A! Aalto-yliopisto Sähkötekniikan korkeakoulu S-55.1210 PIIRIANALYYSI 1 Luentomoniste 2012 Martti Valtonen u i malli u i R i 7
2 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 3 Sisältö (viittaukset kalvonumerointiin) RAD-LAITOKSEN PERUSOPETUS 1 S-55.1210 Piirianalyysi 1 (5 op).................... 2 Kirjallisuus............................... 2 Suorittaminen.............................. 3 JOHDANTO 4 Etuliitteet................................ 4 APLAC 5 Perussuureet.............................. 6 Tasa- ja vaihtovirtamerkinnät..................... 7 Gravitaatiokenttä............................ 8 Sähkökenttä............................... 9 Merkinnät................................ 10 Jännite kahden pisteen välillä.................. 10 Virta ideaalijohtimessa...................... 10 Risteävät johtimet, jotka koskettavat toisiaan......... 11 Risteävät johtimet, jotka eivät kosketa toisiaan........ 11 PIIRIELEMENTIT 12 Kaksinapainen piirielementti..................... 12 Avoin piiri............................. 12 Oikosulku............................. 12 Hetkellinen teho ja pätöteho...................... 13 Passiivinen piirielementti....................... 14 Aktiivinen piirielementti........................ 14 Ohmin laki............................... 15 Vastus.................................. 16 Vastuksen kuluttama pätöteho.................... 17 Passiiviset peruskomponentit..................... 18 Aktiiviset peruskomponentit...................... 19 Lineaarisuus............................... 20 Esimerkki............................. 20 Keskitetyt komponentit........................ 21 PIIRIEN PERUSLAIT 22 Esimerkki piiristä............................ 23 Kirchhoffin virtalaki.......................... 24 Kirchhoffin jännitelaki......................... 25 TASAVIRTAPIIRIT 26 Esimerkki: Rinnankytketyt elementit................. 26 Tehon kulutus............................. 27 Esimerkki............................. 27 Esimerkki............................. 28 Esimerkki............................. 29
4 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Esimerkki............................. 30 PIIRIMUUNNOKSET 31 Ekvivalenttiset piirielementit..................... 31 Rinnakkaiset virtalähteet....................... 31 Esimerkki............................. 32 Sarjaankytketyt jännitelähteet.................... 33 Virtalähde sarjassa piirielementin kanssa............... 34 Esimerkki............................. 35 Esimerkki............................. 36 Jännitelähde rinnan piirielementin kanssa.............. 37 Esimerkki............................. 38 Resistanssien sarjaankytkentä..................... 39 Esimerkki............................. 40 Esimerkki............................. 41 Resistanssien rinnankytkentä..................... 42 Esimerkki............................. 43 Esimerkki............................. 44 Esimerkki............................. 45 Jännitelähteen muuttaminen virtalähteeksi............. 46 Virtalähteen muuttaminen jännitelähteeksi............. 47 Esimerkki............................. 48 Sääntö jännitteen jaolle........................ 50 Sääntö virran jaolle........................... 51 Tähti-kolmiomuunnos......................... 53 Kolmio-tähtimuunnos......................... 57 Esimerkki............................. 58 YHDEN RIIPPUMATTOMAN LÄHTEEN PIIRIT 61 Tikapuuverkko............................. 62 Esimerkki............................. 62 Kerrostamismenetelmä......................... 63 Esimerkki............................. 63 Esimerkki............................. 65 THÉVENININ JA NORTONIN MENETELMÄT 67 Théveninin lähde............................ 67 Esimerkki............................. 70 Théveninin menetelmä......................... 75 Esimerkki............................. 75 Nortonin lähde............................. 79 Théveninin ja Nortonin lähteen ekvivalenssi............. 81 Nortonin menetelmä.......................... 82 Esimerkki............................. 82 PIIRIN SYSTEMAATTINEN RATKAISEMINEN 85 Riippumattomat virtayhtälöt..................... 85 Riippumattomat jänniteyhtälöt.................... 87
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 5 SILMUKKAMENETELMÄ 89 Kiertävät silmukkavirrat........................ 89 Esimerkki............................. 90 Esimerkki............................. 91 Ohmin laki matriisimuodossa..................... 92 Esimerkki............................. 93 Silmukkamenetelmän säännöt..................... 94 Matriisit................................. 95 m x n-matriisi.......................... 95 Neliömatriisi........................... 95 Lävistäjäalkiot.......................... 95 Symmetrinen matriisi...................... 95 Yksikkömatriisi.......................... 95 Matriisien kertolasku....................... 95 Käänteismatriisi......................... 95 Matriisiyhtälön ratkaisu..................... 95 Determinantti ja alideterminantti................... 96 Matriisin determinantti..................... 96 Alideterminantti......................... 96 2 x 2-matriisin determinantti.................. 96 Determinanttikehitelmä..................... 96 Cramerin sääntö............................ 97 Esimerkki............................. 98 Yhteenveto silmukkamenetelmästä.................. 100 Esimerkki............................. 101 SOLMUMENETELMÄ 103 Referenssisolmu............................. 104 Esimerkki............................. 105 Ohmin laki matriisimuodossa..................... 106 Esimerkki............................. 107 Solmumenetelmän säännöt....................... 108 Esimerkki............................. 109 Yhteenveto solmumenetelmästä.................... 111 Esimerkki............................. 112 SILMUKKA- JA SOLMUMENETELMIEN VERTAILU 114 Lähteiden jakaminen.......................... 115 OHJATUT LÄHTEET 117 Siirtoresistanssi............................. 118 Siirtokonduktanssi........................... 118 Jännitevahvistus............................ 118 Virtavahvistus............................. 118 Esimerkki............................. 119 Yksinkertainen transistorimalli.................... 121 Esimerkki: Transistori vahvistimena.............. 122
6 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen VAIHTOVIRTAPIIRIT 125 Jaksollinen vaihtovirta......................... 125 Vaihtovirtasignaalit........................... 126 Tehollisarvo............................... 127 Vaihtovirran resistanssissa R kuluttama pätöteho P..... 127 Sinimuotoinen vaihtovirta....................... 128 Passiiviset peruskomponentit..................... 130 Esimerkki............................. 134 Kompleksiluvut............................. 136 Kompleksiaritmetiikka......................... 137 Kertominen luvulla j.......................... 138 Esimerkki............................. 138 Jakaminen luvulla j eli kertominen luvulla -j............. 139 Esimerkki............................. 139 Pyörivä huippuarvon osoitin...................... 140 Analyysi osoittimilla (= kompleksiluvuilla)............. 141 Esimerkki............................. 141 Kiinteä tehollisarvon osoitin...................... 142 Esimerkki............................. 143 Esimerkki............................. 144 Passiiviset peruskomponentit..................... 145 Esimerkki............................. 146 Osoitindiagrammi........................... 147 Esimerkki............................. 147 Impedanssi ja admittanssi....................... 148 Passiiviset peruskomponentit taajuusalueessa............ 149 Yleistetty Ohmin laki......................... 150 Esimerkki............................. 150 TAAJUUSALUEANALYYSI 151 Impedanssien sarjaankytkentä..................... 151 Admittanssien rinnankytkentä.................... 151 Jännitelähteen muuttaminen virtalähteeksi............. 152 Virtalähteen muuttaminen jännitelähteeksi............. 152 Sääntö jännitteen jaolle........................ 153 Sääntö virran jaolle........................... 153 Tähti-kolmio- ja kolmio-tähtimuunnos................ 154 Théveninin lähde............................ 155 Nortonin lähde............................. 156 Silmukkamenetelmä.......................... 157 Esimerkki............................. 159 Solmumenetelmä............................ 160 Esimerkki............................. 162 Ohjatut lähteet............................. 163 Siirtoimpedanssi......................... 164 Siirtoadmittanssi......................... 164 Jännitevahvistus......................... 164
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 7 Virtavahvistus.......................... 164 Esimerkki............................. 165 VAIHTOVIRTATEHO 167 Hetkellinen teho............................ 167 Pätöteho................................ 167 Esimerkki............................. 168 Kompleksinen teho........................... 169 Esimerkki............................. 171 Esimerkki............................. 173 Esimerkki............................. 176 Esimerkki............................. 178 Energiavarastojen hitaus........................ 179 PERUSSUODATTIMET 180 Ylipäästösuodatin: Sarja-RC-piiri................... 181 Sarja-RC-piirin taajuusvaste.................. 182 Alipäästösuodatin: Sarja-RL-piiri................... 183 Sarja-RL-piirin taajuusvaste................... 184 Alipäästösuodatin: Rinnakkais-RC-piiri............... 185 Ylipäästösuodatin: Rinnakkais-RL-piiri............... 186 Esimerkki: Suurtaajuisen häiriösignaalin vaimentaminen... 187 RESONANSSIPIIRIT 189 Sarjaresonanssi............................. 189 Rinnakkaisresonanssi.......................... 189 Sarja-RLC-resonaattori........................ 190 Osoitindiagrammi......................... 191 Loistehot............................. 192 Kaistanpäästösuodatin: Sarja-RLC-piiri............... 194 Sarja-RLC-piirin taajuusvaste.................. 195 3 db:n kaistanleveys.......................... 198 Geometrisesti symmetrinen kaistanpäästösuodatin......... 199 Hyvyysluku............................... 200 Rinnakkais-RLC-resonaattori..................... 201 Jännitteet ja virrat resonanssitaajuudella.............. 203 Esimerkki............................. 204 Esimerkki............................. 205 Kaistanestosuodatin: Sarjaankytketty rinnakkais-lc-piiri..... 206 Sarjaankytketyn rinnakkais-lc-piirin taajuusvaste...... 207 Käytännöllinen rinnakkais-lc-resonaattori............. 208 Äänentoiston jakosuodattimet..................... 209 Jakosuodattimien taajuusvasteet................... 210 LÄHTEEN SOVITTAMINEN 211 Antennin sovittaminen......................... 212 Loistehokompensointi......................... 213
8 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen OPERAATIOVAHVISTIN 215 DIP/DIL-kotelo............................. 215 Operaatiovahvistimen sijaiskytkentä................. 216 Esimerkki............................. 216 Takaisinkytkentä ja avoin silmukka.................. 217 Ideaalinen operaatiovahvistin..................... 218 Virtuaalinen oikosulku......................... 219 Virtuaalinen maa............................ 219 Invertoiva vahvistin.......................... 220 Esimerkki............................. 220 Summaava vahvistin.......................... 221 Ei-invertoiva vahvistin......................... 222 Esimerkki............................. 222 Jännitteenseuraaja........................... 223 Integraattori.............................. 224 Derivaattori............................... 225 Ideaalinen operaatiovahvistin solmumenetelmässä.......... 226 Esimerkki............................. 229 Esimerkki............................. 231 Esimerkki: Virtalähde operaatiovahvistimen ja jännitelähteen avulla........................... 233 Esimerkki: Induktanssi operaatiovahvistimen ja kapasitanssin avulla........................... 236 KESKINÄISINDUKTANSSI 239 Muuntaja................................ 240 Ideaalimuuntaja............................ 242 Muuntaja taajuusalueessa....................... 243 Esimerkki............................. 244 Muuntajan kuormitus......................... 246 Muuntajan yleinen sijaiskytkentä................... 247 Muuntajan T-sijaiskytkentä...................... 248 Keskinäisinduktanssin vaikutus silmukkayhtälöihin......... 249 Esimerkki............................. 249 Virtalähteen muuttaminen jännitelähteeksi............. 256 Esimerkki............................. 257 SYMMETRISET 3-VAIHEJÄRJESTELMÄT 261 3-vaihejärjestelmän jännitelähde................... 261 Tähteen kytketty symmetrinen järjestelmä.............. 263 Pääjännitteet.............................. 264 Tähti-kolmiomuunnos lähteille.................... 265 Kolmioon kytketty järjestelmä.................... 266 Tähti-kolmiomuunnos impedansseille................. 267 1-vaiheinen sijaiskytkentä....................... 268 Esimerkki............................. 269 3-vaihejärjestelmän teho........................ 271 Kompleksinen teho........................... 273
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 9 Esimerkki............................. 274 Pätötehon mittaaminen........................ 277 Pätötehomittari.......................... 277 3-vaihejärjestelmän tehon mittaaminen................ 278
10 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 11 S-55.1210 Piirianalyysi 1 Viikko 1: Sähköisten piirien perussuureet ja -lait Piirianalyysin tarkoituksena on opettaa ymmärtämään, miten sähköisistä komponenteista, kuten vastuksista, kondensaattoreista, keloista, muuntajista, koaksiaalikaapeleista, diodeista, transistoreista ja operaatiovahvistimista koottujen laitteiden toiminta ja käyttäytyminen voidaan ennustaa riittävän tarkasti onnistuneen teollisen tuotteen aikaansaamiseksi. Tavoitteeseen pääsemiseksi tarvitaan 1) mallit, jotka kuvaavat hyvin komponenttien ominaisuuksia, ja 2) menetelmät, joiden avulla malleista koottuja kytkentöjä voidaan analysoida. Tällä viikolla esitetään sähkötekniikan perussuureet: kaikkien sähköisten ilmiöiden taustalla oleva varaus, varausten liikkeestä johtuva virta, varauksen synnyttämän sähkökentän aiheuttama potentiaali, potentiaaliero eli jännite sekä energia, hetkellinen teho ja pätöteho. Ensimmäisinä malleina käsitellään resistanssit sekä ideaaliset riippumattomat jänniteja virtalähteet. Resistansseihin liittyvä Ohmin laki esitellään ja tutustutaan kaksinapaisiin piirielementteihin ja niistä muodostettujen piirikytkentöjen solmupisteisiin ja haaroihin. Kirchhoffin jännite- ja virtalakien esittelyn jälkeen analysoidaan ensimmäiset tasavirtapiirit.
12 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 13 RAD-LAITOKSEN PERUSOPETUS Piiriteoria Kenttäteoria Pakolliset opintojaksot S-55.1210 Piirianalyysi 1 5 op 1. vsk syksy (EST ja osin BIO) S-55.1220 Piirianalyysi 2 5 op 1. vsk kevät (EST ja osin BIO) 1 S-96.1111 Staattinen kenttäteoria 5 op 2. vsk syksy (EST) S-96.1121 Dynaaminen kenttäteoria 5 op 2. vsk kevät (EST) S-55.1210 Piirianalyysi 1 (5 op) radio.aalto.fi noppa.aalto.fi anu.lehtovuori@aalto.fi Luennot ti 12-14 S4, Martti Valtonen, C123 Harjoitukset 2t/vko, Anu Lehtovuori, C122 Ilmoittautuminen Oodilla viimeistään 17.9.!!! Luentokalvot ja laskuharjoitukset ratkaisuineen Nopassa Oppikirja: M. Valtonen ja A. Lehtovuori: PIIRIANALYYSI, Osa 1: Tasa- ja vaihtovirtapiirien analyysi, Unigrafia, 2011, 296 sivua. English textbooks: J.A. Edminister and M. Nahvi: ELECTRIC CIRCUITS, Third Edition, Schaum s Outline Series, 1997, chapters 1-5, 9-12, and 14 as well as appendices A and B. J.W. Nilsson and S.A. Riedel: ELECTRIC CIRCUITS, 6th/7th/8th Edition, Prentice-Hall, 1999/2005/2007, chapters 1-6, 9-11, and 14. 2
14 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Suorittaminen 3 Välikokeilla (2 kpl) tai tentillä (4 kpl/vuosi) Välikokeissa 5 tehtävää (max. 5 * 5 p.) 1 tehtävä laskuharjoituksista Hyvitys palautettavista kotitehtävistä max. 5p. Hyvitys labramittauksesta max. 1p. Tentissä 5 tehtävää (max. 5 * 10 p.) Pistemäärä Arvosana 0... 23 0 24... 28 1 29... 33 2 34... 38 3 39... 43 4 44... 50 5 Etuliitteet 4 E 10 18 exa P 10 15 peta T 10 12 tera G 10 9 giga M 10 6 mega k 10 3 kilo m 10 3 milli µ 10 6 mikro n 10 9 nano p 10 12 piko f 10 15 femto a 10 18 atto
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 15 APLAC Piirianalyysi- ja suunnitteluohjelmisto: mm. NOKIAn matkapuhelimien integroitujen RF-piirien suunnittelutyökalu RF = Radio Frequency Ohjelman käytön osaaminen ei kuulu vaatimuksiin S-55.3230 Piirisimulointi (4-5 op) http://web.awrcorp.com 5 Perussuureet Varaus Q, q(t) (yksikkö coulombi) [ Q ] = C Virta I, i(t) (ampeeri) [ I ] = A Varaus aikayksikköä kohti i = dq dt C s = A Potentiaali V, v(t) (voltti) [ V ] = V Potentiaalienergia varausyksikköä kohti v = dw dq Jännite U, u(t) Potentiaaliero u = dw dq J C = V [ U ] = V Teho P, p(t) (watti) [ P ] = W 6 Työ aikayksikköä kohti p = dw dt = dw dq dq dt = ui J s = W
16 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Tasa- ja vaihtovirtamerkinnät 3 APLAC User: Martti Valtonen 1,5 DC U 7 0 AC u = u(t) 1,5 PULSSI u = u(t) 3 0 0,25 0,5 0,75 1 t /ns Gravitaatiokenttä 8 Korkeus h 2 h 1 massa m Gravitaatiokenttä Potentiaalienergia mgh m : h 2 h 1 W = mg(h 2 h 1 )
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 17 Sähkökenttä Potentiaali V 2 V 1 Varaus Q Sähkökenttä Potentiaalienergia QV Q : V 2 V 1 W = Q(V 2 V 1 ) Potentiaaliero = jännite U = V 2 V 1 9 Merkinnät Jännite kahden pisteen välillä u (ylempi potentiaali, u > 0) (alempi potentiaali, u > 0) 10 Virta ideaalijohtimessa i (elektronien suunta )
18 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Merkinnät Risteävät johtimet, jotka koskettavat toisiaan 11 Risteävät johtimet, jotka eivät kosketa toisiaan Standardi Myös käytetty Kaksinapainen piirielementti i u Elementtiin liittyy jännite ja virta 12 Avoin piiri i = 0 u i u = 0 Ideaalieristeen malli Oikosulku Ideaalijohteen malli
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 19 Hetkellinen teho ja pätöteho i=i(t) u=u(t) Hetkellinen teho p = p(t) = ui Energian kulutus [0... T ] T W = p(t) dt 0 13 Pätöteho T P = 1 p(t) dt = W T T 0 edustaa todellista tehon kulutusta Passiivinen piirielementti i u t : w = t ui dt 0 Aktiivinen piirielementti 14 i u t : w = t ui dt < 0 Energialähde
20 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Ohmin laki i u Johdekappale 15 i 7 R u = Ri i = Gu Resistanssi G Konduktanssi G = 1 R A V V A = Ω = ohm = = mho = S = siemens Vastus 16 i u i 7 malli i u R Komponentti: vastus Ominaisuus: resistanssi
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 21 Vastuksen kuluttama pätöteho i R u P = 1 T T 0 ui dt = 1 T T 0 Ri 2 dt = 1 T T 0 u 2 R Passiivinen peruskomponentti dt 0, R > 0 17 Tasavirralla P = UI = RI 2 = U 2 R Passiiviset peruskomponentit Resistanssi (Vastus) i R u Kapasitanssi (Kondensaattori) i C u Induktanssi (Kela, Käämi) u = Ri U = RI i = C du dt I = 0 18 i L u u = L di dt U = 0
22 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Aktiiviset peruskomponentit Ideaalinen jännitelähde 19 E U = E Ideaalinen virtalähde J I = J Lineaarisuus i u = f(i) u 20 f(i 1 + i 2 ) = f(i 1 ) + f(i 2 ) f(ki 1 ) = kf(i 1 ) Passiiviset peruskomponentit ovat lineaarisia, mikäli niiden ominaisuudet eivät riipu jännitteestä eivätkä virrasta. Esim. i R u = Ri (R = vakio) u
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 23 Keskitetyt komponentit varauksenkuljettajat liikkuvat äärettömän nopeasti i i u 21 Passiiviset peruskomponentit ovat keskitettyjä Keskitetty malli on hyvä, mikäli komponentit ovat pieniä aallonpituuteen verrattuna. PIIRIEN PERUSLAIT Piiri muodostuu haaroista, jotka sisältävät piirielementtejä, ja näitä yhdistävistä solmupisteistä i piiriv 1 A v 2 elementti u A = v 1 v 2 22 solmupiste haara Haaroissa kulkee virta (i A ) ja solmupisteillä on potentiaali (v 1, v 2 ) Jännite = potentiaaliero solmupisteiden välillä (u A )
24 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Esimerkki piiristä Elementtien liitoskohdat ovat solmupisteitä ja todellisten solmupisteiden välillä on aina elementti ( oikosulku) 1 23 2 3 4 Kirchhoffin virtalaki i 1 i 3 i 2 24 i 4 i 1 + i 2 = i 3 + i 4 Jos sovitaan tulevat virrat positiivisiksi i k = 0 k
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 25 Kirchhoffin jännitelaki u 1 u 4 u 2 u 3 25 u 1 + u 2 = u 3 + u 4 Kierrettäessä suljettua silmukkaa sovitaan kiertosuunnan mukaiset jännitteet positiivisiksi u k = 0 k Esim. TASAVIRTAPIIRIT Rinnankytketyt elementit E =40 V I I 1 I 2 U R 1 = 100 9 Ω R 2 =100 Ω Mitä J vaikuttaa jännitteeseen U? Mitä J vaikuttaa virtoihin I 1 ja I 2? Onko I 2 > I 1? U = 40 V J =10 A 26 I 1 = U R 1 = 40 100 9 A = 3,6 A I 2 = U R 2 = 40 100 A = 0,4 A I = I 1 + I 2 J = 6 A
26 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 27 Esim. E =40 V 6 A U P R1 = I 2 1 R 1 = U 2 P R2 = I 2 2 R 2 = U 2 Tehon kulutus 3,6 A 0,4 A R 1 = 100 9 Ω R 2 =100 Ω R 1 = 402 100 9 W = 144 W R 2 = 402 100 W = 16 W P E = ( 40 V) ( 6 A) = 240 W kuluttaa tehoa P J = ( 40 V) 10 A = 400 W antaa tehoa J =10 A Tarkistus: P R1 + P R2 + P E + P J = 0 28 Esim. J 1 =40 A U I 1 I 2 R 1 = 100 9 Ω R 2 =100 Ω I 1 + I 2 = J 1 + J 2 = (40 + 10) A = 50 A I 1 = U I 2 = U R 1 R 2 Sijoitetaan I 1 ja I 2 ensimmäiseen yhtälöön U + U = 50 A U = 500 V R 1 R 2 I 1 = 500 100 9 A = 45 A I 2 = 500 100 A = 5 A J 2 =10 A
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 27 Esim. Sarjaankytketyt elementit J =40 A U U 1 R 1 =20 Ω U 2 R 2 =10 Ω I E =10 V I = 40 A U 1 = R 1 I = 800 V P R1 = R 1 I 2 = 32 kw U 2 = R 2 I = 400 V P R2 = R 2 I 2 = 16 kw U = U 1 + U 2 + E = 1210 V P J = ( 1210 V) 40 A = 48,4 kw P E = 10 V 40 A = 0,4 kw 29 Tarkistus: P R1 + P R2 + P E + P J = 0 Esim. U 1 U 2 I E 1 =40 V R 1 =20 Ω R 2 =10 Ω E 2 =10 V U 1 + U 2 = E 1 E 2 = (40 10) V = 30 V U 1 = R 1 I U 2 = R 2 I 30 Sijoitetaan U 1 ja U 2 ensimmäiseen yhtälöön R 1 I + R 2 I = 30 V I = 1 A U 1 = 20 V U 2 = 10 V
28 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 29 S-55.1210 Piirianalyysi 1 Viikko 2: Piirimuunnokset Kun tunnetaan piirien peruslait ja piirielementtien yhtälöt, jokainen kytkentä voidaan analysoida kirjoittamalla riittävä määrä yhtälöitä ja ratkaisemalla syntynyt yhtälöryhmä esimerkiksi eliminoimalla muuttuja kerrallaan. Tämän viikon tarkoituksena on oppia havainnollisempi tapa analysoida piirejä siten, että jokainen lähteistä ja resistansseista koottu kytkentä yksinkertaistetaan asteittain yhden lähteen ja yhden resistanssin piiriksi, joka on helppo ratkaista. Yksinkertaistaminen tapahtuu piirimuunnosten avulla. Tällä viikolla esitetään kuinka rinnankytketyt (elementeillä sama jännite) virtalähteet muunnetaan yhdeksi virtalähteeksi ja sarjaankytketyt (elementeillä sama virta) jännitelähteet yhdeksi jännitelähteeksi. Vastaavasti sekä sarjaan- että rinnankytketyt resistanssit muunnetaan yhdeksi resistanssiksi. Jännitelähde (E) ja sen kanssa sarjassa oleva resistanssi (R) osoitetaan ekvivalenttiseksi virtalähteen (J = E/R) kanssa, jonka rinnalla on samansuuruinen resistanssi (R). Koska kaikkia piirejä ei voida yksinkertaistaa yhden lähteen ja yhden resistanssin piiriksi käyttämällä pelkästään rinnan- ja sarjaankytkentämuunnoksia, esitetään lopuksi monimutkaisempi kolminapaisille piirielementeille sopiva tähti-kolmio- ja kolmio-tähtimuunnos.
30 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 31 Ekvivalenttiset piirielementit I I U = f 1 (I) U = f 2 (I) Piirielementit ovat ekvivalenttiset, mikäli niiden jännite-virtayhtälöt ovat samat: f 1 f 2. Rinnakkaiset virtalähteet 31 J 1 J 2 J 3 I U J I U J = J 1 + J 2 J 3 Ulkoapäin navoista katsottuna ekvivalenttiset elementit käyttäytyvät sähköisesti samalla tavalla. I = J 1 + J 2 J 3 U mielivaltainen (ulkoisen piirin määräämä) Esim. 32 1 A 1 A 10 V 10 Ω 1 A 1 A 1 V 1 Ω U riippuu ulkoisesta kuormasta!
32 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Sarjaankytketyt jännitelähteet E 1 I I 33 E 2 U E U E 3 U = E 1 + E 2 E 3 I E = E 1 + E 2 E 3 mielivaltainen (ulkoisen piirin määräämä) Virtalähde sarjassa piirielementin kanssa 34 J I = J mielivaltainen U I = J Virtalähteen kanssa sarjassa oleva piirielementti ei vaikuta muun piirin virtaan I eikä jännitteeseen U.
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 33 Esim. Virta I = J riippumatta muista elementtiarvoista. Jännite U muuttuu, mikäli R 4, R 5 tai R 6 muuttuu. Jos J =1 A ja R 4 =R 5 =R 6 =1 Ω, niin I = 1 A ja U =2/3 V. R 3 I = J kaksinapainen elementti R 1 R 2 E 2 J 3 U R 4 35 J R 5 R 6 Esim. Virta J jakautuu kahta reittiä pitkin, joten I 1 + I 2 = J. R 3 I 1 kolminapainen elementti R 1 R 2 J 3 36 E 2 R 4 J I 2 R 5 R 6
34 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Jännitelähde rinnan piirielementin kanssa I 37 E mielivaltainen U = E Jännitelähteen kanssa rinnakkain oleva piirielementti ei vaikuta muun piirin jännitteeseen U eikä virtaan I. Esim. Jännite U = E riippumatta muista elementtiarvoista. Virta I muuttuu, mikäli R 4 muuttuu. Jos E = 1 V ja R 4 =2 Ω, niin U = 1 V ja I =1/2 A. I J 2 38 E E 1 U = E R 4 R 3 R 1
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 35 Resistanssien sarjaankytkentä R 1 R 2 I R I U U R = R 1 + R 2 39 vasen: U = R 1 I + R 2 I = (R 1 + R 2 )I oikea: U = RI R = R 1 + R 2 Esim. A A 4 Ω 7 Ω 40 3 Ω B B
36 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Esim. A 41 ei ole sarjaankytkentä 4 Ω 3 Ω B Resistanssien rinnankytkentä 42 G 1 I G 2 U G I U G = G 1 + G 2 R = R 1R 2 R 1 + R 2, R 1 = 1 G 1, R 2 = 1 G 2
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 37 Esim. A A 43 3 Ω 7 Ω 2,1 Ω B B Esim. eivät ole rinnankytkentöjä 3 Ω 7 Ω 44
38 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Esim. Ensin yksinkertaistetaan, sitten ratkaistaan. 2 Ω I =? (2+3) Ω I 45 10 V 3 Ω U =? (5 + (20/9)) Ω = (65/9) Ω I 10 V 4 Ω 5 Ω 10 V Jännite U menetetään! I = U 4 5 4 + 5 Ω 10 V (65/9) Ω = 90 65 A 1,38 A U = I 20 9 Ω = 90 65 20 9 V 3,08 V Jännitelähteen muuttaminen virtalähteeksi 46 R E I U J = E R J ˆR = R vasen: U = RI + E ˆR I U I = 1 R U + E R oikea: I = 1ˆR U + J Edellyttää, että jännitelähde on sarjassa resistanssin (R 0) kanssa.
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 39 Virtalähteen muuttaminen jännitelähteeksi J R I U E = RJ ˆR = R vasen: I = U R + J ˆR E I U U = R I + RJ 47 oikea: U = ˆR I + E Edellyttää, että virtalähde on rinnan resistanssin (R 0) kanssa. Esim. Yksinkertaistetaan yhden tuntemattoman suureen (I) piiriksi 7 V 4 Ω 3 Ω 2 Ω 7 V (4 + 6) Ω 3 2 3 + 2 Ω 48 I 5 Ω 6 Ω U =? 10 A I 5 Ω 10 A
40 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen (10 + 6/5) Ω (11,2 + 5) Ω 5 Ω 7 V (50 + 7) V 49 I 10 5 V I I = 57 16,2 A 3,52 A U = 6 Ω I 21,1 V Sääntö jännitteen jaolle 50 I = R 1 R 2 I U 2 U U R 2 U 2 = R 2 I = U R 1 + R 2 R 1 + R 2 U 2 = R 2 R 1 + R 2 U nimittäjässä summa osoittajassa sama vastus
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 41 Sääntö virran jaolle R 1 I U I 2 R 2 U = R 2 I 2 = R 1 (I I 2 ) (R 1 + R 2 )I 2 = R 1 I 51 I 2 = R 1 R 1 + R 2 I nimittäjässä summa osoittajassa eri vastus Tähti-kolmio- ja kolmio-tähtimuunnos? 52 ei sarjaan- eikä rinnankytkentöjä tarvitaan yleisempi muunnos
42 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Tähti-kolmiomuunnos 1 G 1 G 2 2 1 G 12 2 53 G 3 G 13 G 23 3 Tähtikytkentä 3 3 Kolmiokytkentä 3 Muunnoksessa 3 tuntematonta Palautetaan kaksinapaiseksi elementiksi oikosulkemalla solmupisteet pareittain. 54 1 3 G 1 G 2 G 3 1 3 1 G 1 + 1 1 G 2 + G 3 1 G 12 1 G 13 G 23 G 13 + G 12 3 3
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 43 Kiertovaihtelun avulla ottamalla huomioon, että G ij = G ji : G 13 + G 12 = 1/( 1 1 + ) G 1 G 2 + G 3 G 12 + G 23 = 1/( 1 1 + ) G 2 G 3 + G 1 G 23 + G 13 = 1/( 1 G 3 + 1 G 1 + G 2 ) 55 3 yhtälöä, 3 tuntematonta G 12, G 13, G 23 Tähti-kolmiomuunnos 1 G 1 G 2 2 1 G 12 2 3 G 3 3 G 13 G 23 3 3 56 G ij = G i G j G 1 + G 2 + G 3, i, j {1, 2, 3} (G ij = G ji ) TKK = Tähti-Kolmiomuunnos Konduktanssi
44 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Kolmio-tähtimuunnos 1 R 12 2 1 R 1 R 2 2 57 R 13 R 23 R 3 3 3 3 3 R i = R ij R ik R 12 + R 13 + R 23, i, j, k {1, 2, 3} (R ij = R ji ) Esim. Kolmio-tähtimuunnos R 23 R 13 R 12 R 3 R 2 R 1 58 0,5 Ω 0,4 Ω 0,5 Ω 0,4 Ω R 12 = 3 Ω R 13 = 2 Ω R 23 = 5 Ω R 1 = 2 3 2 + 3 + 5 Ω = 0,6 Ω R 2 = 5 3 2 + 3 + 5 Ω = 1,5 Ω R 3 = 5 2 2 + 3 + 5 Ω = 1,0 Ω
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 45 1,0 Ω 1 Ω 1,67 Ω 59 (1,5 + 0,5) Ω (0,6 + 0,4) Ω (2/3) Ω (tarkoituksella tyhjä) 60
46 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 47 S-55.1210 Piirianalyysi 1 Viikko 3: Kerrostamismenetelmä sekä Théveninin ja Nortonin menetelmät Tällä viikolla opetellaan analysoimaan yhdestä lähteestä ja resistansseista koottuja piirejä ja käytämme edellisellä viikolla opittua tekniikkaa muuntaa jokainen piiri yhden lähteen ja yhden resistanssin piiriksi. Mikäli piirissä on alunperin useita jännite- ja/tai virtalähteitä, palautetaan piiri yksilähteiseksi merkitsemällä vuorotellen kaikki lähteet nolliksi yhtä lukuunottamatta. Piirissä tuntematon jännite tai virta voidaan tämän jälkeen laskea kerrostamalla (summaamalla) yksittäisten lähteiden vaikutukset. Tekniikka on nimeltään kerrostamismenetelmä. Nollaksi merkitty jännitelähde tarkoittaa oikosulkua ja nollaksi merkitty virtalähde avointa piiriä. Huomaa, että menetelmä soveltuu ainoastaan jännitteen tai virran laskemiseen. Mikäli piiristä halutaan laskea tehoja, kerrostetaan ensin jännitteet ja/tai virrat, ja lasketaan tehot niiden avulla. Toinen erittäin keskeinen tapa palauttaa mielivaltaisen monimutkainen piiri yhden lähteen piiriksi, on esittää kytkentä Théveninin lähteenä, joka koostuu ideaalisesta jännitelähteestä (E T ) ja sen kanssa sarjassa olevasta resistanssista (R T ). Théveninin lähteen arvot löydetään laskemalla alkuperäiselle kytkennälle tyhjäkäyntijännite (= E T ) ja lähteen navoista näkyvä resistanssi (= R T ). Mikäli piirin jonkin haaran virta halutaan laskea haarassa olevan resistanssin funktiona, saadaan tulos nopeasti poistamalla haara, muodostamalla jäljelle jääneelle kytkennälle Théveninin lähde ja liittämällä lopuksi poistettu haara takaisin. Tekniikkaa kutsutaan Théveninin menetelmäksi. Koska jännitelähde (E) ja sen kanssa sarjassa oleva resistanssi (R) voidaan muuntaa ekvivalenttiseksi virtalähteeksi (J = E/R), jonka rinnalla on samansuuruinen resistanssi (R), voidaan Théveninin lähteen (E T, R T ) sijasta muodostaa Nortonin lähde (J N, R N ). Tämä koostuu ideaalisesta virtalähteestä (J N = E T /R T ) ja sen kanssa rinnankytketystä vastuksesta (R N = R T ). Nortonin lähde voidaan etsiä laskemalla alkuperäiselle kytkennälle oikosulkuvirta (= J N ) ja lähteen navoista näkyvä resistanssi (= R N ). Nortonin menetelmä on Théveninin menetelmää vastaava tekniikka, missä käytetään hyväksi Nortonin lähdettä.
48 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 49 Yhden riippumattoman lähteen piirit lineaarisuus: E U = f(i) ku = f(ki) I N 0 I = ke 61 ei riippumattomia lähteitä Piirin virrat ja jännitteet suoraan verrannollisia lähdejännitteeseen (tai lähdevirtaan) Esim. Tikapuuverkko 1 V 2 Ω 2 Ω 1 Ω 2 Ω 1 Ω 2 Ω I =? Ê 5,25 A 16 V 10,5 V 2 Ω 2 Ω 2,75 A 2,5 A 5,5 V 2,5 V 1 Ω 2 Ω 1,5 A 3 V 1 V 1 Ω 2 Ω arvaus! Î = 1 A 2 V 62 Mikäli Î = 1 A, niin Ê = 16 V I = 1 16 A
50 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Kerrostamismenetelmä lineaarisuus: U = f(i 1 + I 2 ) U = f(i 1 ) + f(i 2 ) Jos lineaarisessa piirissä on useita riippumattomia lähteitä, voidaan jokaisen vaikutus laskea erikseen. 63 Esim. 1 Ω 2 Ω E 1 = 10 V P =? 2 Ω E 2 = 5 V I 2 =? Lasketaan ensin lähteen E 1 vaikutus, jolloin E 2 = 0 (oikosulku) ja sen jälkeen lähteen E 2 vaikutus merkitsemällä E 1 = 0. I a 1 Ω 2 Ω 1 Ω 2 Ω I b E 1 =10 V P 1 2 Ω P 2 2 Ω E 2 =5 V 64 I a = I b = 10 1 + 2 2 2 + 2 5 2 + 2 1 2 + 1 I 21 A = 5 A I 22 I 21 = 1 2 I a = 5 2 A, P 1 =2 Ω I 2 21 = 25 2 W A = 15 8 A I 22 = 1 3 I b = 5 8 A, P 2 =2 Ω I 2 22 = 25 32 W I 2 = I 21 + I 22 = 25 8 A = 3,125 A P = 2 Ω I 2 2 19,5 W Teho ei ole lineaarinen suure, joten P P 1 + P 2 13,3 W
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 51 Esim. J 1 =10 A U 2 =? 1 Ω 1 Ω 2 Ω J 2 =5 A 65 Lasketaan ensin lähteen J 1 vaikutus, jolloin J 2 = 0 (avoin piiri) ja sen jälkeen lähteen J 2 vaikutus merkitsemällä J 1 = 0. U 21 U 22 J 1 =10 A I a 1 Ω 1 Ω 2 Ω I b 1 Ω 1 Ω 2 Ω J 2 =5 A I a = 1 4 10 A = 2,5 A U 21 = 2,5 V 66 I b = 2 4 5 A = 2,5 A U 22 = 2,5 V U 2 = U 21 + U 22 = 0 V
52 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Théveninin lähde Jokainen kaksinapainen piirielementti (ideaalista virtalähdettä lukuunottamatta) voidaan esittää Théveninin lähteen avulla: 67 N A E T R T A B B E T R T on piirin tyhjäkäyntijännite on navoista AB näkyvä resistanssi, kun piirin N kaikki riippumattomat lähteet on merkitty nolliksi Théveninin lähdejännitteen määrääminen Jätetään piiri N kuormittamatta: 68 N I = 0 U o E T R T I = 0 U o = E T E T = U o = tyhjäkäyntijännite
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 53 Théveninin lähderesistanssin määrääminen Sammutetaan piirin N kaikki riippumattomat lähteet: N 0 A R T A R AB R AB = R T 69 B B R T = R AB = navoista AB näkyvä resistanssi, kun riippumattomat lähteet = 0 Esim. N 1 A 2 V 2 Ω 1 Ω 2 Ω 1 Ω A 70 B Lasketaan aluksi tyhjäkäyntijännite muuttamalla jännitelähde virtalähteeksi ja sen jälkeen virtalähteet jännitelähteiksi:
54 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 1 A 1 A 71 2 V 2 Ω 2 Ω 1 Ω 2 Ω 1 Ω U o A B A 1 Ω 1 A 1 Ω 1 Ω U o A B A 1 Ω 1 Ω 1 A 1 Ω 1 Ω 1 A 1 Ω U o 2 Ω 2 V 1 Ω U o E T = U o = 1 2 + 1 2 V = 2 3 V B B Lasketaan navoista AB näkyvä resistanssi merkitsemällä lähteet nolliksi: 1 A A 2 V 2 Ω 1 Ω 2 Ω 1 Ω 2 Ω 1 Ω 2 Ω 1 Ω A 72 B B A A A 1 Ω 2 Ω 2 Ω 1 Ω 1 Ω 1 Ω 1 Ω 2 Ω 1 Ω B B B
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 55 N 2 V 2 Ω 1 A 1 Ω 2 Ω 1 Ω A E T = 2 3 V R T = 2 3 Ω A 73 B B Théveninin lähteen määrääminen E T ja R T voidaan myös määrätä tyhjäkäyntijännitteen U o ja oikosulkuvirran I s avulla: E T = U o, R T = U o I s N I = 0 N U o I s 74 R T I = 0 R T E T U o = E T E T I s = E T R T
56 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Théveninin menetelmä Muutetaan osa (osia) piiristä Théveninin lähteeksi (lähteiksi) ja suoritetaan analyysi. 75 Esim. N 25 V 5 Ω 10 Ω 10 Ω 1 A I =f(r L )? R L Lasketaan tyhjäkäyntijännite kerrostamalla: 5 Ω 25 V 10 Ω 10 Ω 1 A U o 5 Ω 25 V 10 Ω Î =0 10 Ω U o1 76 U o1 = 10 10 + 5 25 V ( U o2 = 10 + 5 10 ) Ω 1 A 5 + 10 E T = U o = U o1 + U o2 = 30 V 5 Ω 10 Ω 10 Ω 1 A U o2
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 57 Lasketaan resistanssi sammuttamalla riippumattomat lähteet: 5 Ω 10 Ω 10 Ω R = R T = ( 10 + 5 10 ) Ω 5 + 10 Analysoitava piiri: 77 30 V 40 3 Ω I R L I = 30 V 40 3 Ω + R L Virta resistanssin funktiona 2,5 APLAC User: Martti Valtonen I /A 2 1,5 78 1 0,5 0 1,0m 10,0m 0,1 1,0 10,0 100,0 1,0k R L /Ω
58 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Nortonin lähde Jokainen kaksinapainen piirielementti (ideaalista jännitelähdettä lukuunottamatta) voidaan esittää Nortonin lähteen avulla: 79 N A J N R N A B B J N R N on piirin oikosulkuvirta on navoista AB näkyvä resistanssi, kun piirin N kaikki riippumattomat lähteet on merkitty nolliksi Nortonin lähdevirran määrääminen Oikosuljetaan piiri N: N I s A J N R N I s A 80 B B J N = I s = oikosulkuvirta Nortonin lähderesistanssin määrääminen R N = R AB = R T
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 59 Théveninin ja Nortonin lähteen ekvivalenssi E T R T E T = R N J N R T = R N J N R N 81 Koska J N = I s ja E T = U o, niin R N = R T = U o I s. Nortonin menetelmä Muutetaan osa (osia) piiristä Nortonin lähteeksi (lähteiksi) ja suoritetaan analyysi. Esim. N 2 Ω 10 V 82 12 V 3 Ω 5 Ω 1 V 4 Ω U =?
60 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Oikosulkuvirta: 12 V I 2 U 2 2 Ω 3 Ω I 1 U 1 10 V 5 Ω 1 V 83 Is U 1 = (10 + 1) V = 11 V I 1 = 11 3 A U 2 = (12 11) V = 1 V I 2 = 1 2 A J N = I s = I 1 I 2 = 19 6 A Lasketaan resistanssi sammuttamalla riippumattomat lähteet: 2 Ω 3 Ω R N = 2 3 2 + 3 Ω 84 Analysoitava piiri: (19/6) A U = 19 6 4 6 5 2,92 V (6/5) Ω 4 Ω 4 + 6 5 U
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 61 S-55.1210 Piirianalyysi 1 Viikko 4: Silmukkamenetelmä Mikäli piirit ovat hyvin suuria, ei niiden yksinkertaistaminen toistuvilla muunnoksilla ole enää järkevää. Seuraavilla viikoilla esitetään kaksi systemaattista analyysimenetelmää, jotka toimivat myös useimpien kaupallisten piirisimulaattorien runkona. Aluksi selvitetään piirissä olevien riippumattomien jännite- ja virtayhtälöiden lukumäärä ja etsitään sellaiset muuttujat, joiden avulla ratkaistavia yhtälöitä syntyy mahdollisimman vähän. Tällä viikolla käsitellään silmukkamenetelmä, jossa muuttujina ovat silmukkavirrat. Yhtälöt kirjoitetaan matriisimuodossa ja tuloksena saadaan yleistetty (moniulotteinen) Ohmin laki muodossa R I = E, missä R on resistanssimatriisi, I tuntemattomien silmukkavirtojen vektori ja E riippumattomista jännitelähteistä muodostuva vektori. Silmukkavirtojen valitsemisen jälkeen matriisiyhtälö R I = E voidaan kirjoittaa kytkentää tarkastelemalla yksinkertaisten sääntöjen avulla. Matriisiyhtälö R I = E ratkaistaan tällä kurssilla käyttämällä Cramerin sääntöä, jonka mukaan tuntemattomat suureet lasketaan determinanttien avulla.
62 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 63 Piirin systemaattinen ratkaiseminen I F I B 2 I D 1 3 I A I C I E 4 Solmupisteiden lukumäärä n = 4, haarojen lukumäärä b = 6 Kirchhoffin virtayhtälöt 1) I A = I B + I F 2 2) I B = I C + I D 4) I A = I C + I E 3) I F = I E I D 85 n 1 riippumatonta virtayhtälöä U F U B U D U A U C U E 86 Muodostetaan suljettuja riippumattomia silmukoita (b n+1) kpl siten, että kaikki haarat kuuluvat johonkin silmukkaan. Jos piiri on piirrettävissä tasoon, voidaan kuhunkin ikkunaan sijoittaa yksi silmukka. b n + 1 riippumatonta jänniteyhtälöä
64 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Riippumattomat jänniteyhtälöt Tämä on väärin: Tämä on oikein: 87 1 2 1 3 2 Muuttujia alunperin (kunkin haaran virta ja jännite): 2b Jokaiselle piirielementille tunnetaan U = f(i): b Virtayhtälöitä: n 1 Jänniteyhtälöitä tarvitaan: b n + 1 U F 88 U A 3 U B U D 1 U C 2 U E Kirchhoffin jänniteyhtälöt 1) U A + U B + U C = 0 2) U C + U D + U E = 0 3) U B + U F U D = 0 Lisäsilmukat antaisivat edellisistä lineaarisesti riippuvan yhtälön
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 65 Silmukkamenetelmä I F I B I 3 I D I 1 I 2 I A I C I E Valitaan silmukat ja muuttujiksi kiertävät silmukkavirrat 89 b n + 1 yhtälöä riittää koko piirin ratkaisemiseen Kaikkien haarojen virrat voidaan lausua em. virtojen avulla: I A = I 1 I B = I 1 I 3 I C = I 1 I 2 I D = I 2 I 3 I E = I 2 I F = I 3 Elementtiyhtälöistä: U = f(i) Täydellinen ratkaisu Esim. R F I F I 3 R B R D E D I B I A I C I D I E R A I 1 R C I 2 R E E A E C 90 E A R A I A + R B I B + R C I C + E C = 0 E C R C I C + R D I D + E D + R E I E = 0 R F I F E D R D I D R B I B = 0 { IA = I 1 I B = I 1 I 3 I C = I 1 I 2 I D = I 2 I 3 I E = I 2 I F = I 3 E A + R A I 1 + R B (I 1 I 3 ) + R C (I 1 I 2 ) + E C = 0 E C R C (I 1 I 2 ) + R D (I 2 I 3 ) + E D + R E I 2 = 0 R F I 3 E D R D (I 2 I 3 ) R B (I 1 I 3 ) = 0
66 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Esim. I A R F I F I 3 R B R D E D I B I C I D I E R A I 1 R C I 2 R E 91 E A E C (R A + R B + R C )I 1 R C I 2 R B I 3 = E A E C R C I 1 +(R C + R D + R E )I 2 R D I 3 = E C E D R B I 1 R D I 2 +(R B + R D + R F )I 3 = E D R 11 I 1 + R 12 I 2 + R 13 I 3 = E 1 R 21 I 1 + R 22 I 2 + R 23 I 3 = E 2 R 31 I 1 + R 32 I 2 + R 33 I 3 = E 3 Silmukkamenetelmä R 11 R 12 R 13 R 21 R 22 R 23 I 1 I 2 = E 1 E 2 R 31 R 32 R 33 I 3 E 3 92 R I =E R Resistanssimatriisi (yllä 3x3) I Silmukkavirtavektori E Lähdejännitevektori Yleistetty Ohmin laki
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 67 Esim. I A R F I F I 3 R B R D E D I B I C I D I E R A I 1 R C I 2 R E E A E C 93 R A + R B + R C R C R B R C R C + R D + R E R D R B R D R B + R D + R F I 1 I 2 I 3 = E A E C E C E D E D Silmukkamenetelmä R I =E R ii = Silmukan i resistanssien summa R ij = Silmukoiden i ja j yhteisten resistanssien summa. Resistanssit otetaan negatiivisina, jos virrat kiertävät niissä eri suuntiin. E i = Silmukkaan i kuuluvien lähdejännitteiden summa, kun silmukan suuntaiset ( +) lähteet otetaan positiivisina. Silmukoita b n + 1 kpl 94
68 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Matriisit m x n-matriisi sarakkeet (n) alkio[1, 5] rivit R = [R ij ] (m) 95 Neliömatriisi m = n Lävistäjäalkiot R ii Symmetrinen matriisi R ij = R ji Yksikkömatriisi 1 : R ii = 1, R ij = 0, i j Matriisien kertolasku A (m x n), B (n x p), C (m x p) C = AB : C kl = n A ki B il i=1 Käänteismatriisi R 1 : R 1 R = 1 Matriisiyhtälön ratkaisu R I =E I =R 1 E 96 Determinantti ja alideterminantti Matriisin determinantti R 11 R 12 R 13 R 14 = R = R 21 R 22 R 23 R 24 R 31 R 32 R 33 R 34 R 41 R 42 R 43 R 44 R 11 R 12 R 14 Alideterminantti 23 = R 31 R 32 R 34 R 41 R 42 R 44 2 x 2-matriisin R 11 R 12 determinantti R 21 R 22 = R 11R 22 R 12 R 21 Determinanttikehitelmä = i=4,j=1 ( 1) i+j R ij ij = R 11 11 R 21 21 + R 31 31 R 41 41 i=1,j=1
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 69 Cramerin sääntö R I =E I 1 = R 11 R 21 R 12 R 22 R 13 R 23 R 31 R 32 R 33 R 11 I 1 R 12 R 13 R 21 I 1 R 22 R 23 R 31 I 1 R 32 R 33 R 11 I 1 + R 12 I 2 + R 13 I 3 R 12 R 13 R 21 I 1 + R 22 I 2 + R 23 I 3 R 22 R 23 R 31 I 1 + R 32 I 2 + R 33 I 3 R 32 R 33 = I 1 I 2 I 3 = = E 1 E 2 E 3 E 1 R 12 R 13 E 2 R 22 R 23 E 3 R 32 R 33 97 I 1 = E 1 R 12 R 13 E 2 R 22 R 23 E 3 R 32 R 33 Esim. R 2 R 6 I 3 R 4 R 1 = 3 Ω R 3 = 2 Ω R 2 = 5 Ω R 4 = 5 Ω R 1 I 1 R 3 I 2 R 5 R 5 = 3 Ω E 1 = 1 V R 6 = 10 Ω E 1 98 Vastusten yhteensä kuluttama pätöteho? (= lähteen antama teho = E 1 I 1 ) R 1 + R 2 + R 3 R 3 R 2 R 3 R 3 + R 4 + R 5 R 4 R 2 R 4 R 2 + R 4 + R 6 I 1 I 2 I 3 = E 1 0 0
70 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 99 10 2 5 2 10 5 5 5 20 I 1 I 2 I 3 = = 10 11 ( 2 21 ) + 5 31 =1320 (Ω 3 ) 11 = 10 20 5 5 = 175 (Ω 2 ) 21 = 2 20 5 5 = 65 (Ω 2 ) 31 = 2 5 10 5 = 60 (Ω 2 ) 1 2 5 0 10 5 0 5 20 I 1 = A = 11 1320 A = 175 1320 A 1 0 0 P = 1 V 175 A 133 mw 1320 Silmukkamenetelmä 100 muutetaan virtalähteet jännitelähteiksi poistetaan ylimääräiset rinnankytkennät valitaan silmukat (b n + 1) kirjoitetaan matriisiyhtälö R I = E ratkaistaan I (soveltuvin osin)
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 71 Esim. R 2 R 5 J 1 R 1 R 3 R 4 R 6 E 5 R 1 = 100 Ω R 3 = 10 Ω R 5 = 50 Ω J 1 = 0,05 A E 6 = 1 V R 2 = 100 Ω R 4 = 10 Ω R 6 = 1 Ω E 5 = 2 V E 6 101 R 7 R 5 E 7 I 1 R 8 E 6 I 2 E 5 E 7 = R 1 J 1 = 5 V R 7 = R 1 + R 2 = 200 Ω R 8 = R 3R 4 R 3 + R 4 + R 6 = 6 Ω 200 + 6 6 6 50 + 6 206 6 6 56 I 1 = I 2 I 1 I 2 5 1 2 1 = 4 1 = = 206 56 6 6 = 11500 4 6 1 56 I 1 = A = 218 A 19,0 ma 11500 11500 206 4 6 1 I 2 = A = 182 A 15,8 ma 11500 11500 102
72 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 73 S-55.1210 Piirianalyysi 1 Viikko 5: Solmumenetelmä; ohjatut lähteet Tällä viikolla esitetään toinen systemaattinen piirianalyysimenetelmä, solmumenetelmä, johon perustuu esimerkiksi APLAC-piirisimulaattorin toiminta. Solmumenetelmässä piirin solmupisteistä yksi valitaan referenssisolmuksi ja muuttujiksi valitaan jännitteet muista solmupisteistä referenssisolmuun. Referenssisolmuksi valitaan yleensä maasolmu. Yhtälöt kirjoitetaan matriisimuodossa ja tuloksena saadaan yleistetty (moniulotteinen) Ohmin laki muodossa G U = J, missä G on konduktanssimatriisi, U tuntemattomien solmujännitteiden vektori ja J riippumattomista virtalähteistä muodostuva vektori. Matriisiyhtälö G U = J voidaan kirjoittaa kytkentää tarkastelemalla yksinkertaisten sääntöjen avulla. Transistorin toimintaa ei voida mallintaa käyttäen pelkästään riippumattomia lähteitä ja passiivisia komponentteja. Siksi perusmallien valikoimaa laajennetaan ohjatuilla lähteillä, joiden avulla on mahdollista kuvata monia ilmiöitä, kuten esimerkiksi vahvistusta. Ohjattu lähde voi olla joko jännite- tai virtalähde, ja myös ohjaava suure voi olla jännite tai virta. Ohjattuja lähteitä on siis neljää tyyppiä: CCVS, virtaohjattu jännitelähde (Current-Controlled Voltage Source), VCVS, jänniteohjattu jännitelähde (Voltage-Controlled Voltage Source), CCCS, virtaohjattu virtalähde (Current-Controlled Current Source) ja VCCS, jänniteohjattu virtalähde (Voltage-Controlled Current Source). Ohjattujen lähteiden ominaisuuksia ovat siirtoresistanssi R (CCVS), jännitevahvistus α (VCVS), virtavahvistus β (CCCS) ja siirtokonduktanssi G (VCCS). Toisin kuin riippumattomilla lähteillä ohjattujen lähteiden arvot riippuvat piirin jostakin jännitteestä tai virrasta. Esimerkkinä ohjattujen lähteiden käytöstä tutustutaan yksinkertaiseen transistorimalliin ja näytetään esimerkin avulla miten transistori voi toimia vahvistimena.
74 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 75 Solmumenetelmä U F 1 U B U D 2 3 103 U A U 1 U C U 2 U E U 3 0 Solmumenetelmä Valitaan referenssisolmu (0) (yleensä maasolmu tai ) ja muuttujiksi muiden solmupisteiden jännitteet (n 1 kpl) tähän solmuun nähden n 1 yhtälöä riittää koko piirin ratkaisemiseen Kaikkien haarojen jännitteet voidaan lausua em. solmujännitteiden avulla: 104 U A = U 1 U B = U 1 U 2 U C = U 2 U D = U 2 U 3 U E = U 3 U F = U 1 U 3 Elementtiyhtälöistä: I = f(u) Täydellinen ratkaisu
76 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Esim. J A G J D F 1 G B 2 3 G D U 1 G A U 2 G C G E U 3 105 G A U 1 + G B (U 1 U 2 ) + G F (U 1 U 3 ) = J A G B (U 2 U 1 ) + G C U 2 + G D (U 2 U 3 ) = J D G D (U 3 U 2 ) + G E U 3 + G F (U 3 U 1 ) = J D (G A + G B + G F )U 1 G B U 2 G F U 3 = J A G B U 1 (G B + G C + G D )U 2 G D U 3 = J D G F U 1 G D U 2 (G D + G E + G F )U 3 = J D Solmumenetelmä G 11 G 12 G 13 G 21 G 22 G 23 U 1 U 2 = J 1 J 2 G 31 G 32 G 33 U 3 J 3 106 G U =J G Konduktanssimatriisi (yllä 3x3) U Solmujännitevektori J Lähdevirtavektori Yleistetty Ohmin laki
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 77 Esim. J A G J D F 1 G B 2 3 G D U 1 G A U 2 G C G E U 3 G A + G B + G F G B G F G B G B + G C + G D G D G F G D G D + G E + G F U 1 U 2 U 3 = J A J D J D 107 Solmumenetelmä G U =J G ii = Solmupisteeseen i liittyvien konduktanssien summa G ij = Solmupisteitä i ja j yhdistävien konduktanssien summa negatiivisena J i = Solmupisteeseen i liittyvien lähdevirtojen summa, kun tulevat virrat otetaan positiivisina 108
78 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Esim. 1 R 1 R 1 = 5 Ω R 3 = 10 Ω R 2 = 2 Ω 109 J 1 U 2 2 J 2 R 2 R 3 U 1 J 1 = 10 A G i = 1 R i J 2 = 2 A G 1 + G 3 G 1 G 1 G 1 + G 2 U 1 U 2 = J 1 J 2 110 1 5 + 1 10 1 5 3 2 2 7 U 1 1 5 1 5 + 1 2 U 1 U 2 U 2 = 10 = 2 100 20 = 3 7 ( 2) ( 2) = 17 100 2 20 7 U 1 = V = 660 17 17 V 38,8 V 3 100 2 20 U 2 = V = 140 17 17 V 8,24 V
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 79 Solmumenetelmä muutetaan jännitelähteet virtalähteiksi poistetaan ylimääräiset sarjaankytkennät valitaan referenssisolmu ja numeroidaan solmut kirjoitetaan matriisiyhtälö G U = J ratkaistaan U (soveltuvin osin) 111 Esim. R 1 R 3 R 4 E 1 R 2 R 5 R 7 R 6 J 6 J 7 E 1 = 5 V R 1 = 100 Ω R 2 = 100 Ω R 3 = 9 Ω R 4 = 1 Ω R 5 = 10 Ω J 6 = 1 A R 6 = 1 Ω J 7 = 2 A R 7 = 50 Ω 1 112 J 1 R 1 R 8 R 2 2 R 5 R 7 J 7 J 1 = E 1 = 0,05 A R 1 R 8 = R 3 + R 4 = 10 Ω R 6 J 6
80 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 1 J 1 R 1 R 8 R 2 2 R 5 R 7 J 7 G i = 1 R i R 6 J 6 113 G 1 + G 2 + G 8 + G 5 + G 7 G 8 G 5 G 8 G 5 G 8 + G 5 + G 6 6 25 1 5 1 5 6 5 U 1 U 2 U 1 = J 1 + J 7 = 2,05 1 U 2 J 6 U 1 10,8 V U 2 2,62 V Silmukka- ja solmumenetelmien vertailu Valitaan se menetelmä, jolla työmäärä minimoituu. silmukkamenetelmässä b n + 1 yhtälöä (b = haarojen lkm) solmumenetelmässä n 1 yhtälöä (n = solmujen lkm) 114 b = 8, n = 4 b = 12, n = 8 b n + 1 = 5, n 1 = 3 b n + 1 = 5, n 1 = 7
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 81 Lähteiden jakaminen Mikäli lähdemuunnosta ei voida käyttää, jaetaan lähteet. 115 E E E Vasempaan soveltuu vain silmukkamenetelmä (3 yhtälöä) Oikeaan soveltuu myös solmumenetelmä (2 yhtälöä) Lähteiden jakaminen Mikäli lähdemuunnosta ei voida käyttää, jaetaan lähteet. J J J 116 Vasempaan soveltuu vain solmumenetelmä (3 yhtälöä) Oikeaan soveltuu myös silmukkamenetelmä (2 yhtälöä)
82 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Ohjatut lähteet 117 E = RI CCVS N I sopiva silmukkamenetelmässä E = αu VCVS N U J = βi CCCS N I J = GU VCCS N U sopiva solmumenetelmässä Ohjatut lähteet 118 R = siirtoresistanssi (Current-Controlled Voltage Source) G = siirtokonduktanssi (Voltage-ControlledCurrent Source) α = jännitevahvistus (Voltage-Controlled Voltage Source) β = virtavahvistus (Current-Controlled Current Source) Ohjattujen lähteiden arvot - toisin kuin riippumattomilla lähteillä - ovat funktioita piirin jännitteistä ja/tai virroista. Edellä määritellyt lähteet ovat lineaarisia, mikäli R, G, α ja β ovat vakioita. Ohjatut lähteet aiheuttavat epäsymmetrian matriiseissa R ja G.
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 83 Esim. R 3 E 1 R 1 I 1 R 2 I 2 I R 4 RI R 1 + R 2 R 2 R 2 R 2 + R 3 + R 4 U =? I 1 I 2 R 1 + R 2 R 2 R 2 R R 2 + R 3 + R 4 + R epäsymmetrinen E 1 = 1 V R 2 = 10 Ω R 1 = 1 Ω R 3 = 10 Ω R = 100 Ω R 4 = 1 Ω E 1 = R(I 1 I 2 ) I 1 I 2 = E 1 0 119 11 10 110 121 I 1 I 2 = 1 0 = 11 121 ( 110) ( 10) = 231 1 10 0 121 I 1 = A = 121 231 231 A 11 1 110 0 I 2 = A = 110 231 231 A U = 1 Ω I 2 100 Ω (I 1 I 2 ) = 990 231 V 4,29 V 120
84 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Yksinkertainen transistorimalli 121 B C E B R i I E B = kanta (base) βi R 0 C = kollektori (collector) E = emitteri (emitter) C E Esim. R i = 1 kω, R 0 = 10 kω, β = 100 Esim. Transistori vahvistimena 122 E g R g P in R L R g = 1 kω R L = 10 kω P L P in =? 1 Pin 2 I E g 1 kω 1 kω 100I 10 kω 10 kω R g
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 85 10 3 + 10 3 0 U 1 J g = 0 10 4 + 10 4 U 2 100 U1 1k 2 10 3 0 U 1 = J g 0,1 2 10 4 U 2 0 2 10 3 J g 0,1 0 U 2 = 4 10 7 = 106 4 J g 1012 J 2 g P L = U 2 2 = R L 16 10 10 3 (J g = E g R g ) 123 P in = ( Jg 2 ) 2 10 3 P L P in = 25000 (tarkoituksella tyhjä) 124
86 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen
Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 87 S-55.1210 Piirianalyysi 1 Viikko 6: Vaihtovirta-analyysin perusteet Vaihtovirta-analyysissä jännitteet ja virrat ovat sinimuotoisia. Kaikki piirit, joissa signaalit (signaali = jännite tai virta) ovat jaksollisia, voidaan analysoida vaihtovirta-analyysin avulla, koska ajan mukana muuttuvat jaksolliset signaalit voidaan esittää sinimuotoisten signaalien summana. Vaihtovirta-analyysistä käytetään myös nimitystä AC-analyysi tai taajuusalueanalyysi. Tällä viikolla tutustutaan käsitteisiin jakson pituus T, taajuus f = 1/T, kulmataajuus ω = 2πf ja tehollisarvo. Tehollisarvon ansiosta pätötehon lauseke resistanssissa näyttää samalta tasa- ja vaihtovirroilla. Vaihtovirta-analyysissä sinimuotoinen signaali esitetään tehollisarvon ja nollavaihekulman avulla. Peruselementeistä käsitellään resistanssin lisäksi kapasitanssi ja induktanssi. Sinimuotoinen jännite on resistanssissa samanvaiheinen kuin virta. Kapasitanssissa jännite on neljännesjakson virtaa jäljessä ja induktanssissa neljännesjakson virtaa edellä. Jos lineaariseen piiriin liitetään sinimuotoinen vaihtovirtalähde, niin piirin kaikki jännitteet ja virrat ovat sinimuotoisia ajan funktioita, joiden taajuus on sama kuin lähteellä. Sen sijaan amplitudit (tehollisarvot) ja nollavaihekulmat vaihtelevat. Koska signaalilla on kaksi muuttuvaa suuretta, amplitudi ja vaihe, käytetään vaihtovirta-analyysissä kompleksiaritmetiikkaa, missä jokainen jännite ja virta esitetään yhdellä kompleksiluvulla (kiinteällä tehollisarvon osoittimella), jonka itseisarvo ilmaisee signaalin amplitudin ja vaihekulma signaalin nollavaihekulman. Vaihtovirta-analyysi tuo uuden käsitteen impedanssin Z = R+jX, jonka reaaliosa R on resistanssi ja imaginääriosa X reaktanssi, sekä impedanssin käänteissuureen admittanssin Y = G + jb, jonka reaaliosa G on konduktanssi ja imaginääriosa B suskeptanssi. Yleistetty Ohmin laki esitetään muodossa U = Z I tai I = Y U, missä kaikki suureet ovat kompleksilukuja. Impedanssin ja admittanssin ansiosta vaihtovirta-analyysi on tasavirtaanalyysin kaltaista vain sillä erotuksella, että reaaliaritmetiikan sijasta käytetään kompleksiaritmetiikkaa. Kaikki tähän mennessä opitut menetelmät pätevät suoraan myös vaihtovirtapiireille, kun resistanssit korvataan impedansseilla ja konduktanssit admittansseilla.