MAA8. HARJOITUSTEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA8. HARJOITUSTEHTÄVIEN RATKAISUJA. a log, sillä b log c log (, sillä, sillä... Nii miä?. a log b log 0. b logk k k k ±, joisa k + k vai kelpaa kaaluvuksi. 0. a logk y logk logk + logk y logk + logk y logk y logk y y ab ac b logk logk logk a + logk b logk c logk a logk c + logk b c b log k b log c log log log y c logk logk + logk y logk z z vaikka voi iseksee iedusella, mikä muoo äisä y sievempi o. k k b k c k b c. Lähöieo: lg 0.00. a. lg 0 lg( 0 lg0 + lg + 0.00. 00 b. lg000 lg( 000 lg000 + lg + 0.00. 00 c. lg 0.00 lg(0 lg0 + lg 0.00. 989 log log log log log log.. 8 + ( ( + log log log log 9 log log + + 9 + (

Tässä o käyey ieoa k log k a a. y lg 0, 0 0 0,,,, -0, - -, - y log½ 0 0 0,,,, - - (

. Koska k >, ii y logk ( + o aidosi kasvava. Määriely se o iillä : arvoilla, joka oeuava epäyhälö + > 0. Rakaisaa vasaava (vailliaie oise asee yhälö: + 0 ( + 0 0 ai. Paraabeli y + kulkee -akseli yläpuolella ollakohiesa ulkopuolisilla arvoilla. Täe y logk ( + o määriely, ku < aikka ku > 0. Kyseise fukio kuvaaja kulkee -akseli yläpuolella, ku se, misä logarimi oeaa, o ykkösä suurempi. Vasaukse ähä kysymyksee aaa epäyhälö + > rakaisujoukko. ± ( + > + > 0. RVY + 0 + ai. Paraabeli y + aukeaa ylöspäi ja saa posiiivisia arvoja ollakohiesa ulkopuolella. Sie vasaus: < ai >. 8 8. Luku o epäilemää kokoaisluku. Kokoaisluvuille,,, 9 o yypillisä, eä iide 0-kaaie logarimi o vähiää olla, mua alle ykköse. Kokoaisluvuille 0,,,, 98, 99 o yypillisä, eä äide logarimi o vähiää yksi, mua alle kakkose ja lg00. Ku lukuu ulee kolmas umero, ii samalla hekellä se logarimi saavuaa arvo. Tämä logiikka päee ii, eä ku lukuu ulee eljäs umero, ii se logarimi saa arvo. 8 lg 8lg 0.8... Ku luvu logarimi o asa 0, ii siiä o 0 umeroa. Ku luvu 8 logarimi o asa 0, ii siiä o 0 umeroa. Sie luvussa o 0 umeroa. (

9. Yhälö lg( 0 0 lg( + juuria voidaa esiä joukosa, joka alkio oeuava epäyhälö 0 0 > 0 ja + > 0. Molemma epäyhälö oeuuva joukossa >. 0 0 0 0 lg( 0 0 lg( + lg lg00 00 + + 0 0 00 + 00 90 0, mikä ei alkuehoa äyä. 9 Aeulla logarimiyhälöllä ei ole rakaisua. 0. Yhälö lg( lg( + + juuria voidaa esiä joukosa, joka alkio oeuava epäyhälö > 0 ja + > 0. Molemma epäyhälö oeuuva joukossa >. ( lg( lg( + + lg( lg( + lg0 lg lg0 + ( 0 0 + 0 + 0 + ai 0 0 Jälkimmäie ei alkuehoa äyä. Vasaus:.. Olkoo m, ollasa eroavia posiiivisia kokoaislukuja ja k >. Tällöi m m logk + logk logk ( logk 0. m m Tässä m/ ja /m ova oisesa kääeislukuja. Näie logarimie summa o olla. Näyäisi oleva ii, eä kääeislukuje logarimi ova oisesa vasalukuja sikäli ku luku ja se kääeisluku ova sellaisia lukuja, joisa logarimi voi oaa.. Jodi isooopilla, joka massaluku o, puoliiumisaika o 8. vrk ja saoua isoooppia o eräällä ajahekellä äyeessä 88 mg. Kyseessä o proseuaalie väheemie. Aia ku aikaa kuluu 8. vrk miaie jakso, ii jodi määrä puoaa puolee. Jos ajahekellä 0 aiea o m 0, ii 8. vrk kuluua jäljellä o m0 / m0. Jodi (

jäljellä olevaa määrää voidaa sie malliaa fukiolla m 8. vrk m 0. a vrk 8. vrk vrk: m 88 mg 88 mg 0.0......mg. mg b 9 mg 8. vrk 9 8. vrk 9 88 mg lg lg 88 8. vrk 88 9 lg 88 8.vrk.89...vrk. vrk. lg c Mikä verra hajoaa vuorokaudessa? vrk 00m 8. vrk m m 00 8. 0 % 9.8...% m0 Edellä kirjoieu laskuoimius keroo, eä vuorokaude kuluua akiivisa jodia o jäljellä oi 9.8 %. Tieää siis siä, eä vuorokaudessa jodia hajoaa oi 8. %.. Terolla o kolme kaaa, joisa jokaie muii joka päivä yhde mua. Viiko kuluua o joukossa A kolme kaaa ja joukossa B muaa. Vasaavuus a joukosa A joukkoo B eli kaoisa muii päi ei ole fukio, koska jokaisesa kaasa lähisi uolikuviohavaiollisuksessa seisemä uola. b joukosa B joukkoo A o fukio, koska jokaisella mualla o vai yksi muija. Fukio o vieläpä surjekio, mua ei ole ijekio... a f( +. Kielleyä o oaa juuri egaiivisesa. Määriysjouko jokaie alkio oeuaa epäyhälö > 0. D f { R }. Tämä fukio o sellaie, eä ku juoksee ykkösesä ääreömää, ii y juoksee sama väli. (

. Tämä fukio o aia aidosi väheevä (derivaaa ja sillä o asympooeia kumpiki koordiaaiakseli. Ääreömyydessä fukio arvo läheevä rajaomasi ollaa. Fukio aiaa saada kaikki reaaliarvo ollaa lukuu oamaa b f( /. Kielleyä o jakaa ollalla. D f R { 0} c f (. Kielleyä ei ole mikää. Määriysjoukkoa koko R. Kuvaaja muisuaa suura V kirjaia, joka kärki o origossa. Saa kaikki eiegaiivise arvo. a f (, ku, ku < b f (, ku 0, ku < 0 y. Piirreävä yhälö + y kuvaaja. I eljäes: 0 ja yhälö saa muodo + y eli y +. y 0 (

II eljäes: < 0 y 0 III eljäes: < 0 y < 0 IV eljäes: 0 y < 0 ja yhälö saa muodo + y eli y +. ja yhälö saa muodo y eli y. ja yhälö saa muodo y eli y. (0, (, 0. Ku besiiikäyöie auo akaaa ja besiii hia o. /lira, ii poloaielasku y saadaa keromalla liramäärä luvulla.. Sie o a y. y b y. y ( 0.8y c Jos y auo rehellisesi akaaa, ii periaaeessa varmaaki o posiiivie. Maemaaisea reuaapauksea piää ieysi oaa huomioo sellaie erikoisuus, eä akille meäessä huomaaa aki oleva äyä (miari rikki. Ei siis akaa ollekaa ja ällöi 0. Muuuja yläraja saelee poloaieaki koko. d y [ ] ( L, (

[L] Periaaeessa saaaa olla myös egaiivie, mua silloi o mahdollisa, eä ollaa varkaissa ja maksupuoli epäselvää. Voidaa olla myös ie päällä aamassa poloaiea sille, jola o loppuu, mua maemaaisissa malleissa kaikelaise eriyisapause huomioo oamie ei liee mahdollisa. 8. Joukkoo A kuuluu ueuja romaaeja ja joukkoo B kuuluisia kirjailijoia SOTA JA RAUHA RUTTO LINNA TUNTEMATON SOTILAS ALASTALON SALISSA RAUTATIE OIKEUSJUTTU LEO TOLSTOI FRANZ KAFKA JUHANI AHO ARTO PAASILINNA ALBERT CAMUS VOLTER KILPI VÄINÖ LINNA Ku romaai yhdiseää se kirjoiajaa, kyseessä o fukio, ku jokaisee romaaii liiyy äsmällee yksi kirjoiaja. (aia ei äi ole, ku käydää kaikki maailma romaai läpi Kääeisfukioa ei ässä esimerkissä ole, koska Kafkaa liiyy kaksi romaaia. Tämä esimerkkikuvaus o romaaie joukosa kirjailijai joukkoo surjekio, koska fukio maalijoukko ja arvojoukko ova sama. Kuvaus ei ole ijekio, koska eri alkio eivä kuvaudu eri alkioiksi. Yksi poikkeus f(linna f(oikeusjuttu FRANZ KAFKA särkee ijekioidylli. 9. O aeu fukio f: f( +, D f { R 0}. Fukio f o aidosi kasvava, ja ku f(0, ii fukio saa kaikki reaaliarvo, joka oeuava ehdo y >. Tällöi voidaa suurella luoamuksella ilmoiaa D { R } ja V { y R y 0}. f f 8(

y y + y, josa muuujie roolie vaihamise jälkee saadaa kääeisfukio laki: f ( 0 8 0 8 0 0 0 0 0. O aeu f(, ja f o määriely joukossa 0 < <. Molemma puole olemassa ja posiiivise määriysjoukossa. Koroellaa oisee (vierasa avaraa ei ule: y y y y, misä muuujie roolivaihdo jälkee ullaa fukioo y f (. Tässä apauksessa fukio ja se kääeisfukio ova sama asia. Fukio kuvaaja o yksikköympyrä se osa, joka sijaisee koordiaaiso I eljäeksessä. (0, y (,0 9(

. a f( / f (, ja ämä peruseella fukio f o aia aidosi väheevä. Fukio o määriely kaikkialla paisi ku 0 ja saa kaikki reaaliarvo ollaa lukuu oamaa. Ku rakaisaa y: avulla lausuua ja vaihdeaa rooli, havaiaa, eä fukio ja se kääeisfukio ova yksi ja sama. ( b f( f ( joka o aia ( ( egaiivie fukio määriysjoukossa. Kääeisfukio o olemassa. y y y y y y (y y. Sie y o y f (. Ise fukiolle f o määriysjoukkoa siis kaikki reaaliluvu paisi ykköe. Tämä fukio ei saavua koskaa arvoa ; fukio vaakasuoraa asympooia o suora y. R ja V y R y Kääeisfukiolle D { } { } f c f( + f ( ( 8. Tällä derivaaalla o ollakohia ai. Tämä fukio olle määriely koko R:ssä o aidosi kasvava ku < ai ku >. Saouje muuuja arvoje välillä se o aidosi väheevä. Kääeisfukioa ei ole. f. Tiedossa osiasia, eä f( o aidosi kasvava fukio. Tämä ojalla voidaa saoa, eä aia ja kaikkialla f ( 0 ja o olla vai yksiäisissä piseissä. Tällöi fukiolle g( f( o g( f ( 0 ja o olla vai yksiäisissä piseissä. Niipä o f( aidosi väheevä fukio kaikkialla.. O aeu f( 8. f ( o sellaie luku, joka fukio f kuvaa kolmoseksi. Siis f( f ( eli 8. f (.. O aeu reaalifukio sie, eä f( +. 0(

a f ( ( + + b Koska f (0, ii f (f (0 f ( + + 0 f ( + h f ( ( + h ( + h + ( + c h h + h + h h + + h h + h h + h h +. O aeu reaalifukio f sie, eä f (,. + 9 + 9 + + + + a f(f( + + + + b f(f( ei ole määriely, ku. 0 +. Olkoo f( ja g(. (f o g( f(g( f( ( ( + + 9 + 88, (g o f( g(f( g( + +, (f o f( f(f( f ( ( ( + 9 + 9 + + 9 (g o g( g(g( g( ( +. O g( + ja f( +. a (g o f( g(f( g( + ( + ( + + + + 8 + ja älle fukiolle määriysjoukko D g o f R. Tämä fukio arvojoukko V g o f { y R y 0}. (

f( +. g(f( g( + ja (g o f(. OK. b (f o g( f(g( f( + + + +, ja ämäki o määriely koko R:ssä. Fukio f o g arvojouko selviämiseksi haeaa fukioa kuvaava paraabeli huipu koordiaai. (f o g ( 0 (f o g( + { y R y } V f o g, sillä (f o g: kuvaaja o ylöspäi aukeava paraabeli. 8. Olkoo (g o f(. Tässä o hiuka epämääräisä saoa, mikä o sisäfukio ja mikä o ulkofukio, koska kuvauksia o peräkkäi kolme. Esi kuvauuu eliöksee ja ämä sie vasaluvuksee. Lopuksi saadusa uloksesa oeaa eliöjuuri. Jos pideää ulkofukioa pelkäsää eliöjuure ooa ja sisäfukioa luvu kuvauumisa eliösä vasaluvuksi, ii a sisäfukio f( o määriely koko R:ssä b ulkofukio g(y y määriysjoukko o posiiivise reaaliluvu ja olla c ise yhdisey fukio o määriely vai yhdessä piseessä. 0. Yhdisey fukio arvojouko muodosaa vai yksi luku, olla. d Toisipäi yhdisey fukio f o g lauseke (f o g( (. Tämä o määriely joukossa > 0. 9. Fukio f o pario. Kuvaaja symmerisyys origo suhee merkisee siis siä, eä origo o piseiä (, f( ja (-, f(- (-, -f( yhdisävä jaa keskipise: + ( 0 0 f ( + f ( f ( f ( y0 0 + 0. a. (

( : b ( c +.. ( 9 a. 00000 0 (0 e00 ( d ( c ( 8 b.. 0 0 ( a c ( b + d. a

b c (. a V a a V ja A a V V (m Siis A.0 m m. ½ A A πr b A πr R + ja V π π π V A π ½ A π π dm π π.9...dm.9 dm. Rakaise laskime avulla yhälö ja aa juurie likiarvo kolme desimaali arkkuudella: a.... 8 by 8 y y z + 9 c z + 9 z z z ±.008... ±.0 8.9....9 z 9 z ± 9 z 9 d z z 9 z z Tällä yhälöllä ei ole rakaisua. z 9 (

+ (. + ( + ( + ( + + 8.. a <. Nimiäi ½ ja ku kaaluku o ykkösä suurempi ja ekspoei arvo posiiivie, o poessi arvo ykkösä suurempi. Sie se poessi, jossa kaalukua o kolmose eliöjuuri, o suurempi. b >. Kaaluvu ollessa ykkösä suurempi o ekspoei- fukio aidosi kasvava. Suurempi ekspoei arvo merkisee suurempaa poessi arvoa. Oha <. 8. Olkoo porsaa massa aluksi m. Kesäkuu lopussa se massa o.88m, heiäkuu lopussa..88m ja elokuu lopussa...88m. Ku p keskimääräie kuukausiaie lihomisprosei o p ja α +, ii 00 o voimassa yhälö...88m mα α α...88.88.898... Possu lihoi kuukaudessa keskimääri 8 %., josa 9. Esiee arvo olkoo alussa A, joe vuode kuluua se o A. Kue edellisessä ehävässä arvo vuouie kasvuprosei p käkeää kasvuekijää α. Saadaa yhälö: A Aα α α Arvo kolmikeraisuu ajassa : A A ( l l l.09... l Esiee arvo kolmikeraisumisaika o oi vuoa. (

0. 9 (. + +. + 8 + 8 + 8 8 8. 9. + + + ( 0 ± ( ± aikka. Edellie yhälö, aaa. Jälkimmäisellä yhälöllä ei ole rakaisua. Vasaus:.. Haele Toyoa; 000 α 000 α ± ±, mua egaiivie ei kelpaa. Sie Heiki Cadillac; 000 β α Auoje arvo ova yhä suure aja kuluua: 000 β β (

(.8... l l l l l l l l l l l 000 000 + Auo ova yhä arvokkaa oi. vuode kuluua ammikuusa 99 eli eleää elokuua 998. Päeekö ilmiö maemaaie malli kuikaki kaua???. a e e lim lim + + b e lim lim + + c + + + ( lim ( lim lim

lim lim + e + l + +. a f( ( + l f ( l + Molemma määriely, ku > 0. l l b g( g ( Molemma määriely, ku > 0. l ( + + l ( c h ( + h( l (l l Tässäki apauksessa sekä h eä h ova määrielly joukossa > 0.. Fukio kuvaajalle piseesee ( 0, y 0 aseeu agei yhälö o yleisesi y y0 f (0 ( 0 ja luoolliselle logarimifukiolle eriyisesi y l 0 ( 0. 0 Tämä paaa meemää origo kaua sijoiamalla yhälöö y 0: 0 l 0 (0 0 l 0 l 0 0 e. Tällöi o 0 y 0 l e. Tagei o sie aseeu piseesee (e,. Edellisesä ehäväsä saadaa agei yhälö suoraa ja ku ormaali o kohisuorassa ageia vasaa ja aseeu samaa piseesee kui ageiki, ii äide suorie yhälö ova: y l ( y + l 0 0 0 0 0 y l 0 0( 0 y 0 0 + l 0 Tagei o ouseva suora ja ormaali o laskeva. Misäköhä se ieää? Nämä leikkaava y-akseli ( 0, agei leikkaa se kohdassa 8(

y l 0 ja ormaali piseessä y 0 + l 0. Näisä jälkimmäie y- koordiaai o suurempi joe y-akselille erouva kolmio kaa o piuudelaa 0 + l 0 l 0 + 0 + Kolmio korkeus o se pisee -koordiaai, missä agei ja ormaali leikkaava oisesa eli o kyseessä pise, joho e o aseeuki. Kolmio ala ( A( 0 + 0 0 + 0 0, 0 > 0 o joukossa 0 > 0 kaikkialla derivoiuva ja sie jakuva fukio ja Koska A ( 0 + 0 >, ii A( 0 o aidosi kasvava. A( 0 + 0 0 0 + 0 0 + 0 0. Viimeksi saau yhälö oeuuu, ku 0, mikä äkee suoraa, koska ei ole käyössä miää kolmae asee yhälö rakaisukaavoja. Tällä yhälöllä ei voi olla oisa rakaisua, koska A( 0 o aidosi kasvava ja saa kuki arvosa vai kerra. Tagei ja ormaali aseeaa siis piseesee (, 0. (l (l D(l l 8. a f ( f (, > 0 l l (l l (l b g( g ( 9. f( e f ( e + e e ( + f ( e ( + + e e ( + f ( e ( + + e ( e ( + Olisikoha sie f ( e ( + l l 9(

0. 0.Fukio f: f( l + o määriely, derivoiuva ja jakuva joukossa > 0, Edellee o f ( +, joka joukossa > 0 o ilma muua posiiivie. Sie fukiolla f o kääeisfukio f, joka o määriely joukosa V f joukkoo D f. Täyyisi ieää, mikä muuuja arvo kuvauuu kakkoseksi: f( l +. Tämä o hiuka sellaie yhälö, eä sillä voi olla vai yksi rakaisu, joka suoraa äkeeki, ja vaikea siä muuoi olisi rakaisakaa aiakaa arkkaa arvoa (s. rassedeie yhälö (f (. f ( + a. a f( l(a, > 0 f ( D(a. a a b f( l(l f ( D(l l l l f( l(l o määriely, ku l > 0 eli ku >. c f( l + + ( + f ( D( + + + ( + f( + o määriely joukossa > 0, koska sisäfukio merki määrää se imiäjä yksi osoiaja ollessa aia posiiivie.. a f( (, > / f ½ ( ( b g( ( ½ 0(

g ( ( ( ( ( Milloi g( o määriely kaikilla : arvoilla. g ( o se äköie, eä o vähäie vaara jouua ollalla jakamaa, mikä ei ole salliua. Tukiaa ( ± 0 ai Derivaaa g ( o määriely kaikkialla mua ei piseissä ai.. a + a + a f ( e f ( e f ja f ova määrielly koko R:ssä. D(a a + + e b g( lg(a + g ( (a D(a + l0 + (a + l0 Koska a + a 0 aia, ii g o määriely kaikilla s: arvoilla, samoi derivaaa g, paisi siiä erikoisessa apauksessa, eä a 0. Tällöi fukio eikä se derivaaa ole määrielly ku 0. c h( (a + (a + h ( (a + a + Fukio ja se derivaaa ova määrielly kaikkialla R:ssä.. Fukio f: f( ( + o määriely, derivoiuva ja jakuva kaikkialla R:ssä ja f ( ( + (. f ( o pääpiireissää posiiivie, ku > ja egaiivie, ku <. Saaaa olla, eä joki : arvo vie lausekkee + ollaksi, mua sillä ei ole ääriarvoje kassa miää ekemisä, sillä äissä piseissä derivaaa merkki ei varmasi vaihdu. Piseessä derivaaa vaihaa merki, kue edellä o odeu ja f( o ääriarvo, paikallie miimi ja samalla absoluuie miimi. Fukio saavuamisa arvoisa o f( ehdoomasi piei ja f( ( + 8. Voidaa varmuudella saoa, eä fukio f arvojoukko { y R y 8} V f.. Neliöpohjaise suorakulmaise särmiö ilavuus V(a, h a h (

Tällöi A(a, h a V + ah ja ku V a h, ii h a Sijoieaa korkeude lauseke: V V A(a a + a a +, ja ämä fukio o a a määriely, jakuva ja derivoiuva joukossa a > 0. V V (a a a a a V a V V (a 0 0 a a V Koska a o aidosi kasvava, ii aidosi kasvava o myös lauseke a V, joe ollakohdassaa derivaaa vaihaa merki egaiivisesa posiiiviseksi. Kohdassa a V o pia-alafukiolla miimiarvo ja ulos merkisee siis siä, eä iisä eliöpohjaisisa suorakulmaisisa särmiöisä, joilla o vakioilavuus, piei o kuuio.. Olkoopa puoliympyrä säde R, suorakulmio kaa ja korkeus y. Silloi se pia-ala A(,y y. Käyäe Pyhagoraa lausea pääsää siirymää yhde muuuja fukioo: + y R ja y ± R, joisa vai posiiivie kelpaa jaa piuudeksi ja siis A( R R. Neliöjuure edessä ollu o voiu viedä juure alle (derivoii helpoamiseksi, koska A( o määriely vai joukossa 0 < < R, ja siis ajeaa akaa siä, eä juure edesä saa viedä posiiivise ekijä juure alle, jos se samalla koroaa eliöö. A( o jakuva joukossa 0 < < R ja derivoiuva vasaavalla avoimella välillä. Edellee A ( R (R ½ (

(R (R R A ( 0 0 ai ±. ½ (R R R Tämä yhälö rakaisuisa vai o derivaaa voimassaoloalueella. Ku hei havaiaa, eä A(0 A(R 0, ii laskemalla vielä R R R R R R A R R. Niipä aiaa olla ala lukuarvo m, ku R m.. V(R,h πr h ja ku h R, ii V(R π R, joka o määriely joukossa R > 0. Tässä o kyseessä sellaie yhdisey fukio, eä pohjaympyrä säde pieeee aja fukioa ja ilavuus puolesaa pohjaympyrä säee fukioa. O siis V( V(R( ja V ( V (R( R ( yhdisey fukio derivoiisääö mukaa ja ämä voidaa merkiä myös s kejusääöä käyäe dv dv dv dr dr d d dr d d πr dv d dv dr Ku puiko ilavuus o 0 cm 0 cm 0 R ja R cm. π π dv cm dr d h cm d πr 0 π cm 0 π h π π cm 0.0... h π R, ii 0. mm h Koska puiko pieeyessä yhdemuooisuus säilyy, ii korkeus pieeee kuusikeraisella vauhdilla eli (

dh d 0.0... cm h 0... cm h. mm h Kai se korkeudeki pieeemie ulisi aaa yhde merkisevä umero arkkuudella. 8. Jäähymie alkaa illalla klo.00 ja äsä aamukuuee o seisemä uia. h 0 0 h 0 0 T(h C + 8 C e 0... C C dt d 0 8 C e h ( 0 8 C e h h ( 0 0 0 C C C.... h h h (