MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnedinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua Lopullisessa arvostelussa käytettävistä kriteereistä päättää tutkintoaineen sensorikunta Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos Arvioinnissa kiinnitetään uomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaieet ja lopputulos Laskuvireet, jotka eivät olennaisesti muuta tetävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi Sen sijaan tetävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvireet saattavat alentaa pistemäärää uomattavasti Laskin on kokeen apuväline, jonka rooli arvioidaan tetäväkotaisesti Jos ratkaisussa on käytetty symbolista laskinta, sen on käytävä ilmi suorituksesta Analysointia vaativien tetävien ratkaisemisessa pelkkä laskimella saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja Sen sijaan laskimesta saatu tulos yleensä riittää rutiinitetävissä ja laajempien tetävien rutiiniosissa Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, ytälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 6
Alustava pisteitys ( piste/kot A-osa Sanallinen muoto A Lausekkeen, arvo on,,, B Tilavuus,5 m on sama kuin 5 l 5 l 5 l C Luvuista 6, 7 ja 6 suurin on 6 6 7 D Luvun a b vastaluku on b a a b a b E Ytälön x x juurten summa on 5 F Tuotteen inta nousee ensin % ja laskee sitten %, joten lopullinen inta on alkuperäisestä innasta 99 % % % b) Kota A B C D E F Vaitoedon numero x x x x x x x x 6x x 6 Lukujen tulo on, 6 6 6 6 joten ne ovat toistensa käänteislukuja c) Koska molemmat puolet ovat positiivisia, voidaan epäytälö neliöidä puolittain, jolloin saadaan abab ab, joka on tosi, koska ab > b) a ( ) b ( ) ( 7) 5 5 ab() ()(7) 9 9 9 x dx / x x x + 7 9 7 8 5 Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 6
Nollakodat ovat x ja x + b) Funktio on aidosti kasvava, kun x 5 c) Minimikota on x, koska derivaatan merkki muuttuu 5 P(voitto) pv B-osa, jolloin P(äviö) 6 6 Odotusarvo euroissa on siten 5 ( ) b) p ja p v Odotusarvo euroissa on siten ( ) p ja p 9 c) 8 v Odotusarvo euroissa on siten p ( ) 8 9 6 Maapallon keskisäde R = 6 km Koska napapiirin leveysaste on noin 66,5, niin napapiirin ja pojoissuunnan välinen kulma 9 66,5,5 Napapiirin säde on r Rsin ( 5, km) Tunnelin AB pituus on r R sin = 59,7 km 59 km b) Napapiirillä lyyemmän kaaren AB pituus r Rsin 99,km 99 km Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 6
7 Alla olevassa kuviossa kolmion korkeus 5 Pikkuympyrän säde on r ja keskipisteen etäisyys kolmion kannasta a ( r) r Pytagoras: ( r) ( r), josta r r 5 8 Koska xy-tasossa z, on tason ytälö muotoa x ykz Koska taso kulkee pisteen (,,6) kautta, niin pisteen koordinaatit toteuttavat sen ytälön, eli 6k, josta k 7 6 Ytälö on siten x y 7 z eli 6x y7z 8 6 b) x-akselilla y z, joten 6x 8 x y-akselilla x z, joten y 8 y z-akselilla x y, joten 7z 8 z 8 7 n n x n, jossa n,,, Iterointi: x x,5 x 6, x,7 x5,78 Laskimella,7596 Vertailu: x,, joten suteellinen vire on noin, % 9 Palautuskaava luvun laskemiseksi on x x Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 6
9 Koska f (), niin f( ) f() erotusosamäärä g ( ) g( ) Koska g ( ) kaikilla, niin lim g( ), joten f on derivoituva kodassa x ja f () B-osa Koska kaikki luvun 6 potenssit päättyvät kuutoseen, niin tekevät myös kaikki luvun 6 potenssit Viimeinen numero on siten 6 6 b) Koska x 6, niin lg x 6lg6 666,859, josta 666,859 x,859 666 666 7,69, joten kaksi ensimmäistä numeroa ovat 7 ja c) Koska lg x 666,859, niin luvussa on 666 + = 6 66 numeroa Tölkin pojaympyrän säde on r ja korkeus Tilavuuseto antaa r, josta r Vaippapellin inta on /m ja pojapellin /m Pellin kokonaisinta on Hr () r r r r r r r, jossa r A( r) 8r 8r r 5 r 5 r r 5 Derivaatan H ( r) merkkikaavio osoittaa, että saatu r on minimikota ja siten myös alvimman tölkin pojan säde 5 5 Kysytty sude on r r r r 5 Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 6
Sinifunktion kuvaajan perusteella avaitaan, että sintdt sintdt Tällöin f ( ) sintdt Näin ollen f ( ) sin tdt sint dt b) Kun t, niin sint sint Nyt sin tdt sintdt f( ) x x sin sin / x tdt tdt ( cos t) cos x cos cos x, kun x Kun t, niin sint sint Nyt x x sin tdt sin tdt ( sin tdt ) / / x ( cos t) cost cos cos cos x cos cosx, kun x cos x, x Vastaus: f( x) cos x, x Tetraedrin pojakolmion sivut ovat a b, b c ja a c x b c Kuvion merkinnöin: a b x a c Väentämällä ytälöt puolittain: b x a b x a b x b a, josta x a b Tällöin b c x b b c a b ( a b )( b c ) b a b b c a c a b a b D a b a b b c a c Koska akselitasoissa olevien kolmioiden alat ovat A bc, B ac ja C ab, niin A B C b c a c a b D Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 6
TAI: Jos tetraedrin uippu on origossa, niin sen pojatason ytälö on x y z T :, a b c josta kertomalla puolittain lausekkeella abc saadaan ytälö bcx acy abz abc Origon etäisyys tasosta T = tetraedrin korkeus abcabc abc bc ac ab bc ac ab Koska tetraedrin tilavuus on toisaalta ab c 6abc, niin saadaan abc ytälö D 6abc bc ac ab, josta D b c a c a b Koska akselitasoissa olevien kolmioiden alat ovat A bc, B ac C ab A B C b c a c a b D ja, niin TAI: Muodostetaan tetraedrin kärkiä ydistävät vektorit XY u aibj ja XZ vaick (Kuvio ) i j k Tällöin u v a b bci ac j abk a c Kolmion XYZ pinta-ala on D u v b c a c a b Koska akselitasoissa olevien kolmioiden alat ovat A bc, B ac ja C ab, niin A B C b c a c a b D Kuvio Kuvio Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 6