Testaa taitosi 1 1. Noppaa heitetään kahdesti. Merkitse kaikki alkeistapaukset koordinaatistoon. a) Millä todennäköisyydellä ainakin toinen silmäluvuista on 3? b) Mikä on a-kohdan tapahtuman vastatapahtuma? Mikä on vastatapahtuman todennäköisyys? 2. Laatikossa on vihreä, sininen, punainen ja keltainen pallo. Laatikosta nostetaan sattumanvaraisesti kaksi palloa. K a) Luettele kaikki yhtä mahdolliset alkeistapaukset. b) Millä todennäköisyydellä toinen nostetuista palloista on vihreä tai keltainen? P S V 3. Tutkimuksessa seurattiin tuhannen samana vuonna syntyneen suomalaisen elämänkaarta. Kotoamuuttoikää tutkittaessa saatiin seuraava tilasto. ikä (vuosia) 15 20 25 30 35 40 on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 % pois kotoa Laske tämän aineiston perusteella todennäköisyys, että henkilö muuttaa kotoa a) alle 20-vuotiaana b) 20 25-vuotiaana. Pitkä matematiikka 6, WSOY 1
Testaa taitosi 1:n ratkaisut 1. 6 11 a) 36 5 4 3 25 b) 36 2 1 1 2 3 4 5 6 Kumpikaan silmäluvuista ei ole kolme. Ei saada kolmosta. 2. a) Alkeistapaukset voidaan luetella järjestettyinä pareina KP KS KV PK PS PV SK SP SV VK VP VS tai järjestämättöminä pareina KP KS KV PS PV SV. b) 10 = 12 5 6 3. a) 0,46 b) Kysytty todennäköisyys on 0,41, sillä tutkimukseen osallistuneista ihmisistä 87 % 46 % = 41 % muutti pois kotoa ikävuosien 20 ja 25 välisenä aikana. Pitkä matematiikka 6, WSOY 2
Testaa taitosi 2 1. Moottoritiellä on huoltoasemia 30 kilometrin välein. Auto pysähtyy tielle polttoaineen loputtua. Millä todennäköisyydellä lähin huoltoasema on alle viiden kilometrin päässä? 2. Onnenpyörä on jaettu sektoreihin kuvan mukaisesti. Pelaaja saa 9 pelimerkkiä osuessaan tummaan sektoriin ja menettää 5 pelimerkkiä osuessaan valkoiseen sektoriin. Olkoon satunnaismuuttuja X pelaajan voitto yhdellä pelikierroksella. Määritä satunnaismuuttujan X a) jakauma b) odotusarvo. c) Ennakoi pelaajan tilanne 50 pelikierroksen jälkeen. Pitkä matematiikka 6, WSOY 3
Testaa taitosi 2:n ratkaisut 1. Huoltoasema on alle viiden kilometrin päässä 10 1 todennäköisyydellä = 0,33. 30 3 5 km 5 km 30 km 2. a) voitto +9 5 todennäköisyys 4 35 360 4 55 360 140 = = 360 220 = = 360 7 18 11 18 b) Odotusarvo on 7 11 8 4 E ( X ) = 9 5 = =. 18 18 18 9 4 c) 50 pelikierroksen jälkeen pelaaja on voitolla 50 22 9 pelimerkkiä. Pitkä matematiikka 6, WSOY 4
Testaa taitosi 3 1. Kissanpennuista viisi on tyttökissoja ja neljä poikakissoja. Kuinka monta a) kolmen poikakissan jonoa b) kolmen tyttökissan ryhmää kissoista voidaan muodostaa? 2. Kissanpennuista viisi on tyttökissoja ja neljä poikakissoja. a) Kuinka monta erilaista jonoa kissoista voidaan muodostaa? b) Kuinka monessa jonossa poikakissa on ensimmäisenä? c) Millä todennäköisyydellä sattumanvaraisesti muodostetussa jonossa poikakissa on ensimmäisenä? 3. Laske a) peräkkäisten kokonaislukujen tulo 39 38 K 20 19 39 b) binomikertoimen arvo. 5 Pitkä matematiikka 6, WSOY 5
Testaa taitosi 3:n ratkaisut 1. a) 4 3 2 = 24 5 b) = 10 3 2. a) Yhdeksän kissaa voidaan järjestää jonoon 9! = 362 880 tavalla. b) Ensimmäinen poikakissa voidaan valita 3 tavalla. Muut kissat voidaan järjestää jonoon 8! = 40 320 tavalla. Siten jonoja on 3 40 320 = 120 960. c) 120 960 362 880 = 1 3 3. a) Laskimen npr-näppäin: 39 npr 21 Kahden kertoman osamääränä: 39! 3,186 10 18! 30 b) Laskimen ncr-näppäin: 39 ncr 5 39 = 5 39 = 5 39 38 37 36 35 5! 39! = 575 757 5! 34! = 575 757 Pitkä matematiikka 6, WSOY 6
Testaa taitosi 4 1. Heitetään noppaa ja kolikkoa yhden kerran. Millä todennäköisyydellä saadaan a) silmäluku 2 ja kruuna b) silmäluku 2 tai kruuna? 2. Laatikossa on neljä punaista ja 11 mustaa palloa. Laatikosta otetaan sattumanvaraisesti kaksi palloa. Millä todennäköisyydellä pallot ovat a) mustia b) samanvärisiä? 3. Kokeessa on 10 kysymystä, joissa jokaisessa on kolme vaihtoehtoa. Opiskelija vastaa arvaamalla. Millä todennäköisyydellä hän arvaa a) kaikki väärin b) ainakin yhden oikein c) 7 oikein? Pitkä matematiikka 6, WSOY 7
Testaa taitosi 4:n ratkaisut 1. a) Tapahtumat ovat toisistaan riippumattomia. 1 1 1 Kertolaskusäännön mukaan todennäköisyys on =. 6 2 12 b) Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan P(silmäluku = P(silmäluku = 1 6 + 1 2 1 12 2 = ja 2) + P(kruuna) P(silmäluku 7. 12 kruuna) 2 ja kruuna) 11 10 11 2. a) = 0, 53 15 14 21 b) Lasketaan tapahtuman molemmat pallot ovat punaisia tai molemmat pallot ovat mustia todennäköisyys. 4 3 11 10 61 + = 0,58 15 14 15 14 105 3. a) 2 10 1024 = 0, 017 3 59049 b) 1 0,017 = 0, 983 7 10 1 2 c) 0, 016 7 3 3 3 Pitkä matematiikka 6, WSOY 8
Testaa taitosi 5 1. Määritä muuttujan x tyyppiarvo, keskiarvo ja keskihajonta. muuttuja x frekvenssi f 4 6 3 7 2 4 1 5 0 1 2. Taulukossa on uuden asutusalueen lasten ikäjakauma. Määritä a) luokkien luokkakeskukset b) lasten keski-ikä. ikä (vuotta) frekvenssi % 0 3 26 4 6 57 7 12 12 13 15 5 3. Piirrä edellisen tehtävän jakauman kertymäkuvaaja ja määritä jakauman mediaani. kertymä ikä Pitkä matematiikka 6, WSOY 9
Testaa taitosi 5:n ratkaisut 1. Tyyppiarvo on 3, keskiarvo 2,52 ja keskihajonta 1,21. 2. a) Luokkakeskukset ovat 2, 5,5, 10 ja 14,5. 26 2 + 57 5,5 + 12 10 + 5 14,5 b) Keski-ikä on = 5, 6 100 vuotta. 3. ikä (vuotta) kertymä % alle 4 26 alle 7 83 alle 13 95 alle 16 100 % 100 80 60 40 20 kertymä ikä 2 4 6 8 10 12 14 v Mediaani on noin 5,4 vuotta. Pitkä matematiikka 6, WSOY 10
Testaa taitosi 6 1. Satunnaismuuttuja Z noudattaa normitettua normaalijakaumaa. Määritä todennäköisyys a) P(Z < 1,61) b) P(Z 0,70) c) P( 0,70 Z < 1,61). 2. 16-vuotiaiden poikien pituuden keskiarvo on 173,1 cm ja keskihajonta 7,2 cm. Pituus noudattaa likimain normaalijakaumaa. Millä keskiarvon suhteen symmetrisellä välillä on 85 % pojista? Pitkä matematiikka 6, WSOY 11
Testaa taitosi 6:n ratkaisut 1. a) Normitetun normaalijakauman taulukosta saadaan P( Z < 1,61) = 0,9463 0,95. 0 1,61 z b) Symmetrian perusteella P( Z 0,70) = P( Z = 0,7580 0,76. 0,70) 0,70 0 z 0,70 0 1,61 z c) Koska P( Z < 0,70) = 1 0,7580 0, 2420, niin P( 0,70 Z < 1,61) = 0,9463 0,2420 0,70. Pitkä matematiikka 6, WSOY 12
85 % 7,5 % 7,5 % 1,44 0 1,44 z 163 173,1 183 x 2. Jakaumasta on 92,5 % normitetun arvon 1,44 alapuolella. Symmetrian perusteella normitettujen arvojen 1,44 ja 1,44 välissä on 85 % jakaumasta. Lasketaan normitettuja arvoja vastaavat pituudet. x = µ + zσ = 173,1 1,44 7,2 163 (cm) ja x = µ + zσ = 173,1 + 1,44 7,2 183 (cm) Pitkä matematiikka 6, WSOY 13