1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a) f o g b) g o f a) f o g () = f(g()) = f (4 5) = 2(4 5) + 3 = 8 7 E.4. Olkoon f() = -1 ja g() = lg (2 - ). Mikä on funktion f o g määrittelyjoukko? b) 1 < 2
Yhdistetyn funktion derivaatta D(g o f)() = g (f()) f () E.6. Derivoi h() = (2-3) 4 h ()= 4(2 3) 3 2 =8(2 3) 3
1.2.1 KÄÄNTEISFUNKTIO JA SEN KUVAAJA Funktio f ja g ovat toistensa käänteisfunktioita, jos f(g()) = ja g(f()) = Siis merkintä funktion f käänteisfunktiolle: f -1 E.2. (t. 21 a) Tutki, ovatko funktiot f ja g toistensa käänteisfunktioita f() = 4 + 5 1 5 g( ) 4 4 1 5 1 5 5 5 f ( g( )) 4( ) 5 5 5 g( f ( )) (4 5) 4 4 4 4 4 4 V: ovat
Käänteisfunktion arvon laskeminen alkuperäisen funktion avulla Jos pitää laskea f -1 (y) =. Tehdään yhtälö f() = y, josta ratkaistaan. E.4. Funktiolla f() = 2-1 on käänteisfunktio. Määritä, kun a) f -1 () = 5 b) f -1 (7) =. a) f(5) = 2 5 1 = 9 b) f() = 7 : 2 1 = 7 = 4
Käänteisfunktion lausekkeen muodostaminen 1) Merkitse y = f() 2) Ratkaise siitä 3) Vaihda y 4) Kirjoita muodossa y = f -1 () E.5. Laske f -1 (), kun a) f() = 2 + 3 a) y = 2 +3 2 = y 3 = ½y 1½ y = ½ 1½ f -1 () =½ 1½
E.6. Piirrä funktion f() = 2-2 - 3, ³ 1 kuvaaja ja sen perusteella käänteisfunktion kuvaaja. f() (,y) f -1 1-4 (1,-4) (-4,1) 2-3 (2, -3) (-3, 2) 3 0 (3, 0) (0, 3) 4 5 (4, 5) (5, 4)
1.2.2. Käänteisfunktion olemassaolo Jos funktio on (aidosti) kasvava tai (aidosti) vähenevä, niin funktiolla on käänteisfunktio E.8. Osoita, että funktiolla f() = 3 + 4-5 on käänteisfunktio. f () = 3 2 + 4 4 > 0 kaikilla, joten funktio f on aidosti kasvava => funktiolla f on käänteisfunktio
Funktion ja sen käänteisfunktion arvo- ja määrittelyjoukot Mj(f -1 ) = Aj(f) ; Aj(f -1 ) = Mj(f) E.10. Funktiolla f: [1,2] ->[3,4] on käänteisfunktio. Mitä on a) Mj(f -1 ) b) Aj(f -1 )? a) [3,4] b) [1,2]
E.12. Olkoon f() = 2 + 2, -1. Laske (f -1 ) (3) f() = 3 2 + 2 = 3 2 + 2 3 = 0 = -3 ( = 1) 1 1 1 (f -1 ) (3) = f ( 3) 2 ( 3) 2 4 Käänteisfunktion derivaatta tietyllä kohdalla 1 f ( (f -1 ) (y 0 ) =, missä y 0 = f( 0 ) 0 )
2.1.3. Laskusääntöjä n parillinen n a b b 0 ja n b a n pariton n a b n b a
Yleisen juuren laskusääntöjä 1. n ab n a n b 2. n a b n n a b 3. ( n a) n a 4. n n a a, kun a,kun n n pariton parillinen
Murtopotenssit 1 n a n a n Z ja a 0 n a m ( n a) m a m n m, n Z ja a 0 ks. E.3. s. 28
2.2.1. Yhtälön ja epäyhtälön korottaminen neliöön Olkoon a, b 0. Tällöin a = b a 2 = b 2, a < b a 2 < b 2
2.2.2. Neliöjuuriyhtälöt Neliöönkorotuksella saatu yhtälö ei aina ole yhtäpitävä alkuperäisen kanssa. Tulos tarkistettava. E.1. (t. 64a) a) 3 2 ( ) 2 + 3 = 4 = 1 Tarkistus: 1 3 2 4 2 tosi tai Määritelty, kun + 3 0 3 2 ( ) 2 + 3 = 4 = 1-3 Vastaus: = 1
E.3. (t. 67c) ( ) 2 rtkkaavalla
2.2.3. Neliöjuuriepäyhtälöt E.5. (t. 65a) 2 ( ) 2 määritelty, kun 0 4, kun 0 Vastaus: 0 < 4
E.6. (t. 65c) 2 9 5 Määritelty, kun 2 + 9 0 eli kaikilla R 2 9 5 ( ) 2 2 + 9 25 2 16 0 Vastaus: + - + -4 4
2.2.4. Muut juuriyhtälöt ja -epäyhtälöt E.8. (t. 72a) ( ) 3 2 1 = -125 2 = -124 = -62
2.3.1. Neliöjuurifunktion derivaatta (todistus: ks. kirja, s. 39) D 1 ( 0) 2 Yleisesti: D f f ( ) 2 '( ) f ( ) (f derivoituva ja positiivinen)
E.1. (t. 91c) E.2. (t. 92c) D 2 ½
E.3. Derivoi f ( ) 2 1 2 1 f '( ) 2 2 1 2 1 D f f ( ) 2 '( ) f ( ) (f derivoituva ja positiivinen)
2.3.3. Yleisen juurifunktion ja murtopotenssifunktion derivaatta Muuta potensseiksi ja derivoi potenssin derivoimissääntöä käyttäen Palauta murtopotenssit juurimuotoon D 1 1 1 1 n n n ( 0) D m n m n m 1 n ( 0)
E.4. Derivoi funktio a) f() = 2/3 b) f() = (2-1) 5/4 2 1 2 1 2 3 3 a) f '( ) 3 3 5 5 1 4 b) f '( ) (2 1) D(2 1) 5 1 1 5 (2 1) 4 4 2 (2 1) 4 4 2
3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio f aidosti vähenevä, kun 0 < k < 1 Asymptootit positiivinen -akseli (k > 1) negatiivinen -akseli (0 < k < 1) Laskusäännöt 1) k m k n = k m+n k k m mn 2) k 3) (k m ) n = k mn 4) k 0 - = 1 5) k n 1 k
E.3. a) Kirjoita luvun 2 potenssina 1 1 3 4 8 4 (2 3 ) 4 2 b) Laske 1 1 3 8 3 (2 3 ) 2 1 2 c) Esitä a:n potenssina, (a >0) 1 3 2 a a 2 a a a
3.1.2. Eksponenttiyhtälöt ja -epäyhtälöt Yhtälö, jossa kaksi termiä ja sama kantaluku Siirrä termit eri puolelle yhtälöä k = k y = y E.4. a) 3 = 9 3 = 3 2 = 2 b) 7-3 = 49 7-3 = (7 2 ) 7-3 = 7 2-3 = 2 = -3
Epäyhtälöt Epäyhtälö, jossa kaksi termiä ja sama ykköstä suurempi kantaluku Siirrä termit eri puolille epäyhtälöä. k < k y < y (kun k > 1) Epäyhtälö, jossa kaksi termiä ja sama ykköstä pienempi kantaluku Muuten samoin kuin yllä, mutta Käytä sääntöä k < k y > y (kun 0 < k < 1) E.5. a) 3 > 81 3 > 3 4 > 4 c) (½) < 8 (½) < 2 3 (½) < (½) -3 > -3 b ) 4-1 < 8 (2 2 ) -1 < 2 3 2 2( - 1) < 2 3 2( - 1) < 3 2-2 < 3 2 < 5 < 2,5
3.2.1. Neperin luku e ja funktio y = e
Neperin luku e ja sen määritelmä Eksponenttifunktio f() = k e on se eksponenttifunktio, jonka derivaatta nollassa on 1 eli f (0) = 1 e 2,718281828 (laskimella) y = e Eksponenttifunktion f() = e ominaisuuksia M f = R A f = ]0,[ Funktio on jatkuva kaikkialla Funktio on aidosti kasvava Asymptoottina negatiivinen akseli Potenssien laskusäännöt säilyy e u = e v u = v (ks. kirja s. 54-55)
E.1. Sievennä a) e 2 e - = e 2 = e b) e 3 (e +1 ) 2 = e 3 e 2+2 = e 3+2+2 = e 2 + 5 E.2. Ratkaise yhtälö a) e +2 = e - + 2 = - 2 = -2 = -1 b) e 3 6 = 1 e 3-6 = e 0 3 6 = 0 3 = 6 = 2
3.2.2. Funktion y = e derivaatta D(e ) = e
E.3. Derivoi a) f() = 2e + 3 b) f() = (e + 1) 2 a) f () = 2e + 3 b) f () = 2e (e + 1)
Olkoon f derivoituva funktio. D(e f() ) = e f() f () E.4. Derivoi a) f() = e 2 d) f() = e 2 3 a) f () = 2e 2 b) f () = 2e 2 3 +e 2 3 2 = 2 e 2 (2 + 3)
Derivaatan arvon laskeminen Derivoi ja sijoita sen lausekkeeseen haluttu kohta E.5. Laske f (1), kun f() = e 2-3 f () = 2e 2 3 2 f (1) = 2e 2-3 Tangentin kulmakertoimen laskeminen, k T = f ( 0 ) E.6. Mikä on käyrän y = e 1- kohtaan = 1 piirretyn tangentin kulmakerroin? f () = e 1- f (1) = -e 1-1 = -e 0 = -1
E.8. Määritä funktion derivaatan nollakohdat, f() = e 4 + e -4 f () = 4e 4 4e -4 f () =0: 4e 4 4e -4 = 0 4e 4 = 4e -4 e 4 = e -4 4 = -4 8 = 0 = 0
4.1.1. Kymmenkantainen logaritmi Olkoon a > 0, tällöin on olemassa yksikäsitteinen siten, että a = 10 luku on luvun a kymmenkantainen logaritmi Merkintä: = lga tai = log 10 a
Siis Eksponenttiyhtälön 10 = a ratkaisua sanotaan luvun a logaritmiksi eli luvun a logaritmi on se eksponentti, johon luku 10 pitää korottaa, jotta potenssin arvoksi tulisi logaritmoitava a E.1. a) lg1000 = 3, koska 10 3 = 1000 b) lg6 0,78 koska 10 0,78 6 c) Minkä luvun logaritmi on 2 10 2 = 100
Huom logaritmoitavan on oltava positiivinen Jokainen positiivinen luku a voidaan esittää luvun 10 potenssina a = 10 lga lg10 b = b E.2. Montako numero luvussa 2 1000 = (10 lg2 ) 1000 = 10 lg21000 = 10 301 302
4.1.2. Logaritmifunktio eksponenttifunktion käänteisfunktiona
k-kantainen logaritmifunktio log k a tarkoittaa sitä eksponenttia, mihin kantaluku k pitää korottaa, jotta saataisiin logaritmoitava a. Eli olkoon k > 0, k1 Positiivisen luvun a k-kantainen logaritmi log k a = b a = k b E.3.Laske a ) log 3 9 = 2, koska 3 2 = 9 I: 3 = 9 II: log 3 3 2 = 2 3 = 3 2 = 2 b) log 2 8 = 3, koska 2 3 = 8 I: 2 = 8 log 2 2 3 = 3 2 = 2 3 = 3
4.1.3. Luonnollinen logaritmi
LUONNOLLINEN LOGARITMI Luonnollisen logaritmijärjestelmän kantaluku eli Neperin järjestelmän kantaluku on e. Luonnollinen logaritmi log e a = lna (a > 0): se eksponentti, johon kantaluku e on korotettava, jotta tulokseksi saadaan logaritmoitava a. Luonnollinen logaritmifunktio y = ln ja eksponenttifunktio y=e ovat toistensa käänteisfunktioita: lna = b a = e b e lna = a ( a > 0) lne a = a (a R)
E.5. a) e ln5 = b) lne 2 = a) 5 b) 2
E.6. Laskimella 1,61 ln5 E.7. Mikä on funktion f() = ln (5 - ) määrittelyjoukko? 5 > 0 < 5 E.8. (t. 181a) ln = 1 = e 1 = e
4.1.4. Logaritmifunktion ominaisuuksia
Luonnollisen logaritmifunktion f() = ln ominaisuuksia 1) M f = ]0,[ A f = R 2) Funktio f on jatkuva 3) Funktio f on aidosti kasvava 4) Käyrällä y = ln on asymptoottina negatiivinen y-akseli ks. kirja s. 68 logaritmifunktion ominaisuuksia
4.2.1. Logaritmien laskusäännöt
Logaritmin laskusääntöjä Olkoon a, b > 0 ja k > 0, k 1 log k ab= log k a + log k b log k (a/b)= log k a - log k b log k a n = n log k a E.9. a) lg2 + lg5 = lg (2 5) = lg10 = 1 b) lga 2 + lg(1/a) (a>0) = 2lga + lg1 - lga =2lga + 0 - lga = lga c) Esitä lg3:n avulla lg3000 = lg(3 1000) = lg3 + lg 1000 = lg3 + 3
E.10. Esitä yhtenä logaritmina a) lna + ln6 b) ½ln16 + 1 c) 2ln4 3ln2 a) lna + ln6 = ln6a b) ½ln16 + 1 = ln16 ½ + lne = ln4 + lne = ln4e c) 2ln4 3ln2 = ln4 2 ln2 3 = ln16 ln8 = ln (16/8) = ln2
E.11. (t. 203a,c) Olkoon a = log k 2 ja b=log k 3. Esitä a:n ja b:n avulla a) log k (3/2) = log k 3 log k 2 = b a b) log k 12 = log k (4 3) = log k 4 + log k 3 = log k 2 2 + log k 3 = 2log k 2 + log k 3 = 2a + b
4.2.2. Eksponenttiyhtälöitä E.12. 2 = 7 lg2 = lg7 lg2 = lg7 = lg7 /lg2 2,807 tai log 2 7 lg 7 lg 2 2,807 ks. kantaluvun vaihto edellä
E.13. (t. 210a) 3 +1 = 20 lg3 +1 = lg20 (+1)lg3 = lg20 1 lg 20 lg 3 lg 20 lg 3 1 1,72
E.14. Kuinka monessa vuodessa talletuksen arvo viisinkertaistuu, jos vuotuinen korko on 8%? a = talletuksen arvo alussa 1,08 a = 5a :a 1,08 = 5 lg 1,08 = lg 5 lg 1,08 = lg 5 = lg 5/ lg1,08 =20,9 V: 21 vuodessa
E.15. (t. 221b) 5 = 17 4 n a n a ( ) ( b 0) n b b 5 17 4 5 ( ) 17 4 5 lg( ) 4 lg17 5 lg( ) lg17 4 c lg17 12,7 lg(5/ 4)
4.2.3. Logaritmiyhtälöitä E.16. (t. 212a) a) Ratkaise yhtälö log 2 (3 1) = 1 log k u = log k v u = v (u, v > 0) Määrittelyehto: 3 1 > 0 eli > 1/3 2 1 = 3 1 3 = 3 = 1
b) lg + lg( - 3) = 1 ( > 3) lg(-3) = lg 10 ( - 3) = 10 2-3 - 10 = 0, ratkaisukaavalla ( = -2), = 5
E.17. 2ln = 1 Mj: >0 ln = ½ = e ½ = e E.18. ln3 = -ln(1 ) Mj: < 1 ln3 = ln(1 ) -1 3 = (1 ) -1 1 3 1 3 1 1 1 3(1- ) = 1 1 - = 1/3 = 2/3
E.19. (t. 223a) lg 3 3 lg lg Määritelty, kun > 0 4 lg 3 lg 3 4 3 3 4 3 12 = 4
4.3.1. Luonnollisen logaritmifunktion derivaatta
1 1) D(ln ) = ( >0) Todistus: e ln = De ln = D Dln e ln = 1 Dln = 1 2) Dlnf() = f '( ) f ( ) Dln = 1 (f derivoituva ja f() > 0)
E.1. Derivoi a) f() = 6ln b) f() = ln 5 a) f () = 6 ( > 0) 1 6 b) f () = 5 5 4 5 ( > 0) TAPA 2 b) f() = ln 5 = 5ln 1 f () = 5 5
E.2. Derivoi a) f() = 3 ln 3 b) f() = ln 3 a) f () = 3 2 ln3 + 3 = 2 (3ln3 + 1) ( > 0) 3 3 f '( ) 1 2 3 ln 3 6 ln 3 6 2 2 2 (1 3ln 6 ) 13ln 4 ( > 0)
E.3. (t. 238a, c) Laske funktion f derivaatan nollakohdat a) Dln( 2 1) 2 2 1 2 1 2 0 2 0 0 c) D(ln) 3 = 3(ln) 2 1 3(ln 2 1 ) 0 ln 0 1
Funktion monotonisuus (kasvava /vähenevä) tutkitaan derivaatan merkeillä Ääriarvojen laskeminen Laske mahdolliset ääriarvokohdat, f :n merkit, hahmottele kulku ja päättele ääriarvo Funktion suurin ja pienin arvo Jos funktio on jatkuva suljetulla välillä, niin sillä on varmasti suurin ja pienin arvo Lasketaan mahdolliset ääriarvokohdat, funktion arvot näissä ja valitaan niistä suurin / pienin Epäyhtälön oikeaksi osoittaminen Käytetään periaatetta: Jos pienin arvo on positiivinen, niin kaikki arvot ovat positiivisia
E.4. Milloin funktio f() = ln ( 2 + 3) - ½ln on vähenevä? Määritelty, kun > 0, jolloin jatkuva ja derivoituva f () = 2 1 1 3 2 2 2 3 2 1 2 0 1 2 22 1( 3) 2 ( 3) 2 2-1 2 - + + + 4 ( 2 2 2 3 3) 2 f () f () - + 2 3( 1) 2 ( 3) 2 V: Vähenevä, kun 0 < < 1
4.3.2. Derivaatan sovelluksia
E.5. Määritä funktion f() = - ln suurin ja pienin arvo välillä [½,e] Määritelty, jatkuva ja derivoituva välillä [½,e] f () = f () = 0: 1 1 0 1 0 1 0 = 1 1 1 f(½) = ½ - ln½ 1,193 f(1) = 1 ln1 = 1 f(e) = e lne = e 1 Suljetulla välillä jatkuvan funktion ääriarvolauseen mukaan suurin ja pienin arvo saavutetaan joko päätepisteissä tai derivaatan nollakohdassa V: Suurin arvo e 1 Pienin arvo 1
E.6. Osoita, että ln ( + 1) kaikilla > -1. ln( + 1) - 0 tutkitaan funktiota f() = ln( + 1) - MJ: > -1-1 0 f () f () + - f 1 '( ) 1 1 f '( ) 0 1 1 0 1 1 1 1 0 = 0 1 0 1 Suurin arvo, kun = 0 f(0) = ln(0 + 1) 0 = 0 => Kaikki arvot 0
E.7. Määritä vakio a siten, että funktion f() = ln - 4 + a maksimiarvo on 5. MJ: > 0 f '( 1 ) 4 Osoittaja määrää merkin 0 1/4 1 f '( ) 4 0 0: f () f () + - ma 1 4 1 4 0 0 f(¼) = ln ¼ - 4 ¼ + a ln ¼ - 4 ¼ + a = 5 ln4-1 - 1 + a = 5 -ln4 + a = 6 a = 6 + lna