GROUPS AND THEIR REPRESENTATIONS - FIFTH PILE. Olemme jo (harjoituksissa!) löytäneet Lien ryhmälle SL 2 (R) seuraavat redusoitumattomat esitykset:

Transkriptio

1 GROUPS AND THEIR REPRESENTATIONS - FIFTH PILE KAREN E. SMITH 32. Ryhmän SL 2 (R) esitykset Example Palautamme mieleen, että { x y SL 2 (R) = A = det A = xw yz = 1} ja z w { a b sl 2 (R) = A = Tr A = a + d = 0} c d Olemme jo (harjoituksissa!) löytäneet Lien ryhmälle SL 2 (R) seuraavat redusoitumattomat esitykset: (1) Triviaali, siis yksiulotteinen esitys. (2) Tautologinen, tässä tapauksessa siis kaksiulotteinen esitys. (3) Edellisen symmetriset potenssit Sym d (R 2 ), missä d = 2, 3,.... Seuraavassa osoitetaan, että muita ei ole olemassa. Tämä asia on kaikkea muuta kuin itsestäänselvä. Todistuksen ideana on käyttää hyväksi tietoa, että Lien ryhmän G esitys on redusoitumaton, jos sen derivaatta on Lien algebran G redusoitumaton esitys ja osoittaa, että Lien algebralla sl 2 (R) ei ole muita redusoitumattomia esityksiä kuin edellä lueteltujen derivaatt. Tämä tapahtuu selvittämällä vastaavan kompleksisen Lien algebran sl 2 (C) kaikki redusoitumattomat esitykset. Proposition Lien ryhmän G redusoituvan äärellisulotteisen esityksen ρ : G GL(V ) derivaatta neuraalialkion kohdalla d e ρ : G gl(v ) on Lien algebran G redusoituva esitys eli Lien algebrahomomorfismi, jolla on epätriviaali aliesitys. 1 Todistus. Olkoon ρ : G GL(V ) Lien ryhmän G redusoituva esitys.redusoituvuus merkitsee, että on olemassa vektoriavaruuden V 1 ρ:n redusoitumattomuus ja d e ρ:n redusoitumattomuus ovat yhtäpitäviä, mutta sitä tietoa ei tarvita tässä. 1

2 2 KAREN E. SMITH aliavaruus W V siten, että ρ g (W ) W kaikilla g G, jolloin ρ W : g (ρ W g : W W ) on G:n esitys, alkuperäisen aliesitys. Tämän esityksen derivaatta d e ρ W : G gl(w ) on selvästikin derivaatan d e ρ : G gl(w ) aliesitys ja sellaisen olemassaolo merkitsee d e ρ:n redusoitumattomuutta. Seuraavaksi laskemme edellä mainitujen redusoitumattomien esitysten derivaatat. Luettelon lyhentämiseksi merkitään tautologista esitystä Sym 1 (R 2 ) ja triviaalia esitystä Sym [ 0 (R 2 ). Avaruuden [ R 2 standardikantavektoreita merkitsemme e 1 = ja e 1 0 0] 2 =, jolloin symmet- 1] risen tulon Sym d (R 2 ) kantavektorit ovat e d 1, e d 1 1 e 2, e d 2 1 e 2 2,..., e 1 e d 1 2 ja e d 2 ja matriisin A SL 2 (R) toiminta kantavektorilla e d i 1 e i 2 on x y (e z w d i 1 e i 2) = (Ae 1 ) d i (Ae 2 ) i = (xe 1 + ze 2 ) d i (ye 1 + we 2 ) i. Tämän derivointi sujuu käyttämällä toistuvasti bilineaarikuvauksen derivointia, josta saamme seuraavan lemman: Lemma Olkoot V ja W Lien ryhmän G esityksiä. (a) Olkoon V W esitysten tensoritulo, ts. g(v w) = gv gw kaikilla g G, v V, w W. Derivoimalla neutraalialkion kohdalla saatava vastaava Lien algeban G esitys on X(v v) = Xv w + v Xv, missä kukin X on asianomaisen ryhmäesityksen derivaatta. (b) Olkoon Sym d (V ) esityksen V symmetrinen potenssi. Tästä neutraalialkion kohdalla derivoimalla saatava Lien algeban G esitys on d X(e a 1 1 e a e a d d ) = a k e a 1 1 e a e a k 1 k... e a d d Xe k, k=1 missä on tulkittava mahdollisesti esiintyvät e 0 j puuttuviksi. Todistus. Väite (a) seuraa helposti bilineaarikuvauksen derivointikaavasta. Väite (b) palautuu induktiolla väitteeseen (a) ja pieneen tekijäavaruustarkasteluun. Määrätään ensimmäiseksi tautologisen esityksen toisen symmetrisen potenssin derivaatta d e ρ : sl 2 (R) gl(sym 2 (R 2 )).

3 GROUPS AND THEIR REPRESENTATIONS - FIFTH PILE Lien algebralla sl 2 (R) on virittäjät X = ja Y = ja vektoriavaruutena kanta {X, Y, H}, missä H = [X, Y ] =. Lien algebran sl 2 (R) esitys Sym 2 (R 2 ) määräytyy täysin näiden kantavektorien (Itse asiassa jo X:n ja Y :n) vaikutuksesta avaruuden Sym 2 (R 2 ) kantavektoreihin e 2 1, e 1 e 2 ja e 2 2. Lasketaan ne käyttäen edellistä lemmaa??. X(e 2 1) = 2e 1 Xe 1 = 2e 1 0 = 0 X(e 2 1) = Xe 1 e 2 + e 1 Xe 2 = 0 e 2 + e 1 e 1 = e 2 1 X(e 2 2) = 2e 2 Xe 2 = 2e 2 e 1 = 2e 1 e 2. Näistä kantavektorien kuvista saadaan X:n vaikutuksen matriisi Mat(Sym 2 (X)) = Vastaavasti lasketaan Mat(Sym 2 (Y )) = Lien algebran kolmannen kantavektorin H vaikutus on X:n ja Y :n vaikutusten klassinen Lien sulku, mutta voimme päätellä vaikutuksen suoraankin, ja tästä päättelystä on hyötyä myöhemminkin, sillä laskemme sen samantien mielivaltaisen korkealle symmetriselle potenssille Sym d (H) ja mielivaltaiselle kantavektorille: H(e d i 1 e i 2) = (d i)e d i 1 1 e i 2He 1 + ie d i 1 e i 1 2 He 2 = (d i)e d i 1 1 e i 2e 1 ie d i 1 e i 1 2 e 2 = (d i)e d i 1 e i 2 ie d i 1 e i 2 = (d 2i) e d i 1 e i 2. Erityisesi tapauksessa d = 2 saadaan Mat(Sym 2 (H)) = ja yleisessäkin tapauksessa huomataan, että Mat(Sym d (H)) on tässä kannassa diagonaalinen ja diagonaalialkiot muodostavat tasavälisen jonon, jossa peräkkäiset alkiot eroavat toisistaan 2:lla: d 11 = d, d 2, d 4,..., d dd.

4 4 KAREN E. SMITH 1 0 Lemma Lien ryhmän sl 2 (R) kanta-alkio H = toimii 0 1 diagonaalisesti paitsi tautologisessa esityksessä, myös kaikissa muissa esityksissä. Todistus. Sivuutetaan kiireessä, ei toivottoman vaikea. Remark (Itse asiassa kaikilla sl, jopa kaikilla ns. puoliyksinkertaisilla eli semisimppeleillä Lien algebroilla on sellainen ominaisuus, että jos jokin sen alkio H toimii diagonaalisesti tautologisessa esityksessä, niin se toimii diagonaalisesti kaikissa muissakin esityksissä.) Seuraava tehtävä on osoittaa, että ei ole olemassa muita Lien algebran sl 2 (R) redusoitumattomia esityksiä kuin jo löytämämme. Koska kunnan C täydellisyyden takia on helpompi tutkia kompleksisia kuin reaalisia Lien algebroita, kompleksifioidaan SL 2 (R): Remark Olkoon V Lien algebran sl 2 (R) esitys. Silloin V C eli sama vektoriavaruus kompleksikertoimin on kompleksisen Lien algebran sl 2 (R) C esitys. Jos W on Lien algebran sl 2 (R) esityksen 2 V aliesitys, niin W C on Lien algebran sl 2 (R) C esityksen V C aliesitys. Jos siis V C on redusoitumaton, on siis myös alkuperäinen esitys V redusoitumaton. 3 Siksi sen näyttämiseen, että löytämämme Lien algebran sl 2 (R) redusoitumattomat esitykset ovat ovat ainoat, riittää todistaa, että niiden kompleksifioinnit ovat Lien algebran 4 sl 2 (R) C ainoat redusoitumattomat esitykset. Tämä on seuraavan lauseen sisältö. Theorem Lien algebran sl 2 (C) ainoat äärellisulotteiset redusoitumattomat esitykset ovat tautologisen esityksen symmetriset potenssit Sym d (C 2 ), (joiden esitysmatriisit ovat samat kuin vastaavat reaaliset, siis edellä tutkitut.) Todistus. Tarkastellaan Lien algebran sl 2 (C) äärellisulotteista kompleksista esitystä [ V.] Muistetaan, että Lien algebran sl 2 (C) generoivat matriisit X =, Y = ja H =. Selvitetään ensin H:n Eiköhän tähän sopisi minkä tahansa Lien algebran esitys. 3 Sama ei päde kääntäen; harjoitustehtävänä olemme jo konstruoineet Lien algebran sl 2 (R) redusoitumattoman esityksen, jonka kompleksifiointi on redusoituva. 4 joka on sama kuin sl 2 (C)

5 GROUPS AND THEIR REPRESENTATIONS - FIFTH PILE 5 toimintaa V :ssä. Lemman?? mukaan toiminta on diagonaalista, joten V hajoaa (äärelliseksi, tietenkin) suoraksi summaksi α C V α, missä H toimii aliavaruudessa H α kertomisena luvulla α eli V α on H:n ominaisavaruus ominaisarvolla α. Selvitetään seuraavaksi X:n toimintaa kussakin V α osoittamalla, että Xv V α+2, kun v V α. Tämä onkin ovela tarkastus: Olkoon v V α, jolloin Hv = αv. mutta ryhmässä GL 2 (R) on [H, X] = HXv = [H, X]v + XHv, = joten [H, X] = 2X pätee esitysmatriisellekin ja siis Siis Xv V α = 2X, 0 0 HXv = [H, X]v + XHv = 2Xv + Xαv = (2 + α)xv. Vastaavasti todetaan, että Y : V α V α 2. Näistä tiedoista voidaan tehdä huomattavia johtopäätöksiä: Olkoon α 0 C jokin H:n ominaisarvo eli V α0 {0}. Silloin suora summa m Z V α0 +2m V on V :n aliesitys, koska molemmat Lien algebran sl 2 (R) generaattorit 5 X ja Y kuvaavat sen itselleen. Mutta olemme olettaneet, että tutkittava esitys on redusoitumaton ja V α0 {0}. Siksi m Z V α0 +2m = V Koska V oletettiin äärellisulotteiseksi, jokainen H:n ominaisavaruus V α0 +2m on äärellisulotteinen ja vain äärellisen moni eroaa nolla-avaruudesta. Toisin sanoen V = V λ V λ+2 V λ+2n. Koska esitysmatriisit ovat kääntyviä, ovat V λ, V λ+2,..., V λ+2n = V µ nollasta eroavia. 6 Olkoon v V µ. Silloin v, Y v, Y v,..., Y n v = V, sillä tämäkin on tutkittavan redusoitumattoman esityksen invariantti alivaruus, mikä johtuu siitä, että Y ja H tietenkin kuvaavat sen itselleen, mutta myös X tekee niin, sillä X(Y p v) = p(µ p + 1)(Y p 1 v), 5 Määrittele, jos ei jo ole 6 Samalla perusteella kaikki V λ+2m {0}, missä m Z. Ristiriita! Missä virhe?

6 6 KAREN E. SMITH joka vaatii pienen perustelun vaikkapa induktiolla: Tapaus p=0: Huomataan, että XY p v = XY 0 v = Xv = 0, sillä oletettiin, että v V µ. Siis väite pätee, kun p = 0. Induktioaskel: Oletetaan, että XY p 1 v = (p 1)(µ (p 2))Y p 2 v. Lasketaan käyttäen induktio-oletusta ja tietoa Y : V α V α 2 : XY p v = XY Y p 1 v = [X, Y ]Y p 1 v + (XY [X, Y ])Y p 1 v = [X, Y ]Y p 1 v + (Y X)Y p 1 v = [X, Y ]Y p 1 v + Y XY p 1 v = HY p 1 v + Y (p 1)(µ (p 2))Y p 2 v = (µ 2(p 1))Y p 1 v + (p 1)(µ (p 2))Y p 1 v = ( (µ 2(p 1)) + (p 1)(µ (p 2)) ) Y p 1 v = ( µp p 2 + p + 0 ) Y p 1 v = p(µ p + 1)Y p 1 v, joka on induktioaskelen väite. Tulos v, Y v, Y v,..., Y n v = V merkitsee, että avaruudet V α ovat yksiulotteisia. Valitsemalla p = ( 1 2 (µ λ) + 1) saadan Y p 1 v V λ, siis Y p v = 0 ja 0 = X(0) = X(Y p v) = p(µ p + 1)(Y p 1 v), josta (µ p + 1) = 0 eli 0 = (µ 1(µ λ) 1 + 1) = 1 (µ + λ), toisin sanoen λ = µ, joten V on seuraavanlainen summa H:n yksiulotteisista 2 2 ominaisavaruuksista: V = V µ V µ+2 V µ 2 V µ. Erityisesti ominaisarvot ovat kaikki parillisia tai kaikki paritomia kokonaislukuja sen mukaan onko 0 ominaisarvo vai ei. Nyt on täysin selvitetty lien algebran gl 2 (C) redusoitumattomien esitysten rakenne. Tästä voi päätellä, että ne ovat edellä konstruoidut eikä muita ole. (Harjoitustehtävä: Tee se!

7 GROUPS AND THEIR REPRESENTATIONS - FIFTH PILE 7 H:n ominaisvektorin v V α ominaisarvoa sanotaan muuten yleensä sen painoksi. Luku µ N on tutkittavan esityksen suurin paino. Mikä on sen yhteys esitystä vastaavan symmetrisen tulon potenssiin?)