MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun

Transkriptio

1 MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun YTL Hyvän vastauksen piirteitä: Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut ja lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti. Laskin on kokeen apuväline, jonka rooli arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty symbolista laskinta, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä laskimella saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan laskimesta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi. YTL on antanut määräyksiä opettajille matematiikan kokeen merkinnöistä alustavassa arvioinnissa. Määräykset ovat nähtävillä YTL:n sivustolla MAOL on saanut jäseniltään pyyntöjä tarkentaa arviointiohjeita. Tässä muutamia MAOL:n esimerkkejä selkeästä arvioinnista: Merkinnöissä käytetään kuulakärkikynää, ei tussia. Tehtäväkohtainen kokonaispistemäärä merkitään selkeästi vastauksen loppuun ulkoreunan puoleiseen marginaaliin. Matematiikan kokeen pisteytyksessä käytetään vain kokonaisia pisteitä. Virheet merkitään alleviivaamalla kyseinen kohta tai pitkät virheelliset kohdat merkitsemällä pystyviiva kyseiseen kohtaan tehtävän viereen. Katkoviivaa voi käyttää merkitsemään epätarkkaa ilmaisua vastaavalla tavalla. Opettajan merkinnät eivät saa peittää kokelaan vastausta. Virheellisen tai ongelmallisen kohdan marginaaliin on toivottavaa tehdä selventäviä merkintöjä. Vastauksen loppuun voi merkitä tarvittaessa arvosteluun liittyviä seikkoja. Esimerkkejä lyhyistä merkinnöistä marginaalissa: (- p.) virheen siirtyminen eteenpäin numerotarkkuus pyöristysvirhe periaatevirhe puuttuva piste oikein, väärin yksikkö väärinpäin

2 Esimerkkejä merkinnöistä vastauksen lopussa: Kopiointivirhe, tehtävän luonne ei ole muuttunut. Vastauksen periaate on oikein, mutta kopioimisvirheestä lähtien tulokset ovat väärää suuruusluokkaa. Vastauksen ansiot: kuvaajan analyysi, Muita esimerkkejä: Virheellisen lukuarvon ensimmäinen esiintyminen alleviivataan. Jos loppuosa laskusta on periaatteeltaan oikea, muita lukuja ei alleviivata, vaan merkitään, että virhe on siirtynyt eteenpäin. Jos kuviossa on pieni virhe, kuviosta alleviivataan virheellinen osa siten, että kokelaan vastaus jää selkeästi näkyviin. Jos alleviivaus ei onnistu kokelaan vastausta peittämättä, alleviivataan koko kuvio ja virhe selitetään lyhyesti marginaalissa. Virheellisen numerotarkkuuden voi merkitä alleviivaamalla ylimääräiset numerot tai alleviivaamalla koko luvun ja merkitsemällä marginaaliin numerotarkkuus.

3 Alustava pisteitys. b) c) Nimittäjien ja sulkeiden poisto x + x = 6x + = 5x x = 7 Sijoitus x + y + + = + y x + + = 0 (tai ) (desimaaliluku ei kelpaa vastauksess x + 5y = Suorien leikkauspisteessä toteutuu yhtälöpari x 5y = 5 Eliminoimalla tai muuten saatu joko x = 6 tai 0y = 4 (tai saatu jompikumpi arvo laskettu x = josta leikkauspisteeksi y tai = (, ) 5 5 Molemmat suorat on kirjoitettu ratkaistuun muotoon, mutta toisessa pieni virhe ja jatko oikein. Graafinen ratkaisu max max Laskinratkaisut sallitaan, jos laskimen käyttö on mainittu.. x = = x = b) x = = x = c) ( ) x 6 = 8 = = x = 6 d) x 5 = = x = 5 5 e) x 0 = 000 = 0 x = f) x 0 = 0,0 = 0 x = Pelkät vastaukset riittävät

4 . Sulkujen poisto ja sievennys: ( x + )( x) = x + x Kirjoitettu yhtälöksi x + x = 0 ja saatu x = 0 x = Laskinratkaisut sallitaan, jos laskimen käyttö on mainittu. b) Sijoitettu lausekkeeseen n n + n:n arvot, 0,,,, 4 saatu vastaukseksi kokonaisluvut n =,0,,,4 Yksi n:n arvo puuttuu Laskuvirhe max Graafinen ratkaisu max Derivaattaratkaisu ja vastaus väärin 0 A = π r = 50 c) Ympyrän säde on r. Pinta-ala r = 50 (tai,8655 K) π Halkaisija r = 50 = 5,70... π 5,7 cm Vastauksessa väärä tarkkuus Laskettu likiarvoilla ja saatu väärä vastaus Vastauksesta puuttuu yksikkö 0 Laskinratkaisut sallitaan, jos laskimen käyttö on mainittu. 4. Aluksi: Tilavuus on 00 ml, yksikköhinta on,50 hinta/tilavuus on,50 00 /ml = 0,05 /ml Muuttuneet arvot: Tilavuus on,5 00 ml = 5 ml, yksikköhinta on, 40,50 =,0 hinta/tilavuus,0 5 /ml = 0,068 /ml Vertailu: 0,068 0,068 0,05 (tai ) 0,05 0,05 =, (tai 0,) Tahna on kallistunut %. Laskettu ilman yksiköitä 0

5 5. ( x ) + ( x 9) = x 4x + 90 f ( x) = x 4x + 90 f ( x) = 4x 4 4x 4 = 0 x = 6 Kulkukaavio: derivaatan merkit oikein funktion kulku oikein x = 6 ( x ) + ( x 9) = x 4x + 90 Käyrä y = x 4x + 90on ylöspäin aukeava paraabeli, joten pienin arvo on huipun y-koordinaatti kysytty muuttujan arvo on huipun x-koordinaatti y ( x) = 4x 4 4x 4 = 0 (tai mainittu derivaatan nollakoht x = 6 Huippu laskettu huipun kaavan tai juurien avulla oikein max 6 Laskuvirhe, joka ei oleellisesti muuta tehtävän luonnetta. max 5 Pelkkä oikea vastaus x = 6 ja lyhyt perustelu

6 6. Kun liito-orava laskeutuu korkeuden h verran, niin 60 =,h, josta h = 60 = 8,88..., Liito-oravan on siis ponnistettava korkeudelta h + = 9, metriä Korkeus on 60, + = 9, metriä Vastaus 0 m ja perusteltu 0 Vastauksesta puuttuu yksikkö 0 Kokeilemalla (esim. piirtämällä) tai likiarvoilla, saatu oikea vastaus max b) Jos liitokulma vaakatasoon nähden = α, niin tanα = ( = 0,00... ) (tai tanα = h ), 60 jolloin α = 6, (alaviistoon) a-kohta laskettu väärin ja b-kohdassa oikea idea laskimessa radiaanit max 7. Jos kuution särmä = s, niin sen tilavuus Vk Pyramidin pohjan ala A = s. Pyramidin korkeus h = s. Pyramidin tilavuus 6 s = s. V = Ah = s s p = ( = V ) 6 k Kysytty suhde on siten :6 (tai 6 ) : Kuutio koostuu kuudesta (identtisestä) pyramidista, joten suhde on :6. Laskettu lukuarvolla (esim. s =) max4 Pelkkä oikea vastaus 0 6

7 8. 90 Keskiarvo x = = Keskihajonta s = = 564, (tai otoskeskihajonta s = = 74, ) 5 keskihajonta taulukoimalla Joukkue Katsojamäärä x x x ( x x) Jokerit HIFK Kärpät TPS Tappara Ilves yht Keskihajonta s = = 564, (tai otoskeskihajonta s = = 74, ) 5 + = = 8 0 x s = = Kysytyt joukkueet ovat siten Jokerit ja HIFK. x + s = = 8 69 x s = = 4 84 Kysytty joukkue on siten Jokerit. Kaikilla joukkueilla katsojaluku on yli 4990 = Vain Jokerien ja HIFK:n katsojaluvut ovat yli 80 = Kysytyt joukkueet ovat siten Jokerit ja HIFK. b) x s a-kohta laskettu väärin ja b-kohdassa oikea idea max

8 9. 0 Raimon I = = 7,8... 7,4. Raimon J,9, 0,9,5 = = 5, ,6. Molemmat oikein, mutta väärä tarkkuus. b) Hannan massa on m = I h = 5,60 = 64 kilogrammaa, 64 Hänen J-indeksinsä on siis J = = 5, (tai 5,7) c),60,5 m, m Indeksit ovat samat silloin, kun =,5. h h Tällöin h 0,5 =, (tai, h = ) h =, =,69 metriä Vastauksesta puuttuu yksikkö 0 0. Vasemmanpuoleisen neliön sivun pituus on s 5 v = =,5. Jos oikeanpuoleisen neliön sivu on s o = x, niin hypotenuusa on x. Saadaan ehto 50 = x x = 50 =,57K, <,5 joten s v > s o (tai laskettu pinta-alat ja verrattu niitä) Tällöin myös vasemmanpuoleisen neliön pinta-alakin on suurempi. Pelkkään kuvaan perustuva ratkaisu 0

9 . Ison munkin säde on R, jolloin sen tilavuus Vi = 4 ja pinta-ala Ai = 4π R. Pienen munkin säde on r, jolloin 4 Vp = π r ja Ap = 4π r. (Saadaan tilavuusehto Vi = 4V p Vi 8 = V ) 4 4 π R = 8 π r R = 8r R = r Kokonaispinta-alojen eli sokerimäärien suhde on 4A p 8 4π r = = A i 4 π ( r) A 4 ( ) (Tai i π r = = ) 4A p 8 4π r Suhde laskettu mittakaavan avulla oikein 6 p π R Laskettu lukuarvolla max4

10 . Päästöt vuonna 990 on a ja vuonna 008,9a. a 8 =,9a 8 =,9 =,084K Päästöt vuonna 05 5 a a a =,5799K,58 Päästöt ovat siis kasvaneet yhteensä n. 58 %. t Malli: Päästöjen määrä P( t) = a b. Tutkitaan tilannetta vuodesta 990 alkaen, jolloin mallin t on vuosien määrä vuoden 990 jälkeen. Päästöt vuonna 990 ovat P(0) = a. Vuotuinen kasvutekijä b = + p 00 Päästöjen kasvu oli 9 %. Saadaan yhtälö: P(8) =,9 P(0), eli, jossa p = vuotuinen kasvuprosentti. 8 =,9a, a b josta kasvutekijä b = 8,9 =, Vuonna 05 on t = 5, joten P(5) = a b = a, ,58a. Päästöt ovat siis kasvaneet yhteensä n. 58 %. Vastauksessa väärä tarkkuus Käytetty a:n tilalla lukuarvoa max4

11 . Piirretty suorat koordinaatistoon ja väritetty nelikulmio (tai merkitty sen kärkipisteet). Yksi kärki on origossa. Laskettu muut kärjet yhtälöpareista: x = 0 x = 0 (tai päätelty suoran yhtälöstä y = x + 6) x + y = 8 y = 6 9 y = 0 x = x + y = 9 y = 0 x + y = 8 x 9y = 54 x = x + y = 9 x + y = 9 y = 5 Luettu kärkipisteet kuvasta 0 Yksi kärki väärin b) (Funktion f ( x, y) = x + y ääriarvot löytyvät nelikulmion kärjistä.) Ehdokkaat: f (0,0) = 0, f (0,6) = 6, (,5) f 9,0 = 8, f =, ( ) suurin arvo on 8 ja pienin arvo on 0

12 4. Sovelletaan annuiteettikaavaa 6,6 p 00 A = K n n, jossa K = 8000, p = = 0,55, = + =,0055 ja n = 4. 4 Sijoitukset: A = 8000 = 56,76..., 4 joten kuukausierä on 56,7. b) Sijoitetaan edellä lasketut ja A sekä k = jäljellä olevan lainan k kaavaan Vk = K A Saadaan V = 8000 A tai V k. = 4, ,59 euroa = ,7 = 4,6K 4,6 euroa c) Kristianin maksama korko on 4A , = 56,5 euroa tai 4 56,76K 8000 = 56,5607K 56,56 euroa. Käytetty arvoa =,066 0 Väärä n:n arvo 0

13 5. b) Olkoon A = (0,0,5). v = = 49 = Yksikkövektori v = = v i j k v 7 Räjähdyspisteen paikka on P. uuur uuur uuur uuur OP = OA + AP = OA + 05 v i j + 6k = 0i + 0 j + 5k = 0i + 0 j + 5k + 0i 45 j + 90k = 50i 5 j + 95k 0 jokin paikkavektorin oikea muoto joten räjähdyspiste on ( 50, 5,95) Olkoon A = (0,0,5). v = = 49 = 7 Ehto etäisyydelle on t v = 7t = 05, josta t = 5. Räjähdyspisteen uuur uuur paikka on P. Saadaan yhtälö OP = OA + 5v = 0i + 0 j + 5k + 0i 45 j + 90k = 50i 5 j + 95k joten räjähdyspiste on ( 50, 5,95) Etäisyys katsojiin on 50 + ( 5) + 95 = 750 =, (metriä)