T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )"

Joel Hänninen
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka ) Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation avulla. A A A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B B A A B B A b) Shefferin viivan opetusmoniste kappale 2.2) avulla. A A A A B A B A B A B A B A B A B A A B B A B A B A B A B A B B A B A B B A A B B B A A A B B B A A A B B B A A 2. Käy läpi kaikki mahdolliset binäärikonnektiivit yht. 16) ja anna niille määritelmät lauselogiikan peruskonnektiivien avulla. Eri mahdollisuudet koottu allaolevaan taulukkoon. p 0 t t e e p 0 t t e e p 1 t e t e p 1 t e t e p 0 p 0 t t t t p 0 p 1 e t t t p 0 p 1 t t t e p 0 p 1 e t t e p 1 p 0 t t e t p 1 e t e t p 0 t t e e p 0 p 1 e t e e p 0 p 1 t e t t p 0 e e t t p 1 t e t e p 1 p 0 e e t e p 0 p 1 t e e t p 0 p 1 e e e t p 0 p 1 t e e e p 0 p 0 e e e e

2 3. Olkoon A 1 P ja A 2 P kaksi totuusjakelua ja φ L lause. Osoita, että jos A 1 At φ A 2 At φ, niin A 1 φ A 2 φ. Todistus rakenteellisella induktiolla: Perustapaus: Olkoon φ atominen lause. Tällöin joukko-opillisen leikkauksen määritelmän perusteella joko φ A 1 ja φ A 2 jolloin A 1 φ ja A 2 φ. Toinen vaihtoehto on, että φ A 1 ja φ A 2 jolloin A 1 φ ja A 2 φ. Näin ollen ekvivalenssi pätee. Induktio-oletus: Päteköön väittämä rakenteen kompleksisuuteen n asti. n voi olla esim. konnektiivien lkm.). Induktioaskel: Tapausanalyysi eri konnektiivien suhteen. 1. Olkoon lause muotoa α. Induktio-oletuksen perusteella väittämä pätee lauseelle α. Nyt jos A 1 α ja A 2 α niin A 1 α ja A 2 α. Edelleen, jos A 1 α ja A 2 α niin A 1 α ja A 2 α. Näin alkup. väittämän ekvivalenssi pysyy voimassa. 2. Olkoon lause muotoa α β. Väittämä pätee oletuksen mukaan jälleen sekä α:lle että β:lle. Eri vaihtoehtoja tulee nyt 4. Oletetaan, että molemmat alilauseet ovat tosia molemmissa totuusjakeluissa. Tällöin myös alilauseiden konjunktio on tosi molemmissa ja ekvivalenssi säilyy. Muut tapaukset samaan tapaan konjunktio epätosi molemmissa). 3. Muut konnektiivit niiden määritelmien mukaan. 4. Olkoon A /0 totuusjakelu. Laske lauseen totuusarvo B b) totuusmääritelmän nojalla. A B A B Lause merkitään sitä φ:llä) on muodoltaan implikaatio. Sovelletaan totuusmääritelmää: A φ A B A tai A B A B A B A A B ja A A. A B A B A A A A

3 Nyt siis annetun totuusjakelun perusteella tiedetään, että A A ja A B. Näinollen viimeinen rivi ei toteudu, toisen rivin ja ei toteudu ja 1. rivin tai :n 1. argumentti on epätosi eli A B A. A B A B A B A tai A B A B A A B ja A A A B A B Tästä nähdään, että viimeinen rivi toteutuu, samoin toisen rivin ja -ehto, jolloin myös ensimmäisen rivin vasen sarake pitää paikkansa, eli A B A B. Seurauksena ensimmäisen taulukon ensimmäisen rivin oikean sarakkeen tai -ehdon jälkimmäinen argumentti pätee, ja siis myös vasen sarake, eli A φ. Tämä esitystapa oli nk. top-down, monimutkaisemmasta yksinkertaiseen. Toinen vaihtoehto on bottom-up eli lähteä liikkeelle atomilauseista ja edetä monimutkaisempia rakenteita kohti. 5. Insinööri Sörsselssön laati seuraavat vaatimukset liikennevaloille kahden yksisuuntaisen kadun risteykseen: i) Kummassakin liikennevalossa on vihreä, keltainen ja punainen lamppu, joista täsmälleen yksi palaa kerrallaan. ii) Liikennevalojen vihreät lamput eivät pala yhtäaikaisesti. iii) Jos toisessa liikennevalossa palaa punainen lamppu, niin toisessa palaa joko keltainen tai vihreä lamppu. a) Esitä annetut vaatimukset lauselogiikan lauseina. b) Laadi syntyneelle lausejoukolle totuustaulukko. c) Hae taulukon avulla lausejoukolle malli / totuusjakelu, jossa se ei toteudu. d) Mieti parannusehdotuksia annetuille vaatimuksille ajatellen todellisia liikennevaloja). Mitä liikennevalojen ominaisuuksia et pysty kuvaamaan lauselogiikan avulla? a) Käytetään atomisia lauseita P1, K1 ja V 1, jotka tarkoittavat että liikennevalon 1 punainen, keltainen ja vihreä lamppu palaa tässä järjestyksessä). Olkoot P2, K2 ja V 2 vastaavat atomiset lauseet liikennevalolle 2. Käydään annetut vaatimukset lävitse:

4 i) Liikennevalolle 1 saadaan lause P1 K1 V 1 ainakin yksi lampuista palaa) ja lauseet P1 K1 V 1, K1 P1 V 1, V 1 P1 K1 korkeintaan yksi lampuista palaa). Lisäksi tarvitaan vastaavat lauseet liikennevalolle 2. ii) Saadaan lause V1 V 2. iii) Saadaan lauseet P1 K2 V2 ja P2 K1 V1. b) Laaditaan totuustaulu edellisen tehtävän lausejoukolle. Merkitään tau- Ki Vi Ki Pi Vi Vi Pi Ki joka siis merkitsee, että liikennevalossa i palaa täsmälleen yksi lamppu). Tähdellä merkityt rivit vastaavat lausejoukon malleja. lun tiivistämiseksi α i :llä lausetta Pi Ki Vi Pi $ & " ' & " ' P1 K1V1P2 K2V2 α 1 α 2!#" V1 V2% P1 K2 V2% P2 K1 V1% E E E E E E E E T T T E E E E E T E T T T T E E E E T E E T T T T E E E E T T E E T T T E E E T E E E T T T E E E E T E T E E T T E E E E T T E E E T T E E E E T T T E E T T E E E T E E E T E T T T E E T E E T T T E T T E E T E T E T T T T T E E T E T T T E E T T E E T T E E T T T T T E E T T E T T E E T T E E T T T E T E T T T E E T T T T T E E T T E T E E E E T E T T T E T E E E T T T T T T E T E E T E T T T T T E T E E T T T E T T T E T E T E E T T T T T E T E T E T T E T T T E T E T T E T E T T T E T E T T T T E T T T

5 $ & " ' & " ' P1 K1V1P2 K2V2 α 1 α 2!#" V1 V2% P1 K2 V2% P2 K1 V1% E T T E E E E E T T T E T T E E T E T E T T E T T E T E E T T T T E T T E T T E E E T T E T T T E E E T T T T E T T T E T E E E T T E T T T T E E E T T T E T T T T T E E E T T T E E E E E T E T E T T E E E E T T T T T T T E E E T E T T T T T T E E E T T T E T T T T E E T E E T T T E E T E E T E T T E T T E T E E T T E T E T T E T E E T T T T E T T E T E T E E E E E T E T T E T E E T E T E T T T E T E T E E T T T T T E T E T T E E E T T T E T T E E E T T E T T E T T E T E E E T T T E T T T E E E T T T T E T T T T E E E T T T T E E E E E E T E T T T E E E T E T T T T T T E E T E E T T T T T T E E T T E E T T T T T E T E E E T T E T T T E T E T E E T T T T T E T T E E E T T T T T E T T T E E T T T T T T E E E E E T E T T T T E E T E T E T T T T T E T E E T T T T T T T E T T E E E T T T T T T E E E T T E T T T T T E T E E E T T T T T T T E E E T T T T T T T T T E E E T T

6 Malleja on siis 7 kappaletta mahdollisuutta). Tutkimalla malleja voit huomata, että insinööri Sörsselssönin vaatimukset täyttyvät niiden määräämissä tilanteissa. Väittämä liikennevalojen punaiset lamput eivät pala yhtäaikaisesti voidaan esittää lauseena P1 P2. Tämä lause on tosi kaikissa edellisen tehtävän lausejoukon malleissa tarkista), joten P1 P2 on kyseisen lausejoukon looginen seuraus. c) Väittämästä molemmissa liikennevaloissa palaa keltainen lamppu saadaan lause K1 K2. Olkoon A totuusjakelu, joka kuvaa atomiset lauseet K1 ja K2 todeksi T ) ja muut atomiset lauseet epätodeksi E). Nyt A 1 K1 K2, koska A 1 K1 ja A 2 K2. Lisäksi kaikille a)- kohdan lauseille α pätee A α tarkista). Siis A 1 on malli annetuille vaatimuksille, jossa K1 K2 on tosi. Mallin haussa voidaan käyttää esimerkiksi semanttista taulua). Olkoon A 2 valuaatio, joka kuvaa atomiset lauseet V 1 ja V 2 todeksi ja muut atomiset lauseet epätodeksi. Nyt A 2 V1 V 2, joten lausejoukko ei toteudu. d) Yksi mahdollisuus on väljentää ensimmäistä vaatimusta, koska liikkeellelähdettäessä punainen ja keltainen lamppu palavat monissa liikennevaloissa yhtäaikaisesti mieti, kuinka lauseita tulee muuttaa). Lauselogiikan avulla ei voi helposti esittää liikennevalojen toiminnan eri vaiheita esim. vihreän jälkeen syttyy keltainen lamppu). 6. Tutki totuustaulukoilla, pitävätkö seuraavat väitteet paikkansa. a) Lause A B B C A C on pätevä. b) Lause A B A B B on toteutumaton. c) Lauseet A B ja A d) ) A B C A +*, A B B-. A C B. B ovat loogisesti ekvivalentteja. a) Lauseen alilauseet ovat A * B * C * A B * A C * B C, B C / A C sekä lause itse merkitään sitä φ:llä). Lause on pätevä, joss φ

7 saa taulukossa kaikilla totuusjakeluilla arvon tosi. A B C A & B A & C B & C " B & C%0& " A & C% φ T T T T T T T T T T E T E E T T T E T E T T T T T E E E E T E T E T T T T T T T E T E T T E T T E E T T T T T T E E E T T T T T c) Viimeinen sarake sisältää pelkästään arvoa T, joten lause on pätevä. A B A 1 B! A 1! B T T T T T E E E E T E E E E T T Taulukosta nähdään, että lauseiden A B ja A identtiset, joten ne ovat loogisesti ekvivalentit. B sarakkeet ovat

Samankaltaiset tiedostot

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka )

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka ) T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka 2.1 3.4) 5.2. 9.2. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 2.1 Merkitään lausetta φ:llä, ja valitaan atomilauseiden