Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 2 (viikko 6) Tehävä 1 Sovelleaan luenokalvojen sivulla 46 anneua kaavaa: A A Y Y K α ( 1 α ) 0,025 0,5 0,03 0,5 0,01 0,005 K Siis kysyy Solowin residuaali on 0,5 %. (Tehävässä anneuja K:n, :n ja Y:n arvoja ei arvia laskemisessa.) Maemaainen peruselu sille, miksi ämä kaava oimii, on se, eä Cobb-Douglasuoanofunkio on kunkin panoksen suheen poenssifunkio. Toisin sanoen, jos muia muuujia pideään vakiona, ja kasoaan, mien F:n arvo riippuu K:sa, niin funkio on muooa F c K α, missä c on vakio ja α on K:n poenssi uoanofunkiossa. Poenssifunkion jouson puolesaan iedeään olevan vakio: F:n jouso K:n suheen α, joen kun K kasvaa x prosenilla, F kasvaa αx prosenilla. Sama päee :n ja A:n suheen (ässä A:n poenssi 1).
Tehävä 2 Cobb-Douglas-uoanofunkiossa α ja β ova posiiivisia vakioia. Pääoman rajauoavuus F α α K 1 β 2 F Pääoman rajauoavuuden derivaaa K:n suheen 2 α( α α 1)K 2 β Pääoman rajauoavuus on aleneva silloin, kun sen derivaaa K:n suheen on negaiivinen. Näin on silloin, kun α(α 1) < 0, s. silloin, kun α < 1. Skaalauoo viiaava siihen, mien uoano muuuu, jos kaikkien uoannonekijöiden määriä muueaan samassa suheessa: F(K, ) F(cK, c) Jos uloksena uoano muuuu samassa suheessa, eli F(cK, c) c F(K, ), niin funkiolla vakioskaalauoo. Jos se kasvaa ai vähenee enemmän kuin suheessa c, sillä on kasvava skaalauoo. Jos se kasvaa ai vähenee vähemmän kuin suheessa c, sillä on aleneva skaalauoo. Cobb-Douglas-uoanofunkion apauksessa F(cK, c) (ck) α (c) β c α + β (K α β ) c α + β Y (i) Tuoanofunkiolla on vakioskaalauoo F(cK, c) c α+β Y cy α + β 1. (ii) Tuoanofunkiolla on kasvava skaalauoo F(cK, c) c α+β Y > cy, kun c > 1, ja F(cK, c) c α+β Y < cy, kun c < 1 α + β > 1. (iii) Tuoanofunkiolla on vähenevä skaalauoo F(cK, c) c α+β Y < cy, kun c > 1, ja F(cK, c) c α+β Y > cy, kun c < 1 α + β < 1.
Tehävä 3 y k ja sy (n + δ)k 0 sy (n + δ)y 2 y s n + δ y SE 0,08 0,028 + 0,1 0,625 y DK 0,21 0,004 + 0,1 2,019 Vasaus: 3,23-kerainen c) Y y KH KH kh d) y kh ja sy (n + δ)k 0 sy (n + δ)k (n + δ) H y 2 y H s n + δ y DK H DK 2,019 50 y SE 50 (H SE 0,625) H H DK SE 50 0,625 2,019 15,5
Tehävä 4 Vakaassa ilassa pääomakana henkeä kohi ei muuu, eli k sy (n + δ)k 0 y ( n + δ )k s y ( 0,02 + 0,05) 3 0,2 1,05 y ( 0,02 + 0,05) 3 0,3 0,7 Tehävä on siiä hämäävä, eä ny y:n arvoksi saadaan siä suurempi luku, miä pienempi on sääsämisase. Yleensähän pienempi sääsämisase johaa alempaan uloasoon. Tämä omiuisuus johuu siiä, eä ehävänannossa pääomakana henkeä kohi on kiinniey asolle kolme. Niinpä miä pienempi sääsämisase on, siä suurempi BKT:n äyyy olla, joa sääsö riiäisivä piämään henkeä kohi laskeun pääomakannan ällä asolla.
Tehävä 5 Vr. luenokalvojen sivu 66 69. Pääomalla on ny vakioskaalauoo, joen alous kasvaa endogeenisesi, mikäli sääsö ova suuremma kuin kuluminen ja väesönkasvu. C (1 s)y (1 s)ak (1 0,2) 0,5k 0,4k Kuluus/hlö on siis vakio-osuus pääomakannasa. Niinpä kuluuksen kasvuvauhi on sama kuin pääomakannan/hlö kasvuvauhi. k + 1 (1 δ ) k (1 + n) + sy ( 0,95) k + 0,2 0,5k (1,03) 1,02k Vasaus: kuluus henkeä kohi kasvaa n. 2 % vuodessa. Koska pääoman rajauoavuus on vakio, alous kasvaa eksponeniaalisesi, kunhan sääsäminen yliää kulumisen ja väesönkasvun aiheuaman invesoiniarpeen. c) Jos poisoase olisi 0,1, pääomakannan muuoksen suhdeluku olisi k + 1 (1 δ ) k (1 + n) + sy ( 0,9) k + 0,2 0,5k (1,03) 0,97k eli pääomakana pienenisi n. 3 % vuodessa.
Tehävä 6 Tuoanofunkiossa kiinnosavaa ova skaalauoo uoanopanosen rajauoavuude eknologian A kehiyksen merkiys. Skaalauoo ova vakio. Tämä nähdään keromalla kaikki panokse (huom. A ei ole panos) luvulla c > 0, jolloin F(cK, ch, c, A) (ck) α (ch) β (ca) 1 α β c α + β + (1 α β) K α H β (A) 1 α β c K α H β (A) 1 α β cf(k, H,, A) Tuoanopanosen rajauoavuude saadaan derivoimalla kunkin panoksen suheen. Esim. K:n suheen: F αk α 1 H β (A) 1 α β > 0 Koska α < 1 α 1 < 0 F on aleneva K:n suheen. Siis pääoman rajauoavuus on posiiivinen mua aleneva. Sama päee muillekin panoksille, koska myös 0 < β < 1 ja 0 < 1 α β < 1. Teknologian ason A kasvu vaikuaa uoanoon Y samalla avalla kuin yövoiman kasvu s. Y:n jouso A:n suheen on vakio ε 1 α β. Siis jos yövoiman ehokkuus kasvaa yhdellä prosenilla, uoano kasvaa (1 α β) prosenia.