Johdanto Lassi Kurittu

Johdanto Tämä luentomoniste on kirjoitettu syksyn 2012 topologian kurssin jälkimmäisen osan luentomateriaaliksi. Kurssin ensimmäisellä puoliskolla käsiteltiin metrisiä avaruuksia, mutta nyt siirrytään yleisiin topologisiin avaruuksiin. Moniste noudattelee Jussi Väisälän kaksiosaisen topologian monisteen kakkososaa. Metriset avaruudet ovat myös topologisia avaruuksia, mutta näitä yleisiä topologisia avaruuksia on paljon muitakin, ja niissä tapahtuu sellaisia ilmiöitä, joita ei metrisissä avaruuksissa tunneta. Tällaisten ilmiöiden tarkasteluun tässä syvennytään ja toisaalta mietitään, josko kyseessä sittenkin olisi metrinen ilmiö. Tärkeimmistä käsiteltävistä topologioista voisi mainita tulotopologian, joka syntyy avaruuksien karteesiseen tuloon, mahdollisesti äärettömään, ja tekijätopologian, jonka avulla voidaan topologisoida erilaisia tekijäavaruuksia. Kompakteihin avaruuksiin liittyvät asiat nousevat esille kurssin loppupuolella. Kompakteja avaruuksia ja tuloavaruuksia yhdistää maineikas Tihonovin lause, joka todistetaan kurssin lopussa, mikäli aika riittää. Käytettävistä merkinnöistä sen verran, että esimerkiksi maininta lause MA 3.5 viittaa metrisiä avaruuksia käsittelevän monisteen ensimmäisen osan lauseeseen 3.5. Johdannon lopuksi on ehkä syytä huomauttaa ykkösosan johdantoa siteeraten, että tämä luentomoniste on aivan uunituore, mikä ei tarkoita sitä, että tässä olisi joitakin matemaattisesti uunituoreita asioita, vaan sitä, että tähän on väkisinkin jäänyt painovirheitä. Näitä tietenkin pyrin siivoamaan pois sitä mukaa, kun niitä huomaan. Pyydän tässä urakassa opiskelijoiden apua: kaikista havaituista virheistä pienistäkin toivon ilmoitusta joko henkilökohtaisesti tai sähköpostitse. 10.10.2012 Lassi Kurittu i

Sisältö 1 Topologian määritelmä 1 2 Topologian kanta 6 3 Jatkuva kuvaus 16 4 Kuvauksen indusoima topologia 24 5 Relatiivitopologia 28 6 Kuvausperheen indusoima topologia 32 7 Tulotopologia 40 7.1 Äärellinen tulo............................ 40 7.2 Numeroituva tulo........................... 43 7.3 Yleinen tulo.............................. 45 8 Kuvausperheen koindusoima topologia 63 9 Tekijätopologia 73 10 Metrisoituvat topologiset avaruudet 85 11 Topologisen avaruuden erottelukyky 108 12 Topologian numeroituvuus 121 13 Yhtenäisyys 142 13.1 Yhtenäinen ja polkuyhtenäinen topologinen avaruus....... 142 13.2 Yhtenäisyyskomponentit ja polkukomponentit........... 144 14 Monistot 156 15 Kompaktius 163 16 Lokaalisti kompaktit topologiset avaruudet 182 17 Kompaktifiointi 188 18 Tihonovin lause 193 19 Urysohnin lemma ja Tietzen laajennuslause 209 ii

1 Topologian määritelmä Tässä kuten myös monisteen aiemmassa osassa merkintä P(X) tarkoittaa joukon X potenssijoukkoa eli kaikkien osajoukkojen joukkoa. Jos T P(X), niin sanonta T :n joukkoperhe {U α } α I tarkoittaa sitä, että on annettu (jokin) indeksijoukko I ja jokaiselle α I on määritelty joukko U α T. Joissakin tapauksissa joukkoperhe esitetään myös muodossa {U α α I}, mutta samasta asiasta on kyse ero on vain merkinnässä. On ehkä näin aluksi syytä kerrata yhdisteen ja leikkauksen määritelmät, koska ne esiintyvät jatkossa usein, ja parissa paikassa näitä pitää oikein miettiäkin. Määritelmäthän kuuluvat niin, että U α = {x X on olemassa α I siten, että x U α } ja α I U α = {x X kaikille α I pätee x U α }. α I Tyhjälle indeksijoukolle I leikkausta ei määritellä lainkaan. Varsinainen asia aloitetaan topologian määritelmällä. Määritelmä 1.1 Olkoon X joukko ja T P(X). Sanotaan, että T on joukon X topologia, jos seuraavat ehdot (1) (3) pätevät. U α T jokaiselle T :n joukkoperheelle {U α } α I. (1) α I U α T jokaiselle T :n joukkoperheelle {U α } α I, (2) α I missä indeksijoukko I on äärellinen ja epätyhjä. T ja X T. (3) Tällöin sanotaan, että (X, T ) on topologinen avaruus ja että T :n alkiot eli X:n osajoukot A T P(X) ovat avoimia topologiassa T. Esimerkki 1.2 a) Jos (X, d) on metrinen avaruus, niin (X, d):n avoimet joukot muodostavat X:n topologian T d, vrt. merkintä MA 9.3. Tämä seuraa lauseista MA 3.5 ja MA 3.7 sekä sivun MA 17 esimerkistä. Sen sijaan (X,d):n suljetut joukot eivät yleensä muodosta topologiaa, koska suljettujen joukkojen mielivaltainen yhdiste ei välttämättä ole suljettu. b) R:n kaikkien avointen välien joukko ei ole topologia, koska (esimerkiksi) kahden avoimen välin yhdiste ei välttämättä ole avoin väli. Sen sijaan joukko on R:n topologia. Toisaalta taas T 1 = {]a, [ a R} {, R} T 2 = {[a, [ a R} {, R} 1

ei ole R:n topologia. Miksei? c) Koko P(X) on triviaalisti jokaisen epätyhjän joukon X topologia. Jos d on X:n diskreetti metriikka, niin lauseen MA 3.2 mukaan T d = P(X). Tätä topologiaa P(X) sanotaan X:n diskreetiksi topologiaksi ja merkitään T dis = P(X). Diskreetti topologia on (triviaalisti) kaikkein laajin X:n topologia, ts. jos T on X:n topologia, niin T T dis. d) Jos X, niin {,X} on X:n topologia. Tämä on niin sanottu X:n minitopologia, ja merkitään T mini = {,X}. Minitopologia on (triviaalisti) kaikkein suppein X:n topologia, ts. jos T on X:n topologia, niin T mini T. e) Jos X on yksiö, X = {a}, niin X:llä on vain yksi topologia T dis = T mini. Jos X on kahden pisteen joukko, niin X:llä on neljä eri topologiaa. Montako eri topologiaa on kolmen pisteen joukolla? Voisi arvata, että kahdeksan, mutta onko tämä oikea arvaus? f) Kohdan a) mukaisesti metrinen avaruus synnyttää aina topologian, joten topologisten avaruuksien joukko on laajempi kuin metristen avaruuksien joukko. Se on myös aidosti laajempi, sillä kaikki topologiat eivät synny metriikan kautta. Tästä on esimerkkinä b)-kohdan topologia T 1. Jätetään harjoitustehtäväksi miettiä, miksei R:ssä voi olla metriikkaa, jonka avointen joukkojen joukko olisi täsmälleen T 1. Toinen ei-metrinen esimerkkitopologia on minitopologia, kun joukossa X on ainakin kaksi alkiota. Jätetään tämäkin harjoitustehtäväksi. Diskreetti topologia on siis aina metrinen, kuten c)-kohdassa todettiin. Esimerkin 1.2 kohdissa c) ja d) puhuttiin laajimmasta ja suppeimmasta topologiasta. Näille asioille on ihan virallinen nimityskin, joka selviää seuraavasta määritelmästä. Määritelmä 1.3 Olkoon X joukko ja T 1 sekä T 2 X:n topologioita. Sanotaan että T 1 on karkeampi kuin T 2 tai T 2 on hienompi kuin T 1, jos pätee T 1 T 2. Huomautus 1.4 Hienommassa topologiassa on siis ainakin samat avoimet joukot kuin karkeammassakin, mutta mahdollisesti myös aidosti enemmän. Tämä topologioiden hienompi/karkeampi-relaatio on triviaalisti transitiivinen siinä mielessä, että jos T 1 on karkeampi kuin T 2 ja T 2 karkeampi kuin T 3, niin T 1 on karkeampi kuin T 3. Tämä topologioiden järjestysrelaatio ei kuitenkaan ole täydellinen, mikä tarkoittaa sitä, että kaikkia topologioita ei suinkaan voida tässä mielessä vertailla. Esimerkiksi jos X on kolmen eri pisteen joukko X = {a,b,c}, niin T 1 = {, {a}, {a,b},x} ja T 2 = {, {a}, {a,c},x} ovat topologioita X:ssä, mutta kumpikaan ei ole toista hienompi/karkeampi. 2

Määritelmä 1.5 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja a X. Sanotaan, että osajoukko A X on pisteen a ympäristö topologiassa T, jos a A ja A T. Huomautus. Määritelmä 1.5 yleistää metrisen avaruuden ympäristön määritelmän MA 3.9. Huomautuksen 1.4 esimerkissä {a, b} on pisteen a ympäristö topologiassa T 1, mutta ei ole sitä topologiassa T 2. Seuraava lause yleistää lauseen MA 3.11. Lause 1.6 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X. Tällöin A on avoin jos ja vain jos jokaiselle a A on olemassa ympäristö U a siten, että U a A. Todistus. Suoraan määritelmän nojalla A on jokaisen pisteensä ympäristö, joten valinta U a := A toimii kaikille a A. Oletetaan, että kaikille a A on olemassa ympäristö U a siten, että U a A. Tällöin U a = A. (1) a A Ympäristöinä joukot U a ovat topologian T alkioita, jolloin esityksen (1) ja topologian määritelmän nojalla A T eli A on avoin. Määritelmä 1.7 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Sanotaan, että (X, T ) on Hausdorff-avaruus, jos kaikille x, y X, x y on olemassa U, V T siten, että x U, y V ja U V =. Esimerkki. Metrinen avaruus on aina Hausdorff. Tämä seuraa lauseesta MA 3.12. (X, T dis ) on myös aina Hausdorff. Sen sijaan (X, T mini ) ei ole Hausdorff, jos X:ssä on ainakin kaksi pistettä. Myöskään esimerkin 1.2 b) topologia T 1 ei ole Hausdorff. Suljettu joukko yleisissä topologisissa avaruuksissa määritellään kuten metrisissä avaruuksissa: Määritelmä 1.8 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X. Sanotaan, että A on suljettu, jos X \ A on avoin. Lause 1.9 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja {B α } α I perhe X:n suljettuja osajoukkoja. Tällöin B α on suljettu, jos I, α I B α on suljettu, jos I on äärellinen sekä lisäksi α I ja X ovat suljettuja. 3

Todistus. Tämä todistetaan kuten lauseet MA 7.13 ja 7.14. Lauseen 1.9 tavoin monet peruslauseet yleisissä topologisissa avaruuksissa ovat analogisia vastaavien metristen tulosten kanssa, myös todistukseltaan. Tämän vuoksi tässä esitetään perusmääritelmistä helposti saatavien tulosten todistuksia vain viittaamalla vastaaviin todistuksiin MA:ssa. Toki kriittisen lukijan on syytä tarkistaa, ettei tässä ihan höpöjä puhuta, vaan todistukset tosiaan sujuvat kuten metrisissä avaruuksissa. Määritelmä 1.10 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X sekä x X. Sanotaan, että piste x on joukon A kosketuspiste, jos jokaiselle x:n ympäristölle U pätee U A. x on A:n erakkopiste, jos on olemassa x:n ympäristö U, jolle pätee U A = {x}. A:n kosketuspisteiden joukko on A:n sulkeuma, ja sitä merkitään symbolilla A. Huomautus. Kuten metrisissä avaruuksissa (MA 6.12) pätee aina A A. Lause 1.11 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X. Tällöin sulkeuma A on suljettu. Todistus. Tässä voisi viitata lauseen MA 6.13 todistukseen, mutta se olisi epäonnistunut viittaus, koska lauseen MA 6.13 todistus on metrinen eli siinä käytetään metriikkaa. Oikea viittaus on sen sijaan huomautus MA 6.14, jossa todistuksesta selvitään ilman metriikan käyttöä. Lause 1.12 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A, B X. Tällöin pätee seuraavaa. Jos A B ja B on suljettu, niin A B. A on suljettu jos ja vain jos A = A. Jos C := {C A C X ja C on suljettu}, niin A = C C C. Jos A B, niin A B. A = A. A B = A B. A B A B. Todistus. Kuten lauseet MA 6.15 21. Kasautumispiste määriteltiin MA:ssa niin, että piste on A:n kasautumispiste, jos sen jokaisessa ympäristössä on äärettömän monta A:n pistettä. Lauseessa MA 6.36 todettiin, että tämä ehto on yhtäpitävää sille, että jokaisessa x:n punkteeratussa ympäristössä U \{x} on A:n pisteitä. Yleisissä topologisissa avaruuksissa on parempi ottaa tämä jälkimmäinen ehto määritelmäksi: 4

Määritelmä 1.13 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X sekä x X. Sanotaan, että piste x on joukon A kasautumispiste, jos jokaiselle x:n ympäristölle U pätee (U \ {x}) A. Lause MA 6.34 yleistyy: Lause 1.14 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X sekä x X. Tällöin x A jos ja vain jos x on A:n kasautumispiste tai erakkopiste. Todistus. Tässä ei voi nyt vedota lauseen MA 6.34 todistukseen, koska sen todistus on metrinen ja sitä paitsi käytettävä määritelmäkin on erilainen. Tällä määritelmällä 1.13 todistus on kuitenkin paljon helpompi jopa triviaali, ja jätetään tämä harjoitustehtäväksi. Samalla voidaan todeta, että MA:ssa olisi ollut helpompaa todistaa lause MA 6.36 ennen lausetta MA 6.34, jolloin MA 6.34:n todistuksessa olisi voitu käyttää samaa helppoa argumentointia kuin tässä käsillä olevassa tuloksessa. Sisä- ulko- ja reunapisteet määritellään kuten MA:ssa: Määritelmä 1.15 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X sekä x X. Sanotaan, että piste x on joukon A sisäpiste, jos on olemassa pisteen x ympäristö U siten, että U A. Sanotaan, että x on A:n ulkopiste jos x on joukon X \ A sisäpiste. Jos x ei ole A:n sisä- eikä ulkopiste, niin sanotaan, että x on A:n reunapiste. Merkitään int(a) = {x X x on A:n sisäpiste}, ext(a) = {x X x on A:n ulkopiste} A = {x X x on A:n reunapiste}. ja Lause 1.16 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X. Tällöin pätee seuraavaa. X = int(a) ext(a) A ja tämä yhdiste on pistevieras. int(a) = ext(x \ A). Joukot int(a) ja ext(a) ovat avoimia sekä joukko A on suljettu. A on avoin jos ja vain jos A = int(a). A A. ext(a) = X \ A. int(a) = X \ X \ A. A = int(a) A. A = A A. A = A X \ A. A = A \ int(a). A = (X \ A). 5

A on avoin jos ja vain jos A = A \ A. Jos A = {U A U on avoin}, niin pätee int(a) = Todistus. Ks. MA 8.2 11. U A Esimerkki 1.17 Vaikka tulokset lauseessa 1.16 ovat samoja kuin MA:ssa, niin yleisissä topologisissa avaruuksissa voi tapahtua näille sisä- ulko- ja reunapisteille sekä sulkeumille vähän yllättäviä asioita metrisiin avaruuksiin verrattuna. Jätetään helpoksi harjoitustehtäväksi miettiä, miten käy esimerkiksi minitopologiassa. Vähemmän triviaali esimerkki on esimerkin 1.2 b) R:n topologia Jos valitaan vaikkapa A =]0,1[, niin T 1 = {]a, [ a R} {, R}. int(a) =, ext(a) = ]1, [, A = ],1] Jätetään perustelut harjoitustehtäväksi. ja A = int(a) A = ],1]. Määritelmä 1.18 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X. Sanotaan, että joukko A on tiheä avaruudessa (X, T ), jos pätee A = X. Esimerkki 1.19 Jos varustetaan R itseisarvometriikan määräämällä topologialla, niin Q on tiheä, Z sen sijaan ei. Jos varustetaankin R esimerkin 1.17 topologialla T 1, niin myös Z on tiheä. Tämä johtuu siitä, että int(z) = ja vähän yllättävästi myös ext(z) =, jolloin lauseen 1.16 nojalla Z = R ja silloin myös Z = R. Lause 1.20 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, A B X ja oletetaan, että A on tiheä. Silloin myös B on tiheä. Todistus. X i) = A ii) B X, joten on oltava X = B ja väite seuraa. Yllä yhtälö i) seuraa siitä, että A on tiheä. Inkluusio ii) seuraa oletuksesta A B ja lauseesta 1.12. U. 2 Topologian kanta Monissa sovelluksissa joudutaan määrittelemään annettuun joukkoon jokin sopiva topologia. Topologiat ovat usein hyvin suuria joukkoja, jolloin niiden eksplisiittinen määritteleminen käy hankalaksi. Tällöin on hyvä turvautua (yleensä huomattavasti) pienempään joukkoon, joka tietyssä mielessä virittää halutun topologian. Tätä pienempää joukkoa kutsutaan (halutun) topologian kannaksi. Tarkka määritelmä on seuraava. 6

Määritelmä 2.1 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Sanotaan, että joukko B P(X) on topologian T kanta, jos B T ja lisäksi pätee seuraava ehto. Kaikille A T on olemassa joukkoperhe {U α } α I siten, että U α B kaikille α I ja α I U α = A. Huomautus. Kannan alkiot ovat siis aina varsinaisen topologian alkioita, mutta kannassa ei tarvitse olla läheskään kaikkia näitä, vaan riittää, että topologian alkiot voidaan esittää kannan alkioiden yhdisteenä. Usein kannassa ei ole alkiota T, mutta määritelmän 2.1 ehdossa voidaan valita I =, jolloin (vähän kikkailemalla) saadaan myös tyhjä joukko esitettyä B:n alkioiden yhdisteenä. Toinen mahdollisuus olisi asettaa määritelmään 2.1 rajoite A. Samalla topologialla voi olla useita kantoja kuten helposti nähdään, mutta on tärkeää, että sama kanta voi määrätä vain yhden topologian. Tämä nimenomaan siitä syystä, että kun sovelluksissa määritellään topologia kannan avulla, niin se tulee yksikäsitteisesti määrättyä. Tämän yksikäsitteisyyden takaa seuraava lause. Lause 2.2 Olkoot (X, T 1 ) ja (X, T 2 ) topologisia avaruuksia sekä B P(X) näiden molempien topologioiden kanta. Tällöin pätee T 1 = T 2. Todistus. Olkoon A T 1 mielivaltainen. Koska B on T 1 :n kanta, niin A voidaan esittää yhdisteenä A = α I U α, U α B kaikille α I. (1) Koska B on T 2 :n kanta, niin B T 2, ja silloin U α T 2 kaikille α I. Koska T 2 on topologia, niin se sisältää alkioidensa yhdisteeet, joten α I U α T 2. Tällöin esityksen (1) perusteella A T 2. Koska A T 1 valittiin mielivaltaisesti, niin näin on nähty, että T 1 T 2. Vastaavasti nähdään, että T 2 T 1. Esimerkki 2.3 a) Onko jokaisella topologialla kanta? On, sillä topologia on triviaalisti itsensä kanta. Toki yleensä kantoja on paljon muitakin. b) Diskreetin topologian T dis eräs kanta on B = {{x} x X}. c) Jos (X,d) on metrinen avaruus, niin topologian T d (ks. esim. 1.2 a)) eräs kanta on B = {B d (x,r) x X, r > 0}. Tämä seuraa lauseesta MA 3.8. d) Esimerkin 1.2 b) topologian T 1 eräs kanta on B = { ]q, [ q Q}. Kun topologioita määritellään kannan kautta, herää luonnollinen kysymys: voiko mielivaltainen P(X):n osajoukko B olla jonkin X:n topologian kanta. Ei voi; tämä selviää lauseesta 2.8 ja esimerkistä 2.10 a). Näitä varten tarvitaan muutama aputulos. 7

Lause 2.4 Olkoon X jokin joukko ja A X. Olkoon lisäksi B P(X). Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä. On olemassa joukkoperhe {U α } α I, missä U α B kaikille α I, (1) siten, että A = α I U α. Kaikille x A on olemassa B x B siten, että x B x A. (2) Todistus. (1) (2) Oletetaan, että ehto (1) pätee ja olkoon x A mielivaltainen. Olkoon {U α } α I ehdon (1) mukainen joukkoperhe. Silloin x A = {U α } α I, joten on olemassa α 0 I siten, että x U α0. Tällöin väitteessä (2) olevaksi joukoksi B x käy B x := U α0, koska tämä toteuttaa selvästi ehdon (2) vaatimukset. (2) (1) Oletetaan, että ehto (2) pätee. Määritellään joukkoperhe {U α } α I asettamalla I = A ja U x = B x kaikille x I = A. Tämä toteuttaa ehdon (1) vaatimukset, sillä kaikille a A pätee a B a x A B x, joten A x A B x A ja siten A = x A B x. Seuraavassa lauseessa annetaan täsmällinen ehto sille, milloin jokin B P(X) on tietyn topologian kanta. Tämä ei siis vielä kerro sitä, että voiko B olla jonkun topologian kanta, vaikkei se annetun topologian kanta olisikaan. Lause 2.5 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja B P(X). Tällöin B on topologian T kanta jos ja vain jos seuraavat ehdot pätevät: B T ja (1) Jos U T ja x U, niin on olemassa B B siten, että x B U. (2) Todistus Jos B on topologian T kanta, niin ehto (1) seuraa suoraan määritelmästä 2.1. Ehto (2) seuraa määritelmästä 2.1 ja lauseesta 2.4. Jos ehdot (1) ja (2) pätevät, niin lauseen 2.4 nojalla kannan määritelmän 2.1 ehdot toteutuvat. Esimerkki 2.6 Tason R 2 euklidisen topologian eli euklidisen metriikan antaman topologian eräs kanta on B = { ]a,b[ ]c,d[ a,b,c,d R, a < b,c < d}. Tämän näkee helposti lauseen 2.5 avulla. Huomautus. Lauseen 2.5 ehtoa (2) ei voi lieventää korvaamalla se ehdolla Kaikille U T on olemassa B B siten, että B U. (3) Esimerkkinä tästä on R:n itseisarvometriikan antama topologia T ja kantaehdokas B = {U \ {0} U T }. Tämä toteuttaa ehdot (1) ja (3), muttei voi olla 8

T :n kanta, koska esimerkiksi avointa joukkoa R ei selvästikään voi esittää B:n alkioiden yhdisteenä. Seuraavassa lauseessa ei varsinaisesti ole mitään uutta, mutta kirjataan lause muistiin sen käyttökelpoisuuden takia. Lause 2.7 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja B T :n kanta sekä A X. Tällöin A T jos ja vain jos kaikille x A on olemassa B x B siten, että x B x A. Todistus. Väitteen suunta seuraa lauseesta 2.5 ja käänteinen suunta lauseesta 1.6 sekä kannan määritelmästä. Nyt saadaan sitten aikaan ehto, joka kertoo täsmälleen, milloin annettu joukko on jonkin topologian kanta. Lause 2.8 (Kantalause) Olkoon X mielivaltainen joukko ja B P(X). Tällöin B on X:n jonkin topologian kanta jos ja vain jos seuraavat ehdot toteutuvat. B = X. (1) B B Jos B 1,B 2 B ja x B 1 B 2, niin on olemassa B x B siten, (2) että x B x B 1 B 2. Huomautus 2.9 Lauseessa 2.8 ei siis vaadita, että B 1 B 2 B. Näin voi tietysti olla, mutta se ei ole välttämätöntä toisin kuin topologian tapauksessa. Tämä helpottaa kovasti topologioiden rakentelua: riittää konstruoida lauseen 2.8 ehdot (1) ja (2) toteuttava B. Lauseen 2.2 nojalla tämä B on täsmälleen yhden topologian T kanta eli T määräytyy yksikäsitteisesti. T :n alkiotkin voidaan karakterisoida kannan määritelmän avulla: Jos A X, niin A T jos ja vain jos on olemassa perhe {B α } α I siten, että B α B kaikille α I ja A = α I B α. Siis T :n alkiot koostuvat tarkalleen B:n alkioiden yhdisteistä. Lauseen 2.8 todistus. Väitteen tämä suunta on helppo. Jos B on jonkin topologian T kanta, niin X T ja ehto (1) seuraa kannan määritelmästä. Ehto (2) seuraa lauseesta 2.7, sillä B 1,B 2 B T, jolloin B 1 B 2 T. Oletetaan, että B toteuttaa ehdot (1) ja (2). Pitäisi siis keksiä jokin topologia T, jonka kanta B on. Vahvan vihjeen antaa huomautus 2.9. Määritellään topologiaehdokas T asettamalla T = {A P(X) on olemassa perhe {B α } α I siten, että B α B kaikille α I ja A = α I B α }. Kannan määritelmän mukaan B on T :n kanta, jos T ylipäätään on topologia. Riittää siis todistaa tämä. 9

X T ehdon (1) nojalla. Myös T, kun valitaan tyhjä indeksijoukko I. Riittää siis osoittaa, että T :n alkioiden mielivaltaiset yhdisteet ja äärelliset leikkaukset pysyvät T :ssä. Yhdisteille tämä on helppoa. Olkoon {U β } β J perhe T :n alkioita. Tällöin jokaiselle β J on olemassa perhe {B β α} α Iβ, missä B β α B kaikille α I β siten, että U β = α I β B β α. Tällöin U β = Bα β = β J β J α I β (α,β) K B β α, (3) missä K = β J (I β {β}). Esityksen (3) ja T :n määritelmän mukaan U β T. β J Äärelliselle leikkaukselle todistus on vähän vaikeampaa. Tässä siis oletetaan, että J on äärellinen (ja siten epätyhjä) indeksijoukko ja {U β } β J perhe T :n alkioita. Pitää osoittaa, että U β T. (4) β J Todistetaan väite (4) induktiolla joukon J alkioiden lukumäärän #J suhteen. Kun #J = 1, niin väite (4) pätee triviaalisti. Oletetaan sitten, että n 2 ja että väite (4) pätee jokaiselle indeksijoukolle J, jolle #J = n 1. Olkoon #J = n. Tällöin J voidaan esittää muodossa Merkitään J = {β 0 } K, missä #K = n 1. (5) V = Induktio-oletuksen ja ehdon (5) nojalla Koska nyt β K U β = U β0 β J niin väite (4) tulee muotoon U β. V T. (6) β K U β = U β0 V, U β0 V T. (7) 10

T :n määritelmän mukaan väite (7) siis sanoo, että joukko U β0 V voidaan esittää B:n alkioiden yhdisteenä. Lauseen 2.4 nojalla väite (7) seuraa, jos osoitetaan, että kaikille x U β0 V on olemassa B x B siten, että x B x U β0 V. (8) Olkoon siis x U β0 V mielivaltainen. Koska U β0 T, niin T :n määritelmän mukaan U β0 on B:n alkioiden yhdiste, jolloin lausetta 2.4 toiseen suuntaan (kuin edellä) käyttäen nähdään, että on olemassa B 1 siten, että B 1 B ja (9) x B 1 U β0. (10) Ehdon (4) nojalla vastaava tarkastelu voidaan tehdä myös joukolle V, ja nähdään, että on olemassa B 2 siten, että B 2 B ja (11) x B 2 V. (12) Nyt käytetään oletuksen ehtoa (2). Sen ja ehtojen (9) (12) nojalla on olemassa B x B siten, että x B x B 1 B 2. Ehtojen (10) ja (12) nojalla tämä B x toteuttaa ehdon (8), joten väite (7) pätee. Näin induktioaskel on otettu, ja asia on selvä. Esimerkki 2.10 a) Olkoon X neljän alkion joukko X = {a,b,c,d} ja B = {B 1,B 2,B 3 }, missä B 1 = {a,b,c}, B 2 = {b,c,d} ja B 3 = {b}. Tällöin B ei toteuta lauseen 2.8 ehtoja, sillä c B 1 B 2, mutta ei ole olemassa joukkoa B c B siten, että c B c B 1 B 2. Siten B ei voi olla minkään X:n topologian kanta. b) Joukko B = {]a,b[ a < b} on lauseen 2.8 nojalla jonkin R:n topologian kanta. Itse asiassa tämä topologia on tavallinen itseisarvotopologia. c) Joukko {[a,b] a < b} ei lauseen 2.8 nojalla ole minkään R:n topologian kanta. Sen sijaan joukko B = {[a, b] a b} on jonkin topologian kanta. Jätetään harjoitustehtäväksi osoittaa, että kyseessä on diskreetti topologia. d) Esimerkissä 1.2 b) todettiin, että joukko on R:n topologia. Toisaalta taas T 1 = {]a, [ a R} {, R} T 2 = {[a, [ a R} {, R} ei ole sitä. T 1 on silloin oma kantansa, joten se automaattisesti toteuttaa lauseen 2.8 ehdot. Myös T 2 toteuttaa ne, joten se on jonkin topologian T 3 kanta. 11

e) Joukko B = {[a,b[ a < b} toteuttaa lauseen 2.8 ehdot, joten se on jonkin R:n topologian kanta. Tämä on mielenkiintoinen topologia, johon palataan jatkossa. Osoittautuu esimerkiksi, että tässä topologiassa välit [a, b[ ovat paitsi avoimia (mitä ne ovat triviaalisti) myös suljettuja. Kyseessä ei kuitenkaan ole diskreetti topologia. Kantansa alkioiden olemuksen perusteella tätä topologiaa kutsutaan R:n puoliavoimeksi topologiaksi, ja sitä merkitään symbolilla T pa. Aiemmin määriteltiin (ks. 1.3), että jos saman joukon topologioille T 1 ja T 2 pätee T 1 T 2, niin topologia T 2 on hienompi tai vastaavasti T 1 on karkeampi. Karkeammassa topologiassa on siis vähemmän avoimia joukkoja ja hienommassa enemmän. Voidaanko kantojen avulla päätellä jotain tästä hienommuudesta/karkeammuudesta? On melko selvää, että jos B i on T i :n kanta, i = 1,2 ja B 1 B 2, niin myös T 1 T 2. Käänteinen suunta tässä ei kuitenkaan päde. Tästä saa vastaesimerkkejä huomaamalla, että samalla topologialla voi olla useita eri kantoja, jotka eivät ole vertailtavissa tässä mielessä. Topologioiden hienommuusvertailu on kuitenkin merkittävä asia monessa paikassa. Seuraava lause sanoo, että tästä vertailusta voidaan jotain sanoa kantojenkin avulla. Lause 2.11 Olkoon X mielivaltainen joukko ja T 1 sekä T 2 X:n topologioita. Olkoon B i topologian T i :n kanta, i = 1,2. Tällöin T 2 on hienompi kuin T 1 jos ja vain jos seuraava ehto pätee. Kaikille x B 1 B 1 on olemassa B 2 B 2 siten, että x B 2 B 1. (1) Todistus. Oletetaan, että T 2 on hienompi kuin T 1 eli T 1 T 2. Olkoon x B 1 B 1. Topologia sisältää aina kantansa, joten B 1 T 1 ja siten oletuksen nojalla B 1 T 2, ja näin B 1 T 2. (2) Väitteessä (1) vaadittavan joukon B 2 B 2, jolle pätee x B 2 B 1, olemassaolo seuraa lauseesta 2.5, ehdosta (2) ja siitä, että B 2 on T 2 :n kanta. Oletetaan, että ehto (1) pätee. Olkoon U T 1 mielivaltainen. Pitää osoittaa, että U T 2. (3) Olkoon tätä varten x U mielivaltainen. Väite (3) seuraa lauseesta 1.6, jos x V U jollekin V T 2. (4) Koska U T 1 ja B 1 on T 1 :n kanta, niin lauseen 2.5 nojalla on olemassa B 1 B 1 siten, että x B 1 U. (5) Tällöin oletuksen (1) nojalla on olemassa B 2 B 2 siten, että x B 2 B 1. (6) 12

Valitaan nyt ehdossa (4) kaipailtu V asettamalla V := B 2. Koska topologia sisältää aina kantansa, niin V = B 2 B 2 T 2, joten ainakin V T 2. Lisäksi ehdon (4) vaatimus x V U seuraa ehdoista (6) ja (5), joten V :n valinta on kelvollinen. Esimerkki 2.12 a) Ennen lausetta 2.11 todettiin ylimalkaisesti, että on melko selvää, että jos kannoille pätee B 1 B 2, niin myös T 1 T 2. Tarkka todistus tälle väitteelle saadaan lauseesta 2.11: siinä tarvittava joukko B 2 löytyy valitsemalla B 2 := B 1 B 1 B 2. b) Esimerkin 2.10 d) topologioista T 1 ja T 3 topologia T 3 on hienompi, sillä kannat T 1 ja T 2 toteuttavat lauseen 2.11 ehdon siinä järjestyksessä, että kaikille x B 1 T 1 on olemassa B 2 T 2 siten, että x B 2 B 1. Toisin päin ehto ei kuitenkaan toteudu, joten lauseen 2.11 käänteisen suunnan mukaan T 3 on aidosti hienompi kuin T 1. c) Esimerkissä 2.10 b) esitettiin R:n itseisarvotopologian T kanta B. Saman esimerkin e)-kohdassa esitettiin R:n topologian T pa kanta, jota merkitään tässä symbolilla B pa. Nämä kannat toteuttavat lauseen 2.11 ehdon siinä järjestyksessä, että T pa on aidosti hienompi kuin T, vrt. b)-kohta. Koska itseisarvotopologia on metrinen, niin se on Hausdorff lauseen MA 3.12 mukaisesti. Silloin (triviaalisti) tätä hienompi topologia T pa on myös Hausdorff. Kuten on nähty, topologia voidaan määritellä antamalla (vain) kanta. Sen täytyy tietenkin toteuttaa kantalauseen 2.8 vaatimukset. Tämäkin on joskus varsin vaivalloista. Helpommaksi tilanteen voi muuttaa antamalla vain ns. esikanta, jonka määritelmä on seuraavassa. Määritelmä 2.13 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja E T. Sanotaan, että E on topologian T esikanta, jos joukko { A k A k E kaikille k K ja indeksijoukko K on äärellinen} k K on T :n kanta. Esimerkki. Jokainen kanta on triviaalisti esikanta. Esikanta ei kuitenkaan välttämättä ole kanta. Näin käy esimerkiksi, jos T on R:n itseisarvotopologia ja E = { ],a[ a R} { ]b, [ b R}. Tällöin E on T :n esikanta, mikä nähdään helposti esimerkin 12.10 b) avulla. Tämä E ei kuitenkaan ole T :n kanta, mikä seuraa siitä, että E ei toteuta kantalauseen 2.8 ehtoja. Kuten kanta, myös esikanta määrää topologian yksikäsitteisesti: 13

Lause 2.14 Olkoot T 1 ja T 2 joukon X topologioita. Olkoon lisäksi E näiden molempien topologioiden esikanta. Tällöin pätee T 1 = T 2. Todistus. Tämä seuraa melko välittömästi esikannan määritelmästä ja lauseesta 2.2. Minkälainen joukko sitten voi olla esikanta jollekin topologialle? Kantalauseessa 2.8 esitettiin kriteeri sille, milloin joukko voi olla kanta. Esikannalle saadaan myös tällainen kriteeri, ja merkittävää on, että tämä kriteeri on hyvin löysä ainakin verrattuna kantalauseen ehtoon. Tämä ehto on seuraavassa lauseessa. Sitä varten on ehkä syytä muistuttaa mieleen peitteen (yksinkertainen) määritelmä. Jos X on joukko, niin X:n peite on sellainen joukkoperhe {A α } α I P(X), jolle pätee α I A α = X. Lause 2.15 Olkoon X mielivaltainen joukko. Tällöin jokainen X:n peite on jonkin X:n topologian esikanta. Todistus. Olkoon {A α } α I joukon X peite. Määritellään joukkoperhe B P(X) asettamalla B = { A α K I ja K on äärellinen}. α K Tällöin väite seuraa esikannan määritelmästä, jos B on jonkin X:n topologian kanta. Tämä seuraa, jos B toteuttaa kantalauseen 2.8 ehdot B = X. (1) B B Jos B 1,B 2 B ja x B 1 B 2, niin on olemassa B x B siten, (2) että x B x B 1 B 2. Väitettä (1) varten huomataan ensin, että {A α } α I B eli että A α B kaikille α I. (3) Tämä johtuu siitä, että jos α 0 I on mielivaltainen, niin K := {α 0 } I on äärellinen ja A α0 i) = α K A α ii) B, missä yhtälö i) seuraa (triviaalisti) yhdisteen määritelmästä ja ehto ii) perheen B määritelmästä ja indeksijoukon K I äärellisyydestä. Ehdon (3) ja yhdisteen määritelmän nojalla pätee A α B. (4) α I Koska oletuksen mukaan {A α } α I on X:n peite, niin väite (1) seuraa ehdosta (4). B B 14

Väitettä (2) varten olkoot B 1,B 2 B ja x B 1 B 2. Perheen B määritelmän mukaan on olemassa äärelliset joukot K 1,K 2 I siten että B 1 = A α ja B 2 = A α. (5) α K 1 α K 2 Koska K 1 ja K 2 ovat äärellisiä, niin myös K 1 K 2 I on äärellinen, ja silloin perheen B määritelmän mukaan α K 1 K 2 A α B. (6) Ehdon (5) ja leikkauksen määritelmän mukaan pätee ilmeisesti α K 1 K 2 A α = B 1 B 2. Siten ehdon (6) perusteella B 1 B 2 B, ja silloin väitteessä (2) tarvittavaksi joukoksi B x käy B x = B 1 B 2. Lauseen 2.15 nojalla siis jokainen joukon X peite E on jonkin topologian T esikanta. Lauseen 2.14 nojalla tämä topologia T määräytyy esikannasta E yksikäsitteisesti. Tästä topologiasta T voidaan sanoa (yksikäsitteisyyden lisäksi) muutakin: Lause 2.16 Olkoon X jokin joukko ja E X:n peite sekä T se (yksikäsitteisesti määrätty) X:n topologia, jonka esikanta E on. Tällöin T on karkein sellainen X:n topologia, joka sisältää perheen E. Todistus. Olkoon B kuten lauseen 2.15 todistuksessa. Tässä todistuksessa nähtiin, että B on erään topologian kanta, ja yksikäsitteisyyden nojalla tämä topologia on nimenomaan T. Silloin B T. Lauseen 2.15 todistuksessa nähtiin myös, että E B, joten E T, eli ainakin T sisältää E:n. Pitää siis osoittaa, että T on karkein tällainen topologia. Olkoon sitä varten T toinen X:n topologia, jolle pätee E T. Väitteenä on, että T T. (1) Koska B on T :n kanta ja T on itsensä kanta, niin esimerkin 2.12 a) nojalla väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että B T. (2) Koska E T ja T topologiana sisältää alkioidensa äärelliset leikkaukset, niin väite (2) seuraa suoraan perheen B määritelmästä. 15

3 Jatkuva kuvaus Koska yleisissä topologisissa avaruuksissa ei ole metriikkaa, jatkuvan kuvauksen määritelmää ei voi asettaa ainakaan niin kuin tehtiin määritelmässä MA 4.1. Tämän sijasta käytetään lauseen MA 4.9 antamaa ekvivalenttia ehtoa: Määritelmä 3.1 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus sekä a A. Sanotaan, että f : (X, T X ) (Y, T Y ) on jatkuva pisteessä a, jos jokaiselle pisteen f(a) ympäristölle V T Y on olemassa pisteen a ympäristö U T X siten, että f(u) V. Sanotaan, että f on jatkuva (koko avaruudessa X), jos se on jatkuva jokaisessa X:n pisteessä. Huomautus. Tämä määritelmän 3.1 ehto on siis lauseen MA 4.9 ehto (2). Helposti nähdään, että tämä on ekvivalenttia kyseisen lauseen ehdolle (3), joka voitaisiin tietysti myös ottaa tässä jatkuvuuden määritelmäksi. Lauseen MA 4.9 ehdosta (1) ei voi tietysti tässä puhuakaan, koska metriikkaa ei ole. Lause MA 4.10 yleistyy heti: Lause 3.2 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus. Tällöin f on jatkuva jos ja vain jos jokaisen avoimen joukon alkukuva on avoin, ts. kaikille B T Y pätee f 1 (B) T X. Todistus. Kuten lause MA 4.10. Esimerkki 3.3 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y mielivaltainen kuvaus. Jos T X on diskreetti topologia, niin kaikki joukot ovat avoimia. Tällöin lauseen 3.2 nojalla f on jatkuva olipa se sitten millainen tahansa. Vastaavasti, jos T Y on minitopologia, niin Y :n avoimia joukkoja ovat vain ja Y. Näiden alkukuvat ovat ja X, jotka ovat aina avoimia. Siten lauseen 3.2 nojalla f on jatkuva. Lause MA 6.24 yleistyy myös: Lause 3.4 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus sekä a X. Tällöin f on jatkuva pisteessä a jos ja vain jos kaikille joukoille A X pätee ehto Todistus. Kuten lause MA 6.24. Lause MA 6.25 pätee myös yleisesti: jos a A, niin f(a) f(a). Lause 3.5 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia sekä f : X Y kuvaus. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä. f on jatkuva. Kaikille suljetuille joukoille B Y myös alkukuva f 1 (B) X on suljettu. Kaikille joukoille A X pätee f(a) f(a). 16

Todistus. Kuten lause MA 6.25. Seuraavat lauseet ovat myös metristen lauseiden yleistyksiä. Lause 3.6 Olkoot (X, T X ), (Y, T Y ) ja (Z, T Z ) metrisiä avaruuksia sekä f : X Y ja g : Y Z kuvauksia. Olkoon a X. Jos f : (X, T X ) (Y, T Y ) on jatkuva pisteessä a ja g : (Y, T Y ) (Z, T Z ) jatkuva pisteessä f(a), niin g f : (X, T X ) (Z, T Z ) on jatkuva pisteessä a. Todistus. Kuten lause MA 4.15. Lause 3.7 Olkoon (X, ) K-normiavaruus, joka on varustettu normin indusoimalla metriikalla d. Olkoon lisäksi (Y, T Y ) mielivaltainen topologinen avaruus ja a Y. Olkoot f,g : (Y, T Y ) (X,d) kuvauksia, jotka ovat jatkuvia pisteessä a. Tällöin myös summakuvaus f + g : (Y, T Y ) (X,d) on jatkuva pisteessä a. Todistus. Kuten lause MA 5.1. Lause 3.8 Olkoon (X, ) K-normiavaruus, joka on varustettu normin indusoimalla metriikalla d. Olkoon lisäksi (Y, T Y ) mielivaltainen metrinen avaruus, a Y ja d K:n itseisarvometriikka. Olkoot f : (Y, T Y ) (X,d) ja λ : (Y, T Y ) (K,d ) kuvauksia, jotka ovat jatkuvia pisteessä a. Tällöin myös kuvaus λf : (Y, T Y ) (X,d) on jatkuva pisteessä a. Todistus. Kuten lause MA 5.2. Seuraava lause onkin sitten aivan uutta tällaista ei metrisissä avaruuksissa ole esitetty. Toki tämä pätee sellaisenaan myös metrisessä topologiassa. Lause 3.9 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus. Tällöin f : (X, T X ) (Y, T Y ) on jatkuva jos ja vain jos topologialla T Y on esikanta E Y siten, että f 1 (A) T X kaikille A E Y. Todistus. Jos f on jatkuva, niin lauseen 3.2 nojalla vaadituksi esikannaksi E Y käy topologia T Y itse sehän on aina oma kantansa ja myös esikantansa. Olkoon E Y topologian T Y esikanta siten, että f 1 (A) T X kaikille A E Y. Pitää osoittaa, että f on jatkuva, mihin riittää lauseen 3.2 nojalla se, että jokaisen avoimen joukon alkukuva on avoin. Olkoon siis U T Y mielivaltainen. Pitää osoittaa, että f 1 (U) T X. (1) Esikannan E Y alkioiden äärelliset leikkaukset muodostavat määritelmän mukaan topologian T Y kannan ja toisaalta jokainen topologian alkio voidaan esittää kannan alkioiden yhdisteenä. Koska U T Y, niin on olemassa joukkoperhe {B α } α I siten, että U = B α, α I 17

ja toisaalta jokaiselle α I on olemassa äärellinen indeksijoukko K α ja joukkoperhe {A α k α } kα K α siten, että B α = k α K α A α k α ja A α k α E Y kaikille α ja k α. (2) Tällöin ( ) f 1 (U) = f 1 B α = f 1 (B α ) = (3) α I α I ( ) f 1 = f 1 (A α k α ). α I α I k α K α k α K α A α k α Koska ehdon (2) mukaan A α k α E Y kaikille α ja k α, niin oletuksen nojalla f 1 (A α k α ) T X kaikille α ja k α. (4) Koska K α on äärellinen, niin topologian määritelmän ja ehdon (4) nojalla k α K α f 1 (A α k α ) T X kaikille α. Tällöin topologian määritelmän mukaan myös f 1 (A α k α ) T X, α I k α K α joten väite (1) seuraa esityksestä (3). Lause 3.10 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f,g : (X, T X ) (Y, T Y ) jatkuvia kuvauksia. Oletetaan lisäksi, että (Y, T Y ) on Hausdorff-avaruus. Tällöin joukko B = {x X f(x) = g(x)} on suljettu avaruudessa (X, T X ). Todistus. Riittää osoittaa, että joukko X \ B eli A = {x X f(x) g(x)} on avoin. Olkoon tätä varten a A mielivaltainen. Riittää löytää joukko W siten, että W on a:n ympäristö ja W A. (1) Koska a A niin joukon A määritelmän mukaan f(a) g(a). Nämä ovat joukon Y pisteitä ja koska (Y, T Y ) on Hausdorff-avaruus, niin on olemassa avoimet joukot U, V Y siten, että f(a) U, g(a) V ja U V =. (2) 18

Koska U ja V ovat avoimia, niin f:n ja g:n jatkuvuuden sekä lauseen 3.2 nojalla joukot f 1 (U) ja g 1 (V ) ovat avoimia avaruudessa (X, T X ). Määritellään nyt W := f 1 (U) g 1 (V ), jolloin W on avoin kahden avoimen joukon leikkauksena. Koska f(a) U, niin a f 1 (U) ja vastaavasti a g 1 (V ), joten a W. Tällöin W on avoimena joukkona pisteen a ympäristö. Tällöin W toteuttaa ehdon (1) vaatimukset, jos osoitetaan, että W A. (3) Olkoon tätä varten x W mielivaltainen. Tällöin joukon W määritelmän perusteella f(x) U ja g(x) V. (4) Ehdon (2) mukaan U V =, jolloin ehdon (4) perusteella on oltava f(x) g(x). Tämä merkitsee sitä, että x A, joten väite (3) on todistettu. Huomautus. Lauseen 3.10 väite ei päde ilman oletusta siitä, että (Y, T Y ) on Hausdorff-avaruus. Tästä saa esimerkin kun T on R:n itseisarvotopologia ja määritellään kuvaukset f,g : (R, T ) (R, T mini ) asettamalla { 0 kun x > 0 f 0 ja g(x) = 1 kun x 0. Tällöin esimerkin 3.3 mukaan f ja g ovat jatkuvia, mutta joukko {x R f(x) = g(x)} = ]0, [ ei ole suljettu avaruudessa (R, T ). Jono topologisissa avaruuksissa määritellään kuten ennenkin: eihän jono sinällään ole topologinen tai metrinen käsite, vaan joukko-opillinen. Suppenemisen käsite on sitten toinen asia. Topologisissa avaruuksissa suppeneminen määritellään samoin kuin metrisessä tapauksessa: Määritelmä 3.11 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja (x n ) joukon X jono sekä a X. Sanotaan, että jono (x n ) suppenee tai konvergoi kohti pistettä a tai a on jonon (x n ) raja-arvo, jos jokaiselle a:n ympäristölle U on olemassa n 0 N siten, että x n U kaikille n n 0. Tällöin merkitään a = lim n x n. (1) Merkintä (1) voidaan kirjoittaa vaihtoehtoisesti myös muodossa a = lim x n, n x n a tai x n a. Myös jonon kasautumisarvo määritellään samoin kuin ennenkin: Määritelmä 3.12 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, a X ja (x n ) joukon X jono. Sanotaan, että a on jonon (x n ) kasautumisarvo, jos kaikille a:n ympäristöille U pätee x n U äärettömän monelle n N. 19

Huomautus 3.13 Toisin kuin metrisissä avaruuksissa (ks. lause MA 12.6) jonon raja-arvo ei ole välttämättä yksikäsitteinen. Tämän näkee helposti: minitopologiassa jokainen jono suppenee kohti jokaista pistettä. Tämä ambivalenssi tekee jonoista vähän huononlaisen apuneuvon topologisiin avaruuksiin. Lisäksi tästä aiheutuu kohtalaisen hankala merkintäongelma. Jos jonolla (x n ) on kaksi eri raja-arvoa x ja y, niin määritelmän 3.11 merkintäsopimuksien nojalla x = lim x n = y, vaikka x y. Eihän tässä kauheasti järkeä ole, mutta jotenkin näitä on merkittävä, ja yritetään nyt pärjätä tällä. Hausdorff-avaruuksissa huomautuksessa 3.13 maalailtua ikävää tilannetta ei kuitenkaan pääse syntymään. Tämän takaa seuraava lause. Lause 3.14 Hausdorff-avaruudessa jonon raja-arvo on yksikäsitteinen. Todistus. Kuten lause MA 12.6. Todistusta täytyy tosin hieman muuttaa: lause MA 3.12 ei ole nyt käytettävissä, mutta se voidaan korvata Hausdorff-avaruuden määritelmällä. Lause MA 12.14 yleistyy, mutta vain toiseen suuntaan: Lause 3.15 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia, a X ja f : X Y kuvaus. Jos f : (X, T X ) (Y, T Y ) on jatkuva pisteessä a niin seuraava ehto pätee. Jos (x n ) on joukon X jono siten, että x n a, niin f(x n ) f(a). (1) Todistus. Kuten lauseen MA 12.15 suunta. Huomautus 3.16 Lauseen MA 12.14 toinen suunta ei tosiaankaan päde yleisissä topologisissa avaruuksissa eli ehto (1) ei yleensä implikoi f:n jatkuvuutta pisteessä a. Miksei lauseen MA 12.14 toisen suunnan todistus sitten toimi yleisesti? Eihän siinä puhuta metriikasta mitään, mikä siis on vialla? Ensinnäkin siinä käytetään lausetta MA 6.24, mutta se ei ole ongelma, koska sen yleistys eli lause 3.4 pätee. Toiseksi käytetään lausetta MA 12.12, ja tämä on se ongelmakohta, sillä MA 12.12 ei päde toiseen suuntaan yleisesti. Siis sulkeuman pistettä ei välttämättä voi lähestyä jonolla joukon sisältä. Jos nyt a sattuu olemaan jonkin joukon A sulkeumassa tällainen piste, niin lauseen 3.15 ehto (1) ei sano pisteen a kuvautumisesta yhtään mitään, jolloin se voidaan kuvata mihin tahansa, esimerkiksi sulkeuman f(a) ulkopuolelle. Silloin lauseen 3.4 mukaan f ei ole jatkuva pisteessä a. Jätetään yksityiskohdat ja konkreettisen vastaesimerkin keksiminen bonustehtäväksi. Kuten lauseissa 3.2 ja 3.5 nähtiin, jatkuvassa kuvauksessa avoimen/suljetun joukon alkukuva on aina avoin/suljettu. Sama ei päde kuvajoukolle, tämähän todettiin jo huomautuksessa MA 4.11 ja lauseen MA 6.25 jälkeisessä huomautuksessa. Sellaisia kuvauksia, joille avoimen/suljetun joukon kuva on avoin/suljettu, on kuitenkin olemassa. Annetaan niille oikein oma nimi: 20

Määritelmä 3.17 Olkoot (X), T X ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f : (X, T X ) (Y, T Y ) on avoin, jos jokaisen avaruudessa (X, T X ) avoimen joukon A kuvajoukko f(a) on avoin avaruudessa (Y, T Y ). Vastaavasti sanotaan, että f on suljettu, jos jokaisen avaruudessa (X, T X ) suljetun joukon A kuvajoukko f(a) on suljettu avaruudessa (Y, T Y ). Esimerkki. Koska suljettu joukko on avoimen joukon komplementti, niin äkkiä ajatellen voisi luulla, että jos kuvaus on avoin, niin se on myös suljettu ja päin vastoin. Näin onkin bijektiolle, muttei yleensä. Tämä näkyy seuraavista esimerkeistä. Näissä X = Y = R ja T X = T Y on R:n itseisarvotopologia. Huomaa, että nämä kaikki esimerkkikuvaukset ovat jatkuvia. a) f : R R, f(x) = e x on avoin, mutta ei ole suljettu. b) f : R R, f(x) = x 2 on suljettu, mutta ei ole avoin. c) f : R R, f(x) = 1 1+ x ei ole avoin eikä suljettu. d) f : R R, f(x) = x on sekä avoin että suljettu. Homeomorfismi määritellään kuten metrisissä avaruuksissa: Määritelmä 3.18 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y bijektio, jolloin siis on olemassa käänteiskuvaus f 1 : Y X. Sanotaan, että f on homeomorfismi, jos sekä f : (X, T X ) (Y, T Y ) että f 1 : (Y, T Y ) (X, T X ) ovat jatkuvia. Jos on olemassa (jokin) homeomorfismi f : (X, T X ) (Y, T Y ), niin sanotaan, että topologiset avaruudet (X, T X ) ja (Y, T Y ) ovat homeomorfisia. Tällöin merkitään (X, T X ) (Y, T Y ) (tai lyhyesti X Y, jos on varma tieto siitä, mitä topologioita tarkoitetaan). Muussa tapauksessa (siis jos tällaista homeomorfismia ei ole olemassa) merkitään (X, T X ) (Y, T X ). Heti saadaan seuraava tulos. Lause 3.19 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y bijektio. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä. Todistus. Harjoitustehtävä. f on homeomorfismi. f on jatkuva ja avoin. f on jatkuva ja suljettu. Metristä homeomorfismia käsittelevät lauseet MA 9.4 9.9 yleistyvät kaikkiin topologisiin avaruuksiin. Kirjataan ne vielä muistiin yleisemmin muotoiltuina. Lause 3.20 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus. Tällöin f on homeomorfismi jos ja vain jos f on bijektio ja pätee f(t X ) = T Y. (1) 21

Todistus. Kuten lause MA 9.4. Lause 3.21 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y homeomorfismi. Tällöin pätee seuraavaa. a) Joukko U X on avoin avaruudessa (X, T X ) jos ja vain jos f(u) on avoin avaruudessa (Y, T Y ). b) Joukko U X on pisteen a X ympäristö avaruudessa (X, T X ) jos ja vain jos f(u) on pisteen f(a) ympäristö avaruudessa (Y, T Y ). c) Joukko V X on suljettu avaruudessa (X, T X ) jos ja vain jos f(v ) on suljettu avaruudessa (Y, T Y ). Todistus. Kuten lause MA 9.5. Lause 3.22 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia, A X ja f : X Y homeomorfismi. Tällöin Todistus. Kuten lause MA 9.6. a) f(a) = f(a), b) f(int(a)) = int(f(a)), c) f(ext(a)) = ext(f(a)) ja d) f( A) = f(a). Lause 3.23 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia, a A X ja f : X Y homeomorfismi. Tällöin a on joukon A erakkopiste jos ja vain jos f(a) on joukon f(a) erakkopiste. Todistus. Kuten lause MA 9.7. Lause 3.24 Olkoot (X, T X ), (Y, T Y ) ja (Z, T Z ) topologisia avaruuksia ja f : X Y homeomorfismi. Olkoon lisäksi g : Y Z jokin kuvaus. Tällöin g : (Y, T Y ) (Z, T Z ) on jatkuva jos ja vain jos g f : (X, T X ) (Z, T Z ) on jatkuva. Todistus. Kuten lause MA 9.8. Lause 3.25 Olkoot (X, T X ), (Y, T Y ) ja (Z, T Z ) topologisia avaruuksia ja f : X Y homeomorfismi. Olkoon lisäksi g : Z X jokin kuvaus. Tällöin g : (Z, T Z ) (X, T X ) on jatkuva jos ja vain jos f g : (Z, T Z ) (Y, T Y ) on jatkuva. Todistus. Kuten lause MA 9.9. Kuvauksen avoimuudelle saadaan seuraava, vähän määritelmää käyttökelpoisempi ehto. 22

Lause 3.26 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus. Olkoon B X topologian T X kanta ja oletetaan, että f(b) T Y kaikille B B X. Tällöin kuvaus f on avoin. Todistus. Olkoon U T X mielivaltainen. Avoimen kuvauksen määritelmän nojalla riittää osoittaa, että f(u) T Y. (1) Koska B X on topologian T X kanta, niin on olemassa joukkoperhe {B α } α I siten, että Oletuksen ja ehdon (3) nojalla pätee U = α I B α ja (2) B α B X kaikille α I. (3) f(b α ) T Y kaikille α I. (4) Tällöin saadaan ( ) f(u) = i) ii) f B α = f(b α ) iii) T Y, α I α I joten väite (1) pätee. Tässä yhtälö i) saadaan ehdosta (2), yhtälö ii) on alkeisjoukkooppia ja ehto iii) seuraa ehdosta (4), koska T Y on topologia. Jatkoa varten kirjataan tähän luvun loppuun vielä pari metristä tulosta. Näitä ei voi vielä yleisesti (eli yleisissä topologisissa avaruuksissa muotoiltuina) esittää, koska kompaktisuutta ei ole vielä edes määritelty muualla kuin metrisissä avaruuksissa. Toinen asia on sitten se, että pätevätkö nämä tulokset yleisesti. Tähän kysymykseen palataan vasta luvussa 15. Lause 3.27 Olkoot (X,d) ja (Y,d ) metrisiä avaruuksia ja oletetaan, että X on kompakti. Olkoon f : (X,d) (Y,d ) jatkuva kuvaus. Tällöin f on myös suljettu. Todistus. Olkoon A X suljettu avaruudessa (X,d). Pitää osoittaa, että f(a) on suljettu avaruudessa (Y,d ). Koska A on suljettu ja X kompakti, niin lauseen MA 15.5 nojalla A on kompakti. Koska f on jatkuva, niin tällöin lauseen MA 15.12 nojalla f(a) on kompakti. Väite seuraa silloin lauseesta MA 15.5.. Lause 3.28 Olkoot (X,d) ja (Y,d ) metrisiä avaruuksia ja oletetaan, että X on kompakti. Olkoon f : (X,d) (Y,d ) jatkuva bijektio. Tällöin f on homeomorfismi. Todistus. Väite seuraa lauseesta MA 15.18. 23

4 Kuvauksen indusoima topologia Lause 4.1 Olkoon X jokin epätyhjä joukko, (Y, T Y ) topologinen avaruus ja f : X Y mielivaltainen kuvaus. Tällöin joukkoperhe on X:n topologia. Todistus. Harjoitustehtävä. T X := {f 1 (V )} V TY Määritelmä 4.2 Olkoot X, (Y, T Y ) ja f kuten lauseessa 4.1. Sanotaan, että lauseen 4.1 topologia T X on kuvauksen f topologiasta T Y indusoima X:n topologia. Lause 4.3 Olkoon X epätyhjä joukko, (Y, T Y ) topologinen avaruus ja f : X Y kuvaus. Varustetaan X kuvauksen f topologiasta T Y indusoimalla topologialla T X. Tällöin kuvaus f : (X, T X ) (Y, T Y ) on jatkuva. Todistus. Tämä seuraa suoraan topologian T X määritelmästä ja lauseesta 3.2. Lause 4.4 Olkoon X epätyhjä joukko, (Y, T Y ) topologinen avaruus ja f : X Y kuvaus. Tällöin kuvauksen f topologiasta T Y indusoima topologia T X on karkein X:n topologia T, jolle kuvaus f : (X, T ) (Y, T Y ) on jatkuva. Todistus. Oletetaan, että T on X:n topologia siten, että kuvaus f : (X, T ) (Y, T Y ) on jatkuva. Lauseen 4.3 perusteella riittää osoittaa, että T X on karkeampi kuin T, eli että pätee T X T. Olkoon tätä varten U T X mielivaltainen. Riittää osoittaa, että U T. (1) Topologian T X määritelmän nojalla on olemassa V T Y siten, että U = f 1 (V ). (2) Koska V T Y ja f : (X, T ) (Y, T Y ) on oletuksen mukaan jatkuva, niin lauseen 3.2 nojalla f 1 (V ) T. Väite (1) seuraa tällöin esityksestä (2). Lause 4.5 Olkoon X epätyhjä joukko, (Y, T Y ) topologinen avaruus ja f : X Y bijektio. Varustetaan X kuvauksen f topologiasta T Y indusoimalla topologialla T X. Tällöin kuvaus f : (X, T X ) (Y, T Y ) on homeomorfismi. 24

Todistus. Lauseen 4.3 nojalla f on jatkuva, jolloin bijektiivisyysoletuksen ja lauseen 3.19 perusteella riittää osoittaa, että f on avoin. Olkoon siis U T X mielivaltainen. Riittää osoittaa, että f(u) T Y. (1) Koska U T X, niin topologian T X määritelmän nojalla on olemassa V T Y siten, että U = f 1 (V ). (2) Koska f on bijektio, niin f(f 1 (V )) = V T Y, joten väite (1) seuraa esityksestä (2). Seuraava lause kertoo kuvauksen indusoiman topologian tietynlaisesta transitiivisuudesta: jos g indusoi T :stä T :n ja f indusoi T :sta T :n, niin g f indusoi T :stä T :n. Lause 4.6 Olkoot X ja Y epätyhjiä joukkoja, (Z, T Z ) topologinen avaruus sekä f : X Y ja g : Y Z kuvauksia. Olkoon lisäksi T Y kuvauksen g : Y Z topologiasta T Z indusoima Y :n topologia, T 1 X kuvauksen f : X Y topologiasta T Y indusoima X:n topologia ja T 2 X kuvauksen g f : X Z topologiasta T Z indusoima X:n topologia. Tällöin pätee T 1 X = T 2 X. Todistus. Väite saadaan seuravasta ekvivalenssiketjusta. U T 2 X U = (g f) 1 (W) jollekin W T Z i) U = f 1 (g 1 (W)) jollekin W T Z U = f 1 (V ) jollekin V T Y U T 1 X. Nämä seuraavat suoraan määritelmästä 4.2 lukuunottamatta ekvivalenssia i), joka on alkeisjoukko-oppia. Jonkin kuvauksen indusoimassa topologiassa siis avoimia joukkoja ovat täsmälleen avointen joukkojen alkukuvat. Vastaava pätee suljetuille joukoille: Lause 4.7 Olkoon X epätyhjä joukko, (Y, T Y ) topologinen avaruus ja f : X Y kuvaus. Varustetaan X kuvauksen f topologiasta T Y indusoimalla topologialla T X. Tällöin joukko B X on suljettu avaruudessa (X, T X ) jos ja vain jos on olemassa avaruudessa (Y, T Y ) suljettu joukko C siten, että B = f 1 (C). Todistus. Jos B on suljettu, niin X \ B on avoin. Silloin on olemassa avoin A Y siten, että X \ B = f 1 (A). Koska A on avoin, niin C := Y \ A 25

on suljettu ja joten väite seuraa. f 1 (C) = f 1 (Y \ A) = X \ f 1 (A) = X \ (X \ B) = B, Väitteen tämä suunta seuraa lauseista 4.3 ja 3.2. Lause 4.8 Olkoon X epätyhjä joukko, (Y, T Y ) topologinen avaruus ja f : X Y kuvaus. Varustetaan X kuvauksen f topologiasta T Y indusoimalla topologialla T X. Tällöin kaikille A X pätee A = f 1 (f(a)). Todistus. Lauseen 1.11 mukaan sulkeuma f(a) on suljettu, joten lauseiden 3.5 ja 4.3 nojalla f 1 (f(a)) on suljettu. (1) Koska f(a) f(a), niin alkeisjoukko-opin perusteella A f 1 (f(a)) f 1 (f(a)). (2) Lauseen 1.12 sekä ehtojen (1) ja (2) nojalla pätee A f 1 (f(a)). Tällöin väite seuraa, jos osoitetaan, että f 1 (f(a)) A. (3) Lauseen 1.11 nojalla sulkeuma A on suljettu, jolloin lauseen 4.7 nojalla on olemassa suljettu B Y siten, että Tällöin väite (3) tulee muotoon ja tämähän seuraa, jos osoitetaan, että A = f 1 (B). f 1 (f(a)) f 1 (B), f(a) B. (4) Koska B on suljettu, niin lauseen 1.12 nojalla väite (4) seuraa, jos osoitetaan, että f(a) B. (5) Väite (5) puolestaan seuraa, jos osoitetaan, että A f 1 (B). Tässä ei ole enää mitään osoittamista, koska A A ja A = f 1 (B). 26