Aikasarjatutkimuksia Valkeakosken kaupunki-ilman hajurikkipitoisuuksista

Aikasarjaukimuksia Valkeakosken kaupunki-ilman hajurikkipioisuuksisa Tampereen yliopiso Informaaioieeiden iedekuna VÄISÄNEN, JAANI Pro gradu -ukielma Tilasoiede Lokakuu 004

TAMPEREEN YLIOPISTO Informaaioieeiden iedekuna/tilasoieeen laios VÄISÄNEN, JAANI. Aikasarjaukimuksia Vakeakosken kaupunkiilman hajurikkipiopisuuksisa Tilasoieeen pro gradu ukielma, s. + 9 liies. Tilasoiede Lokakuu 004 Avainsana: saasepioisuus, auokorrelaaio, inervenioanalyysi, vekoriauoregressiivise malli Kaupunkien saaseongelma ova akuueja Suomessakin. Asuuskeskuksia ja aajamia lähellä oleva ehaa vähenävä asukkaiden viihyvyyä ja voiva luoda vakavia erveysriskejä iäkkäille ja huonokunoisille. Tämän ukielman arkoiuksena on ukia ilman hajurikkipioisuuksia Valkeakosken keskusassa vuosila 990-00. Tukimuksessa myöskin käyeään hyväksi ieoja ilman rikkdioksidipioisuuksisa. Em. pioisuuksien lisäksi saaavilla ova myöskin iedo vallisevisa sääolosuheisa kyseiselä ajala. Tukimus voidaan jakaa pääpiireissään komeen osaan. Ensimmäisessä osassa(luku 4) käyeään regressioanalyysin eoriaa hyväksi osoieaessa hajurikkipioisuuksien vaihelua vuorokaudenajan mukaan. Toinen osa perusuu pääasiassa aikasarjojen käyöön ja arkaselee hajurikkipioisuuksien ja MILOS säähavainoasemala saaujen lämpöilamiausen risikorrelaaiofunkioia. Kolmas osa(luku 3) osoiaa edellä ehyjen ympärisönsuojeluinvesoinien vaikuukse inervenioanalyysin avulla. Neljännessä osassa(luvu 5 ja 7) hajurikkiyhdiseille ja rikkidioksidille muodoseaan vekoriauoregressiivise malli ja osoieaan molempien sarjojen suhde oisiinsa. Samalla myös odeaan, eä vaikka sarjojen välillä näyääkin vallisevan iey relaaio, eivä sarja ole yheisinegroiuneia.

. JOHDANTO...5. AINEISTO...5.. RIKKIVETY...6.. RIKKIDIOKSIDI...7.3. AINEISTON TAUSTAA...7.4. TECO MITTAUS...8.5. OPSIS MITTAUS...8.6. MILOS SÄÄHAVAINTOASEMA...9 3. AIKASARJA-ANALYYSIN PERUSKÄSITTEITÄ...9 3.. AIKASARJA...9 3.. STATIONAARISUUS...0 3.3. AUTOKORRELAATIO JA OSITTAISAUTOKORRELAATIO... 3.4. VALKOINEN KOHINA...4 3.5. VIIVEOPERAATTORIT...5 4. VUOROKAUDENAJAN VAIKUTUS HAJURIKKIPITOISUUKSIIN...6 4.. GRAAFISET TARKASTELUT...6 4.. VUOROKAUDENAJAN TARKASTELUA DUMMYMUUTTUJIEN AVULLA...8 5. ARMA(P,Q) MALLIN ESITTELY...4 5.. AR(P) -PROSESSI...4 5.. AR(P) PROSESSIN STATIONAARISUUSEHDOT...6 5.3. MA(Q) PROSESSI...7 5.4. MA(Q) PROSESSIN KÄÄNNETTÄVYYSEHDOT...8 5.5. ARMA(P,Q) PROSESSI...9 6. ARMA(P,Q) MALLIEN OMINAISUUDET...30 6.. AR(P) MALLIN ACF...30 6.. AR(P) PROSESSIN PACF...3 6.3. MA(Q) PROSESSIN ACF...3 6.4. MA(Q) PROSESSIN PACF...33 6.5. ARMA(P,Q) PROSESSIN AFC:STÄ JA PAFC:STÄ...34 7. EPÄSTATIONAARISET AIKASARJAT...35 7.. ARIMA MALLIT...35 7.. KAUSIMALLIT...36 8. BOXIN JA JENKINSIN MENETELMÄ...37 8.. IDENTIFIOINNISTA...37 8... Oosauokorrelaaiofunkio...38 8... Pormaneau esi...38 8..3. Käännepiseesi...39 8..4. Merkkiesi...39 8..5. Järjesysesi...40 8.. SARMA MALLIN IDENTIFIOINNISTA...4 8.3. ESTIMOINNISTA...4 8.4. MALLIN DIAGNOSTISISTA TARKASTELUISTA...4 9. YKSIKKÖJUURIEN TESTAUS...43 9.. DICKEY-FULLER TESTAUS...44 9.. LAAJENNETTU DICKEY-FULLER TESTAUS...45 0. HETEROSKEDASTISUUDEN SALLIVAT MALLIT...46 0.. ARCH PROSESSI...47 0.. GARCH PROSESSI...49 3

0.3. HETEROSKEDASTISUUDEN IDENTIFIOINNISTA...49. MONIULOTTEISET AIKASARJAT...5. STATIONAARISUUS...5.3. MONIULOTTEINEN AIKASARJA JA VALKOINEN KOHINA...54.4. -ULOTTEISEN AIKASARJAN RIIPPUMATTOMUUDEN TESTAUS...54.4.. Risikorrelaaioesimaaien keskivirhee...54.4.. Esivalkaisu...56.4.3. Tesaus...56. LÄMPÖTILAN VAIKUTUS TRS:ÄÄN...57.. ELOKUU 99...58... Lämpö, elokuu 99...59... TRS elokuu 99...64.3. LOPUT KUUKAUDET...68 3. INTERVENTIOANALYYSI...69 3.. INTERVENTIOANALYYSIN TEORIA...70 3.. INTERVENTIOIDEN TUTKIMINEN TRS SARJASSA...7 3... Säerin suunnala ullee pääsö...7 3... UPM:n suunnala ullee pääsö...76 4. VEKTORIAUTOREGRESSIIVISET MALLIT...79 4.. VAR MALLIYHTÄLÖT...79 4.. ESTIMOINNISTA...8 4.3. IDENTIFIOINNISTA...83 4.4. IMPULSSIVASTEFUNKTIO...85 4.5. VARIANSSIN DEKOMPONOINTI...87 4.6. GRANGER KAUSAALISUUS...90 4.7. VIIVEITTEN LUKUMÄÄRÄ...9 5. SO:N JA TRS:N YHTEISVAIKUTUKSET...9 5.. SÄTERIN SUUNNALTA TULEVAT PÄÄSTÖT...9 5... Viivepiuuden määriäminen...93 5... Innovaaioiden laskena...98 5..3. Granger kausaalisuus...0 5.. UPM:N SUUNNALTA TULEVAT PÄÄSTÖT...0 5... Viivepiuuden määrääminen...0 5... Innovaaioiden laskena...06 5..3. Granger kausaalisuus...09 6. YHTEISINTEGROITUVUUS...0 6.. YHTEISINTEGROITUVUUDEN MÄÄRITELMÄ...0 6.. VIRHEENKORJAUS... 6.3. YHTEISINTEGROITUVUUDEN TESTAUS...3 7. TRS:N JA SO:N YHTEISINTEGROITUVUUS...5 7.. SÄTERIN TUULISEKTORI...6 7.. UPM:N TUULISEKTORI...7 8. LOPPUSANAT...9 9. LÄHDELUETTELO... LIITE. TIETOKONEKOODIT...3 4

. Johdano Tiedo Valkeakosken keskusan saasepääsöisä on keräy pisekohaisesi TECO-miarilla(hajurikkiyhdisee) ja opisesi OPSIS laieella(rikkidioksidi). Säähavainoasema MILOS on keränny iedo sääolosuheisa. Valkeakosken ekee mielenkiinoiseksi ukimuspaikaksi se, eä siellä on suheellisen lähellä keskusaa pääsöjä uoavia ehaia, joka sijaiseva eri puolilla miausasemia. Tämän vuoksi pääsöjä ukiaessa on kiinnieävä eriyisä huomioa uulen suunaan, eli minkä ehaan vaikuuspiirisä ulevia pääsöjä miaaan. Pääsöjen läheiä ova Kemira Fibersin ehdas, UPM-Kymmenen ehaa sekä Säerin kaaopaikka. Tämä on ensimmäinen kera, kun kyseessä olevasa aineisosa ehdään laajamiaisa ukimusa. Valkeakoskela ja sen ympärisösä on aiemmin keräy saasepioisuuksia, mua meneelmä ja saasekomponeni ova ollee erilaise(herrmann, R. ja Hübner, D. 984), sekä ukimuksen jälkeen UPM - Kymmenen ehailla on apahunu joiain merkiäviä ilmansuojeluinvesoineja. Merkiävimpinä väkevien hajukaasujen polo on aloieu vuoden 990 pääsiäisen jälkeen, vuonna 995 laimeimmisa kaasuseoksisa poiseiin väkevimmä ja lisäiin poloon mukaan ja vuonna 000 väkevien hajukaasujakeiden polo siirreiin soodakailaan asenneuun erilliseen polimeen.. Aineiso Tukimuksessa ullaan käsielemään rikkiveyä(h S), joka muodosaa 70-80% pelkiseyisä, haisevisa, rikkiyhdiseisä, joihin kuuluva lisäksi meyylimerkapaani (CH 3 -SH), dimeyylisulfidi (CH 3 - S - CH 3 ), 5

dimeyylidisulfidi ((CH 3 ) - S ), rikkihiili (CS ) ja karbonyylisulfidi (COS). Lisäksi ukiaan rikkidioksidin(so ) ja rikkivedyn välisiä suheia... Rikkivey Rikkivey on värön kaasu, joka liukenee moniin neseisiin, mm. veeen ja alkoholiin. Vaikka suurin osa ilmakehän rikkivedysä on luonnollisa alkuperää, aiheuaa eollisuminen vahvasi pääsöjä urbaaneilla alueilla. Rikkivedyn pääasiallinen reii kehoon kulkee hengiyselimien kaua. Vaikka rikkivedyn arkkaa imeyymisprosenia keuhkoissa ei iedeäkään, on se asianunijoiden mielesä luulavasi hyvinkin suuri. Ensimmäisiä merkkejä alisumisesa rikkivedylle on sen epämiellyävä uoksu. On kuienkin huomaava, eä pelkä hajuhaia eivä ole vielä erveydelle vaarallisia. Vaikka ieeellisin meneelmin ei voida määriää arkkaa pioisuua, jossa haju alkaa unua, on ukiu, eä puolen unnin annosus, joka yliää 7 µg/m 3, on aiheuanu reakioia alisuneiden joukossa Taulukossa.. on WHO.:n arjoama annosus-vaikuus suhee rikkivedylle. Taulukko.. H S pioisuus(µg/m 3 ) Vaikuus 5-30 Silmien ärsyynminen 70-40 Vakava silmävamma 0-350 Hajuaisin meneys 450-750 Keuhkojen urvous, hengenvaara 750-400 Hengiyksen kiihyminen, hengiyshalvaus 400-800 Väliön pyöryminen, hengiyseiden halvaus Informaaioa pikäaikaisesa alisumisesa rikkivedylle on niukali. 8 suomalaisa puunjalosusehaan yönekijää, joka oliva alisunee rikkivedylle(<30 µg/m 3 ) verraiin 8 ei alisuneeseen. Tuloksisa kävi ilmi, eä alisunee koehenkilö osoiiva alenunua keskiymiskykyä, oisuvaa 6

päänsärkyä ja levoomuua kuin ei-alisunee koehenkilö. Tulokse eivä kuienkaan ollee ilasollisesi merkiävä.(who Air Qualiy Guidelines 000.).. Rikkidioksidi Kuen rikkivey, myös rikkidioksidi on väriön ja helposi veeen liukeneva kaasu. Rikkidioksidia esiinyy luonnossa runsaasi esim. ulivuoren läheisyydessä. Teollisuneilla alueilla kuienkin suurimma pääsö ova ihmisen aiheuamia. Erioen kiineisöjen lämmiys hiilen avulla aiheuaa runsaia rikkidioksidipioisuuksia ilmassa. Samoin kuin rikkivedyn apauksessa, kulkeuuu rikkidioksidi ihmisen elimisöön lähes ainoasaan hengiysilman kaua. Rikkidioksidin pikäaikaisia vaikuuksia ei ole ukiu muuen kuin koe-eläimillä, jolloin on havaiu, eä yli 8.6 µg/m 3 :n pikäaikainen annosus vahingoiaa ilmaeien epieeliä. Ihmisillä samoja oireia havaiaan kroonisa keuhkopukenulehdusa sairasavilla henkilöillä. Lyhyaikaisia vaikuuksia on esau ihmisillä laboraorioolosuheissa. Näissä kokeissa on havaiu, eä joku yksilö(eriyisesi asmaaiko) ova huomaavasi enemmän resisenssejä rikkidioksidille kuin oise. Kuienkin myös heillä keuhkojen oimina heikkenee 0 minuuin alisumisen aikana noin 000 µg/m 3 suuruisilla pääsöillä. Fyysisen sressin on odeu voivan alenaa ää kynnysä. Oiree rikkidioksidille alisuneelle uleva hyvin nopeasi. Näiä voiva lyhyellä alisumisella(<4 h) olla erilaise hengiyseien ongelma kuen hengenahdisus ja vinkuna hengieäessä.(who Air Qualiy Guidelines 000.).3. Aineison ausaa Aineison kerääjänä on oiminu Alpo Päällysaho. Hän on miannu ilman saasepioisuuksia Valkeakoskella vuosina 990-00. Saasepioisuuksia on miau kahdella eri meneelmällä: pisekohaisesi TECO- miarilla Valkeakosken erveyskeskuksen kaola noin kahdeksan meriä kauasosa, sekä OPSIS-laieella, joka perusuu ns. DOAS- meneelmään(differeniaalinen opinen absorpiospekroskopia). 7

.4. TECO miaus Valkeakosken TECO miari sijaisee Valkeakosken erveyskeskuksen kaolla noin kahdeksan merin korkeudella kauasosa. Miaus on pisekohainen, eli siinä ei miaa saasepioisuuksia milään ieylä alueela, vaan vain yhdesä piseesä, mikä äyyy oaa huomioon johopääöksiä ehäessä. TECO-miarin ulokse perusuva UV-fluoresenssiin. Näyeilmasa poiseaan rikkidioksidi ja hajurikkiyhdisee(pelkisey rikkiyhdisee) poleaan konvererissa, jolloin synyy rikkioksidia, jonka määrä miaaan. Tämä rikkidioksidi muunneaan ekvivaleniksi määräksi rikkiveyä, merkiään rs..5. OPSIS miaus DOAS-meneelmä on hieman monimukaisempi prosessi kuin edellinen TECO miaus. OPSIS laie koosuu kolmesa eri osasa: valonläheesä, vasaanoimesa ja analyysiyksikösä. Valonläheenä DOAS syseemeissä oimii 75, 50 ai 300 wain ksenonlamppu. Täsä valonläheesä keskieään parabolisen peilin avulla kapea valonsäde, joka makaa ilman halki muuamasa sadasa merisä muuamaan kilomeriin. Vasaanoimessa valonsäde kaapaaan jälleen peilien avulla ja syöeään valokaapelia pikin analyysiyksikköön. Analyysiyksikkö pysyy ny Beer- Lamberin lain mukaan valon eri aallonpiuuksia hyväksikäyäen laskemaan ieyjen kaasujen määrän valonsäeen reiilä. Valkeakosken OPSIS laie miaa seuraava yhdisee: rikkidioksidi(so ), rikkihiili(cs ), karbonyylisulfidi(cos), yppidioksidi(no ), yppioksidi(no), osooni(o 3 ), benseeni(c 6 H 6 ) ja olueeni(c 7 H 8 ). Laieella on Valkeakoskella kaksi linjaa, joisa Linja (vesiornierveyskeskus) on 387m. ja Linja (erveyskeskus-allinmäki) on 303m. Molemmila linjoila kukin yhdise miaaan n. keraa unnissa puolen minuuin ajan.(opsis User s Manual.) 8

.6. MILOS säähavainoasema Kolmas ukimuksessa käyeävä miausasema on MILOSsäähavainoasema, jonka avulla miaaan uulen suuna, nopeus, lämpöila ja ilmanpaine. Kaikkien miauslaieiden vuorokauden- ja kellonaja synkronoidaan keskenään, joen ulokse, joia saadaan unnin välein, ova yhäpiäviä oisensa kanssa. 3. Aikasarja-analyysin peruskäsieiä Seuraavassa kappaleessa käsiellään pääpiireiäin joiain aikasarja-analyysin peruskäsieiä lähien siiä, miä aikasarjalla oikeasaan arkoieaan, ja käydään läpi joiain peruslaskuoimiuksia. Tarkoius on perehdyää lukija niihin aikasarja-analyysin peruskäsieisiin, joihin ullaan myöhemmin viiaamaan, kun aihepiiriä laajenneaan. 3.. Aikasarja Aikasarja on joukko ieyjä peräkkäisiä havainoja y, joisa jokainen on havaiu jonakin ieynä ajanhekenä. Aikasarja voi olla joko diskreei ai jakuva. Diskreeissä aikasarjassa, joia ässä ukielmassa käsiellään, ajanheke muodosava diskreein sarjan, useimmien ieyillä aikaväleillä. Jakuvassa aikasarjassa aas havainno ova saau jakuvasi ieyllä aikavälillä T 0 =[, ]. Aikasarjamalli havainnoille y on apa ilmaisa sarja saunnaismuuujia Y, jonka yksi realisaaio y on. Aikasarjan siis ajaellaan synyneen ieyn saunnaisprosessin Y uloksena. On huomioiava, eä aikasarjan jokainen havaino on saunnaismuuuja, joen jokaisella havainnolla on oma odennäköisyysjakaumansa. Kun havaiulle aikasarjalle on esimoiu yydyävä aikasarjamalli, voidaan ää mallia käyää joko pelkäsään sarjan kompakiin kuvaamiseen ai ulevien havainojen ennusamiseen. (Brockwell & Davis s. -, 6.) 9

Tapahumia voidaan ennusaa aikasarjan sisäisä riippuvuua hyväksi käyäen. Jos esimerkiksi miaaan valion väkilukua ieyllä aikavälillä, on selvää, eä edellisen vuosien väkiluku vaikuaa lähiulevaisuueen sijoiuviin ennuseisiin. 3.. Saionaarisuus Aikasarjaa, jonka keskimääräinen aso ja varianssi pysyvä samana, sanoaan saionaariseksi. Saionaarisuus on joissain apauksissa helppo havaia aikasarjan kuvaajasa. Kuviossa 3.a ja 3.b ova kuvaaja sekä saionaarisesa eä epäsaionaarisesa aikasarjasa. Kuvio 3.a 0.0 0.5.0.5.0 0 50 00 50 00 Kuvio 3.b 0 3 0 50 00 50 00 Kuvioisa on helppo huomaa, kuinka jälkimmäisen aikasarjan varianssi kasvaa, kun <75, samalla, kun sarjan aso nousee. 0

3.3. Auokorrelaaio ja osiaisauokorrelaaio Karkeasi oaen aikasarjan {y } sanoaan olevan saionaarinen, jos sen ilasollise ominaisuude ova sama kuin sarjan {y +h }, h 0. Saionaarisuudessa keskiyään kuienkin vain {y }:n ensimmäisiin ja oisiin momeneihin. Näisä saadaan seuraava määrielmä aikasarjan keskiarvo- ja kovarianssifunkioille.(brockwell & Davis, 4-5.) Määrielmä 3.. Olkoon {y } aikasarja, jolle E ( ) < Tällöin {y }:n keskiarvofunkio on µ () = E( ) y y ja {y }:n kovarianssifunkio on γ ( r, s) = Cov( y, y ) = E y µ ( r) y [( )( y () s )] y r s r y s µ y Kaikille kokonaisluvuille r ja s. Saionaarisuuden määrielmä 3.. seuraa edellä mainiuja määrielmiä käyämällä seuraavasi(kendall & Ord, 5): Määrielmä 3.. {y } on (heikosi) saionaarinen jos y () µ on riippumaon :sä ja γ y ( + h, ) on riippumaon :sä kaikilla h.

Aikasarja on vahvasi saionaarinen, kun havainojen y y +h yheisjakauma on riippumaon :sä kaikilla n 0. Kovarianssifunkiolla arkoieaan yleensä auokovarianssifunkioa, eli aikasarjan {y } kovarianssia aikasiirreyyn aikasarjaan {y +h }. Auokovarianssifunkiosa saadaan määrielmän 3.3. mukaan auokorrelaaiofunkio.(kendall & Ord, 5.) Määrielmä 3.3. Olkoon {y } saionaarinen aikasarja. Tällöin {y }:n auokovarianssifunkio viiveellä h on γ y ( h ) = Cov( y, y ) + h Ja {Y }: auokorrelaaiofunkio viiveellä h on γ y ρ y ( h) = Cor( y+ h, y ) = γ y ( h) ( 0) Auokorrelaaion lisäksi sarjalle voidaan määriää myös osiaisauokorrelaaiofunkio. Osiaisauokorrelaaiofunkio eliminoi arvojen y ja y -h välissä olevien havainojen vaikuuksen. Osiaisauokorrelaaiofunkio määriellään seuraavasi(enders, 8):

Määrielmä 3.4. Olkoon {y } saionaarinen aikasarja. Tällöin {y }:n osiaisauokorrelaaofunkio viiveellä h on φ = ρ φ ρ ρ = ρ h ρh φh, i ρhi φ hh = i= h h=3,4,5, φ ρ i= h, i i,missä φ φ φ i=,,3, hi = h, i hhφh, hi Ooksesa laskeu esimaai keskiarvolle, auokovariansille, auokorrelaaiolle sekä osiaisauokorrelaaiolle laskeaan seuraavasi(wei, 7-8, -3): Määrielmä 3.5a. Olkoon {y } saionaarinen aikasarja. Tällöin ooksesa laskeu esimaai{y }:n keskiarvolle on y = n n y i i= Määrielmä 3.5b. Olkoon {y } saionaarinen aikasarja. Tällöin ooksesa laskeu esimaai {y }:n auokovarianssille viiveellä h on ˆ γ h = n h n i= ( y y)( y y) i i+ h 3

Määrielmä 3.5c. Olkoon {y }saionaarinen aikasarja. Tällöin ooksesa laskeu esimaai {y }:n auokorrelaaiolle viiveellä h on ˆ ρ h ˆ γ nh i h i= = = n ˆ0 γ ( y y)( y y) ( yi y) i= i+ h Määrielmä 3.5d. Olkoon {y } saionaarinen aikasarja. Tällöin ooksesa laskeu esimaai {y }:n osiaisauokorrelaaiolle viiveellä h on ˆ φ = ρ ˆ φ ˆ ˆ ρ h+ i= h+, h+ = h h i= ˆ φ ˆ φ hi hi ˆ ρ ˆ ρ h+ i ˆ φ ˆ ˆ ˆ j=,...,h h+, j = φhi φh+, h+ φ h, h+ i i Auo- ja osiaisauokorrelaaiofunkioia kusuaan yleisesi nimillä ACF(AuoCorrelaion Funcion) ja PACF(Parial AuoCorrelaion Funcion). 3.4. Valkoinen kohina Enien käyey saionaarinen prosessi on Valkoinen Kohina(Whie Noise). Siinä {y } on sarja korreloimaomia saunnaismuuujia, joiden keskiarvo on nolla ja varianssi σ, joka kumpikaan eivä riipu ajanhekesä, joen on helppo odea valkoisen kohinan olevan vähinään heikosi saionaarinen. (HUOMAUTUS. 4

Vahvaa saionaarisuua arviaan aikasarjoja mallinneaessa hyvin vähän. Tässä ukielmassa saionaarisuudella arkoieaan vasedes heikkoa saionaarisuua, ellei oisin mainia). Valkoisa kohinaa merkiään seuraavasi(brockwell & Davis s. 5): {y } ~ WN(0, σ ) Toinen yleisesi käyössä oleva saionaarinen prosessi on IID(Independen and Idenically Disribued) kohina. Siinä {y } on joukko riippumaomia ja samoin jakauuneia saunnaislukuja, joilla on keskiarvo nolla. Koska arvo ova samoin jakauuneia, on niillä äärellinen ajasa riippumaon varianssi. Näiden ominaisuuksien peruseella IID kohina on vahvasi saionaarinen prosessi, joa merkiään(brockwell & Davis s. 5-6) {y } ~ IID(0, σ ) 3.5. Viiveoperaaori Eräs enien käyey muunnos aikasarjalle on viiveoperaaori B(Backshif operaor, joskus myös L(Lag)). Viiveoperaaori ilmaisee havainnon olevan viiväsey, eli jos arkasellaan havainoa ajanhekellä, on yhdellä viiväsey havaino aikasarjan realisaaio ajanhekellä -. B operaaorin avulla saadaan oinen eriäin käyökelpoinen operaaori, joa kusuaan differenssioperaaoriksi. Differenssioperaaori arkoiaa, eä ämänhekisesä havainnosa vähenneään viiväsey havaino. Seuraavassa muodollise määrielmä edellä esieylle(brockwell & Davis, 8 Hamilon, 6). 5

Määrielmä 3.6. Olkoon {y } aikasarja, jolloin viiveellä differoiu aikasarja on missä y = y y By = y ( B) y =, B j y Operaaorien ja B poenssi määriellään normaalisi, eli j j = y ja y = ( y ),missä j ja 0 y = y.esimerkiksi j ( y ) = ( B)( B) y = ( B ) y = ( B + B ) = y y = y + y y = y By + B Edellä määrieyä differoinia käyeään myöhemmin Box-Jenkins mallien yheydessä yksikköjuurien ja kausikomponenien poisoon. y. 4. Vuorokaudenajan vaikuus hajurikkipioisuuksiin Seuraavassa kappaleessa arkasellaan eri vuorokaudenaikoja, ja niiden mahdollisa vaikuusa ilman haiseviin rikkiyhdiseisiin. Tarkoiuksena on ehdä perusellu analyysi hypoeesille, jonka mukaan ilman hajurikkipioisuus odellakin vaihelee eri vuorokaudenaikoina. 4.. Graafise arkaselu Joa saadaan jonkinlainen yleiskäsiys siiä, kuinka hajurikki- eli TRS pioisuude(toal Redusable Sulfur, ukimuksissa aikasarja {rs}) käyäyyvä suheessa vuorokaudenaikaan, aloieaan ukiminen graafisilla arkaseluilla. 6

Vuorokaudenaikaa ukiaan sien, eä vuorokausi jaeaan neljään kahdeksan unnin miaiseen osaan seuraavassa kuvaulla avalla. Yö: klo 00:00-07:00, Aamu: 08:00-:00, Päivä: :00-7:00, Ila: 8:00-3:00. Havainno ova uniaineisosa laskeuja kuukausikeskiarvoja. Tarkasellaan ensin vuorokaudenaikoja ja rs-pioisuuksia. Kuviossa 4.. ova aikasarja kaikila vuorokaudenajoila koko arkaselujakson ajala. Kuvio 4. rs.ila 0 4 6 8 0 rs.päivä rs.aamu 0 4 6 8 0 0 4 6 8 0 rs.yö 0 4 6 8 990 99 994 996 998 000 00 Time Toisaiseksi kuviosa on vaikea ehdä valideja pääelmiä, sillä ero ova selkeäsi piene. Tukiaan edelleen graafisesi viiksilaaikkokuvion avulla(kuvio 4.). 7

Kuvio 4. 0 4 6 8 0 4 Yö Aamu Päivä Ila Viiksilaaikkokuviosa arkemmin mm. Iversen & Gergen s.8. Kuvio 4.. on ehy R:n boxplo() funkiolla, jossa viiksien piuus on maksimissaan,5 keraa laaikon piuus. Näin äärimmäise arvo saadaan paremmin esille. Ny saadaan hieman parempi käsiys daan muodosa. Kuviosa näyäisi, eä pääsö olisiva suurimmillaan yöllä sekä illalla ja alhaisimmillaan päivällä. Jokaisena vuorokaudenaikana havaiu äärimmäise arvo hankaloiava hieman ulkinaa. Vaikka ny ollaan saau hieman suunaa siihen, kuinka vuorokaudenaika vaikuaa rs -pääsöihin, ei niihin ilasollisesi voi sanoa vielä miään. Tähän palaaan seuraavassa kappaleessa, jossa arkasellaan pioisuuksien muuumisa ilasollisin meneelmin. 4.. Vuorokaudenajan arkaselua dummymuuujien avulla Graafisen arkaselujen valossa oleeiin siis, eä rs pioisuude olisiva suurimmillaan yöllä ja alhaisimmillaan päivällä. Seuraavassa ukiaan asiaa arkemmin regressioanalyysillä käyäen apuna dummymuuujia. 8

Käyeään hyväksi lineaarisa regressioa, jossa selieävänä muuujana on ilman rs pioisuus. Normaali lineaarisen regression yhälömuoo on Y=Xβ+ε, missä Y on vekori, jossa ova selieävän muuujan arvo, β on vekori, jossa ova regressiokeroime, X on mariisi, jossa ova selieävien muuujien arvo ja ε on vekori, jonka alkio ova saunnaisvirheiä Regressioanalyysin keroime saadaan normaalisi mariisiyhälösä β=(x X) - *X Y (4.), missä β on vekori, jossa ova regressiokeroime β 0, β n, X on havainomariisi, jossa on yksikkövekori ja seliävä muuuja ja Y on vekori, jossa on selieävä havainno. Tällöin regressioyhälö on muooa:(weherill, 8-9.) y = ˆ β + ˆ β x + ˆ β x ˆ 0 +... + ˆ β n x n Hau paramerien päällä arkoiava niiden olevan eoreeisen paramerien esimaaeja, joka ova harhaomia(punanen, 46-47). Jos haluaan, eei yhälössä ole vakiokerroina β 0, jäeään X:sä yksikkövekori pois(pedhazur, 68-70). Jäännöermin ε oleeaan olevan siis korreloimaon, nollakeskiarvoinen ja vakiovarianssinen saunnaismuuuja. Todellisuudessa ε edusaa joukkoa laeneja muuujia, joia ei regressiomalliin ole oeu mukaan(tiao(ed),57). Tässä apauksessa kuienkin edellinen huomio jäeään huomioa, ja kohdellaan ε:ä, kuen määrielmä sanoo. Kun dummymuuujia käyeään pelkäsään ryhmien välisen erojen selviämiseen, ei välämää arvia erillisiä seliäviä muuujia. (4.):sä huomaaan, eä jos selieävää muuujaa selieään pelkällä vakiolla(eli vekori X=), on regressiokeroimen arvo selieävän keskiarvo. Dummymuuujia käyeäessä muodosuu mariisi X jälleen yksikkövekorisa, mua ny seliävinä 9

muuujina ova lisäksi ieyyn ryhmään kuuluminen sien eä muuuja saa arvon, jos se kuuluu ryhmään ja arvon 0, jos näin ei ole. Mariisissa X on siis ryhmien määrä=n sarakea. Kun sarakkee ova sien, eä (X + +X n )=, saadaan kuienkin, eä mariisi (X X) on singulaarinen, eikä sien käänneävissä. Rakaisuna ähän löydeään, eä anneaan X:n yksikkövekori jollekin seliävisä muuujisa, jolloin X:sä häviää yksi sarake ja (X X) on käänneävissä(pedhazur, 76-77). Tässä nimenomaisessa ongelmassa dummymuuujia käyeään saamaan ieoa eri seliävien muuujakaegorioiden(vuorokaudenaika) vaikuusa selieävään muuujaan(rs). Luokiellaan siis eri vuorokaudenajoille muuuja seuraavasi: Dy=yö, Da=aamu, Dp=päivä ja Di=ila. Muuujille anneaan arvo seuraavasi: Dy= aina, Da=, kun miaus on apahunu aamulla, muulloin 0, Dp ja Di samoin. Tarkoiuksena on, eä pideään yöllä miauja arvoja eräänlaisena referenssipiseenä, joihin muia arvoja verraaan. Eli kun miaukse ova apahunee yöllä, regressioyhälönä on yˆ = ˆ β, kun aas miaukse ova apahunee aamulla, regressioyhälönä on ˆ = ˆ β + ˆ β, jossa ˆβ on yöllä miaujen arvojen vaikuus ja regressioyhälö näyäisi seuraavala: 4. seuraavala: βˆ 0 y 0 0 aamulla miaujen arvojen vaikuus. Päivällä yˆ = ˆ β + ˆ β. Aineiso siis näyää aulukossa 0 Taulukko 4. N rs Dy Da Dp Di 5.660 0 0 0 5.3 0 0 0 3 4.983 0 0 0...... 44.883 0 0 0 45 7.30 0 0 46 6.646 0 0 88.73 0 0 89 6.43 0 0 90 6.00 0 0 43.645 0 0 433 7.656 0 0 434 6.48 0 0 574 3.056 0 0 575 3.058 0 0 576 3.060 0 0 0

Näin nähdään, kuinka regressiomalliksi ulee rs=dy+da+dp+di+ε Selväsi, kun n=(,44), ei {rs}:ään kohdisu muiden vuorokaudeaikojen vaikuusia kuin yöllä miau arvo. Kun aas n=(45,88), {rs}:ään kohdisuu yöllä miaujen arvojen lisäksi aamulla miau arvo. Seuraavassa aulukossa 4. kyseisen regressiomallin ulosukse SAS ohjelmalla laskeuna(bowerman s. 50). Taulukossa on myös mukana parameri P, P ja P3. Nämä kuvaava pääsöjen eroja silloin, kun refrenssiajankohina käyeyjä yöhavainoja ei ole verraavissa(esim. aamun ja päivän ero). Taulukko 4. Parameri Esimaai Keskivirhe T-arvo P-arvo Vakio 3.73 0.76.9 <0.000 Dy 0.000... Da -0.6 0.49 -.46 0.04 Dp -.0 0.49-4.46 <0.000 Di -0.444 0.49 -.78 0.0753 P -0.498 0.49 -.00 0.0460 P 0.69 0.49 0.68 0.4990 P3 0.667 0.49.68 0.0077 Paramerejä lueaan seuraavasi: Vakio: Yön keskiarvo=µ yö Da: µ aamu -µ yö Dp: µ päivä -µ yö Di: µ ila -µ yö P: µ päivä -µ aamu P: µ ila -µ aamu P3: µ ila -µ päivä

Koska Dy=, ei sille ole laskeu esimaaia ulosukseen. Tämän voi jäää huomioa. SAS:in ulosus ei laske luoamusvälejä paramereille, mua ne ova laskeavissa 95:lle prosenille seuraavalla kaavalla(bowerman, 494): ˆ β ± ( n np) * s..( ˆ β ) 0.05 e, missä n=havainojen kukumäärä, np=paramerien määrä ja.e.( βˆ ) s = βˆ :n keskivirhe Parameriesimaaeja voidaan ukia seuraavasi: Vakio=3.73=yöllä miaujen pääsöjen keskiarvo. P arvo H 0 : β=0:lle, on sen verran pieni, eä parameri on merkisevä 99% merkisevyysasolla. Paramerin 95% luoamusväli on [3.38635, 4.0776850]. Da=-0.6=aamun ja yön pääsöjen erous. Esimaai on negaiivinen, joen voidaan pääellä, eä aamulla on noin 0.6 yksikköä pienemmä pääsö kuin yöllä. P arvo on 0.04, joen H 0 :n voi hylää 95% riskiasolla, joen parameri on merkisevä. Paramerin 95% luoamusväli on [-.0066, -0.934]. Dp=-.0=päivän ja yön pääsöjen erous. Esimaai on negaiivinen, joen voidaan pääellä, eä päivällä on noin.0 yksikköä pienemmä pääsö kuin yöllä. P arvo on <0.000, joen H 0 :n voi hylää 99% riskiasolla, joen parameri on merkisevä. Paramerin 95% luoamusväli on [-.599066, -0.60934]. Di=-0.444=illan ja yön pääsöjen erous. Esimaai on negaiivinen, joen voidaan pääellä, eä illalla on noin 0.444 yksikköä pienemmä pääsö kuin yöllä. P arvo on 0.0753, joen H 0 :n voi hylää 90% riskiasolla, joen parameri on merkisevä. Paramerin 95% luoamusväli on [-0.933066, 0.0450659]. Jo näisä luvuisa saadaan käsiys, eä pääsö ova odella suurimmillaan öiseen aikaan, ja eä illalla pääsö ova oiseksi suurimpia. Ise asiassa on huomaava, eä illan 95% luoamusväli kipuaa posiiiviselle puolelle, joen

ähän luoamusväliin kuuluu myös se mahdollisuus, eä pääsö olisiva illalla kovempia kuin yöllä. Tarkasellaan kuienkin esimaaeja P, P ja P3, josko ne oisiva lisävalaisusa/varmuua pääelyihin. P=-0.498=päivän ja aamun pääsöjen erous. Esimaai on negaiivinen, joen voidaan pääellä, eä päivällä on noin 0.498 yksikköä pienemmä pääsö kuin aamulla. P arvo on 0.0460, joen H 0 :n voi hylää 95% riskiasolla, joen parameri on merkisevä. Paramerin 95% luoamusväli on [-0.987066, - 0.008934]. P=0.69=illan ja aamun pääsöjen erous. Esimaai on posiiivinen, joen voidaan pääellä, eä illalla on noin 0.69 yksikköä pienemmä pääsö kuin aamulla. P arvo on kuienkin 0.4990, joen H 0 jää ässä apauksessa voimaan. P3=0.667=illan ja päivän pääsöjen erous. Esimaai on posiiivinen, joen voidaan pääellä, eä illalla on noin 0.667 yksikköä suuremma pääsö kuin päivällä. P arvo on 0.0077, joen H 0 :n voi hylää 99% riskiasolla. Paramerin 95% luoamusväli on [0.77934,.560660]. Edellä pääeliin, eä yöllä olisi kaikkein suurimma pääsö. Jos arkasellaan neljän ensimmäisen esimaain suuruuksia, voidaan pääellä seuraavanlainen järjesys suurimmasa pienimpään: Yö-Ila-Aamu-Päivä. Taulukosa 4. saadaan esimaai eri vuorokaudenaikojen keskiarvoille seuraavasi. Taulukko 4. µ yö =3.73 µ aamu =Da+ µ yö = -0.6+3.73=3. µ päivä =Dp+ µ yö = -.0+3.73=.6 µ ila =Di+ µ yö = -0.444+3.73=3.9 3

Kuviossa 4.3 on kuvau graafinen esiys rs pioisuuksien keskiarvoille vuorokaudenaikojen mukaan. Kuvio 4.3 4.5 4.0 3.5 3.0.5.0 0 00 00 300 400 Yö=-00 Aamu=0-00 Päivä=0-300 Ila=30-400 5. ARMA(p,q) mallin esiely Tässä kappaleessa uusuaan hieman arkemmin aikasarja-analyysin peruspilareihin, ARMA(p,q) malleihin, joia usein kusuaan myös Box-Jenkins - malleiksi. Ensin arkasellaan pelkkää auoregressiiviä AR(p) mallia, minkä jälkeen uusuaan liukuvan keskiarvon MA(q) malleihin ja lopuksi yhdiseään nämä malli. Tarkoiuksena on käydä läpi mallien muodosuminen ja välämäömä käänneävyys- ja saionaarisuusehdo mallien oeuumiselle. 5.. AR(p) -prosessi Oleeaan, eä meillä on saionaarinen aikasraja {y }. Auoregressivise prosessi ja niiden ennusamiskyky perusuu ns. aikasarjan pikään muisiin, eli prosessia mallinneaan sen menneillä havainnoilla. Kirjoieaan {y } auoregressiivisessä muodossa, missä {y }:ä kuvaaan sen menneillä arvoilla ja saunnaisvirheellä: y = π y + π y +... + u ( ) ( ) 4

, missä ~ WN( 0, σ ) ja u + π i < Box ja Jenkins sanova prosessia, jonka voi kirjoiaa edellisessä muodossa, käänneäväksi(inverible). Heidän mielesään prosessi, joka ei ole käänneävä, on merkiykseön ennusamisen kannala(box & Jenkins, 5). Kun mallia rajoieaan sien, eä paramereja on äärellinen määrä p, saadaan p:nnen aseen auoregressiivinen prosessi(wei,. 4.) Määrielmä 5.. {Y }:ä sanoaan p:nnen aseen auoregressiiviseksi prosessiksi, AR(p), jos y = φ 0 + φ y +... + φ y + u (5.) ( ) p ( p),missä ~ WN( 0, σ ) u ja φ 0,...,φ p ova vakioia. AR(p) prosessi voidaan esiää myös muodoissa(mukailu Box & Jenkins, 9): p ( φ B... φ p B ) y = φ0 + u ja φ ( B ) y = φ 0 + u missä B on kappaleessa 3 määriely viiveoperaaori ja p ( φ B... φ p B ) = φ( B) mallin karakerisinen polynomi. Mikäli sarja on keskisey, on φ 0 = 0, ja (5.) voidaan kirjoiaa seuraavasi(box & Jenkins, 9, Hamilon, 53): 5

y φ y +... + φ y + u = ( ) ( p) ( p) p ( φ B... φ p B ) y = u (5.3) 5.. AR(p) prosessin saionaarisuusehdo Aivan kappaleen alussa oesimme, eä prosessin oleeaan olevan saionaarinen. Tarkasellaan seuraavanlaisa apahumaa. Olkoon (5.3) p ( φ B... φ p B ) y = u, josa y = u (5.4) p ( φ B...φ B ) p Edellä mainiu on mielekäs vain, jos yhälöllä φ z p... φ z p = 0 ei ole rakaisuja yksikköympyrällä kompleksiasossa. Kun merkiään p φ B... φ p B = φ( B) ( ) 0, edellisesä saadaan φ. Yksinkeraisimmassa AR() apauksessa eho olisi siis, eä φ. Tilaneen näin ollessa y = y0 + u, y = y + u = y0 + u + u ( y = y0 + u +... + u ). Koska u~wn(0,σ ), on ( y ) E( y ) + ( 0 +... + ) E( y ) E = = (=vakio). 0 0 ( y ) = Var( y ) + ( σ + + σ ) Var 0... = σ 0 joka riippuu ajan hekesä, joen edellä määriely saionaarisuuseho ei enää päde. Edellisen kappaleen mukaan AR(p) prosessi on käänneävä. Juuri kuienkin nähiin, eä käänneävä prosessi eivä välämää ole saionaarisia. Joa AR(p) -prosessi olisi saionaarinen, äyyy se Woldin mukaan olla kirjoieavissa seuraavassa MA( ) muodossa: 6

y = φ ( B) u = θ ( B), missä i= θ i 0 < ( B) = 0 Edellisen oeuumisen ehona on, eä mallin karakerisisen yhälön φ juurien(kompleksisen ai reaalisen) ulisi löyyä yksikköympyrän ulkopuolela, joa AR(p) prosessi olisi saionaarinen.(wei, 6, 3-33, Box & Jenkins, 53-54.) 5.3. MA(q) prosessi Kun AR(p) prosessin sanoiin noudaavan aikasarjan ns. pikää muisia, MA(q) prosessi puolesaann noudaaa lyhyä muisia. Kun AR(p) mallissa uusia havainoja mallinneaan menneillä havainnoilla, MA(q) mallissa niiä mallinneaan menneillä saunnaisvirheillä seuraavasi: y = ψ 0 + u + ψ u + ψ +, missä ~ WN( 0, σ ) ja u ψ i < ( ) u( )... Ny rajoieaan aas mallia sien, eä mallissa on q parameria, jolloin aikasarjan {Y } sanoaan noudaavan q:nnen aseen liukuvan keskiarvon, MA(q), mallia. Mallia voidaan rajoiaa pelkän q: rajallisen arvon(hamilon, 50) lisäksi sien eä ψ = (Wei, 46). Tässä käyeään jälkimmäisä apaa, jolloin q:nnen aseen i θ i liukuvan keskiarvon prosessille saadaan määrielmä(kendall & Ord, 63): 7

Määrielmä 5. {Y }:ä sanoaan q:nnen aseen liukuvan keskiarvon prosessiksi, MA(q),jos y = θ θ... θ 0 u u u (5.5) ( ) q ( q) u ja θ 0... θ q ova vakioia missä ~ WN( 0, σ ) Ny nähdään hei, eä koska y on valkoisen kohinan lineaarikombinaaio, on MA(q) prosessi aina saionaarinen(wei s. 4). Kuen auoregressiivisessä apauksessa, jos sarja on keskisey, on θ 0 = 0, ja (5.5) voidaan kirjoiaa seuraavasi(box & Jenkins s. 0): y = u θ u... θ u (5.6) ( ) q ( q) 5.4. MA(q) prosessin käänneävyysehdo Edellä mainiiin, eä Boxin ja Jenkinsin mielesä sarjan piäisi olla kääneävä, joa sillä olisi ennusamisen kannala hyödyllisiä ominaisuuksia. Oleeaan, eä θ 0 = 0, jolloin MA(q) prosessin voi edelliseen apaan kirjoiaa myös muodossa y q ( θ B θ q B ) u = θ ( B) u =... Ny samoin kuin edellä, saadaan eho, eä θ ( B) :n juurien piää löyyä yksikköympyrän ulkopuolela. Tää kusuaan käänneävyysehdoksi (inveribiliy). (Wei, 47, Box & Jenkins, 67.) 8

5.5. ARMA(p,q) prosessi Usein pelkkä auoregressiivinen ai liukuvan keskiarvon malli ei ole käyännöllinen kuvaamaan saionaarisa ja käänneävää prosessia siiä yksinkeraisesa syysä, eä esimoiavien paramerien määrä voi kasvaa liikaa. Tämän vuoksi AR(p) ja MA(q) malli voidaan yhdisää auoregressiivisen liukuvan keskiarvon prosessiksi, ARMA(p,q). Nämä prosessi saadaan seuraavasa määrielmäsä(wei s. 56). Määrielmä 5.3 {y }:ä sanoaan p:nnen aseen auoregressiiviseksi ja q:nnen aseen liukuvan keskiarvon prosessiksi, ARMA(p,q), jos y φ y( )... φ p y( p) = u θu( )... θ qu( q) (5.7) ( ), missä u ~ WN 0, σ Prosessi voidaan myös edelliseen apaan kirjoiaa lyhyemmin seuraavasi ( B) y θ ( B) u φ = Joa prosessi olisi sekä käänneävä eä saionaarinen, on molempien karakerisisen polynomien φ ( B) = 0 ja ( B) = 0 θ juure löydyävä yksikköympyrän ulkopuolela(wei s. 56). Jos juuria ei ole eksplisiiisesi saaavilla, voidaan käyää seuraavia esejä, kun B = ± (Kendall & Ord ): φ <, < p θ, φ ( ± ) > 0, θ ( ± ) > 0 q On huomaava, eä nämä ehdo ova välämäömiä, mua eivä riiäviä. 9

6. ARMA(p,q) mallien ominaisuude Tässä kappaleessa käsiellään ARMA(p,q) prosessien ominaisuuksia, erioen niiden auokorrelaaio- ja osiaisauokorrelaaiofunkioia. Nämä ominaisuude auava meiä myöhemmin unnisamaan ja esimoimaan aikasarjalle sopivan mallin. 6.. AR(p) mallin ACF Oleeaan, eä meillä on p:nnen aseen auoregressiivinen prosessi y = φ y +... + φ y + u (6.) ( ) p ( p) Ny kerroaan (6.) y( h ): lla, joa saadaan y y = φ y y +... + φ y y u y (6.) ( h) ( ) ( h) p ( p) ( h) ( h) + Kun (6.):sa oeaan odousarvo, määrielmän 3.3 mukaan saadaan γ h = φ γ +... + φ γ (6.3) ( h ) p ( h p) ( ) On huomaava, eä E u y( h) häviää, kun h>0. Kun (6.3) jaeaan γ 0 :lla, saadaan määrielmä 3.3:n mukaan ρ = φ... ρ k ρ + + φ (6.4) ( h ) p ( h p) mikä voidaan kirjoiaa seuraavasi ( ) = 0 φ B ρ h 30

B B B, mikä on sama, mikä saaiin edellä, paisi eä B, missä φ( ) = φ... φ( ) p viiaa ny h:hon eikä :hen. Ny saionaarisuusehojen mukaan φ ( B) :n juurien piäisi löyyä yksikköympyrän ulkopuolela. Kun karakerisisen yhälön p ( φ B... φ p B ) = φ( B) juure... G G p ova erillise, ykeinen rakaisu on h A G +... + A p G h p Rakaisussa joko a) G on reaalinen ai b)juuripari ( G, ) on kompleksinen i i G j Tapauksessa a) h kasvaessa ääreömyyeen, :n on lähesyävä h G i G i nollaa, joen auokorrelaaio lähesyy nollaa h:n kasvaessa. Tapauksessa b) auokorrelaaiofunkio saa ermin vaimeneva siniaalo. ( πfh F ) d h sin +, josa seuraa nollaan Yleisesi siis AR(p) prosessin auokorrelaaio joko hiipuu eksponeniaalisesi ai sinikäyränä nollaan.(wei, 44-46, Box & Jenkins, 54-55.) 6.. AR(p) prosessin PACF Edellisessä kappaleessa opiiin unnisamaan AR(p) prosessi sen auokorrelaaiofunkion avulla. Osiaisauokorrelaaiofunkio auaa unnisamaan AR(p) prosessin aseen p. Olkoon φ kj j:s parameri k:nnen aseen auoregressiivisessä prosessissa. Ny (6.3):sa saadaan ρ j φk ρ + + φ ρ + =... φ ρ (6.5), j= k ( j ) ( k, k ) ( jk + ) kk ( jk ), josa saadaan seuraava Yule-Walker yhälö: 3

= k kk k k k k k k k ρ ρ ρ φ φ φ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ M M L M L M M M L L 3 eli Ρ k k φ = k ρ Näisä yhälöisä voidaan rakaisa ρ φ = ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ φ = = 3 33 ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ φ = Yleisesi kk φ :n osoiajassa oleva deerminani on sama kuin nimiäjässä, paisi eä sen viimeinen sarake on korvau ρ k lla. Tää kk φ :a, joka on k:n funkio, sanoaan osiaisauokorrelaaiofunkioksi. P.nnen aseen auoregressiivisessä prosessissa kk φ on nolla kaikilla k>p, eli AR(p) prosessin unnisaa osiaisauokorrelaaiofunkiosa kakoksesa viiveellä p.(box & Jenkins,64-65.) 6.3. MA(q) prosessin ACF Oleeaan, eä meillä on q:nnen aseen liukuvan keskiarvon prosessi 3

y 0 u θu u (6.6) = θ... θ ( ) q ( q) jolle saadaan määrielyä auokovarianssi seuraavasi [ ( )] ( u θ u( )... θ qu( q) ) u( h) θu( h) qu( hq) γ h = E... θ (6.7), josa saadaan prosessin varianssi γ ( + θ + + θ ) σ 0 =... q ja auokovarianssi viiveellä h ( θ + θ θ +... θ θ ) ( ) ( ) k q h h + =,..., + qh q σ γ h = (6.8) 0 k > q Täsä seuraa, eä auokorrelaaiofunkio MA(q) mallille on ρ h = θ + θ θ h + θ +... + θ ( h+ ) ( qh) +... + θ q 0 θ q k =,..., q k > q Näin havaiaan, eä MA(q) prosessin auokorrelaaiofunkio kakeaa viiveen q jälkeen.(box & Jenkins,68.) 6.4. MA(q) prosessin PACF Aloieaan MA() prosessisa. Edellä mainiun peruseella siis θ ρ = + θ Ny sijoieaan MA() prosessin Yule-Walker yhälöihin ja saadaan ρ i s.e. ρ i =0, kaikille i>k, edellä mainiuihin 33

φ kk θ ( θ ) k = k θ ( + ) Näin ollen φ < θ ja nähdään, eä kun k kasvaa, osiaisauokorrelaaio k kk vaimenee eksponeniaalisesi. Kyseessä on siis päinvasainen ilmiö, miä AR(p) prosessin auo- ja osiaisauokorrelaaiofunkioissa. Sama ilmiö oeuuu kaikille MA(q) prosesseille.(box & Jenkins, 70.) 6.5. ARMA(p,q) prosessin AFC:sä ja PAFC:sä Yhdiseyjen AR(p) ja MA(q) prosessien auokorrelaaiofunkio voidaan johaa samalla avoin kuin edellä AR(p) prosessin yheydessä. Kerroaan ARMA(p,q) yhälöön y φ y... φ y = u θ u... θ u ( ) p ( p) ( ) q ( q) ermi y( h ) :lla ja oeaan odousarvo, saadaan ( h) +... + φ pγ ( h p) + γ yu ( h) θγ yu ( h ) γ yu ( h q γ h = φ γ... ) (6.9) missä ( h) γ on risikorrelaaio y:n ja u:n välillä viiveellä h. Risikorrelaaio on yu ( ) määriely seuraavasi: ( h) = E y( ) u( ) γ ja siihen palaaan arkemmin yu h, kappaleessa. Ny kuienkin riiää ieo, eä ( ) 0 saakka, joen γ h = kaikilla h>0. yu Edelläolevasa seuraa, eä y( h ) on riippuva vain -h:hon γ = φ γ... φ γ ja h + + ( h ) p ( k p) ρ = φ ρ... φ ρ kun h q+ h + + ( h ) p ( ph) 34

Ny, jos q<p, auokorrelaaiofunkio hiipuu AR(p) prosessin apaan eksponeniaalisesi ja/ai siniaallon avoin. Jos puolesaan q p, löyyy auokorrelaaiofunkiosa q-p+ arvoa, joka eivä hiivu, edellä mainiulla avalla.(box & Jenkins, 75.) ARMA(p,q) prosessin osiaisauokorrelaaiofunkio puolesaan käyäyyy liukuvan keskiarvon prosessin auokorrelaaion avoin. 7. Epäsaionaarise aikasarja Kappaleessa 7 laajenneaan kappaleessa 6 esieyjä saionaarisen aikasarjan prosesseja käsielemään sarjoja, joka ova epäsaionaarisia. Ensin esiellään inegroiuneille sarjoille arkoieu ARIMA malli, minkä jälkeen kasaseaan kausivaiheleville sarjoille arkoieu SARIMA malli. 7.. ARIMA malli Edellä käsieliin ARMA mallien ominaisuuksia, joisa keskeisimpänä oli niiden saionaarisuus. Kappaleessa 3 differoinnin yheydessä odeiin, eä differoini on käyökelpoinen apa puhdisaa aikasarja rendisä ai kausikomponenisa. Differoini päee yleensäkin melko hyvin aikasarjan saaamiseen saionaariseksi. Täsä johuen eräs ARMA mallien yleisyksisä ova ARIMA malli. ARIMA malli ova yksinkeraisuudessaan ARMA malleja, joka äärellisellä määrällä d differoineja palaava ARMA malleiksi Täsä seuraa suora määrielmä ARIMA malleille yhdisämällä ARMA malli ja d keraa differoidun aikasarjan y seuraavasi: d ( B) y θ ( B) u φ = d ( B)( B) y θ ( B) u φ =, missä φ ( B) ja ( B) Davis, 78, Hamilon, 437.) θ ova edellä määriellyn mukaisia polynomeja.(brockwell & 35

Käyännössä ARIMA malleja käyeään kuen ARMA mallejakin, eli kun on saau aikasarja d keraa differoimalla saionaariseksi, sovelleaan siihen normaalia ARMA mallia, ja lisäään inegroinnin ase d lopulliseen malliin. Useimma ieokoneohjelma laskeva mallin myös suoraan käyäjän anamien arvojen mukaan, jolloin on olava arkkana oikeasa inegraaion aseesa d. 7.. Kausimalli Usea luonnossa esiinyvä ilmiö vaiheleva kausiain, vaikka pikän aja keskiarvo voi säilyäkin samana. Joka kesä on lämpimämpää kuin alvella, mua vuoden keskilämpöila eivä hirveäsi muuu vuosien saaossa. Tällaisia ilaneia varen avallinen ARMA malli ei ole riiävä yökalu aikasarjan dynamiikan kuvaamiseksi, vaan arviaan kausiaisa(seasonal) ARMA mallia, SARMA mallia. Kausiaise aikasarja on yleensä helppo unnisaa jo niiden kuvaajasa. Myös auokorrelaaiofunkio on käevä yökalu, kun ukiaan, onko sarjassa kausivaihelua. Korkea ACF:n arvo ja jaksoaise huipu ova lähes aina merkkejä siiä, eä aikasarjassa on kausivaihelua. Jaksoaise huipu merkisevä, eä eri jaksojen samaa kaua vasaava arvo ova voimakkaasi korreloiuneia. Esimerkiksi viime vuoden ammikuun kylmä lämpöila(muihin kuukausiin nähden) keroi, eä ämänkin vuoden ammikusa ulisi kylmempi kuin muisa kuukausisa. Koska ällaisa sarjaa on mahdoona mallinaa sellaisenaan, urvauduaan jälleen differoiniin. Ny vain ei differoida d keraa, vaan D keraa viiveellä s. Edellä käyyä lämpöilaesimerkkiä differoiaisiin ny viiveellä, jolloin sarjan kausivaihelu jää vielä näkyviin ACF:ään, mua aikasarja muuuu(mahdollisesi) saionaariseksi. SARIMA(p,d,q)*(P,D,Q)s malli merkiään seuraavasi: φ s s ( B) Φ( B ) x = θ ( B) Θ( B ) u, missä φ ( B), ( B) x d s D ( B) ( B ) y u θ ja ova kuen normaalissa ARMA mallissa. =, eli x on y, kun se on differoiu normaalisi d keraa ja vielä D keraa viiveellä s, joka on jakson piuus. ( s s Φ B ) ja ( B ) Θ puolesaan 36

mallinava kausivaihelua samoin kuin φ ( B) ja ( B) θ kauden sisäisä.(brockwell & Davis, 0-03.) Kappaleessa 8 käsiellään paramerien s, P, D ja Q määrielyä helpoavia ekniikoia. 8. Boxin ja Jenkinsin meneelmä Box ja Jenkins(970) suosieleva kolmivaiheisa meneelyä yksiuloeisen aikasarjan esimoimiseksi ja ennusamiseksi. )Mallin idenifioini )Mallin esimoini 3)Mallin diagnosise arkaselu Tässä kappaleessa käydään jokainen kolme edellä esieyä vaihea läpi. Koska ämän ukielman arkoiuksena ei ole varsinaisesi ukia erilaisia ARMA malleja, ja niiden ominaisuuksia, vaan ukia ilman hajurikkipioisuuksia, ämän osion ehävänä on anaa lukijalle riiävä iedo, joka auava myöhemmin ulevien analyysien seurannassa. 8.. Idenifioinnisa Mallin idenifioinnin arkoiuksena on löyää sopiva p ja q(sekä mahdollisesi P ja Q), joka sopiva (S)ARMA malliin, joka on aiemmin määriely. Ensimmäinen ehävä on kuienkin piirää aikasarjan kuvaaja ja ehdä sille sopiva muunnokse. Harva luonnossa ai aloudessa esiinyvä aikasarja ova luonnosaan sellaisia, eä niiä voiaisiin alkaa mallinaman saman ien. Aikasarjan piää olla saionaarinen, joa siä voiaisiin mallinaa ARMA malleilla. Useien käyey muunnokse ova varianssin vakauamiseksi ehävä muunnokse, kuen logarimoini ja neliöjuuren oo, sekä differoini. Kappaleessa 9 käsiellään esejä, joiden avulla ukiaan yksikköjuuren olemassaoloa sarjassa. Näiden esien ja sopivien differoinien ja muunnosen avulla pyriään saamaan sarja saionaariseksi. Kun aikasarja on saau saionaariseksi, seuraava askel on arkisella uua sarjaa, joia ässä kusuaan residuaaleiksi. Jos residuaalien välillä ei ole minkäänlaisa riippuvuua, voidaan niiä piää riippumaomina saunnaismuuujina, eikä niiä ole syyä mallinaa enää pidemmälle(brockwell & 37

Davis, 34). Tarkoius on poisaa yksikköjuurisa aiheuuva riippuvuude ja jäää muu riippuvuus arkaselavaksi ja siä kaua mallinneavaksi. Seuraavassa on muuamia yleisimmin käyeyjä esejä riippumaomuuden esaamiseksi. 8... Oosauokorrelaaiofunkio Kun ooskoko on suuri, IID sarjan oosauokorrelaaio ova likimain riippumaomia ja noudaava N(0, n ) jakaumaa. Täsä seuraa, eä jos residuaali olisiva jakauunee, kuen IID sarja, noin 95% oosauokorrelaaioisa piäisi jäädä rajojen ±.96 / n sisään. Eli jos laskeaan oosauokorrelaaio aina viiveeseen saa asi, ja löydeään huomaavasi enemmän kuin viisi rajojen ulkopuolelle jäävää korrelaaioa, hypoeesi riippumaomuudesa jouduaan hylkäämään. 8... Pormaneau esi Oosauokorrelaaioia voidaan ukia myös yhden unnusluvun avulla, jolloin hypoeesi ja arkaselun koheena oleva ilmiö ova sama kuin edellisessä. Tarkasellaan unnuslukua Q = n ˆρ Ny, jos residuaalien havainno ova IID jakauunee, kohdan 4.. peruseella voidaan sanoa, eä Q on jakauunu N(0,) muuujien neliösummana, eli Χ jakauunu vapausaseilla h. Näin ollen liian suure Q:n arvo johava H0:n hylkäämiseen, arkemmin H0 hyläaan riskiasolla alpha, jos Q> Χ ( α,h). Useimmissa ieokoneohjelmissa käyeään esin hienosuneempia versioia. Ljung ja Box(978) ova osoianee, eä unnusluku Q LB = n h ( n + ) i ( n i) i= ˆ ρ noudaaa Χ jakaumaa.(brockwell & Davis, 34-35, Wei, 49-50.) 38

8..3. Käännepiseesi Oleeaan, eä saaavilla on havainno y y n, joisa haluaisiin ukia edellä mainiua nollahypoeesia. Määriellään ermi käännepise seuraavasi: Käännepise hekellä i, <i<n, ilmenee, jos y (i-) <y i ja y i >y (i+) ai y (i-) >y i ja y i <y (i+), eli havaino y i on piikin huippu. IID sarjassa piseessä i käännepiseen odennäköisyys on siis /3. Jos T on käännepiseiden määrä n miaisessa IID sarjassa, niin T:n odousarvoksi ulee E(T)=(n-)/3 Voidaan myös näyää, eä kyseisessä sarjassa varianssi on Var(T)=(6n-9)/90 Suuri T-E(T):n arvo ilmaisee, eä sarja vaihelee odoeua nopeammin, kun aas selväsi nollaa pienempi T-E(T):n arvo ilmaisee, eä sarjan vierekkäisillä havainnoilla on posiiivisa korrelaaioa. Jos siis havainno odella ova IID sarjasa, voidaan niiden sanoa noudaavan N( σ ) T, T µ jakaumaa, joa voidaan esaa.(brockwell & Davis, 35.) 8..4. Merkkiesi Oleeaan jälleen, eä käyössä on havainno y y n. Laskeaan luku S, joka on kaikkien niiden i määrä, kun y i >y (i-). Jos havainno ova peräisin IID sarjasa, on selvää, eä S:n odousarvo on E(S)=/(n-) ja varianssi Var(S)=(n+)/ 39

Ny, kuen edellä, S noudaaa suurilla n:n arvoilla N( σ ) jakaumaa, joa voidaan esaa. (Brockwell & Davis, 35-36.) 8..5. Järjesysesi S, S µ Olkoon käyössä jälleen havainno y y n. Olkoon P parien (i,j) lukumäärä sien eä y j >y i ja j>i. Parien suurin mahdollinen lukumäärä(ällöin jokainen havaino n olisi edellisä suurempi) on = (n(n-)). Jos sarja on IID, jokaisella apahumalla yj>yi on odennäköisyys ½. Näin ollen P:n odousarvo on E(P)=/4(n(n-)) ja varianssi Var(P)=n(n-)(n+5)/7, N P P, jolloin P approksimoi (,σ ) µ jakaumaa.(brockwell & Davis, 36.) Säänönä on, eei johopääöksi ikinä piäisi ehdä vain yhden esin peruseella, vaan ehdä ainakin kolme. Tesien kasvaessa on kuienkin syyä muisaa, eä samalla kasvaa odennäköisyys hylää oikea hypoeesi. Kun ollaan saau yydyävä sarja, pyriään idenifioimaan mallin asee. Tärkeimmä apuvälinee mallin idenifioinnissa ova (oos)acf ja (oos)pacf. Asee p ja q idenifioidaan veraamalla saaua ACF:ää ja PACF:ää eoreeisiin vasaaviin. Kappaleessa 6 käsieliin AR ja MA prosessien ACF:n ja PACF:n yleisä luonnea. Taulukossa 8. on vielä lyhyesi esielynä eri vaihoehdo(mcleod, -47-50): 40

Taulukko 8. Prosessi ACF PACF AR(p) Hiipuu pois eksponeniaalisesi Kakeaa p:n viiveen jälkeen ai siniaallon avoin MA(q) Kakeaa q:n viiveen jälkeen Hiipuu pois eksponeniaalisesi ai siniaallon avoin ARMA(p,q) Hiipuu (q-p):n viiveen jälkeen Hiipuu (p-q):n viiveen jälkeen ARMA prosessin asea ukiaessa kannaaa muisaa, eä p ja q ova harvoin suurempia kuin kaksi, ja koska malleja voi rakenaa helposi ja vaivaa ieokoneella, ei ole huono käyänö ukia samalla useampia malleja, kuin vain siä, mikä ensin idenifioinivaiheessa saadaan. Jos aikasarjaa on jouduu differoimaan, on syyä muisaa lisää inegroinnin ase malliin(arma mallisa ulee ARIMA malli) 8.. SARMA mallin idenifioinnisa Idenifioini kausimalleille apahuu samanlaisia periaaeia noudaaen kuin normaaleillekin malleille. Ny on syyä huomaa, eä ässä vaiheessa on olava selvillä jakson piuus s. Sarjaa on mahdollisesi jo differoiu d keraa yhdellä viiveellä ja D keraa viiveellä s. Kun arkasellaan sekä sarjan auo- eä osiaisauokorrelaaiofunkioia, on kiinnieävä ensin huomio kausiaisiin korrelaaioihin, eli jos jakson piuus on 4, arkasellaan arvoja, joka ova 4:n kerrannaisia. Näisä arvoisa esiään kuvioia, joka sopiva eoreeisiin arvoihin. Teoreeise arvo kausikerrannaisille ova sama kuin normaaleillekin viiveille, eli jos aikasarja osoiaa SAR() aipumuksia, vaimeneva auokorrelaaio n*s (n=, N) joko eksponeniaalisesi ai siniaallon avoin ja osiaisauokorrelaaio n*s kakeava *s:n jälkeen. Taulukkoa 8. voidaan käyää referenssinä(mukailu Bowerman & O Connell s. 0). Kun on saau sopiva P ja Q, arkasellaan vielä normaalisi auokorrelaaioia kappaleen 8. mukaan, joa saadaan sopiva p ja q. 4

8.3. Esimoinnisa ARMA mallien parameri esimoidaan käyännössä aina ieokoneella. Eri ohjelma saaava laskea esimaai hieman eri avalla, joen kannaaa aina arkisaa apa, jolla esimaaeja ollaan laskemassa. Kun kyseessä on puhdas auoregressiivinen malli, voidaan käyää lineaarisa pienimmän neliösumman meneelmää, sillä AR malleja pideään ehdollisina regressiomalleina(pandi, 53). Näin saadu esimaai eivä kuienkaan ole harhaomia, kuen avallisessa lineaarisessa regressiossa(hamilon s. 5). Suurilla ooskoilla ei kuienkaan ole käyännössä eroa, onko esimaai saau ML- vai regressiomeneelmällä(harvey, ). Kun malliin oeaan mukaan liukuvan keskiarvon paramereja, ei regressio olekaan enää lineaarinen, joen arviaan epälineaarisa pienimmän neliösumman meneelmää. Täsä enemmän esimerkiksi Boxin ja Jenkinsin kirjassa Time Series Analysis Forecasing And Conrol. Kun käyeään ieraiivisa esimoinialgorimia, on syyä kiinniää huomioa myös parameriesimaaien alkuarvoihin, joka on saau eoreeisa auokorrelaaiofunkioa arkaselemalla. Tämä siksi, eä jos alkuarvo on menny pahasi pieleen, on mahdollisa, eä algorimi lähee menemään väärään suunaan, ai anaa muuen vain epäarkkoja esimaaeja. Tää ongelmaa ei kuienkaan arvise pohia ieokoneohjelmien kanssa. Tässä ukimuksessa ARMA mallien esimoimiseen käyey R ohjelma laskee esimaai käyäen ila-avaruus represenaaioa ARMA prosessisa(r manuaali v..9). 8.4. Mallin diagnosisisa arkaseluisa Kun malli on idenifioiu ja siihen liiyvä parameri esimoiu, on jäljellä mallin arkaselu. Tässä vaiheessa pääeään, onko malli hyväksyävä kuvaus aikasarjan luoneesa prosessisa vai onko mallissa paranneavaa. ARMA mallien perusoleamus on, eä u : ova korreloimaomia saunnaisvirheiä, joiden keskiarvo on nolla ja varianssi vakio. Mille ahansa mallille esimoidu 4

jäännökse û ova esimaaeja näisä virheisä. Näin ollen diagnosise arkaselu suorieaan esimoidulle residuaalisarjallle.(wei, 49.) Kun residuaalisarjan on olava keskenään korreloimaomia, nollakeskiarvoisia ja vakiovarianssisia saunnaisvirheiä(siis valkoisa kohinaa), voidaan käyää esimerkiksi kappaleiden 8..-8..5 esejä. Jos sarja on esien mukaan valkoisa kohinaa, voidaan oleaa, eä malli on silä osin kunnossa. Jokaiselle esimoidulle paramerille saadaan myös keskivirhe. Tää keskivirheä voidaan käyää hyväksi esaaessa, ovako mallin parameri ilasollisesi merkiäviä. Muodollisemmin esaaan nollahypoeesia β =0, missä β on esimoiu parameri. Tesaukseen liiyvän esisuureen, arvon, kaava on seuraava(bowerman & O Connell s. 38-39): û ( β ) = ˆ β σ ˆ β, missä σ ˆ on esimoiavan paramerin keskivirhe. Tesisuureen arvo noudaaa β likimain jakaumaa vapausasein n-np, missä n on havainojen määrä ja np esimoiavien paramerien määrä. 9. Yksikköjuurien esaus ARMA maillien esielyn yheydessä määrieliin saionaarisuus- ja käänneävyysehdo, joihin liiyy olennaisena osana yksikköjuuri, joia siis ei saisi aikasarjassa olla, ennen kuin siä aleaan mallinamaan. Auokorrelaaiofunkion arkaselu voi anaa viieiä yksikköjuuren olemassaolosa. Esimerkiksi hiaasi vähenevä ACF voi olla merkki, eä sarjassa on yksikköjuuri. Toisaala hiaasi vähenevä ACF voi olla myös merkki rendisä sarjassa. Kummassakaan apauksissa aikasarja ei ole saionaarinen, jolloin yksikköjuuri on poiseava esim. differoimalla. Yksikköjuuren olemassaolosa ei siis voida ehdä piäviä pääelmiä pelkän auokorrelaaiofunkion peruseella, vaikka siiä mahdollisesi saaaisiinkin viieiä siihen. 43