TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000

2 TAMPEREEN YLIOPISTO Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos NIEMELÄ, JARMO: Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Pro gradu -tutkielma, 47 sivua Matematiikka Marraskuu 2000 Tämä tutkielma on kirjallisuuteen perustuva selvitys lukuteorian käsitteistä primitiivinen juuri ja alkuluokkaryhmä (jäännösluokkarenkaan Z/mZ yksikköryhmä). Aluksi tutkielmassa määritellään ryhmän alkion kertaluku ja kokonaisluvun kertaluku modulo m sekä esitetään näiden perusominaisuuksia. Primitiivinen juuri määritellään kokonaisluvun kertaluvun modulo m avulla, jonka jälkeen osoitetaan, että primitiivinen juuri on myös syklisen alkuluokkaryhmän virittäjä eli generaattori. Tutkielmassa todistetaan se tunnettu tulos, että primitiivisiä juuria on olemassa vain modulin m arvoilla 1, 2, 4, p e ja 2p e, missä p on pariton alkuluku ja e on positiivinen kokonaisluku. Primitiivisten juurten sovelluksena esitellään käsite kokonaisluvun indeksi modulo m. Indeksien ominaisuuksien avulla ratkaistaan esimerkkinä joitain kongruensseja. Seuraavaksi osoitetaan oikeaksi se tosiasia, että jokainen alkuluokkaryhmä voidaan esittää syklisten ryhmien karteesisena tulona. Lopuksi tarkastellaan käsitteitä äärellisen ryhmän eksponentti ja kokonaisluvun universaali eksponentti, joka tunnetaan myös Carmichaelin lambda-funktiona. Ryhmän eksponentille ja kokonaisluvun universaalille eksponentille johdetaan ja todistetaan eräitä tunnettuja, mutta kirjallisuudessa harvoin todistettuja ominaisuuksia.

Sisältö Johdanto 4 1 Lukuteorian ja algebran alkeita 5 1.1 Ryhmäteoriaa........................... 5 1.2 Jaollisuus ja alkuluvut...................... 8 1.3 Kongruenssi ja Eulerin funktio.................. 11 2 Primitiivisistä juurista 16 2.1 Kertaluku............................. 16 2.2 Primitiiviset juuret........................ 20 2.3 Indeksit.............................. 25 3 Alkuluokkaryhmien rakenteesta 29 3.1 Milloin alkuluokkaryhmä on syklinen?.............. 29 3.2 Alkuluokkaryhmän tuloesitys.................. 34 3.3 Universaali eksponentti...................... 40 Kirjallisuutta 46 3

Johdanto Tämän tutkielman aihe, primitiiviset juuret ja alkuluokkaryhmät, kuuluu lukuteorian piiriin. Lukuteoria on matematiikan osa-alue, jossa tutkitaan kokonaislukuihin liittyviä kysymyksiä. Yksinkertaisesta lähtökohdastaan huolimatta monet lukuteorian kysymykset osoittautuvat varsin vaikeiksi ja vaativat menetelmiä monilta muilta matematiikan osa-alueilta. Käyttämiensä menetelmien mukaan lukuteoria voidaan karkeasti jakaa alkeelliseen, analyyttiseen ja algebralliseen lukuteoriaan. Primitiiviset juuret ovat klassinen aihe lukuteoriassa ja siihen voidaan perehtyä pelkin alkeisaritmeettisin menetelmin, kuten monissa lukuteorian alkeisteoksissa menetelläänkin. Alkuluokkaryhmät taas kuuluvat olennaisesti ryhmäteorian, siis algebran alaan. Kuten tullaan huomaamaan, käsitteet primitiivinen juuri ja alkuluokkaryhmä liittyvät kiinteästi toisiinsa. Näin ollen tämän tutkielman aiheesta rakentuu eräänlainen silta lukuteorian alkeiden ja ryhmäteorian välille. Primitiivisiä juuria on tutkittu jo 1700-luvulta lähtien, mutta niihin liittyy vielä monia ratkaisemattomia kysymyksiä. Aihe on edelleen aktiivisen tutkimuksen kohteena. Primitiivisillä juurilla on sovelluksia mm. kryptologiassa eli viestien salakirjoituksessa. Tämä tutkielma on luonteeltaan kirjallisuuteen perustuva selvitys, joten tässä ei esitetä mitään oleellisesti uutta, ellei sellaiseksi lueta joidenkin lauseiden helppoja yleistyksiä tai eräiden yleisesti tunnettujen, mutta kirjallisuudessa harvoin todistettujen lauseiden todistuksia. Esitettävät asiat eivät myöskään ole kovin syvällisiä, joten tutkielman sisällön ymmärtäminen ei vaadi lukijalta paljon lukiotasoa korkeampia matematiikan tietoja tarvittavat käsitteet ja lauseet esitetään tekstissä. Tärkeimmät lähteet ovat olleet Jones ja Jones [8] lukuteorian osalta sekä Gallian [6] algebran osalta. Suomenkielistä sanastoa on saatu pääasiassa Jutilan [9] sekä Metsänkylän ja Näätäsen [10] luentomonisteista. 4

Luku 1 Lukuteorian ja algebran alkeita Tässä luvussa esitetään lyhyesti ja luettelomaisesti ne käsitteet ja lauseet, joita tutkielman varsinaisen aiheen ymmärtäminen edellyttää. Tämä ei ole mikään perusteellinen johdatus lukuteoriaan ja algebraan, joten monet keskeisetkin asiat on tarkoituksella jätetty pois. Erityisesti algebran osalta rajoitutaan vain ryhmäteoriaan, jottei tutkielman sisältö paisuisi liian laajaksi. Pois on jätetty myös sellaisten yleisesti tunnettujen lauseiden todistukset, jotka löytyvät lähes kaikista lukuteorian ja algebran alkeisteoksista. 1.1 Ryhmäteoriaa Määritelmä 1.1 (vrt. [6, s. 40] ja [10, s. 52]). Joukon G laskutoimitus on kuvaus, joka liittää joukon G jokaiseen järjestettyyn alkiopariin yksikäsitteisen alkion joukosta G. Jos laskutoimitusta merkitään symbolilla, niin edellinen määritelmä tarkoittaa, että a b G aina, kun a G ja b G. Esimerkiksi kokonaislukujen yhteenlasku ja kertolasku ovat kokonaislukujen joukon Z laskutoimituksia, sillä a + b ja ab ovat kokonaislukuja aina, kun a ja b ovat kokonaislukuja. Määritelmä 1.2 (vrt. [10, s. 52]). Olkoon G joukko, joka ei ole tyhjä, ja olkoon joukon G laskutoimitus. Pari (G, ) on ryhmä, jos se täyttää seuraavat kolme ehtoa: G1. (a b) c = a (b c) aina, kun a, b, c G G2. joukossa G on alkio e, jolla e a = a e = a aina, kun a G G3. joukon G jokaista alkiota a kohti on olemassa sellainen alkio a 1 G, että a a 1 = a 1 a = e. 5

6 Jos laskutoimitus on lisäksi vaihdannainen eli täyttää ehdon G4. a b = b a aina, kun a, b G, niin sanotaan, että ryhmä (G, ) on Abelin ryhmä. Jos (G, ) on ryhmä, niin sanotaan myös lyhyesti, että G on ryhmä. Alkio e on ryhmän neutraalialkio, ja alkio a 1 on alkion a käänteisalkio. Neutraalialkio ja käänteisalkio ovat yksikäsitteiset [6, s. 48 49]. Laskutoimitusta merkitään yleensä kertolaskuna: a b = a b = ab. Ryhmää (G, ) sanotaan multiplikatiiviseksi ryhmäksi. Neutraalialkiota e sanotaan tällöin ykkösalkioksi ja merkitään e = 1 G tai lyhyemmin e = 1. Joukon G alkioiden lukumäärä (äärellinen tai ääretön) on ryhmän kertaluku, jota merkitään G. Esimerkiksi (Z, +) on ääretön Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on 0 ja jonka alkion a käänteisalkio on a. Sitä vastoin (Z, ) ei ole ryhmä, sillä alkiolla a Z ei ole käänteisalkiota joukossa Z, kun a ±1. Jos a on ryhmän G alkio ja n on positiivinen kokonaisluku, niin merkintä a n tarkoittaa tuloa aa a, jossa on n tekijää. Määritellään a 0 = 1 ja a n = (a n ) 1. Näillä merkinnöillä tutut potenssien laskusäännöt ovat voimassa (vrt. [10, s. 59]): a m a n = a m+n, (a m ) n = a mn, kun m ja n ovat kokonaislukuja. Kuitenkin yleensä (ab) n a n b n, jos ryhmä ei ole Abelin ryhmä. Määritelmä 1.3 (vrt. [6, s. 57]). Jos ryhmän G osajoukko H on ryhmä ryhmän G laskutoimituksen suhteen, niin H on ryhmän G aliryhmä. Tätä merkitään H G. Lause 1.1 (vrt. [6, s. 60]). Olkoon a ryhmän G alkio. Joukko a def = { a n n Z } on ryhmän G aliryhmä. Aliryhmä a on alkion a virittämä syklinen aliryhmä. Jos G = a, niin sanotaan, että G on syklinen ja alkio a on ryhmän G virittäjä. Kertalukua n olevaa syklistä ryhmää merkitään C(n). Esimerkiksi ryhmä (Z, +) on ääretön syklinen ryhmä, jonka virittäjä on 1 (tai 1), sillä 1 = { n 1 n Z } = Z. Tässä merkintä n 1 tarkoittaa summaa 1 + 1 + + 1, jossa on n termiä. Lause 1.2 (Lagrangen lause). Jos G on äärellinen ryhmä ja H on ryhmän G aliryhmä, niin on olemassa sellainen kokonaisluku n, että G = n H.

7 Todistus (vrt. [6, s. 135] ja [12, s. 69]). Ryhmän G kuhunkin alkioon a liittyvä joukko ah def = { ah h H } on aliryhmän H sivuluokka ryhmässä G. Koska ryhmä G on äärellinen, niin aliryhmällä H on äärellinen määrä sivuluokkia ryhmässä G. Olkoot ne a 1 H,..., a n H. Jos siis a G, niin sivuluokka ah on jokin sivuluokista a 1 H,..., a n H. Toisaalta a = a 1 ah, joten G = a 1 H a n H. Jos nyt a G, b G ja ah bh, niin on olemassa sellaiset x H ja y H, että ax = by. Koska H on ryhmä, niin b = axy 1 = az, missä z = xy 1 H. Täten bh = azh ah aina, kun h H, eli bh ah. Symmetrian perusteella ah bh, joten ah = bh. Siis a i H a j H =, kun i j, joten G = a 1 H + + a n H. Jokaisessa sivuluokassa ah on yhtä monta alkiota kuin aliryhmässä H, sillä kuvaus f : H ah, missä f(h) = ah, on bijektio. Kuvaus f on selvästi surjektio, ja se on myös injetio, sillä jos ax = ay, niin kertomalla puolittain alkion a käänteisalkiolla a 1 saadaan x = y. Täten G = n H. Määritelmä 1.4 (vrt. [6, s. 56]). Ryhmän G alkion a kertaluku on pienin positiivinen kokonaisluku k, jolla a k = 1. Jos tällaista lukua ei ole olemassa, niin alkion a kertaluku on ääretön. Alkion a kertalukua merkitään ord a. Ryhmän ykkösalkion kertaluku on selvästi 1, ja koska ykkösalkio on yksikäsitteinen, niin kaikkien muiden alkioiden kertaluku on suurempi kuin 1. Alkion kertalukua käsitellään tarkemmin pykälässä 2.1. Määritelmä 1.5 (vrt. [6, s. 116]). Kuvaus f ryhmältä G ryhmään H on isomorfismi, jos f on bijektio ja jos f(ab) = f(a)f(b) aina, kun a, b G. Jos on olemassa isomorfismi ryhmältä G ryhmälle H, niin sanotaan, että ryhmät G ja H ovat isomorfiset, ja merkitään G = H. Isomorfiset ryhmät G ja H ovat ryhmäteorian kannalta katsottuna samanlaiset: niiden alkiot vastaavat bijektiivisesti toisiaan ja ryhmän G alkioiden tuloa vastaa ryhmässä H niiden vastinalkioiden tulo. Jos siis G = H, niin ryhmiä G ja H voidaan pitää oleellisesti samoina. Ero on vain ryhmien alkioiden ja laskutoimituksen merkintätavassa. Esimerkiksi kaikki samaa kertalukua olevat sykliset ryhmät ovat keskenään isomorifisia [6, s. 118]. Lause 1.3 (vrt. [6, s. 121]). Olkoon kuvaus f isomorfismi ryhmältä G ryhmälle H. Silloin ord a = ord f(a) aina, kun a G.

8 1.2 Jaollisuus ja alkuluvut Määritelmä 1.6 (vrt. [8, s. 3] ja [10, s. 11]). Kokonaisluku a on jaollinen kokonaisluvulla b, jos on olemassa sellainen kokonaisluku q, että a = qb. Tällöin voidaan sanoa myös, että b jakaa luvun a tai että b on luvun a tekijä. Tätä merkitään b a. Jos kokonaisluku a ei ole jaollinen kokonaisluvulla b, niin merkitään b a. Esimerkiksi 0 on jaollinen kaikilla kokonaisluvuilla, sillä yhtälö 0 = 0 b on voimassa aina, kun b Z. Vastaavasti 1 jakaa jokaisen kokonaisluvun, sillä yhtälö a = a 1 on voimassa aina, kun a Z. Lauseeseen 1.4 on koottu jaollisuusrelaation ominaisuuksia, jotka on helppo todistaa suoraan määritelmän perusteella. Jones ja Jones [8, s. 4] todistavat lauseen kohdat (d) ja (e) ja esittävät kohdat (a), (b) ja (c) harjoitustehtävänä, johon he antavat myös ratkaisun [8, s. 251]. Lause 1.4 Olkoot a, b ja c kokonaislukuja. (a) Jos a b ja b c, niin a c. (b) Jos c 0, niin a b, jos ja vain jos ac bc. (c) Jos a b ja b 0, niin a b. (d) Jos a jakaa kokonaisluvut b 1,..., b n, niin a b 1 c 1 + + b n c n aina, kun c 1,..., c n ovat kokonaislukuja. (e) Jos ja vain jos a = ±b, niin a b ja b a. Kun kokonaisluku a on jaollinen kokonaisluvulla b, niin jakolaskun a/b tulos on jokin kokonaisluku q. Yleisemmin, kun jaetaan kokonaisluku a kokonaisluvulla b 0, niin saadaan tulokseksi vaillinainen osamäärä q ja jakojäännös r. Tätä luonnehtii seuraava lause. Lause 1.5 (jakoyhtälö) (vrt. [8, s. 2]). Oletetaan, että a ja b ovat kokonaislukuja ja että b > 0. Silloin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb + r ja 0 r < b. Jos d a ja d b, niin kokonaisluku d on kokonaislukujen a ja b yhteinen tekijä. Esimerkiksi 3 on lukujen 6 ja 15 yhteinen tekijä, sillä 3 6 ja 3 15. Yleisemmin kokonaisluku d on kokonaislukujen a 1,..., a n yhteinen tekijä, jos d a 1,..., d a n. Yhteinen tekijä on aina olemassa, sillä 1 jakaa jokaisen kokonaisluvun. Jos ainakin yksi kokonaisluvuista a 1,..., a n on nollasta eroava, niin lauseen 1.4 kohdan (c) perusteella näiden yhteinen tekijä on korkeintaan max{ a 1,..., a n }. Tällöin yhteisten tekijöiden joukossa on suurin alkio.

9 Määritelmä 1.7 (vrt. [9, s. 6]). Olkoot a 1,..., a n kokonaislukuja, joista ainakin yksi on nollasta eroava. Näiden lukujen suurin yhteinen tekijä on suurin kokonaisluku, joka jakaa jokaisen näistä luvuista. Tätä merkitään (a 1,..., a n ). Kun vastedes puhutaan kokonaislukujen a 1,..., a n suurimmasta yhteisestä tekijästä, niin oletetaan, että ainakin yksi näistä luvuista on nollasta eroava, vaikkei tätä aina erikseen mainita. Lause 1.6 (vrt. [8, s. 5] ja [10, s. 13]). Olkoot a ja b kokonaislukuja, joista ainakin toinen on nollasta eroava, ja olkoot c, q ja r kokonaislukuja. (a) Jos a = qb + r, niin (a, b) = (b, r). (b) On olemassa sellaiset kokonaisluvut u ja v, että (a, b) = au + bv. (c) Jos c a ja c b, niin c (a, b). Määritelmä 1.8 (vrt. [8, s. 10]). Kokonaisluvut a 1,..., a n ovat suhteellisia alkulukuja, jos (a 1,..., a n ) = 1. Kokonaisluvut a 1,..., a n ovat pareittain suhteellisia alkulukuja, jos (a i, a j ) = 1 aina, kun i j. Esimerkiksi (6, 10, 15) = 1, joten luvut 6, 10 ja 15 ovat suhteellisia alkulukuja, mutta ne eivät ole pareittain suhteellisia alkulukuja, sillä esimerkiksi (6, 10) = 2 1. Lause 1.7 (Eukleideen lemma) (vrt. [8, s. 11]). Olkoot a, b ja c kokonaislukuja. Jos (a, b) = 1 ja a bc, niin a c. Nathanson [12, s. 26] todistaa seuraavan lauseen muodossa jos..., niin. Todistus käänteiseen suuntaan on helppo. Apulause 1.8. Olkoot a, b 1,..., b n kokonaislukuja. Silloin (a, b 1 ) = = (a, b n ) = 1, jos ja vain jos (a, b 1 b n ) = 1. Todistus. Osoitetaan induktiolla, että jos (a, b 1 ) = = (a, b n ) = 1, niin (a, b 1 b n ) = 1. Väitös on ilmeisesti tosi, kun n = 1. Oletetaan, että (a, b 1 ) = = (a, b k+1 ) = 1 ja (a, b 1 b k ) = 1. Olkoon d = (a, b 1 b k+1 ). Koska d a ja (a, b 1 b k ) = 1, niin (d, b 1 b k ) = 1. Koska d b 1 b k b k+1, niin lauseen 1.7 perusteella d b k+1. Siis lauseen 1.6 kohdan (c) perusteella d (a, b k+1 ) = 1, joten d = 1. Induktioperiaatteen nojalla väitös on tosi aina, kun n 1. Oletetaan nyt, että (a, b 1 b n ) = 1. Olkoon d i = (a, b i ). Tällöin d i a ja d i b i. Koska b i b 1 b n, niin lauseen 1.4 kohdan (a) perusteella d i b 1 b n. Lauseen 1.6 kohdan (c) perusteella d i (a, b 1 b n ), joten d i = 1.

10 Apulause 1.9 (vrt. [13, s. 12] tai [8, s. 11]). Olkoot kokonaisluvut a 1,..., a n pareittain suhteellisia alkulukuja. Jos kokonaisluku b on jaollinen luvuilla a 1,..., a n, niin b on jaollinen näiden lukujen tulolla a 1 a n. Jos a c ja b c, niin kokonaisluku c on kokonaislukujen a ja b yhteinen jaettava. Esimerkiksi 12 on lukujen 4 ja 6 yhteinen jaettava, sillä 4 12 ja 6 12. Yleisemmin kokonaisluku c on kokonaislukujen a 1,..., a n yhteinen jaettava, jos a 1 c,..., a n c. Jos luvut a 1,..., a n ovat kaikki nollasta eroavia, on niillä positiivisia yhteisiä jaettavia, esimerkiksi a 1 a n. Tällöin niillä on myös pienin positiivinen yhteinen jaettava. Määritelmä 1.9 (vrt. [8, s. 12]). Olkoot a 1,..., a n nollasta eroavia kokonaislukuja. Näiden lukujen pienin yhteinen jaettava on pienin positiivinen kokonaisluku, joka on jaollinen jokaisella näistä luvuista. Tätä merkitään [a 1,..., a n ]. Jones ja Jones [8, s. 13] esittävät tehtävän, jossa apulause 1.10 on todistettava tapauksessa n = 2. Lauseen todistus on helppo laatia Jonesin ja Jonesin [8, s. 252] antaman ratkaisun pohjalta. Apulause 1.10. Olkoot a 1,..., a n nollasta eroavia kokonaislukuja. Kokonaisluku b on jaollinen luvuilla a 1,..., a n, jos ja vain jos b on jaollinen näiden lukujen pienimmällä yhteisellä jaettavalla [a 1,..., a n ]. Todistus. Olkoon c = [a 1,..., a n ]. Oletetaan ensin, että Luku b on jaollinen luvuilla a 1,..., a n. Jakoyhtälön (s. 8) perusteella on olemassa yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, joilla b = qc+r ja 0 r < c. Nyt lauseen 1.4 kohdan (d) perusteella luku r = b qc on jaollinen luvuilla a 1,..., a n, joten r on näiden lukujen yhteinen jaettava. Koska c on pienin yhteinen jaettava, niin on oltava r = 0. Tästä seuraa, että c b. Oletetaan nyt, että c b. Määritelmän 1.9 mukaan c on jaollinen luvuilla a 1,..., a n. Tällöin lauseen 1.4 kohdan (a) perusteella a 1 b,..., a n b. Apulauseista 1.9 ja 1.10 saadaan alla oleva seuraus, jonka Nevanlinna [13, s. 14] mainitsee ilman todistusta. Seuraus 1.11. Jos nollasta eroavat kokonaisluvut a 1,..., a n ovat pareittain suhteellisia alkulukuja, niin [a 1,..., a n ] = a 1 a n. Todistus. Olkoon c = [a,..., a k ] ja a = a 1 a n. Apulauseen 1.10 mukaan c a. Koska a 1 c,..., a n c, niin apulauseen 1.9 perusteella a c. Koska c 1, niin lauseen 1.4 kohdan (e) perusteella c = a. Määritelmä 1.10 (vrt. [8, s. 19]). Kokonaisluku p on alkuluku, jos p > 1 ja jos sen ainoat tekijät ovat ±1 ja ±p.

11 Tämän määritelmän perusteella pienin alkuluku on 2 ja kaikki muut alkuluvut (3, 5, 7, 11,...) ovat parittomia. Jos kokonaisluku a > 1 ei ole alkuluku, niin se on yhdistetty luku ja se voidaan lausua muodossa a = bc, missä 1 < b < a ja 1 < c < a. Jos p a, niin alkuluku p on kokonaisluvun a alkutekijä. Lause 1.12 (aritmetiikan peruslause) (vrt. [12, s. 26]). Jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää alkulukujen tulona. Tämä tulo on yksikäsitteinen tekijöiden järjestystä lukuun ottamatta. Edellisen lauseen mukaan kokonaisluku 1 esitetään tyhjänä tulona (= 1) ja kokonaisluvulla a > 1 on yksikäsitteinen kanoninen esitys a = p e 1 1 p en n, missä luvut p 1,..., p n ovat eri suuria alkulukuja ja luvut e 1,..., e n ovat positiivisia kokonaislukuja. 1.3 Kongruenssi ja Eulerin funktio Määritelmä 1.11 (vrt. [12, s. 45] ja [10, s. 16]). Olkoon m positiivinen kokonaisluku ja olkoot a ja b kokonaislukuja. Jos m a b, niin a on kongruentti luvun b kanssa modulo m. Tätä merkitään a b (mod m). Luku m on tämän kongruenssin moduli. Jos m a b, niin a on epäkongruentti luvun b kanssa modulo m. Tätä merkitään a b (mod m). Vastedes oletetaan, että kongruenssin moduli on aina positiivinen kokonaisluku, vaikkei tätä aina erikseen mainita. Apulause 1.13 (vrt. [8, s. 39]). Kongruenssi modulo m on ekvivalenssirelaatio. Toisin sanoen, kun a, b ja c ovat kokonaislukuja, niin (a) a a (mod m) (b) jos a b (mod m), niin b a (mod m) (c) jos a b (mod m) ja b c (mod m), niin a c (mod m).

12 Tämän perusteella kongruenssi modulo m osittaa joukon Z erillisiin ekvivalenssiluokkiin. Kokonaisluvun a määräämä ekvivalenssiluokka on (1.1) [a] = { b Z b a (mod m) } = {..., a 2m, a m, a, a + m, a + 2m,...} = { a + km k Z }. Joukkoa [a] sanotaan luvun a jäännösluokaksi modulo m. Kun halutaan korostaa, minkä modulin jäännösluokasta on kyse, niin merkitään [a] m. Ekvivalenssirelaation ominaisuuksista seuraa, että [a] = [b], jos ja vain jos a b (mod m). Yhtälöistä (1.1) nähdään, että jäännösluokat modulo m ovat [0], [1],..., [m 1]. Nämä muodostavat joukon, jota merkitään Z m. Kun kustakin jäännösluokasta modulo m valitaan täsmälleen yksi luku, niin saadaan täydellinen jäännössysteemi modulo m. Siis kokonaislukujoukko on täydellinen jäännössysteemi modulo m, jos ja vain jos lukuja on m kappaletta ja luvut ovat keskenään epäkongruentteja modulo m. Tämä tarkoittaa, että aina kun a ja b ovat kyseisen joukon kaksi eri lukua, niin a b (mod m). Täydellinen jäännössysteemi modulo m on esimerkiksi {0, 1,..., m 1} eli pienimmät ei-negatiiviset jäännökset modulo m. Olkoot [a] ja [b] joukon Z m alkioita eli jäännösluokkia modulo m. Määritellään näiden summa, erotus ja tulo seuraavasti [8, s. 40]: [a] + [b] = [a + b], [a] [b] = [a b], [a][b] = [ab]. Näin määritellyt laskutoimitukset eivät riipu jäännösluokkien [a] ja [b] edustajista a ja b, sillä on voimassa seuraava lause. Apulause 1.14 (vrt. [8, s. 41]). Jos a a (mod m) ja b b (mod m), niin a + b a + b a b a b a b ab (mod m), (mod m), (mod m). Apulauseen 1.14 perusteella kongruensseja voidaan käsitellä ja ratkaista samaan tapaan kuin yhtälöitä. Tässä tutkielmassa ei perehdytä kongruenssien ratkaisemiseen syvällisemmin, mutta seuraavaa, lineaarista kongruenssia koskevaa tulosta tullaan tarvitsemaan.

13 Lause 1.15 (vrt. [8, s. 47]). Oletetaan, että m on positiivinen kokonaisluku ja että d = (a, m). Lineaarisella kongruenssilla ax b (mod m) on ratkaisu, jos ja vain jos d b. Jos d b ja jos x 0 on jokin ratkaisu, niin yleinen ratkaisu on x = x 0 + mt d, missä t Z. Ratkaisut muodostavat d jäännösluokkaa, joiden edustajat ovat x 0, x 0 + m d, x 0 + 2m d,..., x 0 + (d 1)m. d Jones ja Jones [8, s. 44] esittävät seuraavan lauseen siten, että luvut m i ovat alkulukujen potensseja, siis m i = p e i i. Myös alla oleva todistus poikkeaa Jonesin ja Jonesin [8, s. 54] esittämästä. Lause 1.16. Oletetaan, että positiiviset kokonaisluvut m 1,..., m n ovat pareittain suhteellisia alkulukuja. Silloin a b (mod m 1 ),..., a b (mod m n ), jos ja vain jos a b (mod m 1 m n ). Todistus. Määritelmän 1.11 mukaan a b (mod m), jos ja vain jos m a b. Nyt apulauseen 1.10 perusteella m 1 a b,..., m n a b, jos ja vain jos [m 1,..., m n ] a b. Koska luvut m 1,..., m n ovat pareittain suhteellisia alkulukuja, niin seurauksen 1.11 mukaan [m 1,..., m n ] = m 1 m n. Jos b on jäännösluokan [a] m alkio, niin b = a + km jollain kokonaisluvulla k, jolloin lauseen 1.6 kohdan (a) mukaan (b, m) = (a, m). Jos siis (a, m) = 1, niin (b, m) = 1 aina, kun b [a] m. Tällöin sanotaan, että jäännösluokka [a] m on alkuluokka modulo m (vrt. [9, s. 23]). Määritelmä 1.12 (vrt. [12, s. 54]). Eulerin funktio ϕ(m) ilmoittaa alkuluokkien modulo m lukumäärän. Edellä todettiin, että jäännösluokat modulo m ovat [0], [1],..., [m 1]. Täten ϕ(m) ilmoittaa myös kuinka moni luvuista 0, 1,..., m 1 on modulin m kanssa suhteellinen alkuluku. Siis esimerkiksi ϕ(1) = 1, ϕ(2) = 1, ϕ(3) = 2, ϕ(4) = 2, ϕ(5) = 4 ja yleisesti ϕ(p) = p 1, kun p on alkuluku. Kokonaislukujoukko, joka sisältää täsmälleen yhden luvun kustakin alkuluokasta modulo m, on supistettu jäännössysteemi modulo m. Ilmeisesti kokonaislukujoukko on supistettu jäännössysteemi, jos ja vain jos lukuja on ϕ(m) kappaletta, ne ovat keskenään epäkongruentteja modulo m ja kukin niistä on modulin m kanssa suhteellinen alkuluku (vrt. [9, s. 24]).

14 Lause 1.17. Alkuluokat modulo m muodostavat kertolaskun suhteen Abelin ryhmän, jonka kertaluku on ϕ(m). Todistus (vrt. [9, s. 24]). On osoitettava, että kahden alkuluokan tulo on alkuluokka ja että alkuluokkien modulo m joukko toteuttaa määritelmän 1.2 ehdot G1, G2, G3 ja G4. Tätä varten oletetaan, että [a], [b] ja [c] ovat alkuluokkia modulo m eli että (a, m) = (b, m) = (c, m) = 1. Apulauseen 1.8 perusteella (ab, m) = 1, joten [ab] = [a][b] on alkuluokka. Kokonaislukujen kertolaskun liitännäisyydestä seuraa, että ([a][b])[c] = [ab][c] = [(ab)c] = [a(bc)] = [a][bc] = [a]([b][c]). Alkuluokka [1] on neutraalialkio, sillä [1][a] = [1 a] = [a] = [a 1] = [a][1]. Koska (a, m) = 1, niin lauseen 1.6 kohdan (b) perusteella on olemassa sellaiset kokonaisluvut u ja v, että au + mv = 1. Toisin sanoen au 1 (mod m) eli [a][u] = [1]. Myös [u] on alkuluokka, sillä yhtälöstä [a][u] = [1] seuraa, että au = 1 + qm jollain kokonaisluvulla q. Jos nyt d = (u, m), niin d u ja d m. Lauseen 1.4 kohdan (d) perusteella d au qm = 1, joten d = 1. Kokonaislukujen kertolaskun vaihdannaisuudesta seuraa, että Lause on näin todistettu. [a][b] = [ab] = [ba] = [b][a]. Lauseessa 1.17 mainittua ryhmää sanotaan alkuluokkaryhmäksi ja sitä merkitään U(m) (myös U m, Z m, U(Z/mZ) tai (Z/mZ) ). Edellä sanotun perusteella kokonaisluvut a 1, a 2,..., a ϕ(m) muodostavat supistetun jäännössysteemin modulo m, jos ja vain jos jäännösluokat [a 1 ], [a 2 ],..., [a ϕ(m) ] muodostavat alkuluokkaryhmän U(m). Lause 1.18 (Eulerin lause) (vrt. [12, s. 67]). Jos kokonaisluku a ja positiivinen kokonaisluku m ovat suhteellisia alkulukuja, niin a ϕ(m) 1 (mod m). Pykälässä 2.1 esitetään Eulerin lauseelle yksinkertainen todistus, joka perustuu Lagrangen lauseeseen (s. 6). Lause 1.19 (vrt. [8, s. 88]). Jos positiiviset kokonaisluvut m ja n ovat suhteellisia alkulukuja, niin ϕ(mn) = ϕ(m) ϕ(n).

15 Seuraus 1.20. Jos positiiviset kokonaisluvut m 1,..., m n ovat pareittain suhteellisia alkulukuja, niin ϕ(m 1 m n ) = ϕ(m 1 ) ϕ(m n ). Todistus. Todistetaan tämä induktiolla alaindeksin n suhteen. Väitös on ilmeisesti tosi, kun n = 1. Oletetaan, että väitös on tosi, kun n = k. Nyt apulauseen 1.8 perusteella (m 1 m k, m k+1 ) = 1, jolloin lauseen 1.19 ja induktiooletuksen perusteella ϕ(m 1 m k m k+1 ) = ϕ(m 1 ) ϕ(m k ) ϕ(m k+1 ). Induktioperiaatteen nojalla väitös on tosi aina, kun n 1. Lause 1.21 (vrt. [8, s. 89]). Jos kokonaisluvun m > 1 kanoninen esitys on m = p e 1 1 p e k k, niin ϕ(m) = k i=1 p e 1 1 i (p i 1) = m k i=1 (1 1pi ). Lauseen 1.21 avulla voidaan laskea funktion ϕ arvo, kun luvun m kanoninen esitys tunnetaan. Kun myöhemmin tarvitaan funktion ϕ arvoja, niin oletetaan, että ne on määritetty lauseen 1.21 antamalla menetelmällä, vaikkei tätä aina erikseen mainita. Apulause 1.22 (vrt. [2, s. 28]). Olkoon m positiivinen kokonaisluku. Jos m > 2, niin ϕ(m) on parillinen. Lause 1.23 (vrt. [8, s. 91]). Jos m on positiivinen kokonaisluku, niin ϕ(d) = m, d m missä d käy läpi luvun m kaikki positiiviset tekijät.

Luku 2 Primitiivisistä juurista 2.1 Kertaluku Olkoot k ja m positiivisia kokonaislukuja. Tarkastellaan binomikongruenssia (2.1) x k 1 (mod m). Jos kokonaisluku a on tämän kongruenssin juuri eli a k 1 (mod m), niin lineaarisella kongruenssilla ax 1 (mod m) on ratkaisu x = a k 1. Täten lauseen 1.15 mukaan (a, m) 1, joten on oltava (a, m) = 1. Siis kongruenssin (2.1) juuret ovat suhteellisia alkulukuja modulin m kanssa eli juuria vastaavat jäännösluokat ovat alkuluokkaryhmän U(m) alkioita. Jos (a, m) = 1, niin Eulerin lauseen (s. 14) mukaan a ϕ(m) 1 (mod m). Mutta kongruenssi a k 1 (mod m) saatta olla voimassa myös jollain positiivisella kokonaisluvulla k < ϕ(m). Jos esimerkiksi m = 15 ja a = 7, niin seuraavat kongruenssit modulo 15 ovat voimassa: 7 1 7, 7 2 7 7 = 49 4, 7 3 7 4 = 28 13, 7 4 7 13 = 91 1, 7 5 7 1 = 7. Jonoa on turha jatkaa pidemmälle, koska siinä ilmeisesti toistuu neljästä luvusta, 7, 4, 13 ja 1, koostuva jakso eli sykli. Koska ϕ(15) = (3 1)(5 1) = 8, niin Eulerin lauseen perusteella 7 8 1 (mod 15). Mutta äskeisten kongruenssien mukaan myös 7 4 1 (mod 15) ja 4 on samalla pienin positiivinen kokonaisluku, jolla 7 k 1 (mod 15). Tämä antaa aiheen seuraavaan määritelmään. 16

17 Määritelmä 2.1 (vrt. [1, s. 190]). Olkoot kokonaisluku a ja positiivinen kokonaisluku m suhteellisia alkulukuja. Kokonaisluvun a kertaluku modulo m on pienin positiivinen kokonaisluku k, jolla a k 1 (mod m). Tätä merkitään ord m a tai lyhyemmin ord a, jos moduli m on asiayhteydestä selvä. Nyt (a, m) = 1, jos ja vain jos jäännösluokka [a] on alkuluokka modulo m eli jos ja vain jos [a] on ryhmän U(m) alkio. Määritelmistä 2.1 ja 1.4 nähdään, että kokonaisluvun a kertaluku modulo m on oleellisesti sama, kuin alkion [a] kertaluku ryhmässä U(m). Jos siis jokin lause pätee äärellisen ryhmän G alkion kertaluvulle, niin se pätee ryhmän U(m) alkion [a] kertaluvulle ja siis myös kokonaisluvun a kertaluvulle modulo m. Näin ollen kannattaa kertalukua koskevat lauseet todistaa yleisemmässä, ryhmäteoreettisessa muodossaan, etenkin kun todistukset yleisessä tapauksessa eivät ole sen vaikeampia kuin erityistapauksissa. Seuraavaan lauseeseen on koottu joitain kertaluvun perusominaisuuksia. Lauseen kohdat (a), (b), (c) ja (d) sekä näiden todistukset ovat teoksesta [6, s. 72 73 ja s. 136], kohta (e) ja sen todistus on teoksesta [10, s. 85]. Lause 2.1. Olkoon a äärellisen ryhmän G alkio, olkoon k = ord a ja olkoot t ja u kokonaislukuja. Silloin (a) a t = a u, jos ja vain jos k t u (b) a t = 1, jos ja vain jos k t (c) a = {1, a, a 2,..., a k 1 } (d) k jakaa ryhmän kertaluvun G (e) ord a t = k/(k, t). Todistus. (a) Jos a t = a u, niin a t u = 1. Jakoyhtälön (s. 8) perusteella on olemassa sellaiset kokonaisluvut q ja r, että t u = qk+r ja 0 r < k. Tällöin 1 = a t u = a qk+r = (a k ) q a r = a r. Luvun k minimaalisuuden perusteella r = 0, joten k t u. Kääntäen, jos k t u, niin on olemassa kokonaisluku q, jolla t u = qk. Siis a t u = a qk = (a k ) q = 1, joten a t = a u. (b) Seuraa kohdasta (a), kun u = 0. (c) Alkiot 1, a, a 2,..., a k 1 ovat kaikki eri suuria. Jos nimittäin olisi a i = a j ja 0 i < j k 1, niin olisi a j i = 1 ja 1 j i < k. Tämä on ristiriidassa sen kanssa, että ord a = k. Olkoon nyt a i ryhmän a alkio. Jakoyhtälön (s. 8) perusteella on olemassa sellaiset kokonaisluvut q ja r, että i = qk + r ja 0 r < k. Siis a i = a qk+r = (a k ) q a r = a r, joten a i on jokin alkioista 1, a, a 2,..., a k 1.

18 (d) Lauseen 1.1 mukaan a on ryhmän G aliryhmä. Kohdan (c) perusteella a = k, joten Lagrangen lauseen (s. 6) perusteella k G. (e) Olkoon d = (k, t), jolloin on olemassa sellaiset kokonaisluvut k ja t, että k = k d ja t = t d. Kohdan (b) perusteella (a t ) e = 1, jos ja vain jos k te. Lauseen 1.4 kohdan (b) perusteella k te, jos ja vain jos k t e. Koska (k, t ) = 1, niin Eukleideen lemman (s. 9) perusteella k e. Pienin tällainen positiivinen luku e on k = k/(k, t). Edellisellä sivulla sanotun perusteella lauseessa 2.1 mainitut ominaisuudet ovat voimassa myös kokonaisluvun kertaluvulle modulo m. Tosin kokonaisluvun eksponentit on rajattava luonnollisiin lukuihin 1, sillä a t ei ole kokonaisluku, kun t < 0 ja a ±1. Seuraus 2.2 (vrt. [1, s. 191] ja [2, s. 204]). Olkoot kokonaisluku a ja positiivinen kokonaisluku m suhteellisia alkulukuja, olkoon k = ord m a ja olkoot t ja u luonnollisia lukuja. Silloin (a) a t a u (mod m), jos ja vain jos t u (mod k) (b) a t 1 (mod m), jos ja vain jos t 0 (mod k) (c) luvut 1, a, a 2,..., a k 1 ovat keskenään epäkongruentteja modulo m (d) k jakaa luvun ϕ(m) (e) ord m a t = k/(k, t). Lauseesta 2.1 saadaan helposti muitakin seurauksia. Kohdasta (c) nähdään, että alkion a kertaluku on yhtä suuri kuin alkion virittämän syklisen ryhmän a kertaluku. Toisinaan määritelläänkin, että ord a = a. Edelleen voidaan päätellä, että kokonaisluvun a kertaluku modulo m on yhtä suuri kuin alkion [a] U(m) virittämän syklisen ryhmän kertaluku. Lauseen 2.1 kohdasta (d) seuraa, että a G = 1 aina, kun a G. Sillä ord a G tarkoittaa, että G = q ord a jollain kokonaisluvulla q, jolloin a G = (a ord a ) q = 1. Ryhmään U(m) sovellettuna tämä tarkoittaa, että jos [a] U(m) eli (a, m) = 1, niin [a] ϕ(m) = [1] eli a ϕ(m) 1 (mod m). Mutta tämähän on Eulerin lause (ks. s. 14), joka näin osoittautui lauseen 2.1 yksinkertaisen seurauksen erityistapaukseksi. Jos G = a eli jos G on syklinen ryhmä, jonka virittäjä on a, niin ord a = G. Toisaalta, jos a G ja ord a = G, niin lauseen 2.1 kohdan (c) perusteella a = G. Siis ryhmä G on syklinen, jos ja vain jos ryhmässä on alkio, jonka kertaluku on yhtä suuri kuin ryhmän kertaluku. Edelleen 1 Luonnollisten lukujen joukko N = {0, 1, 2, 3,...}.

19 lauseen 2.1 kohdan (e) perusteella nähdään, että syklisen ryhmän G virittäjiä ovat ne alkiot a t G, joilla ( G, t) = 1. Näitä on siis ϕ( G ) kappaletta. Nevanlinna [13, s. 35] todistaa seuraavan lauseen kokonaislukujen kertaluvuille modulo m, mutta tässä se on yleistetty Abelin ryhmän alkioiden kertaluvuille. Lause 2.3. Oletetaan, että G on Abelin ryhmä ja että a i G ja ord a i = k i, kun 1 i n. Jos (k i, k j ) = 1, kun i j, niin ord(a 1 a n ) = k 1 k n. Todistus. Olkoon a = a 1 a n ja k = k 1 k n. Olkoon h sellainen positiivinen kokonaisluku, että a h = 1. Tällöin 1 = (a h ) k/k i = (a k/k i ) h = (a k/k i i ) h = a hk/k i i, sillä a k/k i j = 1, kun i j. Koska ord a i = k i, niin k i hk/k i. Apulauseen 1.8 perusteella (k i, k/k i ) = 1, jolloin Eukleideen lemmasta (s. 9) seuraa, että k i h, kun 1 i n. Koska luvut k 1,..., k n ovat pareittain suhteellisia alkulukuja, niin apulauseen 1.9 perusteella k h. Toisaalta a k = 1, joten on oltava ord a = k. Valitettavasti mitään tehokasta menetelmää kertaluvun modulo m laskemiseksi ei ole olemassa. Yksinkertaisin keino on laskea potensseja a, a 2, a 3,..., kunnes jokin niistä on kongruentti luvun 1 kanssa modulo m. Seurauksen 2.2 kohdan (d) perusteella ord m a on luvun ϕ(m) tekijä. Riittää siis kokeilla, onko a k 1 (mod m), kun k ϕ(m). Tosin tätä varten luvut m ja ϕ(m) on jaettava alkutekijöihinsä, mikä voi olla työlästä, kun luvut ovat suuria. Kokeiltavien potenssien a k lukumäärää voidaan edelleen rajoittaa lauseeseen 2.4 perustuvalla algoritmilla. Tämä lause on helppo yleistys Jonesin ja Jonesin [8, s. 100] todistamasta lauseesta. Lause 2.4. Oletetaan, että (a, m) = 1 ja että t on positiivinen kokonaisluku, jolla a t 1 (mod m). Kokonaisluvun a kertaluku modulo m on t, jos ja vain jos a t/p 1 (mod m) jokaisella alkuluvulla p, joka jakaa luvun t. Todistus. Oletuksen mukaan ord m a t. Jos ord m a = t, niin a i 1 (mod m) aina, kun 1 i t 1. Tämä pätee erityisesti luvuille i = t/p, missä p on luvun t alkutekijä. Jos ord m a = k < t, niin seurauksen 2.2 kohdan (b) perusteella k t. Olkoon p luvun t/k alkutekijä. Siis t/k = np eli t/p = nk. Täten a t/p = a nk = (a k ) n 1 (mod m).

20 Algoritmi kokonaisluvun a kertaluvun modulo m laskemiseksi on seuraava (vrt. [14, s. 70]): 1. Asetetaan k := ϕ(m), jolloin Eulerin lauseen (s. 14) perusteella a k 1 (mod m). 2. Testataan luvun k kullakin alkutekijällä p, onko a k/p 1 (mod m). Jos a k/p 1 (mod m), niin asetetaan k := k/p ja jatketaan kohdasta 2. 3. Jos a k/p 1 (mod m) luvun k jokaisella alkutekijällä p, niin lauseen 2.4 perusteella ord m a = k. Määritetään tällä algoritmilla esimerkiksi luvun 2 kertaluku modulo 43. Koska (2, 43) = 1, niin ord 43 2 on olemassa. Koska ϕ(43) = 43 1 = 42 = 2 3 7, niin on testattava, onko jokin luvuista 2 42/7 = 2 6, 2 42/3 = 2 14 ja 2 42/2 = 2 21 kongruentti luvun 1 kanssa modulo 43. Nyt mutta 2 6 = 64 21 1 (mod 43), 2 14 = (2 6 2) 2 (21 2) 2 42 2 ( 1) 2 = 1 (mod 43). Koska 14 = 2 7, niin on testattava, onko jompikumpi luvuista 2 14/7 = 2 2 = 4 ja 2 14/2 = 2 7 kongruentti luvun 1 kanssa modulo 43. Selvästi 4 1 (mod 43), ja koska 2 7 42 1 (mod 43), niin lauseen 2.4 perusteella ord 43 2 = 14. 2.2 Primitiiviset juuret Jos (a, m) = 1, niin Eulerin lauseen (s. 14) perusteella kokonaisluku a on binomikongruenssin (2.2) x ϕ(m) 1 (mod m) juuri. Myös a k on juuri, kun k on luonnollinen luku, sillä (a k ) ϕ(m) = (a ϕ(m) ) k 1 k = 1 (mod m). Jos nyt ord m a = ϕ(m), niin juuret 1, a, a 2,..., a ϕ(m) 1 ovat seurauksen 2.2 kohdan (c) perusteella keskenään epäkongruentteja modulo m. Näitä on ϕ(m) kappaletta ja kukin niistä on apulauseen 1.8 perusteella modulin m kanssa suhteellinen alkuluku, joten ne muodostavat supistetun jäännössysteemin modulo m (ks. s. 13).

21 Toisaalta, jos kokonaisluku b on kongruenssin (2.2) juuri, niin lineaarisella kongruenssilla bx 1 (mod m) on ratkaisu x = b ϕ(m) 1. Lauseen 1.15 perusteella (b, m) 1, joten on oltava (b, m) = 1. Täten b on kongruentti jonkin luvuista 1, a, a 2,..., a ϕ(m) 1 kanssa modulo m. Kongruenssin (2.2) kaikki juuret ovat siis yhden juuren potensseja. Tämän perusteella voidaan esittää seuraava määritelmä. Määritelmä 2.2 (vrt. [2, s. 204]). Jos kokonaisluvun a kertaluku modulo m on ϕ(m), niin a on primitiivinen juuri modulo m. Primitiivisellä juurella on tärkeä algebrallinen tulkinta. Jos kokonaisluku a on primitiivinen juuri modulo m, niin edellä osoitetun perusteella luvut 1, a, a 2,..., a ϕ(m) 1 muodostavat supistetun jäännnössysteemin modulo m. Täten näitä lukuja vastaavat jäännösluokat modulo m muodostavat alkuluokkaryhmän U(m), joka tässä tapauksessa on syklinen ja jonka virittäjä on [a]. Kääntäen, jos U(m) = [a], niin lauseen 2.1 kohdan (c) perusteella luvut 1, a, a 2,..., a ϕ(m) 1 muodostavat supistetun jäännössysteemin modulo m. Tällöin a ϕ(m) 1 (mod m) ja a k 1 (mod m), kun 1 k < ϕ(m); toisin sanoen a on primitiviivinen juuri modulo m. Primitiiviset juuret modulo m ja ryhmän U(m) virittäjät vastaavat siis toisiaan. Vaihtoehtoisesti voitaisiinkin määritellä, että primitiivinen juuri on ryhmän U(m) virittäjä, jolloin primitiivisen juuren käsite voitaisiin periaatteessa ulottaa kaikkiin äärellisiin Abelin ryhmiin. Edellä sanotun perusteella on todistettu seuraava lause: Lause 2.5 (vrt. [2, s. 205]). Olkoon (a, m) = 1. Kokonaisluku a on primitiivinen juuri modulo m, jos ja vain jos U(m) = [a]. Toisin sanoen, jos ja vain jos luvut 1, a, a 2,..., a ϕ(m) 1 muodostavat supistetun jäännössysteemin modulo m. Esimerkiksi ryhmä U(10) = {[1], [3], [7], [9]} on syklinen. Koska 3 1 3 (mod 10), 3 2 9 (mod 10), 3 3 7 (mod 10), 3 4 1 (mod 10), niin ord 10 3 = 4 = ϕ(10). Siis 3 on primitiivinen juuri modulo 10 ja U(10) = [3]. Ryhmä U(m) ei silti aina ole syklinen. Esimerkkinä olkoon U(12) = {[1], [5], [7], [11]}. Nyt ϕ(12) = 4, mutta 1 2 5 2 7 2 11 2 1 (mod 12),

22 joten ei ole olemassa primitiivistä juurta modulo 12. Milloin sitten ryhmä U(m) on syklinen eli millä modulin m arvoilla primitiivisiä juuria on olemassa? Tähän kysymykseen palataan lähemmin pykälässä 3.1, jossa osoitetaan, että ryhmä U(m) on syklinen, jos ja vain jos m = 1, 2, 4, p e tai 2p e, missä p on pariton alkuluku ja e on positiivinen kokonaisluku. Kun primitiivisiä juuria on olemassa, niin mitkä ne ovat ja miten ne löydetään? Jos tunnetaan yksi primitiivinen juuri niin kaikkien muiden primitiivisten juurten määrittäminen on suhteellisen helppoa, kuten seuraava lause osoittaa. Lause 2.6. Jos g on primitiivinen juuri modulo m, niin keskenään epäkongruentit primitiiviset juuret modulo m ovat joukon S = { g n 0 n ϕ(m) 1 ja ( n, ϕ(m) ) = 1 } alkiot. Näitä on ϕ ( ϕ(m) ) kappaletta. Todistus (vrt. [2, s. 212]). Nyt ord m g = ϕ(m), joten seurauksen 2.2 kohdan (c) perusteella joukon S alkiot ovat keskenään epäkongruentteja modulo m. Edelleen seurauksen 2.2 kohdan (e) nojalla ord m g n = ϕ(m), jos ja vain jos (n, ϕ(m)) = 1. Täten joukon S jokainen alkio on primitiivinen juuri modulo m. Olkoon a primitiivinen juuri modulo m. Koska myös g on primitiivinen juuri modulo m, niin lauseen 2.5 perusteella on olemassa sellainen kokonaisluku n, että a g n (mod m) ja 0 n ϕ(m) 1. Tällöin ord m g n = ord m a = ϕ(m), joten on oltava (n, ϕ(m)) = 1. Siis jokainen primitiivinen juuri modulo m on kongruentti joukon S jonkin alkion kanssa. Koska ϕ(ϕ(m)) ilmoittaa kuinka moni luvuista 0, 1, 2,..., ϕ(m) 1 on suhteellinen alkuluku luvun ϕ(m) kanssa, niin joukossa S on ϕ(ϕ(m)) alkiota. Yleisesti ottaen primitiivisen juuren modulo m määrittäminen ei ole triviaali tehtävä eikä siihen tunneta mitään yksinkertaista menetelmää. Käytännössä on testattava supistettuun jäännössysteemiin modulo m kuuluvilla luvuilla a, onko ord m a = ϕ(m). Jos näin on, niin a on primitiivinen juuri modulo m. Mutta kuten edellisessä pykälässä todettiin, kertaluvun modulo m laskeminen voi olla työlästä, kun m on suuri. Primitiivistä juurta voidaan etsiä lauseen 2.4 avulla. Määritetään esimerkiksi primitiivinen juuri modulo 43. Koska 43 on alkuluku, niin edellä esitetyn huomautuksen mukaan primitiivinen juuri on olemassa. Sivulla 20 osoitettiin, että ord 43 2 = 14 ϕ(43) = 42, joten 2 ei ole primitiivinen juuri modulo 43.

23 Koska (3, 43) = 1, niin 3 saattaa olla primitiivinen juuri modulo 43. Koska ϕ(43) = 42 = 2 3 7, niin on testattava, onko jokin luvuista 3 42/7 = 3 6, 3 42/3 = 3 14 ja 3 42/2 = 3 21 kongruentti luvun 1 kanssa modulo 43. Nyt 3 6 = 729 41 2 1 (mod 43), 3 14 = (3 6 3) 2 ( 2 3) 2 = ( 6) 2 = 36 7 1 (mod 43), 3 21 = 3 14 3 7 ( 7)( 6) = 42 1 (mod 43), joten lauseen 2.4 mukaan ord 43 3 = 42 = ϕ(43). Siis 3 on primitiivinen juuri modulo 43. Kuten todettiin, primitiivinen juuri modulo m on olemassa vain, kun m = 1, 2, 4, p e tai 2p e. On ilmeistä, että 1 on primitiivinen juuri modulo 1 ja modulo 2 ja että 3 on primitiivinen juuri modulo 4. Pykälässä 3.1 osoitetaan, että primitiivinen juuri modulo p e tai modulo 2p e löydetään helposti primitiivisen juuren modulo p avulla. Riittää siis, että tunnetaan yksi primitiivinen juuri kullakin alkulukumodulilla p. Laskujen kannalta on kätevintä, jos tämä primitiivinen juuri on itseisarvoltaan mahdollisimman pieni. Olkoon g(p) pienin positiivinen primitiivinen juuri modulo p. Taulukkoon 2.1 (s. 24) on laskettu tietokoneohjelmalla (MuPAD) funktion g(p) arvot, kun 2 p 1069. Avoimia kysymyksiä Vaikka tiedetään täsmällisesti millä modulin m arvoilla primitiivisiä juuria on olemassa ja miten ne löydetään, niin primitiivisiin juuriin liittyy silti monia kysymyksiä, joihin ei vielä osata vastata. Esimerkiksi mitä suuruusluokkaa funktio g(p) eli pienin positiivinen primitiivinen juuri modulo p enintään on? Toistaiseksi paras arvio on g(p) = O(p 1/4+ε ), missä ε on mielivaltainen positiivinen reaaliluku ([3], Elliottin ja Muratan [4] mukaan). Otaksutaan, että arvio g(p) = O(p ε ) pitäisi paikkansa, mutta tätä ei ole vielä todistettu. Taulukon 2.1 perusteella näyttää siltä, että 2 tai 3 on varsin usein primitiivinen juuri modulo p. Ei kuitenkaan tiedetä täsmälisesti, milloin 2 on primitiivinen juuri modulo p, tai edes sitä, onko näin äärettömän monella alkuluvulla p. Vuonna 1927 Emil Artin yleisti tätä kysymystä ja esitti seuraavan otaksuman (Ram Murtyn [11] mukaan): Artinin otaksuma. Jos a on kokonaisluku, joka ei ole neliö eikä ±1, niin a on primitiivinen juuri modulo p äärettömän monella alkuluvulla p. Ne perustelut, joilla Artin päätyi otaksumaansa, edellyttävät syvällisempää algebran teoriaa kuin mitä tämän tutkielman yhteydessä on mahdollista

24 Taulukko 2.1: Pienin positiivinen primitiivinen juuri modulo p. p g(p) p g(p) p g(p) p g(p) p g(p) p g(p) 2 1 127 3 283 3 467 2 661 2 877 2 3 2 131 2 293 2 479 13 673 5 881 3 5 2 137 3 307 5 487 3 677 2 883 2 7 3 139 2 311 17 491 2 683 5 887 5 11 2 149 2 313 10 499 7 691 3 907 2 13 2 151 6 317 2 503 5 701 2 911 17 17 3 157 5 331 3 509 2 709 2 919 7 19 2 163 2 337 10 521 3 719 11 929 3 23 5 167 5 347 2 523 2 727 5 937 5 29 2 173 2 349 2 541 2 733 6 941 2 31 3 179 2 353 3 547 2 739 3 947 2 37 2 181 2 359 7 557 2 743 5 953 3 41 6 191 19 367 6 563 2 751 3 967 5 43 3 193 5 373 2 569 3 757 2 971 6 47 5 197 2 379 2 571 3 761 6 977 3 53 2 199 3 383 5 577 5 769 11 983 5 59 2 211 2 389 2 587 2 773 2 991 6 61 2 223 3 397 5 593 3 787 2 997 7 67 2 227 2 401 3 599 7 797 2 1009 11 71 7 229 6 409 21 601 7 809 3 1013 3 73 5 233 3 419 2 607 3 811 3 1019 2 79 3 239 7 421 2 613 2 821 2 1021 10 83 2 241 7 431 7 617 3 823 3 1031 14 89 3 251 6 433 5 619 2 827 2 1033 5 97 5 257 3 439 15 631 3 829 2 1039 3 101 2 263 5 443 2 641 3 839 11 1049 3 103 5 269 2 449 3 643 11 853 2 1051 7 107 2 271 6 457 13 647 5 857 3 1061 2 109 6 277 5 461 2 653 2 859 2 1063 3 113 3 281 3 463 3 659 2 863 5 1069 6

25 esittää. Otaksumassa mainitut rajoitukset on kuitenkin helppo perustella. Ilmeisesti 1 on primitiivinen juuri modulo p vain, kun p = 2. Koska ( 1) 2 = 1, niin 1 ei ole primitiivinen juuri modulo p, kun ϕ(p) = p 1 > 2 eli kun p > 3. Olkoon a kokonaisluvun x neliö eli a = x 2. Jos p x, niin p a, jolloin (a, p) = p 1. Siis a ei voi olla primitiivinen juuri modulo p. Jos taas p x, niin Eulerin lauseen (s. 14) perusteella x p 1 1 (mod p). Tällöin a (p 1)/2 = (x 2 ) (p 1)/2 = x p 1 1 (mod p), joten a ei ole primitiivinen juuri modulo p. D. R. Heath-Brown [7] on osoittanut, että on enintään kaksi alkulukua, jotka eivät toteuta Artinin otaksumaa. Siis ainakin yksi luvuista 2, 3, 5 on primitiivinen juuri modulo p äärettömän monella alkuluvulla p, mutta ei tiedetä mikä niistä. 2.3 Indeksit Primitiivisen juuren hyödyllisyys perustuu nimenomaan siihen, että supistetun jäännössysteemin jokainen luku (tai ryhmän U(m) jokainen alkio) voidaan lausua primitiivisen juuren potenssina. Jos g on primitiivinen juuri modulo m, niin luvut 1, g, g 2,..., g ϕ(m) 1 muodostavat supistetun jäännössysteemin modulo m. Jos siis (a, m) = 1, niin on olemassa sellainen yksikäsitteinen kokonaisluku i {0, 1, 2,..., ϕ(m) 1}, että a g i (mod m). Tällöin lukujen kertolasku palautuu eksponenttien yhteenlaskuksi: jos (a, m) = (b, m) = 1, niin ab g i g j = g i+j (mod m), missä 0 i, j ϕ(m) 1. Näille eksponenteille on oma nimityksensä. Määritelmä 2.3 (vrt. [2, s. 213] ja [9, s. 34]). Olkoon g primitiivinen juuri modulo m ja olkoon (a, m) = 1. Kokonaisluku i, joka täyttää ehdot a g i (mod m) ja 0 i ϕ(m) 1, on kokonaisluvun a indeksi modulo m kantaluvun g suhteen. Merkitään i = ind g a tai lyhyemmin i = ind a, jos kantaluku on asiayhteydestä selvä. Kuvaus ind g : { a Z (a, m) = 1 } {0, 1, 2,..., ϕ(m) 1} on analoginen logaritmifunktion kanssa, ja sitä kutsutaankin joskus diskreetiksi logaritmiksi (engl. dicrete logarithm). Tämä samankaltaisuus ilmenee myös indeksien ominaisuuksista, joita on koottu lauseeseen 2.7. Anderson ja Bell [1, s. 205] sekä Apostol [2, s. 214] esittävät lauseessa 2.7 mainitut ominaisuudet ilman todistusta. Jutila [9, s. 34] todistaa ominaisuudet (b) ja (c) tapauksessa, jossa moduli m on alkuluku.

26 Lause 2.7. Jos g ja h ovat primitiivisiä juuria modulo m ja jos (a, m) = 1 ja (b, m) = 1, niin (a) a b (mod m), jos ja vain jos ind a ind b (mod ϕ(m)) (b) ind(ab) ind a + ind b (mod ϕ(m)) (c) ind a n n ind a (mod ϕ(m)), kun n N (d) ind( 1) = ϕ(m)/2, jos m > 2 (e) ind h a ind g a ind h g (mod ϕ(m)). Todistus. (a) Koska ord m g = ϕ(m), niin seurauksen 2.2 kohdan (a) perusteella a b (mod m) eli g ind a g ind b (mod m), jos ja vain jos ind a ind b (mod ϕ(m)). (b) Koska g ind ab ab g ind a g ind b = g ind a+ind b (mod m), niin väitös seuraa seurauksen 2.2 kohdasta (a). (c) Väitös on tosi, kun n = 0, sillä määritelmän 2.3 mukaan ind a 0 = ind 1 = 0 = 0 ind a. Oletetaan, että väitös on tosi, kun n = k. Kohdan (b) ja induktio-oletuksen perusteella ind a k+1 = ind(a k a) k ind a + ind a = (k + 1) ind a (mod ϕ(m)). Induktioperiaatteen nojalla väitös on tosi aina, kun n 0. (d) Kohdan (c) perusteella ind( 1) 2 2 ind( 1) (mod ϕ(m)). Toisaalta määritelmän 2.3 perusteella ind( 1) 2 = ind 1 = 0, joten (2.3) 2 ind( 1) 0 (mod ϕ(m)). Jos nyt m > 2, niin apulauseen 1.22 nojalla (2, ϕ(m)) = 2. Tällöin kongruenssilla (2.3) on lauseen 1.15 perusteella kaksi keskenään epäkongruenttia ratkaisua: ind( 1) = 0 ja ind( 1) = ϕ(m)/2. Koska 1 1 (mod m), kun m > 2, niin kohdan (a) perusteella ind( 1) ind 1 = 0 (mod ϕ(m)). Siis on oltava ind( 1) = ϕ(m)/2. (e) Koska h ind h a a g indg a (h ind h g ) indg a = h ind h g ind g a (mod m), niin väitös seuraa seurauksen 2.2 kohdasta (a).

27 Indeksien avulla voidaan ratkaista lineaarisia kongruensseja, binomikongruensseja sekä muotoa a x b (mod m) olevia eksponentiaalisia kongruensseja. Edellytyksenä on, että kyseisen kongruenssin modulilla on olemassa primitiivinen juuri ja että kongruenssin jokainen kerroin on modulin kanssa suhteellinen alkuluku. Yleisessä tapauksessa kongruenssin modulilla m on kanoninen esitys m = p e 1 1 p en n, jolloin lauseen 1.16 mukaan kongruenssi modulo m on ratkeava, jos ja vain jos vastaavat kongruenssit modulo p e i i ovat kaikki ratkeavia. Kongruenssi modulo p e voidaan yleensä ratkaista vastaavan kongruenssin modulo p avulla (ks. esim. [8, s. 78 81]) ja tähän voidaan soveltaa indeksejä. Kongruenssien modulo p ratkaisemista varten on tehty valmiita indeksitaulukoita, joihin on laskettu supistetun jäännössysteemin modulo p kutakin lukua a vastaava indeksin arvo ind g a. Tässä g on yleensä pienin positiivinen primitiivinen juuri modulo p. Sivulla 22 osoitettiin, että 3 on primitiivinen juuri modulo 43, jolloin voidaan tehdä taulukko 2.2. Taulukko 2.2: Indeksit modulo 43 kannan 3 suhteen. a ind a a ind a a ind a a ind a a ind a a ind a 1 42 8 39 15 26 22 15 29 41 36 14 2 27 9 2 16 24 23 16 30 11 37 7 3 1 10 10 17 38 24 40 31 34 38 4 4 12 11 30 18 29 25 8 32 9 39 33 5 25 12 13 19 19 26 17 33 31 40 22 6 28 13 32 20 37 27 3 34 23 41 6 7 35 14 20 21 36 28 5 35 18 42 21 Ratkaistaan taulukon 2.2 avulla seuraavat kongruenssit modulo 43: (a) 7x 3, (b) x 10 13, (c) 5 x 22. (a) Lauseen 1.15 perusteella kongruenssilla 7x 3 (mod 43) on yksikäsitteinen ratkaisu, sillä (7, 43) = 1. Taulukon 2.2 mukaan ind 3 7 = 35 ja ind 3 3 = 1. Täten lauseen 2.7 perusteella 7x 3 (mod 43), jos ja vain jos 35 + ind 3 x 1 (mod ϕ(43)). Siis ind 3 x 34 8 (mod 42), joten taulukon 2.2 mukaan x 25 (mod 43). (b) Taulukon 2.2 mukaan ind 3 13 = 32. Täten lauseen 2.7 perusteella x 10 13 (mod 43), jos ja vain jos 10 ind 3 x 32 (mod 42).

28 Koska (10, 42) = 2 jakaa luvun 32, niin tämä kongruenssi on lauseen 1.15 perusteella ratkeava. Koska 32 10 (mod 42), niin selvästi ind 3 x = 1 on eräs ratkaisu, jolloin lauseen 1.15 perusteella ratkaisut ovat ind 3 x = 1 41 (mod 42) ja ind 3 x = 20. Taulukosta 2.2 nähdään, että x 29 (mod 43) tai x 14 (mod 43). (c) Taulukon 2.2 mukaan ind 3 5 = 25 ja ind 3 22 = 15. Täten lauseen 2.7 perusteella 5 x 22 (mod 43), jos ja vain jos 25x 15 (mod 42). Koska (25, 42) = 1, niin lauseen 1.15 mukaan tällä kongruenssilla on ratkaisu ja se on yksikäsitteinen. Koska 15 15 + 5 42 = 225 (mod 42), niin nähdään, että ratkaisu on x 9 (mod 42). Ratkaisun moduli on tässä eri kuin alkuperäisessä kongruenssissa, koska kongruenssi on eksponentiaalista muotoa.

Luku 3 Alkuluokkaryhmien rakenteesta 3.1 Milloin alkuluokkaryhmä on syklinen? Lauseen 2.5 mukaan ryhmä U(m) on syklinen, jos ja vain jos on olemassa primitiivinen juuri modulo m. Näin ollen, kun tutkitaan ryhmän U(m) syklisyyttä, voidaan tarkastelut suorittaa vaihtoehtoisesti joko alkioilla [a] U(m) tai kokonaisluvuilla a, joilla (a, m) = 1. Luonnollisesti näin voidaan tehdä muissakin ryhmää U(m) koskevissa tarkasteluissa, sillä [a] U(m) täsmälleen silloin, kun (a, m) = 1. Lause 3.1 (vrt. [8, s. 108]). Ryhmä U(m) on syklinen, jos ja vain jos m = 1, 2, 4, p e tai 2p e, missä p on pariton alkuluku ja e on positiivinen kokonaisluku. Koska tämän lauseen todistus on pitkä, niin se paloitellaan osiin, jotka esitetään erillisinä lauseina. Osoitetaan ensin, että ryhmä U(p) on syklinen, kun p on alkuluku. Tämä on kahden seuraavan lauseen seuraus. Lause 3.2. Olkoon p alkuluku ja olkoon f(x) = a d x d + + a 1 x + a 0 kokonaislukukertoiminen polynomi, jonka kertoimista ainakin yksi ei ole jaollinen luvulla p. Silloin kongruenssilla (3.1) f(x) 0 (mod p) on korkeintaan d keskenään epäkongruenttia juurta. Todistus (vrt. [8, s. 66]). Todistetaan väitös induktiolla eksponentin d suhteen. Jos d = 0, niin f(x) = a 0 0 (mod p), joten kongruenssilla (3.1) ei ole juuria. Oletetaan seuraavaksi, että d 1 ja että väitös on tosi niillä korkeintaan astetta d 1 olevilla polynomeilla, jotka täyttävät lauseen oletukset. 29

30 Jos kongruenssilla (3.1) ei ole juuria, niin juuria on korkeintaan d. Oletetaan siis, että kokonaisluku a on juuri eli että f(a) 0 (mod p). Nyt f(x) f(a) = d a i x i i=0 d d a i a i = a i (x i a i ) = i=0 i=0 d (x a)(x i 1 + ax i 2 + + a i 2 x + a i 1 ), i=0 joten f(x) f(a) = (x a)g(x), missä g(x) on korkeintaan astetta d 1 oleva kokonaislukukertoiminen polynomi. Polynomin g(x) kaikki kertoimet eivät voi olla jaollisia lvulla p, koska tällöin lauseen 1.4 kohdan (d) perusteella p jakaisi polynomin f(x) = f(a)+(x a)g(x) kaikki kertoimet, mikä on vastoin oletusta. Jos myös b a on kongruenssin (3.1) juuri, niin f(b) (b a)g(b) 0 (mod p) eli p (b a)g(b). Koska p b a, niin on oltava (p, b a) = 1, jolloin Eukleideen lemman (s. 9) nojalla p g(b) eli g(b) 0 (mod p). Siis kongruenssin (3.1) juuren a kanssa epäkongruentit juuret ovat myös kongruenssin g(x) 0 (mod p) juuria. Induktio-oletuksen nojalla kongruenssilla g(x) 0 (mod p) on korkeintaan d 1 keskenään epäkongruenttia juurta, joten kongruenssilla (3.1) on korkeintaan 1 + d 1 = d keskenään epäkongruenttia juurta. Lause 3.3. Olkoon p alkuluku. Ryhmässä U(p) on luvun p 1 kutakin positiivista tekijää d kohti ϕ(d) alkiota, joiden kertaluku on d. Todistus (vrt. [8, s. 102]). Olkoon ψ(d) ryhmän U(p) kertalukua d olevien alkioiden lukumäärä. Koska ryhmän U(p) jokaisella alkioilla on yksikäsitteinen kertaluku, joka lauseen 2.1 kohdan (d) perusteella jakaa ryhmän kertaluvun ϕ(p) = p 1, niin ψ(d) = p 1. d p 1 Toisaalta lauseen 1.23 mukaan d p 1 ϕ(d) = p 1, joten (3.2) ( ) ϕ(d) ψ(d) = 0. d p 1