Johdatus differentiaaligeometriaan, Syksy 2004

Johdatus differentiaaligeometriaan, Syksy 2004 Ilkka Holopainen 1 15. marraskuuta 2012 1 Ilmoita painovirheistä esim. sähköpostitse osoitteeseen ilkka.holopainen@helsinki.fi

2 Johdatus differentiaaligeometriaan Sisältö 0 Topologian kertausta ja täydennystä 3 0.1 Topologinen avaruus.................................... 3 0.9 Topologinen monisto.................................... 6 0.17 Topologisen moniston ominaisuuksia........................... 9 1 R n :n differentiaalilaskennan kertausta 10 1.1 Differentioituvuus...................................... 10 2 Sileät monistot 15 2.1 Määritelmiä ja esimerkkejä................................ 15 2.8 Tangenttiavaruus...................................... 18 2.16 Tangenttikuvaus...................................... 22 2.20 Tangenttikimppu...................................... 25 2.22 Alimonistot......................................... 27 2.29 Suunnistus......................................... 30 2.34 Ryhmän epäjatkuva toiminta............................... 31 3 Vektorikentät ja virtaukset 34 3.1 Vektorikentät........................................ 34 3.23 Integraalikäyrät....................................... 41 3.31 Virtaukset.......................................... 43 3.35 Vektorikenttien virtaukset................................. 46 3.49 Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen todistus..................... 50 3.59 Vektorikentän Lien derivaatta............................... 53 4 Tensorit ja tensorikentät 55 4.1 Tensorit........................................... 55 4.10 Kotangenttikimppu..................................... 57 4.12 Tensorikimput M:llä.................................... 58 4.16 Symmetriset tensorit ja tensorikentät........................... 60 5 Differentiaalimuodot 62 5.1 Ulkoista algebraa, alternoivat tensorit.......................... 63 5.12 Differentiaalimuodot monistoilla............................. 68 5.17 Ulkoinen derivaatta..................................... 70 6 Differentiaalimuotojen integrointi 78 6.3 Sileä ykkösen ositus.................................... 79 6.8 Differentiaali n-muodon integraali............................. 81 7 Stokesin lause 82 7.1 Suunnistuksesta....................................... 82 7.5 Reunalliset sileät monistot................................. 83 7.6 Stokesin lause........................................ 84 7.16 Lyhyesti de Rhamin kohomologiasta........................... 88

Syyslk. 2004 3 0 Topologian kertausta ja täydennystä 0.1 Topologinen avaruus Olkoon X mikä tahansa joukko ja PX = {A: A X} X:n potenssijoukko. Kokoelma T PX on X:n topologia, jos 1. T sisältää jäsentensä mielivaltaiset yhdisteet, ts. U α T missä A on mikä tahansa indeksijoukko; 2. T sisältää jäsentensä äärelliset leikkaukset, ts. 3. T, X T. α A U 1,...,U k T U α T, k U i T; Pari X, T, tai lyhyemmin X, on topologinen avaruus. Topologian T alkioita kutsutaan avoimiksi joukoiksi. Joukko F X on suljettu, jos komplementti X \F on avoin. Esimerkki 0.2. 1. Olkoon X,d metrinen avaruus. Toisin sanoen d: X X R toteuttaa metriikan ehdot: dx,y 0 x,y X dx,y = 0 x = y dx,y = dy,x x,y X dx,y dx,z+dz,y x,y,z X kolmioepäyhtälö, -ey. Tällöin metriikka d määrittelee X:lle topologian T d. U T d x U r > 0 s.e. avoin kuula Bx,r = {y X: dx,y < r} U. 2. Erikoistapaus: Euklidinen avaruus R n varustettuna metriikalla dx,y = x y. 3. Topologinen avaruus X,T on metristyvä, jos metriikka d s.e. T = T d. Joukko U on pisteen x X ympäristö, jos x U T ts. U on avoin ja sisältää x:n. Pätee: Joukko A X on avoin x A x:n ympäristö U s.e. U A. Topologinen avaruus X, T on Hausdorff, jos sen eri pisteillä on olemassa erilliset ympäristöt. Ts. x,y X, x y, on olemassa U T, V T s.e. x U, y V, ja U V =. i=1 Esimerkki 0.3. 1. Jokainen metristyvä topologinen avaruus on Hausdorff. HT 2. Esim. Samastetaan joukon R n {0} R n {1} pisteet x,0 ja x,1 aina, kun x 0. Saadaan avaruus X, jolla on kaksi origoa. Annetaan X:lle topologia sanomalla, että U X on avoin U:n alkukuva samastuksessa on avoin. Tällöin pisteillä a = 0,0 ja b = 0,1 ei ole erillisiä ympäristöjä, joten X ei ole Hausdorff.Ylim. HT: X:n topologian tarkka konstruktio.

4 Johdatus differentiaaligeometriaan Sanomme, että X:n pistejono x i, i N, suppenee kohti pistettä x X merkitään x i x, jos x:n ympäristöä U kohti i 0 N s.e. x i U i i 0. Totea: jos X on Hausdorff ja x i x ja x i y, niin x = y. Olkoon X,T topologinen avaruus. Kokoelma B PX on topologian T kanta tai X:n kanta, jos 1. B T, 2. jokainen U T, U, voidaan esittää yhdisteenä joistakin B:n jäsenistä. Esimerkki 0.4. Olkoon X, d metrinen avaruus. Tällöin on T d :n eräs kanta. B = {Bx,r: x X, r > 0} Tämän kurssin kannalta tärkeä on tapaus, jossa T :llä on numeroituva kanta B = {B i : i N}. Tällöin sanomme, että X,T on N 2 engl. second countable. Esimerkki 0.5. Euklidinen avaruus R n varustettuna tavallisella topologialla on N 2. Valitse esim. B = {Bq,r: q Q n, r Q + }. Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia. Sanomme, että kuvaus f: X Y on jatkuva pisteessä x X, jos fx:n ympäristöä V kohti x:n ympäristö U s.e. fu V. Kuvaus f on jatkuva X:ssä, jos se on jatkuva jokaisessa X:n pistessä. Pätee: f: X Y on jatkuva X:ssä avoimen U Y alkukuva f 1 U = {x X: fx U} on avoin suljetun F Y alkukuva f 1 F on suljettu. HT Kuvaus f: X Y on homeomorfismi, jos 1. f on bijektio, 2. f on jatkuva, ja 3. f 1 on jatkuva. Olkoon X joukko, Y,T topologinen avaruus, ja f: X Y kuvaus. Tällöin kokoelma T = {f 1 U: U T } on X:n topologia kuvauksen f topologiasta T indusoima topologia. Huom. Kuvaus f on tällöin automaattisesti jatkuva. Jos X,T on topologinen avaruus ja A X, niin inkluusion i: A X, ix = x, indusoimaa topologiaa sanotaan X, T :n relatiivitopologiaksi A:ssa merk. T A. Siis T A = {U A: U T}. Toisin sanoen, joukko V A on avoin A:ssa eli V T A V = U A jollakin avoimella U X eli U T. Sekä Hausdorff- että N 2 -ominaisuus ovat periytyviä: Olkoon X,T topol. avaruus ja A X. Silloin 1. X,T on Hausdorff A,T A Hausdorff, 2. X,T on N 2 A,T A on N 2.

Syyslk. 2004 5 Todistus HT. Olkoot X 1,T 1,...,X k,t k topologisia avaruuksia. Merkitään X = X 1 X 2 X k = {x 1,...,x k : x i X i }. Kokoelma B = {U 1 U 2 U k : U i X i avoin} on X:n erään topologian, ns. tulotopologian, kanta. Huomautus 0.6. 1. Olkoot X i,t i, i = 1,...,k, Hausdorff-avaruuksia. Tällöin X = X 1 X 2 X k varustettuna tulotopologialla on Hausdorff. 2. Olkoot X i,t i, i = 1,...,k, topologisia avaruuksia, joilla on numeroituva kanta ts. jokainen X i,t i on N 2. Silloin X = X 1 X 2 X k varustettuna tulotopologialla on N 2. Ylläolevien väitteiden todistus HT. Seuraavaksi hyödyllinen tulos, jota voidaan käyttää monissa olemassaolo-todistuksissa. Ensin kuitenkin muistutus. Määritelmä 0.7. Olkoon X,d metrinen avaruus. Jono x i, x i X, on Cauchy-jono, jos ε > 0 i ε N s.e. dx i,x j < ε aina kun i,j i ε. Metrinen avaruus X on täydellinen, jos sen jokainen Cauchy-jono suppenee. Lause 0.8 Kiintopistelause, Kontraktiokuvauslause. Olkoon X täydellinen metrinen avaruus ja f: X X kuvaus. Oletetaan, että vakio L [0,1[ s.e. dfx,fy Ldx,y x,y X. Silloin f:llä on olemassa yksikäsitteinen kiintopiste, ts. yksikäsitteinen x 0 X s.e. fx 0 = x 0. Todistus. Olkoon y 0 X mielivaltainen. Määritellään rekursiivisesti pisteet y i+1 = fy i, i = 0,1,2,... Induktiolla nähdään, että dy i+1,y i L i dy 0,y 1. Kolmioepäyhtälöstä seuraa nyt, että dy i,y j L i + +L j 1 dy 0,y 1, jos i < j. Koska 0 L < 1, niin sarja 1+L+L 2 + suppenee, joten jäännöstermi 0. Siis L i +L i+1 + +L j 1 0, kun i,j. Siten y i on Cauchy-jono. Koska X on täydellinen, niin y i suppenee, ts. y i x 0 X.

6 Johdatus differentiaaligeometriaan Nyt Saatiin d y i,fy i = d fy i 1,fy i L dy i 1,y i L i dy }{{} 0,y 1. L i 1 dy 0,y 1 d x 0,fx 0 dx 0,y i +d y i,fy i +d fy i,fx 0 }{{} Ly i,x 0 1+Ldx 0,y i +L i dy 0,y 1 i 0. Siis on oltava dx 0,fx 0 = 0 eli x 0 = fx 0. Jos x 0 on toinen kiintopiste, niin ja koska L < 1, on oltava x 0 = x 0. 0.9 Topologinen monisto dx 0,x 0 = d fx 0,fx 0 Ldx 0,x 0, Määritelmä 0.10. Olkoon M topologinen avaruus. Sanomme, että M on topologinen n-monisto, n N, jos 1. M on Hausdorff, 2. M:n topologialla on numeroituva kanta eli M on N 2, 3. jokaisella M:n pisteellä x on olemassa ympäristö, joka on homeomorfinen R n avoimen joukon kanssa. Huomautus 0.11. 1. Ehto 3 tarkoittaa, että M on lokaalisti homeomorfinen R n :n kanssa. 2. Ehto 3 jokaisella x M ympäristö U, joka on homeomorfinen avoimen kuulan B n 0,1 = {y R n : y < 1} tai yhtäpitävästi koko R n :n kanssa. 3. Pätee: Jos M on sekä topologinen n-monisto että topologinen m-monisto, niin tällöin m = n. Ei todisteta. Todistuksessa käytetään algebrallista topologiaa alueen invarianssi. 4. Ominaisuudet 1 ja 2 eivät seuraa ehdosta 3. Esimerkiksi ylinumeroituva pistevieras yhdiste R n :stä toteuttaa ehdon 3, muttei ole N 2. Toisaalta Esimerkin 0.3 topologinen avaruus toteuttaa ehdon 3, muttei ole Hausdorff. Olkoon M topologinen n-monisto. Sanomme, että pari U, ϕ on kartta M:llä, jos a U M on avoin ja b ϕ: U ϕu R n on homeomorfismi ja ϕu R n on avoin. Jos lisäksi p U, niin U,ϕ on kartta p:ssä. JatkossamerkitäänuseinU,x, x = x 1,...,x n,jossasiisx: U xu R n onhomeomorfismi ja x 1,x 2,...,x n ovat x:n koordinaattifunktioita so. reaaliarvoisia funktioita x i : U R.

Syyslk. 2004 7 Perusesimerkki topologisesta n-monistosta on tietenkin M = R n varustettuna tavallisella topologialla. Aiemmin todettiin, että R n on Hausdorff ja N 2. Topologisen n-moniston määritelmän karkea idea: Ehdot takaavat sen, että M:llä on monia R n :n hyviä ominaisuuksia. Hausdorff: mm. suppenevien jonojen raja-arvot ovat yksikäsitteisiä. N 2 : tärkeä ominaisuus, jota tarvitaan ykkösen osituksessa. Esimerkki 0.12. 1. Jokainen avoin U R n, U, on topologinen n-monisto. Hausdorff ja N 2 ovat periytyviä. 2. Jatkuvien funktioiden kuvaajat: Olkoon U R n avoin ja f: U R k jatkuva. Sanomme, että f:n kuvaaja on R n R k :n osajoukko Γf = {x,y R n R k : x U, y = fx} varustettuna relatiivitopologialla. Nyt Γf on Hausdorff ja N 2. Olkoon π 1 : R n R k R n projektio x,y x ja ϕ f : Γf U rajoittumakuvaus ϕ f = π 1 Γf, ϕ f x,y = x, x,y Γf. Koska π 1 on jatkuva, niin ϕ f on jatkuva relatiivitopologia. Lisäksi ϕ f on homeomorfismi, koska sillä on jatkuva käänteiskuvaus ϕ 1 f x = x,fx. Siten Γf on topologinen n-monisto homeomorfinen U:n kanssa. 3. Pallokuori S n = {x R n+1 : x = 1}ontopologinenn-monistorelatiivitopologia. Perustelu: S n voidaan peittää avoimilla joukoilla, jotka voidaan esittää jatkuvien funktioiden kuvaajina palautuu siten edelliseen esimerkkiin. Esim. Olkoon U + n+1 = {x1,...,x n+1 S n : x n+1 > 0}. Nyt U + n+1 = Γf = x,fx, missä f: Bn R, fx = 1 x 2. Samoin voidaan käsitellä kaikki U + i :t ja U i :t, U + i = {x 1,...,x n+1 S n : x i > 0} U i = {x 1,...,x n+1 S n : x i < 0}. 4. Olkoot M i topologisia n i -monistoja, i = 1,2,...,k. Silloin M = M 1 M 2 M k on topologinen n-monisto, missä n = n 1 + n 2 + + n k. Perustelu: Aiemmin todettu, että M on Hausdorff ja N 2. Jos p = p 1,...,p k M 1 M 2 M k, niin valitaan kartat U i,ϕ i M i :ssä s.e. p i U i, i = 1,...,k. Tulokuvaus ϕ 1 ϕ k : U 1 U k R n on homeomorfismi kuvalleen, joka on R n :n avoin osajoukko. Tehdään samoin p M. Esimerkki tulomonistosta: n-torus T n = S } 1 S {{} 1. n kpl

8 Johdatus differentiaaligeometriaan 5. ProjektiivinenavaruusRP n n-ulotteinenreaalinenprojektiivinenavaruusonkaikkienr n+1 :n 1-ulotteisten lineaaristen aliavaruuksien joukko eli kaikkien R n+1 :n origon kautta kulkevien suorien joukko. RP n saadaan myös samastamalla pisteet x S n ja x S n. Tarkemmin: määritellään S n :ään ekvivalenssirelaatio: x y x = ±y, x,y S n. Silloin RP n = S n / = {[x]: x S n }. Annetaan RP n :lle ns. tekijätopologia, jolloin RP n on topologinen n-monisto. Tekijätopologiasta: Määritelmä 0.13. Olkoon X, T topologinen avaruus, ekvivalenssirelaatio X:ssä, ja π: X X/ luonnollinen projektio, x [x]. Silloin kokoelmaa sanotaan X/ :n tekijätopologiaksi. {U X/ : π 1 U T } Joukko Γ = {x,x X X: x x } on ekvivalenssirelaation graafi. Sanomme, että on avoin suljettu, jos projektio π: X X/ on avoin suljettu kuvaus. [Huom.: Olkoot X, Y topologisia avaruuksia. Kuvaus f: X Y on avoin suljettu, jos jokaisen avoimen suljetun joukon A X kuva fa on avoin suljettu Y:ssä.] Lause 0.14. Jos X/ on Hausdorff, niin ekvivalenssirelaation graafi Γ on suljettu joukko X X:ssä. Jos X on Hausdorff, Γ X X suljettu, ja on avoin, niin X/ on Hausdorff. Todistusta varten tarvitaan lemma. Lemma 0.15. X on Hausdorff diagonaalijoukko X = {x,x X X: x X} on suljettu X X:ssä. Todistus. X Hausdorff p,q X, p q, erilliset ympäristöt U p p, U q q s.e. U p U q X = X X\ X avoin. Lauseen 0.14:n todistus. X/ Hausdorff X/ on suljettu, joten Γ = π π 1 X/ on suljettu. Oletetaan sitten, että Γ on suljettu ja avoin. Jos X/ ei ole Hausdorff, erilliset pisteet [x],[y] X/, joidenkaikille ympäristöille U [x],u [y] päteeu [x] U [y]. Olkoot V x,v y mitkä tahansa x:n ja y:n ympäristöt. Koska on avoin, πv x,πv y ovat [x]:n ja [y]:n ympäristöjä. Koska πv x πv y, x V x, y V y s.e. [x ] = [y ], ts. x y eli x,y Γ. Siis x,y Γ mikä tahansa x,y:n ympäristö leikkaa Γ:aa. Koska Γ on suljettu, x,y Γ eli [x] = [y]. Saatiin ristiriita, joten X/ on Hausdorff. Lause 0.16. Jos X on N 2 ja on avoin ekvivalenssirelaatio X:ssä, niin X/ on N 2. Todistus Olkoon B = {B i : i N} X:n numeroituva kanta. Väite: [B] = {[B i ]: i N} on X/ :n numeroituva kanta. Tässä [B i ] = πb i, π: X X/ luonnollinen projektio. Numeroituvuus on selvä. Lisäksi jokainen [B i ] on avoin, koska on avoin. Olkoon A X/ avoin. Silloin tekijätopologian määr. nojalla π 1 A X on avoin, joten π 1 A = j J B j, J N. Siten A = j J πb j = j J [B j] ja X/ on N 2.

Syyslk. 2004 9 0.17 Topologisen moniston ominaisuuksia Kerrataan määritelmät: Topologisen avaruuden X avoin peite on kokoelma {V α : α A} X:n avoimia joukkoja V α s.e. X = α V α. Tässä A on jokin indeksijoukko. Topologinen avaruus X on kompakti, jos sen jokaisella avoimella peitteellä on äärellinen osapeite. Topologinen avaruus X on lokaalisti kompakti, jos x X ympäristö U, jonka sulkeuma Ū on kompakti. Sanomme, että joukko A X on prekompakti tai relatiivisesti kompakti merk. A X, jos Ā on kompakti. [Muistutus: Ū = {x X: U V x:n ympäristöillä V}] Topologinen avaruus X on yhtenäinen, jos osajoukkoja A,B s.e. 1. X = A B 2. A B 3. A B = 4. A X avoin, B X avoin. Toisin sanoen X on yhtenäinen, jos sitä ei voida esittää kahden erillisen avoimen epätyhjän osajoukon yhdisteenä. Topologinen avaruus X on polkuyhtenäinen, jos jokainen pari x, y X voidaan yhdistää polulla, ts. jatkuva kuvaus α: [0,1] X eli polku s.e. α0 = x ja α1 = y. Huom.: polkuyhtenäisyys yhtenäisyys, muttei kääntäen. Topologinen avaruus X on lokaalisti polkuyhtenäinen pisteessä x X, jos jokainen x:n ympäristö U sisältää x:n polkuyhtenäisen ympäristön. Lause 0.18. Topologinen n-monisto M on lokaalisti kompakti ja lokaalisti polkuyhtenäinen. Todistus. Väite seuraa topologisen n-moniston ehdoista 1 ja 3 sekä R n :n vastaavista ominaisuuksista: Olkoon x M mielivaltainen ja U,ϕ kartta x:ssä. Koska ϕu R n avoin ja ϕx ϕu, niin kuula B n ϕx,r ϕu. Koska B n ϕx,r/2 on kompakti, on ϕ 1 Bn ϕx,r/2 kompakti ja siten suljettu, sillä M on Hausdorff. Näin ollen ϕ 1 B n ϕx,r/2 on sellainen x:n ympäristö, jonka sulkeuma on kompakti. Toisaalta B n ϕx,r on polkuyhtenäinen, joten ϕ 1 B n ϕx,r U on polkuyhtenäinen x:n ympäristö. Muuan muassa ykkösen ositusta varten tarvitaan seuraavia: Lemma 0.19 Lindelöf. Olkoon X topologinen avaruus, jolla on numeroituva kanta, ja olkoon A X. Silloin jokainen A:n avoin peite {V α : α A} A α V α sisältää numeroituvan osapeitteen. Todistus. Olkoon B = {B i : i N} X:n numeroituva kanta. Jokaista x A kohti indeksit i N ja α A s.e. x B i V α. Olkoon B = {B i : α A s.e. B i V α }, jolloin B on A:n peite. Jokaisella B i B valitaan joukoksi V αi jokin niistä V α :sta, joilla B i V α. Koska B on A:n peite ja B i V α B i B, on {V αi } numeroituva A:n peite. Lause 0.20. Topologisella n-monistolla M on sellainen numeroituva kanta B = {B i : i N}, että jokainen B i on prekompakti ja homeomorfinen R n :n kuulan kanssa. Erityisesti M on σ-kompakti ts. numeroituva yhdiste kompakteista joukoista.

10 Johdatus differentiaaligeometriaan Todistus. i Jokaisessa M:n pisteessä karttau, ϕ, joten karttaympäristöt U muodostavat M:n avoimen peitteen. Lemma 0.19 M:n numeroituva peite {U i : i N} s.e. U i,ϕ i on kartta. ii Merkitään Ũ = ϕu i R n avoin ja B i = {B n x,r: x Q n,r Q +, B n x,r Ũi}. Tällöin jokainen tällainen B n x,r Ũi on kompakti ja B i on Ũi:n numeroituva kanta. Koska ϕ i : U i Ũi on homeomorfismi, kokoelma B i = {ϕ 1 i B: B B i } on U i :n numeroituva kanta ja jokainen ϕ 1 i B on kompakti U i :n osajoukko. Tällöin B = i B i toteuttaa lauseen ehdot. Koska M = B BB ja jokainen B on kompakti, M on σ-kompakti. 1 R n :n differentiaalilaskennan kertausta 1.1 Differentioituvuus Määritelmä 1.2. Olkoon G R n avoin. Kuvaus f: G R m on differentioituva pisteessä x G, jos lineaarikuvaus Ax LR n,r m s.e. fx+h = fx+axh+ h εx,h, missä εx,h h 0 0. Lineaarikuvaus Ax on f:n differentiaali pisteessä x ja sitä merkitään Ax = f x = Dfx. Voidaan osoittaa, että f x:n matriisi standardikantojen suhteen on D 1 f 1 x D n f 1 x....., D 1 f m x D n f m x missä f = f 1,...,f m. Määritelmä 1.3. Kuvaus f: G R m on jatkuvasti differentioituva pisteessä x 0 G, jos x 0 :n ympäristö U G s.e. 1. f on differentioituva x U, ja 2. f : U LR n,r m on jatkuva x 0 :ssa. Huom.: Yllä LR n,r m :n topologia on määritelty normin avulla. Muistutus: Lineaarikuvauksen L LR n,r m normi on L = sup{ Lh : h = 1}. Pätee: Kuvaus f on jatkuvasti differentioituva G:ssä jatkuvat osittaisderivaatat D j f i joukossa G kaikilla i = 1,...,m, j = 1,...,n. Yleisesti: Olkoon k N {0}. Sanomme, että f on k-kertaa jatkuvasti differentioituva G:ssä, merk. f C k G, jos osittaisderivaatat α f i α x, i = 1,...,m, ovat jatkuvia G:ssä multi-indekseillä α = α 1,...,α n, joilla α = α 1 + +α n k. Tässä α f i α x = Jos f C k G k N, niin merkitään f C G. α f i x 1 α 1 xn αn.

Syyslk. 2004 11 Määritelmä 1.4. Olkoot G, V R n avoimia. Kuvaus f: G V on C -diffeomorfismi, jos f C G ja f 1 C V. Käänteiskuvauslause. Lause 1.5 Käänteiskuvauslause. Olkoon G R n avoin, f: G R n, f C 1 G. Oletetaan, että pisteessä a G J f a = detf a 0. Silloin on olemassa ympäristöt U a, V fa, ja käänteiskuvaus g = f 1 : V U. Lisäksi g C 1 V ja g fx = f x 1, x U. Muistutus: detf a 0 lineaarikuvauksella f a: R n R n on käänteiskuvaus f a 1. Todistusta varten tarvitaan kaksi lemmaa. Merkitään GLn,R:llä kaikkien lineaaristen bijektioiden A LR n,r n joukkoa eli kaikkien reaalisten n n-matriisien A, det A 0, joukkoa. Lemma 1.6. niin B GLn,R. 1. Jos A GLn,R ja B LR n,r n s.e. B A A 1 < 1, 2. GLn,R n on LR n,r n :n avoin osajoukko ja kuvaus A A 1 on jatkuva GLn,R:ssä. Todistus. HT [Ks. esim. Rudin [Ru].] Lemma 1.7 Väliarvolause. Olkoon G R m avoin ja J G suljettu jana, jonka päätepisteet ovat a ja b. Olkoon f: G R n kuvaus, joka on differentioituva jokaisessa J:n pisteessä. Tällöin v R n kohti x v J s.e. Erityisesti, jos f x M x J, niin v fb fa = v f x v b a. fb fa M b a. Todistus. HT Lauseen 1.5 todistus. i Merkitään L = f a ja valitaan λ > 0 s.e. 2λ L 1 = 1. Koska f on jatkuva a:ssa, kuula U = B n a,ε s.e. Määritellään jokaisella y R n kuvaus ϕ = ϕ y f x L < λ x U. 1.8 ϕx = x+l 1 y fx, x G. Havaitaan: fx = y ϕx = x. Ketjusääntö ϕ x = I L 1 f x = L 1 L f x I = identtinen kuvaus ϕ x L 1 L f x < 1 }{{}}{{} 2, x U. = 1 <λ 2λ

12 Johdatus differentiaaligeometriaan Väliarvolause ϕx 2 ϕx 1 1 2 x 2 x 1, x 1,x 2 U. Siten ϕ:llä on korkeintaan yksi kiintopiste U:ssa, joten fx = y korkeintaan yhdellä x U. Sama pätee y R n, joten f U on injektio. ii Merkitään V = fu ja olkoon y 0 V. Silloin y 0 = fx 0 jollakin x 0 U. Olkoon r > 0 niin pieni, että B = B n x 0,r U. Osoitetaan: B n y 0,λr V, jolloin on näytetty, että V on avoin. Kiinnitetään y B n y 0,λr eli y y 0 < λr. Kuvaukselle ϕ = ϕ y pätee: Jos x B U, niin joten ϕx B n x 0,r. Siis ϕx 0 x 0 = L 1 y y 0 L 1 y y 0 < r 2. ϕx x 0 ϕx ϕx 0 + ϕx 0 x 0 1 2 x x 0 + r 2 < r, ϕ B n x 0,r B n x 0,r, ϕx 2 ϕx 1 1 2 x 2 x 1, x 1,x 2 B n x 0,r. B n x 0,r on kompakti, joten se on täydellinen. Kontraktiokuvauslause ϕ:llä on täsmälleen yksi kiintopiste x joukossa B n x 0,r. Siten y = fx f B n x 0,r fu = V, joten V on avoin. Nyt on osoitettu: ympäristöt U a, V fa ja f U: U V on bijektio. iii Olkoot y V ja y + k V. Merkitään x = f 1 y ja h = f 1 y + k x, jolloin x U, x+h = f 1 y +k U, ja fx+h = y +k. Jos ϕ on y:tä vastaava kuvaus ks. 1.8, ts. ϕx+h = x+h+l 1 y fx+h ϕx = x+l 1 y fx, niin ϕx+h ϕx = h+l 1 fx fx+h }{{}}{{} =y y+k = h L 1 k. h L 1 k = ϕx+h ϕx 1 2 x+h x = 1 2 h L 1 k 1 h ja 2 1.9 h 2 L 1 k 2 L 1 k = k λ. Toisaalta f x L L 1 < 1 2,

Syyslk. 2004 13 joten Lemma 1.6 nojalla f x on bijektio eli T = f x 1. Merkitään g = f 1 : V U. Halutaan osoittaa, että g y = T. Nyt Tämä ja epäyhtälö 1.9 gy +k gy Tk = h+x x Tk = h Tk }{{}}{{} =h+x =x = Tf xh Tk = T k f xh = T fx+h fx f xh. }{{}}{{} =y+k =y 1.10 gy +k gy Tk k T λ fx+h fx f xh. h Kun k 0, niin 1.9:n nojalla h 0, jolloin 1.10:n oikea puoli 0. Siten myös 1.10:n vasen puoli eli g on differentioituva y:ssä ja gy +k gy Tk k k 0 0, 1.11 g y = T = f x 1 = f gy 1, y V. Koska g on differentioituva y V, on g jatkuva V:ssä. Lisäksi f C 1 U ja f x 1 x U, joten f : U GLn,R on jatkuva. Lemman 1.6 b-kohta: A A 1 jatkuva GLn,R:ssä. Yhdistämällä nämä 1.11:n kanssa saadaan, että on jatkuva, joten g C 1 V. g : V GLn,R, y g y = f gy 1, Huomautus 1.12. Oletustaf C 1 Gkäytettiinvastatodistuksenlopussa.Josoletetaan pelkästään, että f on differentioituva G:ssä, jatkuvasti differentioituva a:ssa ja J f a 0, niin vastaavasti käänteiskuvaus g = f 1 : V U on differentioituva V:ssä ja jatkuvasti differentioituva fa:ssa. Korollari 1.13. Jos G R n on avoin, f: G R n, f C 1 G ja J f x 0 x G, niin f on avoin kuvaus. Implisiittifunktiolause. Kirjoitetaan R m+n = R m R n, jolloin t R m+n t = t 1,...,t m+n = x 1,...,x m,y 1,...,y n = x,y. Lause 1.14 Implisiittifunktiolause. Olkoon G R m+n avoin, f: G R n, ja x 0,y 0 G. Oletetaan, että 1. fx 0,y 0 = 0, 2. f C 1 G, 3. J u y 0 0, missä uy = fx 0,y.

14 Johdatus differentiaaligeometriaan Tällöin ympäristöt X x 0 ja Y y 0 s.e. x X yksikäsitteinen ϕx Y, jolle f x,ϕx = 0. Kuvaus ϕ: X Y on jatkuvasti differentioituva X:ssä ja ϕx 0 = y 0. Todistus. Määritellään kuvaus g: G R m+n, jolloin gx 0,y 0 = x 0,0 ja gx,y = x,fx,y, 1.15 g 1 x,y = x 1, g 2 x,y = x 2,... g m x,y = x m g m+1 x,y = f 1 x,y, g m+2 x,y = f 2 x,y,... g m+n x,y = f n x,y. Havaitaan J g x 0,y 0 = 1 0 0 0 0 0 0 0.... 0 1 0 0 D 1 f 1 x 0,y 0 D m f 1 x 0,y 0 D m+1 f 1 x 0,y 0 D m+n f 1 x 0,y 0.... D 1 f n x 0,y 0 D m f n x 0,y 0 D m+1 f n x 0,y 0 D m+n f n x 0,y 0 = D m+1 f 1 x 0,y 0 D m+n f 1 x 0,y 0.. D m+1 f n x 0,y 0 D m+n f n x 0,y 0 = J u y 0 0. Käänteiskuvauslauseesta seuraa, että ympäristöt U x 0,y 0 ja V x 0,0 s.e. g U: U V on homeomorfismi, jolla käänteiskuvaus g = g U 1 : V U. Pienentämällä U:ta ja V:tä voidaan valita V = B m+n x 0,0,r. Kaava 1.15 g 1x,y = x 1 g m x,y = x m. Merkitään h = g m+1,...,g m+n: V R n ja määritellään ϕ: B m x 0,r R n, ϕx = hx,0. Väite: ϕ on etsitty kuvaus, ts. f x,ϕx = 0. Nyt x,ϕx = x1,...,x m,h 1 x,0,...,h n x,0. = g 1 x,0,...,g m x,0,g m+1 x,0,...,g m+n x,0 = g x,0, joten g x,ϕx = g g x,0 = x,0. Toisaalta x,0 = g x,ϕx = x,fx,ϕx, josta seuraa f x,ϕx = 0.

Syyslk. 2004 15 Lisäksi: f on jatkuvasti differentioituva g jatkuvasti differentioituva ja edelleen käänteiskuvauslause g jatkuvasti differentioituva ϕ jatkuvasti differentioituva. Valitaan sitten ympäristöt X x 0 ja Y y 0 s.e. 1. X Y U 2. ϕx Y. x 0,y 0 = g x 0,0 = x 0,ϕx 0 ϕx 0 = y 0. Tällöin x X y = ϕx Y s.e. fx,y = 0. Vielä on jäljellä yksikäsitteisyys. Oletetaan, että myös z Y toteuttaa yhtälön fx,z = 0, x,z U. Silloin gx,z = x,fx,z = x,0 = x,fx,y = gx,y g U injektio x,z = x,y z = y. 2 Sileät monistot 2.1 Määritelmiä ja esimerkkejä Olkoon M topologinen n-monisto. Palautetaan mieliin, että kartta M:llä on mikä tahansa pari U, x, missä 1. U M on avoin, 2. x: U xu R n on homeomorfismi, xu R n avoin. Sanomme, että kartat U,x ja V,y ovat C -yhteensopivat, jos U V = tai z = y x 1 xu V: xu V yu V on C -diffeomorfismi. U x M z R n V y Moniston M C -kartasto A on joukko C -yhteensopivia karttoja s.e. M = U. U,x A C -kartasto A on maksimaalinen, jos A = B kaikilla C -kartastoilla B A. Ts. jos U,x on C -yhteensopiva jokaisen A:n kartan kanssa, niin U,x A.

16 Johdatus differentiaaligeometriaan Lemma 2.2. Olkoon M topologinen monisto. Silloin: 1. Jokainen M:n C -kartasto A kuuluu yksikäsitteiseen maksimaaliseen C -kartastoon merk. Ā. 2. C -kartastot A ja B kuuluvat samaan maksimaaliseen C -kartastoon A B on C -kartasto. Todistus. HT Määritelmä 2.3. Differentioituva n-monisto tai sileä n-monisto on pari M, A, missä M on topologinen n-monisto ja A on maksimaalinen M:n C -kartasto eli differentioituva struktuuri. Käytämme lyhenteitä M tai M n ja sanomme, että M on C -monisto, differentioituva monisto, sileä monisto tai lyh. C, sileä. Määritelmä 2.4. Olkoot M m,a ja N n,b C -monistoja. Sanomme, että kuvaus f: M N on C tai sileä, jos sen jokainen lokaali esitys differentioituvien struktuurien suhteen on C. Tarkemmin sanoen, jos kaikilla kartoilla U,x A M:ssä ja V,y B N:ssä yhdistetty kuvaus y f x 1 on sileä kuvaus xu f 1 V yv. Sanomme, että f: M N on C -diffeomorfismi, jos f on C ja sillä on käänteiskuvaus f 1, joka myös on C. U M f V fu N x y R n R m y f x 1 Huomautus 2.5. Kuvaus f: M N on C p M kartat U,x A ja V,y B s.e. p U M, fu V N, ja y f x 1 C xu. Esimerkki 2.6. 1. M = R n, A = {id}, Ā = luonnollinen struktuuri. 2. M = R, A = {id}, B = {x h x 3 }. Nyt Ā = B, koska id h 1 ei ole C origossa. Kuitenkin R,Ā ja R, B ovat diffeomorfiset, diffeomorfismina kuvaus f: R,Ā R, B, fy = y 1/3. Huom.: f on diffeomorfismi R:n struktuureiden Ā ja B välillä, sillä sen lokaali esitys on id ks. kuva. [Ks. esimerkkien jälkeinen Huomautus.] R,Ā f R, B id id x x 3 R R

Syyslk. 2004 17 3. Jos M on differentioituva monisto ja U M on avoin, niin U on differentioituva monisto luonnollisella tavalla. 4. Äärellisulotteiset vektoriavaruudet. Olkoon V n-ulotteinen vektoriavaruus. Jokainen V:n normi määrittelee V:lle topologian. Tämä topologia ei riipu normin valinnasta, sillä mitkä tahansa kaksi V:n normia ovat ekvivalentit V äärellisulotteinen. Olkoon E 1,...,E n jokin V:n kanta ja E: R n V isomorfismi Ex = n x 1 E i, x = x 1,...,x n. i=1 Tällöin E on homeomorfismi V:ssä normitopologia ja kartta V,E 1 määrää V:lle sileän struktuurin. Lisäksi tämä sileä struktuuri ei riipu kannan E 1,...,E n valinnasta. HT 5. Matriisit. Olkoon Mn m, R kaikkien reaalisten n m-matriisien joukko. Se on nmulotteinenvektoriavaruus,jotenseonsileänm-monisto.matriisia = a ij Mn m,r, i = 1,...,n, j = 1,...,m A = a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m... a n1 a n2 a nm voidaan luonnollisella tavalla samastaa R nm :n pisteen a 11,a 12,...,a 1m,a 21,...,a 2m,...,a n1,...,a nm kanssa, jolloin saadaan globaali kartta. Jos n = m, niin merkitään lyhyemmin Mn, R. 6. GLn, R = yleinen lineaarinen ryhmä = {L: R n R n lineaarinen isomorfismi} = {A = a ij : ei-singulaarinen n n-matriisi} = {A = a ij : deta 0}. [Muistutus: n n-matriisi A on ei-singulaarinen, jos käänteismatriisi A 1.] Yo.identifioinninavullavoidaantulkita,ettäGLn,R Mn,R = R n2.annetaanmn,r:lle identifioinnin määräämä topologia. Nyt nähdään, että kuvaus det: Mn,R R on jatkuva n:nnen asteen polynomi luvuista a ij, joten Gn,R R n2 on avoin = avoimen joukon R\{0} alkukuva jatkuvassa kuvauksessa. 7. Pallo S n = {p R n+1 : p = 1}. Olkoon e 1,...,e n+1 R n+1 :n standardi kanta, ϕ: S n \{e n+1 } R n ψ: S n \{ e n+1 } R n stereograafiset projektiot ks. kuva, ja A = {ϕ, ψ}. Tarkempi konstruktio HT.

18 Johdatus differentiaaligeometriaan e n+1 p ψp R n+1 ϕp R n = R n {0} e n+1 8. Projektiivinen avaruus RP n. 9. Tulomonistot. Olkoot M,A, N,B differentioituvia monistoja jap 1 : M N M, p 2 : M N N projektiot. Silloin on M N:n C -kartasto. Esim. a Sylinteri R 1 S 1 b Torus S 1 S 1 = T 2. C = { U V,x p 1,y p 2 : U,x A,V,y B} 10. Lien ryhmät. Lien ryhmä on ryhmä G, joka on samalla sileä monisto s.e. ryhmäoperaatiot ovat C, ts. g,h gh 1 on C -kuvaus G G G. Esimerkiksi GLn,R on Lien ryhmä, kun ryhmäoperaationa on kuvausten yhdistäminen. Huomautus 2.7. 1. M:lle voidaan antaa myös muita struktuureita korvaamalla C esim. C k :lla, C ω :lla = reaalianalyyttinen, tai kompleksianalyyttisyydellä jolloin oltava n = 2m parillinen. 2. On olemassa topologisia n-monistoja, joilla ei ole differentioituvaa struktuuria. Kervaire, n = 10, 60-luvulla; Freedman, Donaldson, n = 4, 80-luvulla. R n varustettuna millä tahansa kartastolla on diffeomorfinen kanonisen struktuurin kanssa, kun n 4 R 4 :n eksoottisia struktuureita löydettiin vasta 80-luvulla. 2.8 Tangenttiavaruus Olkoon M differentioituva monisto, p M, ja γ: I M C -polku s.e. γt = p jollakin t I, missä I R on avoin väli. U γ p f I t

Syyslk. 2004 19 Merkitään C p = {f: U R f C U, U jokin p:n ympäristö}. Huom.: Tässä U voi riippua funktiosta f, siksi merkintä C p eikä C U. Tällöin polku γ määrittelee kuvauksen γ t : C p R, γ t f = f γ t. Huom.: f γ on jossakin pisteen t I ympäristössä määritelty reaaliarvoinen funktio ja f γ t on sen tavallinen derivaatta pisteessä t. Tulkinta: γ t f voidaan ajatella f:n suunnatuksi derivaataksi p:ssä γ:n suuntaan. Esimerkki 2.9. M = R n Jos γ = γ 1,...,γ n : I R n on sileä polku ja γ t = γ 1 t,...,γ nt R n on γ:n derivaatta t:ssä, niin γ t f = f γ t = f pγ t = γ t fp. γ p γ t t Yleisesti: γ t toteuttaa seuraavat ehdot: Olkoot f,g C p ja a,b R. Silloin a γ t af +bg = a γ t f +b γ t g, b γ t fg = gp γ t f +fp γ t g. Sanomme: γ t on derivaatio. Yllä olevan motivoimana annamme seuraavan määritelmän: Määritelmä 2.10. Differentioituvan moniston M tangenttivektori pisteessä p M on kuvaus v: C p R, joka toteuttaa ehdot: 1 vaf +bg = avf+bvg, f,g C p, a,b R; 2 vf g = gpvf + fpvg vrt. tulon derivaatta eli Leibnizin sääntö. Näiden tangenttivektoreiden muodostama vektoriavaruus on M:n tangenttiavaruus p:ssä, merk. T p M tai M p. Huomautus 2.11. 1. Jos v,w T p M ja c,d R, niin cv + dw on tietenkin kuvaus av + bw: C p R, cv +dwf = cvf+dwf. Helposti havaitaan, että cv + dw on tangenttivektori p:ssä. 2. Merkitsemme lyhyemmin vf = vf.

20 Johdatus differentiaaligeometriaan 3. Väite: Jos v T p M ja c C p on vakiofunktio, niin cv = 0. HT 4. Olkoon U jokin p:n ympäristö ja tulkitaan se differentioituvaksi monistoksi. Koska T p M:n määritelmässä käytetään funktioita luokasta C p ts. p:n ympäristöä ei olla kiinnitetty, tulee T p M ja T p U samaistetuksi luonnollisella tavalla. Olkoon U,x, x = x 1,x 2,...,x n, kartta pisteessä p. Määritellään tangenttivektori koordinaattivektori pisteessä p kaavalla x p i x i f = D i f x 1 xp, f C p. p Tässä D i on osittaisderivaatta i:nnen muuttujan suhteen. Merkitään myös i p = D xi p = x i. p U T pm x p i x p xp M f f x 1 e i R n Huomautus 2.12. 1. On helppo havaita, että i p todellakin on tangenttivektori p:ssä. 2. Jos U,x, x = x 1,...,x n, on kartta p:ssä, niin i p x j = δ ij. Seuraavaksi osoitamme erityisesti, että T p M on n-ulotteinen. Tarvitaan lemma. Lemma 2.13. Jos f C k B, k 1, on reaaliarvoinen funktio kuulassa B = B n 0,r R n, niin on olemassa funktiot g i C k 1 B,i = 1,...,n, siten, että g i 0 = D i f0 ja fy f0 = n y i g i y i=1 kaikilla y = y 1,...,y n B.

Syyslk. 2004 21 Todistus. Jos y B, niin Asetetaan fy f0 = fy fy 1,...,y n 1,0 +fy 1,...,y n 1,0 fy 1,...,y n 2,0,0 +fy 1,...,y n 2,0,0 fy 1,...,y n 3,0,0. +fy 1,0,...,0 f0 n / 1 = fy 1,...,y i 1,ty i,0,...,0 0 = = g i y = i=1 1 n i=1 0 1 n i=1 1 0 0 d fy1,...,y i 1,ty i,0,...,0 dt dt D i fy 1,...,y i 1,ty i,0,...,0y i dt. D i fy 1,...,y i 1,ty i,0,...,0dt. Silloin g i C k 1 B sillä f C k B ja g i 0 = D i f0. Lause 2.14. Jos U,x, x = x 1,...,x n, on kartta p:ssä ja v T p M, niin v = n vx i i p. Lisäksi vektorit i p, i = 1,...,n, muodostavat T p M:n kannan ja dimt p M = n. i=1 Todistus. Kun u U, niin merkitään xu = y = y 1,...,y n R n, jolloin x i u = y i. Voidaan olettaa, että xp = 0 R n. Olkoon f C p. Koska f x 1 on C, on Lemma 2.13:n nojalla olemassa kuula B = B n 0,r xu ja funktiot g i C B siten, että f x 1 y = f x 1 0+ ja g i 0 = D i f x 1 0 = i p f. Tällöin missä h i = g i x ja Siis fu = fp+ n y i g i y y B i=1 n x i uh i u, i=1 h i p = g i 0 = i p f. vf = v fp n + x i p vh }{{}}{{} i + i=1 =0 =0 n = vx i i p f. i=1 n vx i h i p i=1

22 Johdatus differentiaaligeometriaan Tämä pätee kaikilla f C p, joten v = n vx i i p. i=1 Siten vektorit i p, i = 1,...,n, virittävät T p M:n. Osoitettava vielä niiden lineaarinen riippumattomuus. Jos n w = b i i p = 0, niin 0 = wx j = i=1 n i=1 b i i p x j }{{} =δ ij = b j. Siis vektorit i p, i = 1,...,n, lineaarisesti riippumattomia. Huomautus 2.15. Edelläolluttangenttivektorin määritelmäonkäyttökelpoinenvainc -monistoilla. Syy: Jos M on C k -monisto, niin Lauseen 2.14 todistuksessa esiintyvät funktiot h i eivät välttämättä ole C k -sileitä vrt. Lemma 2.13. Vaihtoehtoinen määritelmä, joka toimii myös C k -monistoilla, k 1. Olkoon M C k -monisto ja p M. Olkoot γ i : I i M C 1 -polkuja, 0 I i R avoimia välejä, γ i 0 = p, i = 1,2. Asetetaan ekvivalenssirelaatio γ 1 γ 2 jokaisella kartalla U,x p:ssä pätee x γ1 0 = x γ2 0 Määr.:Ekvivalenssiluokat=M:ntangenttivektorit p:ssä.c -monistontapauksessatämämääritelmä vastaa aiempaa määritelmää vastaavuus: [γ] = γ 0. U γ 1 γ i p x γ 2 0 x γ i x γ i 0 xp R n 2.16 Tangenttikuvaus Määritelmä 2.17. Olkoot M m jan n differentioituvia monistojajaolkoonf: M N C kuvaus. Sanomme, että lineaarinen kuvaus f : T p M T fp N, f vg = vg f, g C fp, v T p M, on f:n tangenttikuvaus p:ssä. Käytämme myös merkintöjä f p, T p f. Huomautus 2.18. 1. Helpoksi harjoitustehtäväksi jää todeta, että f v on tangenttivektori fp:ssä kaikilla v T p M, ja että f on lineaarinen. 2. Jos M = R m ja N = R n, niin f p = f p vrt. alla oleva kanoninen samaistus T p R n = R n.

Syyslk. 2004 23 3. Ketjusääntö : Olkoot M, N, ja L differentioituvia monistoja sekä f: M N ja g: N L C - kuvauksia. Silloin kaikilla p M, g f p = g fp f p. HT 4. Tangenttikuvauksen tulkinta polkuja käyttäen: Olkoon v T p M ja γ: I M C -polku siten, että γ0 = p ja γ 0 = v. Olkoon f: M N C -kuvaus ja α = f γ: I N. Silloin f v = α 0. HT T pm f T fp N p γ 0 f fp α 0 M γ α = f γ N I 0 Olkoon x = x 1,...,x m kartta pisteessä p M m ja y = y 1,...,y n kartta pisteessä fp N n. Mikä on lineaarikuvauksen f : T p M T fp N matriisi kantojen,i = 1,...,m, ja x i p,j = 1,...,n, suhteen? Lause 2.14 y j fp f x j = p n i=1 f x j y i p y i, 1 j m. fp Saadaan n m matriisi a ij, a ij = f x j y i = p x jyi f. Tämä on f:n Jacobin matriisi pisteessä p ko. kantojen suhteen. Se on matriisina sama kuin lineaarikuvauksen g xp, g = y f x 1, matriisi R m :n ja R n :n standardikantojen suhteen. Palautetaan mieliin, että f: M m N n on diffeomorfismi, jos sekä f että sen käänteiskuvaus f 1 ovat C. Kuvaus f: M N on lokaali diffeomorfismi pisteessä p M, jos on olemassa p:n ja fp:n ympäristöt U ja V siten, että f: U V on diffeomorfismi. Huom.: Tällöin välttämättä m = n. HT Lause 2.19. Olkoon f: M N C ja p M. Tällöin f on lokaali diffeomorfismi p:ssä f : T p M T fp N on isomorfismi. Todistus. R n :n käänteiskuvauslauseen sovellus sivuutetaan. n-ulotteisen vektoriavaruuden tangenttiavaruus. Olkoon V n-ulotteinen reaalinen vektoriavaruus. Kuten olemme aiemmin todenneet HT jokainen lineaarinen isomorfismi x: V R n indusoi saman C -struktuurin V:hen. Voimme samastaa luonnollisella tavalla V:n ja T p V:n, kun

24 Johdatus differentiaaligeometriaan p V. Jos p V, niin on olemassa kanoninen isomorfismi i: V T p V. Nimittäin: Olkoon v V ja γ: R V polku p:n kautta kulkeva suora γt = p+tv. Asetetaan iv = γ 0. 0 R γ p v Esim.: V = R n, T p R n = R n kanonisesti. Jos f: M R on C ja p M, niin määritellään f:n differentiaali df: T p M R asettamalla dfv = vf, v T p M. Merkitään myös df p. Käyttämällä yo. kanonista isomorfismia i: R T fp R saadaan df = i 1 f. Usein samaistamme df = f. Huom.: Koska df: T p M R on lineaarinen, df T p M =T p M:n duaali. f T pm T fp R i df R Tulon tangenttiavaruus. Olkoot M ja N differentioituvia monistoja ja π 1 : M N M, π 2 : M N N projektiot. Projektioiden avulla voidaan samaistaa T p,q M N ja T p M T q N luonnollisella tavalla: Määritellään kanoninen isomorfismi Esim.: M = R, N = S 1 τ: T p,q M N T p M T q N, τv = π 1 v }{{} T pm +π 2 v, v T p,q M N. }{{} T pn

Syyslk. 2004 25 q π 2 v π 2 v p,q S R p π 1 π 1 v Olkoon f: M N L C -kuvaus, missä L on differentioituva monisto. Jokaisella p,q M N määritellään kuvaukset Tällöin, jos v T p M ja w T q N, niin f p : N L, f q : M L, f p q = f q p = fp,q. f v +w = f q v +f p w. HT 2.20 Tangenttikimppu Olkoon M differentioituva monisto. Määritellään M:n tangenttikimppu merk. T M pistevieraana yhdisteenä kaikista tangenttiavaruuksista, ts. TM = p M T p M. TM:n pisteet ovat siten järjestettyjä pareja p,v, missä p M ja v T p M. Usein merkitään lyhyemmin v = p,v. Tämä on perusteltua, sillä ehto v T p M määrää pisteen p M. Olkoon π: TM M projektio πv = p, kun v T p M. Tangenttikimpulla T M on luonnollinen differentioituvan moniston struktuuri. Lause 2.21. Olkoon M differentioituva n-monisto. Silloin sen tangenttikimpulla T M on luonnollinen topologia ja differentioituvan 2n-moniston struktuuri niin, että projektio π: T M M on sileä. Todistus. idea: Olkoon U,x, x = x 1,...,x n, kartta M:llä. Määritellään bijektio x: TU xu R n R n R n = R 2n seuraavasti. [Tässä TU = p U T pu = p U T pm.] Jos p U ja v T p, niin asetetaan xv = x 1 p,...,x n p,vx 1,...,vx n }{{}}{{} R n R n

26 Johdatus differentiaaligeometriaan TU x xu R n T pm U p x xu Siirretään ensin R n R n :n topologia TM:ään kuvauksilla x ja todetaan, että parit TU, x muodostavat TM:n kartaston. Saadaan TM:ään C -struktuuri. [Yksityiskohdat harjoitustehtävänä.] Jatkossa M:n tangenttikimpulla tarkoitetaan T M:ää yhdessä tämän differentioituvan struktuurin kanssa. Se on esimerkki M:n vektorikimpuista. Olkoon π: TM M projektio πv = p, kun v T p M. Silloin π 1 p = T p M on säie p:n päällä. Jos A M, niin mikä tahansa kuvaus s: A TM, jolle π s = id, on TM:n sektio A:ssa eli vektorikenttä. Sileät vektorikimput. Olkoon M differentioituva monisto. Sileä k-ulotteinen vektorikimppu M:n päällä on pari E,π, missä E on sileä monisto ja π: E M on sileä surjektiivinen kuvaus projektio, joille pätee: a Jokaisella p M, joukko E p = π 1 p E on k-ulotteinen reaalinen vektoriavaruus = E:n säie p:n päällä. b Jokaisella p M on olemassa ympäristö U p ja diffeomorfismi ϕ: π 1 U U R k = E:n lokaali trivialisaatio U:n päällä siten, että kaavio π 1 U U R k π 1 U ϕ U R k ϕ π π 1 U π id π 1 U U kommutoi [π 1 : U R k U projektio] ja ϕ E q : E q {q} R k on lineaarinen isomorfismi jokaisella q U. Monisto E on kimpun totaali avaruus ja M kanta-avaruus. Jos on olemassa E:n lokaali trivialisaatio koko moniston M päällä ϕ: π 1 M M R k, niin E on triviaali kimppu. E:n sektio on mikä tahansa kuvaus σ: M E, jolle pätee π σ = id: M M. Jos σ: M E on sileä huom. M ja E differentioituvia monistoja, niin σ on sileä sektio. Nollasektio on kuvaus ζ: M E s.e. ζp = 0 E p p M. Jos U M on avoin, niin E:n lokaali kehys U:n päällä on mikä tahansa σ 1,...,σ k, missä jokainen σ i on E:n sileä sektio U:n päällä siten, että σ 1 p,σ 2 p,...,σ k p on E p :n kanta p U. Jos U = M, kutsutaan σ 1,...,σ k :ta globaaliksi kehykseksi.

Syyslk. 2004 27 2.22 Alimonistot Määritelmä 2.23. Olkoot M ja N differentioituvia monistoja ja f: M N C -kuvaus. Sanomme, että: 1. f on submersio, jos f p : T p M T fp N on surjektio p M. 2. f on immersio, jos f p : T p M T fp N on injektio p M. 3. f on upotus, jos f on immersio ja f: M fm on homeomorfismi huom. fm:ssä relatiivitopologia. Jos M N ja inkluusio i: M N, ip = p, on upotus, niin M on N:n alimonisto. Huomautus 2.24. Jos f: M m N n on immersio, niin välttämättä m n. n m on f:n kodimensio. Esimerkki 2.25. a Jos M 1,...,M k ovat sileitä monistoja, niin jokainen projektio π i : M 1 M k M i on submersio. b M = R, N = R 2 α: R R 2, αt = t, t ei differentioituva pist. t = 0. α 0 c α: R R 2, αt = t 3,t 2 on C, muttei immersio. Syy: α 0 = 0. α 0 d α: R R 2, αt = t 3 4t,t 2 4 on C, immersio, muttei upotus α±2 = 0,0. α e α:lla on olemassa käänteiskuvaus, mutta α ei ole upotus käänteiskuvaus ei ole jatkuva indusoidussa topologiassa.

28 Johdatus differentiaaligeometriaan α f α on upotus. α Huomautus 2.26. Kirjallisuudessa alimoniston käsitteellä saattaa joskus olla eri merkitys. Esim. Bishop-Crittenden [BC] sallii tapauksen e alimoniston määritelmässä. Lause 2.27. Olkoon f: M m N n immersio. Silloin jokaisella pisteellä p M m on ympäristö U s.e. f U: U N n on upotus. Todistus.Olkoonp M.OnlöydettäväympäristöU ps.e.f U: U fu onhomeomorfismi, kun fu:lla on N:stä indusoitu topologia. Olkoot U 1,x ja V 1,y kartat pisteissä p ja fp s.e. fu 1 V 1, xp = 0 R m, ja y fp = 0 R n. Asetetaan f = y f x 1, f = f1,..., f n. Koska f on immersio, on f 0: R m R n injektio. Voidaan olettaa, että f 0R m = R m R m R k, k = n m muussa tapauksessa suoritetaan kierto R n :ssä. Tällöin det f 0 0, kun f 0 tulkitaan lineaariseksi kuvaukseksi R m R m. Määritellään kuvaus ϕ: xu 1 R k R n, ϕ x,t = f1 x, f 2 x,..., f m x, f m+1 x+t 1,..., f m+k x+t k, x xu 1, t = t 1,...,t k R k. Lineaarikuvauksen ϕ 0,0: R m+k R m+k matriisi on fi 0 x j 0 I k, joten detϕ 0,0 = det f 0 0. Käänteiskuvauslauseen nojalla on olemassa ympäristöt 0 W 1 xu 1 R k ja 0 W 2 R n s.e. ϕ W 1 : W 1 W 2 on diffeomorfismi. Merkitään Ũ = W 1 xu 1 ja U = x 1 Ũ U 1. Koska ϕ xu 1 {0} = f, niin ϕ Ũ = f. Erityisesti, f U: U fu on homeomorfismi, kun fu:ssa on N:stä indusoitu topologia.

Syyslk. 2004 29 f U 1 p x M fm xu 1 R k ϕ y V 1 W 1 0 f W 2 xu 1 R m Esimerkki 2.28. Olkoon f: R n+1 R C -funktio s.e. fp = D 1 fp,...,d n+1 fp 0 kaikilla p M = {x R n+1 : fx = 0}. Tällöin M on R n+1 :n n-ulotteinen alimonisto. Esimerkin väitteen todistuksen idea: Olkoon p M mielivaltainen. Siirron ja kierron jälkeen voidaan olettaa, että p = 0 ja f0 = f 0,...,0, 0. x n+1 Siten f x n+1 0 0. Määritellään kuvaus ϕ: R n+1 R n+1, Tällöin ϕx = x 1,...,x n,fx, x = x 1,...,x n,x n+1. 1 0 0 0 1 0 0 detϕ 0 =.... 0 0 1 0 f 0 0 x n+1 0 = f x n+1 0 0. Käänteiskuvauslauseen mukaan ympäristöt Q p ja W ϕ0 = 0,0 R n R s.e. ϕ: Q W on diffeomorfismi. V M V = U M ϕ I R W R n Q K Valitaan avoin joukko K R n, 0 K, ja avoin väli I R, 0 I, s.e. K I W. Olkoon V = ϕ 1 K I Q ja U = V M. Silloin ϕ: V K I on diffeomorfismi. Olkoon y = ϕ U. Tehdään samoin kaikilla p M, jolloin havaitaan, että parit U, y muodostavat M:n kartaston. Koska inkluusiolle i: M R n+1 pätee on i upotus. i U = y 1 ϕ U,

30 Johdatus differentiaaligeometriaan 2.29 Suunnistus Määritelmä 2.30. Sileä monisto M on suunnistuva, jos M:llä on sileä kartasto {U α,x α } s.e. jokaisella indeksillä α ja β, joilla U α U β = W, kuvauksen x β x 1 α Jacobin determinantti on positiivinen jokaisessa pisteessä q x α W, ts. 2.31 det x β x 1 q α > 0, q xα W. W U α x α xβ U β x β x 1 α Muussa tapauksessa M on suunnistumaton. Jos M on suunnistuva, niin M:n suunnistus on sellainen kartasto, jolle 2.31 pätee. Lisäksi sanomme, että M varustettuna tällä kartastolla on suunnistettu. Sanomme, että kaksi sellaista kartastoa, jotka toteuttavat 2.31:n, määräävät saman suunnistuksen, jos niiden yhdiste toteuttaa myös 2.31:n. Huomautus 2.32. 1. Varoitus: Sileällä struktuurilla voi olla eri merkityksiä kirjallisuudessa esim. do Carmo[Ca2]. Mikä menee vikaan, jos määrittelisimme suunnistuvuuden sanomalla: M on suunnistuva, jos sille voidaan antaa C -struktuuri niin, että 2.31 pätee? HT 2. Jos M on suunnistuva ja yhtenäinen, niin M:llä on täsmälleen kaksi eri suunnistusta. HT 3. Jos M ja N ovat sileitä monistoja ja f: M N on diffeomorfismi, niin silloin M on suunnistuva N on suunnistuva. 4. Olkoot M ja N ovat yhtenäisiä suunnistettuja sileitä monistoja ja f: M N diffeomorfismi. Tällöin f indusoi suunnistuksen N:ään. Jos N:n indusoitu suunnistus on sama kuin N:n alkuperäinen suunnistus, sanotaan, että f on suunnansäilyttävä muussa tapauksessa suunnankääntävä. Esimerkki 2.33. 1. Oletetaan, että on olemassa M:n kartasto {U,x,V,y} siten, että U V on yhtenäinen. Silloin M on suunnistuva. Todistus. Kuvaus y x 1 : xu V yu V on diffeomorfismi, joten det y x 1 q 0 q xu V. Koska q det y x 1 q on jatkuva ja xu V on yhtenäinen, determinantti ei voi vaihtaa merkkiä. Jos merkki on positiivinen, asia on selvä. Jos merkki on negatiivinen, korvataan kartta V,y, y = y 1,...,y n, kartalla V,ỹ, ỹ = y 1,y 2,...,y n. Silloin kartasto {U, x,v, ỹ} toteuttaa 2.31:n. 2. Esimerkiksi pallo S n on suunnistuva edellisen kohdan nojalla.

Syyslk. 2004 31 2.34 Ryhmän epäjatkuva toiminta Määritelmä 2.35. Sanomme, että ryhmä G toimii differentioituvalla monistolla M, jos on olemassa kuvaus ϕ: G M M s.e. 1. kuvaus ϕ p : M M, ϕ g p = ϕg,p, on diffeomorfismi kaikilla g G, ja ϕ e = id M e = neutraalialkio, 2. jos g,h G, niin ϕ gh = ϕ g ϕ h. Useimmiten kirjoitamme ϕg,p = gp, g G, p M. Ryhmän toiminta määrittelee M:ään ekvivalenssirelaation: p q g G s.e. q = gp. Sanomme edelleen, että G toimii aidosti epäjatkuvasti ilman kiintopisteitä, jos jokaisella p, q M, joilla p q, on olemassa ympäristöt V 1 p ja V 2 q s.e. gv 1 V 2 = g G ja jokaisella m M on olemassa ympäristö U s.e. gu U = kaikilla g e. Tässä gu = ϕ g U. Olkoon M/G tämän ekvivalenssirelaation tekijäavaruus ja π: M M/G, πp = [p] = Gp projektio. Lause 2.36. Olkoon M n differentioituva monisto ja olkoon G ryhmä, joka toimii M:llä aidosti epäjatkuvasti ilman kiintopisteitä. Silloin tekijäavaruudella M/G on sileä struktuuri s.e. π: M M/G on lokaali diffeomorfismi. Todistus. Jokaisella p M valitaan kartta U,x, p U, s.e. gu U = g e. Tällöin π U on injektio. Merkitään V = πu M/G. U M π x xu R n y V M/G Koska π U: U V on bijektio, voimme määritellä homeomorfismin y: V xu R n asettamalla y = x π U 1. [Huom. M/G:ssä tekijätopologia, eli D M/G avoin π 1 D M avoin.] Olkoon A = {V,y}, missä kartat V,y on konstruoitu yo. tavalla antamalla p:n käydä läpi kaikki M:n pisteet. Olkoot V 1,y 1,V 2,y 2 A karttoja s.e. W = V 1 V 2. On osoitettava, että y 2 y1 1 y 1W : y 1 W y 2 W on diffeomorfismi. Olkoot U i,x i, i = 1,2, vastaavat kartat M:llä, ts. π i = π U i : U i V i on bijektio ja y i = x i π U i 1. Koska y 2 y 1 1 y 1W = x 2 π 1 2 π 1 x 1 1 y 1W = kuvauksen π2 1 π 1 π1 1 W lokaali esitys, meidän on näytettävä, että π 1 2 π 1 π1 1 W on diffeomorfismi. Huomaa, että π2 1 π 1 π1 1 W : π 1 1 W π 1 2 W on homeomorfismi. Olkoon q W mielivaltainen ja merkitään p i = π 1 i q.

32 Johdatus differentiaaligeometriaan U 1 V 1 W V 2 U 2 π 1 π 2 p 1 x 1 y 1 q y 2 p 2 x 2 y 2 y 1 1 Riittää osoittaa, että p 1 :llä on ympäristö A s.e. π 1 2 π 1 A on diffeomorfismi. Koska p 1 p 2, on olemassa g G s.e. p 2 = gp 1. Väitämme: On olemassa p 1 :n ympäristö A s.e. 2.37 π 1 2 π 1 A = ϕ g A jasiisdiffeomorfismi.tehdäänvastaoletus, ettei2.37päde.silloinonolemassajonop 1 :nympäristöjä A j s.e. A j+1 A j ja j A j = {p 1 } ja pisteitä z j A j s.e. π 1 2 π 1 zj gz j. Toisaalta z j π2 1 π 1 zj, joten π2 1 π 1 zj = g j z j jollakin g j G. Siten g j g. Nyt z j p 1 ja π2 1 π 1 on jatkuva, joten Olkoon A j0 mielivaltainen. Silloin g j z j = π 1 2 π 1 zj p 2 = π 1 2 π 1 p1. z j A j0 kaikilla riittävän suurilla j. Koska ga j0 on p 2 :n ympäristö ja g j z j p 2, on oltava kaikilla riittavän suurilla j. Siten g j z j ga j0 z j g 1 j g A j0 A j0, g 1 j g e. Koska A j0 oli mielivaltainen, saadaan ristiriita ja siten 2.37 pätee. Projektio π: M M/G on lokaali diffeomorfismi, sillä π U: U V on diffeomorfismi U ja V kuten yllä. Sen lokaali esitys on y π U x 1 = id. Lopuksi todetaan, että M/G on Hausdorff ylim. HT. Esimerkki 2.38. 1. Olkoon M = S n ja G diffeomorfismien S n S n ryhmä, jonka virittää antipodaali kuvaus p p. Silloin M/G = RP n. 2. Olkoon M = R n ja G = Z n ryhmäoperaationa yhteenlasku Z n = {z 1,...,z n : z i Z}. Ryhmä G toimii R n :llä aidosti epäjatkuvasti ilman kiintopisteitä toiminnan määrää siirrot x x+h, h Z n. Nyt M/G = R n /Z n = n-ulotteinen torus T n.

Syyslk. 2004 33 identifikaatio identifikaatio 3. Kleinin pullo saadaan esim. seuraavasti: Pyöräytetään yz-tason ympyrä y 1 2 +z 2 = 1 4 z-akselin ympäri. Saadaan torus T 2. Olkoon G diffeomorfismien T 2 T 2 ryhmä, jonka muodostavat identtinen kuvaus ja p p. Silloin T 2 /G varustettuna Lauseen 2.36 antamalla C -struktuurilla on Kleinin pullo. Kleinin pullo voidaan myös ajatella kiertyneeksi torukseksi: B A B A O A O B O O A B 4. Möbius-nauha. Olkoon C = {x,y,z R 3 : x 2 +y 2 = 1, 1 < z < 1}, G = {id,p p} = ryhmä C:n diffeomorfismeja. C/G = Möbiuksen nauha. 5. Olkoon M = R ja G = {id,p p}. M 0 M/G Nyt G ei toimi aidosti epäjatkuvasti: U 0 ympäristö gu U g G.

34 Johdatus differentiaaligeometriaan 3 Vektorikentät ja virtaukset Otetaan käyttöön ns. Einsteinin summaustapa: Jos jokin indeksi esiintyy sekä ylä- että alaindeksinä samassa termissä, niin nämä termit summataan yli kaikkien mahdollisten kyseisen indeksin arvojen useimmiten 1:stä avaruuden dimensioon n. Nämä mahdolliset indeksin arvot käyvät yleensä ilmi asiayhteydestä. Esim.: 3.1 Vektorikentät v i i = g ij dx i dx j = n v i i, i=1 n g ij dx i dx j. i,j=1 Olkoon M differentioituva n-monisto ja A M. Palautetaan mieliin, että kuvausta V : A TM, jolleπ V = id, sanotaanvektorikentäksi A:ssa,ts. V ona:nsektio. Tällöin siisvp T p M p A. Merkitään V p = Vp. Jos A M on avoin jav : A TM on C -vektorikenttä, niinmerkitsemme V T A. Selvästi T A on reaalinen vektoriavaruus, missä yhteenlasku ja skalaarilla kertominen määritellään pisteittän: Jos V,W TA ja a,b R, niin av + bw, p av p + bw p, on sileä vektorikenttä. Lisäksi vektorikenttiä V T A voidaan kertoa sileillä reaaliarvoisilla funktioilla f C A, jolloin tuloksena on sileä vektorikenttä fv, p fpv p. HT Olkoon M differentioituva n-monisto ja A M avoin. Sanomme, että A:n vektorikentät V 1,...,V n muodostavat lokaalin kehyksen tai kehyksen A:ssa, jos vektorit Vp 1,...,V p n muodostavat T p M:n kannan jokaisessa pisteessä p A. Tapauksessa A = M sanomme, että vektorikentät V 1,...,V n muodostavat globaalin kehyksen. Sanomme, että M on yhdensuuntaistuva, jos M:llä on olemassa sileä globaali kehys V 1,...,V n T M. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että TM on triviaali kimppu. 1 HT Olkoon U,x, x = x 1,...,x n, kartta ja i p =, i = 1,...,n, vastaavat koordinaattivektorit pisteessä p U. Tällöin kuvaukset x i p i : U TM, p i p = x i, p ovat vektorikenttiä U:ssa, ns. koordinaattivektorikenttiä. Koska vektorikentät i muodostavat kehyksen U:ssa, voidaan jokainen U:n vektorikenttä V kirjoittaa muodossa V p = v i p i p, p U, missä v i : U R. Funktioita v i kutsutaan V:n komponenttifunktioiksi kartan U,x suhteen. [Muista: Einsteinin summaustapa.] Lemma 3.2. Olkoon V vektorikenttä M:llä. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: a V TM. 1 Jokainen Lien ryhmä on yhdensuuntaistuva. Palloista vain S 1,S 3 ja S 7 ovat yhdensuuntaistuvia. Samoin RP 1, RP 3 ja RP 7 ovat ainoat yhdensuuntaistuvat projektiiviset avaruudet. Toisaalta tulo S n S m on yhdensuuntaistuva, jos ainakin toinen luvuista n > 0 tai m > 0 on pariton. [Bott, Kervaire, Milnor]