4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a)
-mtriisin A determinntti esim. kehittämällä. srkkeen suhteen: det(a) + Huom. merkit. +....+
Yleisesti: Alideterminntti M ij : sdn poistmll lkuperäisestä determinntist i. rivi j j. srke. Alkion ij liittotekijä (cofctor): C ij (-) i+j M ij. n n-mtriisin A [ ij ] determinntti voidn lske kehittämällä se minkä thns rivin ti srkkeen suhteen. Kehittäminen rivin i suhteen: det(a) i C i + i C i + + in C in Kehittäminen srkkeen j suhteen: det(a) j C j + j C j + + nj C nj
4 Esimerkki 4.. Lsketn seurv determinntti ) kehittämällä. srkkeen suhteen [ ] [ ] ) ( ) ( ) ( +
b) kehittämällä. rivin suhteen [ ] [ ] [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( + + Kehittämiseen knntt vlit se rivi ti srke, joss on eniten nolli! Korkempisteiset determinntit plutetn peräkkäisillä kehittämisillä lempisteisiksi, lopult -determinnteiksi.
Erikoislskusääntö -determinnteille (Srrus-sääntö): 6 Kirjoit kksi ensimmäistä srkett viimeisen viereen. Summ kikkien kolmen päälävistäjän (ylävsemmlt loikelle) lkioiden tulot j vähennä kolmen vstkkissuuntisen lävistäjän (lvsemmlt yläoikelle) lkioiden tulot.
7 Esimerkki: ) ( ) ( ) ( ) ( + +
Determinntin perusominisuuksi j lskusääntöjä 8 Luse 4.. Olkoon A ( ij ) n n-mtriisi j c vkio. () Jos A:n yksi rivi ti srke kerrotn vkioll c, niin sdun mtriisin determinntti on c det(a). () det(ca) c n det(a). () Jos A:n kksi riviä vihdetn keskenään, niin sdun mtriisin determinntti on det(a). (4) det(a T ) det(a). () Jos A on kolmiomtriisi, niin det(a) lävistäjälkioiden tulo.
(6) Jos A j B ovt smnkokoisi neliömtriisej, niin det(ab) det(a) det(b). 9 (7) A:n srkkeet ovt linerisesti riippumttomt det(a). A:n srkkeet ovt linerisesti riippuvt det(a). Sm riveille. (8) Jos mtriisi muunnetn lisäämällä jokin rivi toiseen kerrottun vkioll c, niin sen determinntti ei muutu. Sm srkkeille.
Esimerkki 4.. ) ( )
b) c) 6 8 8 7 9 lävistäjälkioiden tulo, kosk kolmiomtriisi.
Lineristen yhtälöryhmien rtkisu Crmerin säännöllä Jos n:n yhtälön j n:n tuntemttomn yhtälöryhmän n x x x + K+ + K + M + K + n n nn x x x n n n b b b n eli Ax b kerroinmtriisin determinntti D det(a), A:n rivit (j srkkeet) ovt linerisesti riippumttomt
rnk(a) n ryhmällä on yksikäsitteinen rtkisu. Rtkisu on D D x, x, K, x n D D D n D missä D j on determinntti, jok sdn D:stä korvmll j:s srke vektorill b. Crmerin sääntö on työläämpi rtkisu-menetelmä kuin Gussin eliminointi, sillä on lähinnä teoreettist merkitystä!
4 Esimerkki 4.. Rtkise Crmerin säännöllä yhtälöryhmä ) x + x 4x + x
b) x x x x x x 4 x + x
6 Käänteismtriisi Trkstelln neliömtriisej. Olkoon A n n-mtriisi. A:n käänteismtriisi A - on mtriisi jolle pätee AA - A - A I () Jos mtriisill A on käänteismtriisi, snotn, että A on epäsingulrinen ti säännöllinen. Jos mtriisill A ei ole käänteismtriisi, snotn, että A on singulrinen. Jos rnk A n, eli A:n srkkeet (j rivit) ovt linerisesti riippumttomt, snotn että A on täysisteinen.
7 Luse 4.. ts. A on epäsingulrinen eli säännöllinen jos j vin jos rnk A n eli A on täysisteinen A:ll on käänteismtriisi rnk A n det A.
8 Luse 4.. Olkoot mtriisit koko n n. () Käänteismtriisi on yksikäsitteinen () Jos A epäsingulrinen, niin (A - ) - A () (AB) - B - A - (4) Jos rnk A n j AB AC, niin B C. () Jos rnk A n j AB, niin B. (6) Jos A on singulrinen, niin myös AB j BA ovt singulrisi.
9 Seurus: Jos rnk A n j AB I, niin B A -. Jos rnk A n j BA I, niin B A -. Esim. jos AB I, niin kertomll oikelt A:ll, sdn ABA A AI, joten edellisen luseen kohdst (4) seur, että myös BA I. Siis tulon lskeminen toisin päin riittää osoittmn B:n käänteismtriisiksi.
Käänteismtriisin lskusääntöjä Käänteismtriisin lskeminen Gussin-Jordnin eliminoinnill Luse 4.4. Jos [A I] ~ [I K], niin K A -. Perustelu: Käänteismtriisi X A - lsketn rtkisemll yhtälöryhmät AX I, jotk voidn kirjoitt srkkeittin Ax i e i i,,n missä x i on käänteismtriisin i:s srke j e i i:s kntvektori eli yksikkömtriisin i:s srke (i:s lkio, muut nolli).
Gussin eliminoinniss käsitellään ljennettu mtriisi [A e i ]. Kosk Gussin eliminoinnin riviopertiot ovt smt kikille tällisille yhtälöryhmille i,,n, ne voidn rtkist simultnisesti : Kirjoitetn kikki oiken puolen vektorit rinnkkin: e e n (muodostuu yksikkömtriisi). Kolmiomuodon sijst redusointi jtketn yksikkömtriisiksi, jolloin rtkisut x,,x n eli käänteismtriisin srkkeet voidn luke suorn oikelt puolelt.
Oletetn, että A on epäsingulrinen. GAUSS-JORDAN-ELIMINOINTI.Redusoi ljennettu mtriisi [A I] muotoon [U H], missä U on yläkolmiomtriisi.. Kerro rivit sellisill vkioill, että lävistäjälkiot. Eliminoi päälävistäjän yläpuoliset lkiot nolliksi, viimeisestä srkkeest lken tksepäin. Redusoitu mtriisi on tällöin muoto [I K], missä käänteismtriisi voidn luke oikelt: A - K. Ei trvitse sovelt systemttisesti, kunhn lkeisriviopertioiden vull päädytään muotoon [I K].
Esimerkki 4.4. A 4 [A I] R R R R 4 ~ R R R ) (
4 ~ R R R R + + ~ R R ~ 7
A - 7 Trkistus!
6 Käänteismtriisin lskeminen liittotekijöiden vull eli djungtin vull: Crmerin sääntö Alkion ij liittotekijä on C ij (-) i+j M ij, missä M ij on determinntti jok sdn poistmll lkuperäisestä determinntist i. rivi j j. srke. Käänteismtriisi determinnttien vull: det( A) A - [ C ] ij T det( A) C C M C n C C C M n L L O L C C C n n M nn Mtriisi A dj [C ij ] T on A:n djungtti (ti djungoitu mtriisi)
7 Esim. -mtriisin käänteismtriisi: A b c d A - det( A) d b c d bc d b c Työläs suurille mtriiseille!
8 Esimerkki 4.4. det A 4 C 4 C C 4 C 7 4 C C 4 C C C
9 A - T 7 7
Käänteismtriisin muit ominisuuksi Jos A on epäsingulrinen neliömtriisi, niin yhtälöryhmän Ax b rtkisu on x A - b Mtriisin kääntäminen on lskennllisesti työläämpää kuin yhtälöryhmän rtkiseminen Gussin eliminoinnill! Jos A on epäsingulrinen, niin det(a - ) det( A)
Olkoon A n n-digonlimtriisi, merk. A dig(,,, nn ) nn M O M M L L A on epäsingulrinen jos j vin jos kikki ii. Silloin A - dig(/, /,, / nn ) nn / / / M O M M L L