Havaintokohteita 9. Polarimetria Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto
Havaintokohteita Polarimetria Havaintokohteita (kuvat: @phys.org/news, @annesastronomynews.com) Yleiskuvaus: Polarisaatio tähtitieteessä www Kaikki taivaalta tuleva valo jossain määrin polariosoitunutta.... Ainoa poikkeus on Aurinko, Yläkuva: Simulaatio mustan aukon röntgen säteilyn polarisaatiosta Alakuva: Havainto pölyn polarisaatiosta nuoren proto tähden ympärillä Syntytapoja 1. Säteilymekanismi (Esim. Zeeman efekti) www 2. Sironta, Heijastuminen (Esim. Pinnat, Pöly) www 3. Väliaine (Esim. Ilmakehä www Tähtien välinen aine) Johdanto: Astrofysikaaliset teoriat opetetaan muilla kursseilla
(kuva: @Alonso/Finn: Fundamental University Physics) I 0 = c ɛ E 2 I 0 = Intensiteetti ennen polarisaattoria c = Valon nopeus ɛ = Permittiivisyys E = Sähkökentän vektori - Polarisaattori päästää läpi vain suuntaan A osoittavan E:n komponentin E A = E cos θ θ = A:n ja E:n välinen kulma - Huom: Kuvassa E = ε ja E A = ε A I(θ) = c ɛ E A 2 = c ɛ E 2 cos 2 θ = I 0 cos 2 θ = Intensiteetti polarisaattorin jälkeen - Polarisaattoria pyörittäessä I(θ) muuttuu. Tämä on Malusin www laki - Säteilyn E = E(t) pyörii Tilanne paljon monimutkaisempi
(video: @jetsu) E = [E 1 cos (ωt), E 2 cos (ωt + δ)], missä ω = 2πf = vakio Koska vaikea hahmottaa, kerrataan aiempi esimerkki vaihtoehdoista www 1&2: Elliptinen polarisaatio, 3&4: Ympyrä polarisaatio, 5: Lineaarinen polarisaatio E tekee yhden kierroksen Ratkaisu ei riipu siitä, mistä kulmat θ ja θ mitataan Vektorin E kulma θ mitattuna x akselista toteuttaa cos θ = E 1 cos (ωt)/ E & sin θ = E 2 sin (ωt + δ)/ E Polarisaattorin suoran kulma mitattuna x-akselista on θ Polarisaattori päästää vektorista E läpi vain suuntaan θ osoittavan komponentin E A = E A (t, θ ) = E(t, θ) cos (θ θ ) Läpi tulevan valon intensiteetti on I(θ, t) = c ɛ E A 2 E A 2 = E 2 cos 2 (θ θ ) = E 2 [cos θ cos θ + sin θ sin θ ] 2 = E 2 [E 1 cos θ cos (ωt)/ E + E 2 sin θ sin (ωt + δ)/ E ] = E [E 1 cos θ cos (ωt) + E 2 sin θ sin (ωt + δ)] = E 2 1 cos2 (ωt) + E 2 2 sin2 (ωt + δ) [E 1 cos θ cos (ωt) + E 2 sin θ sin (ωt + δ)] I(θ ) =< I(θ, t) > saadaan I(t, θ ):n keskiarvosta, kun E tekee yhden kierroksen.
(video:@jetsu) Merkitään x = ωt = 2πft. Vektori E tekee yhden kierroksen ajassa t = 1/f, koska t = 0 x = ωt = 0 ja t = 1/f x = ωt = 2π. Saadaan I(θ ) < I(θ ) > 1/f 0 E 1 2 cos2 (ωt)+e 2 2 sin2 (ωt+δ) [E 1 cos θ cos (ωt)+e 2 sin θ sin (ωt+δ)]dt 1/f 0 dt Tästä ei voi hahmottaa oppikirjan kaavaa I(θ ) = I 0 ± PI 0 cos [a(θ θ)] Animaatio integraalin < I(θ ) > numeerisesta ratkaisusta on tässä www. Tapaukset 1&2: 0 < P < 1, Tapaukset 3&4: P = 0, Tapaus 5: P = 1 Oletaan, että kaavan 9.1 muoto I(θ ) = I 0 ± PI 0 cos 2[θ θ] on tosi Oppikirjan konventiolla I 45 = I(θ = 45) sekoittuvat I 0 = (1/2)(I max + I min ) ja I 0 = I(θ = 0) Käytetään merkintää I m = I 0 = (1/2)(I max + I min ) Käytetään muotoa I(θ ) = I m ± PI m cos [2(θ θ)] ja kaavaa cos A B = cos A cos B + sin A sin B Yleensä lineaarisen polarisaation määrittämiseen riittää neljä mittausta, jos ne tehdään kulmilla θ = 0, 45, 90 ja 135 Seuraavalla sivulla osoitetaan, että lopputulos on arvoille P x, P y, P ja θ aina sama riippumatta siitä, mikä valitaan kulman θ nollapisteeksi (Kaavat 9.2 ja 9.3)
Kaava 9.2: I 0 = I m ± PI m cos [2(0 θ)] = I m ± PI m cos [ 2θ)] = I m PI m cos [2θ)] I 90 = I m ± PI m cos [2(90 θ)] = I m ± PI m cos [180 2θ] = I m ±PI m{cos 180 cos [ 2θ]+sin 180 sin[2θ]} = I m ±PI m cos [ 2θ] = I m ± PI m cos [2θ] I 0 I 90 {Im ± PIm cos [2θ]} {Im PIm cos [2θ]} ±2PIm cos[2θ] = = = ±P cos 2θ = ±P x I 0 + I 90 {I m ± PI m cos [2θ]} + {I m PI m cos [2θ]} 2I m Kaava 9.2: I 45 = I m ± PI m cos [2(45 θ)] = I m ± PI m cos [90 2θ] = I m ± PI m{cos 90 cos [ 2θ] + sin 90 sin [ 2θ]} = I m PI m sin 2θ I 135 = I m ± PI m cos [2(135 θ)] = I m ± PI m cos [270 2θ] = I m ± PI m{cos 270 cos [ 2θ] + sin 270 sin [ 2θ]} = I m ± PI m sin 2θ I 45 I 135 {Im PIm sin [2θ]} {Im ± PIm sin [2θ]} 2PIm sin[2θ] = = = P sin 2θ = P y I 45 + I 135 {I m PI m sin [2θ]} + {I m ± PI m sin [2θ]} 2I m Kaava 9.3: P = (±P x) 2 + ( P y) 2 = P 2 x + P 2 y ja P x/p y = [P sin (2θ)]/[P cos (2θ)] = tan (2θ) θ = (1/2) arctan (P x/p y)
(kuva:@ursa: Havaitseva tähtitiede ) Intensiteetit y i = y(θ i ) =< I(θ i ) > voitaisiin myös mitata mielivaltaisilla θ i Havainnot y i olisi silloin sovitettava malliin g i = g(θ i ) = g(θ i, β) = A + B cos [2(θ i C)], jossa vapaat parametrit ovat β = [A, B, C] Sovituksesta saataisiin Intensiteetti = I = A = (max[g] + min[g])/2 Positiokulma = θ = C g(θ = C) = max[g] Lineaarinen polarisaatioaste = P = max[g] min[g] max[g]+min[g] Näistä saataisiin Stokesin parametrit Q = IP cos 2θ ja U = IP sin 2θ Käytännössä sovitus kannattaisi tehdä lineeariselle mallille g i = g(θ i ) = g(θ i, β) = A + D cos 2θ i + E sin 2θ i jossa vapaat parametrit ovat β = [A, D, E]. Sovituksen D ja E arvoista saataisiin ratkaistua C = θ Huom: Positiokulmalle θ on kaksi ±180 vaihtoehtoa (kts kuva)
(kuva:@ursa: Havaitseva tähtitiede ) Modulaattori: Muuttaa valon tilaa: Polarisaattori, Kalsiittikide, Puoliaaltolevy,... Analysaattori: Mittaa modulaattorin vaikutusta: Valomonistinputki, CCD, Spektrometri,... Polarisaattori + Halpa, yksinkertainen, laaja alue (kartta) 60% valosta katoaa, havainto 4 mittausta Mittaus kalsiittikiteen avulla Kalsiittikide (CaCO 3 ) hajottaa valon kahdeksi säteeksi Ordinaarisäde o-säde Ekstraordinaarisäde e-säde o- ja e-säteiden polarisaatiosuunnat poikkeavat toisistaan 90 astetta
Mittaus kalsiittikiteen avulla Mittaus kalsiittikiteen avulla (kuvat:@ursa: Havaitseva tähtitiede ) 1. Mittaus I 0 e-säde, I 90 o-säde Kidettä kierretään 45 astetta 2. Mittaus I 45 e-säde, I 135 o-säde I 0 I 90 I = P 45 I 135 I 0 +I x = P 90 I 45 +I y 135 Analysaattori: kuvassa CCD intensiteetin mittaukset 1&2 + Havainto 2 mittausta e- ja o-säteet absorboituvat eri tavoilla 4 mittausta kulmilla 0, 45, 90 ja 145 Kalsiittikiteellä pieni näkökenttä Puoliaaltolevy kiteen eteen Kierretään puoliaaltolevyä Kidettä ei tarvitse kiertää
Puoliaaltolevy Puoliaaltolevy (kuva:@en.wikipedia.org) Puoliarvolevyssä (engl. retarder) www elektrisen vektorin E = [E X, E y] komponentit liikkuvat eri nopeuksilla Kuva: Sopiva paksuus optisen akselin suuntainen komponentti (vihreä) viivästyy λ/2 eli 180 astetta Animaatio puoliaaltolevyn vaikutuksesta: E y komponenttia viivästytetty 180. Tulos on tässä www. Vaikutuksia: Positiokulman θ muutos ortogonaalinen Vasenkätinen ympyräpolarisaatio muuttuu oikeakätiseksi, ja päin vastoin
Spektropolarimetria Spektropolarimetria (kuva:@www.jach.hawaii.edu) Analysaattori: spektrometri Modulaattori: esimerkiksi Wollaston prisma www hilan edessä Polarisaatio koko aallonpituusalueelta Valo hajotetaan kahteen osaan, s.o. pienempiin o- ja e-intensiteetteihin Lisäksi osa valosta jää modulaattoriin Tarvitaan suuri teleskooppi Kalibrointi vaikeaa + Saadaan paljon tietoa kohteesta Esimerkki: Kochukhov & Piskunov, 2002 www
Ympyräpolarisaatio Ympyräpolarisaatio Ympyräpolarisaatio (kuva: @www.astronomy.com, video: @youtube, animaatio: @jetsu) Lineaarinen polarisaatio yleisempää Ympyräpolarisaatio harvinaisempaa Tähtien magneettikentissä, GRB shokkiaallot (kuva),... Ympyräpolarisaatio video www Quarter-wave plate www muuttaa ympyräpolarisaation lineaariseksi polarisaatioksi Mittaus aiemmin kuvattu Viivästyttää E:n toista komponenttia λ/4 verran Animaatio www λ/4-levyn vaikutuksesta: E y komponenttia viivästytetty 90. Vaikutuksia: Ympyräpolarisaatio lineaariseksi (Tapaukset 3&4), ja päin vastoin (Tapaus 5)
Havaintojen käsittely Havaintojen käsittely Havaintojen käsittely Redusointi: mitataan I 0, I 45, I 90 ja I 135 analysaattorilla (Valomonistinputki, CCD,...) Kaavoista 9.2 ja 9.3 saadaan P x, P y, P ja θ arvot. Polarisaatio yksikköissä [P] = % P on pieni Tarvitaan pitkiä integrointiaikoja. Oppikirjassa P:n kalsiittikide mittauksille virhe kaavasta 9.4 E P [100 2]/[S/N], missä S/N on kuvaparin I 0 &I 90 ja I 45 &I 135 signaali-kohinasuhde (Esim: S/N = 141 E P = ±1%) Vaikka todellinen arvo on P = 0, niin mittauksilla on aina virheet σ PX > 0 ja σ Py > 0 Aina toteutuu P 2 x > 0 ja P2 y > 0 Aina toteutuu P = P 2 x + P2 y > 0... P:n statistinen käyttäytyminen on melko monimutkainen... helpompi tarkastella Stokesin parametrejä... Merkitään A = I 0 ja B = I 90 P x = A B B+A σ2 P x = ( P x/ A) 2 σa 2 + ( Px/ B)2 σb 2 Sama laskelma P y :lle. Lopputulos EP 2 = σ2 P = ( P/ Px)2 σp 2 x + ( P/ P y) 2 σp 2 y Esimerkiksi CCD-mittausten kaava 6.7 antaa vain alarajan virheille σ A ja σ B 1. Fotometriset standarditähdet Intensiteettien kalibrointi 2. Nollapolarisaatio tähdet Instrumentaalipolarisaation eliminointi 3. Korkean polarisaation tähdet Positiokulman θ nollakohta