MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24

Kaarenpituus 1/2 Olkoon r : [a, b] R n käyrän C jatkuvasti derivoituva parametrisointi. Jos käyrää approksimoidaan sen sekanteista muodostetulla murtoviivalla ja annetaan approksimaation tihentyä, voidaan olettaa, että murtoviivojen pituudet suppenevat kohti lukua l, joka olisi tutkittavan käyrän kaarenpituus. Osoittautuu, että näin todella käy ja että kaarenpituus saadaan integraalina l(c) = ˆ b a r (t) dt. Tämän perustelemiseksi tarkastellaan välin [a, b] tasavälistä jakoa pisteillä t k = a + k t, missä t = (b a)/n ja n on jakovälien lukumäärä. Tällöin siis t 0 = a ja t n = b. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 2 / 24

Kaarenpituus 2/2 Jos merkitään r k = r(t k+1 ) r(t k ), niin vastaavan murtoviivan pituus on k r k. Jokaisella k on voimassa r k = r(t k + t) r(t k ) r (t k ) t, joten murtoviivan pituus on likimäärin n 1 r (t k ) t k=0 ˆ b a r (t) dt. Voidaan osoittaa, että rajalla n, ts. kun t 0, murtoviivojen pituuksilla on raja-arvona tämä integraali, joka siis esittää kyseisen käyrän kaarenpituutta. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 3 / 24

Huomautuksia Jos käyrän parametrisointi on ainostaan paloittain jatkuvasti derivoituva, saadaan koko käyrän kaarenpituus laskemalla osien kaarenpituudet yhteen. Koska samalla käyrällä voi olla useita erilaisia parametrisointeja, herää kysymys siitä, onko kaarenpituus itse käyrään vai pelkästään tiettyyn parametrisointiin liittyvä luku. Voidaan osoittaa, ettei kaarenpituus riipu parametrisoinnin valinnasta eikä sen suunnasta. Hieman täsmällisemmin muotoiltuna pätee: jos uusi parametrisointi saadaan muuttujanvaihdolla entisestä, niin niitä vastaavien kaarenpituusintegraalien arvot ovat samat. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 4 / 24

Esimerkki Laskemme Helix-käyrän r(t) = (cos t, sin t, t) kaarenpituuden parametrivälillä t [0, 2π]. Koska r (t) = sin ti + cos tj + k, niin r (t) = ( sin t) 2 + cos 2 t + 1 = 2. Kaarenpituudeksi saadaan l = ˆ 2π 0 r (t) dt = 2 2π. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 5 / 24

Parametrisointi kaarenpituuden suhteen Esimerkissä parametrisointi venyttää parametrivälin pituutta kertoimella 2 2π/2π = 2. Valitsemalla uusi parametri s = 2t, eli t = s/ 2, saadaan toinen parametrisointi jolle r (s) = 1 kaikilla s. r(s) = (cos(s/ 2), sin(s/ 2), s/ 2), Tämä tarkoittaa sitä, että kaarenpituus itse käyrällä on täsmälleen sama kuin vastaavan parametrivälin pituus. Tällaista kutsutaan parametrisoinniksi kaarenpituuden suhteen ja se voidaan periaatteessa muodostaa kaikille käyrille. Tuloksella on kuitenkin vain teoreettista mielenkiintoa, koska kaarenpituusintegraaleja ei yleensä voida esittää alkeisfunktioiden avulla, vaan ne täytyy laskea numeerisesti. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 6 / 24

Esimerkki Funktion kuvaajan y = f (x) kaarenpituudelle on olemassa jo ennestään tuttu kaava. Tutkitaan, millainen tulos saadaan käyttämällä tämän luvun yleisempää tulosta. Kuvaaja voidaan parametrisoida muodossa x = t, y = f (t), t [a, b]. Tällöin r (t) = i + f (t)j ja r (t) = 1 + f (t) 2, joten kaarenpituudeksi saadaan l = ˆ b a 1 + f (t) 2 dt. Huom. Kaarenpituutta voidaan tutkia myös sellaisille käyrille, joiden parametrisointi on muodostettu rajoittamattomalla välillä, ja kaarenpituusintegraalista tulee tällöin epäoleellinen. Jos tämä integraali on suppeneva, niin käyrää sanotaan suoristuvaksi. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 7 / 24

Esimerkki Onko spiraalin x = e t cos t, y = e t sin t, t 0, kaarenpituus äärellinen? Lasketaan siis r (t) = e t ( cos t sin t)i + e t (cos t sin t)j ja edelleen r (t) = e t ( cos t sin t) 2 + (cos t sin t) 2 = 2e t. Näin ollen kaarenpituudeksi saadaan l = ˆ joten spiraali on suoristuva. 0 r (t) dt = 2 ˆ 0 e t dt = 2, Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 8 / 24

Huomautus On syytä mainita, ettei pelkkä jatkuvuus takaa edes sitä, että suljetulla välillä parametrisoitu tasokäyrä olisi suoristuva. Tunnetuin esimerkki tällaisesta on ns. lumihiutalekäyrä, jonka keksi ruotsalainen Helge von Koch v. 1904; katso esim. http://mathworld.wolfram.com/kochsnowflake.html Tässä yleisemmässä tilanteessa suoristuvuutta ei voida enää tutkia integraalina, vaan päättelyn täytyy perustua suoraan approksimoivien murtoviivojen pituuksiin. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 9 / 24

Kaarenpituuden laskemista napakoordinaattien avulla 1/2 Tason piste (x, y) voidaan esittää napakoordinaattien r, θ avulla muodossa x = r cos θ, y = r sin θ, missä r 0 ja θ R (tai θ [0, 2π]). Monia tasojoukkoja on helpompi käsitellä napakoordinaattien kuin tavallisten xy-koordinaattien avulla. Esimerkiksi R-säteisen ympyrän yhtälö napakoordinaateissa on muotoa r = R. Tutkimme seuraavassa tasokäyrän r = f (θ), θ 0 θ θ 1, kaarenpituuden laskemista. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 10 / 24

Kaarenpituuden laskemista napakoordinaattien avulla 2/2 Tällainen käyrä voidaan parametrisoida kulman θ = t avulla, jolloin { x = r cos θ = f (θ) cos θ = f (t) cos t y = r sin θ = f (θ) sin θ = f (t) sin t. Tällöin r (t) = (f (t) cos t f (t) sin t)i + (f (t) sin t + f (t) cos t)j ja r (t) = f (t) 2 + f (t) 2 sievennysten jälkeen. Kaarenpituus saadaan siis integraalista l = ˆ θ1 θ 0 f (t) 2 + f (t) 2 dt. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 11 / 24

Esimerkki Lasketaan neliapilan r = cos 2θ, 0 θ 2π, kaarenpituus. Symmetrian vuoksi riittää laskea kaarenpituus välillä θ [0, π/4] ja kertoa tulos luvulla 8. Tällöin myös cos 2θ 0, mikä helpottaa laskuja. Nyt siis f (t) = cos 2t ja f (t) = 2 sin 2t, joten kaarenpituudeksi saadaan 8 ˆ π/4 0 cos 2 (2t) + 4 sin 2 (2t) dt = 8 ˆ π/4 0 1 + 3 sin 2 (2t) dt 9.69. Kyseessä on ns. elliptinen integraali, joka täytyy laskea numeerisesti; sillä ei ole alkeisfunktioiden avulla esitettävää arvoa. Tämä ilmiö toistuu useissa kaarenpituuteen liittyvissä laskuissa. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 12 / 24

Skalaarikenttä Skalaarikentällä tarkoitetaan usean muuttujan funktiota f : A R, missä funktion määrittelyjoukko A R n. Täsmällisemmin voidaan sanoa, että kyseessä on n:n muuttujan funktio. Funktion f arvo pisteessä (x 1,..., x n ) kirjoitetaan muodossa f (x 1,..., x n ), kun (x 1,..., x n ) A. Fysikaalisista suureista skalaarikenttiä ovat esimerkiksi kappaleen lämpötila u = u(x, y, z, t) ja sen tiheys ρ = ρ(x, y, z). Esim. Skalaarikenttä f : R 2 R määritellään kaavalla f (x, y) = xy x + 2y + 3. Tällöin f ( 1, 2) = 6. Seuraavaksi tutkitaan, kuinka pitäisi määritellä skalaarikentän integraali pitkin parametrisoitua käyrää. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 13 / 24

Esimerkki 1/2 Johdattelevana esimerkkinä lasketaan epähomogeenisen mutkittelevan metallilangan massa. Langalla on parametrisointi r = r(t), missä t [a, b], ja sen pituustiheys ρ = ρ(r(t)) tunnetaan kussakin pisteessä. Approksimoidaan langan kokonaismassaa. Tarkastellaan lyhyttä langanpätkää, joka vastaa parametriväliä [t, t + t]. Vastaavaa käyrän osaa voidaan approksimoida erotusvektorilla Tämän langan osan massa on siis r = r(t + t) r(t) r (t) t. m ρ(r(t)) r ρ(r(t)) r (t) t. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 14 / 24

Esimerkki 2/2 Jos koko parametriväli jaetaan tasavälisesti jakopisteillä a = t 0, t 1,..., t n = b, niin koko langan massalle saadaan approksimaatio m n 1 m ρ(r(t k )) r (t k ) t. k=0 Kun jako tihentyy, eli t 0, niin summan raja-arvona saadaan integraali ˆ b a ρ(r(t)) r (t) dt, joka ilmeisesti parhaiten kuvaa koko langan massaa. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 15 / 24

Skalaarikentän viivaintegraali Esimerkin perusteella asetetaan seuraava määritelmä, jossa tämän kurssin tarpeisiin riittävät tapaukset n = 2 ja n = 3. Määritelmä Olkoon C R n käyrä, jolla on paloittain jatkuvasti derivoituva parametrisointi r = r(t), t [a, b]. Jos f : C R on skalaarikenttä, niin sen viivaintegraali käyrää C pitkin on ˆ C f ds = ˆ b a f (r(t)) r (t) dt. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 16 / 24

Huomautuksia 1/2 Paloittainen säännöllisyys näkyy laskuissa niin, että integraali jakaantuu erikseen laskettaviin osiin. Tarkasti ottaen täytyy vielä olettaa, että funktio t f (r(t)) on ainakin paloittain jatkuva, jotta sitä voidaan integroida. Tämä palautuu itse skalaarikentän f jatkuvuuteen, jota käsitellään myöhemmin. Viivaintegraalin arvo ei riipu parametrisoinnin valinnasta eikä sen suunnasta. Funktio f on usein määritelty muuallakin kuin pelkästään käyrän pisteissä r(t), mutta näillä arvoilla ei ole mitään merkitystä tulokseen. Differentiaali ds = r (t) dt voidaan tulkita kaarenpituusalkioksi. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 17 / 24

Huomautuksia 2/2 Jos f 1, niin käyrän C kaarenpituus l voidaan laskea ˆ C 1 ds = ˆ b a r (t) dt = l Lauseketta ˆ 1 f ds l C kutsutaan funktion f keskiarvoksi käyrällä C. Jos C on umpinainen käyrä, niin viivaintegraalille käytetään myös merkintää ˆ ˆ b f ds = f ds = f (r(t)) r (t) dt. C C Tämä ei siis vaikuta mitenkään itse integraalin arvoon eikä sen laskemiseen. a Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 18 / 24

Esimerkki Lasketaan skalaarikentän f (x, y, z) = 2x + 4y viivaintegraali pitkin parametrisoitua avaruuskäyrää r(t) = (t, t, t 2 ), t [0, 1]. Nyt siis r (t) = i + j + 2tk, joten r (t) = 1 + 1 + (2t) 2 = 2 + 4t 2. Lisäksi f (r(t)) = f (x(t), y(t), z(t)) = 2t + 4t = 6t, joten ˆ C f ds = ˆ 1 0 6t 2 + 4t 2 dt = 1 1 2 (2 + 4t 2 ) 3/2 = 3 6 2. 0 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 19 / 24

Kaarevuus ja muutosnopeus Kaarevuus liittyy käyrän suunnan muutosnopeuteen. Geometrisesti tarkasteltuna on luontevinta selvittää ensin tutkittavassa pisteessä käyrän kaarevuussäde R ja määritellä sen avulla kaarevuus K = κ = 1/R. Jotta pääsemme mahdollisimman nopeasti myös kolmiulotteiseen tapaukseen, tarkastellaan lähtökohtana seuraavaa esimerkkiä. Hiukkanen kiertää R-säteistä ympyrärataa kulmanopeudella ω. Määritetään sen normaalikiihtyvyys eli keskeiskiihtyvyys (joka pitää kappaleen radallaan). Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 20 / 24

Esimerkki Radan parametrisointi ajan suhteen on muotoa x = R cos ωt, y = R sin ωt. Tällöin r (t) = Rω sin(ωt)i + Rω cos(ωt)j ja r (t) = Rω. Jälkimmäinen yhtälö kertoo myös kulmanopeuden yhteyden hiukkasen vauhtiin. Kiihtyvyydeksi saadaan a(t) = Rω 2 cos(ωt)i Rω 2 sin(ωt)j = ω 2 R 1 R r(t), joten a N = a ja a N = ω 2 R = r (t) 2 /R. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 21 / 24

Huomautuksia Jälkimmäinen muoto saattaa olla ennestään tuttu keskeiskiihtyvyyden lauseke lukiofysiikasta. Se antaa myös viitteen siitä, että yleisen käyrän kaarevuussäde voitaisiin laskea kaavalla R = r (t) 2 /a N vertaamalla käyrän kulkua hetkellisesti pyörimisliikkeeseen. Koska r = a = a T u + a N n, niin muodostamalla vektorin u ristitulo yhtälön molempien puolten kanssa saadaan u r = a T u u + a N u n = a N u n. Tässä u n on yksikkövektori (itse asiassa sivunormaali), joten a N = u r = r r r. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 22 / 24

Kaarevuus 1/2 Yhdistämällä saadut kaavat päädytään seuraavaan määritelmään: Määritelmä Jos r = r(t) on kolmiulotteisen käyrän säännöllinen kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva parametrisointi, niin käyrän kaarevuus pisteessä r(t) on ja vastaava kaarevuussäde R = 1/κ. κ = r (t) r (t) v(t) a(t) r (t) 3 = v(t) 3 Tasokäyrille, jotka saadaan avaruuskäyrien erikoistapauksena asettamalla z(t) 0. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 23 / 24

Kaarevuus 2/2 Tällöin r (t) = x (t) 2 + y (t) 2 ja i j k r (t) r (t) = x (t) y (t) 0 x (t) y (t) 0 = (x (t)y (t) x (t)y (t))k. Määritelmä (tason tapaus) Tarkastellaan tasokäyrää, jolla on säännöllinen kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva parametrisointi r(t) = (x(t), y(t)). Tällöin pisteessä r(t) käyrän kaarevuus on κ = x (t)y (t) x (t)y (t) r (t) 3 ja vastaava kaarevuussäde on R = 1/κ. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 24 / 24