Lien ryhmät, Lien algebrat ja esitysteoria

Lien ryhmät, Lien algebrat ja esitysteoria Heikki Orelma 14. marraskuuta 2010 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Lien (matriisi)ryhmät 2 2.1 Määritelmiä............................ 2 2.2 Esimerkkejä............................ 2 2.3 Kompaktius ja homomorsmit.................. 4 3 Lien algebrat 4 3.1 Matriisieksponentti........................ 4 3.2 Lien algebrat........................... 6 3.3 Lien algebrojen perusominaisuuksia............... 6 3.4 Adjungoidut kuvaukset...................... 8 4 Esitysteoriaa 8 4.1 Perusmääritelmiä......................... 8 4.2 Esimerkkejä............................ 10 4.3 Esitysten suora summa ja tensoritulo.............. 11 5 Kompaktien Lien ryhmien esitysteoriaa 11 5.1 Unitaariset esitykset....................... 12 5.2 Invariantit mitat Lien ryhmillä.................. 13 5.3 Kompaktit Lien ryhmät..................... 13 1 Johdanto Tämän lyhyehkön tekstin tarkoituksena on esitellä lukijalle Lien teorian alkeita matriisiryhmien osalta. Rajoittumalla matriisiryhmiin, määritellään Lien 1

ryhmät ja niitä vastaavat Lien algebrat. Tämän jälkeen tarkastellaan esitysteoriaa rajoittuen ääretönulotteisiin esityksiin. Osoitetaan, että kompaktin Lien ryhmän esitykset ovat täydellisesti redusoituvia. Materiaali perustuu lähteeseen [4]. 2 Lien (matriisi)ryhmät 2.1 Määritelmiä Olkoon U jokin äärellisulotteinen reaalinen tai kompleksinen vektoriavaruus. Merkitään kääntyvien lineaarikuvausten U:ltä itselleen joukkoa GL(U). Kuvausten yhdistämisen suhteen GL(U) on selvästi ryhmä. Merkitään kaikkien reaalisten n n-matriisien avaruutta M n (R) ja vastaavasti kompleksisille matriiseille M n (C). Yleinen lineaariryhmä määritellään asettamalla GL(n, R) = GL(M n (R)) ja GL(n, C) = GL(M n (C)). Ryhmät koostuvat kääntyvistä n n-matriiseista. Määritelmä 2.1 (Lien matriisiryhmä) Lien matriisiryhmä on GL(n, C):n aliryhmä G joka toteuttaa ehdon: Jos (A j ) on jono G:n alkioita ja A j A, kun suppeneminen on komponenteittaista, niin A G tai A / GL(n, C). Jos määritelmän raja-arvo kuuluu kaikilla jonoilla ryhmään itseensä, sanotaan Lien ryhmän olevan suljettu. 2.2 Esimerkkejä GL(n, R) ja GL(n, C) ovat esimerkkejä Lien ryhmistä, joissa määritelmän raja-arvo ei välttämättä kuulu ryhmään itseensä. Erityiset lineaariryhmät (Special linear group) määritellään SL(n, R) = {A GL(n, R) : det A = 1}, SL(n, C) = {A GL(n, C) : det A = 1}. Koska determinantti on jakuva funktio ja SL(n, R) = det 1 ({1}), ovat erityiset lineaariryhmät suljettuja Lien ryhmiä. 2

Ortogonaaliryhmä määritellään kun O(n) = {A GL(n, R) : Ax, Ay = x, y x, y R n }, x, y = x 1 y 1 + + x n y n on Euklidinen sisätulo. Rotaatioryhmä puolestaan on Unitaariryhmä määritellään kun SO(n) = O(n) SL(n, R). U(n) = {A GL(n, C) : Ax, Ay = x, y x, y C n }, x, y = x 1 y 1 + + x n y n on Euklidinen sisätulo C n :ssä. Erityinen unitaariryhmä puolestaan on SU(n) = U(n) SL(n, C). Yleistetyt ortogonaaliryhmät määritellään kun O(n, k) = {A GL(n + k, R) : Ax, Ay n,k = x, y n,k x, y R n }, x, y n,k = n x j y j j=1 n+k j=n+1 x j y j. Ryhmää O(3, 1) kutsutaan Lorenzin ryhmäksi. Symplektinen ryhmä. Määritellään avaruudessa R 2n bilineaarimuoto n B(x, y) = (x k y n+k x n+k y k ). k=1 Symplektinen ryhmä on tällöin Sp(n) = {A GL(2n, R) : B(Ax, Ay) = B(x, y) x, y R n } Heisenbergin ryhmä H koostuu matriiseista 1 a b A = 0 1 c 0 0 1 kun a, b, c R. Tällöin 1 a ac b A 1 = 0 1 c. 0 0 1 3

2.3 Kompaktius ja homomorsmit Määritelmä 2.2 (Kompaktius) Lien ryhmä G on kompakti jos: 1. G on suljettu Lien ryhmä, 2. on olemassa c > 0 siten, että jokaisella A = (a ij ) G: kaikilla i, j = 1,..., n. a ij c Valistunut lukija huomaa, että yllä oleva kompaktius yhtyy klassiseen suljettu ja rajoitettu -määritelmään. Edellisessa alikappaleessa esitetyistä Lien ryhmistä kompakteja ovat: ja ei-kompakteja: Määritellään lopuksi: O(n), SO(n), U(n), SU(n), Sp(n) GL(n, R), GL(n, C), SL(n, R), SL(n, C), H. Määritelmä 2.3 (Lien ryhmähomomorsmi ja -isomorsmi) Olkoot G ja H Lien ryhmiä ja Φ : G H. Φ on Lien ryhmähomomorsmi, jos: 1. Φ on ryhmähomomorsmi, 2. Φ on jatkuva. Jos Φ on lisäksi bijektio sanotaan sitä Lien ryhmäisomorsmiksi. 3 Lien algebrat 3.1 Matriisieksponentti Jokaisella X M n (C) määritellään matriisieksponentti asettamalla e X = k=0 X k k!. Matriisieksponentilla on seuraavat tunnetut ominaisuudet: olkoot X, Y M n (C) ja α, β C, jolloin 4

1. e 0 = I, 2. (e X ) = e X, 3. (e X ) 1 = e X, eli e X GL(n, C), 4. e (α+β)x = e αx e βx, 5. jos XY = Y X, niin e X+Y = e X e Y = e Y e X, 6. jos C GL(n, C), niin e CXC 1 = Ce X C 1, 7. e X e X kun on 2-normi. Lisäksi suoraan määritelmästä seuraa derivointisääntö: Jatkossa tarvitaan: d dt etx = Xe tx = e tx X. Propositio 3.1 (Lien tulokaava, [4]) Jos X, Y M n (C), niin e X+Y = lim (e X Y m e m ) m. m Matriisieksponentti antaa näppärän yhteyden determinantille ja jäljelle: Propositio 3.2 Jos X M n (C), niin det(e X ) = e tr(x). Todistus. Osoitetaan tulos diagonalisoituvassa tilanteessa, yleisempi todistus löytyy lähteestä [4]. Oletetaan, että X = C λ 1... λ n C 1, joten matriisieksponentin ominaisuuden 6. nojalla e X = C e λ 1... C 1. e λn Näin ollen det(e X ) = joka todistaa väitteen. n j=1 e λ j = e n j=1 λ j = e tr(x), 5

3.2 Lien algebrat Määritelmä 3.3 (Lien algebra) Lien ryhmää G vastaava Lien algebra määritellään asettamalla g = {X M n (C) : e tx G t R}. Jatkossa tarkastelemme tarkemmin Lien algebran g algebrallista rakennetta. Esitetään seuraavaksi aiemmin määrittelemien Lien ryhmien vastaavat Lien algebrat: gl(n, R) = M n (R), gl(n, C) = M n (C), sl(n, R) = {X gl(n, R) : tr X = 0}, sl(n, C) = {X gl(n, C) : tr X = 0}, o(n) = so(n) = {X gl(n, R) : X + X t = 0}, u(n) = {X gl(n, C) : X + X = 0}, su(n) = u(n) sl(n, C), ja lisäksi h koostuu matriiseista 0 a b 0 0 c, 0 0 0 kun a, b, c R. 3.3 Lien algebrojen perusominaisuuksia Propositio 3.4 Olkoon X g ja g G. Tällöin gxg 1 g. Todistus. Matriisieksponentin perusominaisuuksien nojalla e t(gxg 1) = ge tx g 1 G kaikilla t, joten Lien algebran määritelmän nojalla gxg 1 g. Propositio 3.5 Olkoot X, Y g. Tällöin 1. tx g kaikilla t, 6

2. X + Y g, 3. XY Y X g. Todistus. Kohta 1. on selvä. Lien tulokaavan e X+Y = lim (e X Y m e m ) m. m nojalla kohta 2. seuraa Lien ryhmän määritelmästä. Koska XY Y X = d dt (etx Y e tx ) t=0 = lim h 0 e hx Y e hx Y h ja koska g on aliavaruutena suljettu topologinen avaruus, niin XY Y X g. Lien sulkeet tai kommutaattoritulo [, ] : g g g määritellään asettamalla [X, Y ] = XY Y X. Näin ollen saadaan seuraus: Seuraus 3.6 (g, +) on vektoriavaruus ja (g, +, [, ]) on algebra. Määritelmä 3.7 (Lien algebrahomomorsmi) Kuvaus φ : g h on Lien algebrahomomorsmi, jos φ on lineaarikuvaus ja kaikilla X, Y g. φ([x, Y ]) = [φ(x), φ(y )] Lien ryhmä- ja algebrahomomorsmeille saadaan seuraava vastaavuus: Lause 3.8 ([4]) Olkoot G ja H Lien ryhmiä ja Φ : G H Lien ryhmähomomorsmi. Tällöin on olemassa Lien algebrahomomorsmi φ : g h, joka toteuttaa ehdot: 1. Φ(e X ) = e φ(x), 2. φ(gxg 1 ) = Φ(g)φ(X)Φ(g) 1, 3. φ(x) = d dt t=0 Φ(e tx ). Edellisen lauseen kohta 3. on käytännön laskujen kannalta tärkeä, sillä se antaa eksplisiittisen kaavan miten löytää kuvaus φ. 7

3.4 Adjungoidut kuvaukset Adjungoitu kuvaus määritellään kuvauksena Ad g : g g siten, että Ad g (X) = gxg 1. Proposition 3.4 nojalla nähdään, että kuvaus on hyvin määritelty. Toisaalta voidaan ajatella, että Ad : G GL(g); g Ad g. Tällöin edellisen lauseen nojalla voidaan laskea tätä kuvausta vastaava Lien algebra homomorgismi. Propositio 3.9 Jos Ad : G GL(g), niin ad X (Y ) = [X, Y ]. Todistus. Sovelletaan edellisen lauseen laskukaavaa: ad X (Y ) = d dt Ad e tx(y ) t=0 = d dt (etx Y e tx ) t=0 = (e tx XY e tx e tx Y Xe tx ) t=0 = XY Y X = [X, Y ], joten homma selvä. 4 Esitysteoriaa 4.1 Perusmääritelmiä Olkoon V jokin äärellisulotteinen kompleksinen vektoriavaruus. Lien ryhmän G esitys on kuvaus π : G GL(V ), joka toteuttaa ehdot: 1. π(e) = Id V, 2. π(gh) = π(g)π(h) kaikilla g, h G. 8

Vektoriavaruutta V kutsutaan G:n esitysavaruudeksi tai sanomme, että V on G-moduli. Jatkossa merkitään myös kun g G ja v V. g v = π(g)v, Vastaavasti kuin Lien ryhmille, on Lien algebran g esitys kuvaus jossa ψ : g End(V ), ψ([x, Y ]) = ψ(x)ψ(y ) ψ(y )ψ(x). Jatkossa keskitytään ainoastaan Lien ryhmien esityksiin. Esitys π : G GL(V ) on redusoituva jos löytyy ei-triviaali aliavaruus W V siten, että π W : G GL(W ) on esitys. Jos esitys ei ole redisoituva, on se redusoitumaton. Redusoitumattomat esitykset ovat keskeisessä merkityksessä, sillä niiden avulla voidaan antaa muut esitykset. Olkoot π j : G GL(V j ), j = 1, 2, esityksiä. Jos on olemassa sellainen isomorsmi φ : V 1 V 2, että φ π 1 (g) = π 2 (g) φ kaikilla g G, sanotaan esitysten π 1 ja π 2 olevan ekvivalentit. Ekvivalentteja esityksiä merkitään V 1 = V2. Propositio 4.1 ([4]) Olkoon π : G GL(V ) Lien ryhmän G esitys. Tällöin löytyy yksikäsitteinen Lien algebran g esitys ψ : g End(V ) siten, että Esitys voidaan laskea kaavalla π(e X ) = e ψ(x). ψ(x) = d π(e tx ). dt t=0 9

4.2 Esimerkkejä 1. Standardiesitykset. Esitysavaruus on tällöin V = C n (reaalisten Lien algebrojen tapauksessa myös V = R n käy). Esitys on tällöin π(g)v = gv jossa g G, v V ja gv tavallinen matriisi-vektoritulo. Todistetaan, että π on esitys: π(e)v = ev = v ja π(gh)v = ghv = π(g)(hv) = π(g)π(h)v. 2. Funktioavaruusesitykset. Olkoon F jokin (äärellisulotteinen) funktioavaruus, jonka alkiot ovat avaruudessa C n määriteltyjä funktioita. Määritellään G:n esitys π(g)f(x) = f(g 1 x), kun g G, f F ja g 1 x on matriisi-vektoritulo. Todistetaan, että π on esitys: ja π(e)f(x) = f(e 1 x) = f(ex) = f(x) π(gh)f(x) = f((gh) 1 x) = f(h 1 g 1 x) = π(h)f(g 1 x) = π(g)π(h)f(x). 3. SU(2):n (eräs) esitys Jos g G = SU(2), niin ( ) ( ) a b a b g = ja g 1 =. b a b a Valitaan esitysavaruudeksi V holomorset kahden muuttujan polynomit C 2 C, merkitään V = V n (C 2 ). Avaruuden V n (C 2 ) kanta {z k 1z n k 2 : 0 k n}. Jos η = ( z1 z 2 ), 10

niin Näin ollen ( ) g 1 az1 + bz η = 2. bz 1 + az 2 π(g)(z k 1z n k 2 ) = (az 1 + bz 2 ) k ( bz 1 + az 2 ) n k. 4.3 Esitysten suora summa ja tensoritulo Olkoot π j : G GL(V j ), j = 1,..., m, esityksiä. Merkitään V = m j=1 V j ja määritellään π : G V asettamalla π(g)(v 1,..., v m ) = (π 1 (g)v 1,..., π m (g)v m ), kun g G ja v j V j. Esitystä π : G CL(V ) kutsutaan esitysten V 1,..., V m suoraksi summaksi. Vastaavasi, jos merkitään V = ja määritellään π : G V asettamalla m j=1 π(g)(v 1 v m ) = π 1 (g)v 1 π m (g)v m, V j kun g G ja v j V j. Esitystä π : G CL(V ) kutsutaan esitysten V 1,..., V m tensorituloksi. 5 Kompaktien Lien ryhmien esitysteoriaa Tarkastellaan tässä kappaleessa kompaktien Lien ryhmien esitysteoriaa siltä osin, kun sitä tullaan sovelluksissa tarvitsemaan. Keskeisenä asiana on todistaa, että jokainen kompaktin Lien ryhmän esitys on täydellisesti redusoituva. 11

5.1 Unitaariset esitykset Esitys π : G GL(V ) on täydellisesti redusoituva, jos on olemassa redusoitumattomat esitykset π j : G GL(V j ) siten, että V = V 1 V m. Esitys π : G GL(V ) on unitaarinen, jos V :llä voidaan määritellä sisätulo, siten, että π(g)v, π(g)w = v, w kaikilla g G ja v, w V. Propositio 5.1 Olkoon G on kompakti lien ryhmä. Tällöin jokainen unitaarinen esitys π : G GL(V ) on täydellisesti redusoituva. Todistus. Olkoon W V invariantti aliavaruus ja W = {v V : v, w = 0 w W } vastaava ortogonaalikomplementti. Olkoon v W ja w W. Tällöin sisätulon unitaarisuuden nojalla π(g)v, w = π(g) 1 π(g)v, π(g) 1 w = v, π(g) 1 w = 0 sillä π(g) 1 w W. Näin ollen myös W on invariantti aliavaruus ja V = W W. Jos W ja W ovat redusoitumattomia, on homma selvä. Jos ei, voidaan prosessia jatkaa ts. jakaa W = U U ja W = Z Z, jossa kaikki aliavaruudet G-invariantteja. Koska V on äärellisulottinen, reduktio pysähtyy äärellisen monen askeleen jälkeen. Edellisestä todistuksesta saadaan mainitsemisen arvoinen tulos: Seuraus 5.2 W on esitysavaruus jos ja vain jos W on esitysavaruus. Osoittaaksemme, että kompaktin Lien ryhmän esitykset ovat täydellisesti redusoituvia tulee osoittaa, että jokainen kompaktin Lien ryhmän esitys voidaan varustaa unitaarisella sisätulolla. 12

5.2 Invariantit mitat Lien ryhmillä Haarin mitta on Lien algebralla G määritelty mitta µ siten, että 1. µ on lokaalisti äärellinen, ts. jokaista g G kohti löytyy g:n ympäristö U siten, että µ(u) <. 2. Jos E G Borelin joukko, niin µ(eg) = µ(e) kaikilla g G. Haarin mitan olemassaolosta ja muista ominaisuuksista löytyy lähteestä [2]. Integraalimuodossa ehto 2. tarkoittaa: f(gh)dµ(g) = 5.3 Kompaktit Lien ryhmät G G f(g)dµ(g). Lause 5.3 Olkoon G kompakti Lien ryhmä. Tällöin jokainen π : G GL(V ) on täydellisesti redusoituva. Todistus. Riittää osoitaa, että V :llä voidaan määritellä unitaarinen sisätulo. Valitaan V :lle jokin sisätulo 1 (, ). Määritellään uusi sisätulo v, w = (π(g)v, π(g)w)dµ(g), jossa µ on Haarin mitta. Tällöin mitan G-invarianssin nojalla π(h)v, π(h)w = (π(g)π(h)v, π(g)π(h)w)dµ(g) G = (π(gh)v, π(gh)w)dµ(g) G = (π(g)v, π(g)w)dµ(g) joka todistaa väitteen. G G = v, w, 1 Että näin voidaan tehdä, jätetään lukijalle helpoksi harjoitustehtäväksi. 13

Viitteet [1] Arvinitoyyergos, An introduction to lie groups and geometry of homogeneus spaces [2] Bachman, Elements of Abstract harmonic analysis [3] Belifonde ja Kalman, A survey of Lie groups and Lie Algebras with applications and computational methods [4] Hall, Lie Groups, Lie Algebras and Representations [5] Huang: Lectures on Representation theory [6] Knapp: Lie groups beyond an introduction [7] Sepanski: Compact Lie groups 14