TIMO TOSSAVAINEN DIDAKTISTA MATEMATIIKKAA TAI AINAKIN UUSI NÄKÖKULMA MATEMATIIKAN AINEENOPETTAJA- KOULUTUKSEEN TIMO TOSSAVAINEN MATEMATIIKAN AINEENOPETTAJAKOULUTUKSEN ONGELMIA MATEMATIIKKA, KOULUMATEMATIIKKA JA MATEMATIIKAN DIDAKTIIKKA TÄYDENTÄVÄ NÄKÖKULMA MATEMATIIKKAKASVATUKSEEN DIDAKTISEN MATEMATIIKAN TUTKIMUSONGELMISTA JA -MENETELMISTÄ LÄHTEET MATEMATIIKAN AINEENOPETTAJAKOULUTUKSEN ONGELMIA Vaikka matematiikan aineenopettajakoulutusta on Suomessa kehitetty ja uudistettu kymmenen viime vuoden aikana varsin määrätietoisesti, sen läheskään kaikkia ongelmia ei vielä ole kyetty ratkaisemaan. Suurin haaste tuntuu olevan opiskelijoiden matematiikkakuvan (Pietilä 2002) ja yliopisto-opintojen vaatimustason yhteensovittamisessa. Opiskelijoiden matemaattiset taidot, uskomukset matematiikasta ja sen oppimisesta sekä odotukset yliopisto-opintojen sisällöistä eivät ole yhteismitallisia perinteisten yliopistomatematiikan arvosanakokonaisuuksien sisältöjen ja vaatimusten kanssa. Matematiikan aineenopettajakoulutukseen tulevilla opiskelijoilla on vakavia puutteita jopa peruslaskutaidoissa (Keranto 2004) ja lukukäsitteen ymmärtämisessä (esim. Merenluoto 2001). Analyysi on perinteisesti ollut sekä lukiomatematiikan että yliopistomatematiikan keskeisin osa Suomessa, mutta sen peruskäsitteiden hallinta on suorastaan surkeaa (Virtanen 1994). Vain mekaanista laskemista edellyttävissä tehtävissä opiskelijoilla voidaan sentään katsoa olevan kohtuulliset taidot (esim. Kupari, Reinikainen, Nevanpää & Törnroos 2001). Kuitenkin aineenopettajakoulutukseen osallistuvien opiskelijoiden matematiikan laitoksilla saama koulutus on koostunut pääosin samoista sisällöistä kuin varsinaisten matemaatikkojen koulutus. Lopputuloksena on se, että valmistuneet matematiikanopettajat eivät ole kokeneet hyötyneensä ammattinsa kannalta matematiikan opinnoistaan juuri millään tavalla (esim. Laine 2003; Sorvali tässä teoksessa). Tämän ongelman tiedostaneet yliopistojen matematiikan laitokset ovat tilanteen parantamiseksi ryhtyneet viime vuosina järjestämään ns. didaktisen matematiikan kursseja. Käytännössä didaktisella matematiikalla on melko usein tarkoitettu sellaisia matematiikan kursseja, jotka ovat syntyneet siten, että perinteisiltä matematiikan kursseilta on yksinkertaisesti jätetty pois niiden raskain aines, tai sellaisia kursseja, jotka voitaisiin pitää yhtä hyvin matematiikan didaktiikan nimellä. Joissakin yliopistoissa didaktisen matematiikan kursseille on kuitenkin 118
DIDAKTISTA MATEMATIIKKAA TAI AINAKIN UUSI NÄKÖKULMA... pyritty aidosti luomaan muista matematiikan kursseista ja matematiikan perinteisestä didaktiikasta poikkeava ilme ja uudenlaiset toimintatavat. Tämäntyyppinen kehitystyö on tosin vasta ottamassa ensimmäisiä askeleitaan. Tässä artikkelissa tarkastellaan aluksi matematiikkaa tieteenä ja koulun oppiaineena. Tällöin käy ilmi, että koulumatematiikka ja tieteellinen matematiikka ovat varsin erilaisia. Perinteisessä matematiikan didaktiikassa on keskitytty lähinnä koulumatematiikan opetuksen problematiikkaan (esim. Malinen & Kupari 2003). Tähän mennessä siinä on käsitelty vain vähän varsinaisen matematiikan oppimisen ja opettamisen ongelmia. Toisaalta varsinaisen matematiikan tieteellisessä tutkimuksessa matematiikan oppimisen kysymyksiin on ymmärrettävästi kiinnitetty hyvin vähän jos ollenkaan huomiota. Näin matematiikan ja sen didaktiikan välimaastoon on jäänyt toistaiseksi vähän tutkittu alue. Tässä kirjoituksessa pyritään osoittamaan, että varsinaisen matematiikan opettamisen ja erityisesti matematiikan aineenopettajakoulutuksen kehittäminen edellyttää tämän harmaan alueen kartoittamista. Epäoleellista lienee se, kutsutaanko tällä alueella tapahtuvaa toimintaa didaktiseksi matematiikaksi vai luokitellaanko se matematiikkaan tai sen didaktiikkaan jo kuuluvaksi asiaksi. Didaktisen matematiikan käsitteen sisältöä ei ole julkisuudessa tarkasteltu artikkelien Tossavainen & Sorvali 2003 ja Martio 2004 lisäksi juuri muualla. Tähän mennessä sitä, toisin kuin didaktista fysiikkaa, ei ole haluttu julistaa omaksi tieteenalakseen tai edes matematiikan itsenäiseksi osa-alueeksi. Kuitenkin Suomessa on jo ilmestynyt yksi didaktisen matematiikan väitöskirja (Joki 2002). Lisäksi mm. Jyväskylän yliopiston matematiikan ja tilastotieteen laitoksen viranhakuilmoituksissa didaktinen matematiikka on mainittu laitoksessa harjoitettavan tutkimuksen kehittämisalueeksi (Jyväskylän yliopisto 2001). Tämä sanapari on siis jo otettu käyttöön, vaikka nykyistä matematiikan aineenopettajakoulutusta täydentävälle matematiikkakasvatukselle (mathematics education) saattaa olla parempiakin nimivaihtoehtoja. Tässä artikkelissa didaktinen matematiikka käsitetään sekä näkökulmaksi matematiikkakasvatukseen että tavaksi harjoittaa matematiikkaa erityisesti matematiikanopettajien koulutuksessa. Tämän käsitteen tarkempi kuvaus on esitetty artikkelissa Tossavainen & Sorvali 2003. Käsitteen käytöllä halutaan mm. korostaa sitä, että perinteinen tapa järjestää aineenopettajakoulutus erillisinä oppiaineen ja sen didaktiikan opintokokonaisuuksina on ainakin peruskoulun matematiikan opetuksen kannalta epäonnistunut (vrt. Niemi 2001). Didaktista matematiikkaa ei kuitenkaan tarvitse nähdä aineenopettajakoulutuksessa nykyistä matematiikan didaktiikkaa saati varsinaista matematiikkaa korvaavaksi asiaksi vaan pikemminkin näitä yhdistäväksi sillaksi. Tämä näkökulma vaikuttaa hyvin yhteensopivalta sen kanssa, millaisena didaktiikan asema ylipäätään nähdään nykyisin suomalaisessa kasvatustieteessä (vrt. Kansanen 2004, 81). 119
TIMO TOSSAVAINEN MATEMATIIKKA, KOULUMATEMATIIKKA JA MATEMATIIKAN DIDAKTIIKKA Viime vuosisadan kenties merkittävimmän kulttuurien tuntijan Oswald Spenglerin mukaan ei ole mitenkään itsestään selvää, että matematiikka olisi tiede tai tieteenala. Nimittäin tieteellä on määritelmän mukaan oltava tutkimuksen kohde, eikä matematiikan tutkimuskohdetta ole tähän mennessä kyetty määrittelemään kunnolla. Määrittely-yritykset ovat poikkeuksetta jääneet joko liian ylimalkaisiksi tai liian kapea-alaisiksi (esim. Vala 1979). Jo kanonisoituneita matematiikan teorioita voidaan kuitenkin luonnehtia hyvin sanoilla aksiomaattinen, loogis-deduktiivinen, abstrakti ja immateriaalinen. Nämä teoriat on siis saatettu muotoon, jossa lähtökohtana on joukko apriorisia määritelmiä ja näiden välisiä relaatioita kuvailevia aksioomia. Näiden pohjalta pelkästään logiikkaa, eikä esim. reaalimaailman ominaisuuksia, käyttäen osoitetaan deduktiivisesti teorian alaan kuuluvat hypoteesit joko oikeiksi tai vääriksi siinä määrin kuin mahdollista. Viimeksi mainittu lisäys on tehtävä siksi, että logiikan ja ylipäätänsä ihmisten ajattelun epätäydellisyyden takia (vrt. kuuluisa Gödelin epätäydellisyyslause, esim. Väänänen 1987) minkä tahansa epätriviaalin teorian alaan intuitiivisesti kuuluvien kaikkien väitteiden totuusarvoa ei pystytä edes periaatteessa selvittämään pelkästään kyseisen aksioomajärjestelmän sisällä. Esimerkiksi kokonaislukujen teoria on tällä tavalla epätäydellinen. Jokaisen nykykulttuurin kannalta merkittävän matemaattisen teorian kypsyminen aksiomaattiseen muotoonsa on kestänyt hyvin pitkän, jopa useiden vuosituhansien, ajan. Tällainen prosessi on hionut kyseiset teoriat niin, että niistä on vaikeaa tunnistaa niiden syntymisen ja kehittymisen historian jälkiä. Aksiomaattisen teorian muoto tai kieli ei välttämättä anna teorian opiskelijalle pienintäkään vihjettä siitä, miten teoria on konstruoitu tai mitä kautta teorian käsitteet pitäisi palauttaa sille abstraktiotasolle, jolta normaali oppimisprosessi voi alkaa. Lienee täysin selvää, että minkä tahansa tällaisen teorian sisäistämiseen päättyvä oppimisprosessi on oppijalle hyvin epätriviaali sekä aikaa ja omistautumista vaativa tapahtumasarja. Koulussa matematiikan nimellä kulkeva oppiaine poikkeaa ratkaisevasti edellä kuvatusta. Jo moneen kertaan uudistetun (koulu-)matematiikan ja sitä edeltäneiden matemaattisten kouluaineiden sisältöjä ja merkitystä on jatkuvasti tarkasteltu lähinnä sovellettavuuden ja hyödyllisyyden näkökulmista. Sen yhteyksiä reaalimaailman ilmiöihin on haluttu korostaa oppilaiden mielenkiinnon ylläpitämiseksi ja siksi, että havainnoilla on perusteltu erilaisia oppiainekseen kuuluvia matemaattisia periaatteita ja väittämiä. Sekä peruskoulussa että lukiossa nykyisin opetettavaa matematiikkaa voidaan hyvin luonnehtia sanoilla kokeellis-havainnollinen, reaalinen, hyödyllinen. Pehkonen ja Zimmermann (1990, 10) määrittelevätkin koulumatematiikan yleissivistäväksi oppiaineeksi, joka ei ole varsinaisesti matematiikkaa, vaikka sillä sattuu olemaan nimenä matematiikka. Koulumatematiikan ja varsinaisen matematiikan ero käy hyvin selville, kun tarkastellaan, miten eräitä reaalianalyysin perusilmiöitä käsitellään koulussa ja varsinaisen matematiikan piirissä. 120
DIDAKTISTA MATEMATIIKKAA TAI AINAKIN UUSI NÄKÖKULMA... Varsinaisessa matematiikassa funktio f : A B on jatkuva, jos jokaisen B:n avoimen joukon X alkukuva f 1 (X) on A:n avoin joukko. Symbolit A ja B voivat edustaa mitä tahansa topologisia avaruuksia. Funktion jatkuvuus riippuu siis oleellisesti myös lähtö- ja maaliavaruuksien rakenteista eikä esimerkiksi pelkästään funktion lausekkeen määräämistä alkioiden kuvautumisominaisuuksista. Tämä määritelmä on yksinkertainen ja selkeä topologisessa viitekehyksessä, ja sitä voidaan soveltaa hyvin suureen funktiojoukkoon. Jos A sattuu olemaan lukusuoran yhtenäinen osajoukko, jatkuvuuden määritelmästä seuraa, että myös funktion arvojoukko f (A) on yhtenäinen. Koulumatematiikassa funktion jatkuvuus määritellään funktion arvojoukon tämän havainnollisen ominaisuuden avulla. Tällöin jatkuvuustarkastelun kannalta mielekkäiden funktioiden joukko on oleellisesti pienempi kuin varsinainen määritelmä edellyttää. Lisäksi tämä lähestymistapa antaa jopa väärän käsityksen jatkuvuudesta esimerkiksi sellaisten funktioiden tapauksessa, joissa määrittelyjoukkona on epäyhtenäinen joukko. Sen etuna on pelkästään havainnollinen yksinkertaisuus siis rajoitetussa tarkastelujoukossa. Matematiikan didaktiikan tutkimuksen kohteena on viime vuosina Suomessa ollut mm. ongelmanratkaisu, murtolukujen ja muiden vastaavantasoisten peruskäsitteiden hallinta ja oppimisvaikeudet, laskutaito, koululaisten ja heidän opettajiensa käsitykset matematiikasta ja asenteet sitä kohtaan, sukupuolen vaikutus matematiikassa menestymiseen sekä erilaiset opetuskokeilut, jotka ovat liittyneet esim. suoran kulmakertoimen käsitteen konstruoimiseen kaltevan tason avulla (Malinen 1998; Silfverberg & Joutsenlahti 2002; Malinen & Kupari 2003). Suomalaiset ovat viime vuosikymmeninä osallistuneet myös useisiin kansainvälisiin perusopetuksen oppimistulosten vertailuihin (esim. Kupari, Reinikainen, Nevanpää & Törnroos. 2001). Matematiikan didaktiikassa on siis keskitytty lähinnä koulumatematiikan opetuksen ja oppimisen problematiikkaan. Matematiikan didaktiikan tutkimuksesta Suomessa voidaan hahmottaa kolme rinnakkaista ja osittain toisiaan leikkaavaa linjaa: 1) konstruktivistinen oppimisen, oppimisvaikeuksien ja opetuksen tutkimus; 2) vertaileva oppimistulosten ja niiden taustatekijöiden tutkimus ja 3) opetuksen kehittämiseen liittyvä toimintatutkimus. Menetelmällisesti tutkimukset ovat liittyneet enimmäkseen kognitiivisen psykologian ja tilastotieteen tutkimustraditioon. Erityisesti kolmannen linjan tutkimusten tutkimusote on vaihdellut, mutta niiden tulkinnassa käytetään yleensä hermeneuttista lähestymistapaa (Malinen 1998, 16). Kansainvälisiin koulumatematiikan oppimistulosten vertailuihin osallistumista sekä asenteiden, uskomusten ja ongelmaratkaisutaitojen kehittymisen seurantaa lukuunottamatta suomalaisen matematiikan didaktiikan piirissä ei ole tehty merkittävää pitkäkestoista oppimisen tutkimusta. Erityisesti varsinaisen matematiikan oppimiseen ja opetusmenetelmien kehittämiseen liittyvää perusteellista tutkimusta Suomessa vasta aloitellaan. Tähänastisia opetuskokeiluihin liittyviä tutkimusraportteja voi lähinnä luonnehtia tiedotteiksi opetuskokeilujen järjestämisestä tai tutkimustarpeen kartoittamisesta. 121
TIMO TOSSAVAINEN TÄYDENTÄVÄ NÄKÖKULMA MATEMATIIKKAKASVATUKSEEN Seuraavan esimerkin avulla pyritään osoittamaan, että matematiikan oppimiseen ja opettamiseen liittyy sellaisia ongelmia, joita ei ratkaista nykymuotoisessa aineenopettajakoulutuksessa, jos ongelmia lähestytään vain joko varsinaisen matematiikan tai matematiikan didaktiikan näkökulmasta käsin. Tarkastellaan, mitä annettavaa nykyisen kaltaisella matematiikan aineenopettajakoulutuksella on opiskelijalle, joka tuottaa säännöllisesti esimerkiksi seuraavanlaisia väittämiä: Olkoon x luku. Tällöin x x 2x + =. 2 3 5 Sivuhuomautuksena mainittakoon, että kyseinen esimerkki ei suinkaan ole keinotekoinen. Käytännössä jokainen matematiikan aineenopettajakoulutusta järjestävä yliopistolaitos Suomessa onnistuu vuosittain rekrytoimaan polynomialgebran taidoiltaan tämäntasoisia opiskelijoita. Arkisimmasta näkökulmasta katsottuna lausekkeen x/2 + x/3 sievennystehtävä on niin triviaali, ettei yliopistomatematiikan opetuksen järjestäjä välttämättä näe mitään syytä reagoida asiaan jollain tavalla: riittää kun odotellaan, että tämäntasoisten tehtävien kanssa kamppaileva opiskelija ymmärtää itse jättää koko matematiikan opiskelun sikseen. Koska esimerkin laskutehtävä kuuluu ensisijaisesti siihen calculukseen, jota harjoitellaan runsaasti sekä peruskoulussa että lukiossa, tätä suhtautumistapaa ei voida edes pitää täysin vääränä. Toisaalta niillä perinteisen matematiikan kursseilla, joilla esimerkin lausekkeen sieventämisessä on nähty olevan jotain epätriviaalia, koko asiaa on tarkasteltu aivan toisesta ja edelliseen nähden vähintään yhtä äärimmäisestä näkökulmasta. Esimerkiksi järjestetyn kunnan aksioomien valossa tässä tehtävässä on kyse pohjimmiltaan sen osoittamisesta, että lausekkeen x/2 + x/3 symbolien muodostaman kokonaisuuden todellakin voidaan tulkita edustavan jotakin kunnan alkiota, sekä sen tutkimisesta, voidaanko alkioiden 2 ja 3 käänteisalkioiden summa esittää sievennetyssä muodossa. Kokonaisuudessaan tämä tehtävä osoittautuu niin kompleksiseksi, että sen täydellinen selvittäminen edellyttää useamman opintoviikon työpanosta. Entä mitä annettavaa perinteisellä matematiikan didaktiikalla on edellä mainitun sievennysongelman kanssa kamppailevalle opiskelijalle? Viime aikoina muodissa olleet ongelmanratkaisu ja konstruktivismi tuntuvat tarjoavan samalla tavalla kuin perinteinen matematiikka vain joko triviaaleja tai sitten äärimmäisen raskaita ajatuspolkuja kuljettavaksi sen mukaan, noudatetaanko konstruktivistista lähestymistapaa heikossa vai radikaalissa muodossa (Haapasalo 1998, 95 99). Nimittäin kyseisessä sievennystehtävässä on hyvin vaikea nähdä ongelmanratkaisun kannalta mitään muuta todellista haastetta kuin osittelulain muistaminen tai sitten kyse on todellisesta ongelmakentästä, jossa kaikki las- 122
DIDAKTISTA MATEMATIIKKAA TAI AINAKIN UUSI NÄKÖKULMA... kutoimituksen, lukujen ja niiden merkitsemisen ideoista alkaen tulisi konstruoida omakohtaisesti. Paheksutunkin mutta koulumaailmassa toimivien opettajien suosiman behavioristisen lähestymistavan mukaisesti sievennysongelmaa vodaan tietysti lähestyä esim. viipalekakkukuvioiden avulla. Näinhän mm. murtolukujen peruslaskutoimituksia havainnollistetaan edelleen useimmissa peruskoulun ja myös lukion oppikirjoissa. Kakkuviipaleiden avulla onkin helppoa näyttää, että kakun puolikas ja kolmasosa on yhdessä viisi kuudesosaa eikä kaksi viidesosaa kokonaisesta kakusta. Mutta ei kai sentään ole syytä olettaa, että opiskelijalla olisi vaikeuksia tämän asian ymmärtämisen kanssa? Todennäköisesti ongelmana on kuitenkin se, ettei opiskelija tunnista lausekkeen symboleiden edustavan mitään sellaista ilmaisua tai operaatiota, jota voitaisiin havainnollistaa kakkuviipaleiden avulla tai johon osittelulakia voitaisiin soveltaa. Näin ollen kakkukuvioiden tarkasteleminen tai mikään muukaan opetustekninen temppu ei ratkaise opiskelijan varsinaista ongelmaa. Tarkastellaan vielä sitä, voisiko didaktisen matematiikan avulla löytyä ratkaisu esimerkin ongelmaan. Didaktisessa matematiikassa kiinnitetään erityistä huomiota käytettävien sanojen ja symbolien merkitysten täsmälliseen ymmärtämiseen ja käyttöön. Jos polynomialgebran lausekkeissa esiintyvä x tulkitaan (oikein) reaaliluvuksi, tällöin sievennystehtävä kiinnittyy selvästi tiettyyn algebralliseen struktuuriin, tässä tapauksessa täydelliseen järjestettyyn kuntaan. Didaktisen matematiikan toinen erityispiirre on se, että varsinaisen matematiikan oppiaineksen läpikäymisessä keskitytään mieluummin kunkin teorian peruskäsitteiden ja niiden välisten yhteyksien syvälliseen ymmärtämiseen esim. useiden erilaisten mallien ja monipuolisten havainnollistusten avulla kuin teoriassa pitkälle etenemiseen ja sen teknisesti haasteellisiin sovelluksiin. Näin ollen didaktisen matematiikan mukaisesti järjestetyssä algebran opetuksessa korostuu se seikka, että erilaisissa struktuureissa on voimassa erilaiset laskusäännöt. Tällainen useamman mahdollisen laskusääntökokoelman olemassaolon tiedostaminen voi motivoida opiskelijaa muistamaan, että erityisesti järjestetyssä kunnassa ovat voimassa juuri tietyt laskusäännöt, joista yksi on tehtävässä tarvittava osittelulaki. Kieliaspektista tarkasteltuna muistaminen on nimenomaan oikea sana tässä yhteydessä: täytyyhän esimerkiksi englannin opiskelijankin ensin opetella muistamaan englanninkielen perussanasto ja -säännöt, jotta hän voisi edetä opinnoissaan syvällisempään kielitaitoon johtavalle tasolle. Vaikka edellä kuvattua esimerkkiä voidaan pitää hieman kärjistettynä, on kuitenkin ilmeistä, että mm. polynomialgebran todellinen hallinta edellyttää koulumatematiikkaa huomattavasti laajempaa ja syvällisempää matemaattista sivistystä. Kaikkia tämäntasoisen käsitteellisen tiedon oppimisongelmia ei voida ratkaista nykyisen matematiikan didaktiikan korostamien ongelmanratkaisun tai uskomus- ja asennetutkimusten avulla. Radikaali konstruktivismikaan ei tarjoa oikoteitä tai aina edes työmäärältään realistisia keinoja epätriviaalin matematiikan käsitteiden hallintaan. Konstruktivistista lähestymistapaa korkeam- 123
TIMO TOSSAVAINEN paan matematiikkaan ainoana oikeana oppimisskeemana ei voida edes pitää rationaalisena ajatuksena, sillä eihän orkesterimuusikon koulutuksessakaan edellytetä sitä, että opiskelijan on pystyttävä säveltämään itse kaikki esittämänsä teokset. Toisaalta sekä opiskelijoilta saadun palautteen (mm. Laine 2003; Sorvali tässä teoksessa) että tutkimusten (esim. Niemi 2001) perusteella varsinaisen matematiikan opiskelu ei ole riittävästi edistänyt ainakaan peruskoulun matematiikan opettajien ammatillista osaamista. Suomalaisen matematiikkakasvatuksen kentässä on siis aukko, joka on paikattava jollakin tavalla. Sanaparia didaktinen matematiikka on ryhdytty käyttämään nimenä tietynlaiselle matemaattis-kasvatukselliselle toiminnalle, jota ei ole ainakaan vielä nähty toteutettavan perinteisen matematiikan didaktiikan piirissä. Vaikka toisensävyisiäkin mielipiteitä on esitetty (vrt. Martio 2004), tämän sanaparin käyttöönotolle on nähtävissä myös perusteluja, joista matematiikan kieliaspektin korostamisen tarve matematiikkakasvatuksessa lienee paras. Perinteisessä didaktiikassa matematiikkaa nimittäin tarkastellaan useimmiten staattisena, valmiiksi annettuna objektina, johon kielen avulla vain viitataan. Tämä asenne johtaa opetuksessa helposti huolimattomaan kielenkäyttöön, mikä varmasti vaikuttaa matematiikan oppimistuloksiin. Matematiikka on elävä kieli, jonka kehittyneen käytön erityispiirteenä on runsas symbolien ja erikoismerkkien käyttö. Matematiikan tuloksellisen oppimisen edellytyksenä on, että opetuksessa käytetään matemaattista symbolikieltä virheettömästi. Erityisesti peruskoulun matematiikanopettajien koulutuksessa tulisi korostaa tätä näkökulmaa, sillä peruskoulussa annettavasta matematiikan opetuksesta muodostuu suurin osan lähes jokaisen kansalaisen matemaattisesta sivistyksestä, ja tähän opetukseen osallistutaan juuri kielen- ja ajattelunkehittymisen kannalta kriittisessä iässä. DIDAKTISEN MATEMATIIKAN TUTKIMUSONGELMISTA JA -MENETELMISTÄ Millaisia tutkimusongelmia kuuluu didaktisen matematiikaan piiriin eli millaiseen tieteelliseen toimintaan perustuu sellainen matematiikkakasvatus, jossa korostuu matematiikan kieliaspekti? Artikkelissa Tossavainen & Sorvali 2003 didaktisen matematiikan tutkimuskenttää kuvaillaan mm. seuraavasti: Didaktinen matematiikka on silta matematiikan ja kasvatustieteellisen tutkimuksen välillä. Siinä tarkastellaan matematiikkaa kehittyvänä ja muuntuvana tieteenalana, joka on luotu ratkaisemaan erilaisia ongelmia eri kulttuureissa eri aikakausina. Didaktisessa matematiikassa korostetaan, ettei ole mitään ajasta ja paikasta riippumatonta matematiikkaa eikä myöskään mitään pysyviä, ulkopäin annettuja, kertakaikkisia koulumatematiikan sisältöjä. Tämän katsontatavan toivotaan rohkaisevan matematiikan didaktiikan tieteellistä tutkimusta suuntautumaan entistä enemmän opetuksen sisältöjen pohdintaan, erityisesti kyseenalaistamaan itsestään selvänä pidetty mekaanisten laskutaitojen keskeisyys opetuksessa. 124
DIDAKTISTA MATEMATIIKKAA TAI AINAKIN UUSI NÄKÖKULMA... Didaktisessa matematiikassa selvitetään matematiikan perusteorioiden välisiä yksinkertaisia suhteita erityisesti oppimisen ja opettamisen näkökulmasta. Tällöin korostuu matematiikan rakenteiden ymmärtämisen tärkeys jo peruslaskutoimituksia opittaessa. Matematiikkaa tarkastellaan historiallisesta näkökulmasta ja korostetaan luovuuden ja jopa taiteellisten piirteiden merkitystä matematiikassa. Matematiikkaa voidaan myös oppia ja opettaa piirtämällä, soittamalla, hahmottelemalla tai muilla havainnollisilla tavoilla. Koska toiminnallisen ja havainnollisen matematiikan ja matemaattisten lausekkeiden välisten yhteyksien ymmärtäminen on keskeistä, didaktisessa matematiikassa matematiikkaa tarkastellaan myös kielenä. Erityisesti kiinnitetään huomiota matematiikassa käytettävien sanojen ja symbolien täsmälliseen määrittelyyn sekä matematiikan ja äidinkielen välisiin yhteyksiin. Matematiikan oppimisen ongelmia lähestytään semanttisesta ja semioottisesta näkökulmasta matematiikkaan. Tähän liittyy läheisesti eri maiden opetustraditioiden vertailu ja matematiikan opetuksen historian tutkimus. Didaktisessa matematiikassa korostuu siis, jopa mekaanisen laskutaidon kustannuksella, käsitteellinen ja kielellinen matematiikan osaaminen. Näin ollen didaktisen matematiikan tutkimus edellyttää nämä näkökulmat huomioon ottavien matemaattisen osaamisen mittausmenetelmien kehittämistä. Tällaisen kehittämisen lähtökohtana on tutkia ensin, missä eri muodoissa matemaattista ajattelua voidaan esittää. Tähän edellyttänee sitä, että seurataan myös sen alueen äidinkielen tai yleensä kielten sekä taito- ja taideaineiden tutkimusparadigmojen kehittymistä. Edellä mainittujen mittausmenetelmien kehittämiseen liittyy myös sen selvittäminen, kuinka yksilöiden matemaattisesta ajattelusta voidaan laatia sellaisia malleja, joita voidaan luotettavasti ja tarkoituksenmukaisesti verrata toisiinsa tai malliin sellaisesta matemaattisesta osaamisesta, jota pidetään oppimisen tavoitteena. Yksilön matemaattisen tietorakenteen kuvaamiseen on jo olemassa vaihtoehtoja, esimerkiksi käsitekartat tai graafit (esim. Kieswetter 1977; Pehkonen 2002). Näiden mahdollisuudet didaktisen matematiikan tutkimusvälineinä vaikuttavat varsin lupaavilta, sillä niiden avulla voidaan tehdä sekä määrällistä (esimekiksi graafin solmujen lukumäärä) että laadullista (graafin linkkien lukumäärä) matematiikan oppimisen tutkimusta (Pehkonen 2002). Lisäksi käsitekartat ja graafit antavat tarkasteltavasta tietorakenteesta toisiaan täydentävät kuvat. Graafien ja käsitekarttojen soveltamisessa on luonnollisesti otettava huomioon tutkittavien vaihteleva kyky ilmaista itseään suullisesti ja kirjallisesti. Tätä asiaa ei ole suinkaan aina osattu tai käytännössä voitu ottaa huomioon esim. yliopisto-opiskelijoiden matemaattista osaamista arvioitaessa. Lopuksi tehdään ehdotus, millaista kaavaa todellisen ja pitkäkestoisen oppimisen ja opetuksen kehittämisen sekä laadullinen että määrällinen tutkimus voisi noudattaa didaktisen matematiikan alalla. 125
TIMO TOSSAVAINEN 1) Laaditaan mahdollisimman täydellinen selvitys siitä varsinaisesta matematiikasta, jonka oppimista ja opettamisen kehittämistä tarkastellaan. 2) Selvitetään, missä eri muodoissa tällainen matematiikka voidaan esittää. 3) Koska kaikki kelvolliset esitysmuodot edustavat periaatteessa samaa tietorakennetta, laaditaan tästä tietorakenteesta sopivia malleja matematiikan eri aspektien mukaisesti. 4) Seurataan oppimistulosten kehittymistä erilaisissa opetuskokeiluissa vertaamalla laadullisesti tai määrällisesti oppijoiden tietojen, käsitysten ja uskomusten perusteella laadittuja tietorakenteen malleja kohdan 3 ideaalimalleihin. Lienee itsestään selvää, että ehdotetun kaavan soveltaminen edellyttää aidosti ainakin sekä varsinaisen matematiikan että kasvatustieteen menetelmien asiantuntemusta. LÄHTEET Haapasalo, L. 1998. Oppiminen, tieto ja ongelmanratkaisu. 3. painos. Joensuu: Medusa-Software. Joki, J. 2002. Ulkoluvusta hahmottavaan geometriaan: aineksia geometrian opetukseen erityisesti peruskoulussa. Didaktisen matematiikan sarja. Joensuun yliopisto. Matematiikan laitos. Jyväskylän yliopisto. 2001. http://www.jyu.fi/mtdk/matleh01.html ja http:// www.jyu.fi/mtdk/matass94.html. Luettu 23.3.2004. Kansanen, P. 2004. Onko kasvatustieteellä tulevaisuutta? Teoksessa J. Enkenberg & M.-B. Kentz (toim.) Kasvatuksen maisemista. Joensuun yliopisto, 77 86. Keranto, T. 2004. On the mathematical and pedagogical content knowledge of prospective teachers: the case of the division of fractions and proportional reasoning. Esitelmä Matematiikan päivillä Oulussa 8. 9.1.2004. Kieswetter, K. 1977. Kreativität in der Mathematik und im Mathematikunterricht. Teoksessa M. Glatfeld (toim.) Mathematik Lernen. Braunschweig: Vieweg, 1 39. Kupari, P., Reinikainen, P., Nevanpää, N. & Törnroos, J. 2001. Miten matematiikkaa ja luonnontieteitä osataan suomalaisessa peruskoulussa? Kolmas kansainvälinen matematiikka- ja luonnontiedetutkimus TIMMS 1999 Suomessa. Jyväskylän yliopisto. Koulutuksen tutkimuslaitos. Laine, A. 2003. Luokanopettajaopiskelijoiden kokemuksia matematiikan opetusharjoittelusta peruskoulun yläluokilla. Esitelmä 10.10.2003. Ilmestyy englanninkielisenä teoksessa Proceedings of the 20th Annual Symposium of the Finnish Mathematics and Science Education Research Association in Helsinki, October 9 11, 2003. Malinen, P. 1998. Katsaus matematiikan oppimisen, oppimisvaikeuksien ja ope- 126
DIDAKTISTA MATEMATIIKKAA TAI AINAKIN UUSI NÄKÖKULMA... tuksen tutkimuksiin Suomessa. Teoksessa P. Räsänen, P. Kupari, T. Ahonen & P. Malinen (toim.) Matematiikka näkökulmia opettamiseen ja oppimiseen. Niilo Mäki Instituutti & Koulutuksen tutkimuslaitos. Jyväskylä: Yliopistopaino, 11 17. Malinen, P. & Kupari, P. 2003. Miten kognitiivisista prosesseista kehiteltiin kontruktivismia Katsaus Matematiikan ja luonnontieteiden opetuksen tutkimusseuran toimintaan 1983 2003. Koulutuksen tutkimuslaitos. Jyväskylä. Martio, O. 2004. Didaktista matematiikkaa? Tieteessä tapahtuu 21 (2), 42 45. Merenluoto, K. 2001. Lukiolaisen reaaliluku. Lukualueen laajentaminen käsitteellisenä muutoksena matematiikassa. Ann. Univ. Turkuensis C 176. Turun yliopisto. Niemi, E. K. 2001. Perusopetuksen matematiikan oppimistulosten kansallinen arviointi 6. vuosiluokalla vuonna 2000. Helsinki: Opetushallitus. Pehkonen, E. & Zimmermann, B. 1990. Probleemakentät matematiikan opetuksessa ja niiden yhteys opetuksen ja oppilaiden motivaation kehittymiseen. Osa 1: Teoreettinen tausta ja tutkimusasetelma.tutkimuksia 86. Helsingin yliopisto. Opettajankoulutuslaitos. Pehkonen, E. 2002. Matemaattinen tietorakenne graafina. Teoksessa H. Silfverberg & J. Joutsenlahti (toim.) 2002. Tutkimuksella parempaan opetukseen. Matematiikan ja luonnontieteiden tutkimusseura ry:n päivät Tampereella 28. 29.9.2001. Tampereen yliopisto. Opettajankoulutuslaitos, 137 142. Pietilä, A. 2002. Luokanopettajaopiskelijoiden matematiikkakuva: matematiikkakokemukset matematiikkakuvan muodostajina. Tutkimuksia 238. Helsingin yliopisto. Opettajankoulutuslaitos. Silfverberg, H. & Joutsenlahti, J. (toim.) 2002. Tutkimuksella parempaan opetukseen. Matematiikan ja luonnontieteiden tutkimusseura ry:n päivät Tampereella 28. 29.9.2001. Tampereen yliopisto. Opettajankoulutuslaitos. Tossavainen, T. & Sorvali, T. 2003. Koulumatematiikka, matematiikka ja didaktinen matematiikka. Tieteessä tapahtuu 20 (8), 30 34. Vala, K. 1979. Hakusana matematiikka. Otavan Suuri Ensyklopedia. Keuruu: Otava. Virtanen, A. 1994. Matematiikan opetusharjoittelijoiden taidot lukion differentiaalilaskennassa. Pro gradu -tutkielma, Helsingin yliopisto. Matematiikan laitos. Väänänen, J. 1987. Matemaattinen logiikka. Helsinki: Gaudeamus. 127