Luku 5 Mekaniikan variaatioperiaatteita

Luku 5 Mekaniikan variaatioperiaatteita Luvussa tarkastellaan virtuaalisien työn ja potentiaalienergian minimin periaatetta kiinteän aineen mekaniikassa. Näytetään, että virtuaalisen työn ja potentiaalienergian minimin periaate ovat ekvivalentteja, mikäli materiaalia voidaan kuvata tilafunktiolla, muodonmuutosenergialla, ja mikäli ulkoiset voimat voidaan johtaa potentiaalista. Virtuaalisen työn periaate on siten yleispätevämpi ja sitä voidaan käyttää elementtimenetelmän perustana olevana heikona muotona. Lisäksi näytetään, että virtuaalisen työn periaate on ekvivalentti tasapainoehtojen ja mekaanisten eli jännitysreunaehtojen kanssa. 5. Johdanto Tarkastellaan seuraavassa eräitä mekaniikan keskeisiä variaatioperiaatteita, kuten virtuaalisen työn ja potentiaalienergian minimin periaatteita sekä niistä johdettuja modifioituja menetelmiä. Käsittely on tavoitehakuista, eli variaatioperiaatteet esitetään siten, että ne soveltuvat suoraan nykyisin käytössä olevien yleisten elementtimenetelmäformulaatioiden perustaksi, ja tämän vuoksi m.m. komplementaarisen virtuaalisen työn ja komplementaarienergian minimin periaatteet jätetään vaille huomiota. Johdatus esitettäviin variaatioperiaatteisiin suoritetaan yleisen kolmiulotteisen pienten siirtymien elastisuusteorian yhtälöiden avulla, jonka lisäksi rajoitutaan staattisiin tapauksiin. Mikäli lukija haluaa syventää tietojaan mekaniikan variaatioperiaatteista, on K. Washizun Variational Methods in Elasticity and Plasticity 34] ja C. Lanczosin The Variational Principles of Mechanics 20] teokset mitä suositeltavimpia. Kerrataan aluksi kolmiulotteisen elastostatiikan perusyhtälöt. Tarkastellaan kappaletta B, jonka rajoittamaa aluetta merkitään :llä ja sen reunapintaa Γ:llä (Γ = ). Jaetaan reunapinta vielä kahteen toisistaan erilliseen osaan Γ u ja Γ t siten, että Γ = Γ u Γ t. Lineaarisen elastisuusteorian perusyhtälösysteemi muodostuu täten seuraavista relaatioista.. Tasapainoyhtälöt: Kappaleeseen B vaikuttavat pinnalle jakautuneet traktiovoimat t ja tilavuusvoimat f. Jotta kappale olisi tasapainossa on resultoivan 9

20 LUKU 5. Mekaniikan variaatioperiaatteita voiman hävittävä, eli Γ t ds + f dv = 0. (5.) Traktiovektori t määritellään jännitysmatriisin σ ja pinnan yksikkönormaalin n avulla seuraavasti t = n T σ = σ T n, (5.2) missä jännitysmatriisi komponenteittain kirjoitettuna on σ x τ xy τ xz σ = τ yx σ y τ yz. (5.3) τ zx τ zy σ z Huomaa, että määritelmä (5.2) kiinnittää jännitysmatriisin indeksien merkityksen: ensimmäinen indeksi kertoo pinnan normaalin- ja toinen jännityskomponentin suunnan. Sijoitetaan tämä resultanttimuotoiseen tasapainoyhtälöön (5.), saadaan σ T n ds + f dv = 0. (5.4) Γ Sovelletaan Gaussin lauseen, eli divergenssiteoreeman yleistystä, jolloin päädytään yhtälöön ( divσ T +f ) dv = 0, (5.5) mistä saadaan tasapainoyhtälön (5.) paikallinen muoto divσ T = f. (5.6) Komponenttimuodossa kirjoitettuna tasapainoyhtälöt ovat σ x,x τ yx,y τ zx,z = f x, τ xy,x σ y,y τ zy,z = f y, τ xz,x τ yz,y σ z,z = f z. (5.7) Matriisiin A kohdistuva divergenssioperaattori määritellään siten (diva) i = j A ij x j, (5.8) missä on määritelty x = x,x 2 = y,x 3 = z. Liikemäärän momentin taseen periaatteesta seuraa Cauchyn kontinuumimallin jännitysmatriisin symmetrisyys, täten siis τ xy = τ yz,τ yz = τ zy ja τ zx = τ xz. Jännitysmatriisin komponenttien järjestys voitaisiin märitellä myös toisinpäin: ensimmäinen indeksi kertoisi komponentin suunnan ja toinen pinnan normaalin suunnan. Tällöin traktiovektori voidaan kirjoittaa muodossa t = σn. Itse asiassa tämä määrittely on yleisempi alan modernissa kirjallisuudessa.

5.. Johdanto 2 2. Muodonmuutos-siirtymä yhteydet: ε = sym grad u, (5.9) missä siirtymävektorin u = u,v,w] T gradientti ja matriisin symmetrinen osa määritellään yhtälöillä gradu = u,x u,y u,z v,x v,y v,z w,x w,y w,z, syma = 2 (A+AT ), (5.0) josta seuraa ε = ε x ε xy ε xz ε xy ε y ε yz ε zx ε zy ε z = u,x (u 2,y +v,x ) (u 2,z +w,x ) (u 2,y +v,x ) v,y (v 2,z +w,y ) 2 (u,z +w,x ) 2 (v,z +w,y ) w,z. (5.) 3. Jännitys-muodonmuutos yhteydet: σ = D :ε tai kääntäen ε = C :σ. (5.2) Mikäli materiaalin otaksutaan noudattavan isotrooppista, lineaarikimmoista mallia, on voidaan materiaalioperaattorit lausua muodossa tai kääntäen D :ε = λtr(ε)i +2µε, (5.3) λ C :σ = 2µ(3λ+2µ) tr(σ)i + σ., (5.4) 2µ missä λ ja µ ovat Lamén vakiot joiden suhde kimmokertoimeen E, leikkausmoduuliin G ja Poissonin vakioon ν on seuraava λ = 4. Mekaaniset reunaehdot: νe (+ν)( 2ν), µ = G = E 2(+ν). (5.5) t = t S reunalla Γ t. (5.6) 5. Kinemaattiset (geometriset) reunaehdot: u = u S reunalla Γ u. (5.7)

22 LUKU 5. Mekaniikan variaatioperiaatteita Edellä esitetty merkintatapa on varsin kompakti, erityisesti mikäli käytetään indeksinotaatiota ja Einsteinin summaussääntöä, jossa lausekkeessa kahdesti esiintyvien indeksien suhteen suoritetaan summaus. Tämän esityksen tarpeita silmälläpitäen se ei kuitenkaan ole tarpeen. Mikäli jännitys- ja muodonmuutosmatriisin alkiot kootaan vektoreiksi s = σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx ] T (5.8) ja e = ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx ] T, (5.9) voidaan edellä esitetyt tasapainoyhtälöt, kinemaattiset relaatiot ja konstitutiivinen yhteys (materiaalimalli) esittää seuraavalla tavalla.. Tasapainoyhtälöt: G T s = f. (5.20) 2. Muodonmuutos-siirtymä yhteydet: e = Gu. (5.2) Tasapaino-operaattori on G T = x 0 0 0 y 0 0 0 z y x 0 0 z y z 0 x, (5.22) ja jonka transpoosi välittää kuvauksen siirtymiltä muodonmuutoksille. 3. Konstitutiivinen malli: s = De (5.23) Lineaarielastisen, isotrooppisen ainemallin jäykkyysmatriisi (kimmomatriisi) on muotoa λ+2µ λ λ 0 0 0 λ λ+2µ λ 0 0 0 λ λ λ+2µ 0 0 0 D =. (5.24) 0 0 0 µ 0 0 0 0 0 0 µ 0 0 0 0 0 0 µ

5.2. Virtuaalisen työn periaate 23 5.2 Virtuaalisen työn periaate Aloitetaan sovellutusten kannalta ehkä tärkeimmästä ja samalla vanhimmasta 2 mekaniikan variaatioperiaatteesta, eli virtuaalisen työn periaatteesta, jota kutsutaan myös nimellä virtuaalisten siirtymien periaate. Oletetaan kappaleen B olevan tasapainossa ulkoisten tilavuusvoimien ja reunaehtojen suhteen. Tällöin jännityskomponentit σ x,σ y,..., ja τ zx toteuttavat tasapainoehdot (5.6) kappaleen jokaisessa kohdassa, eli divσ T = f, (x,y,z), (5.25) ja mekaaniset reunaehdot reunapinnan osalla Γ t t t S = 0, (x,y,z) Γ t. (5.26) Otaksutaan nyt, että kappale kokee mielivaltaisen kuvitteellisen eli virtuaalisen muutoksen δu = δu,δv,δw] T tasapainossa olevaan siirtymätilaan u = u,v,w] T nähden. Tällöin on tasapainoehtojen perusteella voimassa δu ( divσ T f)dv + δu (t t s )ds = 0, (5.27) Γ t jossa dv ja ds ovat kappaleen B differentiaalinen tilavuusalkio ja pinta-ala-alkio. Valitaan nyt virtuaalinen siirtymäkenttä mielivaltaisesti mutta kuitenkin siten, että geometriset eli kinemaattiset reunaehdot toteutuvat reunan osalla Γ u, eli Käyttämällä identitettiä (v on vektori ja A matriisi) δu = 0, (x,y,z) Γ u. (5.28) div(v A) = grad(v): A+v diva, (5.29) missä kaksoispistetulo määritellään A : B = i A ij B ij, (5.30) j saadaan lausekkeen (??) ensimmäistä termiä muokattua grad δu :σ T div(δu σ T ) δu f ] dv + δu (t t S )ds = 0. (5.3) Γ t Käyttämällä divergenssiteoreemaa saadaan (grad δu :σ T δu f)dv δu σ T n ds + δu (t t S )ds = 0. (5.32) Γ Γ t 2 Virtuaalisen työn periaatteen lienee ensimmäisenä formuloinut Jean Bernoulli (667-748) vuonna 725. Menettelyä, jota voitaisiin kutsua virtuaalisten siirtymien periaatteeksi, käytti kuitenkin jo Leonardo da Vinci (452-59) analysoidessaan taljojen ja vipuvarsien muodostamaa systeemiä.

24 LUKU 5. Mekaniikan variaatioperiaatteita Ottamalla huomioon jännitysmatrisiin symmetrisyys ja virtuaalisen siirtymän häviäminen reunan Γ u osalla, saadaan symgrad δu :σdv δu f dv δu t S ds = 0. (5.33) Ottamalla huomioon muodonmuutoksen määritelmä (5.9) saadaan virtuaalisen työn yhtälö muotoon δε:σdv δu f dv δu t S ds = 0, (5.34) missä symmetrinen virtuaalinen muodonmuutosmatriisi δε = sym grad δu sisältää komponentit δε x = δu,x, δε y = δv,y, δε z = δw,z, δε xy = 2 (δu y +δv,x ), δε yz = 2 (δw,y +δv,z ), δε zx = 2 (δu,z +δw,x ). (5.35) Komponenttimuodossa virtuaalisen työn yhtälö (5.34) on pitkähkö lauseke (σ x δε x +σ y δε y +σ z δε z +τ xy δγ xy +τ yz δγ yz +τ zx δγ zx )dv (f x δu+f y δv+f z δw)dv (t Sx δu+t Sy δv +t Sz δw)ds = 0, (5.36) Γ t missä liukumat γ ij määritellään Γ Γ γ xy = 2ε xy. (5.37) Yhtälöt (5.28), (5.34) ja (5.35) ovat virtuaalisen työn periaatteen matemaattinen asu. Periaate pätee mielivaltaisille infinitesimaalisille virtuaalisille siirtymille, jotka toteuttavat kinemaattiset reunaehdot. Edellä esitetty päättelyketju voidaan myös kääntää. Siten virtuaalisen työn periaate on ekvivalentti tasapainoyhtälöiden ja mekaanisten reunaehtojen muodostaman systeemin kanssa. Lisäksi on syytä huomauttaa että periaate pätee riippumatta siitä millaisia ovat materiaalia kuvaavat lait eli jännitysten ja venymien väliset yhteydet. Sanallisesti virtuaalisen työn yhtälö (VTY) voidaan esittää seuraavasti: Otaksutaan että mekaaninen systeemi on tasapainossa siihen vaikuttavien ulkoisten voimien ja geometristen rajoitteiden alaisena. Siten systeemiin vaikuttavien ulkoisten ja sisäisten voimien virtuaalisten töiden summa kaikkien geometriset rajoitteet toteuttavien infinitesimaalisten siirtymien suhteen häviää. 5.3 Potentiaalienergian minimin periaate Johdetaan potentiaalienergian minimin periaate juuri esitetystä virtuaalisen työn periaatteesta. Materiaalilaista (5.2) voidaan johtaa tilafunktio U(ε x,ε y,...,γ zx ) siten, että δu = σ x δε x +σ y δε y +...+τ zx δγ zx, (5.38)

5.3. Potentiaalienergian minimin periaate 25 jossa muodonmuutosenergiafunktio U 3 on lineaarisen isotrooppisesti kimmoisan aineen tapauksessa U = 2 λ(ε x +ε y +ε z ) 2 +µ(ε 2 x +ε 2 y +ε 2 z)+ 2 µ(γ2 xy +γ 2 yz +γ 2 zx). (5.39) Voidaan todeta, että muodonmuutosenergiafunktio on aina positiivinen, mikäli venymät ovat nollasta eroavia, eli U(ε) = 2 εt Dε > 0, ε 0, (5.40) joten materiaalin jäykkyysmatriisilta D vaaditaan aidosti positiivista definiittisyyttä. Huomaa, että tämä asettaa rajoituksia materiaalivakioiden välille. Myöhempää tarvetta silmälläpitäen kirjoitetaan U = U(u, v, w), sillä venymät ε voidaan lausua siirtymien u, v ja w funktioina kinemaattisten yhteyksien (5.9) avulla. Kun muodonmuutosenergiafunktion olemassaolo on taattu, voidaan virtuaalisen työn yhtälön (5.34) ensimmäisen termin integrandi kirjoittaa muotoon σ x δu x + +τ zx ( δu z + δw x ) = δu(u, v, w) (5.4) muistaen, että σ x,...,τ zx ovat todellisen ratkaisun jännityskomponentit ja δu,δv ja δw ovat virtuaaliset muutokset todellisiin siirtymäkomponentteihin nähden. Täten virtuaalisen työn periaate (5.34) voidaan nyt muuntaa muotoon δ U(u,v,w)dV (f x δu+f y δv +f z δw)dv V (t Sx δu+t Sy δv +t Sz δw)ds = 0. (5.42) Γ t Tämä lauseke on hyödyllinen niissä kimmoteorian tehtävissä, joissa ulkoiset kuormitukset eivät ole johdettavissa potentiaalifunktiosta. Seuraavaksi otaksutaan, että tilavuusvoimat f ja pintavoimat t S ovat johdettavissa potentiaalifunktioista V f ja V t siten, että δv f = V f u δu V f v δv V f w δw = f xδu+f y δv+f z δw, (5.43a) δv t = V t u δu V t v δv V t w δw = t Sxδu+t Sy δv +t Sz δw. (5.43b) Tällöin voidaan variaatioperiaate (5.42) muuntaa muotoon δπ = 0, (5.44) 3 Tarkkaan ottaen pitäisi puhua muodonmuutosenergiatiheydestä, tai muodonmuutosenergiasta tilavuusyksikköä kohden.

26 LUKU 5. Mekaniikan variaatioperiaatteita jossa Π = U(u,v,w)+V f (u,v,w)]dv + V t (u,v,w)ds (5.45) Γ t on kokonaispotentiaalienergia. Periaate (5.44) ilmoittaa, että kaikkien kinemaattisesti luvallisten siirtymien u, v ja w joukossa todelliset siirtymät antavat kokonaispotentiaalienergialle stationäärisen arvon. 4 Otaksutaan, että tilavuusvoimat (f x,f y,f z ), pintavoimat (t Sx,t Sy,t Sz ) ja annetut siirtymät (u S,v S,w S ) ovat määrättyjä ja säilyttävät suuntansa sekä suuruutensa variaation tapahtuessa. Siten potentiaalit (5.43a) voidaan kirjoittaa muodossa V f = f x u+f y v +f z w, V t = t Sx u+t Sy v +t Sz w, (5.46a) (5.46b) jolloin päädytään systeemin (5.6),..., (5.7) variaatioperiaatteeseen, jota kutsutaan potentiaalienergian minimin periaatteeksi: Kaikkien mahdollisten kinemaattisesti luvallisten siirtymätilojen joukosta todelliset siirtymät antavat kokonaispotentiaalienergialle Π = U(u,v,w)dV (f x u+f y v+f z w)dv (t Sx u+t Sy v+t Sz w)ds (5.47) Γ t absoluuttisen minimin. Näytetään nyt, että potentiaalienergia (5.47) todella saavuttaa minimin luvallisten siirtymäkenttien joukossa. Olkoon todellinen siirtymätila u, v, w ja siitä varioimalla saatu mielivaltainen kinemaattiset reunaehdot toteuttava siirtymätilau,v,w, eli u = u+δu,v = v +δv,w = w +δw. Tarkastellaan potentiaalienergian lauseketta Π(u,v,w ) = Π(u,v,w)+δΠ+δ 2 Π, (5.48) jossa δπ on potentiaalienergian siirtymien suhteen lineaarinen ensimmäinen variaatio ja δ 2 Π on siirtymien suhteen kvadraattinen toinen variaatio. Koska todellinen siirtymätila antaa funktionaalille stationääriarvon yhtälön (5.44) mukaan, häviää potentiaalienergian ensimmäinen variaatio ja koska muodonmuutosenergiafunktio U on positiivinen, katso epäyhtälöä (5.40), toteuttaa toinen variaatio epäyhtälön δ 2 Π = U(δu, δv, δw)dv 0, (5.49) V jossa yhtäsuuruus tulee kyseeseen ainoastaan, kun virtuaalisista siirtymistä derivoidut muodonmuutoskomponentit ovat identtisesti nollia. Tämä taas on mahdollista vain, mikäli virtuaalinen siirtymätila kuvaa jäykän kappaleen liikettä, eli reunaehdot ovat riittämättömiä yksikäsitteisen ratkaisun olemassaolon takaamiseen. Täten 4 Sana kokonais jätetään usein jatkossa pois ja käytetään vain termiä potentiaalienergia kokonaispotentiaalienergian sijasta.

5.4. Muunnoksia potentiaalienergian minimin periaatteesta 27 mikäli jäykän kappaleen liike on siirtymäreunaehdoin estetty, pätee potentiaalienergialle epäyhtälö Π luvallinen Π todellinen, (5.50) jossa alaindeksit viittaavat siirtymätiloihin. Koska virtuaalisen siirtymän suuruudelle ei ole asetettu mitään vaatimuksia, voidaan todeta, että potentiaalienergian absoluuttinen minimi saavutetaan todellisten siirtymien arvoilla. 5.4 Muunnoksia potentiaalienergian minimin periaatteesta Potentiaalienergian minimin periaatteen (5.45) soveltaminen vaatii siirtymäfunktioilta tietynasteista säännöllisyyttä sekä kinemaattisten reunaehtojen toteuttamista. Numeerisia menetelmiä silmälläpitäen on joissakin tapauksissa edullista lieventää näitä vaatimuksia. Kertauksena voidaan kirjoittaa potentiaalienergian minimin periaate seuraavasti: etsitään minimi potentiaalienergialle Π(u) = U(u) f T u ] dv t T SudS (5.5) Γ t side-ehdoilla u = u S, reunalla Γ u. (5.52) Mikäli halutaan päästä eroon side-ehdoista, jotka siis rajaavat kinemaattisesti luvallisten siirtymäfunktioiden joukkoa, voidaan ne ottaa mukaan potentiaalienergian funktionaaliin (5.5) Lagrangen kertojien avulla, jolloin saadaan muunnettu funktionaali Π m (u,p) = _ U(u) f T u ] dv t T S uds p T (u u S )ds, (5.53) Γ t Γ u jossa p on Lagrangen kertojista koostuva vektori. Nyt funktionaalin (5.53) varioitavina muuttujina ovat riippumattomat suureet u ja p ilman mitään side-ehtoja. Funktionaalin (5.53) stationaarisuusehdosta seuraa, että Lagrangen kertojat ovatkin traktiokomponentit pinnalla Γ u, eli p = t(u) reunalla Γ u. (5.54) Kaavan (5.54) perusteella Lagrangen kertojat voidaan eliminoida funktionaalista (5.53) ja uusi modifioitu funktionaali voidaan kirjoittaa muodossa Π m2 (u) = U(u) f T u ] dv t T S uds t(u) T (u u S )ds, (5.55) Γ t Γ u jossa varioitavana suureena on vain siirtymävektori u ilman mitään side-ehtoja.

2 28 LUKU 5. Mekaniikan variaatioperiaatteita Elementtimenetelmässä approksimoidaan tuntemattomia siirtymäfunktioita paikallisesti kunkin elementin alueella tietynasteisilla polynomeilla. Jotta funktionaalien, esimerkiksi (5.45),(5.47), (5.53) tai (5.55) integraalilausekkeet olisivat määriteltyjä, on jatkuvuusominaisuuksien oltava voimassa elementin rajapintojen yli. Tämä saattaa joissain tapauksissa johtaa monimutkaisiin ja hankaliin ehtoihin, joita pitäisi pystyä lieventämään. Eräs mahdollinen tapa on konstruoida modifioituja funktionaaleja, joissa jatkuvuusvaatimukset ovat lievemmät. Tähän asiaan palataan vielä lyhyesti laattaelementtien yhteydessä, mutta asiasta kiinnostuneet voivat tutustua muunnettuihin variaatioperiaatteisiin esimerkiksi Washizun teoksen luvuista 3.4-3.5 34]. 5.5 Harjoitustehtäviä. Kuvan massatonta, jäykkää sauvaa kuormittavat pistemomentti M ja pistekuorma P. Jousien jäykkyysvakio on k. Ratkaise tasapainotilaa vastaavat jousivoimat soveltamalla (a) virtuaalisen työn periaatetta ja (b) potentiaalienergian minimin periaatetta. = = 2. Johda muodonmuutosenergian lausekkeet (a) tasoristikkosauvalle, (b) Eulerin-Bernoullin tasopalkille, (c) tasojännitystilassa olevalle levyalkiolle ja (d) Kirchhoffin laatta-alkiolle. Materiaalin otaksutaan noudattavan lineaarisesti kimmoisan isotrooppisen aineen mallia eli Hooken lakia. 3. Näytä, että Lagrangen kertojien p fysikaalinen tulkinta funktionaalissa (5.53) on traktiovektori.

Luku 6 Kontinuumielementtejä Kontinuumielementtien muodostaminen on melko suoraviivainen yleistys kaksidimensioisen lämmönjohtumisyhtälön tapauksesta. Elastisuusprobleeman ratkaisu elementtimenetelmällä tasojännitys- ja tasomuodonmuutostilassa on samankaltainen, ainoa ero on materiaalin jäykkyysmatriisissa. Elementimenetelmän perustana oleva heikko muoto on virtuaalisen työn yhtälö. 6. Tasojännitys- ja tasomuodonmuutostilan elementit Tarkastellaan nyt kimmoteorian yhtälöitä (x, y)-tasossa. Kaksi erilaista tapausta voidaan erotella:. tasojännitystila, jossa tason pinnan normaalin suuntainen jännityskomponentti häviää, eli σ z 0, (myös τ zx = τ zy = 0) sekä 2. tasomuodonmuutostila, jossa vastaavasti tasoa vastaan kohtisuorassa suunnassa muodonmuutoskomponentti häviää: ǫ z 0 (myös γ zx = γ zy = 0). Aloitetaan tasomuodonmuutostilan käsittelyllä. Nollasta eroavat muodonmuutosja jännityskomponentit karteesisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa ovat e = ǫ x ǫ y γ xy ] T, s = σx σ y σ z τ xy ] T. (6.) Tasomuodonmuutostilan konstitutiivinen yhteys saadaan suoraan yleisestä kolmidimensioisesta materiaalilaista, katso luku 5., jättämällä nollamuodonmuutoksia ja -jännityksiä vastaavat sarakkeet kirjoittamatta. Kimmoisan isotrooppisen aineen tapauksessa on tasomuodonmuutostilan konstitutiivinen yhtälö seuraavanlainen: σ x σ y σ z τ xy = λ+2µ λ 0 λ λ+2µ 0 λ λ 0 0 0 µ 29 ǫ x ǫ y γ xy. (6.2)

30 LUKU 6. Kontinuumielementtejä Yllä oleva materiaalilaki kirjoitetaan usein muodossa jossa jännityskomponentti σ z jätetään merkitsemättä jännitysvektoriin s, eli tällöin σ x λ+2µ λ 0 ǫ x σ y = λ λ+2µ 0 ǫ y. (6.3) τ xy 0 0 µ γ xy Tasomuodonmuutostilaa vastaava virtuaalisen työn yhtälö on (yksikön paksuista levyä kohden) (σ x δǫ x +σ y δǫ y +τ xy δγ xy )da = δu T fda+ δu T t S ds, (6.4) Γ t missä siirtymävektori u pitää sisällään x ja y-akselin suuntaiset siirtymäkomponentit u:n ja v:n. Muodonmuutoskomponenttien virtuaaliset muutokset ovat δǫ x = δu x, δǫ y = δv y, δγ xy = δu y + δv x. (6.5) Kinemaattinen yhteys voidaan kirjoittaa matriisimuodossa ǫ 0 x x ǫ y = { } 0 u eli ǫ = Gu. (6.6) y v γ xy y x Virtuaalisille siirtymille ja virtuaalisille muodonmuutoksille pätee tietenkin yhtälö δǫ = Gδu. Ottamalla huomioon kinemaattinen yhteys (6.6) ja materiaalilaki (6.3) saadaan virtuaalisen työn yhtälö muotoon (Gδu) T DGu da = δu T f da+ δu T t S ds. (6.7a) Γ t Virtuaalisen työn yhtälö sisältää siirtymien ensimmäisiä derivaattoja. Täten elementtimenetelmän interpolaatiofunktioiksi kelpaavatc 0 -jatkuvat polynomit. Olkoon käytössä elementti, jossa on m solmua ja interpoloidaan molempia siirtymäkomponentteja samanlaisilla funktioilla, eli { u v } = m i= = Nu (e). { ui N i (ξ,η) v i } ] N 0 N = 2 0 N m 0 0 N 0 N 2 0 N m u v u 2 v 2. u m v m (6.8)

6.. Tasojännitys- ja tasomuodonmuutostilan elementit 3 Sijoittamalla tämä siirtymäotaksuma virtuaalisen työn yhtälöön saadaan elementtikohtaisiksi lausekkeiksi sisäisten jännitysten tekemälle virtuaaliselle työlle δu (e)t (GN) T DGN dau (e) = δu (e)t (e) (e) B T DBdAu (e) = δu (e)t K (e) u (e) (6.9) ja ulkoisten voimien tekemälle virtuaaliselle työlle ( ) δu (e)t N T fda+ N T t S ds = δu (e) f (e), (6.0) (e) Γ (e) t missä elementin kuormavektoriin tulee termi reunakuormituksesta mikäli elementin jokin reuna on reunan osalla Γ t. Siirtymä-muodonmuutosmatriisi B voidaan lohkoa solmukohtaisiin osiin seuraavasti: B = ] B B 2 B m (6.) missä B i = N i,x 0 0 N i,y N i,y N i,x. (6.2) Derivaatat globaalien x, y-koordinaattien suhteen saadaan derivaattoina peruselementin luonnollisten koordinaattien suhteen kuten on aiemmin esitetty. Tasojännitystilan elementti on täysin tasomuodonmuutostilan elementin kaltainen. Ainoa ero on se, että materiaalin jäykkyysmatriisi on erilainen. Tasojännitystilan ehtosta σ z = 0 voidaan muodonmuutoskomponentti ǫ z ratkaista λǫ x +λǫ y +(λ+2µ)ǫ z = 0 ǫ z = λ(ǫ x +ǫ y ) λ+2µ. (6.3) Sijoittamalla tämä takaisin kolmidimensioiseen konstitutiiviseen yhtälöön, saadaan missä on merkitty σ x σ y τ xy = λ+2µ λ 0 λ λ+2µ 0 0 0 µ ǫ x ǫ y γ xy, (6.4) λ = 2µλ λ+2µ. (6.5) Siirtymä-muodonmuutosmatriisi B on identtinen tasomuodonmuutostilan elementin kanssa.

32 LUKU 6. Kontinuumielementtejä 6.2 Pyörähdyssymmetrisen tilan elementti Pyörähdyssymmetrisesti kuormitetun pyörähdyssymmetrisen kappaleen ratkaisu muistuttaa tasomuodonmuutostilan ratkaisua. Pyörähdyskappale muodostuu, kun rztason alue pyörähtää z-akselin ympäri. Pyörähdyssymmetristä kappaletta voidaan tutkia vain tarkastelemalla halkileikkauksen puolikasta. Merkitään rz-tason siirtymiä symboleilla u ja w aivan vastaten tasojännitys- ja tasomuodonmuutostehtävissä tason xy siirtymiä u ja v. Muodonmuutoskomponenttien lausekkeet sylinterikoordinaatistossa ovat ǫ = ǫ r ǫ z ǫ θ γ rz = u,r w,z r u u,z +w,r. (6.6) Konstitutiivinen laki saadaan suoraan kolmiulotteisen tilan materiaalilaista ja on muotoa σ r λ+2µ λ λ 0 ǫ r σ z λ λ+2µ λ 0 ǫ = z. (6.7) σ θ λ λ λ+2µ 0 ǫ θ τ rz 0 0 0 µ γ rz Otaksumalla siirtymille samanlainen interpolaatio kuin tasotehtävissäkin (6.8) saadaan siirtymä-muodonmuutosmatriisiksi missä 6.3 Esimerkkejä B = B B 2 B m ], (6.8) B i = N i,r 0 0 N i,z r N i 0 N i,z N i,r. (6.9) Esimerkki 6. Määritä oheisen yhdestä bilineaarisesti interpoloidusta tasojännitystilan elementistä muodostetun rakennemallin siirtymät ja jännitystila. Rakenne on kuormitettu momenttikuormalla M joka voidaan aikaansaada kahdella pistekuormalla solmuissa 2 ja 3. Rakenteen materiaalin kimmokerroin ja suppeamaluku olkoot E ja ν. Ota huomioon symmetria ja antimetria aktiivien vapausasteiden (u 2,u 3,v 3,v 4 ) välillä, jolloin tehtävään jää ainoastaan kaksi tuntematonta solmupistesiirtymää. Reunaehdothan ovat u = v = v 2 = u 4 = 0. Havaitaan, että solmujen 2 ja 3 vaakasiirtymät ovat toistensa vastalukuja samaten kuin solmujen 3 ja 4 pystysiirtymät, eli u 3 = u 2, v 4 = v 3. (6.20)

6.3. Esimerkkejä 33 y 4 3 M/L E,ν,t L 2 M/L x L Ryhmitetään nyt elementin vapausasteet seuraavasti: ] T u (e) = u v u 2 v 2 u 3 v 3 u 4 v 4. (6.2) Vapausasteita u 2,u 3 v 3 ja v 4 vastaava yhtälösysteemi on K 33 K 35 K 36 K 38 u 2 K 53 K 55 K 56 K 58 u 3 = K 63 K 65 K 66 K 68 v 3 K 83 K 85 K 86 K 88 v 4 f x2 f x3 0 0 (6.22) Ottamalla nyt huomioon vapausasteita sitovat yhteydet, saadaan ratkaistavaksi kahden tuntemattoman systeemi ]{ } { } K 33 K 35 K 36 K 38 u 2 fx2 = (6.23) K 63 K 65 K 66 K 68 v 3 0 Oletetaan materiaalin jäykkyysmatriisin olevan muotoa D D 2 0 D = D 2 D 22 0. (6.24) 0 0 D 33 Jäykkyysmatriisin solmuihin i ja j liittyvä lohko on siten K (e) ij = B T i DB j tda, (6.25) A (e) jossa solmuun i liittyvä muodonmuutos-siirtymämatriisi B on N i,x 0 B i = 0 N i,y, (6.26) N i,y N i,x

34 LUKU 6. Kontinuumielementtejä joten B T i DB i = D N i,x N j,x +D 33 N i,y N j,y D 2 N i,x N j,y +D 33 N i,y N j,x D 2 N i,y N j,x +D 33 N i,x N j,y D 22 N i,y N j,y +D 33 N i,x N j,x ]. (6.27) Nyt geometrian kuvaus on yksinkertainen x = (N 2 +N 3 )L = 2 (+ξ)l, y = (N 3 +N 4 )L = 2 (+η)l, (6.28) josta kuvauksen Jacobiaani ja sen käänteismatriisi ovat J = 2 L 0 0 2 L ], detj = 4 L2, J = 2 L 0 0 ], (6.29) josta seuraa derivaattojen muunnoksille yhtälöt x = 2 Lξ, y = 2 Lη, (6.30) Tarvitaan interpolaatiofunktioiden derivaattoja paikallisten koordinaattien suhteen N = 4 ( ξ)( η), N,ξ = 4 ( η), N,η = 4 ( ξ), N 2 = 4 (+ξ)( η), N 2,ξ = 4 ( η), N 2,η = 4 (+ξ), N 3 = 4 (+ξ)(+η), N 3,ξ = 4 (+η), N 3,η = 4 (+ξ), N 4 = 4 ( ξ)(+η), N 4,ξ = 4 (+η), N 4,η = 4 ( ξ).

6.3. Esimerkkejä 35 Tarvittavat jäykkyysmatriisin alkiot saadaan nyt K 33 = t (D N2,x 2 +D 33 N2,y)Jdξdη 2 = 3 t(d +D 33 ), (6.3a) K 35 = t K 36 = t K 38 = t K 65 = t K 66 = t K 68 = t (D N 2,x N 3,x +D 33 N 2,y N 3,y )Jdξdη = ( 6 D 3 D 33)t, (6.3b) (D 2 N 2,x N 3,y +D 33 N 2,y N 3,x )Jdξdη = 4 t(d 2 D 33 ), (6.3c) (D 2 N 2,x N 4,y +D 33 N 2,y N 4,x )Jdξdη = 4 t(d 2 +D 33 ), (6.3d) (D 2 N 3,x N 3,y +D 33 N 3,y N 3,x )Jdξdη = 4 t(d 2 +D 33 ), (6.3e) (D 22 N 2 3,y +D 33 N 2 3,x)Jdξdη = 3 t(d 22 +D 33 ), (6.3f) (D 22 N 3,y N 4,y +D 33 N 3,x N 4,x )Jdξdη = ( 6 D 22 + 3 D 33)t. (6.3g) Tarvittavat matriisialkiot ovat siten K 33 K 35 = 3 t(d +D 33 ) 6 td + 3 td 33 = ( 6 D + 2 3 D 33)t, (6.32a) K 36 K 38 = 4 t(d 2 D 33 )+D 2 D 33 ) = 2 td 33. (6.32b) Isotrooppisesti kimmoisan aineen tapauksessa materiaalivakiot ovat D = E ν 2, D 33 = E 2(+ν), (6.33) jolloin siirtymien u 2 ja v 3 ratkaisuyhtälöiksi saadaan ]{ } { Et u 2 ν 2 = v 3 2 3 ν 4 ( ν) 4 ( ν) 2 3 ν M/L 0 }. (6.34) Ratkaisu on siten { } u 2 = M v 3 ELt ν ( 2 3 6 5 24 ν + 7 44 ν2) 2 3 ν 4 ( ν) 4 ( ν) 2 3 ν ]{ 0 } (6.35)

36 LUKU 6. Kontinuumielementtejä Lasketaan muutamalla eri ν:n arvolla { } { u 8 2 ν = 0 = 3 4 v 3 ν = 0.25 Siirtymätila on siten { u 2 v 3 } = { 3 } { M ELt = } 2.82.270 2.6666.3333 } M ELt, (6.36) M ELt. (6.37) u = N 2 u 2 N 3 u 2 = 4 (+ξ)( η) (+ξ)(+η)]u 2 = 2 (+ξ)ηu 2, (6.38a) v = N 3 v 3 N 4 v 3 = 4 (+ξ)(+η) ( ξ)(+η)]v 3 = 2 (+η)ξv 3. (6.38b) Venymät saadaan määritelmän mukaan ǫ x = u x = 2 u L ξ = ηu 2 L, (6.39a) ǫ y = v y = 2 v Lη = ξv 3 L, (6.39b) γ xy = u y + v x = 2 ( u L η + v ) ξ = (+ξ) u ] 2 L +(+η)v 3. (6.39c) L Havaitaan, että elementtiin syntyy liukumia vaikka kyseessä on puhdas taivutustila. Jännitykset saadaan konstitutiivisen lain kautta, ja ovat E σ x = ν 2(ǫ x +νǫ y ) = E ( ν 2 η u ) 2 L +νξv 3, (6.40a) L E σ y = ν 2(ǫ y +νǫ x ) = E ( ν 2 ξ v ) 3 L νηu 2, (6.40b) L E τ xy = 2(+ν) γ E xy = (+ξ) u ] 2 2(+ν) L +(+η)v 3. (6.40c) L Esimerkki 6.2 Määritä jännitykset kuvan bilineaarisessa tasojännitystilan elementissä, jota kuormittaa lineaarisesti jakautunut reunakuormitus joka on staattisesti samanarvoinen taivutusmomentin M kanssa. Ota huomioon symmetria ja antimetria vapausasteiden välillä. Kimmokerroin olkoon E ja suppeamaluku ν = 0. 4 3 L y x L 2

6.3. Esimerkkejä 37 Koska suppeamaluku on nolla ei kappaleeseen synny siirtymiä y-akselin suunnassa, eli v 0. Symmetrian perusteella taas u 2 = u 4 = u = u 3, joten siirtymätila kuvataan lausekkeella u = ( N +N 2 N 3 +N 4 )u 2. (6.4) Virtuaalisen työn yhtälö t (σ x δǫ x +σ y δǫ y +τ xy δγ xy )da = t Sx δuds, (6.42) Γ t supistuu nyt muotoon (ǫ y = v,y 0,σ x = Eǫ x = Eu,x,τ xy = Gγ xy = Gu,y ): Et (ǫ x δǫ x + 2 γ xyδγ xy )da = t Sx δuds. (6.43) Γ t Venymien lausekkeet ovat ǫ x = 2 L ( N,ξ +N 2,ξ N 3,ξ +N 4,ξ )u 2, (6.44) γ xy = 2 L ( N,η +N 2,η N 3,η +N 4,η )u 2. (6.45) Tarvittavat interpolaatiofunktioiden derivaatat lokaalien koordinaattien suhteen ovat N,ξ = 4 ( η), N,η = 4 ( ξ), N 2,ξ = 4 ( η), N 3,ξ = 4 (+η), N 2,η = 4 (+ξ), 3,η = 4 (+ξ), (6.46) N 4,ξ = 4 (+η), N 4,η = 4 ( ξ). Täten venymien lausekkeet ovat paikallisten koordinaattien avulla lausuttuna seuraavat ǫ x = u 2 2L ( η)+( η) (+η) (+η)]u 2 = 2η u 2 L, γ xy = u 2 2L ( ξ) (+ξ) (+ξ)+( ξ)]u 2 = 2ξ u 2 L. Virtuaalisten venymien lausekkeet ovat vastaavasti δǫ x = = 2η δu 2 L, δγ xy = = 2ξ δu 2 L. (6.47a) (6.47b) (6.48a) (6.48b) Lasketaan reunakuorman tekemä virtuaalinen työ. Reunakuormituksen maksimiintensiteetti saadaan momentin M avulla t m = 6 M L2. (6.49)

38 LUKU 6. Kontinuumielementtejä Virtuaalinen siirtymä δu on reunalla 2: Reunalla 2 virtuaalisen työn lauseke on δu(,η) = (N 2 N 3 )δu 2 = ηδu 2. (6.50) Γ 2 t Sx δuds = L 2 Jännitysten tekemä virtuaalinen työ on Et (ǫ x δǫ x + 2 γ xyδγ xy )da A ( 4η 2 = δu 2 4 L2 Et L 2 + 2 Siirtymä u 2 voidaan siten ratkaista yhtälöstä Elementin jännitykset ovat ( ηt m )( ηδu 2 )dη = 3 t mlδu 2. (6.5) 4ξ 2 ) L 2 dξdηu 2 = δu 2 2Etu 2. (6.52) 2Etu 2 = 2 3 t ml u 2 = t m L 3 Et = 2 M EtL. (6.53) σ y 0, σ x = Eǫ x = E2η u 2 L = 4 M tl2η, (6.54) τ xy = Gγ xy = Eξ u 2 L = 2 M tl2ξ. (6.55) Normaalijännityksille saatiin oikeat arvot, mutta elementtiin syntyy leikkausmuodonmuutosta ja siten leikkausjännityksiä puhtaan taivutuksen tapauksessa. Tämä johtuu bilineaarisesta interpolaatiosta, joka ei pysty kuvaamaan taivutustilaa korrektisti. Se vaatisi parabolisen siirtymätilan, tässä tapauksessa siis parabolisen v-komponentin. 6.4 Harjoitustehtäviä. Kirjoita tasomuodonmuutos- ja tasojännitystilan kimmoisen isotrooppisen aineen materiaalin jäykkyysmatriisit kimmokertoimen E ja suppeamaluvun ν avulla. 2. Muodosta tasojännitystilaa vastaavan lineaarisen kolmioelementin jäykkyysmatriisin eksplisiittinen lauseke. 3. Muodosta tasomuodonmuutostilaa vastaavan lineaarisen kolmioelementin jäykkyysmatriisin eksplisiittinen lauseke. 4. Muodosta tasojännitystilaa vastaavan bilineaarisesti interpoloidun elementin jäykkyysmatriisin eksplisiittinen lauseke.

6.4. Harjoitustehtäviä 39 5. Määritä oheisen tasojännitystilassa olevan levyelementin jännitykset elementin keskipisteessä (ξ = η = 0), kun solmupistesiirtymät ovat: u = u 4 = v = v 2 = v 3 = 0,u 2 = v 4 =,u 3 = 2. Elementin paksuus olkoon t ja materiaalia kuvataan lineaarisesti kimmoisalla isotrooppisella mallilla, jonka parametrit ovat E ja ν. y 3 4 2L L 2 L L x 6. Oheista lineaarista tasomuodonmuutostilan kolmioelementtiä kuormittaa pystysuora pistevoima F solmussa 3. Solmujen ja 2 vapausasteet ovat sidotut ( 0). Ratkaise tehtävä, eli määritä elementin siirtymä- ja jännitystila. Materiaalivakiot olkoon E ja ν. Mitä tapahtuu kun ν 0, 5 ja miksi? y F 3 L 2 L x

40 LUKU 6. Kontinuumielementtejä