Sili lomuoo Sili ik- uussoss Alomuoo kuv sili käyäyymisä fukio li iksoss. Ylsä lomuoo rksll simrkiksi oskilloskoopi äyöllä. Siimuooi sili Asiφ Asiπf φ i Acosφ Acosπf φ muodos prus kikki sili uussisällö käsilyll, kosk mikä hs milivli sili void siää siimuoois sili summ. Siivärähly ho kskiyy yhdll uudll f. Värähly prussuurid välillä o yhyd f / πf kso piuus [s], f uus [Hz] kulmuus [rd] π/ Void osoi, ä mikä hs milivli ksolli sili void siää sopivsi vliu kosiisili summ. Jyrki Lii L53 Siliori S4
Sili ik- uussoss Ai i cosπf Φ i i A cosπf Φ A cosπf Φ A cosπf Φ L Summss rmi lukumäärä riippuu siäväsä silis siysrkkuuds. Summlusk sisälää kolm prmri, ok ov A i i: rmi mpliudi f i i: rmi uus Φ i i: rmi vih Jyrki Lii L53 Siliori S4
Sili ik- uussoss Esimrkki. Kosiisili mpliudi.5, uus Hz, ku vih ylmpi kuv vih -5π/4 lmpi kuv. /f.5 s Ampliudi - A.5 - - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 [s] Vih -5pi/4.35 s viiv Ampliudi - - - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 [s] Jyrki Lii L53 Siliori S4 3
Sili ik- uussoss Esimrkki. Summsili yli, ok muodosuu, ku kolm li sili lsk yh. -...3.4.5.6.7.8.9.5 -.5...3.4.5.6.7.8.9.5 -.5...3.4.5.6.7.8.9.5 -.5...3.4.5.6.7.8.9 [s] Jyrki Lii L53 Siliori S4 4
Sili ik- uussoss Ku kikki sili sisälämä kosiikompoi siää uud fukio, sd sili siys uussoss. Ylsä ällöi rksll sili yli kuv mpliudi vih uud fukio, olloi puhu vsvsi mpliudi- kskimmäi kuv vihspkrisä li kuv. Ampliudi -...3.4.5.6.7.8.9 [s] Ampliudi.5 Vih [rd] 5 5 5 5 f [Hz] -5 5 5 5 f [Hz] Jyrki Lii L53 Siliori S4 5
Spkri uusvs Sili ik- uussoss Usi lomuoo kiiosvmpi oki sili uussisälö li spkri, ok o lomuodo mmi irlimuuos. Spkri muoo riippuu sili luos: Jksollis sili spkri sd lomuodo Fourir-srs s o luol diskri li koosuu rillisisä kompois, oid uud ov sili prusuud / moikro. Jksoom sili spkri sd Fourir-muuoks s o luol kuv. Liris ärslmi uuskäyäyymi määriää ärslmä impulssivss, li lomuodos, ok ärslmä uo yksikköimpulssis li Dirci dlfukios. Järslmä uusvs o impulssivs Fourir-muuos. Sbiili ärslmä impulssivs o vimv li ksoo. Impulssivs i uusvs kuv äydllissi liris ärslmä vikuuks mihi hs lomuooo. rmi spkri o präisi li kilsä, oss s rkoi kuv. Jyrki Lii L53 Siliori S4 6
Fourir-sr Fourir-sr Fourir-sr Fourir muuos rmi uouv rskliss mmikos J Bpis Fourir:s 768-83, ok ukiss mlli lämmöohumis sii mlmä ksollis fukio siämisksi rioomris fukioid summ: Mikä hs ksolli fukio sili void siää hrmois sii- kosiilo summ. Summss kuki rmi uus o fukio prusuud kokoi moikr. [ cos b ] si Kvss,, 3, kokoisluku. Kroim, b ov Fourirsr kroimi lsk ksolliss silis. rmi π/ o fukio pruskulmuus. Pruskulmuud kokois moikrr, 3, 4, ov fukio hrmoisi kulmuuksi. Jyrki Lii L53 Siliori S4 7
Esimrkki. Jksolli pulssioo. Fourir-sr Ampliudi A Pruskulmuus o π/. Pulssioo Fourir-sr siimuoois rmi uud ov pruskulmuus skä pruskulmuud kokois moikrr hrmois kulmuud, 3, 4, Pulssioo spkri o siis diskri. Jyrki Lii L53 Siliori S4 8
Jyrki Lii L53 Siliori S4 9 Fourir-sr Fourir-sr kroim Fourir-sr kroim sd kvoill: si cos d b d d Kvoiss,, 3, ilmis sr k: kroim. Krroi o : yhd kso yli lsku kskirvo li s määriää sili kskirvo dc-so.
Jyrki Lii L53 Siliori S4 Fourir-sr Fourir-sr kroimi lsk yksikrisuu surviss puksiss: Prilli fukio - b d d, cos / / Ampliudi Prio fukio - - / si, d b Ampliudi
Fourir-sr Jksollis sili prillisuus i priomuus riippuu ollkohd vlis. Edllis sivu prio sili muuuu prillisksi, os ollkoh siirrää /4: vrr läskso vrr. Puolilosymmri -- / Sili o puolilosymmri, os uloksksi sd lkupräi sili, ku siä siirrää puol kso vrr kääää ik-ksli ympäri ivroid., prilli / cos d, prio b, prilli b / si d, prio Jyrki Lii L53 Siliori S4
Nläsos-losymmri Fourir-sr Sili o läsos-losymmri, os s o puolilosymmri s lisäksi symmri posiiivis iivis puolikso kskikohi suh. Nläsos-losymmri sili void hdä oko prillisksi i priomksi sopivll ollhk vlill. Jos vli ollhki si, ä sili o prilli, ov Fourir-sr kroim:, prilli b 4, / 4 cos d, prio /4 / Jyrki Lii L53 Siliori S4
b b, 4, / 4 si d, prilli Fourir-sr Jos vli ollhki si, ä sili o prio, ov Fourir-sr kroim: prio Jyrki Lii L53 Siliori S4 3
Jyrki Lii L53 Siliori S4 4 Fourir-sr Fourir-sr komplksisiys Fourir-sr siysmuoo sd yksikrismmksi, ku huom [ ] [ ] si cos Fourir-srksi sd äiä hyödyä [ ] [ ] [ ] b b b
Jyrki Lii L53 Siliori S4 5 Fourir-sr Kv void dll yksikris, ku huom, ä Määrillää lisäksi komplksi krroi c : [ ] [ ] b b < >,,, b b c Fourir-sr siys sd y muooo K,,,, / / ± ± d c c o o ämä o sili Fourirsr komplksisiys!
Fourir-sr Ampliudi- vihspkri Ylisssä puksss Fourir-sr komplksisiyks kroim c ov komplksiluku, ok void siää muodoss c c r { } c kiä c määriää ksollis sili : hrmois kompoi mpliudi. Esiämällä c uud fukio sd sili diskri mpliudispkri. Vsvsi kspoi r{c } ksollis sili : hrmois kompoi vih, o siämällä r{c } uud fukio sd sili diskri vihspkri. Esimrkki. Jksolli pulssioo. A Jyrki Lii L53 Siliori S4 6
Fourir-sr A, / /, muulloi Fourir-kroimiksi sd ällöi c / / A o d A sic f,, ±, ±, K Sili mpliudi- vihspkri: c r{c }/[ o ] 36 A/ 8-8 / -3/ -/ -/ / / 3/ -36 Jyrki Lii L53 Siliori S4 7
Jyrki Lii L53 Siliori S4 8 Fourir-sr Esimrkki. Kolmiollo Fourir-sr K si4 4 si3 3 si si si V V V V V V V v m m m m m m m π π π π π V m v
Fourir-sr Esimrkki. Kolmiollo Fourir-sr kuu rmi Fourir-sr muodosu kolmiolo.8.6.4. 4 6 8 Jyrki Lii L53 Siliori S4 9
Fourir-sr Esimrkki. Kolmiollo Fourir-sr kuu. 5 rmi Fourir-sr muodosu kolmiolo.8.6.4. -. 4 6 8 Jyrki Lii L53 Siliori S4
Fourir-sr Esimrkki. Kolmiollo Fourir-sr kuu. rmi Fourir-sr muodosu kolmiolo.8.6.4. -. 4 6 8 Jyrki Lii L53 Siliori S4
Fourir-muuos Johdo Fourir-muuoksll void määrillä uussisälö ksoomill silill. Fourir-muuos void piää skä Lplc-muuoks ä Fourir-sr rikoispuks. Silikäsily- ioliikkiik sovlluuksiss Fourir-muuos o kuiki ylismmi käyy kui Lplc-muuos, o rkslu pohuuu ylsä Fourir-sr ori. rksll Fourir-sr komplksisiysä: c o c / / o d,, ±, ±, K Sili ksopiuud ksvss, khd präkkäis hrmois uud väli pi. Jyrki Lii L53 Siliori S4
Fourir-muuos π Ku sili muuuu ksoomksi ksoik lähsyy ääröä präkkäisi uuksi rous muuuu diffrilisksi, li spkri muuuu kuvksi. d π Fourir-kroim häviävä sili ksollisuud hävissä, li c -> ku ->. Void osoi, ä ulo c r-rvo o c d, Jyrki Lii L53 Siliori S4 3
Fourir-muuos Edllä olv irli o fukio Fourir-muuos, ok määrillää muodoss I { } G Fourir-kääismuuos sd kvll I π { } G d G d Fourir-muuoks muodosv yhdssä Fourir-muuospri G Fourir-muuoksss lsk is siss muuv sili sili - korrlio kikill uud rvoill. Suuri korrlio ilmis sisälävä vsv uu. Pii korrlio puols osoi kysis uuskompoi puuuv silis. Jyrki Lii L53 Siliori S4 4
Fourir-muuos Esimrkki. Jksolli pulssioo ksoo pulssi. A A Jksolli sili Jksoo sili c G A/ A / -3/ -/ -/ / / 3/ -3/ -/ -/ / / 3/ Diskri spkri Jkuv spkri Jyrki Lii L53 Siliori S4 5
Fourir-irli suppmi Fourir-muuos Silill o i määrily Fourir-muuos, mikäli Fourir-muuosirli supp, li s äärllis rvo iroimisvälillä. Esimrkki älliss silis o dllis sivu suorkidpulssi, ok pi-l pulssi piuus x pulssi korkus o äärlli. Fourir-irli voi sup myös, vikk sili i kosk svu oll rksluvälillä, mikäli läh sympooissi oll, ->. Esimrkki älliss silis o vimv kspoili. K -σ G K σ K σ σ K K σ Jyrki Lii L53 Siliori S4 6
Fourir-muuos Joidki rikoisfukioid Fourir-muuoksi Suorkidpulssill vimvll kspoilill void lsk Fourirmuuos hlpohkosi, kosk äid fukioid Fourir-irli-supp s. Dirichli hdo mukissi. Mm. vkiofukio K vkio, siimuoois fukio ~ cos sklfukio u ov simrkkä silis, oill Fourir-irli suppmisho i ol voimss. Näid Fourir-muuoks lskss oudu urvuum oihiki rikoisfukioihi, ok määrillää survss lyhysi. Impulssi- sklfukio ol uuds uuiksi. Suorkidfukio rc, < < rc, Yksikköimpulssifukio void lusu suorkidfukio vull muodoss lim δ rc τ τ τ Jyrki Lii L53 Siliori S4 7
Jyrki Lii L53 Siliori S4 8 Fourir-muuos Suorkidpulssi, ok korkus o A piuus void siää rc-fukio käyä muodoss. / rc A Lsk suorkidpulssi Fourir-muuos: A mpliudispkri sic sic sic sic si si / / / / / / / / / / / / / A A G f A A A A A A A A d A d A d G o
Fourir-muuos Ylis suorkidpulssi Fourir-muuospri o siis Arc / A sic f A G -3/ -/ -/ / / 3/ Dirci kmpfukio li idli äyoofukio δ δ Kmpfukio Fourir-muuos o myös kmpfukio. δ δ f F / / Jyrki Lii L53 Siliori S4 9 f
Fourir-muuos Fourir-muuos lsk moill käyäö silill dllä kuvu rikoisfukioid vull. ällöi lähdää liikkll osi uus fukios, ok r-rvo lähsyä koh olv fukio. Esimrkiksi vkiofukio K Fourir-muuos void määriää kksisuuis kspoifukio vull, ku vimuskiä σ lähsyä oll. K -σ σ. σ. σ. Fukio siis lähsyy r-rvo vkiofukio K, s Fourir-muuos G lähsyy impulssifukio K πkδ ämä ulos void ulki si, ä sili DC-kompoi o ollui. Käää ulos kroo, ä impulssi Fourir-muuos o äärömä lvä li impulssi sisälää kikki uuksi vkiompliudill! Jyrki Lii L53 Siliori S4 3
Fourir-muuos sium-fukio s, s,, > < Sium-fukio i äyä suppmisho, mu s void siää yksikkösklfukio vull muodoss -σ u- σ u- s u u äsä sd dll kspoifukio vull siysmuoo, os sium-fukio Fourir-muuos void määriää. lim σ σ s { u u } σ Fourir-muuospriksi sd s Jyrki Lii L53 Siliori S4 3 σ σ. σ. σ ->
Fourir-muuos Yksikkösklfukio Fourir-muuos Yksikkösklfukio u void lusu sium-fukio s vull muodoss u s Yksikkösklfukio Fourir-muuoksksi sd ämä prusll I { u } I I s Yksikkösklfukio Fourir-muuos sd siis vkiofukio sium-fukio muuos summ. Nämä muuoks o siy dllä, o I{ u } π δ πδ u πδ ässä hyödyää Fourir-muuoks lirisuus-omiisuu. Jyrki Lii L53 Siliori S4 3
Fourir-muuos Kosii- siifukio Fourir-muuoks cos πδ πδ si { πδ πδ } cos si Jyrki Lii L53 Siliori S4 33
Jyrki Lii L53 Siliori S4 34 Fourir-muuos Fourir-muuoks omiisuuksi Homoisuus Fourir-muuos o homi oprio. Muuv sili sklmi ihu vsv skluks Fourir-muuoksss KG K G Fourir-muuoks ddiiivisuus Fourir-muuos o ddiiivi oprio. Khd sili summ Fourirmuuos o rmisili Fourir-muuos summ G G G G Fourir-muuoks lirisuus Fourir-muuos o liri oprio, kosk s o skä homoi ä ddiiivi oprio.
Jyrki Lii L53 Siliori S4 35 Fourir-muuos { } { } { } G K K G K K K K I I I Fourir-muuoks lirisuus Fourir-muuos o liri oprio, kosk s o skä homoi ä ddiiivi oprio. Esimrkiksi { } { } { } { } { } I I I 3 3.5 3 si3.5 cos 3.5si3 3cos πδ πδ πδ πδ
Fourir-muuos A sklus Aikskl kuisuss uusskl vyy päivsoi G Ampliudi.8.6.4..5.4 - -.5.5 [s] Ampliudi..5..5.5-5 5 f [Hz]. Suorkidpulssi lvyssä s spkri kp päivsoi. Ampliudi.3. Ampliudi.5...5 - -.5.5 [s] -5 5 f [Hz] Jyrki Lii L53 Siliori S4 36
Viiväsys iksoss Sili viiväsämisä iksoss vrr vs uussoss Fourirmuuoks kromi kiällä -. Viiväsys muu sili vih, mu i viku isisrvoo. G G Fourir-muuos.8.6.4. Suorkidpulssi - [s] Viiväsy pulssi.8.6.4...5..5 Ampliudispkri -5 5 f [Hz] Ampliudispkri..5..5.5 -.5 V ih s p kri - -5 5 f [Hz] V ih s p kri.4. -. Kulmkrroi -.5 - [s] -5 5 f [Hz] -.4-5 5 f [Hz] Jyrki Lii L53 Siliori S4 37
Jyrki Lii L53 Siliori S4 38 Fourir-muuos [ ] cos M M G m m m m Esimrkki. Ampliudimodulio. Ampliudimodulioss iformio sisälävä hyöysili m moduloi siimuoois kollo c cos mpliudi. Moduloiiss hyöysili krro kolosilill, olloi sd moduloiu kolosili. Moduloidu kollo Fourir-muuos koosuu uuksi - ympärisöö siirysä hyöysili spkrisä. M G - Viiväsys uussoss Sili Fourir-muuoks viiväsämisä uussoss uud vrr vs iksoss sili kromi kiällä. G G
Jyrki Lii L53 Siliori S4 39 Fourir-muuos G d d G Drivoii iksoss Sili drivoii iksoss vhvis uuksi kiällä, missä drivoii krluku. Drivoii vhvis siis korki uuksi. Iroii iksoss Sili iroii iksoss vsvsi vim korki uuksi. F G F f d f
Jyrki Lii L53 Siliori S4 4 Fourir-muuos λ λ λ H F G h f d h f H h F f Kovoluuio iksoss kovoluuioorm Sili kovoluuio iksoss vs uussoss iid Fourirmuuos kromi kskää. K huom dlfukio käyäyymi kovoluuio lskss d δ λ λ δ λ J kovoluuioorm prusll sm uussoss δ G d G
Fourir-muuos Esimrkki. Fourir-muuoks kovoluuioorm. uusso: uusvs Suodv sili Suodu sili H[f]..8.6.4. 3 4 5 f / [Hz] 5 3 4 3 4 5 f / [Hz] 5 4 3 3 4 5 f / [Hz] Aikso: Impulssivs Suodv sili Suodu sili h[].3.. -. -. -.3 3 4 5 3 - - -3..4.6.8 / [s] 3 - - -3..4.6.8 / [s] Jyrki Lii L53 Siliori S4 4
Jyrki Lii L53 Siliori S4 4 Fourir-muuos λ λ λ π d F F G f f F f F f Kovoluuio uussoss uusso kovoluuio puols vs ikso krolsku.
Kislvys Sili sisälämä posiiivis uud määriävä sili kislvyd uussoss. Sili o iuksi kisroiu uussoss, os s sisälää vi iy uuskis sisällä olls rovi uuksi o oll ämä uuskis ulkopuolll. älli sili o i sympooissi kisroiu iksoss. Sili i voi oll yhä ik iuksi kisroiu skä ik- ä uussoss. Esimrkiksi sic-pulssi iksoss o sympooissi kisroiu. S rvo lähsyvä oll, ku ±. Sic-pulssi Fourir-muuos o suorkidpulssi, ok sisälää vi iyllä välillä olvi uuksi, o sic-pulssi o iuksi kisroiu uussoss Jyrki Lii L53 Siliori S4 43
Kislvys Aikso Äärömä pikä sili uusso Äärllis piui spkri KislvysB Ampliudi Ampliudi Aik -B B uus Äärllis piui sili Äärömä pikä spkri Ampliudi Ampliudi Aik uus Jyrki Lii L53 Siliori S4 44
Kislvys Äärömä pikä spkri omvll silillki määriää usi kislvys sillä äissä puksiss mpliudi yypillissi vim uud ksvss. ällöi kislvys void määriää usll ri vll: Jos simrkiksi sili spkrissä o slväsi rouv päämksimi, o ro sivumksimis ollkohd vikkp sic-sili, voi kislvys määräyyä päämksimi ollkohi prusll. oi yli p o määriää s. 3 db: kis lvys s pis vull, oss sili mpliudi o pudou huippurvos kiällä /.77. Sili ho o pudou ässä pisssä puol huippurvos / ^/. Kolms mhdollisuus ähä pl myöhmmi o määrillä kislvys sili ri i hoo prusu. ällöi ruudksi void sopi simrkiksi s uus, ok lpuolll olv silikompoi sisälävä 9% i 95% sili ris. Jyrki Lii L53 Siliori S4 45
Kislvys Kislvys määrillää ylsä rivll s. lipääsö kispääsösilill. Alipääsösili ri kskiyy olluud ympärisöö kispääsösili ri vsvsi oku olls poikkv uud ympärisöö. Ylisä sääöä void od, ä pulssisili piuud kislvyd ulo o vkio. Esimrkiksi : piuis suorkidsili kislvys o / [Hz], li ulo o vkio. F / Jyrki Lii L53 Siliori S4 46
Kislvys Esimrkki. : piuis suorkidsili kislvys uussoss. Kislvys/ suorki piuus iksoss Kislvys/ suorki piuus iksoss Ampliudi Ampliudi -/ / f c -/ f c fc / uus uus 3db kislvys 3db kislvys Ampliudi.77 Ampliudi.77 f c uus uus Jyrki Lii L53 Siliori S4 47