Magneettikentät 2 SISÄLTÖ: Ampèren laki Menetelmän valinta Vektoripotentiaali Ampèren laki Ampèren lain avulla voidaan laskea maneettikenttiä tietyissä symmetrisissä tapauksissa, kuten Gaussin lailla laskettiin sähkökenttiä. Ampèren lain integraalimuoto on kaavana: C dl I SIS Vasemmalla puolella integroidaan magneettivuon tiheyden ja pituusalkiovektorin pistetuloa pitkin suljettua käyrää, niin kutsuttua Ampèren silmukkaa. Oikealla puolella on Ampèren silmukan läpi kulkevat virrat kerrottuna tyhjiön permeabiliteetilla. Differentiaalimuoto Ampèren laista on j Ampèren lain integraalimuodon oikea puoli kirjoitetaan usein j d S eli Ampèren silmukan sisään jäävä virta lasketaan virtatiheysvektorin j ja johtimen poikkipinta-alan S avulla. Jos virtatiheys on vakio, kyseinen integraali tulee muotoon js. Vinkkejä Ampèren lain käyttöön laskettaessa magneettikenttiä: Varmista ensin, että voit käyttää kyseisessä tapauksessa Ampèren lain integraalimuotoa. Katso tämän kappaleen lopusta kohtaa Menetelmän valinta. Valitse ensin Ampèren suljettu käyrä. Se on yleensä näissä laskuissa joko ympyrä tai suorakaide. (Katso kohtaa Menetelmän valinta.) Pitkille, suorille johtimille ja sylinterinmuotoisille johtimille valitaan ympyrä. Laajoille johtaville tasoille ja solenoideille valitaan suorakaide. Piirrä seuraavaksi virtojen aiheuttamat (magneetti)kenttäviivat ja Ampèren silmukka samaan kuvaan. Etsi ne kohdat, missä Ampèren silmukka ja kenttäviivat ovat yhdensuuntaiset. Siellä tulo voidaan kirjoittaa muotoon dl. S dl Etsi seuraavaksi ne kohdat, joissa Ampèren silmukka ja kenttäviivat ovat kotisuorassa toisiaan vastaan (tai kenttäviivat ovat hyvin harvassa kuten solenoidin ulkopuolella). Siellä dl on nolla. Yleensä niissä silmukan kohdissa, joissa dl voitiin kirjoittaa muotoon dl, on -kenttä vakio, jolloin voidaan ottaa integraalimerkin eteen.
Nyt dl on pelkkä käyrän pituus Ampèren silmukan niistä kohdista, joissa silmukka ja C kenttäviivat ovat yhdensuuntaiset. Huomaa, että nyt ei enää ole välttämättä kyseessä suljettu käyrä, jolle merkittäisiin dl. C Laske seuraavaksi Ampèren lain oikea puoli eli määritä suljetun käyrän sisään jäävät virrat I SIS. Joudut ehkä laskemaan virrat käyttäen virtatiheyttä j. Jos virtatiheys on vakio, virta on js eli virtatiheys kertaa johtimen poikkipinta-ala. Jos virtatiheys ei ole vakio johtimen poikkipinnalla, silloin integroit kylmän rauhallisesti käyttäen kaavaa S j d S Merkitse yhtä suuriksi se, minkä sait Ampèren lain vasemmalta puolelta ja se, minkä sait Ampèren lain oikealta puolelta. Ratkaise yhtälöstä magneettikenttä. Menetelmän valinta On tärkeää oppia valitsemaan oikea menetelmä magneettikentän määrittämiseen. Tässä materiaalissa on esitelty iot-savartin laki ja Ampèren lain integraali- ja differentiaalimuoto. On tapauksia, joissa Ampèren laki ei käy. Tästä on tietoa alla olevassa taulukossa. YHTEENVETO TOIMIVISTA AMPÈREN SILMUKOISTA Johtimen muoto Ampèren silmukka Pitkä suora johdin Ympyrä Koaksiaalikaapeli Ympyrä Sylinterin muotoinen johdin Ympyrä Toroidi Ympyrä Solenoidi Suorakulmio Laaja johtava taso Suorakulmio Ympyrä Ei voi käyttää Ampèren lakia Neliö Ei voi käyttää Ampèren lakia Kolmio Ei voi käyttää Ampèren lakia Mikä tahansa silmukka Ei voi käyttää Ampèren lakia Lyhyt suora johdin Ei voi käyttää Ampèren lakia Epämääräisen muotoinen johdin Ei voi käyttää Ampèren lakia Vektoripotentiaali Magneettikenttä voidaan lausua niin kutsutun vektoripotentiaalin A roottorina: A Katso Nygrénin monisteesta, mitä siellä kerrotaan vektoripotentiaalin yksikäsitteisyydestä. Opettele, mitä Coulombin mitta tarkoittaa. (Coulombin mittaa kysytään usein tentissä.)
Esimerkki 49: Pitkässä suorassa virtajohtimessa kulkee virta I. Laske magneettikenttä etäisyydellä a virtajohtimesta. Ratkaisu: Ampéren laki on kaavan muodossa: dl I Yhtälön vasen puoli kuvaa magneettikentän (= magneettivuon tiheyden) integraalia pitkin suljettua käyrää (niin kutsuttua Ampéren silmukkaa). d l on pituusalkiovektori, jonka suuruus on pituusalkio dl ja suunta silmukan suuntainen. Oikea puoli on tyhjiön permeabiliteetti kertaa Ampéren silmukan sisään jäävä kokonaisvirta. sis Lasketaan pitkän suoran virtajohtimen kenttä: dl a Valitaan Ampéren silmukaksi a-säteinen ympyrä. Virtajohtimen kenttä muodostaa virtajohtimen ympärille ympyröitä, joiden keskipiste on virtajohtimen keskipisteessä. Ampéren lain vasen puoli on siten: dl dl koska ja dl yhdensuuntaisia vektoreita.. dl dl koska on vakio koko valitsemamme silmukan alueella. dl 2 a eli integraali dl on vain silmukan pituus. Yhtälön oikealla puolella μ on tyhjiön permeabiliteetti ja I SIS silmukan sisään jäävät virta, joka on tässä tapauksessa vain johtimen virta I. Oikea ja vasen puoli yhdistettynä on siis: 2a I I 2a Tämä on pitkän suoran virtajohtimen magneettikenttä etäisyydellä a johtimesta (tarkemmin johtimen keskipisteestä).
Magneettikentän suunta saadaan oikean käden säännöllä: Puristetaan virtajohdinta oikealla kädellä niin, että peukalo on johtimen suuntaisesti ja osoittaa virran suuntaan. Muut sormet osoittavat kenttäviivojen suuntaan. I Esimerkki 5: Pitkässä suorassa solenoidissa on n johdinkierrosta pituusyksikköä kohden. Solenoidissa kulkee virt I. Määritä -kenttä solenoidin sisällä. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia: dl I sis Yhtälön vasen puoli kuvaa magneettikentän (= magneettivuon tiheyden) integraalia pitkin suljettua käyrää (niin kutsuttua Ampéren silmukkaa). d l on pituusalkiovektori, jonka suuruus on pituusalkio dl ja suunta silmukan suuntainen. Oikea puoli on tyhjiön permeabiliteetti kertaa Ampéren silmukan sisään jäävä kokonaisvirta. Valitaan pitkän suoran solenoidin tapauksessa Ampèren silmukaksi suorakaide, jonka leveys on a ja korkeus b. Alla on kuva tilanteesta ja siihen on merkitty Ampèren silmukka, d l :n suunta ja :n suunta. Ampèren silmukka 2 a 4 dl 3 dl Lasketaan Ampéren lain vasen puoli siten, että paloitellaan integraali dl Ampèren silmukkana toimivan suorakulmion eri sivuille. Huomaa kuvasta, että sivut on numeroitu.
dl Sivu : dl 2 dl 3 dl 4 dl dl dl koska ja dl ovat yhdensuuntaisia vektoreita. Sivu 2: dl koska ja dl ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. 2 dl Sivu 3: dl koska magneettikenttä on nolla solenoidin ulkopuolella. Oletimme, että 3 solenoidi on hyvin pitkä, joten magneettikentän kenttäviivat kaartavat hyvin kaukaa takaisin solenoidin toisesta päästä sisään. Sivu 4: dl koska ja dl ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. 4 Voimme nyt unohtaa sivut 2, 3, ja 4 ja keskittyä sivuun. dl dl dl a saatiin ottaa ulos integraalimerkin alta, koska se on (suunnilleen) vakio solenoidin sisällä. Nyt integraali dl tarkoittaa pelkästään sivun pituutta a. Ampèren lain vasen puoli on nyt laskettu. Lasketaan vielä oikea puoli ja yhdistetään tulokset. Yhtälön oikealla puolella μ on tyhjiön permeabiliteetti ja I SIS Ampèren silmukan sisään jäävät virrat. Silmukan sisään jää virrat NI missä N on Ampèren silmukan sisään jäävien johdinkierrosten lukumäärä. Koska pituusyksikköä kohden on n johdinkierrosta, a :n pituisessa solenoidin pätkässä on na johdinkierrosta. Ampèren lain oikea puoli on siis I sis nai Yhdistetään oikea puoli ja vasen puoli ja ratkaistaan : a nai ni Nyt viimein saimme pitkän suoran solenoidin sisään jäävän magneettikentän lausekkeen. Esimerkki 5: Toroidin muotoisessa solenoidissa on N johdinkierrosta ja siinä kulkee virta I. Toroidin keskisäde on R. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia: dl I sis
Yhtälön vasen puoli kuvaa magneettikentän (= magneettivuon tiheyden) integraalia pitkin suljettua käyrää (niin kutsuttua Ampéren silmukkaa). d l on pituusalkiovektori, jonka suuruus on pituusalkio dl ja suunta silmukan suuntainen. Oikea puoli on tyhjiön permeabiliteetti kertaa Ampéren silmukan sisään jäävä kokonaisvirta. Valitaan toroidin tapauksessa Ampèren silmukaksi ympyrä, jonka säde on R. Alla on kuva tilanteesta ja siihen on merkitty Ampèren silmukka, d l :n suunta ja :n suunta. Toroidin sisällä magneettikentän kenttäviivat ovat toroidin suuntaisia ympyröitä. Toroidin ulkopuolelle magneettikenttä ei pääse. Ampèren silmukka R I dl Lasketaan Ampéren lain vasen puoli: ja ovat yhdensuuntaisia, joten niiden pistetulosta tulee dl. Lisäksi on vakio toroidin sisällä, joten se voidaan ottaa integraalimerkin eteen. Integraali tarkoittaa pelkästään toroidin pituutta, joka on tässä tapauksessa 2πR. Ampèren lain vasen puoli on nyt laskettu. Lasketaan vielä oikea puoli ja yhdistetään tulokset. Yhtälön oikealla puolella μ on tyhjiön permeabiliteetti ja I SIS Ampèren silmukan sisään jäävät virrat. Silmukan sisään jäävät virrat NI missä N on Ampèren silmukan sisään jäävien johdinkierrosten lukumäärä. Ampèren lain oikea puoli on siis I sis NI Yhdistetään oikea puoli ja vasen puoli ja ratkaistaan : NI 2R NI 2R Tämä on toroidin sisään jäävän magneettikentän lauseke.
Esimerkki 52: Laaja levy, jonka paksuus on d, on asetettu xz-tason suuntaisesti symmetrisesti xz-tasoon nähden. (Katso kuva!). Levyssä kulkee virta, jonka virtatiheys noudattaa yhtälöä j j ˆ. Laske -kenttä y:n funktiona levyn sisällä ja levyn ulkopuolella. u z y x
Esimerkki 53: Pitkän, suoran virtajohtimen poikkipinta-ala on R-säteinen ympyrä. Virtatiheys johtimessa noudattaa yhtälöä r j j, R missä r on etäisyys johtimen keskiakselista ja j on vakio. Laske -kenttä johtimen sisäpuolella ja ulkopuolella a) käyttäen Ampèren lain integraalimuotoa, b) käyttäen Ampèren lain differentiaalimuotoa. Ratkaisu:
Esimerkki 54: Pienen virtasilmukan säde on b ja siinä kulkee virta I. Pisteessä P, joka on etäällä virtasilmukasta (katso kuva!), on virtasilmukan aiheuttama vektoripotentiaali pallokoordinaateissa lausuttuna: 2 Ib A sin eˆ 4r 2 Määritä -kenttä pisteessä P. Opastus: Saatat tarvita kaavakokoelmaa, joka jaetaan tentissä ja joka on myös tämän kurssin kotisivulla. z P θ r x I φ y
Ratkaisu: