2. laskuharjoituskierros, vko, ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys, kombinatoriikka, kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava D1. Eräässä maassa autojen rekisterikilpien tunnukset ovat muotoa XXXXNN, jossa X on jokin vokaaleista a, e, i, o, u ( kpl) ja N jokin numeroista 0, 1, 2,,,, 6, 7, 8, 9. Laske erilaisten kilpien lukumäärä, kun tunnusten muodostamista rajoittavat seuraavat ehdot: a) Ei rajoituksia. b) Samaa kirjainta tai numeroa ei saa käyttää useammin kuin kerran. c) Kilvessä on oltava täsmälleen kaksi samaa vokaalia ja numerojen on oltava parittomia. Sovelletaan lokeromallia. Käytössä on 6 lokeroa, joista ensimmäistä on varattu vokaaleille ja 2 viimeistä numeroille. a) Täytetään lokerot XXXX: 1. lokero voidaan täyttää vokaaleilla tavalla. 2. lokero voidaan täyttää vokaaleilla tavalla.. lokero voidaan täyttää vokaaleilla tavalla.. lokero voidaan täyttää vokaaleilla tavalla. Kombinatoriikan kertolaskuperiaatteen nojalla: Lokerot XXXX voidaan täyttää = 62 eri tavalla. Vastaavasti lokerot NN voidaan täyttää 10 10 = 100 eri tavalla. Vokaali- ja numerolokerot voidaan täyttää toisistaan riippumatta, joten kertolaskuperiaatteen nojalla erilaisia rekisterikilpiä on 62 100 = 6200 kpl. b) Täytetään lokerot XXXX: 1. lokero voidaan täyttää vokaaleilla tavalla. 2. lokero voidaan täyttää vokaaleilla tavalla.. lokero voidaan täyttää vokaaleilla tavalla.. lokero voidaan täyttää vokaaleilla 2 tavalla. Kombinatoriikan kertolaskuperiaatteen nojalla: Lokerot XXXX voidaan täyttää 2 = 120 eri tavalla. Vastaavasti lokerot NN voidaan täyttää 10 9 = 90 eri tavalla. Vokaalija numerolokerot voidaan täyttää toisistaan riippumatta, joten kertolaskuperiaatteen nojalla erilaisia rekisterikilpiä on 120 90 = 10800 kpl. c) Lokeroihin voidaan asettaa mitkä tahansa kaksi samaa vokaalia ( eri tavalla. Koska jo käytettyjä vokaaleja ei saa käyttää uudelleen, voidaan vokaalit valita lokeroihin eri tavalla. Siten lokerot XXXX voidaan täyttää vokaaleilla niin, että lokeroissa on täsmälleen kaksi samaa vokaalia, ( = 60 eri tavalla. Koska parittomia nuumeroita on, lokerot NN voidaan täyttää = 2 eri tavalla. Jälleen vokaali- ja numerolokerot voidaan täyttää toisistaan riippumatta, joten erilaisia rekisterikilpiä on 60 2 = 9000 kpl.
D2. Paikkakuntien X ja Y välillä on kolmet liikennevalot K, L ja M. Valojen jaksona on 1 minuutti, jonka aikana liikennevalo K näyttää punaista 1 sekuntia, L 20 sekuntia ja M 0 sekuntia. Laske todennäköisyys, että matkalla on pysähdyttävä täsmälleen yhden kerran. Olkoon A i = { Liikennevalo i näyttää punaista }, i = 1, 2,. Nyt Pr(A 1 ) = 1/, Pr(A 2 ) = 1/ ja Pr(A ) = 1/2. Lisäksi tapahtumat A i voidaan olettaa riippumattomiksi. Siten kysytty todennäköisyys on Pr( Yksi pysähdys ) = Pr((A 1 A c 2 Ac ) (Ac 1 A 2 A c ) (Ac 1 Ac 2 A )) = Pr(A 1 A c 2 A c ) + Pr(A c 1 A 2 A c ) + Pr(A c 1 A c 2 A ) = Pr(A 1 )Pr(A c 2 )Pr(Ac ) + Pr(Ac 1 )Pr(A Pr(A c ) + Pr(Ac 1 )Pr(Ac 2 )Pr(A ) = 1 2 1 2 + 1 1 2 + 2 1 2 = 11 2 0.8 D. Valehtelijoiden maassa asuu kaksi yhtä suurta heimoa lierot ja kierot. Lierot vastaavat kaikkiin kysymyksiin oikein todennäköisyydellä 2/. Kierot puolestaan vastaavat kaikkiin kysymyksiin oikein todennäköisyydellä /. Tapaat maan asukkaan, jolta kysyt onko hän kiero vai liero ja hän vastaa olevansa kiero. Mikä on todennäköisyys, että hän todella on kiero? Olkoon K = { Puhuteltu on kiero. } L = { Puhuteltu on liero. } V K = { Puhuteltu vastaa kiero. } V L = { Puhuteltu vastaa liero. } Pr(K) = Pr(L) = 1 2 Pr(V K K) = Pr(V L L) = 2 Haluttu todennäköisyys on P r(k V K). Bayesin kaavan mukaan: Pr(V K K)Pr(K) Pr(K V K) = Pr(V K K)Pr(K) + Pr(V K L)Pr(L) = 1 2 1 2 + 1 1 2 = 9 1 Pr(K) P. Tietokoneen salasanat ovat muotoa NNNNN, missä N on jokin numeroista 0, 1, 2,,,, 6, 7, 8, 9. Laske mahdollisten salasanojen lukumäärät, kun salasanojen muodostamista rajoittavat seuraavat ehdot: a) Ei rajoituksia. b) Kaikkien numeroiden on oltava erilaisia. c) Salasanassa on oltava pari eli täsmälleen kaksi samaa numeroa (esim. 278). d) Salasanassa on oltava kaksi paria (esim. 778). 1 p.
Sovelletaan lokeromallia. Käytössä on lokeroa. a) Kukin lokero voidaan täyttää 10 eri tavalla. salasanojen lukumäärä on siten 10 = 100000. b) Täytetään lokerot järjestyksessä: 1. numero voidaan valita 10 eri tavalla, 2. luku 9 eri tavalla,...,. luku 6 eri tavalla. Näin ollen salasanoja on 10 9 8 7 6 = 020 kpl. c) Parin paikka voidaan valita ( eri tavalla. Pariin voidaan valita numero 10 eri tavalla. Koska jäljellä oleviin lokeroihin on valittava eri numerot, voidaan muut numerot valita 9 8 7 eri tavalla. Salasanojen lukumääräksi saadaan siis ( 10 9 8 7 = 000. d) HUOM! Tämä kohta on liian vaativa välikokeessa käytettäväksi. Toisin sanoen ylikurssia. 1. parin paikka voidaan valita ( ( eri tavalla. 2. parin paikka voidaan valita eri tavalla. Käytettävät numerot voidaan valita ( ) 10 eri tavalla. Parien täytteeksi menevät numerot voidaan valita ( ( eri tavalla. ( ( 10 ) ( = 10800. Jos tämä kohta laskettaisiin c-kohdan tavoin, tulisivat kaikki 2 paria sisältävät salasanat lasketuksi kahteen kertaan. Näin siksi, että sama salasana saadaan valitsemalla 1. parin paikka vaikkapa näin: xxxxx ja 2. paikka sitten näin: xxxyy. Tämän jälkeen valitaan 1. parin täytteeksi 1 ja 2. täytteeksi 2: x1122. Toisaalta olisi voitu valita 1. parin paikka: xxxxx, 2 paikka: xyyxx ja täytteiksi 2 ja 1: x1122. Vielä voi mietityttää miten c-kohta laskettaisiin yllä olevalla d-kohdan menetelmällä: Parin paikka voidaan valita ( ) ( 2 eri tavalla. Käytettävät numerot voidaan valita 10 ) eri tavalla. Parin täytteeksi menevä numero voidaan valita ( 1) eri tavalla. Kolmella keskenään erilaisella numerolla on! järjestystä. ( ( 10 ) ( 1)! = 000. P. Härski Hartikaisen korjaamolla on 16 auton rengasta, joista neljän venttiili vuotaa. Renkaat asennetaan sattumanvaraisesti neljään autoon. Millä todennäköisyydellä a) jokaiseen autoon tulee yksi vuotava rengas? b) Kaikki vuotavat renkaat tulee samaan autoon? 1 p.
Molemmat kohdat voidaan ratkaista kahdella tavalla: a) Tapa 1: Sijoitetaan ensin vuotavat renkaat tyhjille paikoille. Todennäköisyydeksi, että kaikki tulevat eri autoihin saadaan: 16 16 12 1 8 1 1 = 0.106 Tapa 2: Käytetään kombinatoriikkaa: Kaikkiaan neljä vuotavaa rengasta voidaan sijoittaa ( 16 ) eri tavalla. Tapahtumalle suotuisasti, eli siten että jokaiseen autoon tulee yksi vuotava rengas, voidaan vuotavat renkaat puolestaan sijoittaa kertolaskuperiaatteen mukaan :llä eri tavalla. Todennäköisyydeksi saadaan: ( 16 ) = 0.106 b) Tapa 1: Sijoitetaan ensin vuotavat renkaat tyhjille paikoille. Todennäköisyydeksi, että kaikki tulevat samaan autoon saadaan: 16 16 1 2 1 1 1 = 0.0022 Tapa 2: Käytetään kombinatoriikkaa: Tapahtumalle suotuisasti, eli siten että kaikki vuotavat renkaat tulevat samaan autoon, voidaan vuotavat renkaat puolestaan sijoittaa :llä eri tavalla (kaikki autoon 1, 2, tai ). Todennäköisyydeksi saadaan: ( 16 ) = 0.0022 P6. Tiedonsiirtojärjestelmä siirtää binäärilukuja 0 ja 1. Siirrettävistä binääriluvuista on nollia 60% ja ykkösiä 0%. Järjestelmässä esiintyy kuitenkin satunnaisia häiriöitä, jotka muuttavat siirron aikana osan nollista ykkösiksi ja osan ykkösistä nolliksi. Nolla tulee perille oikeassa muodossa todennäköisyydellä 0.7 ja ykkönen todennäköisyydellä 0.9. Laske todennäköisyydet seuraaville tapahtumille: A = { On lähetetty 1, kun on vastaanotettu 1. } B = { On lähetetty 0, kun on vastaanotettu 0. } 2 p.
Sovelletaan Bayesin kaavaa. L0 = { On lähetetty 0 } Pr(L0) = 0.6 L1 = { On lähetetty 1 } Pr(L0) = 0. V 0 = { On vastaanotettu 0 } Pr(V 0 L0) = 0.7 V 1 = { On vastaanotettu 1 } Pr(V 1 L1) = 0.9 Pr(V 1 L1)Pr(L1) Pr(A) = Pr(L1 V 1) = Pr(V 1 L1)Pr(L1) + Pr(V 1 L0)Pr(L0) 0.9 0. = 0.9 0. + 0. 0.6 = 0.6 0. 0.667 Pr(V 0 L0)Pr(L0) Pr(B) = Pr(L0 V 0) = Pr(V 0 L0)Pr(L0) + Pr(V 0 L1)Pr(L1) 0.7 0.6 = 0.7 0.6 + 0.1 0. = 0.2 0.6 0.91 L7. Kuinka monella tavalla n nollaa ja m ykköstä voidaan järjestää jonoon? Käytetään lokeromallia. Nyt pitää sijoittaa n nollaa n + m:n lokeroon. Sijoitustapojen lukumäärä saadaan binomikertoimesta: ( ) n + m On hyvä huomata että on saman tekevää sijoitetaanko ensin nollat vai ykköset: ( ) ( ) n + m (n + m)! n + m = = n n!m! m L8. Tarkastellaan kahta uurnaa, joissa kummassakin on mustaa ja valkoista kuulaa. a) Poimitaan kummastakin uurnasta yksi kuula. Mikä on todennäköisyys, että molemmat kuulat ovat mustia? b) Poimitaan toisesta uurnasta kaksi kuulaa. Mikä on todennäköisyys, että molemmat kuulat ovat mustia? n
a) A = { 1. kuula on musta } Pr(A) = /8 B = { 2. kuula on musta } Pr(L0) = /8 Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, joten Pr(A B) = Pr(A)Pr(B) = 8 8 = 9 6 b) A = { 1. kuula on musta } Pr(A) = /8 B = { 2. kuula on musta } Pr(L0) = 2/7 Tapahtumat A ja B eivät ole riippumattomia. Tämän näkee esim. laskemalla pyydetyn todennäköisyyden ja vertaamalla sitä todennäköisyyteen Pr(A B) = Pr(A)Pr(B A) = 8 2 7 = 28 Pr(A)Pr(B) = 8 8 = 9 Pr(A B) 6