Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto
Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita t:ssä päivässä, b)tietyssä maassa syntyy lapsia t:ssä vuodessa, c) tietty jalkapalloilija tekee maaleja t:ssä ottelussa. Kussakin kohdassa mallinnamme I:tä satunnaismuuttujalla N(t), joka ilmoittaa, kuinka monta kertaa I on tapahtunut ajanhetkeen t mennessä. Täten meillä on satunnaismuuttujajoukko eli stokastinen prosessi {N(t) t 0}. mat. mallinnus, luento 12 osa 2 kalvo nro 2
Laskentaprosessi Stokastinen prosessi N = {N(t) t 0} on laskentaprosessi, jos kaikki N(t):t ovat kokonaislukuarvoisia ja N(0) 0, s < t fi N(s) N(t). N(t) ilmoittaa, kuinka monta kertaa I on tapahtunut ajanhetkeen t mennessä. N(t) N(s) ilmoittaa, kuinka monta kertaa se on tapahtunut ajanhetkien s ja t välillä. Voidaanko esimerkin I:t mallintaa laskentaprosesseina? Voidaan. mat. mallinnus, luento 12 osa 2 kalvo nro 3
Riippumattomat lisäykset Laskentaprosessi N = {N(t) t 0} on riippumattomien lisäysten prosessi, jos erillisinä aikaväleinä tapahtuvien I:den lukumäärät eivät riipu toisistaan. Toisin sanoen, kun 0 s 1 < t 1 < s 2 < t 2, niin satunnaismuuttujat N(t 1 ) N(s 1 ) ja N(t 2 ) N(s 2 ) ovat riippumattomat. Voidaanko esimerkin I:t mallintaa riippumattomien lisäysten prosesseina? a) Voidaan (tiettyjä ääritilanteita lukuunottamatta). b) Ei pitkällä aikavälillä. Syntyneiden lasten lukumäärä vaikuttaa syntyvien lasten lukumäärään, kun nämä lapset saavat lapsia. c) Voidaan, ellei pelaajaan vaikuta aiempi menestys. mat. mallinnus, luento 12 osa 2 kalvo nro 4
Stationaariset lisäykset Laskentaprosessi N = {N(t) t 0} on stationaaristen lisäysten prosessi, jos tietyllä aikavälillä sattuvien I:den jakauma riippuu vain aikavälin pituudesta. Siis, kun s 0 ja t > 0, niin satunnaismuuttujan N(t+s) N(s) jakauma riippuu vain t:stä eikä s:stä. Ovatko esimerkin prosessit tällaisia? a) On, jos asiakkaiden halukkuus ostoksille ei riipu päivästä. b) Ei, koska maapallon väkiluku muuttuu. c) On, jos pelaajan mahdollisuus menestyä eri otteluissa on suunnilleen sama. Näin voitaneen olettaa lyhyellä aikavälillä. mat. mallinnus, luento 12 osa 2 kalvo nro 5
Poissonin prosessi Olkoon kasvukerroin l > 0. Riippumattomien lis äysten prosessi N = {N(t) t 0} on Poissonin prosessi, jos N(0) = 0 ja jos jokaisella t:n pituisella aikavälillä tapahtuvien I:den lukumäärä noudattaa Poissonin jakaumaa odotusarvolla lt. Tällöin kaikilla t, s 0, n = 0, 1, 2,... on p () t = P N( t + s) - N() s = n e n joten N on stationaaristen lisäysten prosessi. Odotusarvo E(N(t)) = lt. Myös varianssi D(N(t)) = lt. ( t) n! t l ( ) = - l n, mat. mallinnus, luento 12 osa 2 kalvo nro 6
Poissonin prosessin luonnehdinta Kasvukertoimen l omaava Poissonin prosessi on ainoa stationaarinen riippumattomien lisäysten prosessi N = {N(t) t 0}, jolle N(0) = 0 ja kaikilla h > 0 P(N(h) = 1) = lh + o(h), P(N(h) 2) = o(h). Tässä o(h) tarkoittaa jotakin sellaista funktiota, joka jaettuna h:lla Æ 0, kun h Æ 0. Havainnollisesti voidaan sanoa, että kun h on pieni, niin P(N(h) = 1) ª lh, P(N(h) 2) ª 0. mat. mallinnus, luento 12 osa 2 kalvo nro 7
Poissonin prosessin väliajat Tarkastelemme kasvukertoimen l omaavaa Poissonin prosessia. Olkoon X n satunnaismuuttuja, joka ilmoittaa, milloin I tapahtuu n:nnen kerran. Olkoon edelleen T n satunnaismuuttuja, joka ilmoittaa I:n (n 1):nnen ja n:nen sattumisen välisen ajan. Siis T n = X n X n-1 (X 0 = 0). Väliajat T n ovat riippumattomia ja noudattavat eksponenttijakaumaa parametrilla l. Siis P(T n t) = 1 e -lt, joten P(T n > t) = e -lt. Odotusarvo E(T n ) = 1/ l. Varianssi D(T n ) = 1/ l 2. mat. mallinnus, luento 12 osa 2 kalvo nro 8
Esimerkki Autokauppias myy keskimäärin yhden auton (työ)päivässä. Millä todennäköisyydellä hän myy kahdessa päivässä (täsmälleen) kolme autoa? Ratkaisu. Poissonin prosessin kasvukerroin l = 1. n t ( t) pn() t = e - l l, n! joten kysytty todennäköisyys on p 3 ( 2) 3-2 2 4 = e = ª 2 3! 3e 018,. mat. mallinnus, luento 12 osa 2 kalvo nro 9
Esimerkki, jatkoa Millä todennäköisyydellä viidennen ja kuudennen kaupan väli ylittää kaksi päivää? Ratkaisu. (n 1):nnen ja n:nnen kaupan väli T n ylittää t päivää todennäköisyydellä P(T n > t) = e -lt. Koska l = 1, niin kysytty todennäköisyys on P(T 6 > 2) = e -2 ª 0,14. (Se on sama kaikilla muillakin n:llä. Erityisesti arvolla n = 1 saamme P(T 1 > 2) = P(X 1 > 2) = P(N(2) = 0) = e -2.) mat. mallinnus, luento 12 osa 2 kalvo nro 10
Esimerkki, jatkoa Missä ajassa kauppias keskimäärin myy kymmenen autoa? Ratkaisu. Satunnaismuuttujalle X n voidaan johtaa jakauma, mutta siihen perustuva ratkaisu on liian monimutkainen. Yleisesti on E(X n ) = E(T 1 + + T n ) = E(T 1 ) + + E(T n ) = n(1/l) = n/l, joten kysytty aika on E(X 10 ) = 10 (päivää). mat. mallinnus, luento 12 osa 2 kalvo nro 11
Kirjallisuus S.M.Ross, Introduction to Probability Models. 6th ed. Acad. Pr.,1997. mat. mallinnus, luento 12 osa 2 kalvo nro 12