Epäyhtälöide kieltämätö viehätys Lyhyt opastettu kierros algebralliste epäyhtälöide viidakkoo Paul Vaderlid, Tukholma yliopisto
Eglaikielisestä alkuperäistekstistä käätäyt Esa V Vesalaie
Sisällysluettelo Johdato Epäyhtälöt Aritmeettis-geometris-harmoie epäyhtälö Tšebyšovi epäyhtälö 4 Uudelleejärjestysepäyhtälö 5 Cauchy Schwarzi epäyhtälö 8 Hölderi epäyhtälö 9 Mikowski epäyhtälö 0 Jesei epäyhtälö Potessikeskiarvoje epäyhtälö Schuri epäyhtälö 4 MacLaurii epäyhtälö 6 Muirheadi epäyhtälö 6 Sijoitukset 9 Harjoitustehtäviä Epäyhtälöide todistukset 8 Aritmeettis-geometris-harmoie epäyhtälö 8 Tšebyšovi epäyhtälö 0 Uudelleejärjestysepäyhtälö Cauchy Schwarzi epäyhtälö Hölderi epäyhtälö Mikowski epäyhtälö Jesei epäyhtälö 4 Potessikeskiarvoje epäyhtälö 5 Schuri epäyhtälö 6 MacLaurii epäyhtälö 7 Muirheadi epäyhtälö 9 Ratkaisuita esimmäisii harjoitustehtävii 4 Lisää harjoitustehtäviä 57 Vielä yksi epäyhtälö 60
Johdato Tämä o yhdetoista tärkeimmä algebrallise epäyhtälö luettelo yhdessä lukuiste esimerkkie ja tehtävie kassa Epäyhtälöt esitetää yksikertaisessa muodossa: iitä kaikkia voi vahvistaa ja yleistää Muotoiluje valiassa o ajateltu iide soveltuvuutta ogelmie ratkaisuu matematiikkakilpailuissa O myös hyvä huomata, etteivät tässä tekstissä esitetyt epäyhtälöt ole millää muotoa toisistaa riippumattomia Esimerkiksi Hölderi epäyhtälö seuraa Jesei epäyhtälöstä, sekä Cauchy Schwarzi että Tšebyšovi epäyhtälöt voidaa johtaa uudelleejärjestysepäyhtälöstä, ja ii edellee Siitä huolimatta erilaiste sovellustapojesa vuoksi ämä epäyhtälöt asaitsevat tulla maiituiksi eriksee Tekstissä esitellää seuraavat epäyhtälöt: aritmeettis-geometris-harmoie epäyhtälö, Tšebyšovi epäyhtälö, uudelleejärjestysepäyhtälö, Cauchy Schwarzi epäyhtälö, Hölderi epäyhtälö, Mikowski epäyhtälö, Jesei epäyhtälö, potessikeskiarvoje epäyhtälö, Schuri epäyhtälö, MacLaurii epäyhtälö, Muirheadi epäyhtälö
Epäyhtälöt Aritmeettis-geometris-harmoie epäyhtälö Olkoot a, a,, a positiivisia reaalilukuja Tällöi a + a + + a a a a a + a + +, a missä yhtäsuuruus pätee täsmällee silloi ku a = a = = a Tämä o luultavasti tuetui kaikista epäyhtälöistä ja se o erittäi hyödyllie moelaisissa tilateissa Toisaalta se o vai erikoistapaus moista myöhemmi esiteltävistä epäyhtälöistä Esimerkki Iso-Britaia, 000) Olkoot x, y ja z positiivisia reaalilukuja, joille xyz = Etsi lausekkee x + 4xy + 4y + 4z piei mahdollie arvo Ratkaisu Soveltamalla aritmeettis-geometrista epäyhtälöä kahdesti huomaamme, että x + 4xy + 4y + z = x + 4y ) + 4xy + z x 4y + 4xy + z = 4xy + 4xy + z x y z = = 96 Yhtäsuuruus pätee täsmällee silloi ku pätee x = 4y ja 4xy = z, eli ku x = z = 4 ja y = Esimerkki Kasaiväliset matematiikkaolympialaiset, 964) Olkoot a, b ja c kolmio sivut Osoita, että a b + c a) + b c + a b) + c a + b c) abc Ratkaisu Olkoot x = a + b c, y = b + c a ja z = c + a b Tällöi x, y ja z ovat positiivisia ja todistettava epäyhtälö muuttuu muotoo ) ) ) z + x x + y y + z y + z + x z + x)x + y)y + z) 8 Tämä epäyhtälö sieveee muotoo x y + xy + x z + xz + y z + yz 6xyz, joka pätee koska aritmeettis-geometrise epäyhtälö ojalla x y + xy + x z + xz + y z + yz 6 6 x 6 y 6 z 6 = 6xyz Yhtäsuuruus pätee täsmällee silloi ku x = y = z, eli täsmällee silloi ku alkuperäie kolmio o tasasivuie
Esimerkki Olkoo yhtälöllä x 4 + px + qx + rx + s = 0 eljä positiivista reaalijuurta Osoita, että pr 6s 0, ja että q 6s 0 Ratkaisu Olkoot x, x, x ja x 4 yhtälö juuret Silloi tuetusti x + x + x + x 4 = p, x x + x x + x x 4 + x x + x x 4 + x x 4 = q, x x x + x x x 4 + x x x 4 + x x x 4 = r, ja x x x x 4 = s Käyttämällä aritmeettis-harmoista epäyhtälöä saamme pr = 4 x l l= 4 l= x l x x x x 4 6s Toisaalta, aritmeettis-geometrisesta epäyhtälöstä saamme q = x x + x x + x x 4 + x x + x x 4 + x x 4 6 6 x x x x 4 = 6 s Esimerkki Kasaiväliset matematiikkaolympialaiset, 999) Olkoo kiiteä kokoaisluku Etsi piei reaalivakio C jolle kaikilla ei-egatiivisilla reaaliluvuilla x, x,, x ja x pätee x i x j x i + x ) ) 4 j C x l i<j Selvitä myös milloi tässä vallitsee yhtäsuuruus Ratkaisu Seuraava o yllätysratkaisu, joka eräs Kiia joukkuee kilpailija löysi kilpailu jälkee Se vaatii vai yhde, tosi vaativa, aritmeettisgeometrise epäyhtälö sovellukse l= ) 4 x l = x l + ) x i x j 4 l= l= = 8 x i x j i<j i<j x l l= ) l= x l ) ) x i x j i<j 8 x i x j x i + x j) i<j Toisessa epäyhtälössä vallitsee yhtäsuuruus jos ja vai jos kappaletta luvuista x l ovat ollia Olettakaamme siis, että x = x 4 = = x = 0 Tällöi esimmäise epäyhtälö muuttumie yhtäsuuruudeksi edellyttää sitä, että x + x ) + x x = 8 x + x ) x x, mikä taas palautuu yhtälöö x x ) 4 = 0 Täte x = x Tehtävä vastaus o siis C = 8, ja yhtäsuuruus vallitsee täsmällee silloi ku kaksi muuttujista x l ovat yhtä suuria loput häviävät
Tšebyšovi epäyhtälö Olkoot a, a,, a ja a sekä b, b,, b ja b kaksi reaalilukuje jooa, joista aiaki toie koostuu pelkästää positiivisista reaaliluvuista Oletetaa lisäksi, että a a a ja b b b Tällöi a + a + + a b + b + + b a b + a b + + a b Jos se sijaa oletamme, että a a a ja b b b, ii epäyhtälö pätee toisi päi Yhtäsuuruus pätee jos ja vai jos aiaki toie jooista o vakiojoo Esimerkki Olkoot a, a,, a ja a positiivisia reaalilukuja, ja olkoo A iide aritmeettie keskiarvo Osoita, että l= a l + ) A + a l A) Ratkaisu Neliöimällä epäyhtälö molemmat puolet se saa ekvivaleti muodo a l + l= a l= l A + A Osoitamme tämä kahdessa osassa Voimme ilma yleisyyde meettämistä olettaa, että joo a, a,, a o kasvava Tällöi joo a, a,, a o laskeva ja käyttämällä Tšebyšovi epäyhtälöä kahdesti saamme, että a l= l A = a l= l l= a l l= a l a l l= l= a l = l= Tšebyšovi epäyhtälö ataa myös tulokse a l l= l= a l a l l= Nämä kaksi tulosta yhdessä atavat halutu epäyhtälö Esimerkki Olkoo b, b,, b ja b positiivisia reaalilukuja Osoita, että ) b l b l l= l= 4
Ratkaisu Voimme kirjoittaa halutu epäyhtälö muodossa l= b l l= b l b l Symmetria vuoksi voimme olettaa, että joo b, b,, b o kasvava, jolloi joo b, b,, b o väheevä Käyttämällä Tšebyšovi epäyhtälöä kahdesti, esi kahtee jälkimmäisee multiplikadii, saamme, että l= b l l= b l b l l= l= l= b l b l l= = Esimerkki Itia, 995) Olkoo lukua suurempi kokoaisluku ja olkoot a, a,, a sellaisia positiivisia reaalilukuja, että iide summa o yksi Osoita, että a a a + + + a a a Ratkaisu Voimme jällee olettaa, että joo a, a,, a o kasvava, jolloi joo a, a,, a o myös kasvava Tšebyšovi epäyhtälö ojalla siis a + a a + + a a a a + a + + a + a = a + a + + l= a + + ) a ) a Nyt voimme käyttää edellisessä esimerkissä todistettua tulosta Nimittäi, jos asetamme b l = al kulleki l {,,, }, ii ) b l l= l= b l ) = Täte a + a + + ) a Yhtäsuuruus pätee jos ja vai jos a = a = = a = Uudelleejärjestysepäyhtälö Olkoot a a a ja b b b reaalilukuja Jokaisella lukuje a, a,, a permutaatiolla a, a,, a pätee epäyhtälö a b + a b + + a b a b + a b + + a b a b + a b + + a b 5
Jos vaikkapa b < b < < b, ii esimmäisessä epäyhtälössä vallitsee yhtäsuuruus jos ja vai jos a = a, a = a,, a = a, ja jälkimmäisessä epäyhtälössä vallitsee yhtäsuuruus jos ja vai jos a = a, a = a,, a = a Jos merkitsemme [ a a b b ] a = a b b + a b + + a b, ii suuruusjärjestysepäyhtälö voidaa kirjoittaa muodossa [ ] [ ] [ ] a a a a a a a a a b b b b b b b b b Tämä viattoma äkoie ja helposti todistettava epäyhtälö o itse asiassa varsi voimakas työkalu ja siitä voidaa johtaa mota muuta epäyhtälöä Suuruusjärjestysepäyhtälö o toie kirjoittaja suosikeista Toie iistä o Muirheadi epäyhtälö Esimerkki Kasaiväliset matematiikkaolympialaiset, 975) Oletetaa, että x x x ja y y y ovat reaalilukuja, ja oletetaa, että z, z,, z ovat luvut y, y,, y jossaki järjestyksessä Osoita, että x l y l ) l= x l z l ) Ratkaisu Ku epäyhtälö termit kertoo auki ja yhtäsuuret termit supistaa pois, jäljelle jää vai epäyhtälö x l y l l= l= x l z l, l= mikä o oleellisesti ottae suuruusjärjestysepäyhtälö Esimerkki Osoita kaikille positiivisille reaaliluvuille a, b ja c epäyhtälö a 8 + b 8 + c 8 a b c a + b + c Ratkaisu Symmetria vuoksi voimme olettaa, että a b c Tällöi suuruusjärjestysepäyhtälöstä seuraa, että a 8 + b 8 + c 8 [ ] [ ] a 5 b a b c = 5 c 5 a 5 b 5 c 5 b c c a a b c a a b b c [ ] [ ] a b = c a b c = a + b + c c a b a b c Esimerkki Osoita kaikille positiivisille reaaliluvuille a, b ja c epäyhtälö a b + c + b c + a + c a + b a + b + c 6
Ratkaisu Symmetria vuoksi voimme jällee olettaa, että a b c Tällöi [ ] [ ] a b c a b c b+c c+a a+b ja [ a b c b+c c+a a+b c+a a+b b+c ] [ a b c a+b b+c c+a Nyt haluttu tulos seuraa laskemalla ämä kaksi epäyhtälöä yhtee ja käyttämällä helposti todistettavaa epäyhtälöä x + y x + y x + y, joka pätee kaikilla positiivisilla reaaliluvuilla x ja y Esimerkki Kasaiväliset matematiikkaolympialaiset, 98) Olkoot a, b ja c kolmio sivut Osoita, että a b a b) + b c b c) + c a c a) 0 Ratkaisu Voimme olettaa, että a max { b, c } Jos a b c, ii osoitamme esi, että a b + c a) b c + a b) c a + b c) Esimmäie äistä epäyhtälöistä seuraa siitä, että ] b c + a b) a b + c a) = a b) a + b c) 0, ja jälkimmäie palautuu siihe, että b c) b + c a) 0, mikä o myös selvää kolmioepäyhtälö ojalla Jakamalla todistettava epäyhtälö tulolla abc saamme se yhtäpitävää muotoo c a a b) + a b b c) + c c a) 0, b ja vähetämällä puolittai summa a + b + c saamme epäyhtälö c a c + a b) + a b a + b c) + c b + c a) a + b + c) b Todistettava epäyhtälö voidaa siis kirjoittaa muodossa c a c a + b) + a b a b + c) + c b c + a) a + b + c b Lopuksi suuruusjärjestysepäyhtälö ojalla c a c a + b) + a b a b + c) + c b c + a) [ b ] a c a + b) b a b + c) c b c + a) = c a b [ ] a c a + b) b a b + c) c b c + a) = a + b + c a Ku a c b, todistus o samakaltaie b c 7
Cauchy Schwarzi epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee a b + a b + + a b ) a + a + + a ) b + b + + b ), ja tässä pätee yhtäsuuruus jos ja vai jos löytyy kaksi reaalilukua α ja β, jotka eivät molemmat ole ollia, site, että αa l = βb l kaikilla l {,,, } Esimerkki Ira, 998) Olkoot x, y ja z sellaisia lukua yksi suurempia reaalilukuja, että x + y + z = Osoita, että x + y + z x + y + z Ratkaisu Oletuste ojalla x x + y y + z z Siispä Cauchy Schwarzi epäyhtälö ojalla x + y + z = x ) + y ) + z ) ) x x = x + y + z ), mistä haluttu epäyhtälö seuraa suoraa ) ) ) ) y z + + y z Esimerkki Romaia, 999) Olkoo kokoaisluku ja tarkastellaa kahta sellaista kokoelmaa positiivisia reaalilukuja x, x, x sekä y, y,, y, että x + x + + x x y + x y + + x y Osoita, että x + x + + x x y + x y + + x y Ratkaisu Soveltamalla esi Cauchy Schwarzi epäyhtälöä ja sitte tehtävä oletusta, saamme ) x l l= x l y l l= l= x l y l x l l= l= x l y l Saamme tästä halutu epäyhtälö jakamalla puolittai summalla Esimerkki Neuvostoliitto, 986) Olkoot a, a,, a positiivisia reaalilukuja Osoita, että + + + + < + + + ) a a + a a + a + a a + a + + a a a a l= x l 8
Ratkaisu Merkitää kulleki l {,,, } S l = l a k, ja A l = k= l k= k a k Käyttämällä Cauchy Schwarzi epäyhtälöä saamme, että Täte ) l ) l l + ) k = a k ak l S l k= 4lA l l l + ) < 4l + ) A l l l + ) = l k= k a k l a k = A l S l k= ) l l + ) A l Laskemalla ämä yhtee kaikkie ideksi l arvoje yli, saamme l= l S l l= = a + = + l A l l A l l= Hölderi epäyhtälö l= a l l= l A l A l ) + ) A < + ) A a l Olkoot p ja q kaksi positiivista reaalilukua, joide kääteislukuje summa o yksi, ja olkoot a, a, ja a sekä b, b, ja b positiivisia reaalilukuja Tällöi a l b l p a p l q b q l, l= l= ja tässä vallitsee yhtäsuuruus jos ja vai jos o olemassa kaksi reaalilukua α ja β, jotka eivät molemmat ole ollia, site että αa p l = βbq l jokaisella l {,,, } Tämä yleistyy helposti useammalleki kui yhdelle lukusarjalle: Olkoo a kl positiivie reaaliluku kaikilla k {,,, m } ja l {,,, }, ja olkoot p, p,, p m positiivisia reaalilukuja joide kääteislukuje summa o yksi Tällöi a l a l a ml p a p l p a p l pm a pm ml l= l= Esimerkki Valko-Veäjä, 000) Todista, että kaikilla positiivisilla reaaliluvuilla a, b, c, x, y ja z vallitsee epäyhtälö l= l= l= a x + b y + c a + b + c) z x + y + z) l= 9
Ratkaisu Käytämme Hölderi epäyhtälöstä sitä muotoa, joka yllä käytetyi merkiöi vastaa sitä tapausta jossa m = ja p = p = = p m = m : kaikille positiivisille reaaliluvuille p, p p, q, q, q, r, r ja r pätee Siispä p p p + q q q + r r r l= p l + q l + r l a x + b y + c + + x + y + z a + b + c z Saamme yt halutu epäyhtälö kuutioimalla tässä molemmat puolet ja jakamalla puolittai lausekkeella x + y + z) Esimerkki Olkoot a, b, c ja d positiivisia reaalilukuja Osoita, että a 6 b + b 6 c + c 6 d + d 6 a a b 5 c + b c 5 d + c d 5 a + d a 5 b Ratkaisu Merkitää x = a b ), y = b c ), z = c d ) ja w = d a ) Näillä merkiöillä a 6 b + b 6 c + c 6 d + d 6 a = x + y + z + w ) Mikowski epäyhtälö = x + y + z + w y + z + w + x y + z + w + x xy + yz + zw + wx = a b 5 c + b c 5 d + c d 5 a + d a 5 b Olkoot aetut reaaliluku r sekä positiiviset reaaliluvut a, a,, a ja b, b, b Tällöi r a l + b l ) r r a r l + r b r l, l= missä vallitsee yhtäsuuruus jos ja vai jos löytyy kaksi reaalilukua α ja β, jotka eivät molemmat häviä, ja joille αa l = βb l jokaisella l {,,, } Ku r ]0, [ sama epäyhtälö pätee mutta vastakkaisee suutaa Jällee o selvää, että tämäki epäyhtälö voi yleistää useammalle kui kahdelle lukusarjalle Esimerkki Osoita, että kaikille ei-egatiivisille reaaliluvuille x, y ja z pätee x + y + y + z + z + x x + y + z) l= l= Ratkaisu Valitsemalla Mikowski epäyhtälö muotoilussamme r =, sekä a = x, a = y ja a = z, voimme käyttää Mikowski epäyhtälöä suoraviivaisella tavalla: a + a + a + a + a + a a + a + a ) + a + a + a ) = a + a + a ) 0
Esimerkki Olkoot a, a,, a sellaisia positiivisia reaalilukuja että iide tulo o yksi Olkoot b, b,, b, c, c,, c sekä d, d,, d kolme joo a, a,, a permutaatiota Osoita, että al + b l + c l + d l l= Ratkaisu Mikowski epäyhtälö ojalla ) ) ) al + b l + c l + d l al + bl l= l= l= ) ) ) + cl + dl = 4 al l= l= l= Aritmeettis-geometrise epäyhtälö ojalla a al a a = a a a = l= Yhdistämällä saadut kaksi epäyhtälöä äemme, että al + b l + c l + d l l= Jesei epäyhtälö Olkoo f aidosti koveksi fuktio jollaki välillä I ja olkoot α, α,, α sellaisia positiivisia reaalilukuja, että iide summa o yksi Tällöi kaikilla x, x,, x I pätee fα x + α x + + α x ) α fx ) + α fx ) + + α fx ), ja tässä pätee yhtäsuuruus jos ja vai jos x = x = = x Siiä tapauksessa, missä f o välillä I ylöspäi kupera, aettu epäyhtälö pätee päivastaisee suutaa Fuktio f koveksisuudelle vastaavasti ylöspäi kuperuudelle) o olemassa kaksi käytäöllistä derivaattatestia: Olkoo f derivoituva fuktio välillä I Tällöi f o aidosti koveksi ylöspäi kupera) välillä I jos ja vai jos se derivaatta f o aidosti kasvava väheevä) välillä I Olkoo f kahdesti derivoituva fuktio välillä I Tällöi fuktio f o aidosti koveksi ylöspäi kupera) välillä I jos ja vai jos f o aidosti positiivie egatiivie) väli I sisällä Esimerkki Sama kui itialaie esimerkki sivulla 5) Olkoo lukua yksi suurempi kokoaisluku ja olkoot a, a,, ja a sellaisia positiivisia reaalilukuja joide summa o yksi Osoita, että a a + a a + + a a
Ratkaisu Luvut a, a,, ja a kuuluvat välille I = ]0, [ ja rajoitumme siksi x tarkastelemaa lausekkee x määräämää kahdesti derivoituvaa fuktiota f välillä I Suoralla laskulla äemme, että f x) = 4 x, 4 x) 5 ku x I O selvää, että f saa vai positiivisia arvoja välillä I ja siksi f o aidosti koveksi tuolla välillä Voimme siis käyttää Jesei epäyhtälöä: a a + a a + + f a = fa ) + fa ) + + fa ) a ) ) a + a + + a = f = Esimerkki Korea, 998) Olkoot a, b ja c sellaisia reaalilukuja, että iille pätee a + b + c = abc Osoita, että + a + + b + + c Ratkaisu Tehtävä oletukset suosittelevat sijoitusta α = arcta a, β = arcta b, ja γ = arcta c Tämä sijoitukse ja ehdo ta α + ta β + ta γ = ta α ta β ta γ vuoksi α, β, γ ] 0, π [ ja α + β + γ = π Tehtävä o yt osoittaa, että cos α + cos β + cos γ Fuktio fx) = cos x toie derivaatta f x) = cos x saa selvästi vai egatiivisia arvoja välillä ] [ ] [ 0, π ja siksi f o aidosti koveksi välillä 0, π Voimme siis jällee käyttää Jesei epäyhtälöä: ) cos α + cos β + cos γ fα) + fβ) + fγ) α + β + γ = f = cos π = Esimerkki Yhdysvallat, 974) Osoita positiivisille reaaliluvuille a, b ja c, että a a b b c c abc) a+b+c Ratkaisu Tarkastellaa fuktiota fx) = log x x = x log x positiivisille reaaliluvuille x Koska se toie derivaatta f x) = x saa selvästi vai positiivisia arvoja, o fuktio f koveksi Jesei epäyhtälö ojalla siis log a a b b c c) = log aa + log b b + log c c fa) + fb) + fc) = ) a + b + c f = log a + b + c )a+b+c
Toisaalta aritmeettis-geometrise epäyhtälö ojalla a + b + c )a+b+c ja koska logaritmi o kasvava fuktio, a + b + c log )a+b+c abc) a+b+c 9, log abc) a+b+c 9 = a+b+c log abc) Potessikeskiarvoje epäyhtälö Olkoot a, a,, a ei-egatiivisia reaalilukuja, k ja m positiivisia reaalilukuja ja k m Tällöi k a k + a k + + ak m a m + a m + + am ja tässä vallitsee yhtäsuuruus vai ja aioastaa siiä tapauksessa että pätee a = a = = a Esimerkki Pohjois-Afrika matematiikkaolympiadi, 986) Olkoot a, b ja c positiivisia reaalilukuja Osoita, että ab + bc + ) 4 ca a + b + b + c + ) c + a Ratkaisu Aritmeettis-geometrise atamasta epäyhtälöstä a+b ab seuraa, että 4 a + b) ab Tästä ja vastaavista epäyhtälöistä muille lukupareilla seuraa, että ab + bc + ) ) ca a + b) + b + c) + c + a) Lopuksi potessikeskiarvoje epäyhtälöstä tai tarkemmi muotoilumme tapauksesta =, m =, k = ) seuraa, että ) ) a + b) + b + c) + c + a) = 6 a + b) + b + c) + c + a) 6 a + b + b + c + ) = 4 c + a a + b + b + c + ) c + a Esimerkki Tšekki ja Slovakia, 000) Osoita, että a b b + a a + b) a + ) b kaikilla positiivisilla reaaliluvuilla a ja b, ja selvitä milloi epäyhtälössä vallitsee yhtäsuuruus,
Ratkaisu Potessikeskiarvoje epäyhtälö ojalla a b b + a ) a b + ) b, a ja tässä vallitsee yhtäsuuruus jos ja vai jos a b = b a, eli jos ja vai jos a = b Haluttu epäyhtälö seuraa yt suoraa idetiteetistä a b + ) b = a + b a 4 a + ) b Esimerkki Olkoot x, y ja z positiivisia reaalilukuja Osoita, että x 5 + y 5 + z 5 x6 yz + y6 zx + z6 xy Ratkaisu Asettamalla a = x, b = y ja c = z sekä lavetamalla imittäjät pois saamme halutu epäyhtälö kassa yhtäpitävä epäyhtälö a 0 + b 0 + c 0) abc a + b + c Mutta yt potessikeskiarvoje epäyhtälö ojalla a + b + c a + b = + c ) 0 a + b = + c a + b + c ) 0a ) 0 a 0 + b 0 + c0 + b + c Schuri epäyhtälö ) a 0 + b 0 + c 0) abc) = a 0 + b 0 + c 0) abc Olkoot x, y ja z ei-egatiivisia reaalilukuja Tällöi kaikille r R + pätee x r x y) x z) + y r y z) y x) + z r z x) z y) 0 Lisäksi tässä pätee yhtäsuuruus jos ja vai jos x = y = z Tapauksessa r = tämä epäyhtälö kirjoitetaa usei ekvivaletissa muodossa x + y + z + xyz x y + y z + z x + xy + yz + zx Seuraavassa esimerkissä käytämme homogeisoitia, joka o erittäi hyödyllie tarkasteltaessa polyomie epäyhtälöitä silloi ku muuttujia sitoo joki ylimääräie ehto kute vaikkapa x + y + z = tai xyz = Silloi voi ) 4
kertoa kaikki epäyhtälö termit sopivilla lausekkeilla site, että kaikki termit muuttuvat samaasteisiksi Esimerkiksi, ku xyz =, epäyhtälö x y + xz z + 7 o yhtäpitävä homogeeise epäyhtälö x y + xz xyz z x y z + 7xyz kassa Tässä jälkimmäisessä epäyhtälössä kuki termi aste o kolme Tekemällä sijoitukset x = u, y = v ja z = w ja pudottamalla yhteiset tekijät pois päädymme epäyhtälöö u 4 v + u w vw 5 + 7uv w, joka voi hyviki olla helpompi käsitellä Esimerkki Kasaiväliset matematiikkaolympialaiset, 984) Olkoot x, y ja z ei-egatiivisia reaalilukuja joide summa o yksi Osoita, että 0 xy + yz + zx xyz 7 7 Ratkaisu Käyttämällä ehtoa x + y + z =, voimme palauttaa todistettava epäyhtälö homogeeisee muotoo 0 xy + yz + zx)x + y + z) xyz 7 7 x + y + z) Esimmäie äistä sieveee muotoo 0 xyz + x y + y z + z x + xy + yz + zx, joka selvästi pitää paikkaasa Jälkimmäie epäyhtälö sieveee muotoo 7 x + y + z ) + 5xyz 6 x y + y z + z x + xy + yz + zx ) Aritmeettis-geometrise epäyhtälö ojalla x + y + z xyz, ja tätä tietoa ja Schuri epäyhtälöä käyttämällä äemme, että 7 x + y + z ) + 5xyz 6 x + y + z ) + 8xyz 6 x y + y z + z x + xy + yz + zx ) Esimerkki Kasaiväliset matematiikkaolympialaiset, 000) Olkoot a, b ja c sellaisia positiivisia reaalilukuja, että abc = Osoita, että a + ) b + ) c + ) b c a Ratkaisu Todistettavalla epäyhtälöllä o sidosehdo abc = puitteissa ekvivaletti muoto ) ) ) a a b abc + c b a b abc + c c a b abc + c abc b c a Tekemällä sijoitukset a = x, b = y, c = z tämä taas palautuu muotoo x y y z + z x ) y z z x + x y ) z x x y + y z ) x y z Lopuksi, tekemällä sijoitukset x y = u, y z = v, z x = w, päädymme epäyhtälöö uvw + u + v + w ) u v + v w + w u + uv + vw + wu, joka o vai Schuri epäyhtälö tapauksessa r = 5
MacLaurii epäyhtälö Olkoot a, a,, a positiivisia reaalilukuja Tällöi ) i a i ) a i a j ) a i a j a k a a i<j i<j<k )a Tässä vallitsevat yhtäsuuruudet vai ja aioastaa siiä tapauksessa, että pätee a = a = = a Tämä o hyvi elegatti aritmeettis-geometrise epäyhtälö yleistys Nimittäi esimmäie lausekkeista o vai lukuje a, a,, a aritmeettie keskiarvo, ja viimeie juurilauseke o vai iide geometrie keskiarvo Esimerkki Puola, 989) Olkoot a, b, c ja d positiivisia reaalilukuja Osoita, että ab + ac + ad + bc + bd + cd abc + abd + acd + bcd 6 4 Ratkaisu Tämä o vai MacLaurii epäyhtälö erikoistapaus: toise ja kolmae lausekkee välie epäyhtälö ku = 4 Esimerkki Olkoot a, b ja c positiivisia reaalilukuja Osoita, että a 8 + b 8 + c 8 a b c a + b + c Ratkaisu Potessikeskiarvoje epäyhtälö ojalla a 8 + b 8 + c 8 ) 8 a + b + c Toisaalta, MacLaurii epäyhtälö ojalla Siispä ) 8 ) 6 ) a + b + c a + b + c a + b + c = abc) a 8 + b 8 + c 8 a b c abc) Muirheadi epäyhtälö ) 8 a + b + c ab + bc + ca abc ab + bc + ca = a + b + c Yksikertaistaaksemme merkitöjä otamme käyttöö symboli sym symmetrisille summille Olkoo P x, y, z) kolme muuttuja x, y ja z lauseke Määrittelemme P x, y, z) = P x, y, z) + P x, z, y) + P y, x, z) sym + P y, z, x) + P z, x, y) + P z, y, x) 6
Esimerkiksi, jos P x, y, z) = x, P x, y, z) = x y z, ja P x, y, z) = x y, ii P x, y, z) = x + y + z, ja sekä sym P x, y, z) = 6x y z, sym P x, y, z) = x y + y z + z x + x y + y z + z x sym Tämä merkitätapa yleistyy tieteki helposti myös mielivaltaise moe muuttuja tapauksee, mutta käyttötarkoituksiimme riittää kolme muuttuja tapaus Muirheadi epäyhtälö Kolmelle muuttujalle) Olkoot a, a, a, b, b ja b sellaisia ei-egatiivisia reaalilukuja, että a a a, b b b, a b, a + a b + b, ja a + a + a = b + b + b Tällöi kaikille ei-egatiivisille reaaliluvuille x, y ja z pätee epäyhtälö x b y b z b sym x a y a z a sym Tämä imeomaie epäyhtälö osoittautuu erittäi hyödylliseksi silloi ku moet muut ratkaisumeetelmät epäoistuvat Se käyttämie kuiteki edellyttää, että tarkastelu kohteea o homogeeie epäyhtälö Esimerkki Yhdysvallat, 997) Osoita kaikille positiivisille reaaliluvuille a, b ja c epäyhtälö a + b + abc + b + c + abc + c + a + abc abc Ratkaisu Kertomalla puolittai imittäjie tulolla todistettava epäyhtälö saa varsi epämiellyttävä muodo a + b + abc ) b + c + abc ) + b + c + abc ) c + a + abc ) + c + a + abc ) a + b + abc )) abc a + b + abc ) b + c + abc ) c + a + abc ) Ku kerromme tämä puolittai vakiolla kaksi, voimme kirjoittaa epäyhtälö uudellee muodossa a + b + abc ) a + c + abc ) abc sym a + b + abc ) b + c + abc ) c + a + abc ) 7
Kertomalla tässä kaikki auki saadaa a 7 bc + a 4 b 4 c + 4a 5 b c + a b c ) sym sym a 7 bc + a 6 b + a 5 b c + a 4 b 4 c + a b c ) Lopuksi, tämä sieveee muotoo sym a 6 b sym a 5 b c, joka seuraa suoraa Muirheadi epäyhtälöstä ekspoeteilla a = 6, a =, a = 0, b = 5, ja b = b = ) Esimerkki Kasaiväliset matematiikkaolympialaiset, 995) Olkoot x, y ja z sellaisia positiivisia reaalilukuja, että xyz = Osoita epäyhtälö x y + z) + y z + x) + z x + y) Ratkaisu Olettae, että emme keksi terävää tapaa ratkaista tätä ogelmaa, voimme kuiteki lähestyä sitä suoraa Aloitamme homogeisoimalla todistettava epäyhtälö jakamalla se vakiotermi lausekkeella xyz) 4 Merkitöjä siistiäksemme teemme muuttujavaihdot x = a, y = b sekä z = c, missä tieteki a, b, c R + Todistettava epäyhtälö o yt muuttuut muotoo a 9 b + c ) + b 9 c + a ) + c 9 a + b ) a 4 b 4 c 4 Lavetamalla kaikki auki ja kertomalla puolittai imittäjillä epäyhtälö saa muodo a b 8 c 5 + a 8 b 8 c 8) sym a b + a b 9 c + a 9 b 9 c 6) sym Tämä taas voi muuttaa muotoo a 9 b 9 c 6 a 8 b 8 c 8) 0, sym a b a b 8 c 5) + sym a b 9 c a b 8 c 5) + sym mikä taas ähdää paikkaasa pitäväksi käyttämällä Muirheadi epäyhtälöä suoraviivaisella tavalla kolmee kertaa Tämä ogelma voi tieteki ratkaista myös moilla muilla tavoilla Eräs iistä o käyttää Cauchy Schwarzi epäyhtälöä Sijoittamalla x = a, y = b ja z = c todistettava epäyhtälö saa muodo x y + z + y z + x + z x + y 8
Nyt, koska x + y + z = x y + z y + z + y z + x z + x + z x + y x + y, o Cauchy Schwarziz epäyhtälö ojalla ) x + y + z) x y + z + y z + x + z y ) + z) + z + x) + x + y) x + y Siispä x y + z + y z + x + z x + y x + y + z xyz = Viimeisi äistä epäyhtälöistä seuraa aritmeettis-geometrisesta epäyhtälöstä Eräs toie vaihtoehtoie tapa lähestyä samaa ogelmaa olisi käyttää suuruusjärjestysepäyhtälöä Koska todistettava epäyhtälö o symmetrie, voimme huoletta olettaa, että x y z Tällöi myös x y z ja y+z z+x x+y Nyt, koska [ x y z y+z z+x x+y ] [ x y z x+y y+z z+x ] [ x y z y+z z+x x+y ja ] [ x y z z+x x+y y+z saadaa laskemalla ämä epäyhtälöt yhtee ja jakamalla puolittai luvulla kaksi, että x y + z + y z + x + z x + y x + y x + y + y + z y + z + z + x ) z + x Koska s + t s+y) kaikilla s, t R +, o edellise epäyhtälö oikea puoli x + y + y + z + x + z ) = x + y + z Lopuksi, käyttämällä aritmeettis-geometrista epäyhtälöä äemme, että ], x + y + z xyz = Sijoitukset Epäyhtälöide käsittelyä saattaa joskus huomattavasti helpottaa sopivie sijoituste tekemie, kute jo sivu korealaisessa esimerkissä o ähty Esimerkki Veäjä, 000) Olkoot x ja y sellaisia reaalilukuja, että x, y [0, ] Osoita, että + + x + y + xy 9
Ratkaisu Jos x = 0, ogelma palautuu epäyhtälöö + + y, mikä selvästi pitää paikkaasa Oletetaa siis, että x, y ]0, ] Todistettava epäyhtälö äyttää melkei sopivalta Jesei epäyhtälö sovellutuskohteeksi; oha fuktio fx) = +x ylöspäi kupera välillä ]0, ] Aioa este vai o, että epäyhtälö oikealla puolella esiityy tulo xy summa x + y sijasta Tämä vuoksi äyttäisi sopivammalta tarkastastella fuktio f sijaa fuktiota gs) = +e Tätä varte teemme muuttujavaihdot x = e u ja s y = e v, missä u ja v ovat ei-egatiivisia reaalilukuja Ogelma o yt palautuut yhtäpitävää epäyhtälöö + e u + + e v + e u+v) Ogelma ratkaisu edellyttää eää sitä, että fuktio g osoitetaa oleva ylöspäi kupera ku s 0 Yksikertaiset laskut atavat toise derivaata lausekkee g e s s) = + e s ) 5 e 4s Tässä imittäjä o varmasti positiivie, ku taas osoittaja o egatiivie koska e s ku s 0 Täte gs) o ylöspäi kupera ku s 0 ja ratkaisu o valmis Esimerkki Osoita, että kaikille positiivisille reaaliluvuille a, b, c ja d pätee ab + cd a + d)b + c) Ratkaisu Jakamalla epäyhtälö puolittai se oikea puole lausekkeella saadaa yhtäpitävä epäyhtälö a a + d b c b + c + b + c d a + d, eli a a + d a b b + c + b ) a ) b + c a + d Sijoittamalla tähä a+d = si α ja b b+c = si β joillaki sopivilla α, β ] [ 0, π, epäyhtälö vase puoli voidaa kirjoittaa muotoo si α si β + cos α cos β = cos α β), ja tässä viimeie kosiilauseke o varmasti pieempää tai yhtäsuurta kui yksi 0
Harjoitustehtäviä Jokaise tehtävä kohdalla o kirjoittaja ehdotus lähestymistavaksi Ratkaisuje lähestymistavat eivät tietekää koskaa ole yksikäsitteisiä ja jokaise äistä tehtävistä voi ratkaista myös muilla tavoilla Pietari, 997) Olkoot x, y ja z lukua kaksi suurempia reaalilukuja Osoita, että x + y ) y + z ) z + x ) 5xyz [Vihje: x + y x + 4y Nyt, käytä aritmeettis-geometrista epäyhtälöä] Veäjä, 995) Osoita, että kaikille positiivisille reaaliluvuille x ja y pätee x x 4 + y + y x + y 4 xy [Vihje: Yhteie imittäjä sekä aritmeettis-geometrie epäyhtälö] Olkoot a, b, c ja d positiivisia reaalilukuja Osoita, että a + 4 b + 4 c + 6 d 64 a + b + c + d [Vihje: aritmeettis-geometrie epäyhtälö] 4 Aasia ja Tyye valtamere aluee matematiikkaolympiadi, 998) Olkoot a, b ja c positiivisia reaalilukuja Osoita, että + a ) + b ) + c ) + a + b + c ) b c a abc [Vihje: kaksi aritmeettis-geometrise epäyhtälö sovellutusta] 5 Puola, 990) Olkoot x, y ja z sellaisia positiivisia reaalilukuja, että xyz = Osoita, että x + y + z + xy + yz + zx x + y + z) [Vihje: Voit aloittaa osoittamalla, että x + y + z xy + yz + zx ja sitte jatkaa aritmeettis-geometrisella epäyhtälöllä]
6 Vietam, 998) Olkoo kokoaisluku ja olkoot x, x,, x positiivisia reaalilukuja joille Todista, että x + 998 + x + 998 + + x + 998 = 998 x x x 998 [Vihje: Huomaa, että luvuille y l = 998 x l +998 käytä aritmeettis-geometrista epäyhtälöä] pätee y l = k l y k Nyt, 7 Valko-Veäjä, 999) Olkoot a, b ja c sellaisia positiivisia reaalilukuja, että a + b + c = Osoita, että + ab + + bc + + ca [Vihje: Käytä aritmeettis-harmoista epäyhtälöä, sekä helppoa epäyhtälöä a + b + c ab + bc + ca] 8 Pietari, 999) Olkoot x 0 > x > x > > x reaalilukuja Osoita, että x 0 + x 0 x + x x + + x x x + [Vihje: aritmeettis-geometrise epäyhtälö ojalla t + t ] 9 Etsi kaikki e positiiviste reaalilukuje parit x, y, joille 64x y 4x = x + )y + )x + y) + y [Vihje: Nimittäjillä lavetamise jälkee käytä aritmeettis-geometrista epäyhtälöä oikea puole lausekkeesee] 0 Puola, 990) Olkoot a ja b kaksi positiivista reaalilukua Etsi kaikki sellaiset positiiviste reaalilukuje parit x, y, joille 7xy + ax) + by) = ab + x a + y b [Vihje: Tässä voi käyttää aritmeettis-geometrista epäyhtälöä kolmee kertaa: lausekkeesee + ax, lausekkeesee + by, sekä yhtälö oikea puole lausekkeesee] Olkoo positiivie kokoaisluku ja olkoot a, b ja c positiivisia reaalilukuja Osoita, että a + + b + + c + a + b + c [Vihje: Tšebyšovi epäyhtälö] a + b + c
Ratkaise sivu yhdysvaltalaie ogelma Tšebyšovi epäyhtälöllä [Vihje: Kirjoita lauseke log a a b b c c) muodossa a log a + b log b + c log c] Kasaiväliset matematiikkaolympialaiset, 978) Olkoot a, a,, a erisuuria positiivisia kokoaislukuja Osoita, että a + a + + a + + + [Vihje: suuruusjärjestysepäyhtälö] 4 Olkoot a, a,, a positiivisia reaalilukuja Osoita, että [Vihje: Suuruusjärjestysepäyhtälö] a a + a a + + a a 5 Olkoot a, b ja c positiivisia reaalilukuja Osoita suuruusjärjestysepäyhtälöä käyttämällä, että a 8 + b 8 + c 8 a b c a + b + c Vertaa tätä sivu 6 esimerkkii) 6 Korea, 000) Olkoot a, b, c, x, y ja z sellaisia reaalilukuja, että a b c > 0 ja x y z > 0 Osoita, että a x by + cz)bz + cy) + b y cz + ax)cx + az) + c z ax + by)ay + bx) 4 [Vihje: Osoita esi käyttämällä merkitöjä α = a x, β = b y ja γ = c z) sekä suuruusjärjestysepäyhtälöä, että vase lauseke o α β+γ + β γ+α + γ α+β, ja käytä sitte Cauchy Schwarzi epäyhtälöä] 7 Irlati, 999) Olkoot a, b, c ja d sellaisia positiivisia reaalilukuja, että iide summa o yksi Todista, että a a + b + b b + c + c c + d + d d + a, ja että tässä pätee yhtäsuuruus jos ja vai jos a = b = c = d = 4 [Vihje: Kerro epäyhtälö vase puoli imittäjie summalla ja käytä Cauchy Schwarzi epäyhtälöä] 8 Tšekki ja Slovakia, 999) Osoita, että kaikille positiivisille reaaliluvuille a, b ja c pätee epäyhtälö a b + c + b c + a + c a + b [Vihje: Kerro vase puoli summalla a b + c)+b c + a)+c a + b) ja käytä Cauchy Schwarzi epäyhtälöä, tai tee sijoitukset x = b + c, y = c + a ja z = a + b ja käytä aritmeettis-geometrista epäyhtälöä]
9 Olkoot a, b, c ja d sellaisia positiivisia reaalilukuja, että c +d = a + b ) Osoita, että a c + b d [Vihje: Osoita käyttämällä Cauchy Schwarzi epäyhtälöä, että ) a c + b ac + bd) a + b ) ac + bd] d 0 Todista, että kaikille ei-egatiivisille reaaliluvuille x, x,, x pätee epäyhtälö + x ) + x ) + x ) + x x x ) [Vihje: Sijoita a l = x l ja käytä Hölderi epäyhtälöä] Osoita Hölderi epäyhtälöllä, että kaikille positiivisille reaaliluvuille a, b ja c pätee a + b + c a b + b c + c a Olkoo aettu positiiviset reaaliluvut a, b, c, p, q ja r, joille p + q + r = Osoita, että a + b + c a p b q c r + a q b r c p + a r b p c q [Vihje: Hölderi epäyhtälö] Olkoo x l [, ] jokaisella l {,,, } Osoita, että ) x l ) l= x l l= [Vihje: Hölderi epäyhtälö parametrie arvoilla p = ja q = ] 4 Olkoot a, b, c, x, y ja z positiivisia reaalilukuja Osoita, että ax + by + cz ay + bz + + cx az + bx + + cy a + b + c a + b + c a + b + c [Vihje: Mikowski epäyhtälö] x + y + z 5 Olkoot a, b, c ja d positiivisia reaalilukuja Osoita, että a + b + 4 c + 6 d 64 a + b + c + d Huomaa tarkeus verrattua tehtävää kolme sivulla ) [Vihje: Cauchy Schwarzi epäyhtälö] 6 Irlati, 998) Olkoot a, b ja c positiivisia reaalilukuja Todista Jesei epäyhtälöllä, että 9 a + b + c a + b + b + c + ) c + a a + b + c 4
7 Olkoot x, y ja z sellaisia positiivisia reaalilukuja että x + y + z = Todista epäyhtälö x x + + y y + + z z + 4 [Vihje: Jesei epäyhtälö tai aritmeettis-geometrie epäyhtälö] 8 Olkoot a, a,, a ]0, [ sellaisia, että a + a + + a = Etsi lausekkee 4a l a l l= piei mahdollie arvo [Vihje: Jesei epäyhtälö, tai aritmeettis-geometrie epäyhtälö yhdessä Hölderi epäyhtälö kassa] 9 Pohjoismaat, 99) Osoita, että kaikkie -säteise ympyrä sisääpiirrettyje kolmioide joukosta tasasivuisella kolmiolla o suuri piiri [Vihje: Olkoot kolmio kulmat α, β ja γ Tällöi piiri puolikas voidaa kirjoittaa muodossa si α + si β + si γ] 0 Olkoot x, y, z ]0, 4[ sellaisia, että xyz = Todista epäyhtälö x x + 8 + y y + 8 + z z + 8 [Vihje: Tämä epäyhtälö äyttää siltä, että se todistamisessa voisi käyttää Jesei epäyhtälöä Kuiteki tässä tehtävässä esiityy ehto xyz =, ku taas muotoa x + y + z = vakio oleva ehto olisi mukavampi Tämä estee voi kiertää ottamalla käyttöö uudet muuttujat a, b ja c sijoituksilla x = e a, y = e b ja z = e c e Tämä jälkee kaattaa tarkastella fuktiota fs) = s e s +8 Tämä o itse asiassa osa erästä tehtävää vuode 00 kasaivälisistä matematiikkaolympialaisista Koko tehtävää varte pitää poistaa ehdot x < 4, y < 4 ja z < 4 Jos täsmällee yksi muuttujista o vähitää eljä, ii voit edellee käyttää Jesei epäyhtälöä iihi termeihi joissa muuttuja arvo o pieempi kui eljä) Jos vähitää kaksi muuttujista o vähitää yhtä suuria kui eljä, ii todistus o suoraviivaie] Veäjä, 999) Olkoot x ja y positiivisia reaalilukuja, joille x + y > Osoita, että x + y < x + y 4 [Vihje: Voit aloittaa potessikeskiarvoje epäyhtälöllä sovellettua lausekkeisii x +y ja x +y Ira, 998) Olkoot a, b, c ja d positiivisia reaalilukuja, joille abcd = Osoita, että { a + b + c + d max a + b + c + d, a + b + c + } d [Vihje: Edellisessä epäyhtälössä voit käyttää potessikeskiarvoje epäyhtälöä Jälkimmäie seuraa aritmeettis-geometrisestä epäyhtälöstä] 5
Olkoot a, b, c ja d mielivaltaisia positiivisia reaalilukuja Todista, että a +b +c a+b+c + a +b +d a+b+d + a +c +d a+c+d + b +c +d b+c+d [Vihje: Osoita potessikeskiarvoje epäyhtälöllä, että a + b + c a + b + c) a + b + c ) ] a + b + c + d 4 Puola, 999) Olkoot x, y ja z positiivisia reaalilukuja, joille x + y + z = Osoita, että x + y + z + xyz [Vihje: Tee epäyhtälöstä homogeeie] 5 Iso-Britaia, 999) Jotki kolme ei-egatiivista reaalilukua p, q ja r toteuttavat ehdo p + q + r = Osoita, että 7 pq + qr + rp) + 9pqr [Vihje: Tee epäyhtälöstä homogeeie käyttämällä ehtoa p + q + r = ja käytä sitte Schuri epäyhtälöä] 6 Olkoot a, a,, a positiivisia reaalilukuja site, että + a ) + a ) + a ) = Osoita, että a a a [Vihje: Kirjoita tulo + a ) + a ) + a ) MacLaurii epäyhtälö juurrettavista muodostettua summaa ja arvioi sitä sitte alas päi Biomikaava saattaa olla hyödyksi] 7 Aasia ja Tyye valtamere aluee matematiikkaolympiadi, 998) Olkoot a, b ja c kolme positiivista reaalilukua Osoita, että + a ) + b ) + c ) + a + b + c ) b c a abc [Vihje: Sijoita a = x, b = y epäyhtälöä] ja c = z, ja käytä sitte Muirheadi 8 Osoita, että kaikilla positiivisilla reaaliluvuilla x, y ja z pätee x x + y)x + z) + y y + z)y + x) + z z + x)z + y) 9 4 x + y + z) [Vihje: Käytä Muirheadi epäyhtälöä] 9 Olkoot x, y [, ] Etsi lausekkee xy + x y + y x x ) y ) suuri mahdollie arvo [Vihje: Aettu lauseke suorastaa vaatii käyttämää trigoometrisiä sijoituksia x = cos α ja y = cos β, missä α, β [0, π]] 6
40 Olkoot x, y ja z sellaisia positiivisia reaalilukuja, että xy + yz + zx = Osoita, että x x ) + x ) + y ) y + y ) + z ) z + z ) x + x + y + y + z + z [Vihje: Koska tässä esiityvät lausekkeet muistuttavat idetiteettie si α = ta α + ta α ja cos α = ta α + ta α lausekkeita, kaattaa yrittää sijoituksia x = ta α, y = ta β ja z = ta γ, missä α, β, γ ]0, π[] 7
Epäyhtälöide todistukset Aritmeettis-geometris-harmoie epäyhtälö Koska aritmeettis-geometrie epäyhtälö o ii tärkeä ja hyödyllie, aamme sille tässä kolme eri todistusta Tämä teksti viimeisestä luvusta löytyy eljäs todistus Esimmäie todistus iduktiolla) Aloitamme todistamalla epäyhtälö tapauksessa = Varmasti a ) a 0 Kertomalla auki tämä epäyhtälö vasemma puole, siirtämällä egatiivise termi oikealle puolelle ja jakamalla puolittai kahdella saamme epäyhtälö a+a a a Täte aritmeettis-geometrie epäyhtälö pätee tapauksessa = Olettakaamme yt, että epäyhtälö pitää paikkaasa jollaki Osoitamme, että tällöi se pitää paikkaasa myös muuttuja tapauksessa Tämä seuraa käyttämällä kerra iduktio-oletusta ja kerra kahde muuttuja aritmeettis-geometrista epäyhtälöä: jos a, a,, a ovat positiivisia reaalilukuja, ii a l = a l + a l a l + l= l= l=+ l= a l l=+ l= l=+ a l = a l Iduktiolla seuraa siis, että aritmeettis-geometrie epäyhtälö pätee ku = k jollaki k Z + Lopuksi oletamme, että epäyhtälö pätee jollaki ja osoitamme, että se pätee tällöi myös muuttujalle Olkoot a, a,, a positiivisia reaalilukuja Merkitää a = g = a l Koska iduktio-oletukse ojalla a l + g a l g = g g = g, l= l= l= l= a l 8
o eli a l + a l a l, l= l= l= a l ) a l l= Täte aritmeettis-geometrie epäyhtälö pätee kaikilla Toie todistus helpolla aalyysillä) Todistamme aritmeettis-geometrise epäyhtälö mielivaltaisilla paiokertoimilla l= Lause Olkoot a, a,, a positiivisia reaalilukuja, ja olkoot α, α,, α sellaisia positiivisia reaalilukuja, että α + α + + α = Merkitää G = l= a α l k, ja A = α l a l Tällöi G A, ja yhtäsuuruus vallitsee täsmällee silloi ku a = a = = a Todistus Asettakaamme a l = + x l ) A Huomaamme, että x l > ja l= α lx l = 0 Site l= G = l= a α l l = + xl ) A ) α l = A + x l ) α l A e x lα l = A l= Tästä viimeisestä epäyhtälöstä vakuuttuu tarkastelemalla fuktiota fx) = e x + x) Nimittäi f0) = 0 ja koska f x) = e x, o f x) = 0 aioastaa silloi ku x = 0 Lopuksi, koska f 0) =, o lausekkeella fx) aito miimi kohdassa x = 0 Siispä fx) 0 kaikilla x R Yhtäsuuruus vallitsee silloi ja vai silloi ku x l = 0 jokaisella l {,,, }, eli täsmällee silloi ku a = a = = a Nyt, asettamalla tämä lausee tuloksessa α = α = = α =, saamme suoraa tavaomaise aritmeettis-geometrise epäyhtälö Kolmas todistus Aritmeettis-geometrie epäyhtälö seuraa myös helposti Jesei epäyhtälöstä Olkoot a, a,, a jällee positiivisia reaalilukuja Koska ekspoettifuktio fx) = e x o aidosti koveksi, ja koska =, seuraa Jesei epäyhtälöstä valitsemalla x l = log a l, l =,,, ), että l= l= e log a+ log a++ log a elog a + elog a + + elog a, mikä yksikertaise sievetämise jälkee muuttuu aritmeettis-geometriseksi epäyhtälöksi 9
Geometris-harmoise epäyhtälö todistus Tämä seuraa helposti aritmeettis-geometrisesta epäyhtälöstä Olkoot a, a,, a positiivisia reaalilukuja Tällöi iide kääteisluvut a, a,, a ovat myös positiivisia, ja soveltamalla iihi aritmeettis-geometrista epäyhtälöä saamme a a a a + a + + a Ottamalla puolittai kääteisluvut saamme välittömästi Tšebyšovi epäyhtälö Huomaamme esi, että i= j= ja että i= j= a i b i a i b j ) = a a a a + a + + a = a j b j a j b i ) = Näistä seuraa, että a i b i i= = a i i= i= a i b i a i i= i= a i b i i= a j b j j= a j b j j= b i = = = i= j= i= j= i= j= b j j= a i i= j= b j = a j b i j= a j j= i= b i = a i b i i= a i b i a i b j ) + a i b i i= i= j= a i b i a i b j + a j b j a j b i ) ai a j ) b i b j ) ) a i i= i= a i i= i= b i, b i a j b j a j b i ) Mutta Tšebyšovi epäyhtälö oletuste ojalla a i a j )b i b j ) 0 kaikilla i, j {,,, } Ehtoje a a a sekä b b b vuoksi vasemma puole molemmat tulotekijät ovat aia samamerkkiset) Täte i= a ib i i= a i i= b i 0 Siirtämällä vasemma puole toie termi oikealle puolelle ja jakamalla puolittai luvu eliöllä saamme Tšebyšovi epäyhtälö 0
Ei ole vaikea havaita, että Tšebyšovi epäyhtälössä vallitsee yhtäsuuruus jos ja vai jos a = a = = a tai b = b = = b Tämä seuraa arvioista a i a j )b i b j ) 0 i, j {,,, }) Se havaitsemie, että epäyhtälö vallitsee toisi päi ku a a a ja b b b, ei ole yhtää vaikeampaa Nimittäi Tšebyšovi epäyhtälö toie puoli seuraa tässä tapauksessa epäyhtälöistä a i a j )b i b j ) 0, jotka pätevät jällee kaikilla i, j {,,, } Tällä kerralla tulotekijöide merkit ovat väistämättä vastakkaismerkkiset) Toie todistus Osoitamme kuika Tšebyšovi epäyhtälö seuraa helposti uudelleejärjestysepäyhtälöstä Tšebyšovi epäyhtälö voidaa kirjoittaa muodossa a + a + + a )b + b + + b ) a b + a b + + a b ) Ku kerromme tässä vasemma puole auki saamme termiä Järjestämällä e seuraavasti ryhmää: a b + a b + + a b ) + a b + a b + + a b ) + + a b + a b + + a b ), saamme, että uudelleejärjestysepäyhtälö ojalla lauseke a b +a b + +a b o aia suurempaa tai yhtäsuurta kui mikä tahasa äistä summasta, ja Tšebyšovi epäyhtälö seuraa Samalla meetelmällä voimme osoittaa helposti myös Tšebyšovi epäyhtälö toise puole Uudelleejärjestysepäyhtälö Aloitamme osoittamalla epäyhtälö tapauksessa = Olkoot a a ja b b reaalilukuja Tällöi a a )b b ) 0, sillä molemmat vasemma puole tulotekijät ovat varmasti ei-egatiivisia Kertomalla vase puoli auki ja järjestelemällä termejä uudellee äemme, että a b + a b a b + a b, mikä oki täsmällee uudelleejärjestysepäyhtälö tapauksessa = Havaitsemme, että tässä pätee yhtäsuuruus täsmällee silloi ku a = a tai b = b Seuraavaksi siirrymme yleisee tapauksee Olkoot b b b sekä c, c,, c reaalilukuja Olkoot a, a,, a sellaie lukuje c, c,, c permutaatio että lausekkee a b +a b + +a b arvo o suuri mahdollie Olettakaamme, että joillaki ideksie i, j {,,, } arvoilla pätee i < j ja a i > a j Tällöi a i b j + a j b i a i b i + a j b j jo todistetu kahde muuttuja tapaukse ojalla), ja lausekkee a b + a b + + a b arvo ei siis voi olla suuri mahdollie ellei a a a, tai ellei b i = b j kaikilla iillä ideksie i ja j arvoilla joilla i < j ja a i > a j Jälkimmäisessä tapauksessa lukuparie a i ja a j järjestystä voidaa vaihtaa site, että saamme epäyhtälöt a a a pätemää Siispä lausekkee a b + a b + + a b arvo o suuri mahdollie silloi ku a a a Lopuksi huomautamme, että koska lausekkee a b + a b + + a b ) = a ) b + a ) b + + a ) b arvo o suuri mahdollie täsmällee silloi ku a a a, äemme, että lausekkee a b + a b + + a b arvo o piei silloi ku a a a
Cauchy Schwarzi epäyhtälö Olkoot a, a,, a sekä b, b,, b reaalilukuja Jos a = = a = 0, ii epäyhtälö varmasti pätee yhtäsuuruusmerkillä ja lukujoot a, a, a ja b, b,, b ovat verraolliset Voimme siis olettaa, etteivät kaikki luvut a, a,, a ole ollia Tarkastelkaamme sitte reaalimuuttuja x polyomia ) a l x + b l ) = x + a l b l )x + b l l= l= a l l= Koska l= a lx + b l ) 0 kaikilla x R, o selvästi myös ) x + a l b l )x + b l 0 l= a l l= kaikilla x R Täte kyseise toise astee polyomi diskrimiati täytyy olla ei-positiivie, eli o oltava ) 4 a l b l 4 l= a l l= l= l= b l 0 Siirtämällä vasemma puole toise termi oikealle puolelle ja jakamalla puolittai eljällä saamme Cauchy Schwarzi epäyhtälö Lopuksi, epäyhtälöstä l= a lx + b l ) 0, joka siis pätee kaikille x R, seuraa, että Cauchy Schwarzi epäyhtälössa vallitsee yhtäsuuruus täsmällee silloi ku lukujoot a, a,, a ja b, b,, b ovat verraolliset Teksti viimeisessä luvussa o esitetty vaihtoehtoie todistus Hölderi epäyhtälö Hölderi epäyhtälö voi kirjoittaa muodossa l= a p ) p l b q ) q l k= ap k k= bq k Koska p + q =, voimme käyttää tämä luvu esimmäisessa kappaleessa todistettua aritmeettis-geometrise epäyhtälö yleistystä mielivaltaisille paiokertoimille saade täte l= a p ) p l b q ) q l k= ap k k= bq k l= p a p l + k= ap k q l= b q ) l = k= bq k p + q = Lisäksi edellä sovelletu aritmeettis-geometrise epäyhtälö versio yhtäsuuruusehdosta seuraa, että yhtäsuuruus pätee täsmällee silloi ku lukujoot a p, ap,, ap ja b q, bq,, bq ovat verraolliset
Osoitamme seuraavaksi hyödyllise lisätulokse: jos Hölderi epäyhtälössä toise parametreista p ja q aetaa olla egatiivie ii epäyhtälö suuta vaihtuu Oletetaa vaikkapa, että p < 0, ja asetetaa S = p q ja T = q Tällöi luvut S ja T ovat molemmat positiivisia ja S + T = Asetetaa seuraavaksi u l = a q l ja v l = a q l bq l, kaikille l {,,, }, jolloi Hölderi epäyhtälö ojalla u l v l l= l= u S l ) S l= v T l ) T, mikä tieteki o yhtäpitävää se kassa, että ) q a q l a q l bq l a q p p ) q q ) l a q l bq l ) q l= l= Piee sievetämise ja uudelleejärjestely jälkee voimme ottaa puolittai q-asteise juure saade ) ) p q a l b l, l= l= a p l l= mikä o täsmällee haluttu kääteie epäyhtälö Mikowski epäyhtälö Huomaamme esi, että a l + b l ) r = l= a l + b l )a l + b l ) r l= = l= b q l a l a l + b l ) r + l= b l a l + b l ) r Ku r >, valitsemme luvu s site, että r + s =, eli asetamme s = r Soveltamalla Hölderi epäyhtälöä kahtee viimeksi saamaamme termii saamme a l + b l ) r = l= l= l= a r l a r l ) ) r s a l + b l ) r ) s + ) r l= l= )r r a l + b l ) r + l= l= b r l b r l ) r l= r ) ) r s a l + b l ) r ) s l= l= )r r a l + b l ) r Saamme tästä Mikowski epäyhtälö yksikertaisesti jakamalla puolittai lausekkeella l= a l + b l ) r) r r Mikowski epäyhtälö pätee selvästi myös silloi ku r = ; epäyhtälö molemmat puolet ovat tällöi yhtäsuuret Ku r >, yhtäsuuruus vallitsee täsmällee silloi ku lukujoot a, a,, a ja b, b,, b ovat verraolliset Tämä seuraa Hölderi epäyhtälö vastaavasta ehdosta
Ku r < ja r 0, luku s muuttuu egatiiviseksi, ja Mikowski epäyhtälössä epäyhtälömerkki käätyy toisi päi Tämä seuraa siitä, että Hölderi epäyhtälö merkki käätyy ku s < 0 Jesei epäyhtälö Tulemme todistamaa Jesei epäyhtälö vai positiivisille ratioaaliluvuille α, α,, α Yleie todistus mielivaltaisille ei-egatiivisille reaaliluvuille α, α,, α edellyttäisi vakavampia aalyyttisiä argumetteja Jaamme Jesei epäyhtälö todistukse kahtee tapauksee Tapaus : α l =, l =,,, Käytämme samaa meetelmää kui esimmäisessä aritmeettis-geometrise epäyhtälö todistuksessamme) Tässä tapauksessa tarkoituksemme o todistaa epäyhtälö ) f x l fx l ) ) l= Tämä epäyhtälö pitää paikkaasa ku =, suoraa koveksisuude määritelmä perusteella Oletetaa sitte, että epäyhtälö ) pätee jollaki = k, missä k =,, Osoitamme esi, että epäyhtälö ) pätee myös m = k+ = muuttujalle Todistus Olkoot x, x,, x m I Tällöi ) x + x + + x m l= f = f x l + l= x ) +l m f l= x l) + f l= x ) +l l= fx l) + l= fx m +l) l= = fx l) m Yllä olevassa epäyhtälöketjussa esimmäie epäyhtälö pätee koska ) pätee ku = Luvut l= x l ja l= x +l kuuluvat välille I, sillä e ovat välille I kuuluvie lukuje keskiarvoja) Toie arvio seuraa oletuksestamme Koska epäyhtälö ) pätee ku =, se pätee iduktiolla kaikille = k, k =,, Oletetaa seuraavaksi, että epäyhtälö ) pätee jollaki > Osoitamme seuraavaksi, että ) pätee myös muuttujalle Todistus Olkoot x, x,, x I Iduktio-oletuksemme saoo, että luvuille x, x,, x, sekä l= x = x + x + + x 4
pätee f ) x + x + + x + x+x++x fx ) + fx ) + + fx ) + f x+x ++x ) ) Sievetämise jälkee tämä vase puoli muuttuu muotoo f x+x ++x Täte, ) x + x + + x f fx l ) + ) f x + x + + x l= Lisäsievetämie ataa ) x + x + + x f l= Jällee, iduktiolla äemme, että ) pätee tapauksessa fx l ) Tapaus : Olkoot α, α,, α positiivisia ratioaalilukuja Lavetamalla ähdää, että o olemassa luoollie luku m, sekä egatiiviset kokoaisluvut p, p,, p, joille m = p +p + +p sekä α l = p l m jokaiselle l =,,, Tapauksesta seuraa, että ) x + + x ) + + x + + x ) f m fx ) + + fx ) ) + + fx m ) + + + fx m ) ) m ), ) missä esimmäisessä summassa o p termiä, toisessa summassa p termiä, ja ii edellee Mutta tämä epäyhtälö voi tietysti kirjoittaa muodossa ) f p l x l p l fx l ), m m l= ja ) o todistettu tapauksessa l= Potessikeskiarvoje epäyhtälö Lähtökohtamme o itsestääselvä: ku k = m, yhtäsuuruus pätee, eli myös epäyhtälö pätee tässä tapauksessa Oletetaa sitte, että k < m Tällöi m k > ja fuktio fx) = x m k o aidosti koveksi ku x 0 Oha f x) = m m k k ) x m k > 0, ku x > 0) Nyt, koska luvut a, a,, a ovat eiegatiivisia, luvut a k, a k,, a k ovat myös ei-egatiivisia Jesei epäyhtälö ataa meille arvio )m a k k + )m a k k + + )m a k k ak + ak + + )m k ak, 5
mikä piee sievetämise jälkee saa muodo a m + a m + + a m a k + a k + + a k Potessikeskiarvoje versio seuraa yt ottamalla tästä puolittai m juuret Yhtäsuuruusehto seuraa Jesei epäyhtälö vastaavasta ehdosta Schuri epäyhtälö Johdamme Schuri epäyhtälö vahvemmasta tuloksesta Lause Jos a, b, c, u, v ja w ovat ei-egatiivisia reaalilukuja, p o positiivie reaaliluku, ja a p + c p b p, ja u p+ + w p+ v p+, ) ii ubc vca + wab 0 ) Todistus Lähdemme liikkeelle kahdesta ei-egatiiviste reaalilukuje parista a p+, c p+ sekä uc) p+, wa) p+ Koska p > 0, o myös oltava p + > 0, Hölderi epäyhtälö ojalla siis eli ) m k p p + > 0, ja p p + + p + = a p+ uc) p+ + c p+ wa) p+ ) a p+ p+ p + c p+ p+ p p+ p uc) p+ p+) + wa) p+)) p+ p+, ac) p+ u p+ + ac) p+ w p+ a p + c p ) p p+ uc + wa) p+ Korottamalla puolittai potessii p +, saamme epäyhtälö ) ac u p+ ) p+ + w p+ a p p + c p uc + wa) Lopuksi, käyttämällä ehtoja ) saamme epäyhtälö ) p+ ) p ac v p+ b p uc + wa), mikä o yhtäpitävä vaaditu epäyhtälö ) kassa Nyt voimme rauhassa olettaa, että 0 z y x, jolloi käyttämällä lausetta luvuille p =, a = y z, b = x z, c = x y, u = x r, v = y r, ja w = z r, äemme, että x r x z)x y) y r x y)y z) + z r y z)x z) 0, mikä oki haluttu Schuri epäyhtälö 6
O varsi helppoa äyttää, että Schuri epäyhtälössä vallitsee yhtäsuuruus jos ja vai jos x = y = z Aioa Schuri epäyhtälö vasemma puole kolmesta termistä, joka voi olla egatiivie, o y r y x)y z) Jos se o egatiivie, o z < y < x Mutta äillä ehdoilla myös x r x z)x y) > y r y x)y z) Täte yhtäsuuruude vallitessa o oltava y = x tai y = z Kummassaki tapauksessa Schuri epäyhtälö vasemma puole kolmesta termistä aiaki kaksi häviävät, mistä seuraa, että x = y = z MacLaurii epäyhtälö Aloitamme todistamalla seuraava tulokse, jota tulemme käyttämää MacLaurii epäyhtälö todistuksessamme Lause Olkoo ja olkoot a, a,, a positiivisia reaalilukuja, jotka eivät kaikki ole keskeää yhtä suuria Merkitää p 0 = ja p r = i <i <<i r Tällöi jokaisella r =,,, pätee eli a i a i a ir r), ku r =,,, p r p r+ < p r Todistus iduktiolla) Ku =, o p 0 =, p = a + a, ja p = a a, ) a + a p 0 p = a a < = p, missä o tieteki käytetty aritmeettis-geometrista epäyhtälöä, ja missä yhtäsuuruus ei voi päteä oletukse a a takia Oletetaa seuraavaksi, että väitetty lause pätee jollaki = k, missä k Osoitamme, että silloi se pätee myös ku = k Selkeyde vuoksi merkitsemme tapauksessa = k lukuja p 0, p edellee p 0, p,, mutta tapauksessa = k merkitsemme iitä P 0, P, Tekemiemme oletuste ojalla positiivisille reaaliluvuille a, a,, a k, jotka eivät ole kaikki keskeää yhtä suuria, pätee P r P r+ < Pr jokaisella r =,,, k Tehtävämme o osoittaa, että positiivisille reaaliluvuille a, a,, a k, jotka eivät ole kaikki keskeää yhtä suuria, pätee p r p r+ < p r jokaisella r =,,, k Havaitkaamme, että p r = k r k P r + r k a kp r jokaisella r =,,, k, 7