Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1
Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli. Todellisuudessa kaikki kappaleet koostuvat atomeista ja molekyyleistä, joiden sidokset ovat jousimaisen joustavia. Jäykän kappaleen liike voi olla etenemisliikettä, pyörimisliikettä paikallaan pysyvän pisteen ympäri tai näitä molempia liikkeitä yhdessä. Etenemisliike Pyörimisliike Yhdistetty liike
Pyörimisen kinematiikka Kiihtyvä pyörimisliike Ympyräliikkeen yhteydestä tutut kulmasuureet (kannattaa kerrata). ( t ) d dt d dt pyörimiskulma, yksikkö rad kulmanopeus, rad/s (usein kulmakiihtyvyys,rad/s kier/s, kier/min) Kun kulmakiihtyvyys α on vakio, muuttuvat kulma ja θ ja kulmanopeus ω aikana Δt = t f -t i seuraavasti: 1 f i it ( t ) t f f i i ( f i )
Esimerkki Vinyylilevysoittimen kierrosnopeus on 33⅓ kier/min. Tämä nopeus saavutetaan sekunnissa käynnistämisestä. Laske kulmakiihtyvyys. Kulmanopeus SI-yksiköissä: 33 kier min rad min 60 s kier 1 3 3.5 rad. s Oletetaan,että kulmakiihtyvyys on vakio. Silloin f i t 3. 5 rad s s 1. 75 rad s. s r rad
Kulmanopeuden ja kulmakiihtyvyyden suunnat Kiihtyvä Hidastuva Hidastuva Kiihtyvä vastapäiväinen vastapäiväinen myötäpäiväinen myötäpäiväinen Pyörimissuunta ilmaistaan kulmanopeuden ω etumerkillä. Pyöriminen nopeutuu, kun kulmakiihtyvyys α on saman merkkinen kuin kulmanopeus ja hidastuu päinvastaisessa tapauksessa. Huomaa, että pyörimisen myötä- ja vastapäiväisyys (kulmanopeuden ja kulmakiihtyvyyden etumerkit) riippuvat katsomissuunnasta.
The fan blade is speeding up. What are the signs of and? A. ω is positive and α is positive. B. ω is positive and α is negative. C. ω is negative and α is positive. D. ω is negative and α is negative.
Kappaleen pisteen nopeuden ja kiihtyvyyden komponentit Pyörimisliikkeessä olevan kappaleen jokainen piste P kiertää pyörimisakselia ympyrärataa pitkin. Etäisyys pyörimisakselista (r ) on vakio. Nopeudella on vain tangentin suuntainen komponetti. Kiihtyvyydellä on ympyräliikkeen takia radiaalikomponentti ja kulmakiihtyvyyden takia tangentiaalikomponentti. v v r t 0 r a a r t vt r r r
Pyöriminen massakeskipisteen ympäri Vapaana pyörivä kappale pyörii painopisteensä (CM) ympäri. Ajatellaan systeemiä, joka koostuu pisteissä (x i,y i ) olevista massa-alkioista m i. Sen painopisteen paikka saadaan laskemalla paikkakoordinaattien massalla painotetut keskiarvot: Kaavat on johdettu kirjan s. 345. Käy tutustumassa!
Yhtenäisen kappaleen massakeskipiste saadaan integroimalla. Esimerkki Tasa-aineisen (homogeenisen) tangon painopisteen paikka. x cm 1 1 dm x ( dx) M M L L 1 1 x L dx x L L 0 0 x 1 M M L dx x dm dx M L Pituustiheys Tasaaineinen
Pyörimisliikkeen energia Kiinteällä kappaleella on liikeenergiaa, koska kaikki sen hiukkaset liikkuvat. Pyörimisliikkeen liike-energia on summa yksittäisten massapisteiden liike-energioista K rot 1 m1v 1 1 m1r1 1 1 m v m r...... 1 ( i m r i i ) Pyörimisliikkeen liike-energia Määritellään kappaleen hitausmomentti I I m r m r m r 1 1... i i Riippuu pyörimisakselista! i Krot 1 I Vrt. Ekin 1 mv m I v
Jatkuva-aineisen kappaleen hitausmomentti saadaan integroimalla: I dm r ( dv ) r r = tiheys (massa tilavuusyksikössä) Esimerkki Lasketaan tangon hitausmomentti keskipisteen kautta kulkevan poikkiakselin suhteen L / M Iy r dm x dx L / L 1 I ML 1 dm dv Tangon poikkipinnan ala Adx dx M L dx
Kappaleiden hitausmomentteja Hitausmomentti riippuu siitä, mikä on pyörimisakseli ja miten massa M on jakautunut kappaleeseen. Akselin merkitys Massan jakautumisen merkitys
Steinerin sääntö Verrataan hitausmomentteja kahden samansuuntaisen akselin suhteen, joista toinen kulkee massakeskipisteen kautta ja toinen on siitä etäisyydellä d. Steinerin sääntö I I cm Md I I cm Md I dm x dm ( x' d) dm ( x' ) d dm d dm x' I d M 0 cm x vaihtaa merkkiä symmetrisesti
Esimerkki Lasketaan kuvan härvelin hitausmomentti sivua vastaan kohtisuoran, pisteen O kautta kukevan akselin suhteen. Oletetaan tangot kevyiksi palloihin verrattuna. I m r i i mb Ma mb Ma Ma mb Mikähän hitausmomentti mahtaa olla, jos akseli kulkeekin toisen punaisen pallon kautta? Tai viereisen kuvan tilanteessa?
Vääntömomentti Oletus: Voimat tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakselia vastaan. Oven kääntämiseen tarvitaan eri suuruinen voima riippuen työntämiskohdasta ja suunnasta Voiman vääntövaikutus riippuu kolmesta asiasta Voiman F suuruudesta Voiman vaikutuskohdan etäisyydestä kääntymisakselista Voiman suunnasta Voiman vääntömomentti rf sin Vääntömomnetti on voiman vastine pyörimisliikkeessä [] = Nm ( J )
Vääntömomentti on Vaikutuspisteen etäisyys akselista (r) voiman tangentiaalinen komponentti (Fsin) (Kuva a) Voima voiman vaikutussuoran kohtisuora etäisyys (d) pyörimisakselista (Kuva b) Vääntömomentti on suurimmillaan, kun voima on kohtisuorassa r:n suuntaa vastaan eli = 90. Silloin = Fr
Etenemisliikkeen ja pyörimisliikkeen dynaamisten suureiden analogia