DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Teho vaihtosähköpiireissä ja symmetriset kolmivaihejärjestelmät
Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet Kompleksinen teho S ja näennästeho S Loisteho Q Symmetriset kolmivaihejärjestelmät Pätöteho P Tarkoitus on ymmärtää mitä eri vaihtosähköpiireihin liittyvät tehotermit tarkoittavat. Jatketaan myös harjoituksia vaihtosähköpiirien analyysistä tutuilla menetelmillä ja tutustutaan kolmivaihejärjestelmiin.
Johdatellaan aiheeseen esimerkillä Ratkaise kuvan piirissä jännitelähteen syöttämä teho silmukkavirtamenetelmällä. 5Ω 5 mh + U(t) 15 mh 0.5 mf U(t) = 325sin(100πt) V, M = 7.5 mh
Hetkellinen teho Hetkellisarvot jännitteelle ja virralle ovat U(t) = Ûsin(ωt +ϕ U ) I(t) = Î sin(ωt +ϕ I )
Hetkellinen teho Hetkellisarvot jännitteelle ja virralle ovat U(t) = Ûsin(ωt +ϕ U ) I(t) = Î sin(ωt +ϕ I ) Tällöin tehoksi saadaan P(t) = U(t)I(t) = ÛÎ sin(ωt +ϕ U )sin(ωt +ϕ I )
Hetkellinen teho Hetkellisarvot jännitteelle ja virralle ovat U(t) = Ûsin(ωt +ϕ U ) I(t) = Î sin(ωt +ϕ I ) Tällöin tehoksi saadaan P(t) = U(t)I(t) = ÛÎ sin(ωt +ϕ U )sin(ωt +ϕ I ) Kaivetaan avuksi trigonometriaa sin(x)sin(y) = 1 (cos(x y) cos(x +y)) 2
Hetkellinen teho Hetkellisarvot jännitteelle ja virralle ovat Tällöin tehoksi saadaan U(t) = Ûsin(ωt +ϕ U ) I(t) = Î sin(ωt +ϕ I ) P(t) = U(t)I(t) = ÛÎ sin(ωt +ϕ U )sin(ωt +ϕ I ) Kaivetaan avuksi trigonometriaa sin(x)sin(y) = 1 (cos(x y) cos(x +y)) 2 Jolloin teho voidaan kirjoittaa seuraavasti P(t) = ÛÎ 2 cos(ϕ U ϕ I ) ÛÎ 2 cos(2ωt +ϕ U +ϕ I )
Tehon eri komponentit Mitä edeltä voidaan havaita? Teho koostuu kahdesta termistä, joista toinen riippuu ajasta ja toinen ei. Jos kirjoitetaan teho osoittimien pituuksien avulla saadaan P(t) = U I cos(ϕ U ϕ I ) U I cos(2ωt +ϕ U +ϕ I ) Ensimmäinen termihän edustaa nyt keskimääräistä tehoa vastuksessa (tällöin ϕ U = ϕ I ). Toisen termin avulla päästään käsiksi siihen miten teho vaihtelee 0:n ja maksimin välillä. Toisen termin integraali jakson yli on 0, joten se ei vaikuta piirissä kuluvaan tehoon jakson aikana.
Tehon eri komponentit Hetkellisen tehon ajasta riippumatonta termiä kutsutaan pätötehoksi P P = U I cos(ϕ U ϕ I ) Pätötehon yksikkö on watti (W).
Tehon eri komponentit Hetkellisen tehon ajasta riippumatonta termiä kutsutaan pätötehoksi P P = U I cos(ϕ U ϕ I ) Pätötehon yksikkö on watti (W). Pätötehon maksimiarvo on näennäisteho S (eli miten ϕ I ja ϕ U voidaan valita, jotta saavutetaan maksimiarvo) S = U I Näennäistehon yksikkö on volttiampeeri (VA). Tämä ei vastaa hetkellisen tehon maksimiarvoa.
Tehokolmio Tehoja on vielä kolmaskin: loisteho Q, joka vastaa tehokolmion puuttuvaa kateettia Q = U I sin(ϕ U ϕ I ) Loistehon yksikkö on reaktiivinen volttiampeeri (VAr) Kuten loistehon yksiköstä (reaktiivinen) on pääteltävissä, loistehoa esiintyy sellaisissa komponenteissa, joiden reaktanssi (siis impedanssin imaginääriosa) poikkeaa nollasta) S = U I ϕ U ϕ I P = U I cos(ϕ U ϕ I) Q = U I sin(ϕu ϕi)
Mitä eri tehot tarkoittavat? Pätöteho on sitä, joka tekee työtä (esim. muuttuu lämmöksi vastuksessa). Pätöteho on aina positiivinne, mikä tarkoittaa sitä, että eneria kuluu tietyllä teholla. Loisteho liittyy magneettikenttään (induktanssi) tai sähkökenttään (kapasitanssi) varastoituvaan energiaan. Kyse on siitä, että jos komponentissa reaktanssi poikkeaa nollasta, kaikki lähteen syöttämä teho ei ole tarjolla työn tekemiseen, vaan osa energiasta varastoituu komponenttiin (tai palautuu siitä piiriin). Loisteho voi olla joka negatiivinen tai positiivinen: Negatiivinen: komponentti tuottaa loistehoa Positiivinen: komponentti ottaa loistehoa
Komponenttien tehot I(t) Z Komponentin virta on I(t) = 7.07sin(100πt +π/2) A Laske pätöteho P, loisteho Q ja näennäisteho S, kun komponetti on 1. 100 Ω:n vastus 2. 40 mh:n käämi 3. 20 µf kondensaattori (alkujännite 0 V).
Vaihtosähkön teho ja passiiviset piirikomponentit Vastusken teho on aina pelkkää pätötehoa, koska vastuksen jännitteen ja virran välillä ei ole vaihe-eroa Koska vastukselle Q = 0 VAr, vastuksen pätöteho ja näennäisteho ovat yhtäsuuret.
Vaihtosähkön teho ja passiiviset piirikomponentit Vastusken teho on aina pelkkää pätötehoa, koska vastuksen jännitteen ja virran välillä ei ole vaihe-eroa Koska vastukselle Q = 0 VAr, vastuksen pätöteho ja näennäisteho ovat yhtäsuuret. Käämin teho on aina pelkkää loistehoa, koska käämin jännitteen ja virran välillä on 90 :n vaihe-ero. Käämin loisteho on positiivinen, koska jännitteen vaihekulma on aina virran vaihekulmaa suurempi. Koska loisteho on positiivinen, käämi ottaa loistehoa. Kuitenkin käämi välillä varastoi energiaa ja välillä palauttaa piiriin. Koska käämille P = 0 W, käämin loisteho ja näennäisteho ovat yhtäsuuret.
Vaihtosähkön teho ja passiiviset piirikomponentit Koska käämille P = 0 W, käämin loisteho ja näennäisteho ovat yhtäsuuret. Kondensaattorin teho on aina pelkkää loistehoa, koska kondensaattorin jännitteen ja virran välillä on 90 :n vaihe-ero. Kondensaattorin loisteho on negatiivinen, koska jännitteen vaihekulma on aina virran vaihekulmaa pienempi Koska loisteho on negatiivinen, kondensaattori tuottaa loistehoa. Koska kondensaaattorille P = 0 W, kondensaattorin loisteho ja näennäisteho ovat itseisarvoiltaan yhtäsuuret.
Kompleksinen teho Kompleksinen teho tarkoittaa näennäistehon osoitinta S = S ϕ U ϕ I = S cos(ϕ U ϕ I )+js sin(ϕ U ϕ I ) = P+jQ Jos impedanssin jännite on U ja virat I, miksi kompleksinen teho ei ole UI? S = UI = U ϕ U I ϕ I = UI ϕ U +ϕ I = S ϕ U +ϕ I Osoittimen pituus oikein, kulma väärin! Kun kompleksinen teho määritellään S = UI, saadaan kulmakin oikein S = UI = U ϕ U I ϕ I = UI ϕ U ϕ I = S ϕ U ϕ I
Kompleksinen tehokolmio Im S ϕ U ϕ I Q = Im(S) P = Re(S) Re S = UI = U ϕ U I ϕ I = UI ϕ U ϕ I = S ϕ U ϕ I
Kompleksinen teho piirikomponentille U ϕ U Z I ϕ I Kompleksinen teho S, pätöteho P, loisteho Q ja näennäisteho S: S = UI = U ϕ U I ϕ I = UI ϕ I ϕ U = P +jq P = Re(S) = Re(UI ϕ I ϕ U ) = UI cos(ϕ U ϕ I ) Q = Im(S) = Im(UI ϕ I ϕ U ) = UI sin(ϕ U ϕ I ) S = S = UI Kompleksiluku a ja sen konjugaatti a : a = 2+j5 = 2 2 +5 2 tan 1 5 2 5.4 68.2 a = 2 j5 = 2 2 +5 2 tan 1 5 2 5.4 68.2
Esimerkki Laske kytkennän impedanssien kompleksiset tehot, näennäistehot, pätötehot ja loistehot. Minkälaisia komponentteja piirissä on? 2 90 Ω 10 0 V + 5 0 Ω 5 j3ω
Kolmivaihejärjestelmät Nikola Tesla keksi monivaiheisen sähkönsiirtojärjestelmän edut 1800-luvun lopulla.
Kolmivaihejärjestelmät Nikola Tesla keksi monivaiheisen sähkönsiirtojärjestelmän edut 1800-luvun lopulla. Yksivaihejärjestelmässä teho värähtelee kaksinkertaisella taajuudella P(t) = U I cos(ϕ U ϕ I ) U I cos(2ωt +ϕ U +ϕ I )
Kolmivaihejärjestelmät Nikola Tesla keksi monivaiheisen sähkönsiirtojärjestelmän edut 1800-luvun lopulla. Yksivaihejärjestelmässä teho värähtelee kaksinkertaisella taajuudella P(t) = U I cos(ϕ U ϕ I ) U I cos(2ωt +ϕ U +ϕ I ) Siirtoverkko täytyy mitoittaa huipputehon mukaan, pyritään tasaiseen tehonvirtaukseen. Symmetrisissä kolmivaihejärjestelmissä kuormaan syötetty pätöteho on vakio!
Kolmivaihejärjestelmät Nikola Tesla keksi monivaiheisen sähkönsiirtojärjestelmän edut 1800-luvun lopulla. Yksivaihejärjestelmässä teho värähtelee kaksinkertaisella taajuudella P(t) = U I cos(ϕ U ϕ I ) U I cos(2ωt +ϕ U +ϕ I ) Siirtoverkko täytyy mitoittaa huipputehon mukaan, pyritään tasaiseen tehonvirtaukseen. Symmetrisissä kolmivaihejärjestelmissä kuormaan syötetty pätöteho on vakio! Kolmivaihejärjestelmin analyysi ei ole merkittävästi monimutkaisempaa, kuin 1-vaihejärjestelmän, silloin kuin järjestelmä on symmetrinen.
Kolmivaihejärjestelmät Nikola Tesla keksi monivaiheisen sähkönsiirtojärjestelmän edut 1800-luvun lopulla. Yksivaihejärjestelmässä teho värähtelee kaksinkertaisella taajuudella P(t) = U I cos(ϕ U ϕ I ) U I cos(2ωt +ϕ U +ϕ I ) Siirtoverkko täytyy mitoittaa huipputehon mukaan, pyritään tasaiseen tehonvirtaukseen. Symmetrisissä kolmivaihejärjestelmissä kuormaan syötetty pätöteho on vakio! Kolmivaihejärjestelmin analyysi ei ole merkittävästi monimutkaisempaa, kuin 1-vaihejärjestelmän, silloin kuin järjestelmä on symmetrinen. Käytännössä järjestelmiä pyritään käyttämään siten, että vaiheiden väliset kuormat ovat tasapainossa ja tällöin järjestelmä toimii symmetrisesti.
Kolmivaihesähkön tuottaminen Sähköenergiaa tuotetaan pääasiassa kolmivaihegeneraattoreilla. Näiden käämien napajännittet ovat U R = Ûsin(ωt) U S = Ûsin(ωt 120 ) U T = Ûsin(ωt 240 ) Tärkeää on huomata, että symmetrisessä kolmivaihejärjestelmässä jännitteiden välillä on 120:n vaihe-erot ja huippuarvot ovat samat.
Eurooppalainen kolmivaihejärjestelmä on kytketty myötäpäivään R S T 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 Tällä on merkitystä 3-vaihe moottorien pyörimissuunnalle. Samalla tavalla käämitty moottori pyörii erisuuntiin USAssa ja Euroopassa!
Kytketyt kolmivaihejärjestelmät Kolmivaihejärjestelmä voidaan kytkeä kahdella eri tavalla: tähteen Y tai kolmioon. U R + R I R Z U S U T + + S T U R U S I S I T Z Z T R N U T S
Kytketyt kolmivaihejärjestelmät Kolmivaihejärjestelmä voidaan kytkeä kahdella eri tavalla: tähteen Y tai kolmioon. R I ST U TR U ST S T U S I ST Z Z Z I TR T R U RS U R N U T S
Kytketyt kolmivaihejärjestelmät Kolmivaihejärjestelmä voidaan kytkeä kahdella eri tavalla: tähteen Y tai kolmioon. Vaiheen ja nollan välistä jännitettä kutsutaan vaihejännitteellä. Kahden vaiheen välistä jännitettä kutsutaan pääjännitteellä: U RS = U R U S = U R 1 120 U R = (1 cos( 120 ) sin( 120 )j)u R ( ) 3 3 = 2 + 2 j U R = 3 30 U R ja vastaavasti muut. Eli pääjännitteen itseisarvo on 3 kertaa vaihejännitteen itseisarvo ja välillä on 30 vaihe-ero.
Kytketyt kolmivaihejärjestelmät Kolmivaihejärjestelmä voidaan kytkeä kahdella eri tavalla: tähteen Y tai kolmioon. Piirejä voidaan siis kytkeä neljällä eri tavalla kolmioon ja/tai tähteen lähde ja/tai kuorma. Ns. kolmiotähtimuunnoksella voidaan aina siirtyä tähti-tähti esitykseen (ks. kotisivut Piirianalyysi 1 pruju) ja symmetrisiä kolmivaihejärjestelmiä analysoitaessa voidaan rajoittua 1-vaiheisiin sijaiskytkentöihin, jotka esittävät tähtikytkennän yhtä vaihetta.
Esimerkki Symmetrinen tähtikytketty 3-vaihegeneraattori, jonka napajännite on 230 V rms ja vaihejärjestys on myötäpäivään syöttää tähtikytkettyä kuormaa, jonka impedanssi on 20 + 4j Ω. Siirtolinjan impedanssi on 1 + 0.2j Ω. Piirrä järjestelmän yksivaiheinen sijaiskytkentä ja määritä mikä on generaattorin syöttämä pätöteho ja loisteho.
Kolmivaihejärjestelmässä siirtyvä teho on vakio ajan suhteen Aikaisemmin teho ajan funktiona oli (nyt yhtä vaihetta kohti) P R (t) = U R (t)i R (t) = ÛÎ cosϕ ÛÎ cos(2ωt ϕ)
Kolmivaihejärjestelmässä siirtyvä teho on vakio ajan suhteen Eli kokonaistehoksi saadaan P tot = P R (t)+p S (t)+p T (t) = ÛÎ cosϕ ÛÎ cos(2ωt ϕ) +ÛÎ cosϕ ÛÎ cos(2ωt ϕ 120 ) +ÛÎ cosϕ ÛÎ cos(2ωt ϕ 240 ) = 3ÛÎ cosϕ ÛÎ [cos(2ωt ϕ)+cos(2ωt ϕ 120 )+cos(2ωt ϕ 240 )] ja vähän trigonometriaa osoittaa, että [ ] = 0, jolloin tehoksi jää vakio, joka on kolme kertaa yhden vaiheen keskimäärinen teho.
Kolmivaihejärjestelmässä siirtyvä teho on vakio ajan suhteen HUOM! Kolmivaihejärjestelmässä (niin kuin 1-vaihejärjestelmässäkin) joudutaan siirtämään loistehoa varten virtaa. Tämä generoi häviöitä siirtoverkossa ja isot teollisuusyritykset joutuvat maksamaan loistehosta (joka yleensä johtuu sähkömoottoreista). Loistehoa voi kompensoida asentamalla kuorman yhteyteen kondensaattoripankkeja.
Yhteenveto Kompleksinen teho S ja näennästeho S tehokolmio Loisteho Q Kompleksisen tehon imaginääriosa kondensaattori tuottaa käämi kuluttaa Symmetriset kolmivaihejärjestelmät - amplitudit ja vaihe-erot - pääjännite - vaihejännite - vakio tehon siirto - kätisyys Pätöteho P Kompleksisen tehon reaaliosa vastukset
Yhteenveto piiriteoriaosuudesta tällä kurssilla Virta, jännite, potentiaali, varaus, työ, teho Kirchhoffin virtaja jännitelaki Kerrostamissilmukkavirta- ja solmupistemenetelmä Theveninin ekvivalentti Vastus, käämi, kondensaattori ja näiden virta-jännite yhtälöt Vaihtosähköpiirien analyysi kompleksiluvuilla, impedanssit, keskinäisinduktanssi Vaihtosähkön teho: Pätö, lois, näennäis Symmetriset kolmivaihejärjestelmät