3.5 Todennäköisyyden laskumenetelmiä

Transkriptio

1 MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 3.5 Todennäköisyyden laskumenetelmiä Aloitetaan esimerkillä, joka on sitä sarjaa, mihin ei ole mitään muuta yleispätevää ohjetta kuin että on edettävä järjestelmällisesti usein muistiinpanoja tehden. Esimerkki 8 Laatikossa on 50 valkoista ja 50 mustaa sukkaa. Kuinka monta kertaa joudut ottamaan sukan, jotta voit olla varma siitä, että sinulla on ainakin yksi samanvärinen sukkapari? Otat sukat tietenkin umpimähkään. Kun otat ensimmäisen sukan, sinulla on tasan 50 prosentin todennäköisyys saada valkoinen ja 50 prosentin todennäköisyys saada musta sukka. Ainoa seikka, mikä on varmaa, on se, että saat joko mustan tai valkoisen sukan. Sama juttu, kun otat toisen sukan. Kahden sukan jälkeen et voi olla varma, että sinulla on pari. Sait ehkä yhden mustan ja yhden valkoisen sukan. Mutta kun otat kolmannen sukan, saat joko valkoisen tai mustan. Huonoimmassakin tapauksessa sinulla on kahden noston jälkeen sekä valkoinen että musta sukka. Koska kolmas on toinen näistä, saat parin täyteen. Minimi on siis kolme kertaa. Seuraavan esimerkin periaatetta tarvitaan jatkossa. Esimerkki 9 Kuinka monella eri tavalla,,, ja voidaan järjestää jonoon? Jonon ensimmäistä henkilöä päätettäessä valittavana on viisi henkilöä. Kun ensimmäinen on valittu, jäljellä on neljä henkeä, joista valitaan jonossa toisena oleva. Jos siis ensimmäiseksi valittiin, toiseksi voidaan valita joko,, tai. Tai jos ensimmäiseksi valittiin, toiseksi voidaan valita joko,, tai. Muodostetaan asiasta kaavio. Jos niin toka on eka on 1(9)

2 Siis kun on valittu ekaksi, tokaksi voidaan valita neljä muuta ja kun a on valittu ekaksi, niin tokaksi on taas neljä vaihtoehtoa. Kaksi ensimmäistä voidaan siis valita eli viisi kertaa neljällä eri tavalla. Samalla tavalla jatkamalla saadaan tulokseksi, että viisi henkilöä (tai viisi erilaista kirjaa tai kotieläintä tai melkein mitä tahansa muuta) voidaan valita = 10 eri tavalla. Huomaa kaavion käyttö. Se on usein havainnollinen tapa jäsentää tilanne. Yleisesti n erilaista alkiota voidaan valita n ( n 1) ( n ) ( n 3)... 1 eri tavalla. Tällaista tuloa sanotaan n -kertomaksi. Sitä merkitään huutomerkillä ja sen englanninkielinen nimi on factorial. Tällä kurssilla kertoma-funktiota käytetään vain luonnollisten lukujen kanssa. Monissa laskimissa on kertoma-funktio. n-kertoma = ( n 1)( n )( n 3) Määritellään: 1! = 1 Määritellään: 0! = 1 n = n! Esimerkki 10 Herbertillä laittaa hyllyyn matematiikan, fysiikan, äidinkielen, historian, ruotsin, englannin, saksan, uskonnon, yhteiskuntaopin ja musiikin kirja, yhden kappaleen kutakin. Kuinka moneen järjestykseen hän voi kirjansa järjestää? Koska kirjoja on 10 erilaista, on järjestyksiä 10! eli kappaletta. Vastaus: Herbert voi järjestää kirjansa eri järjestykseen. Esimerkki 11 Herbertillä on laitettavana hyllyyn 5 matematiikan, 4 fysiikan, äidinkielen ja 4 historian kirjaa. Hän ei kiinnitä huomiota kirjojen alojen sisäiseen järjestykseen. Kuinka moneen eri järjestykseen omalta kannaltaan erilaiseen hän voi kirjansa järjestää? Ratkaista Koska alojen sisäisellä järjestyksellä ei ole väliä, niin esimerkiksi hänen 5 matematiikan menevät yhtenä nippuna, samoin hänen 4 fysiikan kirjaansa ja niin edelleen. Hän valitsee siis järjestyksen neljän eri aiheen kesken. Niillä on 4! = 4 eri järjestystä. Vastaus: Herbert voi järjestää kirjansa 4 erilaiseen merkitykselliseen järjestykseen. Esimerkki 1 Tällä kertaa Herbert laittaa hyllyyn 5 matematiikan, 4 fysiikan, äidinkielen ja 4 historian kirjaa siten, että hän järjestää kirjansa ensin aakkosjärjestykseen aineen mukaan ja aineen sisällä johonkin muuhun järjestykseen. Kuinka monta eri vaihtoehtoa hänellä on? Mainittujen aineitten aakkosjärjestys on: fysiikka, historia, matematiikka ja äidinkieli. Piirrä itsellesi tähän tilanteeseen sopiva, Esimerkin 9 kaltainen kaavio. (9)

3 Herbert aloittaa järjestämällä fysiikan kirjat. Koska niitä on viisi, niillä on 5! = 10 eri järjestystä. Päättelemällä kuten Esimerkissä 9, saadaan, että erilaisia järjestyksiä on 5!4!! 4! kappaletta. Vastaus: Herbertillä on erilaista vaihtoehtoa järjestää kirjansa. Toisinaan vastaan tulee tilanne, jossa hyvä keino on luetella kaikki vaihtoehdot. Tällöin täytyy tietysti olla järjestelmällinen, jotta ensinnäkin jokainen vaihtoehto tulee mukaan ja toiseksi, että kukin vaihtoehto on mukana vain kerran. Esimerkki 13 Herbertillä on lähiaikoina tulossa kokeet sekä matematiikassa, ruotsissa, englannissa että historiassa. Hän päättää aloittaa tänään, mutta lukea korkeintaan kahta alaa. Arpominen on jälleen hänen keinonsa päättää, mistä kahdesta aiheesta aloittaa. a) Millä todennäköisyydellä hän valitsee päivän aiheiksi historian ja matematiikan? b) Millä todennäköisyydellä valituksi tulee historia tai matematiikka? Aloitetaan laatimalla luettelo kaikista kahden aiheen vaihtoehdoista. Merkitään matematiikkaa kirjaimella M, ruotsia kirjaimella R, englantia kirjaimella E ja historiaa kirjaimella H. Kaikki vaihtoehdot ovat seuraavassa taulukossa. Huomaa taulukon laatimisessa käyttämäni menetelmä. Ensimmäisellä rivillä ovat kaikki matematiikkaa sisältävät vaihtoehdot, jolloin ensimmäisenä kirjaimena on M. Toinen kirjain käy läpi kaikki muut aiheet. Toisella rivillä sama toistuu niin, että ensimmäisenä on ruotsi eli kirjain R. Näin käyn läpi jokaisen vaihtoehdon. Tuloksena on 1 alaparin luettelo. Koska Herbert ei kiinnitä huomiota järjestykseen näin voimme olettaa niin esimerkiksi MR = RM. Tällöin aidosti erilaisia vaihtoehtoja jää kuusi kappaletta, jotka ovat MR, ME, MH, RE, RH ja EH. Täten kaikkien tapausten joukossa on kuusi alkiota. a) Suotuisia tapauksia tämän kohdan mielessä on vain yksi, joten TN(historia ja matematiikka) = 6 1. Vastaus: Historia ja matematiikka tulevat valituiksi todennäköisyydellä 6 1. b) Nyt suotuisia tapauksia ovat MH, MR, ME, HE, HR ja niitä on siis viisi kappaletta. Kysytty todennäköisyys on siis 6 5. Vastaus: Vähintään toinen aineista matematiikka ja ruotsi tulee valituksi todennäköisyydellä 6 5. MR ME MH RM RE RH EM ER EH HM HR HE Tarkastellaan seuraavaksi puudiagrammin eli päätöspuun (decision tree) käyttöä. Esimerkki 14 Wilbert yrittää avata yhdistelmälukkoa. Lukko on siitä erikoinen, että numerokiekkojen sijasta siinä on kiekkoja, joissa on erilaisia kuvioita. Kiekkoja on kolme kappaletta. Wilbert tietää, että hänen on paitsi löydettävä oikea kuvioyhdistelmä, niin lisäksi valittava kiekkojen asennot tietyssä järjestyksessä. Ensimmäisenä on asetettava kiekko, jossa on hedelmien kuvia: banaani, kiivi ja päärynä. Toisessa kiekossa on marjoja: karpalo, lakka, mansikka ja mustikka ja viimein kolmannessa on viljoja:,, ja. Millä todennäköisyydellä Wilbert ratkaisee ongelmansa kerralla, kun oikeaksi ratkaisuksi hyväksytään vain yksi yhdistelmä: päärynä, lakka ja? 3(9)

4 4(9) 1. rengas 3. rengas ka ohr rui ve karpalo lakka mansikka mustikka W karpalo lakka mansikka mustikka kiivi banaani päärynä karpalo lakka mansikka mustikka ka ohr rui ve ka ohr rui ve ka ohr rui ve. rengas

5 Piirretään heti aluksi päätöspuu. On siis aloitettava arvaamalla ensimmäisen kiekon oikea asetus. Vaihtoehtoja on kolme. Toinen kiekko voidaan laittaa neljään eri asentoon ja kolmas samoin neljään. Jokaista ensimmäisen kiekon kolmea vaihtoehtoa kohti toisessa kiekossa on siis neljä vaihtoehtoa, joten tähän mennessä 3 4 = 1 vaihtoehtoa. Kutakin näitä 1 vaihtoehtoa kohti kolmannessa kiekossa on vielä neljä vaihtoehtoa. Vaihtoehtoja on kaikkiaan siis 1 4 = 48 kappaletta. Kuten esimerkin kuvasta ja harjoituksesta näkyy, vaihtoehtojen määrä kasvaa nopeasti, kun kiekkoja määrä kasvaa. Esimerkki 15 Heitetään noppaa kaksi kertaa ja kiinnitetään huomiota siihen, kummasta nopasta mikin silmäluku tuli. Millä todennäköisyydellä silmälukujen summa on vähintään 9? Summa on vähintään 9, kun yhteenlaskettavat ovat 3 ja 6 tai 4 ja 5 tai 5 ja 5 tai 5 ja 6 tai 6 ja 6. Nyt se, että saadaan ensin 5 ja sitten 6, on eri asia kuin että kuutonen tulee ensin. Siksi kaikkien tulosten taulukko on laadittava niin, että se erottaa noppien järjestyksen. Eräs hyvä keino on käyttää järjestettyä paria. Järjestetyt parit voidaan esittää joko taulukkona tai piirtää koordinaatistoon. Järjestetty pari on sinulle ennestään tuttu merkintä koordinaatiston pisteenä. Merkitään esimerkiksi sitä, että ensimmäisestä nopasta tuli ja toisesta 4, kirjoittamalla (;4). Täten suotuisien tapausten joukko on (3;6), (6;3), (4;6), (6;4), (4;5), (5;4), (5;5), (6;5), (5;6) ja (6;6). Laaditaan taulukko kaikkien tapausten joukosta ja koodataan suotuisien tapausten joukko siinä punaisella. (1;1) (;1) (3;1) (4;1) (5;1) (6;1) (1;) (;) (3;) (4;) (5;) (6;) (1;3) (;3) (3;3) (4;3) (5;3) (6;3) (1:4) (;4) (3;4) (4;4) (5;4) (6;4) (1;5) (;5) (3;5) (4;5) (5;5) (6;5) (1;6) (;6) (3;6) (4;6) (5;6) (6;6) Varmistetaan se, että kaikki vaihtoehdot tulevat mukaan tarkalleen kerran, kirjoittamalla ensimmäiseen sarakkeeseen kaikki ne vaihtoehdot, joissa ensimmäisellä nopalla tulee ykkönen, toiseen sarakkeeseen kaikki ne vaihtoehdot, joissa ensimmäisellä nopalla tulee kakkonen ja niin edelleen. Taulukon avulla näemme heti, että suotuisia tapauksia on kymmenen kappaletta ja kaikkia 10 5 vaihtoehtoja 36 kappaletta. Kysytty todennäköisyys on siis = Taulukon sijasta voit tulkita järjestetyt lukuparit siis myös koordinaatiston pisteinä ja suorittaa laskut sen mukaisesti. Vastaus: Kahta noppaa heitettäessä silmälukujen summa on vähintään 9 todennäköisyydellä 0,7. 5(9)

6 Esimerkki 16 Valiokuntaan arvotaan kolme jäsentä kansainvälisen kokouksen osallistujien joukosta. Mainittuun kokoukseen osallistuvat aasialainen lakimies, afrikkalainen insinööri, afrikkalainen poliitikko, australialainen lääkäri ja eurooppalainen tulkki. Laske todennäköisyys, jolla ainakin yksi afrikkalainen henkilö tulee valituksi. Aasia Afrikka Australia Eurooppa Kaikki vaihtoehdot kannattaa jälleen taulukoida. Määritellään sitä varten merkinnät. Insinööri Symbolien avulla esitettyinä käytettävissä olevat henkilöt ovat siis: Lakimies Lääkäri Poliitikko Tulkki Kaikki kolmen henkilön 10 erilaista kombinaatiota eli kolmen alkion osajoukkoa ovat: 6(9)

7 Kuten kuvasta heti näet, suotuisia tapauksia eli kolmen henkilön joukkoja, joissa on ainakin yksi afrikkalainen, on yhdeksän kappaletta. Täten kysytty todennäköisyys on 9/10. Vastaus: TN(valiokunnassa on ainakin yksi afrikkalainen) = 0,9. Esimerkki 17 Kaksi kurkea sanokaamme pariskunta Helmi ja Heikki saapuvat muuttomatkaltaan yhteisen kotisuonsa ainoaan vapaana lainehtivaan kanavaan. Kanava on etriä pitkä ja saman suuntainen kurkiemme lentosuunnan kanssa, ja kurjet laskeutuvat toisistaan riippumatta satunnaiseen kanavan kohtaan. Kanavan leveydellä ei ole väliä. Annetaan ojan alkupenkereelle nimi A ja loppupenkereelle nimi B. a) Millä todennäköisyydellä kurjet laskeutuvat ensimmäiseen 0 metrin alueelle? b) Millä todennäköisyydellä kurjet laskeutuvat vähintään 50 metrin etäisyydelle toisistaan? c) Millä todennäköisyydellä Helmi laskeutuu tarkalleen kanavan keskelle ja Heikki sen 50 viimeiselle metrille? Piirretään asiasta kaavio. Kaaviosta tulee kaksiulotteinen: Helmin kanava eli Helmin akseli, joka olkoon myös pystyakseli ja Heikin kanava eli Heikin akseli, joka olkoon myös vaaka-akseli. a) Piirroksen avulla on helppo uskoa, että kaikkien tapausten joukko on 100m 100m ja suotuisien tapausten joukko on 0m 0m, joten kysytty todennäköisyys on 0m 0m 1 = = 100m 100m 5 0,04. Vastaus: Todennäköisyys sille, että Helmi ja Heikki laskeutuvat kanavan ensimmäisten 0 metrin matkalle on 0,04. 0 m 0 m Helmi 0 m Heikki 7(9)

8 b) Piirretään kaavioon 50 metrin ala erikseen kummankin linnun kannalta. Kyseessä on siis ala, joka merkitsee tapausta, että Helmi laskeutuu ensimmäisten 50 metrin alueelle tai Heikki 1 laskeutuu ensimmäisten 50 metrin alueelle. Kunkin kolmion ala on 50m 50m = 150m 150m ja koko kuvion ala on m. Kysytty todennäköisyys on siis = 0, m Vastaus: Kysytty todennäköisyys on 0,15. Helmi 50 m 0 m 50 m Heikki c) Tämä vaatimus on mahdoton, koska tarkalleen keskellä ei voi osua, ei taitavakaan kurki! Kysymyksen konnektiivi ja liittää mahdollisen tapauksen Heikki laskeutuu kanavan jälkimäiseen 50 metriin mahdottomaan tapaukseen vaatimuksella, että molemmat tapahtuvat. Kysytty todennäköisyys on siis nolla. Geometrisesti tämä tulos saadaan siitäkin, että janan pinta-ala on nolla. Vastaus: Kysytty todennäköisyys on nolla. 0 m Helmi Heikki 8(9)

9 Esimerkki 18 Heitetään kolikkoa kahdeksan kertaa ja pidetään kirjaa jokaisesta heitosta erikseen. Millä todennäköisyydellä jokaisella parillisella heitolla saadaan klaava ja parittomalla kruuna? Havainnollistetaan tilannetta lokerikolla, jossa on kahdeksan lokeroa ja kukin lokero on numeroitu 1 8. Ensimmäisellä heitolla voi tulla joko kruuna tai klaava kuten jokaisella seuraavallakin heitolla. Täten ensimmäisen lokeron sisältö voi olla kolikko kruuna-puoli ylös tai klaava-puoli ylös, siis kaksi mahdollisuutta. Sama toistuu kaikkien kahdeksan kohdalla. Siis ensimmäistä kahta vaihtoehtoa kohti seuraavan lokeron kolikolla on taas kaksi mahdollisuutta, yhteensä tähän 8 mennessä 4 mahdollisuutta. Näin jatketaan loppuun saakka. Tuloksena on vaihtoehto. Koska suotuisia tapauksia on vain yksi eli tulossarja kr, kl, kr, kl, kr, kl, kr, kl, sen todennäköisyys on 1 1 = = 0, Vastaus: Kolikonheitossa TN(jokaisella parillisella heitolla saadaan klaava ja parittomalla kruuna) = 0, (9)