Kompleksiluvut. Johdanto

Kompleksiluvut Johdato Tuomo Pirie tuomo.pirie@tut.fi Aikoje kuluessa o matematiikassa kohdattu tilateita, jolloi käytetyt määrittelyt ja rajoitukset (esimerkiksi käytetyt lukujoukot) eivät ole olleet riittäviä yhteäise teoria raketamiseksi. Näi kävi mm. pythagoralaiselle koulukualle. 600-luvulla ekr.[1] Pythagoralaiset olivat Krotoissa (alue ykyise Italia eteläraikolla, jossa tuolloi oli kreikkalaisia siirtokutia) vaikuttava puoliuskoollie yhteisö, joka uskoi, että umerot kuvaavat maailmakaikkeude todellise merkitykse. He olivat vakuutueita, että maailma voitii täsmällisesti esittää lukuje avulla. Tämä lisäksi he uskoivat, että maailmassa o olemassa vai ratioaalilukuja (lukuja, jotka voidaa esittää kahde kokoaisluvu osamäärää). Niipä veljeskualle oliki kohtuullie järkytys, ku havaittii, että o olemassa myös sellaisia lukuja, jotka eivät kuulu ratioaalilukuje joukkoo. Tällaie luku sytyy esimerkiksi muodostamalla lävistäjä eliölle, joka sivu pituus o yksi. Lävistäjä pituusha o Pythagoraa imeä katava teoreema mukaisesti, joka tuetusti o irratioaaliluku. Tarkastellaa käytettävä lukujouko vaikutusta yhtälö ratkaisuje lukumäärää. Yhtälöllä x + 5 = ei ole ratkaisuja, mikäli x N. Jos x Z, ii yhtälöllä o ratkaisu x = 3. Reaaliluvuista kompleksilukuihi Lukujoukkoje riittämättömyyde ogelma kohdattii myös eliöjuurifuktio kohdalla. Positiiviste reaalilukuje eliöjuuri osattii laskea, mutta egatiiviste lukuje osalta tilae oli tutemato. Ogelma olisi helppo kiertää toteamalla, ettei egatiivisilla luvuilla ole eliöjuurta, ja site lauseke x ei olisi määritelty, ku x < 0. Tämäkaltaie ogelma kiertämie muodostaisi varsi suure epäkohda eikä äyttäisi kovikaa kauiilta osaa matemaattista teoriaa. Tutkitaa tilaetta lähemmi yhtälö x = a avulla. 1. Mikäli a 0, o ratkaisu selvä, x = ± a.. Jos a < 0, ei yhtälöllä ole ratkaisua joukossa R. Tapaus. herättää kysymykse siitä, voisiko yhtälöllä olla ratkaisu jossai joukkoa R laajemmassa lukujoukossa. 1

Olkoo s 0 ja s R. Tällöi s < 0 ja eliöjuure laskusäätöje mukaisesti 1 s = 1 s Tämä osoittaa, että kaikkie egatiiviste lukuje s eliöjuuret voidaa ilmoittaa tuloa, joka tekijöiä ovat s: vastaluvu eliöjuuri s sekä 1, joista 1 o toistaiseksi määrittelemätö. Mikäli 1 voidaa määritellä hyvi, saadaa samalla määriteltyä kaikkie egatiiviste reaalilukuje eliöjuuret. Tällaie hyvä määritelmä o olemassa. Määritellää imagiaariyksikkö: i = 1 i = 1 (1) Imagiaariyksiko avulla voidaa muodostaa puhtaasti imagiaarisia lukuja kertomalla imagiaariyksikköä reaaliluvulla. Imagiaariyksikköä merkitää myös kirjaimella j. Tämä o yleie käytätö esimerkiksi sähköopissa. i3, i 3 4 ja i 5 ovat puhtaita imagiaarilukuja. Edellä maiittu reaalilukuje jouko laajetamie tapahtuu yhdistämällä siihe imagiaarilukuje joukko I. Imagiaariluvut (huomaa, että yt emme käsittele pelkästää puhtaita imagiaarilukuja) ovat muotoa z = x + iy olevia lukuja, missä i = 1 (siis imagiaariyksikkö), x R sekä y R y 0. i lg 5, 6 i 3 ja 5 + i cos 3 ovat imagiaarilukuja. 1 ja 8 7 e3 eivät ole imagiaarilukuja, vaa reaalilukuja. 1 Ku oletetaa, että egatiiviste lukuje eliöjuurille pätevät samat laskusääöt kui positiiviste lukuje eliöjuurille. Määritelmä o hyvä, mikäli se o yhteesopiva muu teoria kassa ja tuottaa laskeallisesti järkeviä ja käyttökelpoisia tuloksia.

Yhdistämällä reaalilukuje ja imagiaarilukuje joukot sytyy kompleksilukuje joukko Kompleksiluvut ovat muotoa C = R I z = x + iy olevia lukuja, missä x R sekä y R. Huomaa, että joukoissa R ja C sallitaa tilae y = 0, mutta y 0 aia joukossa I. Täsmällisesti määriteltyä edellä maiitut lukujoukot ovat: I = {z z = x + iy, x R y R y 0} C = {z z = x + iy, x R y R} Toisiaa kompleksiluku saatetaa ilmoittaa järjestettyä paria (x, y): z = (x, y) = x + iy, 1 + i5 ja i si π ovat kompleksilukuja. Mikäli luvut ilmoitetaa 3 7 järjestettyiä pareia, e ovat (, 0), ( 1, 5) ja (0, si π) 3 7 Reaali- ja imagiaariosa Kompleksiluvussa z = x + iy luku x o z: reaaliosa Re (z) ja y o z: imagiaariosa Im (z). Siis Re (z) = x ja Im (z) = y Reaali- ja imagiaariosa ovat reaalilukuja. Kompleksiluvut muodostavat site reaalilukuparie jouko, jolle o omat laskusäätösä. Kompleksiluvu z = 3 i reaaliosa Re (z) = 3 ja imagiaariosa Im (z) =. 3

Kompleksilukuje yhtäsuuruus Olkoo kompleksiluvut z 1 = x 1 + iy 1 ja z = x + iy. Kompleksiluvut ovat yhtäsuuret, jos iide reaaliosat ovat keskeää yhtäsuuret ja imagiaariosat ovat keskeää yhtäsuuret, siis: z 1 = z Re (z 1 ) = Re (z ) Im (z 1 ) = Im (z ) x 1 = x y 1 = y Kompleksilukuje esittämie graafisesti Kompleksilukuje graafie esittämie saattaa tutua moimutkaiselta, koska reaalilukuje joukko voidaa esittää yksiulotteisella lukusuoralla. -3 - -1 0 1 3 4 Kuva 1: Lukusuora Tarkastellaa kompleksilukua järjestettyä paria z = (x, y). Tästä parista voimme esittää reaaliosa x lukusuoralla samalla tavoi kui tavallise reaaliluvuki. Imagiaariosa y o myös reaalie, jote seki esittämie lukusuoralla o mahdollista. Yksikäsitteise graafise esitykse muodostamiseksi riittää, ku pystymme esittämää reaalilukupari (x, y) graafisesti. Tämä oistuu tavallise karteesise koordiaatisto avulla. Kompleksiluvut esitetää koordiaatistossa asettamalla reaaliosa x-akselille ja imagiaariosa y-akselille. Tällaisessa esityksessä x-akseli o reaaliakseli ja y-akseli o imagiaariakseli. Käytettyä koordiaatistoa kutsutaa kompleksitasoksi. Toisiaa termiä kompleksitaso käytetää ku tarkoitetaa kompleksilukuje joukkoa C. Itseisarvo ja vaihekulma Kompleksiluvu z = x + iy itseisarvo z (moduli) lasketaa kute kaksikompoettise vektori pituus. Se ilmoittaa kompleksitasoo asetetu pis- 4

Im(z) y x z = x + iy Im(z) y z = x + iy x Re(z) x Re(z) Kuva : Kompleksitaso Im(z) -1 + i x - + i x x 1 + i x + i - - i x -1 - i x - i x x 1 - i Re(z) Kuva 3: Muutamia kompleksitaso pisteitä tee etäisyyde origosta. z = Re (z) + Im (z) = x + y Olkoo kompleksiluku z = x + iy 0 ja v tämä kompleksiluvu paikkavektori kompleksitasossa. Kompleksiluvu vaihekulma θ = arg (z) (argumetti) o kompleksitaso reaaliakseli positiivise osa ja paikkavektori v välie kulma. Suorakulmaise kolmio geometria perusteella vaihekulma toteuttaa yhtälö Im (z) ta θ = Re (z) = y () x Arkustageti avulla voidaa selvittää joki kulma θ 0, joka toteuttaa yhtälö (). Tämä jälkee tarkastellaa reaali- ja imagiaariosie merki perusteella missä kompleksitaso eljäeksessä luku z sijaitsee. Mikäli saatu kulma θ 0 o samassa eljäeksessä kui luku z, voidaa se valita argumetiksi. Kulma θ 0 lisäksi kaikki se π-moikerrat toteuttavat 5

yhtälö ja ovat samassa koordiaatisto eljäeksessä kui z. Site vaihekulma arg (z) = θ 0 + π, missä Z. Jos eljäekset eivät täsmää, tulee saatuu arvoo θ 0 lisätä tai vähetää π tilateesta riippue. Tämä jälkee voidaa korjattu kulma valita vaihekulmaksi π-moikerroi. Siis arg (z) = θ 0 ± π + kπ, missä kaksoismerkistä ± valitaa vai toie operaatio. Im(z) y z q x z = x + iy Re(z) Kuva 4: Itseisarvo ja argumetti kompleksitasossa Lasketaa luvu z = i 1 itseisarvo ja vaihekulma z = + ( 1) = 4 + 1 = 16 = 4 1 4 3 ta(arg (z)) = = 3 = 3 Saadu tagettiarvo perusteella voidaa etsiä kulma θ θ = arcta ( 3) = π 3 Reaali- ja imagiaariosa etumerkeistä havaitaa, että z o kompleksitaso eljäessä eljäeksessä, siis saatu kulma θ kelpaa ratkaisuksi sellaiseaa. Vaihekulmaa ei ole määritelty luvulle z = 0. Useimmite tämä ei tuota ogelmia. Luvulla z = 0 voidaa ajatella oleva kaikki mahdolliset vaihekulma arvot (äärettömä mota) tai ei vaihekulmaa laikaa. 6

Mikäli z o puhtaasti imagiaarie, x = 0 ja osamäärä y ei ole määritelty. x Tällöi vaihekulma θ määrittämie arkustageti avulla ei oistu. O kuiteki ilmeistä, että puhtaasti imagiaarise luvu ic (c R) vaihekulma o joko π tai π, π-moikerrat huomioide. Täsmällisemmi: arg (ic) = sg (c) π + kπ, k Z (3) missä sg (c) o sigum-fuktio, joka määritellää 1 (c > 0) sg (c) = 0 (c = 0) 1 (c < 0) Toisi saoe yhtälössä (3) π : etumerkki o sama kui c: etumerkki. Huomaa, että yhtälö (3) mukaa argumetti o moikäsitteie π-moikerroi. Sama pätee laskettaessa muideki kui puhtaasti imagiaariste lukuje argumetteja arkustageti avulla. Suorakulmaise esitykse perusteella ei siis voida yksikäsitteisesti määrittää kompleksiluvu vaihekulmaa, vaa πmoikerrat ovat läsä. Site suorakulmaie esitys z = x + iy vastaaki äärettämä motaa eri kompleksilukua, joide vaihekulmat ovat toistesa π-moikertoja. Mikäli vaihekulma θ arvo valitaa site, että π < θ π ii kulmaa θ kutsutaa pääargumetiksi jota merkitää Arg (z) Yleisesti kompleksiluvu z = x + iy vaihekulma o siis θ = Arg (z) + kπ, k Z Saattaa vaikuttaa yhdetekevältä, valitaako luvu z = x+iy vaihekulmaksi se pääargumetti, vai joki π-moikerta. Näi ei kuitekaa ole, sillä o olemassa fuktioita (esimerkiksi kompleksie logaritmifuktio), joide arvo riippuu käytety vaihekulma moikerrasta k. 7

Polaariesitys Käytettyä kompleksiluvu esitystä z = x + iy = (x, y) kutsutaa karteesiseksi tai suorakulmaiseksi esitykseksi (reaalilukupari esitys karteesisessa koordiaatistossa). Itseisarvo ja vaihekulma avulla voidaa kompleksiluku z esittää apakoordiaatteia (polaariesitys). Napakoordiaattiesitystä käyttäe voidaa kaikki kompleksiluvut esittää ja sijoittaa kompleksitasoo yksikäsitteisesti. z = re iθ (4) missä r = z ja θ = arg (z). Toisiaa, esimerkiksi sähköopissa, käytetää esitystapaa z = r θ missä r ja θ o määritelty kute edellä. Merkitä luetaa r kulmassa θ. Merkitä θ vastaa ekspoettifuktiota e iθ ja site r θ = re iθ Tällä kurssilla käytämme, kute matemaattisissa asiayhteyksissä yleesäki, apakoordiaattiesityksestä vai ekspoettimuotoa. Kompleksiluvu esitysmuodo muutamie Koska kompleksiluvulle z o käytettävissä kaksi ekvivalettia (vaihekulma moikäsitteisyyttä lukuuottamatta) esitysmuotoa z = x + iy ja z = re iθ o ilmeistä, että toisiaa joudutaa siirtymää esitysmuodosta toisee. Esimerkiksi kompleksilukuje laskusäätöje yhteydessä havaitaa, että tietyt laskutoimitukset (kute yhteelasku) o helpoita suorittaa karteesise esitykse z = x + iy avulla. Vastaavasti o laskutoimituksia (mm. kertolasku), jotka ovat huomattavasti yksikertaisempia polaariesitykse z = re iθ kautta. Kompleksiluvu z muuos polaariesityksestä suorakulmaisee suoritetaa käyttäe apua Euleri kaavaa 3 e iθ = cos θ + i si θ 3 Euleri kaava todistamie edellyttää kompleksise ekspoettifuktio ja kompleksise sarjateoria käyttöä. Koska äitä ei käsitellä perusteellisesti tässä esityksessä, jätetää todistus suorittamatta. Todistus löytyy esimerkiksi lähteestä [4]. 8

josta välittömästi seuraa, että z = re iθ = r (cos θ + i si θ) Suorakulmaise esitykse z = x + iy avulla voidaa kirjoittaa yhtälö x + iy = r (cos θ + i si θ) (5) Ku huomioidaa kompleksilukuje yhtäsuuruude määritelmä seuraa yhtälöstä (5), että z 1 = z Re (z 1 ) = Re (z ) Im (z 1 ) = Im (z ) { x = r cos θ y = r si θ Muuos suorakulmaisesta esityksestä apakoordiaatteihi tehdää itseisarvo ja vaihekulma avulla, kute luvuissa ja. Kompleksilukuje erilaiset esitysmuodot ovat vai sama koliko kaksi puolta. Esitysmuoto ei vaikuta itse luvu arvoo mitekää, pysyyhä marka kolikkoki samaa, vaikka sitä katsotaaki vuorotelle kruua- ja klaavapuolelta. Korostetaa vielä, että e iθ = 1, sillä e iθ = cos θ + i si θ,josta itseisarvot e iθ = cos θ + i si θ = cos θ + si θ = 1 = 1 Kompleksilukuje summa ja tulo Kompleksilukuje z 1 = x 1 + iy 1 ja z = x + iy yhteelasku määritellää seuraavasti: ( ) z 1 + z = Re (z 1 ) + Re (z ) + i Im (z 1 ) + Im (z ) = x 1 + x + i(y 1 + y ) Toisi saoe reaali- ja imagiaariosat lasketaa eriksee yhtee. Yhteelasku muistuttaa läheisesti vektorie yhteelaskua, jossa summa muodostetaa laskemalla vektorie kompoetit yhtee. Selvästi tämä yhteys äkyy ku esitämme yhteelasku graafisesti. 9

Im(z) Im(z) y 1 x 1 z = x + iy 1 1 1 y x z = x + iy Re(z) y +y 1 z 1 z z +z 1 x +x 1 Re(z) Kuva 5: Kompleksilukuje yhteelasku Lukuje 5 ja + i7 summa: 5 + ( + i7) = (5 + ) + i7 = 7 + i7 Lukuje 4 i3 ja 8 + i summa: (4 i3) + (8 + i) = (4 + 8) + i( 3 + ) = 1 i Polaarimuodossa olevat kompleksiluvut muuetaa suorakulmaisee esityksee ee yhteelasku suorittamista. Tarvittaessa summa muuetaa takaisi polaarimuotoo. Lukuje e i 3 4 π ja 3e i π summa. Muuetaa luvut esi suorakulmaisee esityksee e i 3 4 π = (cos 3 4 π + i si 3 1 π) = ( + i 1 ) 4 = + i = + i 3e i π = 3(cos π + i si π ) = 3(0 i) = i3 10

Nyt yhteelasku o helppo suorittaa e i 3 4 π + 3e i π = + i i3 = + i( 3) Mikäli vaihekulma arvot ovat sellaiset, että suorakulmaise esitykse siija kosiifuktiot eivät sievee, voidaa yhteelasku suorittaa käyttäe apua trigoometrisia summa- ja tulokaavoja. Kompleksilukuje kertolasku suoritetaa kute kahde polyomi kertolasku: z 1 z = (x 1 + iy 1 )(x + iy ) = x 1 x + ix 1 y + iy 1 x + i y 1 y ku muistetaa imagiaariyksikö määritelmä (1), joka mukaa i = 1, sieveee tulo muotoo z 1 z = x 1 x + ix 1 y + iy 1 x y 1 y = x 1 x y 1 y + ix 1 y + iy 1 x = x 1 x y 1 y + i(x 1 y + y 1 x ) Käyttämällä polaariesitystä z 1 = r 1 e iθ 1 ja z = r e iθ, o kertolasku suorittamie huomattavasti yksikertaisempaa. Käyttämällä ekspoettifuktio laskusäätöjä 4, saadaa z 1 z = r 1 e iθ 1 r e iθ = r 1 r e i(θ 1+θ ) (6) Yhtälöstä (6) havaitaa, että kompleksilukuje tulo z 1 z itseisarvo o itseisarvoje tulo r 1 r ja vaihekulma o vaihekulmie summa θ 1 + θ. Yleisemmi: z 1 z = z 1 z arg (z 1 z ) = arg (z 1 ) + arg (z ) 4 Todistamatta oletamme, että kompleksiselle ekspoettifuktiolle pätevät samat omiaisuudet kui reaaliselleki: e iθ 1 e iθ = (e i ) θ 1 (e i ) θ = (e i ) (θ 1+θ ) = e i(θ 1+θ ) (e iθ1 ) = ((e i ) θ1 ) = ((e i ) θ1 = e iθ1 Nämä omiaisuudet seuraavat suoraa kompleksise ekspoettifuktio määrittelystä e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i si y) Omiaisuuksie todistus löytyy esimerkiksi lähteestä [] 11

Yleesä (lukuuottamatta aiva yksikertaisimpia tapauksia) kertolaskut o helpoita tehdä polaarimuodo kautta. Mikäli toie tulo tekijöistä o reaalie, o kertolasku helppo. Olkoo z 1 R ja z = x + iy = re iθ C. Suorakulmaise esitykse avulla ja polaariesitykse kautta z 1 z = z 1 x + iz 1 y z }{{} 1 z = z 1 re i(θ+arg(z 1)) R z 1 re i(θ+(k+1)π) (z 1 < 0) = 0 (z 1 = 0) z 1 re i(θ+kπ) (z 1 > 0) missä k R. Mikäli käytetää vai z : pääargumettia, ii z 1 re i(θ+π) (z 1 < 0) z 1 z = 0 (z 1 = 0) z 1 re i(θ) (z 1 > 0) Liittoluvut Kompleksiluvu z liittoluku (kompleksikojugaatti) z määritellää seuraavasti: z = Re (z) i Im (z) (7) Jos z = x + iy = re iθ, ii määritelmästä (7) seuraa, että z = x iy = re i( θ) Liittoluvulle käytetää myös merkitää z. Tässä esityksessä pitäydymme ylleviivatussa merkiässä z. Liittoluvu omiaisuuksia z = (Re (z)) + ( Im (z)) = (Re (z)) + (Im (z)) = z z + z = Re (z) + i Im (z) + Re (z) i Im (z) = Re (z) zz = z e iarg(z) z e i( arg(z)) = z e (iarg(z) iarg(z)) = z e 0 = z z 1 + z = x 1 iy 1 + x iy = x 1 + x i(y 1 + y ) = z 1 + z 1

Kompleksilukuje erotus Väheyslasku määritellää yhteelasku ja reaaliluvulla kertomise avulla. Olkoo kompleksiluvut z 1 = x 1 + iy 1 ja z = x + iy. Tällöi iide erotus Luvu ja se liittoluvu erotus: z 1 z = z 1 + ( z ) = x 1 + iy 1 + ( x iy ) = x 1 x + i(y 1 y ) z z = Re (z) + Im (z) (Re (z) Im (z)) = Im (z) Kompleksiluvu kääteisluku Kompleksiluvu z = x + iy = re iθ kääteisluku z 1 määritellää: z z 1 = 1 (8) Voidaa osoittaa, että kääteisluku o yksikäsitteie. O helppo osoittaa, että luvu z = re iθ kääteisluku o 1 r e iθ, sillä kute määritelmä (8) edellyttää. Kompleksilukuje osamäärä re iθ 1 r e iθ = r 1 e iθ e iθ }{{} r =1 = e iθ iθ = e 0 = 1 Jakolasku määritellää kertolasku ja kääteisluvu avulla: z 1 z = z 1 z 1 (9) Jakolasku määrittelyä hyväksikäyttäe voidaa kääteisluku ataa muodossa z 1 = 1 z 13

joka o määritelmä (9), ku z 1 = 1 ja z = z. Jakolasku suorittamie o helpoita polaarimuodossa, olkoo z 1 = r 1 e iθ 1 ja z = r e iθ. z 1 = z 1 z 1 z = r 1 e iθ 1 1 r e iθ = r 1 r e i(θ 1 θ ) Havaitaa siis, että kompleksilukuja jaettaessa ovat osamäärä itseisarvo ja vaihekulma (tulo kassa yhteevästi): z 1 z = z 1 z ( ) z1 arg = arg (z 1 ) arg (z ) z Jakolasku voi tieteki suorittaa karteesise esitykse kautta. Tällöi kaattaa lavetaa lauseketta jakaja liittoluvulla, jotta jakaja imagiaariset osat saadaa poistettua, ja jakolasku muuttuu kertolaskuksi. Olkoo z 1 = x 1 + iy 1 ja z 1 = x + iy Luvu ja se liittoluvu osamäärä: Omiaisuuksia z ) z 1 = z 1z = z 1z z z z z = 1 z z }{{} 1 z R z z = reiθ re iθ = eiθ e iθ = e iθ Todistamatta kootaa muutamia omiaisuuksia, joista o hyötyä komplek- 14

silausekkeide käsittelyssä. i = 1 ja i = i i = 1 i = 1 i e ±iπ = 1 e i π = i ja e i π = i 1 ( e iθ + e iθ) = cos θ Kompleksiluvu kokoaislukupotessi Kompleksiluvu kokoaislukupotessi z, Z voidaa laskea tulo määritelmää ojautue sekä suorakulmaisessa että polaarisessa esityksessä. z = (x + iy) = ( re iθ) Suorakulmaise esitykse kautta laskemie o suoraviivaista kertolaskua, joka o työlästä ku o suuri. Polaarie esitys o yksikertaisempi: ( re iθ ) = r ( e iθ) = r ( e iθ) (10) Yhtälöstä 10 havaitaa, että korotettaessa kompleksilukua kokoaislukupotessii, z: itseisarvo korotetaa potesii ja vaihekulma -kertaistuu. Lasketaa ( 39 i 13 )4 39 13 i = ( ) ( 39 13 + ) 39 = 4 + 13 4 5 = 4 = 13 ja ( ) ( ( )) 39 13 13 3 arg i = arg i1 = 3 π + kπ 15

jote ( ) 4 39 13 ( ) 4 i = 13e i( 3 π+kπ) = 13 e i4( 3 π+kπ) = 169e i( 8 3 π+k8π) = 169e i( 3 π+k8π) Euleri kaava avulla saadaa (10) muotoo r ( e iθ) = r (cos θ + i si θ) Mikäli r = z = 1, päädytää De Moivre kaavaa (cos θ + i si θ) = (cos θ + i si θ) Edellie esimerkki uudestaa, yt karteesisessa muodossa De Moivre kaava avulla : ( 39 13 13 ( i )4 = (cos( 3 )) 4 π + kπ) + i si(3 π + kπ) = ( ( 13) 4 cos( ) 4 3 π) + i si( 3 π) ( = 169 cos(4 ) π) + i si(4 3 3 π) = 169 (cos( 83 ) π) + i si(83 π) = 169 (cos( 3 ) π + π) + i si(3 π + π) ( = 169 (cos( 3 ) π) + i si(3 π) = 169 1 + i 3 ) 16

Kompleksiluvu juuret Kompleksiluvu : s juuri z 1 lasketaa seuraavasti w k = z ( 1 = r cos θ + kπ + i si θ + kπ ) missä θ = Arg(z), Z ja o vakio, k Z ja 0 k < eli k = 0, 1,,,, 1. Täte juurella z 1 o arvoa. Todistetaa aettu kaava. Etsittäessä kompleksiluvu z :ttä juurta z 1, Z pyritää ratkaisemaa yhtälö w = z 1 w = z (11) Olkoo z = re i(θ+mπ) ja w = ue iφ, missä θ = Arg(z) ja m Z. Tällöi yhtälö (11) saadaa muotoo w = z sijoitetaa lukuje määrittelyt u e iφ = re i(θ+mπ) De Moivre u cos φ + iu si φ = r cos (θ + mπ) + ir si (θ + mπ) Kompleksilukuje yhtäsuuruude määritelmä perusteella saadaa yhtälöpari: { u cos φ = r cos (θ + mπ) u si φ = r si (θ + mπ) Yhtälöpari tulee olla idettisesti tosi, jote päädytää yhtälöryhmää u = r cos φ = cos (θ + mπ) si φ = si (θ + mπ) Näi olle etsitty :s juuri o { u = r φ = θ + kπ, k Z { u = r φ = θ+kπ, k Z z 1 = w = ue iφ = re i θ+kπ, k Z (1) ja polaarimuodossa z 1 = r ( cos θ + kπ + i si θ + kπ ), k Z (13) Yhtälöissä (1) ja (13) o vakio (etsittävä juure kertaluku) ja k saa kaikki kokoaislukuarvot. Site juurella z 1 olisi äärettömä mota arvoa, mikä 17

vaikuttaa omituiselta. Tutkitaa tilaetta hiema lisää. Juure vaihekulma o yhtälöide (1) ja (13) mukaisesti θ + kπ (14) missä o kokoaislukuvakio ja k Z. Tulkitaa lauseke (14) kokoaisluvu k fuktioksi f(k) f(k) = θ + kπ = θ + kπ Olkoo p Z. Tutkitaa fuktio arvoa f(k + p) θ + (k + p)π f(k + p) = = θ + kπ + pπ = θ + kπ + pπ = f(k) + pπ (15) Tuloksesta (15) voidaa päätellä seuraavaa. Olkoo 0 u <. Mikäli 0 k <, f(k) = f(u) = θ + uπ (0 k < ) (16) Jos taas k o rajoittamato, ii se voidaa ataa muodossa u + p ja tulokse (15) mukaisesti: f(k) = f(u + p) = f(u) + pπ (k < 0 k ) (17) Palataa yt juurelle saatuu yhtälöö (13): z ( 1 = r cos θ + kπ + i si θ + kπ ) (18) Sijoittamalla juure lausekkeesee (18) vaihekulma k: fuktioa f(k) saadaa z 1 = r (cos f(k) + i si f(k)) (19) Sijoitetaa vielä f(k) muodossa (17) z 1 = r (cos(f(u) + π) + i si(f(u) + π)) (0 u < ) (0) Kosii ja sii ovat π-jaksollisia fuktioita, jote tulos (0) sieveee muotoo z 1 = r (cos f(u) + i si f(u)) (0 u < ) 18

Näi voidaa ataa lopullie tulos kompleksiluvu juurelle: w k = z ( 1 = r cos θ + kπ + i si θ + kπ ) (1) missä θ = Arg(z), Z ja o vakio, k Z ja 0 k < eli k = 0, 1,,,, 1. Saadu tulokse mukaa kompleksiluvu juurella z 1 o arvoa (k = 0, 1,, 1). Kaikkie juurte itseisarvo o sama r, mutta vaihekulma muuttuu k: mukaisesti. k: arvo rajoittamie välille [0, 1] tuottaa juurelle kpl erisuuria arvoja. Mikäli k:ta ei rajoiteta, toistuvat jo rajoitetulla k:lla saadut juure vaihekulmat. Lasketaa luvu (1 + i) eljäet juuret: (1 + i) 1 4 1 + i = ja Arg(z) = π 4, jote ( (1 + i) 1 4 4 = cos = 8 ( cos ( π 16 + kπ π + kπ 4 4 ) π 4 + i si + kπ ) 4 ( π + i si 16 + kπ )) Lasketaa juure vaihekulma φ k = π + kπ 16 k = 0, 1,, 3. arvot. = 4, jote k = 0 k = 1 k = k = 3 φ 0 = π 16 + 0 π φ 1 = π 16 + 1 π φ = π 16 + π φ 3 = π 16 + 3 π = π 16 = 9 16 π = 17 16 π = 5 16 π jos k = 4, ii φ 4 = π + 4 π = 33π = π + π ja jo kerra 16 16 16 esiityeet arvot alkavat toistua π-moikerroi k: kasvaessa. Vastaavasti käy, mikäli k o egatiivie. Siis erilliset juure arvot 19

w k : w 0 = 8 ( cos π 16 + i si π ) 16 w 1 = 8 ( cos 9 16 π + i si 9 ) 16 π w = 8 ( cos 17 ) 17 π + i si 16 16 π w 3 = 8 ( cos 5 ) 5 π + i si 16 16 π Toisiaa saatuja juuria w k o mahdollista sievetää edellee trigoometriste summa- ja tulokaavoje avulla. Viitteet [1] J. D. Barrow (suom. R. Vilkko), Lukuje taivas, s.-5, Art House Oy 1999 [] S. Pohjolaie, Kompleksimuuttuja fuktiot, luetomoiste s.1-6, TTKK 000, http://matriisi.ee.tut.fi/courses/73108/1. Luku.pdf (1.7.001) [3] J. W. Nilsso, S. A. Riedel, Electric Circuits 5th ed., Appedix B s.99-935, Addiso-Wesley 1996 [4] S. I. Grossma, Multivariable Calculus, Liear Algebra, ad Differetial Equatios, 3rd ed. Appedix 3 s.a-14-a-0, Sauders College Publishig 1995 0