Mitta ja integraaliteoria. Sirkka-Liisa Eriksson ja Pasi Vahimaa Tampereeen teknillinen yliopisto PL 553 33101 Tampere

Mitta ja integraaliteoria. Sirkka-Liisa Eriksson ja Pasi Vahimaa Tampereeen teknillinen yliopisto PL 553 33101 Tampere

2

Sisältö 1 Kertausta 7 1.1 Reaaliluvut............................ 7 1.2 Laajennettujen reaalilukujen joukko............... 9 1.3 Topologiaa............................. 11 1.4 Kompaktisuus........................... 13 2 Lebesguen mitta 15 2.1 Ulkomitta............................. 15 2.2 Lebesguen mitta reaalilukujen joukossa............. 22 3 Yleistä mittateoriaa 37 3.1 Mitta................................ 37 3.2 Mitalliset funktiot......................... 43 4 Lebesguen integraali 57 4.1 Perusominaisuudet........................ 57 4.2 Muita konvergenssilauseita.................... 74 4.3 Riemannin integraali ja Lebesguen integraali.......... 78 4.4 Integraalin muita ominaisuuksia................. 87 4.5 Radon-Nikodym lause ja jakolauseita.............. 91 5 Todennäköisyysavaruus 103 5.1 Odotusarvo............................ 103 6 Lebesguen jakolause 107 6.1 Singulaarisuus ja jatkuvuus................... 107 7 Tulomitta 111 7.1 Dynkin systeemi......................... 111 7.2 Tulomitta............................. 115 7.3 Moniulotteinen Riemannin integraali ja Lebesguen integraali. 130 3

4 SISÄLTÖ 8 Muita integraaleja 137 8.1 Riemann-Sieltjes integraali.................... 137 9 Funktioavaruuksia 147 9.1 L p avaruudet........................... 147 10 Mittakäsitteen laajennus 153 10.1 Etumerkkiset mitat........................ 153

SISÄLTÖ 5 Alkusanat Tämä kurssi käsittelee Lebesguen integrointiteoriaa. Integrointiteorioita on karkeasti sanottuna kolme, joita voidaan kutsua pääkehittäjiensä mukaan Cauchyn, Riemannin ja Lebesguen teoria. Lukiossa ja analyysin ensimmäisillä kursseilla käsitellään tavallisesti Cauchyn teoriaa. Vuonna 1823 ilmestyneessä julkaisussaan Cauchy määritteli integraalin R b f dx jatkuvalle funktiolle reaalilukuvälillä [a; b]. Riemann yleisti 1854 tämän integraalin rajoitetuille funk- a tioille. Molemmissa teorioissa on yhteistä, että väli [a; b] jaetaan äärelliseen määrään osavälejä jakopisteillä x 1 ; x 2 ; :::; x n ja integraali saadaan muotoa nx a i (x i x i 1 ) i=2 (a i reaaliluku) olevien ylä- ja alasummien avulla (asiaa käsitellään tarkemmin Luvussa 3.3). Väitöskirjassaan Lebesgue alkoi käsitellä uutta integraalia, joka on olemassa myös pahastikin epäjatkuville funktioille. Vuonna 1903 ilmestyneessä julkaisussaan hän esitti tarkemmin integraaliaan. Keskeinen idea on saada luoda ensiksi joukolle E [a; b] hyvä mitta (Lebesguen mitta). Sen jälkeen ylä- ja alasummat saadaan jakamalla väli [a; b] äärelliseen määrään joukkoja E 1 ; :::; E n funktion f arvojoukon avulla. Ne ovat muotoa P n a im (E i ), missä a i on reaaliluku ja m (E i ) joukon E i mitta. Lebesguen teorian hyvä puoli on se, että sen avulla voidaan integroida hyvinkin huonosti käyttäytyviä funktioita. Lisäksi Lebesguen teoriassa voidaan todistaa voimakkaita integraalimerkin ja raja-arvon järjestyksen vaihtamistuloksia (konvergenssilauseita). Tarkemmin integrointiteorioiden historiaa ja miksi integrointiteoriat on kehitetty on esitetty lähteessä [5]. Tämä luentomoniste perustuu syksyllä 1993 ensimmäisen kirjoittajan pitämään kurssiin Analyysi 5. Moniste noudattaa Roydenin ideaa (katso [8]), jonka mukaan mittateoria ensin esitetään reaalilukujen joukossa ja sen jälkeen yleisissä joukoissa. Fubinin lauseen avulla saadaan tämän jälkeen mitta tuloavaruuksissa ja erityisesti n-ulotteisessa Euklidisessa avaruudessa R n. Viimeisessä luvussa on esitetty Rieszin esityslause lähtien liikkeelle Radonin mitasta. Luvuissa 1 3 on pääosin lähteinä [8] ja [1]. Luvuissa 4 5 on lähteinä [8], [2] ja [9]. Viimeinen luku on mukaelma lähteistä [9], [3] ja [6]. Luentomonisteen kirjoittamisessa auttoivat aktiiviset kurssin Analyysi 5 opiskelijat. Erityisesti Heikki Niemeläinen monilla kysymyksillään paransi kurssin sisältöä. Joensuussa 21.7.1994 Sirkka-Liisa Eriksson Pasi Vahimaa

6 SISÄLTÖ

Luku 1 Kertausta 1.1 Reaaliluvut Palautetaan mieleen reaalilukujen perusominaisuudet. Määritelmä 1.1.1 Joukkoa K sanotaan kunnaksi, jos siinä on määritelty yhteenlasku + ja kertolasku, jotka toteuttavat seuraavat ehdot: (1) (+ ja määritelty) a + b ja a b kuuluvat joukkoon K jokaiselle a; b 2 K; (2) (vaihdantalaki eli kommutatiivisuus) a + b = b + a; (3) (liitäntälaki eli assosiatiivisuus) a + (b + c) = (a + b) + c; (4) (yhteenlaskun yksikkö alkio) on olemassa alkio 0, joka toteuttaa ehdon a + 0 = a jokaiselle a 2 K; (5) (yhteenlaskun käänteisalkio) jokaiselle a 2 K on olemassa alkio b, joka toteuttaa ehdon a + b = 0; (6) a b = b a; (7) a (b c) = (a b) c; (8) on olemassa alkio 1 6= 0, joka toteuttaa ehdon a 1 = a jokaiselle a 2 K; (9) jokaiselle a 2 Kn f0g on olemassa alkio b, joka toteuttaa ehdon ab = 1; (10) (osittelulaki eli distribuutivuus) a (b + c) = a b + a c: 7

8 LUKU 1. KERTAUSTA Alkiota 0 sanotaan neutraalialkioksi, alkiota 1 ykkösalkioksi. Kohdan (5) yhteenlaskun käänteisalkiota b sanotaan alkion a vasta-alkioksi, jota merkitään a. Kohdan (9) alkiota b sanotaan alkion a käänteisalkioksi, jota merkitään a 1. Lisäksi merkitsemme a b = ab ja a b 1 = a. b Määritelmä 1.1.2 Joukkoa S sanotaan (täydellisesti) järjestetyksi, jos siinä on määritelty relaatio <, joka toteuttaa ehdot (a) jos x 2 S ja y 2 S, niin ainakin yksi, ja vain yksi ehdoista: on voimassa; x < y; x = y; y < x (b) jos x; y; z 2 S ja x < y sekä y < z, niin x < z (transitiivisuus). Merkintä x y tarkoittaa, että x = y tai x < y. Määritelmä 1.1.3 Kuntaa K sanotaan järjestetyksi kunnaksi, jos siinä on määritelty sellainen järjestysrelaatio <, että (a) jos x; y 2 K ja x < y, niin x + a < y + a jokaiselle a 2 K: (b) jos x; y 2 K ja 0 < x ja 0 < y, niin 0 < xy: Jos x 0, alkiota x sanotaan positiiviseksi. Määritelmä 1.1.4 Olkoon S järjestetty joukko ja E S. Alkio a 2 S on joukon E S yläraja joukossa S; jos a x jokaiselle x 2 E. Alkio b 2 S on joukon E S alaraja joukossa S; jos b x jokaiselle x 2 E. Joukon E pienin yläraja on alkio s 2 S, joka toteuttaa ehdot: (a) s x jokaiselle x 2 E; (b) jos a on joukon E yläraja, niin s a: Joukon E pienintä ylärajaa merkitään sup E. Joukon E suurin alaraja on alkio s 2 S, joka toteuttaa ehdot: (a) s x jokaiselle x 2 E; (b) jos a on joukon E alaraja, niin s a:

1.2. LAAJENNETTUJEN REAALILUKUJEN JOUKKO 9 Joukon E suurinta alarajaa merkitään inf E. Huomautus 1.1.5 inf E =2 E, jos joukolla ei ole pienintä alkiota. sup E =2 E, jos joukolla ei ole suurinta alkiota. sup E 6= max E tavallisesti, sillä max E ei ole aina olemassa. inf E 6= min E tavallisesti, sillä min E ei ole aina olemassa. Lause 1.1.6 On olemassa järjestys isomor aa vaille yksikäsitteinen järjestetty kunta, jossa jokaisella epätyhjällä ylhäältä rajoitetulla joukolla on olemassa pienin yläraja, ja jokaisella alhaalta rajoitetulla joukolla on olemassa suurin alaraja. Määritelmä 1.1.7 Reaalilukujen joukko on Lauseen 1.1.6 määräämä järjestetty kunta, jota merkitään R. Määritelmä 1.1.8 Joukkoa S R sanotaan induktiiviseksi, jos seuraavat ehdot ovat voimasssa: (i) 1 2 S; (ii) jos x 2 S, niin x + 1 2 S: Määritelmä 1.1.9 Luonnollisten lukujen joukko on leikkaus kaikista reaalilukujen joukon induktiivisista joukoista. Luonnollisten lukujen joukkoa merkitään N. Lemma 1.1.10 Jos E R ja E on ylhäältä rajoitettu, niin a = sup E, jos ja vain jos a on joukon E yläraja, ja jos jokaiselle " > 0 on olemassa sellainen x 2 E, että a " < x. Vastaavasti jos E R ja E on alhaalta rajoitettu, niin b = inf E, jos ja vain jos b on joukon E alaraja, ja jos jokaiselle " > 0 on olemassa sellainen x 2 E, että a + " > x. 1.2 Laajennettujen reaalilukujen joukko Määritelmä 1.2.1 Laajennettu reaalilukujen joukko on reaalilukujen joukko, johon on lisätty kaksi symbolia 1 ja 1:Laajennetussa reaalilukujen joukossa järjestys on sama kuin reaalilukujen joukossa ja lisäksi 1 < x < 1

10 LUKU 1. KERTAUSTA jokaiselle x 2 R. Lisäksi määrittelemme 1 + 1 = 1; x + 1 = 1; x 2 R x 1 = 1; x 2 R 1 1 = 1 x 1 = 1; x < 0; x 2 Rx x 1 = 1; x < 0; x 2 R x 1 = 1; x > 0; x 2 R: x 1 = 1; x > 0; x 2 R: Lemma 1 Olkoon A R[ f 1; 1g. 1. sup A 2 R jos ja vain jos on olemassa sellainen r 2 R että r > a jokaiselle a 2 A. Todistus. 1. inf A 2 R jos ja vain jos on olemassa sellainen r 2 R että r < a jokaiselle a 2 A. 2. Tällöin 1 = sup A jos ja vain jos jokaiselle r 2 R on olemassa sellainen a 2 A, että a > r: 3. Tällöin 1 = inf A jos ja vain jos jokaiselle r 2 R on olemassa sellainen a 2 A, että a < r: Lause 1.2.2 Jokaiselle laajennettujen reaalilukujen epätyhjällä osajoukolla A on pienin yläräja sup A 2 R[ f 1; 1g ja suurin alaraja inf A 2 R[ f 1; 1g. Todistus. Jokin seuraavista kolmesta tapausta on voimassa: 1. Jos A R[ f 1; 1g ja 1 2 A, niin sup A = 1. 2. Jos A R ja A on ylhäältä rajoitettu joukosssa R, niin reaalilukujen ominaisuuden perusteella sup A 2 R. 3. Jos A R ei ole ylhäältä rajoutettu joukossa R, niin sup A = 1, sillä 1 on joukon A yläraja.

1.3. TOPOLOGIAA 11 1.3 Topologiaa Topologia on matematiikan haara, joka tutkii ominaisuuksi, jotka säilyvät muutoksissa kuten venytys ja kierto tai vääntö, repiminen ei ole luvallista. Topologian tutkija on henkilö, joka ei osaa erottaa kahvikuppia ja donitsia. Määritelmä 1.3.1 Joukkoa ]a; b[ = fx 2 R j a < x < bg sanotaan avoimeksi väliksi, kun a < b. Joukkoa U R sanotaan avoimeksi, jos jokaiselle pisteelle x 2 U on olemassa avoin väli x 2 ]a; b[ U. Joukkoa U sanotaan suljetuksi, jos sen komplementtijoukko RnU on avoin. Piste u 2 U on joukon U R sisäpiste,jos on olemassa sellainen avoin väli, että ]u ":u + "[ U, missä " > 0. Piste u 2 R on joukon U R n reunapiste, jos jokaiselle pisteen u sisältävälle avoimelle välille ]a; b[ pätee ]a; b[ \ U 6=? ja]a; b[ nu 6=?. Piste u 2 R on joukon U R kasautumispisteeksi, jos joukossa U on olemassa jono (u i ), joka suppenee kohti pistettä u ja u i 6= u jokaiselle i 2 N. Joukko voi olla suljettu ja avoin. Esimerkiksi? on suljettu sekä avoin. Joukkon ei tarviste olla suljettu eikä myöskään avoin. Esimerkiksi puoliavoin väli ]a; b]. Siitä, että joukko ei ole avoin, ei seuraa välttämättä, että joukko olisi suljettu tai päinvastoin. Lemma 1.3.2 Olkoon a < b. Avoin väli ]a; b[ on avoin joukko. Väli [a; b] on suljettu joukko. Lemma 1.3.3 Piste u ei ole joukon U kasuatumispiste jos ja vain jos on olemassa sellainen avoin väli ]a; b[, että u 2 ]a; b[ ja ]a; b[ \ U sisältää korkeintaan pisteen u. Lemma 1.3.4 Äärellisellä joukolla ei ole kasautumispisteitä. Lemma 1.3.5 Olkoon U R. 1. Joukko U on suljettu, jos ja vain jos se sisältää kaikki kasautumispisteensä. 2. Joukko U on suljettu, jos ja vain jos jokaisen joukon U suppenevan jonon raja-arvo kuuluu joukkoon U.

12 LUKU 1. KERTAUSTA Lemma 1.3.6 Joukko S on tiheä joukossa R jos ja vain jos jokainen reaaliluku on joukon S kasautumispiste. Lause 1.3.7 Jokainen reaaliluku on rationaalilukujen joukon kasautumispiste. Jokainen reaaliluku on irrationaalilukujen joukon kasautumispiste. Lause 1.3.8 (a) Jos joukot U i R ovat avoimia jokaiselle indeksijoukon I alkiolle i, niin [ on avoin. (b) Jos joukot U i R ovat suljettuja jokaiselle indeksijoukon I alkiolle i, niin \ on suljettu. Lause 1.3.9 (a) Jos joukot U i R ovat avoimia, kun i = 1; :::; n, n 2 N, niin i2i i2i n\ U i U i on avoin. U i (b) Jos joukot U i R ovat suljettuja, kun i = 1; :::; n, n 2 N, niin n[ on suljettu. U i Määritelmä 1.3.10 Joukon U R n sulkeuma U on pienin suljettu joukko, joka sisältää joukon U: Lause 1.3.11 Joukon U R sulkeuma U on U = \ V: UV V suljettu

1.4. KOMPAKTISUUS 13 1.4 Kompaktisuus Jatkossa tarvisemme topologista ominaisuutta kompaktisuus, jonka kertaamme lyhyesti. Määritelmä 1.4.1 Joukkoa E R sanotaan jonokompaktiksi, jos jokaisella joukon E äärettömällä jonolla on suppeneva osajono, joka suppenee kohti joukon E pistettä. Lause 1.4.2 Olkoon a < b ja a; b 2 R. Väli [a; b] on jonokompakti. Määritelmä 1.4.3 Joukon E R avoin peite on avoimien joukkojen G i joukko fg i g i2i, joka peittää joukon E eli [ i2i G i E. Määritelmä 1.4.4 Joukkoa E R sanotaan (numeroituvasti) kompaktiksi, jos jokaisella joukon E avoimella numeroituvalla peitteellä on äärellinen osapeite, eli jos A k ovat avoimia jokaiselle k 2 N ja E [ 1 A k, niin on k=1 olemassa sellainen n 2 N, että E S n k=1 A k. Lause 1.4.5 Jos joukko E R on kompakti, niin se on suljettu ja rajoitettu. Lause 1.4.6 Jos joukko E R on kompakti ja F E on suljettu, niin F on kompakti. Lause 1.4.7 Jos joukko E R on jonokompakti, niin se on kompakti. Lause 1.4.8 Joukko E R on kompakti jos ja vain \ 1 F i 6= ; jokaiselle suljettujen joukkojen kokoelmalle ff i j i 2 N; g, jonka äärellisellä osakokoelmalla ff i ji = 1; ::mg on epätyhjä leikkaus joukon E kanssa eli \ m F i \E 6= ;. Lause 1.4.9 Jos (I k ) on jono rajoitettuja suljettuja välejä joukossa R ja I k I k+1, niin \I k 6= ;. Lause 1.4.10 (Bolzano-Weierstrass-Heine-Borel) Olkoon E R. Tällöin seuraavat ominaisuudet ovat yhtäpitäviä: (a) Joukko E on suljettu ja rajoitettu; (b) Joukko E on jonokompakti; (c) Joukko E on kompakti.

14 LUKU 1. KERTAUSTA Määritelmä 1.4.11 Jonoa (x n ) sanotaan Cauchyn jonoksi, jos jokaiselle " > 0 on olemassa sellainen m " 2 N, että jx n x s j < " jokaiselle n; s > m ". Joukkoa E sanotaan täydelliseksi, jos sen jokainen Cauchyn jono suppenee kohti joukon E pistettä. Lause 1.4.12 Joukko R on täydellinen. Yleisesti pätee, että jokainen joukon R suljettu osajoukko on täydellinen.

Luku 2 Lebesguen mitta 2.1 Ulkomitta Olisi hyvä, jos voisimme sanoa mielivaltaisesta joukosta, kuinka iso se on. Tämä tosin tuntuu hivenen omituiselta asialta. Kuinka esimerkiksi jostakin karvahattujen osajoukosta voisimme kertoa, kuinka iso se on? Silti usein on kätevää mitata jollain tavalla joukon kokoa. Erityisen tärkeää joukon mitan tietäminen on integroitaessa. Tässä aluksi tarkastelemme, kuinka voisimme mitata jonkin reaalilukujen R osajoukon koon. Tätä varten tarvitsemme käsitteen mitta. Jotta tämä mitta vastaisi normaalia käsitystämme mitasta, olisi luonnollista asettaa mitalle seuraavat vaatimukset: 1. Joukon E mitta m(e) on määritelty jokaiselle joukolle E R; 2. Jokaisen reaalilukuvälin mitta on sama kuin kyseisen välin pituus; 3. Jos joukot E n ovat joukon R pistevieraita osajoukkoja, eli E n \ E m = ;; kun n 6= m; niin mitta on täydellisesti additiivinen:! m E n = X m(e n ); n2n [ n2n 4. Mitta m on invariantti siirrossa pitkin reaaliakselia, eli jos a 2 R ja a + E = fa + x j x 2 Eg; niin joukon a + E mitta on sama kuin joukon E mitta: m(a + E) = m(e): 15

16 LUKU 2. LEBESGUEN MITTA Valitettavasti tällaisen mitan määritteleminen on mahdotonta (Katso Royden, s. 64). Jostakin edellä olevasta ehdosta on luovuttava. Tuntuu luonnollisimmalta luopua ehdosta (1). Eli vaadimme, että voimme edes joistakin joukoista sanoa, minkä mittaisia ne ovat. Siten ryhdymme etsimään mittaa, joka toteuttaa loput ehdot (2) (4). Tällaisen mitan määrittelemiseksi otamme ensiksi käyttöön ulkomitan. Ulkomitan tarkoituksena on antaa arvio joukon mitalle joukon peittävien avoimien välien pituuksien summan avulla. Avoin väli ]a; b[ on joukko fx 2 R j a < x < bg ; missä a; b 2 R. Ulkomitan määrittelemme kaikille reaalilukujen joukon osajoukoille A seuraavasti: Määritelmä 2.1.1 Olkoon A reaalilukujen R osajoukko. Joukon A Lebesguen ulkomitta m (A) on ( X m (A) = inf l(i k ) j I k :t avoimia välejä siten, että A [ ) I k ; k2n k2n missä l(i k ) on välin I k tavallinen geometrinen pituus. Siis joukon A ulkomitta on suurin alaraja eikä minimi joukon A peittävien avoimien välien I k pituuksien summasta. Näin ollen ei välttämättä ole olemassa avoimia välejä I k siten, että m (A) = P k2n l(i k). Lisäksi on syytä huomata pari asiaa: 1. Koska kaikille joukoille A R on voimassa A [ n2n ] n; n[ = R; niin ulkomitta m (A) on määritelty kaikille joukoille A R. 2. Joukon A ulkomitta on aina ei-negatiivinen ja se voi olla myös ääretön: 0 m (A) 1: Tämä luonnollisesti siitä syystä, että geometrinen pituus on aina positiivinen, ja että suoran ulkomitta on ääretön, mikä nähdään seuraavasta jauseesta, joka kertoo, että välin ulkomitta on välin pituus.

2.1. ULKOMITTA 17 3. Olkoot A R ja B R siten, että A B. Olkoot välit I k lisäksi avoimia välejä ]a; b[, jotka peittävät joukon B, eli B [ k2n I k : Koska A on joukon B osajoukko, niin nämä välit peittävät myös joukon A, eli A [ k2n I k : Siten välttämättä X l(i k ) m (A): k2n Näin ollen joukon B osajoukon A ulkomitta on pienempi kuin joukon B ulkomitta: m (A) m (B); aivan kuten hyvältä mitalta voisi odottaakin. Tätä ominaisuutta kutsutaan ulkomitan monotonisesti kasvavuudeksi. Seuraavaksi osoitamme, että ulkomitta on myös siinä mielessä hyvä, että välin ulkomitta on sama kuin välin pituus. Lause 2.1.2 Reaalilukuvälin ulkomitta on sama kuin kyseisen välin pituus. Todistus. Käsitellään ensiksi suljettuja rajoitettuja välejä. Olkoon I = [a; b]; a < b suljettu väli. Tällöin jokaista positiivista lukua kohti voimme valita avoimen välin ]a ; b + [, joka peittää välin I. Koska ulkomitta on kyseisen välin peittävien avoimien välien pituuksien suurin alaraja, niin m (I) b a + 2 kaikilla > 0: Koska on mielivaltainen, niin saamme m (I) b a: Seuraavaksi osoitamme, että m (I) b a:

18 LUKU 2. LEBESGUEN MITTA Olkoot nyt joukot I k avoimia siten, että ne peittävät välin I: I [ k2n I k : Koska väli on suljettu ja myös rajoitettu (eli kompakti), niin voimme soveltaa Heine Borelin lausetta (katso [8, Theorem 2.15]). Sen mukaan on olemassa äärellinen osapeite I ki, i = 1; : : : ; m; siten, että I m[ I ki : Koska piste a kuuluu välille I, niin on olemassa jokin osapeitteen joukko I ki johon a sisältyy, eli a 2 I ki jollakin i. Merkitsemme tätä väliä I ki = ]a 1 ; b 1 [ : Jos nyt b 1 < b, niin on puolestaan olemassa väli I kj Merkitsemme tätä väliä puolestaan b 1 2 I kj jollakin j. I kj =]a 2 ; b 2 [: siten, että Jatkamme tätä niin kauan, kunnes jollakin arvolla l pätee b l > b. Näin olemme saaneet välit ]a 1 ; b 1 [ ; ]a 2 ; b 2 [ ; : : : ; ]a l ; b l [ ; joille on konstruktion nojalla voimassa b k 2 ]a k+1 ; b k+1 [ eli Näin ollen saamme X l(i r ) r2n a k+1 < b k < b k+1 : mx l (I ki ) b l a l + ::: + b 1 a 1 = b l + (b l 1 a l ) + ::: + (b 1 a 2 ) a 1 :

2.1. ULKOMITTA 19 Koska b k Siten 1 > a k kaikille k, niin jokainen suluissa oleva termi on ei-negatiivinen. X l(i r ) b l a 1 : r2n Toisaalta b l > b ja a 1 < a, joten X l(i r ) b a = l ([a; b]) : Siis saamme r2n m (I) l ([a; b]) = b a: Koska lisäksi aiemmin totesimme, että niin välttämättä pätee m (I) b a; m (I) = b a: Näin olemme todistaneet väitteen suljetuille rajoitetuille väleille. Oletamme seuraavaksi, että väli I on rajoitettu, mutta ei suljettu. Tällöin voimme muodostaa suljetun välin [a; b], missä a = inf I ja b = sup I, jolloin I [a; b] : Koska I on välin [a; b] osajoukko, niin silloin sen ulkomitta on korkeintaan sama kuin välin [a; b] ulkomitta. Siis m (I) b a = m ([a; b]) : Toisaalta, jos valitsemme positiivisen luvun siten, että niin Näin ollen saamme < b a 2 ; [a + ; b ] I: m (I) m ([a + ; b ]) = b a 2 jokaisella edellä määritellyllä luvulla. Siten pätee m (I) b a:

20 LUKU 2. LEBESGUEN MITTA Näin ollen saamme m (I) = b a; joka puolestaan on sama kuin kyseisen ei-suljetun välin pituus, sillä a = inf I ja b = sup I. Jos väli I ei ole rajoitettu, niin ehdosta a 2 I seuraa, että a + n 2 I jokaiselle n 2 N tai a n 2 I jokaiselle n 2 N. Näin ollen saamme tai m (I) m ([a; a + n]) = n m (I) m ([a n; a]) = n jokaiselle n: Siis m (I) = 1. Ulkomitta ei ole additiivinen, mutta se toteuttaa lievemmän ominaisuuden: Lause 2.1.3 Olkoot A i ; i 2 N; reaalilukujoukon osajoukkoja. Tällöin näille joukoille pätee ulkomitan subadditiivisuus :! [ m A i X m (A i ): i2n i2n Todistus. Mikäli m (A i ) = 1 jollakin arvolla i 2 N, niin väite on voimassa triviaalisti. Oletamme siis, että m (A i ) < 1 kaikilla i 2 N. Tällöin on olemassa avoimet välit I ik, jotka toteuttavat ehdot A i [ k2n I ik ja kaikille > 0 X l(i ik ) < m (A i ) + 2 : i k2n Kun nyt otamme summauksen yli kaikkien indeksien i, niin saamme X l(i ik ) X m (A i ) + : i2n i;k2n

2.1. ULKOMITTA 21 Koska [ A i [ I ik ; niin pätee i2n i;k2n! [ m A i X l(i ik ) X m (A i ) + : i2n i;k i2n Koska on kuitenkin valittu mielivaltaiseksi, niin välttämättä! [ m A i X m (A i ); i2n i2n eli ulkomitta on subadditiivinen. Tällä tuloksella on kaksi hyvin ilmeistä seurausta. Seuraus 2.1.4 Jos joukko A R on numeroituva, niin sen ulkomitta on nolla: m (A) = 0: Todistus. Mikäli A R on numeroituva, niin voimme esittää sen muodossa A = [ i2nfx i g: Jokaisen pisteen x i voimme peittää suljetulla joukolla [x i > 0 on mielivaltainen. Tällöin 0 m (fx i g) m [x i 2 ; x i + 2 ] = : Koska oli mielivaltainen, niin saamme m (fx i g) = 0: Edellisen lauseen nojalla saamme siten 0 m (A) X i2n m (fx i g) = 0: Siis numeroituvan joukon ulkomitta on nolla. Seuraus 2.1.5 Reaalilukuväli on ylinumeroituva. ; x 2 i + ], missä 2 Todistus. Mikäli välin pituus on nollasta poikkeava (emme käsitä yhtä pistettä väliksi), niin myös ulkomitta on 6= 0, joten edellisen seurauksen nojalla väli on ylinumeroituva. Tämän jälkeen voimmekin sitten määritellä itse mitan edellä olleen ulkomitan avulla.

22 LUKU 2. LEBESGUEN MITTA 2.2 Lebesguen mitta reaalilukujen joukossa Reaalilukujen mitan määritelyssä vaikeutena on, ettei sitä voida määritellä täydellisesti additiivisena joukkofunktiona jokaiselle reaalilukujen joukon osajoukolle. Seuraavassa määritelmässä esitetään sellaiset joukot, joita voimme hyvin mitata. Määritelmä tosin näyttänee hiukan omituiselta, mutta sen tarkoituksellisuus selvinnee jatkossa. Määritelmä 2.2.1 Joukko E R on mitallinen, jos jokaiselle joukolle A R on voimassa m (A) = m (A \ E) + m (A n E): Mitallisten joukkojen joukkoa merkitään M. Mitta m on mitallisten joukkojen joukolta M ei-negatiivisten laajennettujen reaalilukujen joukolle R + [ f1g määritelty funktio, jolle pätee jokaiselle E 2 M. m (E) = m (E) Huomautamme vielä, että mitta on määritelty vain mitallisille joukoille. Jos joukko ei ole mitallinen, niin emme voi puhua sen mitasta. Toisaalta määritelmä on järkevä, sillä ulkomitan määrittelimme kaikille joukoille. Myös ei-mitallisia joukkoja on olemassa (Katso Royden luku 3.4). Niiden esitys vaatii kuitenkin valinta-aksiomaa. Koska kaikille joukoille A R on voimassa Lauseen 2.1.3 nojalla ulkomitan subadditiivisuus, niin m (A) m (A \ E) + m (A n E): Siis, jos haluamme osoittaa jonkin joukon E R mitalliseksi, riittää osoittaa, että m (A) m (A \ E) + m (A n E) (2.1) kaikille niille joukoille A, joille m (A) < 1. Mikäli m (A) = 1, niin tämä epäyhtälö on voimassa selvästi. Määritelmän perusteella saamme seuraavan triviaalin lauseen. Lause 2.2.2 Jos joukko E R on mitallinen, niin myös sen komplementti R n E on mitallinen. Todistus. Vaihdamme vain joukot komplementeiksi, josta väite seuraa joukkooppia käyttämällä. Edelleen saamme, että jokainen joukko, jonka ulkomitta on nolla, on mitallinen.

2.2. LEBESGUEN MITTA REAALILUKUJEN JOUKOSSA 23 Lause 2.2.3 Olkoon E R. Jos m (E) = 0, niin joukko E on mitallinen ja m (E) = 0. Todistus. Koska A \ (R n E) A, niin m (A) m (A \ (R n E)) : Toisaalta, koska m (E) = 0, niin 0 m (E \ A) m (E) = 0: Koska lisäksi A \ (R n E) = A n E, niin nämä tulokset yhdistämällä saamme m (A) m (A n E) + m (A \ E): Näin ollen E on mitallinen. Tällä tuloksella on edellisen luvun perusteella suora seuraus: Seuraus 2.2.4 Numeroituvat joukot ovat mitallisia ja niiden mitta on nolla. Todistus. Numeroituvan joukon ulkomitta on nolla Seurauksen 2.1.4 mukaan, joten väite seuraa edellisestä lauseesta. Esimerkki 2.2.5 On olemassa nollamittaisia joukkoja, jotka ovat ylinumeroituvia. Cantorin joukko on esikerkki tälläisestä joukosta. Cantorin joukko saadaan seuraavalla tavalla. Olkoon I = [0; 1]. Merkitään I1 0 = 1 ; 2 3 3. Jaetaan joukon InI1 0 komponentit 0; 3 1 ja 2 ; 1 kolmeen yhtäsuureen osaan 3 ja merkitään keskimmäisiä avoimia välejä niistä I1 1 ja I2. 1 Jaetaan edelleen joukon In (I1 0 [ I1 1 [ I2) 1 komponentit kolmeen yhtäsuureen osaan ja merkitään keskimmäisiä avoimia välejä niistä I 1; 2 I2; 2 I3 2 ja I4. 2 Jatkamalla tätä prosessia saadaan jono avoimia välejä In k ja n = 1; :::; k2n 2k. Joukkoa In S n;k Ik n sanotaan Cantorin joukoksi. Se on ylinumeroituva ja nollamittainen. Todistus. Jokaisella x 2 [0; 1] on esitys x = P 1 a n n=1 3 n, a n 2 f0; 1; 2g, joka on yksikäsitteinen, kun x 6= q. Luvun x > 0 esitys saadaan induktiivisest seuraavasti: a 1 on suurin luvuista p 2 f0; 1; 2g, joille pätee p < x, ja yleisesti a 3 n 3 n on suurin luvuista p 2 f0; 1; 2g, joille pätee a 1 3 + a 2 + ::: + an < x. Siis luvun 3 2 3 n a n laskemiseksi lasketaan ensin a 1 ; a 2 ; :::; a n 1. Itseasiassa näin saadaan luvun x esitys kolmikantajärjestelmässä, jossa kymmenen luvun sijasta käytetään

24 LUKU 2. LEBESGUEN MITTA vain arvoja 0; 1; 2. Tämä esitys on yksikäsitteinen, mutta valitaan sina päättymätön kehitelmä. Cantorin joukko on niiden lukujen x = P 1 a n n=1 3 n joukko, missä a n 2 f0; 2g, sillä joukossa I1 0 on ne luvut, joissa a 1 = 1, ja joukoissa I1; 1 I2 1 ne luvut, joissa a 2 = 1, jne. Cantorin joukon ylinumeroituvuus voidaan todistaa tutulla periaatteella. Oletetaan, että Cantorin joukko on numeroituva eli se voidaan esittää muodossa x 1 ; x 2 ; :::. Olkoon x luku, joka saadaan seuraavasti x = P 1 c k k=1, missä c 3 k k 2 f0; 2g on erisuuri kuin luvun x k esityksen k:s luku a k. Tällöin x on Cantorin joukossa, mutta ei listassa x 1 ; x 2 ; :::, missä ristiriita. Cantorin joukon In S n;k Ik n mitta saadaan suraavasti m In [ n I n! = lim n!1 m (I) m [ k=1 I k n! = lim n!1 1 nx k=0 2 k = 0; 3k+1 missä yhtäsuuruuksein perustelut seuraavat jatkossa todistettavissa tuloksista. Mitta käyttäytyy luonnollisesti, jos välit ovat mitallisia. Tämän todistamiseksi selvitämme ensin avoimen välin ]a; 1[ mitallisuuden. Lemma 2.2.6 Väli ]a; 1[ on mitallinen. Todistus. Olkoon A R mielivaltainen testijoukko. Merkitsemme A 1 = A \ ]a; 1[ ; A 2 = A n ]a; 1[ = A \ ] 1; a] : Meidän pitäisi mitallisuuden määritelmän mukaan osoittaa, että m (A) = m (A 1 ) + m (A 2 ): Ulkomitan subadditiivisuuden nojalla riittää osoittaa, että m (A) m (A 1 ) + m (A 2 ): Koska tämä epäyhtälö on voimassa, kun m (A) = 1, niin voimme olettaa, että m (A) < 1. Koska joukot A 1 ja A 2 ovat joukon A osajoukkoja, niin myös näiden ulkomitat ovat äärellisiä. Tällöin on olemassa sellaiset avoimet välit I k, n 2 N; että 1[ A ja + m (A) > k=1 I k 1X l(i k ); > 0: k=1

2.2. LEBESGUEN MITTA REAALILUKUJEN JOUKOSSA 25 Merkitsemme seuraavaksi I 0 k = I k \ ]a; 1[ ; I 00 k = I k \ ] 1; a] Koska välin ulkomitta on sama kuin välin pituus, niin voimme kirjoittaa Näin ollen voimme kirjoittaa l(i k ) = l(i 0 k) + l(i 00 k ) = m (I 0 k) + m (I 00 k ): + m (A) = 1X k=1 k=1 m (I 0 k ) + m (I 00 k ) 1X 1 m (Ik 0 ) + X m (Ik 00) k=1 m (A 1 ) + m (A 2 ); missä viimeinen rivi tulee ulkomitan subadditiivisuuden perusteella. Koska on mielivaltainen, niin m (A) m (A 1 ) + m (A 2 ); joten väite on voimassa. Seuraavaksi osoitamme, että mitallisten joukkojen äärelliset yhdisteet ja leikkaukset ovat mitallisia. Tästä seuraa myös, että kaikki välit ovat mitallisia. Lause 2.2.7 Jos reaalilukujen joukon osajoukot E 1 ; : : : ; E k ovat mitallisia, niin joukot k[ k\ ja ovat mitallisia. E i E i Todistus. Osoitamme väitteet tosiksi kahdelle joukolle. Yleiset tapaukset seuraavat näistä suoraan induktiolla. Olkoot siis joukot E 1 ja E 2 mitallisia. Koska E 1 on mitallinen, niin määritelmän mukaan m (A) = m (A \ E 1 ) + m (A n E 1 ) jokaiselle joukolle A R. Sovellamme nyt joukon E 2 mitallisuutta joukkoon A n E 1. Tällöin siis määritelmän mukaan m (A n E 1 ) = m ((A n E 1 ) \ E 2 ) + m ((A n E 1 ) n E 2 ) :

26 LUKU 2. LEBESGUEN MITTA Yhdistämällä nämä kaksi tulosta voimme kirjoittaa m (A) = m (A \ E 1 ) + m ((AnE 1 ) \ E 2 ) + m (AnE 1 ne 2 ) m (((AnE 1 ) \ E 2 ) S (A \ E 1 )) + m (An (E 1 S E2 )) = m (A \ (E 1 [ E 2 )) + m (An (E 1 [ E 2 )) : Näin ollen epäyhtälön (2.1) mukaan joukko E 1 [ E 2 on mitallinen. Toisaalta joukkojen E 1 ja E 2 leikkauksen voimme kirjoittaa muotoon E 1 \ E 2 = R n ((R n E 1 ) S (R n E 2 )) : Kun sovellamme tähän komplementin mitallisuutta ja edellä todistettua yhdisteen mitallisuutta, niin näemme, että myös leikkaus E 1 \E 2 on mitallinen. Nämä tulokset voimme yleistää induktiolla koskemaan mitallisia joukkoja E 1 ; : : : ; E n. Seuraus 2.2.8 Kaikki reaalilukuvälit ovat mitallisia. Todistus. Koska joukko ]a; 1[ on mitallinen, niin myös sen komplementti R n ]a; 1[ = ] 1; a] on mitallinen. Jos a < b, niin ]a; b] = ] 1; b] \ ]a; 1[ on mitallinen. Edelleen yhden pisteen joukot ovat nollamittaisina mitallisia, joten joukot ]a; b] [ fag = [a; b] ]a; b] n fbg = ]a; b[ ] 1; a] nfag = ] 1; a[ ]a; 1[ [ fag = [a; 1[ ovat mitallisia. Seuraavaksi todistamme kaksi lemmaa, joita tulemme tarvitsemaan numeroituvien unionien mitallisuuden todistamisessa. Lemma 2.2.9 Olkoot E i R; i = 1; : : : ; k; keskenään pistevieraita ja mitallisia joukkoja ja A R mielivaltainen joukko. Tällöin on voimassa m A \!! k[ E i = kx m (A \ E i ) :

2.2. LEBESGUEN MITTA REAALILUKUJEN JOUKOSSA 27 Todistus. Jälleen todistamme tämän vain tapauksessa k = 2, sillä yleisen tapauksen saamme tästä induktiolla. Olkoot siis E 1 ja E 2 mitallisia pistevieraita joukkoja. Koska E 1 on mitallinen, niin m (A\ (E 1 [ E 2 )) = m (A\ (E 1 [ E 2 ) \E 1 ) + m ((A\ (E 1 [ E 2 )) ne 1 ) : Käyttämällä joukko-oppia ja muistamalla, että E 1 \ E 2 = ;, saamme m (A \ (E 1 [ E 2 )) = m (A \ E 1 ) + m (A \ E 2 ) ; ja yleinen tapaus seuraa siis tästä induktiolla. Lemma 2.2.10 Jos joukot E i R; i 2 N; ovat mitallisia, niin on olemassa pistevieraat mitalliset joukot F i R siten, että [ F i : i2n E i = [ i2n Todistus. Valitsemme joukot F i seuraavasti: F 1 = E 1 F 2 = E 2 ne 1 F 3 = E 3 n (E 1 [ E 2 ) ja niin edelleen. Tällöin yleinen joukko F k on F k = E k n k[ 1 E i! Joukot F k ovat mitallisia ja pistevieraita, sillä kun k > l; niin F k \ F l = E k n k[ 1 Todistamme seuraavaksi, että n[ k=1 E i!! \ E l n F k = n[ E k : k=1 :!! l[ 1 E i = ;: Käytämme induktiotodistusta. Ensiksi huomaamme, että E 1 = F 1. Siis väite on tosi, kun n = 1. Oletamme seuraavaksi, että väite pätee arvolla n, eli n[ n[ E k = F k : k=1 k=1

28 LUKU 2. LEBESGUEN MITTA Tällöin saamme arvolla n + 1 n+1 [ k=1 F k = F n+1 [ = E n+1 n = E n+1 n k=1 n[ k=1 F k!! n[ n! S [ E i F k k=1!! n[ n! S [ E i E k = k=1 Siten kaikilla arvoilla n on voimassa n[ n[ 1[ F k = E i E i : n+1 [ Koska tämä pätee siis kaikilla luvun n arvoilla, niin erityisesti Vastaavasti ja siis 1[ F k k=1 n[ E i = k=1 1[ E k k=1 Näin ollen [ 1[ E k : k=1 n[ 1[ F k 1[ F k : k=1 i2n E i = [ i2n ja väite on siis todistettu. Näiden lemmojen avulla voimme nyt todistaa seuraavan lauseen. Lause 2.2.11 Jos joukot E i ovat mitallisia, niin myös joukot [ \ ja E i : i2n E i F i ; i2n F k k=1 E k : ovat mitallisia. Edelleen m [ i2n E i! X i2n m(e i )

2.2. LEBESGUEN MITTA REAALILUKUJEN JOUKOSSA 29 ja mikäli mitalliset joukot E i ovat pistevieraita, pätee yhtäsuuruus eli m! 1[ E i = 1X m(e i ): Todistus. Olkoot joukot E i mitallisia. Tällöin Lemman 2.2.10 nojalla on olemassa pistevieraat mitalliset joukot F i siten, että 1[ 1[ F i = E i : Koska joukot E i ovat mitallisia, niin Lauseen 2.2.7 nojalla myös joukko k[ on mitallinen. Mitallisuuden määritelmän mukaan tämä tarkoittaa sitä, että!! k[ k[ m (A) = m A \ E i + m A n E i : Tässä vasemman puolen ensimmäisen termin voimme Lemman 2.2.9 avulla kirjoittaa muotoon E i! n[ m A \ E i = nx m (A \ F i ): Jälkimmäisessä termissä voimme kasvattaa summauksen äärettömäksi, jolloin kyseisen joukon ulkomitalle on voimassa!! k[ 1[ m A n E i m A n E i : Tällöin saadaan kaikille k 2 N kx m (A) m (A \ F i ) + m! 1[ A n E i : Koska tämä siis on voimassa kaikilla arvoilla n 2 N, niin voimme nostaa summauksen äärettömyyteen asti, jonka jälkeen voimme käyttää ulkomitan

30 LUKU 2. LEBESGUEN MITTA subadditiivisuutta. Näin saamme! 1X 1[ m (A) m (A \ F i ) + m A n E i!!! 1[ 1[ m A \ F i + m A n E i!!! 1[ 1[ m A \ E i + m A n E i : Mutta tämähän tarkoittaa sitä, että yhdiste S 1 E i on mitallinen. Tästä puolestaan saamme leikkauksen T 1 E i mitallisuuden. Nimittäin muistamme, että mitallisen joukon komplementti on mitallinen ja huomaamme, että 1\ 1[ E i = R n (R n E i ): Väitteen toinen osa, eli mitan subadditiivisuus, on suora seuraus ulkomitan subadditiivisuudesta, sillä mitallisille joukoille mitta on sama kuin ulkomitta. Viimeisen osan eli täydellisen additiivisuuden saamme seuraavasti: Jos joukot E i ovat pistevieraita, niin Lemman 2.2.9 nojalla saamme m! n[ E i = nx m(e i ): Jos vasemmalla puolella kasvatamme lukua n, niin kyseisen yhdisteen koko ei voi pienetä, joten saamme kaikilla n 2 N m! 1[ E i nx m(e i ): Mutta koska tämä siis pätee kaikilla arvoilla n, voimme nyt myös oikealla puolella antaa n! 1. Siis m! 1[ E i 1X m(e i ): Toisaalta mitan subadditiivisuuden perusteella on voimassa m! 1[ E i 1X m(e i ):

2.2. LEBESGUEN MITTA REAALILUKUJEN JOUKOSSA 31 Siten yhdistämällä edellä olevat epäyhtälöt saamme täydellisen additiivisuuden eli! 1[ 1X m E i = m(e i ); mikäli joukot E i ovat pistevieraita. Palautetaan mieleen, että joukko A R on avoin, jos jokaiselle x 2 A on olemassa sellainen avoin väli I, että I A ja x 2 I. Joukko A R on suljettu, jos RnA on avoin. Avoimet joukot voidaan esittää avoimien välien avulla. Lemma 2.2.12 Jos joukko A R on avoin, niin on olemassa numeroituva määrä avoimia välejä I k siten, että A = [ k I k : Todistus. Todistuksessa käytämme hyväksi rationaalilukujen joukon Q numeroituvuutta. Numeroidaan joukon Q alkiot seuraavasti r 1 ; r 2 ; :::. Olkoon x 2 A mielivaltainen piste. Koska joukko A on avoin, niin on olemassa avoin väli ] x ; x [ A: Koska kahden reaaliluvun välissä on aina rationaalilukuja (katso esim. [7, Lause 1.7.2] tai [8, Corollary 2.4]), voimme löytää väleiltä ] x ; x[ ja ]x; x [ rationaalilukuja. Valitaan rationaaliluvut r nx ja r mx seuraavasti Tällöin n x = min fi j r i 2 ] x ; x[g ; m x = min fi j r i 2 ]x; x [g : ]r nx ; r mx [ ] x ; x [ ja x 2 ]r nx ; r mx [ : Vaikka alkioiden x 2 A joukko on ylinumeroituva, niin välien ]r nx ; r mx [ määrä on numeroituva, sillä rationaalilukujen joukko on numeroituva. Lisäksi pätee A = [ x2a ]r nx ; r mx [ ; x 2 A; joten väite on todistettu. Huomattakoon, että avoin joukko voidaan esittää jopa pistevieraiden avoimien välien unionina (katso esim. [8, Proposition 2.8]), mutta emme tarvitse tätä tulosta tällä kurssilla. Mitta on yhteensopiva topologian kanssa, sillä

32 LUKU 2. LEBESGUEN MITTA Lause 2.2.13 Avoimet joukot ja suljetut joukot ovat mitallisia. Todistus. Jos joukko A R on avoin, niin voimme kirjoittaa A = [ k2n I k ; missä joukot I k ovat avoimia välejä. Siis Lauseen 2.2.7 nojalla A on mitallinen, sillä välit ovat mitallisia. Vastaavasti, jos A on suljettu, niin R n A on avoin ja siis mitallinen. Näin ollen myös joukko A = R n (R n A) on mitallinen. Esitämme tärkeät joukkoja koskevat mitan konvergenssilauseet. Lause 2.2.14 (a) Jos jono (E k ) on kasvava jono mitallisia joukkoja, eli E k E k+1, niin! 1[ lim m(e k) = m E k : k!1 (b) Jos jono (E k ) on vähenevä jono mitallisia joukkoja ja jostakin arvosta k lähtien m(e k ) < 1, niin! 1\ lim m(e k) = m E k : k!1 k=1 k=1 Todistus. Kohta (a): Merkitsemme F k = E k n E k 1 = E k n k[ 1 E i : Tällöin joukot F k ovat keskenään pistevieraita ja 1[ 1[ F k = k=1 k=1 sekä voimme soveltaa Lemmaa 2.2.9: E k m! 1[ E k = m! 1[ F k = 1X m(f k ): k=1 k=1 k=1

2.2. LEBESGUEN MITTA REAALILUKUJEN JOUKOSSA 33 Toisaalta joukkojen F k määrittelyn perusteella näemme, että E n = n[ F k : k=1 Kun näiden mittoihin vielä sovellamme joukkojen F k saamme nx m(e n ) = m(f k ): k=1 pistevierautta, niin Näin ollen edelliset yhtälöt yhdistämällä ja ottamalla raja-arvon n! 1 päättelemme, että m 1[ k=1 E k! = lim n!1 nx k=1 m(f k ) = lim n!1 m(e n ): Kohta (b): Tarkastelemme joukkoja (E k n E n ), missä n k. Tällöin (E k n E n ) nk on kasvava jono mitallisia joukkoja, jolloin kohdan (a) perusteella saamme! lim m(e k n E n ) = m [ (E k n E n ) n!1 nk! 1\ = m E k n E n ; sillä jono (E k ) on vähenevä. Koska voimme kirjoittaa joukon E k muotoon E k = (E k n E n ) S E n n=1 ja joukot E k n E n ja E n ovat pistevieraita, niin saamme m(e k ) = m(e k n E n ) + m(e n ): (2.2) Koska oletimme, että jostakin indeksistä k alkaen joukkojen E k mitat ovat äärellisiä, niin voimme vähentää tarpeeksi suurilla arvoilla n molemmilta puolilta joukon E n mitan. Siten saamme m(e k n E n ) = m(e k ) m(e n ): (2.3) Aivan samoin m! 1\ E k n E n = m(e k ) m n=1! 1\ E n : (2.4) n=1

34 LUKU 2. LEBESGUEN MITTA Koska m(e k ) < 1 ja on olemassa, niin lim m(e k n E n ) n!1 lim m(e n) n!1 on olemassa. Näin ollen yhdistämällä tulokset (2.3), (2.4) ja (2.2) saamme! 1\ lim m (E k) m(e n ) = m (E k ) m E n : n!1 Siis yhtälö lim m(e n) = m n!1! 1\ E n pätee, ja väite on voimassa. Oletus m(e k ) < 1 on oleellinen edellisen lauseen (b) kohdassa. Nimittäin koska välit ovat mitallisia Seurauksen 2.2.8 nojalla, niin Siis saamme mutta m n=1 m ([0; 1[) = 1; m ([n; 1[) = 1: lim m ([n; 1[) = 1; n!1! 1\ [n; 1[ = m (;) = 0: n=1 On olemassa ei-mitallisia joukkoja, jos oletamme, että valinta-aksiooma on voimassa. Aksiooma 1 (Valinta-aksiooma) Jos X on joukko epätyhjiä joukkoja, niin voidaan valita alkio jokaisesta joukon X joukosta, toisin sanottuna on olemassa joukossa X määritelty funktio F, joka toteuttaa ehdon F (s) kuuluu joukkoon s jokaiselle s 2 X: Aksiooma 2 (Hyvin järjestys ominaisuus) Jokainen joukko voidaan järjestää hyvin, toisin sanottuna on olemassa järjestysrelaatio <, jossa on voimassa täsmälleen yksi ehdoista a < b, b < a tai b = a: Aksiooma 3 (ornin lemma) Jos osittain järjestetyn joukon A jokaisella ketjulla (eli täydellisesti järjestetyllä osajoukolla) on yläraja, niin joukossa A on ainakin yksi maksimaalinen alkio. n=1

2.2. LEBESGUEN MITTA REAALILUKUJEN JOUKOSSA 35 Nämä aksiomat ovat keskenään ekvivalentteja ja riippumattomia ermelo- Fraenkelin joukko-opon aksioomeista eli niitä tai niiden negaatioita ei voida johtaa joukko-opin aksioomeista. The Axiom of Choice is obviously true, the well-ordering principle obviously false, and who can tell about orn s lemma? Jerry Bona Esimerkki 2.2.15 On olemassa ei-mitallisia joukkoja, jos hyväksytään valintaaksiooma Todistus. Määritellään relaatio joukossa [0; 1] asettamalla x y jos y x on rationaaliluku.tämä on selvästi ekvivalenssirelaatio (eli x x; ja jos x y; niin y x, ja jos x y ja y z, niin x z). Valinta-aksioman nojalla on mahdollista valita jokaisesta ekvivalenssiluokasta alkio. Merkitään näiden alkioiden joukkoa P. Tällöin [0; 1] S r2[ 1;1]\Q (r + P ) [ 1; 2]. Nimittäin jos x 2 [0; 1], niin on olemassa y 2 P siten, että y x. Siis x = y + (x y) ja x y 2 [ 1; 1] \ Q. Edelleen joukot r + P ovat pistevieraita, sillä jos t 2 (r 1 + P ) \ (r 2 + P ) ja r 1 6= r 2, niin t = r 1 + y 1 = r 2 + y 2 missä y 1 ; y 2 2 P ja r 1 ; r 2 2 [ 1; 1] \ Q. Tällöin y 1 y 2 = r 2 r 1, joten y 1 y 2 ja edelleen y 1 = y 2 ;sillä joukossa P on vain yksi alkio kustakin ekvivalenssiluokasta. Siis r 1 = r 2, missä on ristiriita. Jos joukko P on mitallinen, niin r + P on mitallinen ja m (P ) = m (r + P ). Siis 0 < 0 1 = m ([0; 1]) m @ [ 1 r + P A = X r2[ 1;1]\Q m (r + P ) = X r2[ 1;1]\Q Tämä on mahdotonta. Siis P ei ole mitallinen. r2[ 1;1]\Q m (P ) m ([ 1; 2]) :

36 LUKU 2. LEBESGUEN MITTA

Luku 3 Yleistä mittateoriaa 3.1 Mitta Edellisessä luvussa löysimme reaalilukujen joukossa ulkomitan avulla mitan m, joka on kuvaus mitallisten joukkojen joukolta M ei-negatiivisille laajennetuille reaaliluvuille: m : M! [0; 1]: Totesimme, että mitallisten joukkojen joukko M toteuttaa seuraavat ehdot: 1. Jos A on mitallinen, niin sen komplementti on myös mitallinen: A 2 M ) R n A 2 M: (3.1) 2. Mitallisten joukkojen numeroituvat yhdisteet ovat mitallisia: A i 2 M; i 2 N ) [ i2n A i 2 M: Lisäksi todistimme, että tämä mitta toteuttaa seuraavat ehdot: m(;)! = 0; 1[ 1X m E i = m(e i ); kun joukot E i ovat pistevieraita. Tässä luvussa tulemme yleistämään mitan myös muihin avaruuksiin kuin R. Ensin kuitenkin määrittelemme -algebran, jonka malli on joukon R mitallisten joukkojen joukko. 37

38 LUKU 3. YLEISTÄ MITTATEORIAA Määritelmä 3.1.1 Olkoon X joukko. Merkitään joukon X kaikkien osajoukkojen joukkoa P(X). Tällöin epätyhjää joukkoluokkaa B P(X) sanotaan algebraksi, jos seuraavat ehdot ovat voimassa: (1) Jos joukko A kuuluu joukkoon B, niin sen komplementti kuuluu myös joukkoon B: A 2 B ) X n A 2 B: (2) Jos joukot A ja B kuuluvat joukkoon B; niin niiden yhdiste kuuluu myös joukkoon B: A; B 2 B ) A [ B 2 B: Algebraa kutsutaan -algebraksi, jos lisäksi on voimassa: (3) Kaikki joukkoon B kuuluvien joukkojen numeroituvat yhdisteet kuuluvat joukkoon B: A i 2 B; i 2 N ) [ i2n A i 2 B: Esimerkkejä -algebroista ovat reaalilukujen joukon mitallisten joukkojen luokka sekä kaikkien joukon X osajoukkojen joukko P(X). On syytä huomata, että jos B on -algebra joukossa X; niin X 2 B ja ; 2 B: Nimittäin jos A 2 B, niin ehdon (1) mukaan myös X n A 2 B. Tällöin ehdon (3) mukaan myös X = A S (XnA) ja edellen ; 2 B. Lisäksi, jos A i 2 B; niin \ A i 2 B: (3.2) i2n Tämä johtuu siitä, että [ (X n A i ) 2 B: Toisaalta voimme kirjoittaa [ i2n joten i2n (X n A i ) = X n \ i2n X n \ i2n A i 2 B; A i ; mistä seuraa ehdon (1) nojalla, että myös \ A i 2 B; jos A i 2 B kaikilla i 2 N. i2n

3.1. MITTA 39 Lause 3.1.2 Jos A on joukkoperhe joukon X osajoukkoja, niin on olemassa pienin -algebra, joka sisältää joukon A. Todistus. Olkoon A joukkoperhe joukon X osajoukkoja. Joukon X kaikkien osajoukkojen joukko P(X) on -algebra, ja toisaalta A P(X): Merkitsemme seuraavasti \ B = F : F -algebra, AF Toisin sanoen B on leikkaus kaikista joukon A sisältävistä -algebroista. Tällöin B on itsekin -algebra, sillä (1) Olkoon A 2 B. Tällöin A 2 F jokaisella -algebralle F, jolle A F. Koska joukot F ovat -algebroja, niin ehdon (1) nojalla myös XnA 2 F jokaisella A 2 F. Siis X n A 2 B, joten ehto (1) on voimassa. (2) Olkoon nyt A i 2 B, i 2 N. Tällöin siis A i 2 F jokaiselle F, jolle A F. Näin ollen ehdon (2) nojalla myös S A i 2 F jokaiselle F, jolle A F, sillä joukot F ovat -algebroja. Mutta nyt S A i 2 B, joten myös ehto (2) on voimassa, ja B on siis -algebra. Määritelmä 3.1.3 Mitallinen avaruus on pari (X; B), missä X on joukko ja B on -algebra joukossa X. Perheen B joukkoja kutsutaan mitallisiksi. Mitta on ei-negatiivinen funktio joka toteuttaa seuraavat ehdot: (1) Tyhjän joukon mitta on nolla: : B! [0; 1] (;) = 0; (2) Mitta on täydellisesti additiivinen, eli kun joukot E i ovat pistevieraita, niin! 1X E i = (E i ): [ i2n

40 LUKU 3. YLEISTÄ MITTATEORIAA Mitta-avaruus on kolmikko (X; B; ); missä B on -algebra joukossa X ja on mitta joukossa B. Otamme pari esimerkkiä näistä: Esimerkki 1. Olkoon M Lebesguen mitallisten reaalilukujoukkojen luokka. Tällöin M on -algebra ja edelleen Lebesguen mitta m : M! [0; 1] on mitta sekä kolmikko (R; M; m) on mitta-avaruus. Esimerkki 2. Määrittelemme funktion seuraavasti: : P(R)! [0; 1] siten, että (E) on joukossa E olevien kokonaislukujen lukumäärä. Tällöin näemme helposti, että ehdot (1) ja (2) ovat voimassa, joten on mitta. Lause 3.1.4 Olkoon (X; B; ) mitta-avaruus. Tällöin, jos A; B 2 B ja A B, niin (A) (B): Todistus. Olkoot A; B 2 B siten, että A B. Koska B on -algebra, niin B n A 2 B. Siten, koska B n A ja A ovat pistevieraita ja (BnA) [ A = B, niin (B n A) + (A) = (B): Koska mitta on ei-negatiivinen funktio, niin saamme siis (A) (B) ja väite on siten todistettu. Yleinen mitta toteuttaa samat mittaa koskevat konvergenssilauseet kuin reaalilukujen joukossa määritelty Lebegin mitta. Lause 3.1.5 Olkoon (X; B; ) mitta-avaruus. Tällöin, jos E i 2 B ja jono (E i ) on kasvava, eli E i E i+1 kaikilla i 2 N, niin lim (E i) = [! E i : i!1 i2n Edelleen, jos joukot E i muodostavat vähenevän jonon, eli E i+1 E i kaikilla i 2 N ja (E i ) < 1 jostakin arvosta i alkaen, niin lim (E i) = \! E i : i!1 i2n

3.1. MITTA 41 Todistus. Todistus menee samalla tavalla kuin Lauseen 2.2.14 todistus. Mitta on määritelty -algebrassa, joten kaikkien joukkojen unionit eivät ole mitallisia. Usein haluasimme kuitenkin, että edes joku joukon X osajoukkojen perheestä muodustuisi mitallisista joukoista ja sisältäisi kaikkien joukkojensa unionit. Sanommekin paria (X; ) topologiseksi avaruudeksi, jos P (X) on joukon X osajoukkojen perhe, joka toteuttaa ehdot X 2 ja ; 2 ; jos U 2 ja V 2, niin U \ V 2 ; jos I on mielivaltainen indeksijoukko ja U 2, niin S 2I U a 2. Topologisen avaruuden (X; ) joukkoja U 2 sanotaan avoimiksi. Joukkoa V X sanotaaan suljetuksi, jos XnV on avoin. Topologia ei ole -algebra, mutta sen avulla saadaan -algebra. Määritelmä 3.1.6 Olkoon A kaikkien topologisen avaruuden X avoimien joukkojen joukko. Borelin joukkojen luokka on pienin -algebra B, joka sisältää avoimet joukot. Jos on mitta -algebrassa B, niin kolmikkoa (X; B; ) sanotaan Borelin mitta-avaruudeksi ja mittaa Borelin mitaksi. Borelin joukot voidaan yhtä hyvin määritellä pienimpänä -algebrana, joka sisältää suljetut joukot. On syytä huomata, että Borelin joukkojen luokka reaalilukujen joukossa ei ole sama kuin reaalilukujen joukon mitallisten joukkojen luokka M (Katso Rudin, luku 2.21). Määritelmä 3.1.7 Olkoon (X; B; ) mitta-avaruus. Mitta-avaruutta (X; B; ) sanotaan täydelliseksi, jos jokaisen nollamittaisen joukon osajoukko on mitallinen ja siis nollamittainen, eli A E ja (E) = 0 ) A 2 B ja (A) = 0: On helppo huomata, että Lebesguen mitta reaalilukujen joukon kaikkien mitallisten joukkojen luokassa on täydellinen. Sen sijaan Borelin mitta ei ole välttämättä täydellinen (Katso [9, Luku 2.21]). Jokainen mitta-avaruus voidaan kuitenkin laajentaa täydelliseksi kuten seuraava tulos osoittaa. Lause 3.1.8 Olkoon (X; B; ) mitta-avaruus. Olkoon B joukko; jonka alkioina ovat sellaiset joukon X osajoukot E; joille on olemassa mitalliset joukot A ja B siten, että A E B ja (BnA) = 0: Edelleen määritellään : B! [0; 1] asettamalla (E) = (A). Tällöin mitta-avaruus X; B; on täydellinen.

42 LUKU 3. YLEISTÄ MITTATEORIAA Todistuksen jätämme harjoitustehtäväksi. Ensimmäisessä luvussa saimme mitan reaalilukujen joukkoon lähtemällä ulkomitasta. Vastaavalla tavalla saamme yleisessä teoriassa ulkomitasta mitan. Määrittelemme ensin käsitteet. Määritelmä 3.1.9 Olkoon X joukko. Funktioita : P (X)! [0; 1] sanotaan ulkomitaksi,jos seuraavat ominaisuudet ovat voimassa (1) (;) = 0; (2) on monotoninen eli (3) on subadditiivinen, eli jokaiselle E n X, n 2 N. jos A B, niin (A) (B) ;! [ E n n2n Joukkoa E sanotaan mitalliseksi, jos jokaiselle joukon X osajoukolle A. 1X (E n ) n=1 (A) = (A \ E) + (AnE) Vastaavasti kuin ensimmäisessä luvussa voimme todistaa seuraavan tuloksen (Ks. [8, Luku 12.1]). Lause 3.1.10 Olkoon X joukko ja : P (X)! [0; 1] ulkomitta. Tällöin ulkomitan suhteen mitallisten joukkojen joukko on -algebra ja funktion rajoittuma tähän joukkoon on täydellinen mitta. On helpompi löytää täydellisesti additiivinen funktio algebrassa kuin - algebrassa. Carathéodoryn lause osoittaa, että näinkin voidaan saada mittaavaruus. Lause 3.1.11 (CARATHÉODORY) Olkoon : A! [0; 1] täydellisesti additiivinen algebrassa A ja (;) = 0. Merkitään mitan indusoimaa ulkomittaa, ts. ( 1 ) X 1[ (E) = inf (A i ) j A i 2 A; A i E :

3.2. MITALLISET FUNKTIOT 43 Tällöin ulkomitan rajoittuma mitallisten joukkojen luokkaan on funktion laajennus mitaksi -algebraan, joka sisältää -mitalliset joukot ja joukon A joukot. Lisäksi, jos on äärellinen, niin laajennus on äärellinen ja jos on -äärellinen, niin laajennus on ainoa mitan laajennus pienimpään -algebraan, joka sisältää joukon A: Katso tarkemmin [8, s.253 255]. 3.2 Mitalliset funktiot Integraalia emme voi määritellä kaikille funktioille. Määrittelemme integraalin niin sanotuille mitallisille funktioille, joiden määritettelemiseksi todistamme ensin seuraavan lauseen: Lause 3.2.1 Olkoon (X; B) mitallinen avaruus ja olkoon lisäksi f laajennetusti reaaliarvoinen funktio joukossa D 2 B. Tällöin seuraavat ehdot ovat ekvivalentteja: (i) fx 2 D j f(x) > g 2 B 8 2 R; (ii) fx 2 D j f(x) g 2 B 8 2 R; (iii) fx 2 D j f(x) < g 2 B 8 2 R; (iv) fx 2 D j f(x) g 2 B 8 2 R: Todistus. Todistamme ketjun (i))(ii))(iii))(iv))(i). (i))(ii): Kirjoitamme 1\ fx 2 D j f(x) g = fx 2 D j f(x) > n=1 1 n g: Ehdon (i) nojalla 1 fx 2 D j f(x) > n g 2 B: Koska B on -algebra, niin samoin on myös leikkaus 1\ fx 2 D j f(x) > n=1 1 n g 2 B; joten (ii) on voimassa.

44 LUKU 3. YLEISTÄ MITTATEORIAA (ii))(iii): Huomaamme, että fx 2 D j f(x) < g = X n fx 2 D j f(x) g 2 B; sillä fx 2 D j f(x) g 2 B ja B on -algebra. Kohdat (iii))(iv) ja (iv))(i) tulevat aivan samalla tavalla kuin vastaavat kohdat (i))(ii) ja (ii))(iii), joten niitä on turha kirjoittaa erikseen. Tämän perusteella määrittelemme mitallisen funktion seuraavalla tavalla: Määritelmä 3.2.2 Olkoon (X; B) mitallinen avaruus. Funktio f : X! R [ f 1; 1g on mitallinen, jos joku edellisen lauseen ehdoista (i) (iv) on voimassa, kun D = X. Toisaalta Lauseen 3.2.1 nojalla, jos yksi ehdoista on voimassa, niin kaikki muutkin ovat voimassa. Tämä määritelmä on hiukan ehkä omituinen. Seuraavan lauseen jälkeen saamme paremman kuvan mitallisista funktioista. Lause 3.2.3 Olkoon (X; B) mitallinen avaruus. Funktio f : X! R [ f 1; 1g on mitallinen, jos ja vain jos jokaisen rajoitetun avoimen välin alkukuva on mitallinen ja f 1 (f 1g) (vastaavasti f 1 (f1g)) on mitallisia. Todistus. Olkoon ensiksi funktio f mitallinen. Koska voimme kirjoittaa niin ]a; b[ = [ 1; b[ n [ 1; a] ; f 1 (]a; b[) = f 1 ([ 1; b[) n f 1 ([ 1; a]): Yhtälön oikealla puolella molemmat joukot ovat mitallisia, joten niiden komplementti on mitallinen, eli f 1 (]a; b[) on mitallinen. Lisäksi, koska fx j f(x) = 1g = \ n2n fx j f(x) < ng ; niin f 1 (f 1g) on mitallinen. Vastaavasti myös saamme joukon f 1 f+1g mitallisuuden.

3.2. MITALLISET FUNKTIOT 45 Oletamme kääntäen, että jokaisen rajoitetun avoimen välin alkukuva on mitallinen ja että f 1 (f 1g) on mitallinen. Koska fx j f(x) < g = [ n2nfx j n < f(x) < g [ f 1 (f 1g) ja oikealla kaikki joukot ovat mitallisia, niin väite on siten voimassa myös kääntäen. Aikaisemmista analyysin kursseista muistamme, että funktio on jatkuva, jos ja vain jos jokaisen avoimen joukon alkukuva on avoin. Siten mitalliset funktiot ovat eräänlainen yleistys jatkuvista funktioista. Määritelmä 3.2.4 Olkoon (X; B) mitallinen avaruus. Funktio f : A! R [ f 1; 1g on mitallinen, jos A on mitallinen ja fx j f(x) < g on mitallinen kaikilla 2 R. Jos funktio f : A! R [ f 1; 1g on mitallinen, niin myös funktio g : X! R [ f 1; 1g; 0; g(x) = f(x); on mitallinen. Mikäli tiedämme, että funktio f : X! R [ f x =2 A x 2 A 1; 1g on mitallinen, niin tällöin fx j f(x) = ag = \ n2n x j a + 1 n > f(x) > a 1 ; n missä yhtälön vasemmalla puolella olevat leikkauksen joukot ovat mitallisia. Siis joukko f 1 (fag) on mitallinen kaikilla arvoilla a 2 R. Olkoon (X; B) mitallinen avaruus, missä B on topologisen avaruuden X Borelin joukkojen luokka. Jos funktio f : X! R