TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/8 Työ 449 S4h. SÄHKÖVIRRAN ETENEMINEN TYÖN TAVOITE Perehdytään vaihtovirran etenemiseen värähtelypiirissä eri taauuksilla eli resonanssi-ilmiöön a sähköenergian etenemisen tehokkuuteen eri ännitteillä. RCL- VÄRÄHTELYPIIRIN TUTKIMINEN 1. TYÖN TAVOITE. TEORIAA Perehdytään resonanssi-ilmiöön sähköisessä RCL-värähtelypiirissä. Systeemi on analoginen mekaanisen värähtelyn kanssa, oten mekaanisen värähtelyn teorian ymmärtäminen saattaa auttaa värähtelypiirin ymmärtämistä. Tässä työssä tutkitaan sähköistä värähtelypiiriä, onka muodostavat keskenään saraan kytketyt käämi a kondensaattori. Värähtely merkitsee sitä, että energia siirtyy aksollisesti kondensaattorin sähkökentästä käämin magneettikenttään a takaisin. Koska käämillä on aina sisäinen resistanssi, värähtely on aina vaimenevaa. Systeemi on täysin analoginen mekaanisen värähteliän kanssa kondensaattorin varauksen vastatessa ousen asemaa, resistanssin nopeuteen verrannollisen vastusvoiman kerrointa (vastuskerrointa), induktanssin massaa, lähdeännitteen pakkovoimaa a kapasitanssin käänteisarvon voimavakiota (ousivakiota). Siis q x, R β, L m, V F, C -1 k olloin vastaava differentiaaliyhtälö on dq 1 dq L = q R + V cos ωt, (1) dt C dt Kun piiriin syötetään energiaa sinimuotoisen vaihtoännitteen generaattorilla oheisen kytkennän mukaisesti, korvataan vaimennuksen aiheuttamaa energian menetystä. Vaihtoännite vastaa mekaanisen pakkovärähteliän pakkovoimaa tai pakkomomenttia. Differentiaaliyhtälössä (1) on kondensaattorin varaus q muuttuana, mutta varausta helpommin mitattavissa oleva suure on piirin virta I. Virta I on varauksen q aikaderivaatta, kuten nopeus v oli ousen paikan x aikaderivaatta. Siten piirin vastaanottaman energian määrä riippuu vaihtoännitteen taauudesta f a piirin ominaistaauudesta f o. Se on suurimmillaan eli piiri on resonanssissa, kun syötettävän vaihtoännitteen taauus on sama kuin piirin ominaistaauus
TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE /8 f = f o (ω = ω o ), kuten vastaavassa mekaanisessa resonanssissa. Tehtäessä mekaaniseen resonanssiin korvaukset L m a C -1 k, saadaan ominaistaauudeksi eli resonanssitaauudeksi 1 f = ω. π = π LC () Teoriaan voit perehtyä lähemmin lopussa mainittuen kirallisuusviitteiden avulla, ellei sitä ole o käsitelty tunneilla. Seuraavassa esitetään tiivistetysti perinteisellä tavalla piirin virralle I resonanssitaauuden määrittäminen esittämällä vain tarvittavat yhtälöt. V6. Kuva 1. Sararesonanssipiiri. Piirin virta riippuu ännitteestä Ohmin lain mukaan: I = U Z, (3) missä Z on piirin impedanssi, ( ω 1/ ω ) Z = R + L C ω = π f Impedanssin lausekkeessa R on piirin resistanssi. Se on tässä työssä käytännössä sama kuin käämin sisäinen resistanssi. Kun vaihtoännitteen taauus on sellainen, että ω = 1 LC, impedanssi Z on pienimmillään a virralla I on maksimiarvonsa U I = I =, (5) R olloin yhtälöstä (4) saadaan yhtälön () mukainen resonanssitaauus f o. Piirrettäessä kuvaaa, ossa virta esitetään vaihtoännitteen taauuden funktiona, havaitaan kuvaaalla selvä maksimikohta taauudella f. Kuvaaaa sanotaan resonanssikäyräksi. (4)
TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 3/8 Kuva. Piirissä kulkeva virta taauuden funktiona. Piirin laatukertoimeksi (hyvyysluvuksi) eli Q-arvoksi saadaan: ω π fl f Q = = =, δ R f f 1 ossa f a f 1 ovat ne taauudet, oilla virta saa arvon I /. Nämä taauudet saadaan resonanssikäyrältä. (6) 3. TYÖN SUORITUS Taauusgeneraattorista syötetään vahvistimen kautta piiriin sinimuotoinen vaihtoännite, onka suuruus pidetään koko mittauksen aan vakiona (valvoa antaa käytettävän ännitteen). Taauutta muutetaan portaittain. Taauuden muuutoksen älkeen on aina muistettava säätää ännite em. vakioarvoon ennen kuin virta luetaan. Jos generaattorissa ei ole taauuslaskinta, on käytettävä erillistä taauuslaskinta, sillä generaattorin säätökiekon lukemien tarkkuus ei ole riittävä. Jotta mittaus saataisiin suunniteltua ärkevästi, etsitään aluksi resonanssikohta eli taauus, olla virta on maksimissaan. Resonanssikohtaa haettaessa vaihtoännitteen suuruutta ei tarvitse atkuvasti vakioida. Sitten mitataan virta resonanssitaauuden kummankin puolen muuttaen. Resonanssitaauuden ympärillä alueella, ohon em. taauudet f 1 a f mahtuvat, taauutta muutetaan kuitenkin pienemmin portain, otta kuvaaan huippu saadaan tarkasti. Työselostukseen piirretään mm-paperille resonanssikäyrä. Havaintopisteet merkitään selvästi a pisteistöön piirretään huolellisesti tasoitettu käyrä. Tämä on resonanssikäyrä. Merkitään edellä mainitut virran a taauuden arvot I o, f o, f 1 a f näkyviin. Jotta nämä saataisiin luettua tarkasti, käyrä on piirrettävä kyllin isoksi a varsinkin vaaka-akselin asteikko riittävän hienoakoiseksi. Lasketaan piirin resistanssi R, piirin laatukerroin Q, käämin induktanssi L a kondensaattorin kapasitanssi C, kaikki virheraoineen. Virheraat lasketaan seuraavasti:
TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 4/8 dr di du + R I U dq df df + df + Q f f f 1 1 dl dr dq df + + L R Q f dc dl df + C L f Huomaa: di a du saadaan mitareiden taulukoista a taauuksien virheet arvioidaan käyrältä. (7) 4. KIRJALLISUUTTA Mikko Hovi, Fysiikkaa insinöörioppilaille, osa IV. Tampere: Tammertekniikka, 1989. ss.38-43. Pentti Inkinen, Reio Manninen, Jukka Tuohi. Momentti, insinöörifysiikka. Keuruu: Otava, 3, ss. 6-14. Jerry B. Marion, Classical dynamics of particles and systems, nd edition. Lontoo: Academic press, 197. ss. 15-19. Mikko Mäkelä, Riitta Mäkelä, Olavi Siltanen, Insinöörikoulutuksen fysiikka, 1. painos. Jyväskylä: Tammertekniikka, 1994. ss.178-183. Raymond A. Serway, Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 4 th edition. Philadelphia: Saunders College Publishing, 1996. ss. 95-955, 965-975.
TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 5/8 SÄHKÖENERGIAN SIIRRON TEHOKKUUS 1.TYÖN TAVOITE. TEORIAA Työn tarkoituksena on perustella korkeaännitteen käytön edullisuus sähköenergian siirrossa. Virran I kulkua energialaitokselta talouksiin esittää kuva 3 (yksinkertaistettu: normaalisti 3 vaihetta). P L a U L ovat energialaitokselta lähtevä (L: lähde, lähtevä) teho a ännite sekä R on siirtoohtoen yhteinen resistanssi a P ohtoihin äävä hukkateho. Kulutuspisteeseen saapuva teho on P a ännite U sekä R vastaa oletetun tehoa kuluttavan vastuksen resistanssia. Virta I pysyy vakiona luonnollisesti koko piirin läpi. Jännite- a virtasuureet ovat tässä tehollisarvoa. P L U L R P I P,U,R Oletetaan seuraavassa, että pieni taaama, oka on energialaitokselta matkan l = 1 km päässä, kuluttaa tehoa P esimerkiksi 1 MW. Jos yhdistysohtoen (alumiiniset tulo- a meno-kaapelit ( kpl, huomaa, että työssä vain 1 kpl kuparikaapelia)) poikkileikkaus A on cm a alumiinin ominaisresistanssi ρ Al =,6548 µω cm, on kokonaisresistanssi R Kuva 3. Virran kulku silloin R = ρ Al l/a =,6548x1-6 Ω cm x1 5 cm/ cm,65 Ω Pyritään ratkaisemaan, mitä ännitettä on käytettävä, os halutaan siirtää energiaa määrätyllä tehokkuudella η: P P 1 η = = = P P L P+ P 1+ P eli tehokkuus η on yksinkertaisesti perille saadun tehon suhde lähtevään tehoon, parhaassa tapauksessa siis 1 %. Kohteeseen tuotu teho P a ohtoihin häviävä teho P saadaan lausekkeista (virta pysyy tietenkin vakiona koko matkan!) (8) = P = P I R P R I R = P R eli tehoen suhde on resistanssien suhde. (9)
TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 6/8 Yhtälöistä (8) a (9) saadaan siten 1 R η = R= 1 + R / R 1/ η 1. (1) Koska kohteeseen saapuva hyötyteho P = U /R, on ännite U (1):n mukaan U= PR= PR 1 1 η (11) Tämä lauseke antaa siis käytössä olevan ännitteen, kun haluttu teho P a kaapeleiden resistanssi R tiedetään sekä energian siirron tehokkuus η halutaan määrätyn suuruiseksi. Tehoen P a P L avulla saadaan P = U I U U η = eli UL = PL= UL I UL η Tämän mukaan, os halutaan esimerkiksi 9 % tehosta perille, on energialaitoksen ännitteen U L oltava U L = U/,9 1,11 U eli 11 % kohteeseen tulevaa ännitettä suurempi. (1) A. Esimerkkeä A1. Oletetaan nyt, että energiaa ei haluta menettää ohtoihin enempää kuin 1 % kokonaisenergiasta, eli tehon P (= 1 MW) täytyy olla 99 % lähteen tehosta P L (η =,99). Yhtälöstä (11) saadaan kulutusvastukseen R ännite U: 1MW,655Ω U = 16,kV 1/,99 1 a lähteen ännite U L on (1):n mukaan U L = 16, kv/,99 = 16,4 kv. Vastauksena on siis noin 16 kv ännite, oka pitkienkin matkoen päästä pysyy liki vakiona, a oka muuntaalla lasketaan esimerkiksi kotitalouksiin sopivaksi V:ksi. Todellisuudessa ännitteet ovat todella tätä luokkaa eli 1 kv... kv. A. Miksi kohteeseen ei sitten tuoda valmiiksi siellä tarvittavaa ännitettä V? Yhtälöstä (11) saadaan ratkaistua tehokkuudeksi η silloin η PR U 1 = ( + 1) eli (13) η = (1 MW,65 Ω /( V) + 1) -1 = 1,79x1-1,8 %
TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 7/8 ts. ohtoihin ää silloin 98, % koko energiasta! Lähteen ännite U L on tällöin yhtälön (5) mukaan kuitenkin niinkin suuri kuin U L = 1,3 kv. A3. Estääkö okin pienentämästä ohtimien resistanssia a siten käyttämästä kohteessa suoraan V ännitettä? Sovitaan vielä seuraavassa, että häviöt saavat olla niinkin suuret kuin 1 %. Yhtälön (11) mukaan ohtoen resistanssin R tulisi olla R = U (1/η - 1)/P = ( V) (1/,9-1)/1 MW = 5,38x1-3 Ω. Johdon poikkipinnan ala A olisi nyt A = ρ Al l/r =,6548x1-6 Ω cm 1x1 5 cm / 5,38x1-3 Ω = 987 cm eli ohdon halkaisian φ tulisi olla A φ= = = π 56cm / π 84 cm oka on o valtavaa vaieria, a silti 1 % tehosta menetetään. Voidaan siis päätellä, että sekä energialaitoksen että tehoa kuluttavan pään on käytettävä kymmenien kilovolttien ännitteitä. Talouksiin sopivaksi ännite lopulta lasketaan paikalla olevia muuntaia käyttäen. Nykyisin teho tuodaan kolmella alumiinikaapelilla, oiden kunkin poikkipinta-ala A = 1,3 cm, vanhemmilla teräskaapeleilla,6 cm. B. Työn suoritus Seuraavassa tarkastellaan sähköenergian siirtoa käyttämällä tasaännitteitä, oiden teholliset arvot ovat edellisistä esimerkeistä poiketen huomattavasti pienempiä. Perille tuodaan kahdessa eri tapauksessa yhtä suuri teho, mutta tarkoituksena on havaita korkeamman ännitteen käytön edullisuus. ohto I U L V R P P,U,R V U V6. Kuva 4. Sähköenergian siirron kaavakuva.
TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 8/8 B1. Mitataan vastuksien R resistanssi (piiri auki!) a tehdään kuvan 4 mukainen kytkentä, missä ännitemittarit ovat digitaalimittareita a säädettävästä tasaännitelähteestä ännitteenä U L noin 1 V a vastuksena R mitatuista resistanssiltaan suurempaa. Käytetään koeärestelyä, missä käytössä on vain yksi ännitemittari, onka negatiivinen puoli on kytkettynä maatasoon a positiivinen vuorotellen energialaitoksen a kotitaloudenpisteeseen positiiviseen napaan. Johtona on kuparikaapelia, oka vastaa tässä tapauksessa pitkiä voimalinoa a tehonkuluttaana vastus R. Mitataan ännitteet U a U L sekä lasketaan perille vastukseen saatu teh P = U /R. B. Vaihdetaan kuormavastus R resistanssiltaan pienemmäksi. Vastuksen piiriin kytkemisen älkeen säädetään ännite U L siten, että tehonkulutus P vastuksessa R pysyy samana (suunnilleen) kuin kohdassa B1. Kirataan vastaavat U L a U. B3. Virta kummassakin piirissä saadaan yhtälöstä I = U/R a koko kulutettu teho P (ohtoihin a vastukseen) yhtälöstä P L = U L I. Lasketaan hyötysuhde η yhtälöstä (8) tai (1) kummassakin tapauksessa. Mitä voidaan sanoa energian siirron tehokkuudesta? Verrataan tilannetta voimalinoihin a verkkoännitteeseen. B4. Lasketaan kaapelin resistanssi käyttäen sekä B1:stä että B:sta määrättyä U L :n, U:n a B3:sta saatua I:n arvoa (R = (U L - U)/I) sekä vielä kolmanneksi käyttäen annettua kuparin resistiivisyyttä. Tarkasta saamasi tulokset vastusmittarilla. Kuparin resistiivisyys: 1,678 1-8 Ωm Kuparin tiheys: 8,96 1 3 kg/m 3