi Aineistolle m(x) = , s(x) = 0.563, t(x) = Yleisen hypoteesin (normaalijakauma) ja nollahypoteesin (µ = µ 0 ) pätiessä stokastista mallia vastaava (satunnainen) tunnusluku on t(x ) := m(x ) µ 0 s(x )/ n t(29). Jos hypoteesit ok, niin tyypillisesti t(x ) 0. Studentin t-testin p-arvo on poikkeaman t(x ) 4.60 tn: Pr( t(x ) 4.60) = 2*(1-pt(4.60,29)) =
15 Studentin t-testin tulkinta Aineistolle m(x) = , s(x) = 0.563, t(x) = Yleisen hypoteesin ja nollahypoteesin pätiessä stokastista mallia vastaava tunnusluku toteuttaa t(x ) 4.60 todennäköisyydellä Pr( t(x ) 4.60) = Näin pieni p-arvo tarkoittaa, että testisuureen havaittu poikkeama nollasta johtuu hyvin epätodennäköisesti satunnaisvaihtelusta. Havaittu poikkeama on siis tilastollisesti merkitsevä ja antaa aiheen hylätä nollahypoteesi µ = Johtopäätös: Kahviautomaatti on virheellisesti kalibroitu.
16 Studentin t-testin suorittaminen p-arvolla: Yhteenveto Lähtökohdat Määrällisen muuttujan aineisto x = (x 1,..., x n ). Yleinen hypoteesi H: Havaittu aineisto koostuu riippumattomien N(µ, σ 2 )-jakautuneiden satunnaismuttujien realisaatioista Nollahypoteesi H 0 : µ = µ 0 (Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 : µ µ 0 ) Testaus Lasketaan aineistosta testisuure t(x) = m(x) µ 0 s(x)/ n Lasketaan t(n 1)-jakaumasta p-arvo Pr( t(x ) t(x) ). Johtopäätös Jos p-arvo on lähellä nollaa = Hylätään nollahypoteesi H 0 Muussa tapauksessa nollahypoteesi jää voimaan. R: t.test(x,mu=10.0)
17 Studentin t-testi ennalta määrätyllä merkitsevyystasolla Lähtökohdat: Samat Valitaan testin merkitsevyystaso α (esim. α = 1%) ja määritetään t(n 1)-jakaumasta kriittiset arvot a ja b, joille Pr(t(X ) a) = α/2 ja Pr(t(X ) b) = α/2. R:llä b = qt(1-α/2, n-1) ja a = qt(α/2, n-1) = b. Testaus Lasketaan aineistosta testisuure t(x) = m(x) µ 0 s(x)/ n Katsotaan kuuluuko t(x) välille (a, b). Johtopäätös Jos t(x) / (a, b) = Hylätään nollahypoteesi H 0 Muussa tapauksessa nollahypoteesi jää voimaan.
18 Esim. Kahviautomaatti Aineistolle m(x) = , s(x) = 0.563, t(x) = Merkitsevyystasoa α = 0.01 vastaavat kriittiset arvot ovat a = qt(0.005,29) = 2.76 b = qt(0.995,29) = Testisuure t(x) ( 2.76, 2.76) = Nollahypoteesi µ = 10.0 hylätään 1 % merkitsevyystasolla. Johtopäätös: Kahviautomaatti ei valuta keskimäärin 10.0 cl kokoisia kupillisia.
19 Yleisen hypoteesin merkitys Yleinen hypoteesi H: Tehdyt havainnot ovat riippumattomien N(µ, σ 2 )-jakautuneiden satunnaismuuttujien realisaatioita. Yleistä hypoteesia ei t-testin yhteydessä testata, vaan sen ajatellaan olevan vahvistettu muilla tavoin. Jos yleinen hypoteesi ei päde, on t-testin tulos merkityksetön. Aineiston normaalisuuden testaamiseksi on olemassa omia testejä (ei käsitellä tällä kurssilla)
20 Oikea vai väärä johtopäätös? Testin tulos Nollahypoteesi jää voimaan Nollahypoteesi hylätään Maailman tila Nollahypoteesi Nollahypoteesi pätee ei päde Oikea Hyväskymisvirhe johtopäätös Hylkäysvirhe Oikea johtopäätos Testin merkitsevyystaso α kertoo hylkäysvirheen todennäköisyyden (ennen aineiston havaitsemista) Nollahypoteesi hylätään merkitsevyystasolla α täsmälleen silloin, kun testin p-arvo on pienempi kuin α. Testin hyväksymisvirhe ei ole 1 α. (Hyväksymisvirheen analysoimista ei käsitellä tällä kurssilla.)
21 Sisältö Tilastollisen hypoteesin testaamisen periaatteet Hypoteesi määrällisen muuttujan odotusarvosta Kahden odotusarvon yhtäsuuruuden testaaminen Binaariarvoisen laadullisen muuttujan testaus
22 Esim. Verenpainelääke Samojen potilaiden (8 kpl) verenpaine mitattiin ennen ja jälkeen testattavan lääkkeen nauttimisen. Koetulokset (mmhg) ovat: Ennen Jälkeen Onko lääkkeellä keskimäärin verenpainetta alentava vaikutus? Verenpaineiden keskiarvo ennen: m(x (e) ) = Verenpaineiden keskiarvo ennen: m(x (j) ) = Potilaiden keskimääräinen verenpaine lääkkeen nauttimisen jälkeen on siis 4.5 yksikköä alempi Onko tämä muutos tilastollisesti merkitsevä?
23 Parivertailun stokastinen malli Erotukset verenpaine ennen - verenpaine jälkeen : Ennen Jälkeen Erotus Yleinen hypoteesi H: Havaitut erotukset d i ovat riippumattomien N(µ, σ 2 )-jakautuneiden satunnaismuuttujien realisaatioita. Nollahypoteesi H 0 : µ = 0 Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 : µ 0.
24 Odotusarvon parivertailun t-testi Tilastokokeen stokastinen malli on satunnaisvektori D = (D 1,..., D n ), jonka komponentit ovat riippumattomat ja N(µ, σ 2 )-jakautuneet. Yleisen hypoteesin ja nollahypoteesin pätiessä stokastisen mallin testisuure t(d) = m(d) 0 s(d)/ t(n 1). n Vastaava aineistosta laskettu testisuure on t(d) = m(d) 0 s(d)/ n = / 8 = Kun vaihtoehtoinen hypoteesi on (H 1 : µ 0), saadaan p-arvoksi p = Pr( t(d) 3.13) = 2*(1-pt(3.13,7)) = R: t.test(x (e),x (j),paired=true,alternative="two.sided")
25 Odotusarvon parivertailun t-testin tulkinta Onko lääkkeellä keskimäärin verenpainetta alentava vaikutus? Ennen Jälkeen Erotus Potilaiden keskimääräinen verenpaine lääkkeen nauttimisen jälkeen on 4.5 yksikköä alempi Erotuksista laskettu t(d) = 3.13; testin p-arvo on Onko tämä muutos tilastollisesti merkitsevä? Nollahypoteesi (lääkkellä ei vaikutusta, µ = 0): Hylätään 2 % merkitsevyystasolla Jää voimaan 1 % merkitsevyystasolla Lääkäri, joka hylkää nollahypoteesit 2 % merkitsevyystasolla, tekee pitkällä aikavälillä virheellisiä johtopäätöksiä 2 % tapauksista, joissa H 0 olisi ollut tosi.
26 Parivertailun yksisuuntainen t-testi Tilastokokeen stokastinen malli on D = (D 1,..., D n ), jonka komponentit ovat riippumattomat ja N(µ, σ 2 )-jakautuneet. Yleisen hypoteesin ja nollahypoteesin pätiessä t(d) = m(d) 0 s(d)/ n t(n 1). Vastaava aineistosta laskettu testisuure on t(d) = Kun vaihtoehtoinen hypoteesi on (H 1 : µ > 0), saadaan p-arvoksi p = Pr(t(D) 3.13) = 1-pt(3.13,7) = Tällöin nollahypoteesi H 0 : µ = 0 (lääke ei alenna verenpainetta) voidaan hylätä vaihtoehtoisen hypoteesin H 1 : µ > 0 tukemana merkitsevyystasolla 1 %. R: t.test(x (e),x (j),paired=true,alternative="greater")
27 Odotusarvojen vertailu eri kokoisille otoksille Potilaat on jaettu kahteen ryhmään, joista toisen ryhmän potilaille on annettu lumelääkettä (10 kpl) ja toisen ryhmän potilaille (8 kpl) testattavaa lääkettä. Molempien ryhmien potilailta mitattiin eräs antigeeniarvo lääkekuurien jälkeen. Koetulokset (U/ml) ovat: Lume Testattava Onko lääkkeellä keskimäärin antigeenipitoisuutta alentava vaikutus? Lumelääkettä saaneiden keskiarvo: m(x (l) ) = 86.5 Testattavaa lääkettä saaneiden keskiarvo ennen: m(x (t) ) = Potilaiden keskimääräinen antigeeniarvo lääkkeen nauttimisen jälkeen on siis yksikköä alempi Onko tämä muutos tilastollisesti merkitsevä?
28 Ryhmien odotusarvojen vertailun stokastinen malli Ryhmät G 1 ja G 2, joiden otoskoot ovat n 1 = 10 ja n 2 = 8 Yleinen hypoteesi H: Ryhmän G 1 havainnot ovat riippumattomien N(µ 1, σ1 2 )-jakautuneiden satunnaismuuttujien X 1,..., X n1 realisaatioita. Ryhmän G 2 havainnot ovat riippumattomien N(µ 2, σ2 2 )-jakautuneiden satunnaismuuttujien Y 1,..., Y n2 realisaatioita. Otokset ovat riippumattomat Nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 : µ 1 µ 2.
29 Ryhmien odotusarvojen vertailun t-testi Otoskeskiarvot noudattavat normaalijakaumia, m(x ) N ( ) µ 1, σ2 1 n 1 ja m(y ) N ( ) µ 2, σ2 2 n 2, joten riippumattomuuden perusteella niiden erotus noudattaa normaalijakaumaa, m(x ) m(y ) N ( µ 1 µ 2, σ2 1 n 1 + σ2 2 n 2 Testisuure on m(x ) m(y ) t(x, Y ) = s 2 (X ) n 1 + s2 (Y ) n 2 ja sen jakaumaa voidaan arvoida 1. N(0, 1)-jakaumalla, jos n 1 ja n 2 ovat suuria 2. t(ν)-jakaumalla, missä ν = jos n 1 tai n 2 on pieni. [ s 2 (X ) ] 2 n 1 + s2 (Y ) n 2 ( ) 1 s 2 2 (X ) n 1 1 n n 2 1 ( s 2 (Y ) ). n 2 ) 2,
30 Ryhmien odotusarvojen vertailun t-testi Onko lääkkeellä keskimäärin antigeenipitoisuutta alentava vaikutus? Lume Testattava Potilaiden keskimääräinen verenpaine lääkkeen nauttimisen jälkeen on yksikköä alempi, n 1 = 10 ja n 2 = 8, s 2 (x) = ja s 2 (y) = Vapausasteet (pyöristetään alaspäin kokonaisluvuksi): ν = [ s 2 (x) n 1 + s2 (y) n 2 ] 2 ( ) 2 1 s2 (x) n 1 1 n n 2 1 ( s2 (y) ) , ν = 13. n 2 Testisuureen arvo t(x, y) = 1.362; testin p-arvo on p = Pr( t(d) 1.362) 2*(1-pt(1.362,13)) Onko tämä muutos tilastollisesti merkitsevä? Nollahypoteesia ei hylätä.
31 Sisältö Tilastollisen hypoteesin testaamisen periaatteet Hypoteesi määrällisen muuttujan odotusarvosta Kahden odotusarvon yhtäsuuruuden testaaminen Binaariarvoisen laadullisen muuttujan testaus
32 Laadun testaaminen Valmistaja väittää, että sen tuotteista korkeintaan 5 % on viallisia. Asiakas poimii tilaamiensa tuotteiden joukosta 200 tuotteen otoksen ja löytää 19 viallista tuotetta. Onko valmistajan väite oikeutettu? Otoksessa havaittu viallisten osuus on = 9.5%. Voidaanko tämä tulkita satunnaisvaihtelun aiheuttamaksi? Testataan väitettä 1 % merkitsevyystasolla.
33 Satunnaisotannan stokastinen malli Poimitaan n = 200 tuotetta suuresta perusjoukosta. Merkitään X i = { 1, jos i:s tarkastettava tuote on on viallinen, 0, muuten. Tällöin X i = 1 tn:llä p ja X i = 0 tn:llä 1 p, missä (tuntematon) parametri p on viallisten tuotteiden suhteellinen osuus Näin ollen X i Ber(p) Kun perusjoukko on suuri, ovat X 1,..., X n likimain riippumattomat. Viallisten tuotteiden lkm otoksessa on fr(x ) = n i=1 X i, ja se noudattaa binomijakaumaa parametrein n = 200 ja p. Viallisten tuotteiden suhteellinen osuus otoksessa on ˆp(X ) = 1 n n i=1 X i. Luvut X i ovat satunnaisia (ennen tuotteiden havaitsemista) Normaaliapproksimaatio: (kts. keskeinen raja-arvolause) ˆp(X ) noudattaa likimain jakaumaa N ( p/n, (1 p)p/n )
34 Hypoteesin p 5% testaaminen Valmistajan väittämä yläraja virheellisten osuudelle on p 0 = Testataan nollahypoteesia H 0 : p p 0 kun vaihtoehtoisena hypoteesina on H 1 : p > p 0. Testin p-arvo on todennäköisyys (olettaen nollahypoteesi) vähintään näin poikkeuksellisille havainnoille, eli todennäköisyys vähintään 19 virheelliselle tuotteelle. Se lasketaan binomijakaumalla ( n ) ( n Pr X i 19 p = p 0 = 1 Pr i=1 v=0 i=1 X i 18 p = p 0 ) 18 ( ) 200 = 1 p0 v (1 p 0 ) 200 v v = 1 pbinom(18, 200, 0.05) Koska p-arvo alittaa valitun merkitsevyystason 0.01, nollahypoteesi p p 0 hylätään 1 % merkitsevyystasolla. Johtopäätös: Valmistajan väite (max 5 % tuotteista viallisia) on tilastollisesti merkitsevästi virheellinen.
35 Hypoteesin p 5% testaaminen normaaliapproksimaatiolla Merkitään p 0 = 0.05 ja määritellään testisuure z(x) = ˆp(x) p 0 p 0 (1 p 0 ) n Kun ˆp(x) = 9.5%, saadaan testisuureen arvoksi z(x) = Suuret testisuuren arvot puoltavat nollahypoteesin H 0 : p p 0 hylkäämistä. Normaaliapproksimaatiolla saadaan p-arvoksi Pr(z(X ) 2.91) Pr(Z 2.91) = 1-pnorm(2.91) = Koska p-arvo alittaa luvun 0.01, nollahypoteesi p p 0 hylätään 1 % merkitsevyystasolla. Johtopäätös: Valmistajan väite (max 5 % tuotteista viallisia) on tilastollisesti merkitsevästi virheellinen.
36 Laadun testaaminen, vaihtoehtoinen lähestymistapa Valmistaja väittää, että sen tuotteista korkeintaan 5 % on viallisia. Asiakas poimii tilaamiensa tuotteiden joukosta 200 tuotteen otoksen ja löytää 19 viallista tuotetta. Onko valmistajan väite oikeutettu? Otoksessa havaittu viallisten osuus on = 9.5%. Voidaanko tämä tulkita satunnaisvaihtelun aiheuttamaksi? Lähestytään väitettä vaihtoehtoisella tavalla: estimoimalla havainnoista virheellisten tuotteiden todellista osuutta p.
37 Suurimman uskottavuuden estimaattori osuudelle p Kun tuotteet tarkastetaan, havaitaan aineisto x = (x 1,..., x n ). Viallisten lukumäärä otoksessä on fr(x) = n i=1 x i. Tapahtuman (X 1,..., X n ) = (x 1,..., x n ) tn on L(p; x 1,..., x n ) = Pr(X 1 = x 1,..., X n = x n ) = p fr(x) (1 p) n fr(x). Parametrin p suurimman uskottavuuden estimaattori on se p:n arvo ˆp, joka maksimoi uskottavuusfunktion L(p; x 1,..., x n ) arvon: ( ) ˆp = argmax p L(p; x 1,..., x n ).
38 Uskottavuusfunktion maksimointi Logaritminen uskottavuusfunktio on l(p; x 1,..., x n ) = log L(p; x 1,..., x n ) = fr(x) log p+(n fr(x)) log(1 p). Derivaatta p:n suhteen l (p) = fr(x) 1 p + (n fr(x)) ( 1) 1 p. Maksimi löydetään pisteestä p = ˆp, jossa l (ˆp) = 0, eli fr(x) 1ˆp = (n fr(x)) 1 1 ˆp. Tästä ratkaistaan suurimman uskottavuuden estimaatti ˆp = fr(x) n.
39 Viallisten osuuden SU-estimaattori Fakta Viallisten osuuden p SU-estimaatti aineistosta x = (x 1,..., x n ) on ˆp(x) = fr(x) n = 1 n n i=1 x i eli viallisten tuotteiden suhteellinen osuus otoksessa. Kun estimaattia katsotaan lukuna ennen aineiston havaitsemista, saadaan satunnaisluku ˆp(X ) = fr(x ) n = 1 n n i=1 X i ˆp(X ) on viallisten tuotteiden osuuden p SU-estimaattori. ˆp(X ) on Ber(p)-jakauman parametrin p SU-estimaattori.
40 Suhteeellisen osuuden estimointi SU-estimaattori viallisten tuotteiden (tuntemattomalle) osuudelle p koko perusjoukossa on ˆp(X ) = 1 n Tämä estimaattori on harhaton: Lisäksi E(ˆp(X )) = 1 n Var(ˆp(X )) = 1 n 2 n X i. i=1 n E(X i ) = p. i=1 n Var(X i ) = i=1 Normalisoidun satunnaismuuttujan ˆp(X ) p p(1 p) n odotusarvo on nolla ja varianssi yksi. p(1 p). n
41 Normaalijakaumalla approksimointi Kun n on suuri, ˆp(X ) p p(1 p) n N(0, 1). (approksimatiivisesti) Voidaan myös edelleen approksimoida seuraavasti ˆp(X ) p ˆp(X )(1 ˆp(X )) n N(0, 1). (approksimatiivisesti) Jos Z N(0, 1), niin ylläolevasta huomaamme, että satunnaismuuttujalle ˆp = ˆp(X ) pätee approksimatiivisesti Pr z < ˆp p < z Pr(z < Z < z ) = 99%, ˆp(1 ˆp) n missä z = qnorm(0.995) 2.58 ja z = qnorm(0.005) 2.58.
42 99 % luottamusväli Satunnaismuuttujalle ˆp = ˆp(X ) pätee Pr 2.58 < ˆp p < %, ˆp(1 ˆp) n eli ( ) ˆp(X )(1 ˆp(X )) Pr p ˆp(X ) ± %, n Kun havaitaan 19 viallista tuotetta 200:n otoksessa, ˆp(x) = 9.5% ja satunnainen (approksimatiivinen) luottamustason 99% luottamusväli realisoituu väliksi ( ) ˆp(x)(1 ˆp(x)) ˆp(x) ± 2.58 = (0.042, 0.148). n Johtopäätös: Väitetty arvo p 0 = 0.05 kuuluu y.o. luottamusvälille, joten yllä tehdyillä approksimaatiolla valmistajan väitettä ei hylättäisi merkitsevyystasolla 1%.
43 Ensi viikolla aiheena lineaarinen regressio...
44 Aineistolähteet Luentokalvot pohjautuvat osittain kurssin edellisten vuosien (Ilkka Mellin, Milla Kibble, Juuso Liesiö) luentokalvoihin.
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastollisen merkitsevyyden testaus Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastollisen merkitsevyyden testaus Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
Lisätiedot10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut
10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 Tilastollisen aineiston kuvaileminen, mallintaminen ja estimointi Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5
MS-A Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Tilastollinen testaus Tilastollisten testaaminen Tilastollisen tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta on esitetty jokin väite tai
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 Tilastollisen datan kuvaileminen, mallintaminen ja estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
Lisätiedot¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.
10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn
LisätiedotTilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo
Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
Lisätiedot9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotTutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)
1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
Lisätiedot806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.
806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
16.11.2017/1 MTTTP5, luento 16.11.2017 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla ~,, ~,,. 16.11.2017/2 Esim. Tutkittiin uuden menetelmän käyttökelpoisuutta
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
Lisätiedotriippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.
12.11.2015/1 MTTTP5, luento 12.11.2015 Luku 4 Satunnaisotos, otossuure ja otosjakauma 4.1. Satunnaisotos X 1, X 2,, X n on satunnaisotos, jos X i :t ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa. Sanonta
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Bayesläinen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
LisätiedotJos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotValitaan testisuure, jonka jakauma tunnetaan H 0 :n ollessa tosi.
9.10.2018/1 MTTTP1, luento 9.10.2018 KERTAUSTA TESTAUKSESTA, p-arvo Asetetaan H 0 H 1 Valitaan testisuure, jonka jakauma tunnetaan H 0 :n ollessa tosi. Lasketaan otoksesta testisuureelle arvo. 9.10.2018/2
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 11. helmikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Hypoteesin testauksesta Tilastollisessa testauksessa on kyse havainnoista tapahtuvasta päätöksenteosta. Kokeellisen tutkimuksen
Lisätiedot5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II
5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II Tässä pykälässä pohditaan edellä tarkasteltujen kolmen testisuureen yleistystä malleihin, joiden parametri on useampiulotteinen, ja testausasetelmiin, joissa
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotEstimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla
LisätiedotLuottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.
6.10.2015/1 MTTTP1, luento 6.10.2015 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
LisätiedotTeema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit
Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotLuottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.
5.10.2017/1 MTTTP1, luento 5.10.2017 KERTAUSTA Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla todennäköisyydellä,
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotLuottamusvälit. Normaalijakauma johnkin kohtaan
Luottamusvälit Normaalijakauma johnkin kohtaan Perusjoukko ja otanta Jos halutaan tutkia esimerkiksi Suomessa elävien naarashirvien painoa, se voidaan (periaatteessa) tehdä kahdella tavalla: 1. tutkimalla
LisätiedotOtoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden
1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 30.9.2014 Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Lisätiedot1. Nollahypoteesi on, että teksti on kirjoitettu lyhyemmällä murteella. Mahdollisiavaihtoehtojaonvainyksieliettäteksti
Sosiaalitieteiden laitos Tilastotieteen jatkokurssi, kevät 20 7. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset. Nollahypoteesi on, että teksti on kirjoitettu lyhyemmällä murteella. Mahdollisiavaihtoehtojaonvainyksieliettäteksti
LisätiedotAalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 017 Laskuharjoitus 4, Kotitehtävien palautus Mycourses:iin PDF-tiedostona
LisätiedotLuottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.
6.10.2016/1 MTTTP1, luento 6.10.2016 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTutkimustiedonhallinnan peruskurssi
Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
Lisätiedot/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:
4.10.2016/1 MTTTP1, luento 4.10.2016 7.4 Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 4.10.2016/2
Lisätiedot