Valintakokeessa on kaksi osaa: Osa 1 sisältää viisi esseetehtävää kansantaloustieteestä. Osasta 1 voi saada 0 30 pistettä. Osa sisältää kuusi matematiikan laskutehtävää. Osasta voi saada 0 30 pistettä. Hakijan on saatava valintakokeesta yhteensä vähintään 0 pistettä. Hakijat valitaan vähimmäispistemäärän saavuttaneista valintaperusteissa esitetyn valintamenettelyn mukaisesti. Osa 1: Kansantaloustiede Vastaa johdonmukaisesti kokonaisilla lauseilla. Vastauksen pitää mahtua sille varattuun tilaan. Vastaustilan ulkopuolelle kirjoitettua tekstiä ei huomioida. 1. Määrittele kysynnän hintajousto. Anna esimerkki jollekin hyödykkeelle hyödyntäen keskipistemenetelmää. (6 pistettä) Vastaus: Määritelmä: Kysytyn määrän muutos % / Hinnan muutos %. Kuvaa hinnan suhteellisen muutoksen vaikutusta kysytyn määrän suhteelliseen muutokseen. (p, 4/3p) Termit joustava/joustamaton ja yksikköjoustava. Kysynnän hintajousto voidaan yleensä olettaa negatiiviseksi. (1p, /3p) Hyödykkeen markkinamuutoksen (hinta ja kysytty määrä) määrittäminen sekä keskipistemenetelmä ja sen soveltaminen määriteltyyn markkinamuutokseen. (p, 4/3p) Tuloksen analysointi: Onko kyseisen hyödykkeen kysyntä joustavaa vai joustamatonta.(1p, /3p)
. Vertaa monopolin ja kilpailullisten markkinoiden hintaa ja niiden tuottamaa hyödykkeiden määrää graafisesti. Selitä, miten hinta ja tuotettu määrä määräytyvät. (6 p). Vastaus: Kuvaajat monopolimarkkinoille ja kilpailullisille markkinoille joissa kysyntä-, rajakustannus- ja rajatulokäyrät on merkitty oikein. Näiden avulla on kuvattu hinnat ja maarät. Kirjallinen selitys joka liittyy piirrettyihin kuvaajiin (4p, 8/3p). Monopoli tuottaa vähemmän ja korkeammalla hinnalla (1p, /3p). Graafisia esityksiä vertailemalla pystyy ymmärtämään hinnan ja määrän eroavuudet markkinoiden välillä (1p, /3p).
3. Havainnollista sanallisesti hyödykeverotuksen vaikutusta markkinahintaan ja tuotettuun määrään. Anna esimerkki. (6 p). s. 117 118 Hyödykkeen markkinahinta nousee (1,5 pistettä) ja tuotettu määrä laskee (1,5 pistettä). Esimerkkinä voi toimia esimerkiksi arvonlisävero, tai hinnan ja määrän muutoksen kuvailu joustavan ja joustamattoman kysynnän tapauksessa (3 pistettä).
4. Mitä tarkoittaa ylijäämäinen vaihtotase? Määrittele vastauksessasi, miten vaihtotase lasketaan. (6 pistettä) Ylijäämäinen vaihtotase = Nettolainananto ulkomaille (3/) Vaihtotase = vienti tuonti nettoensitulot ulkomaille nettotulonsiirrot ulkomaille (3/)
5. Julkisia menoja lisätään 3 miljardia euroa. Kotitalouksien rajakulutusalttius on 80%. Laske julkisten menojen kerroinvaikutus kokonaiskysyntään. (6 p). s. 19 0 3 / (1 0,8) = 15 miljardia euroa (6 pistettä)
OSA : Matematiikka (max 30 pistettä), kysymykset 6-11 Merkitse ratkaisusi välivaiheet näkyviin. Älä ylitä annettua vastaustilaa! 9 6. Erään maan verokertymä riippuu veroasteesta funktion f x x 450x mukaisesti. Tämä funktio on määritelty veroasteilla, jotka toteuttavat epäyhtälöt 0 x 100. a) Kuinka suuri verokertymä on veroasteella 5? Millä veroasteella verokertymä on yhtä suuri? b) Millä veroasteilla verokertymä on nolla? c) Millä veroasteilla verokertymä on kasvava? d) Maan hallitus haluaa saavuttaa mahdollisimman suuren verokertymän. Mille tasolle sen kannattaa asettaa veroaste? Kuinka suuri verokertymä on tällä veroasteella? (5 p.) a) Veroasteella 5 verokertymä on f 5 9 5 450 5 16875 8437, 5. (0,5 p.) 9 16875 Veroaste, jolla verokertymä on yhtä suuri kuin tämä, ratkaisee yhtälön f x x 450x. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa 9 16875 450 450 4 450 450 9 16875 450 5 x 50 5 9 9 9 Toinen näistä ratkaisuista on 5 ja toinen 75. Vastaus a)-kohdan toiseen kysymykseen on siis 75. (0,5 p.) 9 b) Verokertymä on nolla funktion f x x 450x nollakohdissa. Funktion nollakohdat ovat yhtälön 9 f x x 450x 0 ratkaisut (0,5 p.) 9 9 Yhtälön ratkaisut ovat samat kuin ratkaisut yhtälölle f x x 450x x x 100 0. Ratkaisut ja tehtävän vastaukset ovat 0 ja 100. (0,5 p.) c) Verokertymä on kasvava niillä veroasteilla, joissa funktion f derivaatta on positiivinen. Funktion derivaatta on f 9x 450. (0,5 p.) Verokertymä on kasvava kun f 9x 450 0. (0,5 p.) Tämän epäyhtälön ratkaisujoukko on 0 x 50. (0,5 p.) Huomaa, että funktion määrittelyjoukko on 0 x 100. Tehtävän vastaus on: Verokertymä on kasvava kun 0 x 50. (0,5 p.) d) Tehtävänä on etsiä se veroaste, jolla verokertymä on suurin. Koska funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, suurin verokertymä löytyy joko määrittelyjoukon reunoilta tai derivaatan nollakohdasta. Ratkaisemme siis yhtälön f 9x 450 0, joka antaa x 50. (0,5 p.) Tällä veroasteella verokertymä on f 50 9 50 450 50 1150 500 1150. (0,5 p.) Koska verokertymä veroasteilla 0 ja 100 on nolla (0,5 p), veroaste, joka antaa suurimman verokertymän on 50. Vastaava verokertymä on 1150. (0,5 p)
7. Tehtävän a- ja b-kohdat ovat erillisiä. a) Seisot ympyrän muotoisen pellon reunalla ja sinun täytyy kulkea pellon keskipisteeseen. Sinulle on annettu kaksi mahdollista reittiä: 1. Voit kulkea pellon keskipisteeseen lyhintä reittiä tai. kiertämällä ensin pellon vastakkaiselle reunalle ja kulkemalla sieltä keskipisteeseen lyhintä reittiä. Kuinka monta prosenttia pidempi reitti on? ( p.) a) Reitin 1 pituus on ympyrän säteen pituus. Merkitään sitä symbolilla r, joten s 1 r. Reitin pituus on puolet kehän pituudesta lisättynä säteen pituudella eli s r r 1 Näin ollen reitti on 1 s 1 s r r 1 100% 100% 100% s r eli noin 314 % pidempi kuin reitti 1. (1 p.) r. (1 p.) b) Koordinaatistoon on asetettu ympyrä, jonka keskipiste on origo ja säde yksi. Laske ympyrän sen tangenttisuoran 1 1 yhtälö, joka kulkee pisteen, kautta. (3 p.) b) Tehtävässä täytyy selvittää toinen piste (P), jonka kautta tangenttisuora kulkee. Tangenttisuora on kohtisuorassa ympyrän sädettä vastaan. Ympyrän sisään muodostuu suorakulmainen kolmio, jonka kärjet 1 1 1 ovat pisteissä 0,0,,,,0. (1 p.) Origossa oleva kulma k on 45 astetta. On helppo päätellä, että kuvaan piirretyt kolmiot ovat samanmuotoisia 1 ja etäisyys Q, joten tangenttisuora kulkee myös pisteen P x, y,0,0 kautta. (1 p.) y Sijoittamalla pisteet suoran yhtälön kaavaan y1 y y1 x x1 saadaan tangenttisuoran yhtälöksi x x 1 0 1 1 1 y x 1 x. Yhtälö voidaan sieventää muotoon y x. (1 p.) 1 1
8. Tehtävän a- ja b-kohdat ovat erillisiä. a) Tutkija viettää neljä kesäkuukautta maastossa, jossa esiintyy borrelioosia kantavia punkkeja. Punkkien lukumäärä kasvaa viisi prosenttia kuukaudessa. Borrelioosia kantavien punkkien osuus on vakio, 0 prosenttia. Tutkijaa puree 1. kuukautena kaksi punkkia,. kuukautena kolme punkkia ja 3. kuukautena yksi punkki. Neljäntenä kuukautena tutkija ei saa punkin puremaa. Millä todennäköisyydellä tutkija ei saa borrelioosia näiden kesäkuukausien aikana, kun tauti siirtyy puremasta varmasti? (3 p.) a) Borrelioosia kantavien punkkien suhde terveisiin on aina vakio, 0 prosenttia. Todennäköisyys, että purema ei aiheuta borrelioosia on siten 1 0, 0,8. (1 p.) Kesäkuukausien aikana tutkijaa puree kuusi punkkia, joten todennäköisyys, että tutkija EI saa borrelioosia on 6 0,8 0, 6 eli noin 6 prosenttia. ( p.) b) Energiasäästölampun toiminta-aika noudattaa normaalijakaumaa. Keskihajonta on 00. Todennäköisyys, että satunnaisesti valittu lamppu kestää korkeintaan 10 000 tuntia, on 90 prosenttia. Laske toiminta-ajan odotusarvo. 1,9 0,9 ( p.) (Vihje: Normitetulle normaalijakaumalle on voimassa: b) 10 000 tuntia vastaava normitettu muuttujan arvo on odotusarvo. (1 p.) Koska 1,9 0,9, saadaan yhtälö Odotusarvo on siis 974. (1 p.) 10000 z10000, jossa μ on jakauman tuntematon 00 10000 1, 9 10000 1, 9 00 974. 00
9. Matti lähtee aamulla töihin autolla aina samaan aikaan. Jos hän ajaa nopeudella 30 km/h, hän myöhästyy 10 minuuttia. Jos hän ajaa nopeudella 60 km/h, hän saapuu perille 10 minuuttia liian aikaisin. a) Kuinka pitkä on hänen työmatkansa? (3 p.) b) Millä nopeudella hänen tulisi ajaa, jotta hän olisi perillä täsmälleen oikeaan aikaan? ( p.) a) Olkoon s matka töihin ja t matkaan käytetty aika (oikealla nopeudella ajettaessa). Kirjoitetaan yhtälöpari 1 s 30 km/h t h 6 1 1 60 30 s 60 30 km/h t h 30 60 km/h t h 1 6 6 s 60 km/h t h 6 30s 60 30 km/h h 600 km s 0 km 6 Työmatka on siis 0 km. (3 p.) b) Sijoitus ensimmäiseen yhtälöön antaa 1 0 km 1 1 1 0 km 30 km/h t h t h h h h. 6 30 km/h 6 3 6 Vaadittu ajonopeus on 0 km v 40 km/h. ( p.) 0,5 h
10. Sijoituksella on tietty korkokanta eli sen arvo kasvaa tietyllä prosentuaalisella osuudella vuodessa. Tiedetään, että sijoituksen arvo oli 1000 euroa vuonna 010 ja 400 euroa vuonna 1990. a) Mikä on sijoituksen korkokanta? (,5 p.) b) Minä vuonna sijoituksen arvo ylittää 000 euroa? (,5 p.) a) Korkokanta ratkaistaan yhtälöstä p 0 400 1 1000 Saadaan 1 p 1000 0 1, 04688. Korkokanta on noin 4,7 % vuodessa. (,5 p.) 400 b) Merkitään tarvittavien vuosien määrää y:llä. Tällöin y p p 1000 1 000 1 Ratkaisemalla y saadaan log log y log 1 p log y 15,13. 1 1000 0,05log,5 0 log 400 Sijoituksen arvo ylittää 000 euron rajan vuonna 06. (,5 p.) y
11. Pallolla on kuparinen kuori ja sen sisus on tyhjä. Pallon säde on 30 cm ja massa 400 kg. a) Miten suuri osuus pallon tilavuudesta on tyhjää tilaa? Kuparin tiheys on 8,96 g/cm 3. (,5 p.) b) Mikä on kuparikuoren paksuus? (,5 p.) a) Jos pallo olisi kokonaan kuparia, sen massa olisi 3 3 4 r 4 30 cm m V 3 3 3 3 8, 96 g/cm 1013 10 g 1013 kg. m on pallon massa, ρ on kuparin tiheys, V on pallon tilavuus ja r on pallon säde. Tyhjän osan tilavuus on siten Vastaus: 60,5 % (,5 p.) 400 kg 1 0, 605 60, 5% 1013 kg b) Lasketaan tyhjän tilan säde r1: 3 3 4 r1 4 r 3 3 3 0, 605 r1 0, 605r r1 0, 605r 0,846r 5, 4 cm. 3 3 Koko pallon säde on r ja täten kuoren paksuus on r r 1 30 5, 4 cm 4,6 cm. Vastaus: noin 4,6 cm. (,5 p.)