Logiikan harjoitustehtävien ratkaisuja

Logiikan harjoitustehtävien ratkaisuja 1.1 a) Tässähän yhteenlaskun määritelmä menee niin, että kaikille n n + 0 = n, (1) n + 1 = s(n) ja (2) n + (m + 1) = s(m + n). (3) Lisäksi käytetään merkintöjä s(0) = 1, s(1) = 2, s(2) = 3 ja s(3) = 4. Silloin saadaan 2 + 2 i) = 2 + s(1) ii) = 2 + (1 + 1) iii) = s(2 + 1) iv) = s(s(2)) v) = s(3) vi) = 4, joten väite pätee. Tässä yhtälö i) saadaan 2:n määritelmästä, yhtälö ii) määritelmästä (2), yhtälö iii) määritelmästä (3), yhtälö iv) määritelmästä (2), yhtälö v) 3:n määritelmästä ja yhtälö vi) 4:n määritelmästä. b) Kertolaskun määritelmän mukaan Silloin n 0 = 0 ja (4) n (m + 1) = n m + n. (5) 2 2 = i) 2 s(1) ii) = 2 (1 + 1) iii) = (2 1) + 2 iv) = (2 s(0)) + 2 = v) (2 (0 + 1)) + 2 vi) = ((2 0) + 2) + 2 vii) = (0 + 2) + 2 viii) = (0 + s(1)) + 2 ix) = (0 + (1 + 1)) + 2 x) = s(0 + 1) + 2 xi) = s(s(0)) + 2 xii) = s(1) + 2 xiii) = 2 + 2 xiv) = 4, joten väite pätee. Tässä yhtälöt saadaan seuraavin perustein: i) tulee 2:n määritelmästä, ii) tulee määritelmästä (2), iii) tulee määritelmästä (5), iv) tulee 1:n määritelmästä, v) tulee määritelmästä (2), vi) tulee määritelmästä (5), vii) tulee määritelmästä (4), viii) tulee 2:n määritelmästä, ix) tulee määritelmästä (2), x) tulee määritelmästä (3), xi) tulee määritelmästä (2), xii) tulee 1:n määritelmästä, xiii) tulee 2:n määritelmästä ja lopulta xiv) seuraa a)-kohdasta. 1

1.2 Käytetään tässä(kin) ratkaisussa tehtävän 1.1 ratkaisun määritelmiä (1) (5). a) Pidetään tässä n ja m kiinteinä ja tehdään induktio k:n suhteen. Väite on siis (n + m) + k = n + (m + k). (6) Kun k = 0, väite (6) todistetaan helposti: (n + m) + 0 = n + m = n + (m + 0), missä molemmat yhtälöt seuraavat määritelmästä (1). Oletetaan sitten induktiivisesti, että väite (6) pätee. Induktioväitteenä on Tämä todistetaan näin: (n + m) + (k + 1) = n + (m + (k + 1)). (7) (n + m) + (k + 1) = i) s((n + m) + k) ii) = s(n + (m + k)) iii) = n + ((m + k) + 1) iv) = n + s(m + k) v) = n + (m + (k + 1)), joten induktioväite (7) pätee. Yllä yhtälö i) tulee määritelmästä (3), yhtälö ii) induktio-oletuksesta (6), iii) taas määritelmästä (3), iv) määritelmästä (2) ja lopulta yhtälö v) määritlmästä (3). b) Väitteen 0 + n = n (8) todistamiseksi tehdään induktio n:n suhteen. Kun n = 0 väite (8) seuraa määritelmästä (1). Oletetaan induktiivisesti, että väite (8) pätee. Induktioväitteenä on 0 + (n + 1) = n + 1. (9) Tämä todistetaan näin: 0 + (n + 1) i) = s(0 + n) = ii) = s(n) iii) = n + 1, missä yhtälö i) tulee määritelmästä (3), yhtälö ii) induktio-oletuksesta (8) ja yhtälö iii) määritelmästä (2). c) Väitteen 1 + n = n + 1 (10) todistamiseksi tehdään taas induktio n:n suhteen. Kun n = 0 väite (10) saadaan näin: 1 + 0 = i) 1 ii) = 0 + 1, 2

missä yhtälö i) tulee määritelmästä (2) ja yhtälö ii) b)-kohdasta. Oletetaan induktiivisesti, että väite (10) pätee. Induktioväitteenä on Tämä todistetaan näin: 1 + (n + 1) = (n + 1) + 1. (11) 1 + (n + 1) i) = s(1 + n) ii) = s(n + 1) iii) = (n + 1) + 1, joten väite (11) pätee. Tässä yhtälö i) tulee määritelmästä (3), yhtälö ii) induktiooletuksesta (10) ja yhtälö iii) määritelmästä (2). d) Väitteen n + m = m + n (12) todistamiseksi kiinnitetään n ja tehdään induktio m:n suhteen. Kun m = 0, väite (12) seuraa määritelmästä (1) ja b)-kohdasta. Oletetaan induktiivisesti, että väite (12) pätee. Induktioväitteenä on Tämä todistetaan näin: n + (m + 1) = (m + 1) + n. (13) n + (m + 1) i) = s(n + m) ii) = s(m + n) iii) = m + (n + 1) iv) = m + (1 + n) v) = (m + 1) + n, joten väite (13) pätee. Tässä yhtälö i) tulee määritelmästä (3), yhtälö ii) induktiooletuksesta (12), yhtälö iii) taas määritelmästä (3), yhtälö iv) c)-kohdasta ja yhtälö v) a)-kohdasta. 1.3 a) Sana K = [[[[[p 1 p 2 ] f] f] [[p 2 p 1 ] f]] f] on kaava, koska sillä on rakennejono, ks. määritelmä 2.1: K 1 = p 1 K 2 = p 2 K 3 = f K 4 = [p 1 p 2 ] K 1 + K 2 K 5 = [[p 1 p 2 ] f] K 4 + K 3 K 6 = [[[p 1 p 2 ] f] f] K 5 + K 3 K 7 = [p 2 p 1 ] K 2 + K 1 K 8 = [[p 2 p 1 ] f] K 8 + K 3 K 9 = [[[[p 1 p 2 ] f] f] [[p 2 p 1 ] f]] K 6 + K 8 K 10 = K K 9 + K 3. b)+c) Nämä eivät ole kaavoja lemman 2.1 nojalla, koska niissä on eri määrä vasempia/oikeita sulkumerkkejä. 3

1.4 Tehdään induktio kaavan K rakennejonon minimaalisen pituuden n mukaan. Kun n = 1, kaava K on määritelmän 2.1 mukaan välttämättä yksittäinen propositiokirjain p i tai symboli f, jolloin väite pätee. Oletetaan sitten induktiivisesti, että väite pätee kaikille kaavoille, joilla on korkeintaan n:n pituinen rakennejono. Oletetaan, että kaavalla K on minimissään (n + 1):n mittainen rakennejono. Määritelmän 2.1 mukaan K on tällöin muotoa K = [K i K j ], (1) missä K i ja K j esiintyvät aiemmin K:n rakennejonossa. Määritelmän 2.1 mukaan on selvää, että K:n rakennejonon alkupää muodostaa rakennejonon sekä K i :lle että K j :lle. Tällöin induktio-oletuksen nojalla sekä K i :ssä että K j :ssä on yhtä monta vasenta ja oikeaa sulkumerkkiä sekä nuolta. Tällöin sama pätee myös K:lle esityksen (1) perusteella. 1.5 a) Huomataan ensin, että jos kaavassa on ainakin yksi nuoli, niin sen ensimmäinen aakkonen on [ ja viimeinen ]. Tämä seuraa välittömästi lemmasta 2.2. Tämä johtaa siihen, että minkään kaavan ensimmäinen tai viimeinen aakkonen ei voi olla. Sen jälkeen huomataan, että missään kaavassa K ei voi esiintyä merkkiyhdistelmää p i. Tämä väite todistetaan induktiolla kaavan K rakennejonon minimaalisen pituuden n mukaan. Kun n = 1, K:ssa on vain yksi aakkonen, ja väite pätee triviaalisti. Oletetaan sitten induktiivisesti, että väite pätee kaikille kaavoille, joilla on korkeintaan n:n pituinen rakennejono. Oletetaan, että kaavalla K on minimissään (n + 1):n mittainen rakennejono. Määritelmän 2.1 mukaan K on tällöin muotoa K = [K i K j ], (1) missä K i ja K j esiintyvät aiemmin K:n rakennejonossa. Määritelmän 2.1 mukaan on selvää, että K:n rakennejonon alkupää muodostaa rakennejonon sekä K i :lle että K j :lle. Tällöin induktio-oletuksen nojalla sekä K i että K j toteuttavat väitteen. Esityksen (1) perusteella K:ssa voi tällöin esiintyä merkkiyhdistelmä p i p j vain kaavojen K 1 ja K 2 saumakohdassa. Koska kuten yllä huomattiin K 1 :n viimeinen aakkonen tai K 2 :n ensimmäinen aakkonen ei voi olla, niin tämäkään ei ole mahdollista. Siispä väite pätee. Yllä todistetun kriteerin nojalla sana [[p 1 p 2 p 3 ]] ei voi olla kaava. 1.5 b) Missään kaavassa ei voi esiintyä merkkiyhdistelmää p i p j. Tämä väite todistetaan induktiolla kaavan K rakennejonon minimaalisen pituuden n mukaan. Kun n = 1, K:ssa on vain yksi aakkonen, ja väite pätee triviaalisti. Oletetaan sitten induktiivisesti, että väite pätee kaikille kaavoille, joilla on korkeintaan n:n pituinen rakennejono. Oletetaan, että kaavalla K on minimissään (n + 1):n mittainen rakennejono. Määritelmän 2.1 mukaan K on tällöin muotoa K = [K i K j ], (1) 4

missä K i ja K j esiintyvät aiemmin K:n rakennejonossa. Määritelmän 2.1 mukaan on selvää, että K:n rakennejonon alkupää muodostaa rakennejonon sekä K i :lle että K j :lle. Tällöin induktio-oletuksen nojalla sekä K i että K j toteuttavat väitteen. Esityksen (1) perusteella K:ssa voi tällöin esiintyä merkkiyhdistelmä p i p j vain kaavojen K 1 ja K 2 saumakohdassa. Tämä ei selvästikään ole mahdollista, joten väite pätee. Yllä todistetun kriteerin nojalla esimerkiksi sana [[p 1 p 2 ] [p 3 p 4 p 5 ]] ei voi olla kaava. 1.6 Koska tehtävän 1.4 mukaan jokaisessa kaavassa on yhtä monta vasenta ja oikeaa sulkumerkkiä, riittää osoittaa, että kaavan aidossa alkupäässä on enemmän vasempia kuin oikeita sulkumerkkejä. Tämähän tarkoittaa sitten myös sitä, että kaavan aidossa loppupäässä tilanne on päinvastainen, joten sekään ei voi olla kaava. Muotoillaan väite seuraavasti: Jokainen kaavan A aito alkupää on ei-kaava. Todistetaan tämä väite induktiolla kaavan A pituuden eli aakkosten lukumäärän suhteen. Jos A:ssa on vain yksi aakkonen eli A on atomikaava, sillä ei ole lainkaan aitoja alkupäitä, jolloin väite pätee. Oletetaan sitten induktiivisesti, että väite pätee kaikille kaavoille, joiden pituus on korkeintaan n 1, missä n 2. Olkoon sana A = a 1... a n kaava ja A = a 1... a k, k n 1 sen aito alkupää. Koska A ei ole atomikaava, se on muotoa A = [B C], missä B = b 1... b i ja C = c 1... c j ovat kaavoja. Tällöin välttämättä i + j + 3 = n, jolloin i, j n ja induktio- toimii kaavoille B ja C. pituudelle on kuusi mahdolli- Luvulle k n 1 = i + j + 2 eli sanan A suutta: - k = 1, - 2 k i, - k = i + 1, - k = i + 2, - i + 3 k i + j + 1 ja - k = i + j + 2. Tapauksessa k = 1 sana A koostuu vain yhdestä aakkosesta [, jolloin väite pätee. Tapauksessa 2 k i sana A on muotoa A = [b 1... b k 1, jolloin väite seuraa 5

induktio-oletuksesta, koska sana b 1... b k 1 on kaavan B aito alkupää. Tapauksessa k = i + 1 sana A on muotoa A = [b 1... b i = [B, jolloin väite seuraa tehtävästä 1.4, koska B on kaava. Tapauksessa k = i + 2 sana A on muotoa A = [b 1... b i = [B, jolloin väite seuraa tehtävästä 1.4, koska B on kaava. Tapauksessa i + 3 k i + j + 1 sana A on muotoa A = [B c 1... c k 2, jolloin väite seuraa induktio-oletuksesta ja tehtävästä 1.4, koska sana c 1... c k 2 on kaavan C aito alkupää. = [B C, jol- Lopulta tapauksessa k = i + j + 2 sana A on muotoa A loin väite seuraa tehtävästä 1.4, koska B ja C ovat kaavoja. 1.7 Olkoon K 1,..., K n = A kaavan A ja L 1,..., L m = B kaavan B rakennejono. Tällöin kaavan A = [A f] rakennejonoksi käy K 1,..., K n, f, A. Kaavan rakennejonoksi käy A B = [ A B] K 1,..., K n = A, f, A, L 1,..., L m = B, [ A B] = A B, kaavan rakennejonoksi käy A B = [ A B] K 1,..., K n, f, A, A, L 1,..., L m, B, [ A B] = A B, [ A B] = A B ja kaavan rakennejonoksi käy A B = [A B] [B A] K 1,..., K n = A, L 1,..., L m = B, [A B], [B A], f, [A B], [A B], [B A], [ [A B] [B A]] = [A B] [B A], [ [A B] [B A]] = [A B] [B A]. 6

1.8 p 1 p 2 = [p 1 p 2 ] [p 2 p 1 ] = [ [p 1 p 2 ] [p 2 p 1 ]] = [ [p 1 p 2 ] [p 2 p 1 ]] = [[ [p 1 p 2 ] f] [[p 2 p 1 ] f]] = [[[[p 1 p 2 ] f] f] [[p 2 p 1 ] f]] = [[[[[p 1 p 2 ] f] f] [[p 2 p 1 ] f]] f]. Huomaa, että kyseessä on tehtävän 1.3 a) kaava. 1.9 a) Tässä väitteenä on f. Koska lyhennysmerkinnän määritelmän mukaan f = f f, niin päättelylauseen nojalla riittää osoittaa, että f f, mutta tämä on triviaalia: kaava f muodostaa yksinään tähän tarvittavan päättelyjonon. Toki tämän saa ilman päättelylausettakin soveltamalla luentomonisteen sivun 17 esimerkkiä 2). 1.9 b) Tässä väitteenä on A A. Koska lyhennysmerkinnän määritelmän mukaan A A = A A, niin päättelylauseen nojalla riittää osoittaa, että A A, mutta tämä on taas triviaalia: kaava A muodostaa yksinään tarvittavan päättelyjonon. Tämänkin saa ilman päättelylausetta soveltamalla samaa esimerkkiä kuin a)-kohdassa. 1.9 c) Tässä väitteenä on [A A]. (1) b)-kohdan kohdan teoreema sovellettuna kaavalle A antaa teoreeman A A. (2) Koska lyhennysmerkinnän määritelmän mukaan [A A] = [A A] f, niin päättelylauseen nojalla väitteen (1) todistamiseksi riittää osoittaa, että Koska väitteen (3) on kaavana on aukirjoitettuna A A f. (3) A A = [ A A] = [ A A] f, niin väitteelle (3) saadaan päättelyjono 7

A 1 = A A teoreema (2) A 2 = [ A A] f A 3 = f A 1 + A 2 +modus ponens. 1.10 a) Tässä väitteenä on [A B] [B A]. (1) Päättelylauseen nojalla väitteen (1) todistamiseksi riittää osoittaa, että A B B A eli lyhennysmerkinnät purkaen että A B B A. (2) Päättelylausetta uudelleen käyttäen väitteen (2) todistamiseksi riittää osoittaa, että A B, B A. (3) Lause 2.15 antaa teoreeman Väitteen (3) päättelyjonoksi käy [ A B] [ B A]. (4) A 1 = [ A B] [ B A] teoreema (4) A 2 = A B A 3 = B A A 1 + A 2 +modus ponens A 4 = B A 5 = A A 3 + A 4 +modus ponens A 6 = A A (Ax3) A 7 = A A 5 + A 6 +modus ponens. 1.10 b) Tässä väitteenä on [A B] [B A] eli lyhennysmerkintä purkaen [[A B] [B A]] [[B A] [A B]]. (5) Merkintöjen yksinkertaistamiseksi kirjoitetaan C = A B ja D = B A. Tällöin väite (5) tulee muotoon [C D] [D C] (6) ja a)-kohdasta saadaan teoreema C D (7) 8

sekä A:n ja B:n roolit vaihtaen myös teoreema Lauseesta 2.19 saadaan lisäksi teoreema D C. (8) [C D] [[D C] [[C D] [D C]]]. (9) Väitteen (6) teoreemapäättelyjono on A 1 = C D teoreema (7) A 2 = D C teoreema (8) A 3 = [C D] [[D C] [[C D] [D C]]] teoreema (9) A 4 = [D C] [[C D] [D C]] A 1 + A 3 +m.p. A 5 = [C D] [D C] A 2 + A 4 +m.p. 1.11 Tässä väitteenä on Todistetaan ensin helpompi väite Lyhennysmerkintä purkaen väite (2) tulee muotoon Tehtävästä 1.10 a) saadaan teoreema Lause 2.15 antaa teoreeman [A B] [B A]. (1) [A B] [B A]. (2) [ A B] [ B A]. (3) [ B A] [ A B]. (4) [[ B A] [ A B]] [ [ A B] [ B A]]. (5) Väitteelle (3) saadaan nyt teoreemapäättelyjono A 1 = [ B A] [ A B] teoreema (3) A 2 = A 1 [ [ A B] [ B A]] teoreema (4) A 3 = [ [ A B] [ B A]] A 1 + A 2 +m.p. Näin väite (2) on todistettu. Varsinaisen väitteen (1) todistamiseksi menetellään kuten tehtävän 1.10 b) ratkaisussa. Merkintöjen yksinkertaistamiseksi kirjoitetaan ensin C = A B ja D = B A. Tällöin väite (1) tulee muotoon [C D] [D C]. (5) 9

Teoreemasta (2) saadaan teoreema sekä A:n ja B:n roolit vaihtaen myös teoreema Lauseesta 2.19 saadaan lisäksi teoreema C D (6) D C. (7) [C D] [[D C] [[C D] [D C]]]. (8) Väitteen (5) teoreemapäättelyjono on A 1 = C D teoreema (6) A 2 = D C teoreema (7) A 3 = [C D] [[D C] [[C D] [D C]]] teoreema (8) A 4 = [D C] [[C D] [D C]] A 1 + A 3 +m.p. A 5 = [C D] [D C] A 2 + A 4 +m.p. 10

2.1 Tässä väitteenä on, että A [B A B]. Päättelylausetta kaksi kertaa soveltaen riittää osoittaa, että A, B A B. (1) Lyhennysmerkintöjen Lyh3 ja Lyh2 määritelmien mukaan A B = [ A B] = [ A B], joten väite (1) tulee muotoon A, B [ A B] eli, muistaen Lyh1, A, B [ A B] f. Vielä kerran päättelylausetta soveltamalla väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että A, B, A B f. (2) Lause 2.17 antaa teoreeman A A. (3) Oletuspäättelyjono väitteelle (2) on A 1 = A A 2 = A A teoreema (3) A 3 = A A 1 +A 2 +modus ponens A 4 = A B A 5 = B A 3 +A 4 +modus ponens A 6 = B A 7 = f A 5 (= B f)+a 6 +modus ponens. 2.2. a) Tässä väitteenä on A [A B]. Päättelylausetta kahdesti soveltaen riittää osoittaa, että A, A B. (1) Lauseesta 2.10 saadaan teoreema f B. (2) Oletuspäättelyjono väitteelle (1) on 11

A 1 = A A 2 = A A 3 = f A 1 +A 2 +modus ponens A 4 = f B teoreema (2) A 5 = B A 3 +A 4 +modus ponens. 2.2. b) Tässä väitteenä on, että [A B] [B A]. Päättelylausetta kolmesti käyttäen riittää päätellä A B, B, A f. (1) Oletuspäättelyjono väitteelle (1) on A 1 = A A 2 = A B A 3 = B = B f A 4 = B A 5 = f A 1 + A 2 + modus ponens A 3 + A 4 +modus ponens. 2.2. c) Tässä väitteenä on, että [A B] A. Päättelylausetta käyttäen riittää päätellä [A B] A. (1) Lauseesta 2.15 saadaan teoreema [ A [A B]] [ [A B] A]. (2) Oletuspäättelyjono väitteelle (1) on A 1 = [A B] A 2 = A [A B] a)-kohdan teoreema A 3 = [ A [A B]] [ [A B] A] teoreema (2) A 4 = [A B] A A 2 +A 3 + modus ponens A 5 = A A 1 +A 4 + modus ponens A 6 = A A (Ax3) A 7 = A A 5 +A 6 + modus ponens. 2.3 a) Tässä väitteenä on A [A B]. 12

Koska lyhennysmerkinnän määritelmän mukaan A B = A B, niin päättelylausetta kahdesti soveltaen riittää päätellä A, A B. (1) Päättely (1) tehtiin jo tehtävän 2.2 a) ratkaisun yhteydessä. 2.3 b) Tässä väitteenä on Päättelylauseen nojalla riittää päätellä a)-kohtaa soveltaen saadaan teoreema Tehtävästä 1.10 a) saadaan teoreema Oletuspäättelyjono väitteelle (1) on B [A B]. B [A B]. (1) B [B A]. (2) [B A] [A B]. (3) A 1 = B A 2 = B [B A] teoreema (2) A 3 = B A A 1 + A 2 + modus ponens A 4 = [B A] [A B] teoreema (3) A 5 = A B A 3 + A 4 + modus ponens. 2.3 c) Tässä väitteenä on [A B] A. Päättelylauseen nojalla riittää päätellä A B A. (1) a)-kohtaa soveltaen saadaan teoreema A [ A B]. (2) Lauseesta 2.15 saadaan teoreema [ A [ A B]] [ [ A B] A]. (3) Oletuspäättelyjono väitteelle (1) on 13

A 1 = A [ A B] teoreema (2) A 2 = [ A [ A B]] [ [ A B] A] teoreema (3) A 3 = [ A B] A A 1 + A 2 + modus ponens A 4 = A B = [ A B] A 5 = A A 3 + A 4 + modus ponens A 6 = A A (Ax3) A 7 = A A 5 + A 6 + modus ponens. 2.3 d) Tässä väitteenä on Päättelylauseen nojalla riittää päätellä c)-kohtaa soveltaen saadaan teoreema [A B] B. Koska lyhennysmerkinnän määritelmän mukaan A B B. (1) [B A] B. (2) C D = [C D] [D C], niin c)-kohtaa soveltaen saadaan myös teoreema [[A B] [B A]] [[A B] [B A]]. (3) Tehtävästä 1.11 saadaan teoreema Oletuspäättelyjono väitteelle (1) on [A B] [B A]. (4) A 1 = A B A 2 = [A B] [B A] teoreema (4) A 3 = A 2 [[A B] [B A]] teoreema (3) A 4 = B A A 1 + A 3 + modus ponens A 5 = [B A] B teoreema (2) A 6 = B A 4 + A 5 + modus ponens. 2.4 Tässä oletetaan, että A B (1) ja väitetään, että myös A B. (2) Oletuspäättelyjono väitteelle (2) on helppo keksiä: 14

A 1 = A A 2 = A B teoreema (1) A 3 = B A 1 + A 2 + modus ponens. 2.5 If prices are high, then wages are high. Prices are high or there are price controls. Also, if there are price controls, then there is not an inflation. However, there is an inflation. Therefore, wages are high. Merkitään p 1 = prices are high, p 2 = wages are high, p 3 = there are price controls ja p 4 = there is an inflation. Päättely on tällöin p 1 p 2, p 1 p 3, p 3 p 4, p 4 p 2. (1) Tämä päättely on suoritettavissa. Oletuspäättelyjono väitteelle (1) on A 1 = p 3 p 4 A 2 = [p 3 p 4 ] [p 4 p 3 ] A 3 = p 4 p 3 A 4 = p 4 A 5 = p 3 A 6 = p 1 p 3 A 7 = [p 1 p 3 ] [p 3 p 1 ] A 8 = p 3 p 1 = p 3 p 1 A 9 = p 1 A 10 = p 1 p 2 A 11 = p 2 tehtävän 2.2 b) teoreema A 1 + A 2 + modus ponens A 4 + A 3 + modus ponens tehtävän 1.10 a) teoreema A 6 + A 7 + modus ponens A 5 + A 8 + modus ponens A 9 + A 10 + modus ponens. 2.6 If either wages or prices are raised, there will be inflation. If there is inflation, then either Congress must regulate it or the people will suffer. If the people suffer, Congressmen will be unpopular. Congress will not regulate inflation, and Congressmen will not be unpopular. Therefore, wages will not rise. Merkitään p 1 = wages will rise, p 2 = prices will rise, p 3 = there will be inflation, p 4 = Congress will regulate inflation, p 5 = the people will suffer ja p 6 = Congressmen will be unpopular. Päättely on tällöin [p 1 p 2 ] p 3, p 3 [p 4 p 5 ], p 5 p 6, p 4 p 6 p 1. Tämä päättely on suoritettavissa. Päättelylauseen nojalla riittää osoittaa, että [p 1 p 2 ] p 3, p 3 [p 4 p 5 ], p 5 p 6, p 4 p 6, p 1 f. (1) Oletuspäättelyjono väitteelle (1) on 15

A 1 = p 4 p 6 A 2 = [ p 4 p 6 ] p 4 A 3 = p 4 A 4 = p 1 A 5 = p 1 [p 1 p 2 ] A 6 = p 1 p 2 A 7 = [p 1 p 2 ] p 3 A 8 = p 3 A 9 = p 3 [p 4 p 5 ] A 10 = p 4 p 5 = p 4 p 5 A 11 = p 5 A 12 = p 5 p 6 A 13 = p 6 A 14 = [ p 4 p 6 ] p 6 A 15 = p 6 = p 6 f A 16 = f tehtävän 2.3 c) teoreema A 1 + A 2 + modus ponens tehtävän 2.3 a) teoreema A 4 + A 5 + modus ponens A 6 + A 7 + modus ponens A 8 + A 9 + modus ponens A 3 + A 10 + modus ponens A 11 + A 12 + modus ponens tehtävän 2.3 d) teoreema A 1 + A 14 + modus ponens A 13 + A 15 + modus ponens. 2.7 If there are no government subsidies of agriculture, then there are government controls of agriculture. If there are government controls of agriculture, there is not an agricultural depression. There is either an agricultural depression or overproduction. As a matter of fact, there is no overproduction. Therefore, there are government subsidies of agriculture. Merkitään p 1 = there are government subsidies of agriculture, p 2 = there are government controls of agriculture, p 3 = there is an agricultural depression ja p 4 = there is overproduction. Päättely on tällöin p 1 p 2, p 2 p 3, p 3 p 4, p 4 p 1. (1) Tämä päättely on suoritettavissa. Oletuspäättelyjono väitteelle (1) on A 1 = p 4 A 2 = p 3 p 4 A 3 = [p 3 p 4 ] [p 4 p 3 ] A 4 = p 4 p 3 = p 4 p 3 A 5 = p 3 A 6 = p 2 p 3 A 7 = [p 2 p 3 ] [p 3 p 2 ] A 8 = p 3 p 2 A 9 = p 2 A 10 = p 1 p 2 A 11 = [ p 1 p 2 ] [ p 2 p 1 ] A 12 = p 2 p 1 A 13 = p 1 A 14 = p 1 p 1 A 15 = p 1 tehtävän 1.10 a) teoreema A 2 + A 3 + modus ponens A 1 + A 4 + modus ponens tehtävän 2.2 b) teoreema A 6 + A 7 + modus ponens A 5 + A 8 + modus ponens lauseen 2.15 teoreema A 10 + A 11 + modus ponens A 9 + A 12 + modus ponens (Ax3) A 13 + A 14 + modus ponens. 16

2.8 If Algernon is in jail, then he is not a nuisance to his family. If he is not in jail, then he is not a disgrace. If he is not a disgrace, then he is in the army. If he is drunk, he is a nuisance to his family. Therefore, he is either in the army or not drunk. Merkitään p 1 = Algernon is in jail, p 2 = Algernon is a nuisance to his family, p 3 = Algernon is a disgrace, p 4 = Algernon is in army ja p 5 = Algernon is drunk. Päättely on tällöin p 1 p 2, p 1 p 3, p 3 p 4, p 5 p 2 p 4 p 5. Lyhennysmerkinnät avaten ja päättelylausetta kahdesti käyttäen riittää päätellä p 1 p 2, p 1 p 3, p 3 p 4, p 5 p 2, p 4, p 5 f. (1) Tämä päättely on suoritettavissa. Oletuspäättelyjono väitteelle (1) on A 1 = p 5 A 2 = p 5 p 2 A 3 = [p 1 p 2 ] [p 2 p 1 ] A 4 = p 1 p 2 A 5 = p 2 p 1 A 6 = p 2 A 7 = p 1 A 8 = p 1 p 3 A 9 = p 3 A 10 = p 3 p 4 A 11 = p 4 A 12 = p 4 = p 4 f A 13 = f tehtävän 2.2 b) teoreema A 3 + A 4 + modus ponens A 1 + A 2 + modus ponens A 5 + A 6 + modus ponens A 7 + A 8 + modus ponens A 9 + A 10 + modus ponens A 11 + A 12 + modus ponens. 2.9 If Algernon is a nuisance, then he is not in jail. If he is in jail, then he is not in the army. Therefore, he is either not in the army or not a nuisance. Edellisen tehtävän merkinnöin päättely on p 2 p 1, p 1 p 4 p 4 p 2. Jos tämä päättely onnistuu, saadaan kahdesti päättelylausetta käyttäen teoreema [p 2 p 1 ] [[p 1 p 4 ] [ p 4 p 2 ]]. Tämä kaava ei kuitenkaan propositiokielen eheyslauseen 2.23 nojalla voi olla teoreema, koska se ei ole validi. Ei-validisuuden taas näkee totuustaulun sopivalta riviltä: 17

[p 2 p 1 ] [[p 1 p 4 ] [ p 4 p 2 ]] 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 Siten tämän tehtävän päättely on virheellinen. 18

3.1 Jos kaava A ei ole validi, niin kaava A on validi joskus. Esimerkkinä tästä vaikkapa A = p 1, joka ei ole validi, eikä myöskään A = p 1 ole validi, kuten totuustauluista helposti nähdään. Sen sijaan jos A = f, niin A ei ole validi, mutta A = f on validi, koska se on teoreema. Jos kaavat A ja B eivät ole valideja, niin kaava A B on validi joskus. Esimerkkinä tästä vaikkapa A = p 1 ja B = f, jotka eivät ole valideja, eikä myöskään A B = p 1 f ole validi, kuten totuustaulusta helposti nähdään. Sen sijaan jos A = B = f, niin A ja B eivät ole valideja, mutta A B = f f on validi, koska se on teoreema. Jos kaavat A ja B eivät ole valideja, niin kaava A B on validi joskus. Esimerkkinä tästä vaikkapa A = B = f, jolloin A ja B eivät ole valideja, eikä myöskään A B = f f ole validi, kuten totuustaulusta helposti nähdään. Sen sijaan jos A = p 1 ja B = p 1, niin A ja B eivät ole valideja, mutta A B = p i p 1 on validi, koska se on tehtävän 1.9 b) mukaan teoreema. Jos kaavat A ja B eivät ole valideja, niin kaava A B ei ole validi koskaan. Itse asiassa, jos (ainakin) toinen näistä on epävalidi, niin A B on myös epävalidi. Tämä johtuu siitä, että jos esimerkiksi A on epävalidi, niin t(a) = 0 jollekin totuusarvofunktiolle t. Totuustaulusta nähdään, että t(a B) = 0 tälle samalle t, joten A B on epävalidi. Jos kaavat A ja B eivät ole valideja, niin kaava A B on validi joskus. Esimerkkinä tästä vaikkapa A = p 1 ja B = p 1, jolloin A ja B eivät ole valideja, eikä myöskään A B ole validi, kuten totuustaulusta helposti nähdään. Sen sijaan jos A = B = p 1, niin A ja B eivät ole valideja, mutta A B = p 1 p 1 on validi, kuten totuustaulusta helposti nähdään. 3.2 Lauseen 2.10 teoreema on f A. Tämän totuustaulu on f A 0 1 1 0 1 0 Lauseen 2.11 teoreema on A [B [A B]]. Tämän totuustaulu on A [B [A B]] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 19

Lauseen 2.12 teoreema on A [B [A B]]. Tämän totuustaulu on A [B [A B]] 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 Lauseen 2.13 teoreema on A [ B [A B]]. Tämän totuustaulu on A [ B [A B]] 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 Lauseen 2.14 teoreema on A [ B [A B]]. Tämän totuustaulu on A [ B [A B]] 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 Lauseen 2.15 teoreema on [A B] [ B A]. Tämän totuustaulu on [A B] [ B A] 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 Lauseen 2.16 teoreema on [A B] [[ A B] B]. Tämän totuustaulu on [A B] [[ A B] B] 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 Lauseen 2.17 teoreema on A A. Tämän totuustaulu on A A 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 Lauseen 2.18 teoreema on A A. Tämän totuustaulu on täsmälleen sama kuin yllä. 20

Lauseen 2.19 teoreema on A [B A B]. Tämän totuustaulu on A [B A B] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 3.3 Oletus. Olkoon n 1 ja A ja A 1, A 2,..., A n propositiokielen mielivaltaisia kaavoja siten, että A n [A n 1 [A n 2 [... A 3 [A 2 [A 1 A]]...]]]. Väite. A 1, A 2,..., A n A. Todistus. Tehdään induktio n:n suhteen. Kun n = 1, väite seuraa tehtävästä 2.4. Oletetaan induktiivisesti, että kaikille propositiokielen kaavoille B ja B 1, B 2,..., B n pätee ehto jos B n [B n 1 [B n 2 [... B 3 [B 2 [B 1 B]]...]]], niin B 1, B 2,..., B n B. Induktioväitteenä on, että kaikille propositiokielen kaavoille A ja A 1, A 2,..., A n, A n+1 pätee ehto jos A n+1 [A n [A n 1 [... A 3 [A 2 [A 1 A]]...]]], niin A 1, A 2,..., A n, A n+1 A. Induktioväitteen todistamiseksi oletetaan, että A n+1 [A n [A n 1 [... A 3 [A 2 [A 1 A]]...]]]. (1) Pitää osoittaa, että Merkitään A 1, A 2,..., A n, A n+1 A. (2) B = A 1 A ja B j = A j+1, kun j = 1,..., n. (3) Tällöin oletuksen (1) nojalla saadaan teoreema B n [B n 1 [B n 2 [... B 3 [B 2 [B 1 B]]...]]]. Induktio-oletuksen nojalla tällöin pätee B 1, B 2,..., B n B 21

eli merkinnän (3) mukaisesti A 2, A 3,..., A n+1 A 1 A. (4) Olkoon C 1, C 2,..., C k päättelyn (4) päättelyjono. Väitetty päättely (2) voidaan nyt suorittaa seuraavanlaisella päättelyjonolla: C 1. C k = A 1 A C k+1 = A 1 C k+2 = A C k+1 + C k + modus ponens. Näin induktioaskel on otettu, joten väite on todistettu. 3.4 Either John and Henry are the same age, or John is older than Henry. If John and Henry are the same age, then Elizabeth and John are not the same age. If John is older than Henry, then John is older than Mary. Therefore, either Elizabeth and John are not the same age or John is older than Mary. Merkitään p 1 = John and Henry are the same age, p 2 = John is older than Henry, p 3 = Elizabeth and John are the same age, p 4 = John is older than Mary. Päättely on tällöin p 1 p 2, p 1 p 3, p 2 p 4 p 3 p 4. (1) Koska päättelyn (1) väite p 3 p 4 on osittain aukikirjoitettuna p 3 p 4, niin päättelylauseen nojalla riittää päätellä Oletuspäättelyjono väitteelle (2) on p 1 p 2, p 1 p 3, p 2 p 4, p 3 p 4. (2) A 1 = [p 1 p 3 ] [ p 3 p 1 ] lause 2.15 A 2 = p 1 p 3 A 3 = p 3 p 1 A 2 + A 1 + modus ponens A 4 = p 3 A 5 = p 1 A 4 + A 3 + modus ponens A 6 = p 1 p 2 = p 1 p 2 A 7 = p 2 A 5 + A 6 + modus ponens A 8 = p 2 p 4 A 9 = p 4 A 7 + A 8 + modus ponens. 3.5 Marianne believed that Colonel Brandon was too old to marry. If Marianne s conduct was always consistent with her beliefs, and if she believed that Colonel Brandon was too old to marry, then she did not marry Colonel Brandon. But Marianne married Colonel Brandon. Therefore, Marianne s conduct was 22

not always consistent with her beliefs. Merkitään p 1 = Marianne believed that Colonel Brandon was too old to marry, p 2 = Marianne s conduct was always consistent with her beliefs ja p 3 = Marianne married Colonel Brandon. Päättely on tällöin p 1, [p 2 p 1 ] p 3, p 3 p 2. (1) Koska päättelyn (1) väite p 2 on aukikirjoitettuna p 2 f, niin päättelylauseen nojalla riittää päätellä Oletuspäättelyjono väitteelle (2) on p 1, [p 2 p 1 ] p 3, p 3, p 2 f. (2) A 1 = [[p 2 p 1 ] p 3 ] [p 3 [p 2 p 1 ]] tehtävä 2.7 A 2 = [p 2 p 1 ] p 3 A 3 = p 3 [p 2 p 1 ] A 2 + A 1 + modus ponens A 4 = p 3 A 5 = [p 2 p 1 ] = [ p 2 p 1 ] A 4 + A 3 + modus ponens A 6 = [ p 2 p 1 ] [ p 2 p 1 ] (Ax3) A 7 = p 2 p 1 = p 2 p 1 A 5 + A 6 + modus ponens A 8 = p 2 A 9 = p 2 p 2 lause 2.17 A 10 = p 2 A 8 + A 9 + modus ponens A 11 = p 1 = p 1 f A 10 + A 7 + modus ponens A 12 = p 1 A 13 = f A 12 + A 11 + modus ponens. 3.6 If this is December, then last month was November. If last month was November, then six months ago it was June. If six months ago it was June, then eleven months ago it was January. If next month will be January, then this is December. Last month was November. Therefore, this is December. Merkitään p 1 = this is December, p 2 = last month was November, p 3 = six months ago it was June, p 4 = eleven months ago it was January ja p 5 = next month will be January. Päättely on tällöin p 1 p 2, p 2 p 3, p 3 p 4, p 5 p 1, p 2 p 1. (1) Jos tämä päättely (1) on oikein, saadaan päättelylauseen nojalla teoreema [p 1 p 2 ] [[p 2 p 3 ] [[p 3 p 4 ] [[p 5 p 1 ] [p 2 p 1 ]]]]. (2) Tämä kaava (2) ei kuitenkaan voi propositiokielen eheyslauseen perusteella olla teoreema, sillä se ei ole validi. Ei-validisuuden näkee totuustaulun sopivalta riviltä: 23

[p 1 p 2] [[p 2 p 3] [[p 3 p 4] [[p 5 p 1] [p 2 p 1]]]] 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 Siten tämän tehtävän päättely (1) on virheellinen. 3.7 If Mary is a true friend, then John is telling the truth. If John is telling the truth, then Helen is not a true friend. If Helen is not a true friend, then Helen is not telling the truth. If Helen is not telling the truth, then Mary is a true friend. But if Mary is a true friend, then Helen is not a true friend. Therefore, Helen is not telling the truth. Merkitään p 1 = Mary is a true friend, p 2 = John is telling the truth, p 3 = Helen is not a true friend ja p 4 = Helen is not telling the truth. Päättely on tällöin p 1 p 2, p 2 p 3, p 3 p 4, p 4 p 1, p 1 p 3 p 4. (1) Jos tämä päättely on oikein, saadaan päättelylauseen nojalla teoreema [p 1 p 2 ] [[p 2 p 3 ] [[p 3 p 4 ] [[p 4 p 1 ] [[p 1 p 3 ] p 4 ]]]]. (2) Tämä kaava (2) ei kuitenkaan voi propositiokielen eheyslauseen perusteella olla teoreema, sillä se ei ole validi. Ei-validisuuden näkee totuustaulun sopivalta riviltä: [p 1 p 2 ] [[p 2 p 3 ] [[p 3 p 4 ] [[p 4 p 1 ] [[p 1 p 3 ] p 4 ]]]] 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Siten tämän tehtävän päättely (1) on virheellinen. 3.8 If hedonism is not correct, the eroticism is not virtuous. If eroticism is virtuous, then either duty is not the highest virtue or the supreme duty is the pursuit of pleasure. But the supreme duty is not the pursuit of pleasure. Therefore, either duty is not the highest virtue or hedonism is not correct. Merkitään p 1 = hedonism is not correct, p 2 = eroticism is virtuous, p 3 = duty is not the highest virtue ja p 4 = the supreme duty is the pursuit of pleasure. Päättely on tällöin p 1 p 2, p 2 [p 3 p 4 ], p 4 p 3 p 1. (1) Jos tämä päättely (1) on oikein, saadaan päättelylauseen nojalla teoreema [p 1 p 2 ] [[p 2 [p 3 p 4 ]] [ p 4 [p 3 p 1 ]]]. (2) Tämä kaava (2) ei kuitenkaan voi propositiokielen eheyslauseen perusteella olla teoreema, sillä se ei ole validi. Ei-validisuuden näkee totuustaulun sopivalta riviltä: 24

[p 1 p 2 ] [[p 2 [p 3 p 4 ]] [ p 4 [p 3 p 1 ]]] 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Siten tämän tehtävän päättely (1) on virheellinen. 3.9 Olkoon A = {A 1,..., A n } joukko propositiokielen kaavoja. Väite. Joukko A on konsistentti jos ja vain jos on olemassa jokin tulkintafunktio t siten, että t(a i ) = 1 kaikille i = 1,..., n. Todistus. 1) Oletetaan ensin, että A on konsistentti. Tällöin se ei ole ristiriitainen, joten päättelyä A 1,..., A n f ei voi suorittaa. Silloin tehtävän 3.3 nojalla kaava A n [A n 1 [A n 2 [... A 3 [A 2 [A 1 f]]...]]] ei voi olla teoreema. Propositiokielen täydellisyyslauseen nojalla se ei tällöin voi olla validikaan. Siten on olemassa jokin tulkintafunktio t siten, että t(a n [A n 1 [A n 2 [... A 3 [A 2 [A 1 f]]...]]]) = 0. (1) Ehdon (1) nojalla on oltava t(a n ) = 1 ja t(a n 1 [A n 2 [... A 3 [A 2 [A 1 f]]...]]]) = 0. (2) Ehdon (2) nojalla saadaan edelleen t(a n 1 ) = 1 ja t(a n 2 [A n 3 [... A 3 [A 2 [A 1 f]]...]]]) = 0. Näin voidaan induktiivisesti jatkaa ja saadaan lopulta t(a n ) = 1, t(a n 1 ) = 1,..., t(a 2 ) = 1 ja (3) t(a 1 f) = 0. (4) Ehdon (4) nojalla saadaan vielä t(a 1 ) = 1, jolloin väite t(a i ) = 1 kaikille i = 1,..., n seuraa ehdosta (3). 2) Oletetaan sitten kääntäen, että t(a i ) = 1 kaikille i = 1,..., n jollekin tulkintafunktiolle t. Koska t(f) = 0, niin tämä tulkintafunktio t toteuttaa ilmeisesti ehdon (1). Silloin kaava A n [A n 1 [A n 2 [... A 3 [A 2 [A 1 f]]...]]] ei ole validi, joten propositiokielen eheyslauseen nojalla se ei ole teoreema. Tällöin päättelylauseen nojalla päättelyä A 1,..., A n f ei voi suorittaa. Tämä merkitsee sitä, että A on konsistentti. 25

4.1 Väite. x A xa. Todistus. Purkamalla auki lyhennysmerkintä x väite tulee muotoon Propositiokielessä pätee (ks. lause 2.18) x A x A. (1) p 1 p 1, josta väite (1) seuraa korvaamalla p 1 kaavalla x A, ks. lause 3.8. 4.2 a) Väite. x A xa. Todistus. Päättelylauseen nojalla riittää osoittaa, että Oletuspäättelyjono väitteelle (1) on A 1 = x A A 2 = x A A lause 3.12 A 3 = A A 1 + A 2 + modus ponens A 4 = A A (Ax3) A 5 = A A 3 + A 4 + modus ponens A 6 = xa A 5 + kvantifiointi. x A xa. (1) Huomaa, että tehty kvantifiointi x:n suhteen on sallittua tässä päättelyssä, koska x ei esiinny vapaana oletuksessa x A. Lauseen 3.12 käyttö on aina sallittua, koska sen todistuksessa ei kvantifioida lainkaan. 4.2 b) Väite. xa x A. Todistus. Päättelylauseen nojalla riittää osoittaa, että Oletuspäättelyjono väitteelle (2) on A 1 = xa A 2 = xa A lause 3.12 A 3 = A A 1 + A 2 + modus ponens A 4 = A A lauseet 2.17 ja 3.8 A 5 = A A 3 + A 4 + modus ponens A 6 = x A A 5 + kvantifiointi. xa x A. (2) Tässäkin kvantifiointi on sallittua, kuten a)-kohdassa. Propositiokielestä periytyvien lauseiden käyttö lauseen 3.8 avulla on aina sallittua. 26

4.3 Väite. xa x A. Todistus. Tälle väitteelle teoreemapäättelyjono saadaan näin: A 1 = x A xa tehtävän 4.2 a) teoreema A 2 = [ x A xa] [ xa x A] lauseet 2.15 ja 3.8 A 3 = xa x A A 1 + A 2 + modus ponens A 4 = xa x A tehtävän 4.2 b) teoreema A 5 = [ xa x A] [ x A xa] lauseet 2.15 ja 3.8 A 6 = x A xa A 4 + A 5 + modus ponens A 7 = A 6 [A 3 [ xa x A]] lauseet 2.19 ja 3.8 A 8 = [ xa x A] [ xa x A] A 6 + A 7 + modus ponens A 9 = xa x A A 3 + A 8 + modus ponens. Yllä kaavassa A 2 on käytetty lyhennysmerkintää x A = x A. Huomaa, että tehtävän 4.2 teoreemojen todistuksessa on käytetty päättelylausetta, jonka todistuksessa (tai oikeammin päättelylauseen avulla saatavan teoreeman todistuksessa) kvantifioidaan. Siten nämä teoreemat ovat lähtökohtaisesti käyttökiellossa päättelyjonoissa, mutta tässä onkin kyse teoreemapäättelystä, joten niiden käyttö on sallittua. Huomaa myös, että päättelylauseen todistuksessa tehty kvantifiointi periytyy tehtävän 4.2 kautta myös tähän teoreemaan 4.3, joten tämäkin on lähtökohtaisesti käyttökiellossa päättelyjonoissa. 4.4 Väite. xa xa. Todistus. Lyhennysmerkintöjä osittain purkaen väite tulee muotoon xa [ x A f]. (1) Päättelylauseen nojalla väitteen (1) todistamiseksi riittää suorittaa päättely Oletuspäättelyjono väitteelle (2) on A 1 = xa A 2 = xa A lause 3.12 A 3 = A A 1 + A 2 + modus ponens A 4 = x A A 5 = x A A lause 3.12 A 6 = A A 4 + A 5 + modus ponens A 7 = f A 3 + A 6 + modus ponens. xa, x A f. (2) Lauseen 3.12 käyttö on sallittua, koska sen todistuksessa ei kvantifioida lainkaan. 27

4.5 Kaava A xa on aina teoreema. Lyhennysmerkintöjä osittain purkaen tämä väite tulee muotoon A [ x A f]. (1) Päättelylauseen nojalla väitteen (1) todistamiseksi riittää suorittaa päättely Oletuspäättelyjono väitteelle (2) on A 1 = A A 2 = x A A 3 = x A A lause 3.12 A 4 = A A 2 + A 3 + modus ponens A 5 = f A 1 + A 4 + modus ponens. A, x A f. (2) Lauseen 3.12 käyttö on sallittua, koska sen todistuksessa ei kvantifioida lainkaan. 4.6 Väite. y xa x ya. Todistus. Päättelylauseen nojalla riittää osoittaa, että Käytetään hyväksi propositiokielistä teoreemaa y xa x ya. (1) [p 1 p 2 ] [[p 2 p 3 ] [p 1 p 3 ]]. (2) Tämä kaava on helppo nähdä teoreemaksi joko (propositiokielen) päättelylausetta käyttäen tai toteamalla se validiksi totuustaulun avulla ja käyttäen täydellisyyslausetta. Teoreema (2) antaa lauseen 3.8 nojalla predikaattikielisen teoreeman [ y A A] [[ A xa] [ y A xa]]. (3) Tämän avulla saadaan päättely (1): 28

A 1 = xa A lause 3.12 A 2 = [ xa A] [ A xa] lauseet 2.15 + 3.8 A 3 = A xa A 1 + A 2 + m.p. A 4 = y A A lause 3.12 A 5 = A 4 [A 3 [ y A xa]] teoreema (3) A 6 = [ A xa] [ y A xa] A 4 + A 5 + m.p. A 7 = y A xa A 3 + A 6 + m.p. A 8 = y[ y A xa] A 7 + kvantifiointi A 9 = y[ y A xa] [ y A y xa] (Ax5) A 10 = y A y xa A 8 + A 9 + m.p. A 11 = [ y A y xa] [ y xa y A] lauseet 2.15 + 3.8 A 12 = y xa y A = y xa ya A 10 + A 11 + m.p. A 13 = y xa A 14 = ya A 13 + A 12 + m.p. A 15 = x ya A 14 + kvantifiointi. Huomaa, että tehdyt kvantifioinnit ovat sallittuja, koska y ja x eivät esiinny vapaana oletuksessa. Samoin (Ax5):n käyttöön liittyvä lisäehto on voimassa kaavassa A 9, koska y ei esiinny vapaana kaavassa y A. Myös kaikki käytetyt teoreemat ovat sallittuja, koska niiden todistuksissa ei kvantifioida. Jonkinlainen ontuva selitys sille, miksi kaava ei ole teoreema on seuraavassa. x ya y xa (4) Ajatellaan teesiä Kaikille x N on olemassa y N siten, että y x + 5. Tämä on ilmeisesti totta, ja jos merkitään P (x, y) = y x + 5, niin kyseinen teesi kääntyy predikaattikielelle kaavaksi x yp (x, y). Koska tämä näyttää siis todelta ja jos (4) olisi teoreema, niin myös kaavan y xp (x, y) pitäisi olla tosi. Tämä kaava kuuluu kuitenkin takaisin arkikielelle käännettynä On olemassa y N siten, että kaikille x N pätee y x + 5 ja tämähän nyt ei selvästikään ole totta. Tästä syystä kaava (4) ei kaiketi voi teoreema olla. Myöhemmin esitetään tälle väitteelle/uskomukselle tarkka todistus. 4.7 Anyone who works in the factory is either a union man or in a managerial position. Adams is not a union man, and he is not in a managerial position. Therefore, Adams does not work in the factory. Tässä symbolijoukko S koostuu kolmesta yksipaikkaisesta predikaattisymbolista W, U, M, missä W (x) imitoi teesiä x works in the factory, U(x) teesiä x is a union man ja M(x) teesiä x is in a managerial position. Olkoon lisäksi a vakiosymboli, a = Adams. Päättely on tällöin x[w (x) [U(x) M(x)]], U(a) M(a) W (a). 29

Päättelylauseen nojalla riittää päätellä x[w (x) [U(x) M(x)]], U(a) M(a), W (a) f. (1) Propositiokielen teoreemat [p 1 p 2 ] p 1 ja [p 1 p 2 ] p 2 antavat lauseen 3.8 mukaisesti predikaattikieliset teoreemat [ U(a) M(a)] U(a) ja [ U(a) M(a)] M(a), (2) joiden käyttö on sallittua kaikissa päättelyissä. Näiden avulla saadaan päättelyjono väitteelle (1): A 1 = x[w (x) [U(x) M(x)]] A 2 = A 1 Sa x (W (x) [U(x) M(x)]) (Ax4) A 3 = Sa x (W (x) [U(x) M(x)]) = W (a) [U(a) M(a)] A 1 + A 2 + m.p. A 4 = U(a) M(a) A 5 = [ U(a) M(a)] U(a) teoreema (2) A 6 = U(a) A 4 + A 5 + m.p. A 7 = [ U(a) M(a)] M(a) teoreema (2) A 8 = M(a) = M(a) f A 4 + A 7 + m.p. A 9 = W (a) A 10 = U(a) M(a) = U(a) M(a) A 9 + A 3 + m.p. A 11 = M(a) A 6 + A 10 + m.p. A 12 = f A 11 + A 8 + m.p. Huomaa, että tässä aksiooman (Ax4) käytössä ei ole ongelmia aksiooman lisäehdon kanssa, sillä nyt tehdään vakiosijoitus, joka ei koskaan sido. 4.8 Every member of the policy committee is either a Republican or a Democrat. Some members of the policy committee are wealthy. Adams is not a Democrat, but he is wealthy. Therefore, if Adams is a member of the policy committee, he is a Republican. Tässä symbolijoukko S koostuu neljästä yksipaikkaisesta predikaattisymbolista P, R, D ja W, missa P (x) imitoi teesiä x is a member of the policy committee, R(x) teesiä x is a Republican, D(x) teesiä x is a Democrat ja W (x) teesiä x is wealthy. Olkoon lisäksi a vakiosymboli, a = Adams. Päättely on tällöin x[p (x) [R(x) D(x)]], x[p (x) W (x)], D(a) W (a) P (a) R(a). Päättelylauseen nojalla riittää esittää päättely x[p (x) [R(x) D(x)]], x[p (x) W (x)], D(a) W (a), P (a) R(a). (1) Propositiokielen teoreemat [p 1 p 2 ] p 1 ja [p 1 p 2 ] [p 2 p 1 ] 30

antavat lauseen 3.8 mukaisesti predikaattikieliset teoreemat [ D(a) W (a)] D(a) ja [R(a) D(a)] [D(a) R(a)]. (2) Näiden avulla saadaan päättelyjono väitteelle (1): A 1 = x[p (x) [R(x) D(x)]] A 2 = A 1 Sa x (P (x) [R(x) D(x)]) (Ax4) A 3 = Sa x (P (x) [R(x) D(x)]) = P (a) [R(a) D(a)] A 1 + A 2 +m.p. A 4 = P (a) A 5 = R(a) D(a) A 3 + A 4 + m.p. A 6 = R(a) D(a) D(a) R(a) teoreema (2) A 7 = D(a) R(a) = D(a) R(a) A 5 + A 6 + m.p. A 8 = D(a) W (a) A 9 = [ D(a) W (a)] D(a) teoreema (2) A 10 = D(a) A 8 + A 9 + m.p. A 11 = R(a) A 7 + A 10 + m.p. Tässäkin aksiooman (Ax4) käyttö on korrektia, koska kyseessä on vakiosijoitus. 4.9 Adams is a boy who does not own a car. Mary dates only boys who own cars. Therefore, Mary does not date Adams. Tässä symbolijoukko S koostuu kahdesta yksipaikkaisesta predikaattisymbolista B ja C sekä yhdestä kaksipaikkaisesta D, missä B(x) imitoi teesiä x is a boy, C(x) imitoi teesiä x owns a car ja D(x, y) teesiä x dates y. Sovitaan lisäksi, että a ja m ovat vakiosymboleja, a = Adams ja m = Mary. Päättely on tällöin B(a) C(a), x[[d(m, x) B(x)] C(x)] D(m, a). Päättelylauseen nojalla riittää päätellä B(a) C(a), x[[d(m, x) B(x)] C(x)], D(m, a) f. (1) Propositiokielen teoreemat [p 1 p 2 ] p 1, [p 1 p 2 ] p 2 ja p 1 [p 2 [p 1 p 2 ]] (ks. lause 2.19) antavat lauseen 3.8 mukaisesti predikaattikieliset teoreemat [B(a) C(a)] B(a), [B(a) C(a)] C(a) ja (2) D(m, a) [B(a) [D(m, a) B(a)]]. Näiden avulla saadaan päättelyjono väitteelle (1): 31

A 1 = x[[d(m, x) B(x)] C(x)] A 2 = A 1 Sa x ([D(m, x) B(x)] C(x)) (Ax4) A 3 = Sa x ([D(m, x) B(x)] C(x)) = [D(m, a) B(a)] C(a) A 1 + A 2 +m.p. A 4 = B(a) C(a) A 5 = [B(a) C(a)] B(a) teoreema (2) A 6 = B(a) A 4 + A 5 + m.p. A 7 = D(m, a) A 8 = D(m, a) [B(a) [D(m, a) B(a)]] teoreema (2) A 9 = B(a) [D(m, a) B(a)] A 7 + A 8 + m.p. A 10 = D(m, a) B(a) A 6 + A 9 + m.p. A 11 = C(a) A 10 + A 3 + m.p. A 12 = [B(a) C(a)] C(a) teoreema (2) A 13 = C(a) = C(a) f A 4 + A 12 + m.p. A 14 = f A 11 + A 13 + m.p. 4.10 If anyone likes Aquinas, then he does not like Kant. Everyone either likes Kant or likes Russell. Someone does not like Russell. Therefore someone does not like Aquinas. Tässä symbolijoukko S koostuu kolmesta yksipaikkaisesta predikaattisymbolista A, K ja R, missä A(x) imitoi teesiä x likes Aquinas, K(x) teesiä x likes Kant ja R(x) teesiä x likes Russell. Päättely on tällöin x[a(x) K(x)], x[k(x) R(x)], x R(x) x A(x). Purkamalla lyhennysmerkintä x A(x) ja käyttämällä päättelylausetta riittää osoittaa, että on olemassa päättely x[a(x) K(x)], x[k(x) R(x)], x R(x), x A(x) f. Päättelyjono on 32

A 1 = x A(x) A 2 = A 1 A(x) teoreema 3.12 A 3 = A(x) A 1 + A 2 +m.p. A 4 = A 3 A(x) (Ax3) A 5 = A(x) A 3 + A 4 +m.p. A 6 = x[a(x) K(x)] A 7 = A 6 [A(x) K(x)] teoreema 3.12 A 8 = A(x) K(x) A 6 + A 7 + m.p. A 9 = K(x) A 5 + A 8 + m.p. A 10 = x[k(x) R(x)] A 11 = A 10 [K(x) R(x)] teoreema 3.12 A 12 = K(x) R(x) = K(x) R(x) A 10 + A 11 + m.p. A 13 = R(x) A 9 + A 12 + m.p. A 14 = A 13 R(x) lauseet 2.17 ja 3.8 A 15 = R(x) A 13 + A 14 + m.p. A 16 = x R(x) A 15 + kvantifiointi A 17 = x R(x) = x R(x) = x R(x) f A 18 = f A 16 + A 17 + m.p. Tehty kvantifiointi on sallittua, koska x ei esiinny vapaana päättelyn oletuksissa. 33

5.1 a) Lauseen/määritelmän 3.26 ja määritelmän 3.7 mukaan 5.1 b) Vastaavasti t m ( xp 1 (x)) = 1 t m (S x v n (P 1 (x))) = 1 kaikille n N t m ((P 1 (v n )) = 1 kaikille n N n m(p 1 ) kaikille n N m(p 1 ) = N. i) t m ( x P 1 (x)) = 1 t m (S x v n ( P 1 (x)) = 1 kaikille n N t m ([P 1 (v n ) f]) = 1 kaikille n N t m (P 1 (v n )) = 0 kaikille n N n m(p 1 ) kaikille n N m(p 1 ) =. Tässä ekvivalenssi i) perustuu siihen, että t m (f) = 0. 5.1 c) 5.1 d) t m ( x[p 1 (x) P 2 (x)]) = 1 t m (S x v n ([P 1 (x) P 2 (x)])) = 1 kaikille n N t m ([P 1 (v n ) P 2 (v n )]) = 1 kaikille n N millekään n N ei päde t m (P 1 (v n )) = 1 ja t m (P 2 (v n )) = 0 millekään n N ei päde n m(p 1 ) ja n m(p 2 ) m(p 1 ) (N \ m(p 2 )) = m(p 1 ) \ m(p 2 ) = m(p 1 ) m(p 2 ). i) t m ( x[p 1 (x) P 2 (x)]) = 1 t m (S x v n ([P 1 (x) P 2 (x)])) = 1 kaikille n N t m ([P 1 (v n ) P 2 (v n )]) = 1 kaikille n N t m (P 1 (v n )) = 1 tai t m (P 2 (v n ))) = 1 kaikille n N n m(p 1 ) tai n m(p 2 ) kaikille n N n m(p 1 ) m(p 2 ) kaikille n N m(p 1 ) m(p 2 ) = N. Tässä ekvivalenssi i) perustuu lauseeseen 3.27 b). Huomaa, että kyseinen kaava on suljettu, joten kyseinen lause toimii tässä vertaa luentomonisteen lauseen 34

jälkeiseen varoitukseen. 5.1 e) i) t m ( x[p 1 (x) P 2 (x)]) = 1 t m (S x v n ([P 1 (x) P 2 (x)])) = 1 kaikille n N t m ([P 1 (v n ) P 2 (v n )]) = 1 kaikille n N t m (P 1 (v n )) = 1 ja t m (P 2 (v n )) = 1 kaikille n N n m(p 1 ) ja n m(p 2 ) kaikille n N m(p 1 ) = m(p 2 ) = N. Tässä ekvivalenssi i) perustuu lauseeseen 3.27 c). 5.1 f) i) t m ( x[p 1 (x) P 2 (x)]) = 1 t m (S x v n ([P 1 (x) P 2 (x)])) = 1 kaikille n N t m ([P 1 (v n ) P 2 (v n )])) = 1 kaikille n N t m (P 1 (v n )) = t m (P 2 (v n ))) kaikille n N n m(p 1 ) jos ja vain jos n m(p 2 ) kaikille n N m(p 1 ) = m(p 2 ). Tässä ekvivalenssi i) perustuu lauseeseen 3.27 d). 5.2 a) Lauseen 3.28 mukaan 5.2 b) t m ( xp 1 (x)) = 1 t m (S x v n (P 1 (x))) = 1 jollekin n N t m (P 1 (v n )) = 1 jollekin n N n m(p 1 ) jollekin n N m(p 1 ). i) t m ( x P 1 (x)) = 1 t m (S x v n ( P 1 (x)) = 1 jollekin n N t m ([P 1 (v n ) f]) = 1 jollekin n N t m (P 1 (v n )) = 0 jollekin n N n m(p 1 ) jollekin n N m(p 1 ) N. 35

Tässä ekvivalenssi i) perustuu siihen, että t m (f) = 0. 5.2 c) 5.2 d) t m ( x[p 1 (x) P 2 (x)]) = 1 t m (S x v n ([P 1 (x) P 2 (x)])) = 1 jollekin n N t m ([P 1 (v n ) P 2 (v n )]) = 1 jollekin n N jollekin n N ei päde t m (P 1 (v n )) = 1 ja t m (P 2 (v n )) = 0 jollekin n N ei päde n m(p 1 ) ja n m(p 2 ) (N \ m(p 1 )) m(p 2 ) N \ (m(p 1 ) \ m(p 2 )) m(p 1 ) \ m(p 2 ) N. i) t m ( x[p 1 (x) P 2 (x)]) = 1 t m (S x v n ([P 1 (x) P 2 (x)])) = 1 jollekin n N t m ([P 1 (v n ) P 2 (v n )]) = 1 jollekin n N t m (P 1 (v n )) = 1 tai t m (P 2 (v n )) = 1 jollekin n N n m(p 1 ) tai n m(p 2 ) jollekin n N n m(p 1 ) m(p 2 ) jollekin n N m(p 1 ) m(p 2 ). Tässä ekvivalenssi i) perustuu lauseeseen 3.27 b). 5.2 e) i) t m ( x[p 1 (x) P 2 (x)]) = 1 t m (S x v n ([P 1 (x) P 2 (x)])) = 1 jollekin n N t m ([P 1 (v n ) P 2 (v n )]) = 1 jollekin n N t m (P 1 (v n )) = 1 ja t m (P 2 (v n )) = 1 jollekin n N n m(p 1 ) ja n m(p 2 ) jollekin n N n m(p 1 ) m(p 2 ) jollekin n N m(p 1 ) m(p 2 ). Tässä ekvivalenssi i) perustuu lauseeseen 3.27 c). 36

5.2 f) i) t m ( x[p 1 (x) P 2 (x)]) = 1 t m (S x v n ([P 1 (x) P 2 (x)])) = 1 jollekin n N t m ([P 1 (v n ) P 2 (v n )]) = 1 jollekin n N t m (P 1 (v n )) = t m (P 2 (v n )) jollekin n N [t m (P 1 (v n )) = t m (P 2 (v n )) = 1] tai [t m (P 1 (v n )) = t m (P 2 (v n )) = 0] jollekin n N [n m(p 1 ) ja n m(p 2 )] tai [n m(p 1 ) ja n m(p 2 )] jollekin n N n (m(p 1 ) m(p 2 )) ((N \ m(p 1 )) (N \ m(p 2 )) jollekin n N (m(p 1 ) m(p 2 )) ((N \ m(p 1 )) (N \ m(p 2 )) (m(p 1 ) m(p 2 )) (N \ (m(p 1 ) m(p 2 ))) N \ ((m(p 1 ) m(p 2 )) \ (m(p 1 ) m(p 2 ))) (m(p 1 ) m(p 2 )) \ (m(p 1 ) m(p 2 )) N. Tässä ekvivalenssi i) perustuu lauseeseen 3.27 d). 5.3 a) Propositiokielen teoreema p 1 p 1 antaa lauseen 3.8 mukaan predikaattikielisen teoreeman A A. Tällöin predikaattikielten eheyslauseen nojalla mille tahansa mallille m. 5.3 b) Tässä väitetään, että t m (A A) = 1 t m (A B) = 1 jos ja vain jos t m (A) = 1 = t m (B). Tehdään induktio kaavoissa A ja B esiintyvien vapaiden muuttujien lukumäärän n suhteen. Kun n = 0, kaavat ovat suljettuja, jolloin väite seuraa lauseesta 3.27 c). Oletetaan sitten induktiivisesti, että väite pätee (n 1):lle ja olkoot y 1,..., y n kaavoissa A ja B esiintyvät vapaat muuttujat. 37

Oletetaan ensin, että t m (A B) = 1. Tällöin totuusarvon määritelmän mukaan (ks. myös (triviaalit) harjoitustehtävät 3.2.10 ja 3.2.11) pätee eli t m (S yn v (A B)) = 1 kaikille vakioille v t m (Sv yn (A) Sv yn (B)) = 1 kaikille vakioille v. (1) Kaavoissa Sv yn (A) ja Sv yn (B) esiintyvät vapaina vain muuttujat y 1,..., y n 1, jolloin induktio-oletuksen ja ehdon (1) nojalla pätee t m (S yn v (A)) = 1 ja t m (S yn v (B)) = 1 kaikille vakioille v. (2) Tällöin totuusarvon määritelmän mukaan joten todistuksen tämä suunta on selvä. t m (A) = 1 ja t m (B) = 1, (3) Oletetaan kääntäen, että ehto (3) pätee. Riittää osoittaa, että ehto (1) pätee. Ehdon (3) nojalla saadaan Koska kaavoissa S yn v t m (Sv yn (A)) = 1 kaikille vakioille v ja (4) t m (Sv yn (B)) = 1 kaikille vakioille v. (5) (A) ja S yn v (B) esiintyvät vapaina vain muuttujat y 1,..., y n 1, niin jokaiselle vakiolle v voidaan soveltaa induktio-ta sekä ehtoja (4) ja (5), jolloin saadaan ehto eli väite (1) pätee. jokaiselle vakiolle v pätee: t m (Sv yn (A) Sv yn (B)) = 1, 5.3 c) Tässä väitetään, että t m (A A) = 0. Tehdään induktio kaavassa A esiintyvien vapaiden muuttujien lukumäärän n suhteen. Kun n = 0, A on suljettu, jolloin väite seuraa lauseesta 3.27 d) ja a). Oletetaan sitten induktiivisesti, että väite pätee (n 1):lle ja olkoot y 1,..., y n kaavassa A esiintyvät vapaat muuttujat. Totuusarvon määritelmän mukaan (ks. myös monisteen tehtävät 3.2.10 ja 3.2.11) väite t m (A A) = 0 38

seuraa, jos eli t m (S yn v (A A)) = 0 jollekin vakiolle v t m (Sv yn (A) Sv yn (A)) = 0 jollekin vakiolle v. (6) Koska kaavassa Sv yn (A) esiintyvät vapaina vain muuttujat y 1,..., y n 1, niin induktio-oletuksen nojalla jolloin väite (6) seuraa. t m (Sv yn (A) Sv yn (A)) = 0 kaikille vakioille v, 5.4 Väite pätee oikealta vasemmalle, siis jos t m (A) = 1 tai t m (B) = 1, niin t m (A B) = 1. Todistetaan tämä: Tehdään induktio kaavoissa A ja B esiintyvien vapaiden muuttujien lukumäärän n suhteen. Kun n = 0, niin kaavat ovat suljettuja, jolloin väite t m (A B) = 1 seuraa lauseesta 3.27 b). Oletetaan sitten induktiivisesti, että väite pätee (n 1):lle ja olkoot y 1,..., y n kaavoissa A ja B esiintyvät vapaat muuttujat. Riittää osoittaa, että t m (Sv yn (A B)) = 1 kaikille vakioille v eli t m (Sv yn (A) Sv yn (B)) = 1 kaikille vakioille v. (1) Kiinnitetään mielivaltainen vakio w. Väitteen (1) todistamiseksi riittää osoittaa, että t m (Sw yn (A) Sw yn (B)) = 1. (2) Oletuksen t m (A) = 1 tai t m (B) = 1 nojalla pätee joko Ehtojen (3) ja (4) nojalla pätee joko t m (Sv yn (A)) = 1 kaikille vakioille v tai (3) t m (Sv yn (B)) = 1 kaikille vakioille v. (4) t m (Sw yn (A)) = 1 tai (5) t m (Sw yn (B)) = 1. (6) Koska kaavoissa S yn w (A) ja S yn w (B) esiintyvät vapaina vain muuttujat y 1,..., y n 1, niin induktio-oletuksen sekä ehtojen (5) ja (6) nojalla väite (2) seuraa. Tarkastellaan vielä väitettä vasemmalta oikealle. Tämä ei päde, kuten luentomonisteen tehtävässä 3.2.16 todetaan. Käydään tämä tehtävä vielä tarkasti 39