DYNAMIIKKA II, LUENTO 4 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 4 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

LUENNON SISÄLTÖ Kertausta: jäykkä kappale, kulma-asema, Eulerin kulmat, kulmanopeus. Suhteellinen liike: Vektorin muutosnopeudet eri koordinaatistoissa. Suhteellisen liikkeen yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin nopeus ja kiihtyvyys. Jäykän kappaleen suhteellinen liike.

KERTAUS

KERTAUS: JÄYKKÄ KAPPALE Kappalekoordinaatisto (kuvassa akselit x, y ja z) on sidottu liikkuvaan kappaleeseen, joten sen kanta ei ole vakio (origo nk. mielivaltaisessa siirtopisteessä). Kappaleen yleinen siirtymä voidaan esittää suorittamalla sen (1) siirtopisteen translaatio ja (2) rotaatio siirtopisteen kautta kulkevan suoran ympäri. z Z C ρ CP y r C Y x P r = r C + ρ CP X

KERTAUS: JÄYKKÄ KAPPALE Kappalekoordinaatisto helpottaa kappaleeseen vaikuttavien voimien, kuten esimerkiksi ilmanvastuksen tai lentokoneen nosteen kuvaamista. Jatkossa myös huomataan: jäykän kappaleen liikeyhtälöiden käsittely helpottuu erittäin paljon oikein valitun kappalekoordinaatiston avulla. z Z C ρ CP y r C Y x P r = r C + ρ CP X

KERTAUS: KULMA-ASEMA Kulma-asema (ei ole vekori): 3 parametria: esim. kuvan ϕ, θ, Ψ Kulmanopeus (vektori): ω = ω(ϕ, θ, Ψ, ϕ, θ, Ψ) Kulmakiihtyvyys (vektori): α = α(ϕ, θ, Ψ, ϕ, θ, Ψ) (= ω) ϕ = phi θ = theta Ψ = psi ξ = xi η = eta ζ = zeta

KERTAUS: EULERIN KULMAT JA 1. ROTAATIO (PRESESSIO) Z, z Perusrotaatio Z-akselin ympäri: y cos ϕ sin ϕ 0 L(ϕ) Z = sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1 ϕ Apukoordinaatisto x y z (i j k -kanta): Y Käytetään apuna rotaatioiden konstruoimisessa. x ja y säilyvät xy-tasossa. X x i j k I = L(ϕ)Z J K

KERTAUS: EULERIN KULMAT JA 2. ROTAATIO (NUTAATIO) ζ θ η Perusrotaatio x -akselin ympäri: 1 0 0 L(θ) x = 0 cos θ sin θ 0 sin θ cos θ e ξ e η e ζ x, ξ = L(θ) x i j k Välikoordinaatisto ξηζ (e ξ e ηe ζ -kanta): Ajatellaan yleensä kiinnitetyksi tarkasteltavaan kappaleeseen. ζ-akseli yhtyy usein kappaleen symmetria-akseliin. Helpottaa usein liikkeen kuvaamista. I = L(θ) x L(ϕ) Z J K (huomaa, että L(θ) x tekee perusrotaation L(ϕ) Z :n kääntämässä koordinaatistossa.)

KERTAUS: EULERIN KULMAT JA 3. ROTAATIO (SPINNI) ζ, z y η Perusrotaatio ζ-akselin ympäri: cos Ψ sin Ψ 0 L(Ψ) ζ = sin Ψ cos Ψ 0 0 0 1 Ψ i j = L(Ψ) ζ k e ξ e η e ζ ξ x Kappalekoordinaatisto xyz (ijk-kanta): = L(Ψ) ζl(θ) x ajatellaan yleensä kiinnitetyksi tarkasteltavaan kappaleeseen. z-akseli yhtyy usein kappaleen symmetria-akseliin. välikoordinaatisto ei spinnaa, kappale spinnaa. i j k x- ja y-akselit pysyvät ξη-tasossa. I = L(Ψ) ζl(θ) x L(ϕ) Z J K

KERTAUS: EULERIN KULMAT JA KAIKKI ROTAATIOT ζ, z θ ϕ y Ψ x η Saatiin kokonaisuudessaan kappaleja inertiaalikoordinaatiston välinen yhteys: i I j = L(Ψ) ζl(θ) x L(ϕ) Z J k K Kertomalla matriisit auki, saadaan alla esitetty yhteys koordinaatistojen välille. ξ i cϕcψ cθsϕsψ cψsϕ cθcϕsψ sψsθ I j = cθcψsϕ cϕsψ cθcψcϕ sϕsψ cψsθ J k sϕsθ cϕsθ cθ K

KERTAUS: EULERIN KULMAT JA KULMANOPEUDET ζ,z Ψ θ φ y η φ Ψ θ ξ x Kappaleen kulmanopeus ω = ω( Ψ, θ, ϕ, Ψ, θ, ϕ) on puolestaan eri kannoissa: ω =( θ Φ + Ψ θ φ) +( θ φ Ψ θ φ) +( φ + Ψ θ) Inertiaali-k: ω =( θcφ + Ψsθsϕ)I ω = + θ ξ ( + φ θ η +( Ψ + φ θ) + ( ϕ ζ + Ψcθ)K Väli-k: ω = θe ω =( θ Ψ + φ θ Ψ) +( φ θ Ψ θ Ψ) +( φ θ + Ψ), ξ + ϕsθe η + ( Ψ + ϕcθ)e ζ Kappale-k: ω =( θcψ + ϕsθsψ)i + ( ϕsθcψ θsψ)j + ( ϕcθ + Ψ)k. Nämä esitykset saadaan kantavektoreiden välisiä yhteyksiä (edellä olleet L:t).

KERTAUS: ESIMERKKI Oheisen kuvan sauvaan kiinnitetty levy on nivelöity kitkattomasti pisteeseen O. Kappale pyörii symmetria-akselinsa ympäri vakiokulmanopeudella ω s ja pystyakselin ympäri vakiokulmanopeudella ω p. Esitä kappaleen kulmanopeus ja -kiihtyvyys Eulerin kulmiin liittyvässä välikoordinaatistossa ξηζ.

DYNAMIIKKA II: L4: JÄYKÄN KAPPALEEN KINEMATIIKKA Arttu Polojärvi

OPPIMISTAVOITTEET Tämän luennon jälkeen opiskelija: Ymmärtää kuinka saadaan johdettua yhteys toistensa suhteen liikkeessä olevista koordinaatistoista tehdyt havainnot muutosnopeuksista. Osaa ratkaista suhteellisen liikkeen kaavoja käyttäen aboluuttisen nopeuden ja kiihtyvyyden partikkelille, jonka nopeus ja kiihtyvyys tunnetaan liikkuvassa koordinaatistossa. Osaa soveltaa jäykän kappaleen suhteellisen liikkeen kaavoja ratkaistakseen jäykän kappaleen kulmanopeuden ja -kiihtyvyyden suhteellisiin havaintoihin perustuen.

SUHTEELLINEN LIIKE

SUHTEELLINEN LIIKE: INVARIANSSI Skalaarit: suuruus säilyy kaikissa kannoissa (esim. massa ei riipu kannasta). Skalaarin aikaderivaatta: ei myöskään riipu kannasta ( ) ( ) da da = (tässä ja jatkossa derivaatta (d/) A on havaitsijan ottama A jne.) A Vektorit: voidaan aina kirjoittaa missä tahansa kannassa ja sen suunta ja suuruus säilyvät vaikkakin komponentit muuttuvat aina valitun kannan mukaan a = a X I + a Y J + a Z K = a x i + a y j + a z k Vektorin aikaderivaatta: voi riippua kannasta (tarkemmin: niiden liikkeestä) ( ) ( ) da da A Huomaa: vektorin komponenttien kertoimet (a X, a x,...) ovat skalaareita. Suhteellinen näkemys: helpottaa usein monimutkaisten systeemien tarkastelua. B B

SUHTEELLINEN LIIKE: MUUTOSNOPEUDEN HAVAINNOT Suhteellisen liikkeen tarkastelu yhdistää eri koordinaatistoista tehdyt havainnot: saadaan myös relaatio suhteellisen ja absoluuttisen muutosnopeuden välille. Tarvittavat työkalut: vakiovektorin muutosnopeus ė = ω e, tulon derivointi ja vektorin ja skalaarin invarianssi koordinaatiston muuunnoksen suhteen. Huomaa tässä ensin oletettavan ainoastaan, että havaitsija ajattelee kantansa olevan vakio mjtta ei välttämättä inertiaalikanta (ei oteta vielä liikelakeihin kantaa).

SUHTEELLINEN LIIKE: MUUTOSNOPEUDEN HAVAINNOT Ongelma: muodosta yhteys vektorin a muutosnopeuden eri kannoista tehtyjen havaintojen ( ) ( ) da da ja A B välille. Tässä oletetaan A:n ja B:n kannat ovat liikkeessä toistensa suhteen (B:n kannan kulmanopeus Ω A:n kannan suhteen).

SUHTEELLINEN LIIKE: MUUTOSNOPEUDEN HAVAINNOT Kirjoitetaan tarkasteltava vektori a kahdessa kannassa IJK ja ijk a = a X I + a Y J + a Z K = a x i + a y j + a z k. Nyt A olettaa IJK-kantansa vakioksi ja derivoi edellistä esitystä ȧ = ȧ X I + ȧ Y J + ȧ Z K = ȧ x i + ȧ y j + ȧ z k + a x i + ay j + az k = ȧ xi + ȧ yj + ȧ zk + a x(ω i) + a y(ω j) + a z(ω k) = ȧ xi + ȧ yj + ȧ zk + ω (a xi + a yj + a zk) }{{}}{{} =(da/) B =ω a ( ) da = A ) + ω a ( da B Viimeisestä yhtälöstä saat myös havainnon (da/) B - vaikuttaako tulos järkevältä?

SUHTEELLINEN LIIKE: ABSOLUUTTINEN HAVAINTO A:n ollessa oikeasti inertaalikoordinaatisto, voidaan muutosnopeuden yhtälössä käyttää merkintöjä jossa ȧ = ( ) da A ȧ = ȧ r + ω a, ja ȧ r = ( ) da B ja alaindeksi r viittaa suhteelliseen havaintoon. Usein myös merkitään Ω suhteellisen havainnon koordinatiston kulmanopeudelle inertiaalikoordinaatiston suhteen.

SUHTEELLINEN LIIKE: YHTÄLÖT Suhteellisen liikkeen yhtälöt vastaavat seuraavaan ongelmaan: z Z ω C ρ y r C Y x r = r C + ρ P X Pisteen P paikka (paikkavektori ρ), nopeus ja kiihtyvyys mitataan liikkuvassa koordinaatistossa (akselit xyz, ijk-kanta). Tunnettakoon liikkuvan koordinaatiston origon paikka ja liike (paikkavektori r C, kulmanopeus ω) inertiaalikoordinaatistossa (akselit XY Z, IJK-kanta). Mitkä ovat pisteen P absoluuttisen nopeuden ja kiihtyvyyden esitykset?

SUHTEELLINEN LIIKE: YHTÄLÖT z Z ω ρ y x Y = + ρ X Derivoimalla edeltä esitystä r = r C + ρ saadaan (kannattaa johtaa ) XY Z ρ Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt Nopeus: Kiihtyvyys: v = ṙ C + ρ r + ω ρ a = r C + ρ r + ω ρ + ω (ω ρ) + 2ω ρ r (alaviite r viittaa suhteellisiin derivaattoihin)

SUHTEELLINEN LIIKE: YHTÄLÖIDEN JOHTO Nopeus: v = ṙ = d (r C + ρ) = ṙ Cx I + ṙ Cy J + ṙ Cz K + ρ x i + ρ y j + ρ z k + ρ x i + ρy j + ρz k = ṙ CxI + ṙ CyJ + ṙ CzK + ρ xi + ρ yj + ρ zk + ω (ρ xi + ρ yj + ρ zk) }{{}}{{}}{{} ṙ C ρ r ω ρ eli Kiihtyvyys: v = ṙ C + ρ r + ω ρ a = r = d (ṙ C + ρ r + ω ρ) = r C + ( ρ x i + ρ y j + ρ z k) + ( ρ x i + ρy j + ρz k) + ω (ρ x i + ρ y j + ρ z k) + }{{}}{{}}{{} = ρ r =ω ρ r = ω ρ ω ( ρ xi + ρ yj + ρ zk) + ω (ρ x i + ρy j + ρz k) }{{}}{{} =ω ρ r =ω (ω ρ) eli a = r C + ρ r + ω ρ + ω (ω ρ) + 2ω ρ r

SUHTEELLINEN LIIKE: TAPAUS JÄYKKÄ KAPPALE z Z ω ρ y Y x = + ρ X Eli siis jäykälle kappaleelle kappalekoordinaatistosta havainnoituna ρ CP = 0, koska kappaleen partikkeleiden C ja P etäisyys on vakio. Toisin sanoen ρ r = 0 jäykälle kappaleelle.

SUHTEELLINEN LIIKE: TAPAUS JÄYKKÄ KAPPALE z Z ω ρ y Y x = + ρ X Koska jäykälle kappaleelle kappalekoordinaatistossa ρ r = 0 Jäykän kappaleen partikkelin partikkelin nopeus ja kiihtyvyys asema: r = r C + ρ CP nopeus: v = ṙ C + ω ρ CP kiihtyvyys: a = r C + ω ρ CP + ω (ω ρ CP ),

SUHTEELLINEN LIIKE: ESIMERKKI Z R säteinen kiekko vierii XY -tasolla liukumatta siten, että sen keskipiste O etenee vakionopeudella v = vj. Mikä on tällöin kiekon kulmanopeus ω? Y O P ω v X

JÄYKÄN KAPPALEEN SUHTEELLINEN LIIKE

JÄYKÄN KAPPALEEN SUHTEELLINEN LIIKE: ONGELMA Oheisen kuvan mukainen laiva on aallokon vuoksi liikkeessä s.e. sen kulmanopeus on laivan xyz-kappalekoordinaatistossa ω x (vakio) x-akselin suhteen ja ω y (vakio) y-akselin suhteen. Tarkasteluhetkellä koordinaatistot xyz ja XY Z yhtyvät. Samaan aikan laivan tuulimittari pyörii kulmanopeudella ω (vakio) oman akselinsa ympäri. Mikä on tuulimittarin kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys kappalekoordinaatistossa?

JÄYKÄN KAPPALEEN SUHTEELLINEN LIIKE Dynamiikan ongelmia helpottamaan vastataan siis seuraavaan kysymykseen: Edellä olevan perusteella saadaan johdettua yhteydet kulmanopeuksien ja - kiihtyvyyksistä tehtyjen havaintojen välille yhteydet. Kuvassa: haetaan B kulmanopeutta ja -kiihtyvyyttä, kun A:n suhteellinen havainto niistä tiedetään ja A:n oman kannan vastaavat tunnetaan inertiaalikoordinaatistossa C. Kulmanopeus: Kulmakiihtyvyys: ω = Ω + ω r α = Λ + α r + Ω ω r Näissä yhtälöissä ω, α B:n kulmanopeus ja -kiihtyvyys (abs.) Ω, Λ A:n kannan kulmanopeus ja -kiihtyvyys (abs., Ω = Λ) ω r, α r A:n havainto B:n kulmanopeudesta ja -kiihtyvyydestä (suht.)

JÄYKÄN KAPPALEEN SUHTEELLINEN LIIKE Kuinka saadaan absoluuttinen kulmanopeus ja -kiihtyvyys (ω ja α), jos (1) niistä tehdyt suhteelliset havainnot (ω r ja α r ) ja (2) suhteellisen havainnon tekijän kannan kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Ω ja Λ) tunnetaan? Käytetään hyväksi edellä johdettuja yhtälöitä eri havaintojen välillä: ( ) ( ) da da = + Ω a (1) C A ( ) ( ) da da = + ω r a (2) A B ( ) ( ) da da = + ω a (3) C B ja ratkaistaan yhtälön (3) tuntematon absoluuttinen kulmanopeus ω. Tässä a on mielivaltainen vektori.

JÄYKÄN KAPPALEEN SUHTEELLINEN LIIKE Käytetään hyväksi edellä johdettuja yhtälöitä eri havaintojen välillä: ( ) ( ) da da = + Ω a (1) C A ( ) ( ) da da = + ω r a (2) A B ( ) ( ) da da = + ω a (3) C B ja ratkaistaan yhtälön (3) tuntematon absoluuttinen kulmanopeus ω. Tässä a on mielivaltainen vektori.

JÄYKÄN KAPPALEEN SUHTEELLINEN LIIKE Käytetään hyväksi edellä johdettuja yhtälöitä eri havaintojen välillä: ( ) ( ) da da = + Ω a (1) C A ( ) ( ) da da = + ω r a (2) A B ( ) ( ) da da = + ω a (3) C B ja ratkaistaan yhtälön (3) tuntematon absoluuttinen kulmanopeus ω. Tässä a on mielivaltainen vektori. Sijoita (da/) A yhtälöstä (2) yhtälöön (1) ja vähennä tulos yhtälöstä (3) (ω Ω ω r) a = 0, ja a mielivaltainen ω Ω ω r = 0 ω = Ω + ω r (4)

JÄYKÄN KAPPALEEN SUHTEELLINEN LIIKE Kulmakiihtyvyyden α:n ratkaisemiseksi derivoidaan ω = Ω + ω r ajan suhteen: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dω dω dωr dω dωr α = = + = + + Ω ω r. C C C Toinen = seuraa suhteellisen liikkeen kaavoista (sijoita yhtälöön (1) ω r a). Muutetaan merkinnät seuraavasti ( ) dω Λ = (= Ω) A:n koordinaatiston absoluuttinen kulmakiihtyvyys. C ( ) dωr α r = A:n havainto B:n kulmakiihtyvyydestä. A Ja saatiin haettu absoluuttinen kulmakiihtyvyys C α = Λ + α r + Ω ω r. A

JÄYKÄN KAPPALEEN SUHTEELLINEN LIIKE: ESIMERKKI Oheisen kuvan mukainen laiva on aallokon vuoksi liikkeessä s.e. sen kulmanopeus on laivan xyz-kappalekoordinaatistossa ω x (vakio) x-akselin suhteen ja ω y (vakio) y-akselin suhteen. Tarkasteluhetkellä koordinaatistot xyz ja XY Z yhtyvät. Samaan aikan laivan tuulimittari pyörii kulmanopeudella ω (vakio) oman akselinsa ympäri. Mikä on tuulimittarin kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys kappalekoordinaatistossa?

JÄYKÄN KAPPALEEN SUHTEELLINEN LIIKE: ESIMERKKI Kuvan xyz-koordinaatisto pyörii Z-akselin ympäri vakiokulmanopeudella ω p. Hyrrä pyörii samanaikaisesti x-akselin ympäri kulmanopeudella ω s = ω 0 sin ω 0 t (mitattuna xyz-koordinaatistossa), jossa ω 0 on vakio. Lisäksi hyrrän kallistuskulma α vakio. Määritä hyrrän kulmanopeus sekä kulmakiihtyvyys lausuttuina xyz-koordinaatiston kantavektoreiden i, j, k avulla. Käytä jäykän kappaleen suhteellisen liikkeen kaavoja. Jos vertaat tehtävän xyz-koordinaatistoa viime luennolla esitettyihin Eulerin kulmiin liittyviin koordinaatistoihin niin minkä niistä sen sanoisit olevan (apu-,väli- vai kappalekoordinatisto)?