MAT-4 OPERAATIOTUTKIMUS Kevät 03, periodi 4 Martti Lehto TTY/ Matematiikan laitos
SISÄLLYSLUETTELO. Johdantoa ja terminologiaa 3. Lineaarinen optimointi ja graafinen ratkaisu 0 3. Simplex-algoritmi 30 4. Duaalisuus ja herkksanalsi 6 5. Kuljetusmalli ja sen muunnelmat 75 6. Varastomalleja 7. Kokonaislukuoptimointi 37 8. Monitavoiteoptimointi 57
. Operaatiotutkimus (OT) taito vai tiede? Operaatiotutkimus prkii etsimään päätöksentekotilanteessa parhaan eli optimaalisen vaihtoehdon huomioiden rajallisten resurssien aiheuttamat rajoitteet. Taitolajina operaatiotutkimus on tökalu, jota päätöksentekijä kättää mallintaessaan käsillä olevaa ongelmaa matemaattiseen muotoon, valitessaan malliin sopivan optimointimenetelmän tai algoritmin, ratkaistessaan mallinsa joko tietokoneella tai knällä ja paperilla sekä analsoidessaan ratkaisuna saamaansa optimitulosta selvittääkseen ratkaisun herkkden esim. mallin parametrien muutoksille. Tieteenä operaatiotutkimuksessa etsitään hä tehokkaampia ja nopeampia menetelmiä optimin saavuttamiseksi, tutkitaan uusien tekniikoiden (esim. neuroverkot, sumea laskenta jne) kättöönottoa m. OT:n snt sijoitetaan lähinnä Englantiin toisen maailmansodan aikoihin. Siellä nimittäin koottiin rhmä asiantuntijoita (matemaatikkoja, pskologeja, sosiologeja jne) tutkimaan miten rajalliset sotamateriaalit tulisi osoittaa eri sotilasoperaatioihin, jotta saatava höt olisi mahdollisimman suuri.. Yksinkertainen päätöksentekomalli Päätöksentekoprobleeman hteenveto tavalla, joka sallii probleeman kaikkien päätösvaihtoehtojen sstemaattisen identifioinnin ja arvonmääritksen. Päätöksentekoon tullaan valitsemalla kaikkien mahdollisten joukosta paras vaihtoehto. Esimerkki Eräällä Tamperelaisella asiantuntijalla on viiden viikon konsultointisopimus erään EUvaltion pääkaupungissa (E). Hän lentää sinne maanantaisin ja palaa Tampereelle keskiviikkoisin. 3
T Ke Ma E Meno-paluulipun perushinta, eli jos paluu samalla viikolla kuin meno, on 400. Jos paluu on eri viikolla, hinta on 80% perushinnasta. Yksisuuntainen lippu maksaa 75% perusmeno-paluun hinnasta. Miten asiantuntijan kannattaisi liput ostaa ko. viiden viikon aikana? Päätösvaihtoehdot: (Oleellisimmat). Asiantuntija ostaa joka maanantai menopaluulipun (perushintaisen).. Hän ostaa menolipun E:hen ja sieltä neljä kertaa menopaluulipun sekä lopuksi menolipun Tampereelle. 3. Hän ostaa ensin menopaluulipun, jossa paluu viidennellä viikolla ja välillä E:stä neljä menopaluuta, jotka sisältävät viikonlopun. Asiantuntijan tavoitteena on kustannusten minimointi. Tapauksessa, jossa päätösvaihtoehtoja on rajallinen (pieni) määrä, voidaan laskea erikseen kunkin vaihtoehdon arvo: vaihtoehto : 5 x 400 = 000 vaihtoehto : 0.75 x 400 + 4 x (0.8 x 400) + 0.75 x 400 = 880 vaihtoehto 3: 5 x (0.8 x 400) = 600 Näin ollen vaihtoehto 3 antaa optimiratkaisun. Esimerkki Tuotantopäällikön on uutta konetta hankittaessa suoritettava valinta automaattisen ja puoliautomaattisen kesken. Koneet tuottavat tiettä osaa eräajoina eräkoon voidessa vaihdella. Kone valmistellaan aina kutakin erää varten. Erän aloituskustannukset 4
(kiinteä) ja muuttuvat ksikkötuotantokustannukset ovat: Kustannukset ( ) Puoliautomaattinen Automaattinen Erän aloituskustannus 0.0 50.0 Muuttuva ksikkökustannus 0.6 0.4 Tilanteen muotoilu päätöksentekomalliksi:. Yksilöi päätösvaihtoehdot. Suunnittele kriteeri kunkin vaihtoehdon arvon määrittämiseksi 3. Kätä kehitettä kriteeriä perustana parhaan kätettävissä olevan vaihtoehdon valitsemiseksi. Probleeman asettelusta nähdään, että vaihtoehtoja on kaksi:. Osta automaattikone.. Osta puoliautomaattikone. Vaihtoehtojen arviointi voidaan tehdä koneen kättökustannusten perusteella (vrt. o. taulukko). Päämääränä on valita pienemmät kustannukset aiheuttava vaihtoehto. Kustannuskriteerin formalisointi: Olkoon x hdessä eräajossa tuotettujen ksiköiden lukumäärä. Kustannusfunktioksi saadaan tuotantokustannus/erä = aloituskustannus + (muuttuva ksikkökustannus) x 50 0.4x ( automaatti) = 0 0.6x ( puoliautom.) Lopullinen päätöksentekomalli: VALITSE YKSI SEURAAVISTA VAIHTOEHDOISTA:. Osta automaattinen kone. Osta puoliautomaattinen kone Valitun vaihtoehdon on aiheutettava pienimmät tuotantokustannukset erää kohden. 5
6
Mallin graafinen ratkaisu tasakustannuskaaviolla ( break-even -kaavio): automaattikone = ehjä viiva puoliautomaatti = katkoviiva Tasakustannuspiste x = 50 ksikköä Saadaan ratkaisu:. Osta puoliautomaattikone, jos eräkoko < 50 ksikköä. Osta automaattikone, jos eräkoko > 50 ksikköä 3. Osta kumpi tahansa, jos eräkoko = 50 ksikköä Em. ratkaisu olettaa implisiittisesti, että kumpikin kone tuottaa osia samalla nopeudella. Oletetaan, että tuotantonopeudet ovat erisuuret, esim. automaatti 5 ks./tunti puoliautomaatti 5 ks./tunti Oletetaan lisäksi, että tehdas toimii ksivuoroperiaatteella päivittäin 8 tuntia. 7
UUSI INFORMAATIO LISÄÄ MALLIIN RAJOITTEITA. 8-tuntinen töaika rajaa maksimieräkoon seuraavasti: automaatti puoliautomaatti 5 8 = 00 ks. 5 8 = 0 ks. Ratkaisu muuttu seuraavaksi: 8-tunnin rajoituksen vaikutukset: automaattikone = ehjä viiva puoliautomaatti = pisteviiva eräkoko 0 => päätöksenteko-ongelmassa vaihtoehtoa, joista puoliautomaatti on parempi 0 < eräkoko 00 => vain ksi vaihtoehto eli automaattikone on käpä vaihtoehto puoliautomaatti on ei-käpä vaihtoehto eräkoko > 00 => kumpikin vaihtoehto ei-käpä 8
Siis PÄÄTÖKSENTEKO-ONGELMAN RAJOITTEET PYRKIVÄT VÄHENTÄMÄÄN VALINTOJA ELIMINOIMALLA EI-KÄYVÄT VAIHTOEHDOT. Mitä enemmän rajoitteita, sitä huonompi ratkaisu (arvostelukriteerin kannalta) eli Rajoitettu ratkaisu ei ole koskaan parempi kuin rajoittamaton ratkaisu. PÄÄTÖKSENTEKOMALLIN OLEELLISET OSAT:. Päätöksenteon vaihtoehdot, joista valinta tehdään. Rajoitteet ei-käpien vaihtoehtojen poissulkemiseksi 3. Kriteeri käpien vaihtoehtojen arvostelemiseksi Hieman terminologiaa: Päätöksentekomuuttujat, päätösmuuttujat tai muuttujat ( = päätöksentekovaihtoehdot) Tavoitefunktion eli objektifunktion optimointi ( = vaihtoehtojen arvosteluproseduuri) Optimointi esim. kustannusten minimointi tai tuoton maksimointi 9
. LINEAARINEN OPTIMOINTI (eli lineaarinen ohjelmointi) Formuloinnit ja graafinen ratkaisu - Matemaattinen mallinnustekniikka, jonka tarkoituksena on optimoida rajallisten resurssien kättö. ESIMERKKI Maalitehtaan tuotevalintaongelma Pieni maalitehdas tuottaa sekä sisä- että ulkomaalia. Maalien valmistamiseen kätetään kahta raaka-ainetta: M ja M. Seuraava taulukko antaa ongelman lähtötiedot: Tonnia raaka-ainetta maalitonnia kohden Ulkomaali Sisämaali Päivittäinen maksimisaatavuus (tonnia) Raaka-aine M 6 4 4 Raaka-aine M 6 Tuotto per maalitonni( 000 ) 5 4 Markkinatutkimus osoittaa, että sisämaalin päivittäinen ksntä on korkeintaan tonnia. Markkinatutkimus osoittaa mös, että sisämaalin päivittäinen ksntä ei voi littää ulkomaalin vastaavaa ksntää enempää kuin tonnilla. Paljonko htiön tulisi päivittäin tuottaa sisä- ja ulkomaalia maksimoidakseen päivittäisen tuottonsa? - - - Matemattisen mallin konstruointi:. Mitä malli prkii määrittämään? Toisin sanoen, mitkä ovat ongelman muuttujat (tuntemattomat)?. Mitä ehtoja muuttujille on asetettava tdttämään mallinnettavan järjestelmän rajoituksia? 3. Mihin tavoitteeseen (päämäärään) pritään määritettäessä optimiratkaisua muuttujien käpien arvojen joukosta? 0
Vastaus: Yhtiö haluaa määrätä tuotettavan sisä- ja ulkomaalin määrän (tonneina), joka maksimoi kokonaistuoton (tuhansina euroina) tdttäen raaka-aineiden saatavuuden ja tarpeen asettamat rajoitteet. - Muuttujat: Olkoot x = päivittäin tuotettavan ulkomaalin määrä tonneina x = päivittäin tuotettavan sisämaalin määrä tonneina - Tavoitefunktio Merkitään kokonaistuloja (tuhansina euroina) z:lla ja oletetaan sisä- ja ulkomaalin mnti toisistaan riippumattomaksi z 5x x 4 - Rajoitteet Raaka-aineiden saatavuuden ja tarpeen asettamat rajoitukset: molempien maalien kättämän raaka aineen määrä aineen maksimi saatavuus raaka => Tehtävämääritteltaulukosta: 6x 4x 4 (raaka-aine M) x x 6 (raaka-aine M) Ksntärajoitteet: sisämaalin limäärä ulkomaalin suhteen sisämaalin ksntä tonni päivä tonni päivä => x x x Etumerkkirajoitteet (eli ei-negatiivisuus): Maaleja ei voi valmistaa negatiivista määrää => x ja x 0 0
Huom! Lukuparien ( x, x ) arvot muodostavat kävän ratkaisun, mikäli ne tdttävät mallin kaikki rajoitteet. Matemaattinen malli on siis Maksimoi z 5x 4x ehdoin 6x 4x 4 x x 6 x x x x x 0, Huom! Kaikki mallin funktiot (tavoite- ja rajoite-) ovat lineaarisia. Tästä seuraavat ominaisuudet:. SUHTEELLISUUS Jokaisen muuttujan (tässä x ja x ) vaikutus tavoitefunktioon tai sen kättö resurssirajoitteessa on suoraan verrannollinen sen arvoon. Esim. paljousalennukset poistavat suhteellisuusominaisuuden..additiivisuus Tavoitefunktiossa ja rajoitteissa muuttujat ovat vapaita eli eivät vaikuta toistensa arvoihin, joten ne ovat sellaisinaan laskettavissa hteen. Esim. kilpailutilanteessa toisen tuotteen mnnin nousu saattaa laskea kilpailevan tuotteen mntiä, jolloin additiivisuusominaisuus ei ole voimassa.
. LP-MALLIN GRAAFINEN RATKAISU ( LP = linear programming eli lineaarinen optimointi) Soveltuu kahden muuttujan tapauksiin. - Muodostetaan ensin tehtävän käpä alue eli alue, jossa tehtävän kaikki rajoitteet ovat htä aikaa voimassa, piirtämällä x,x -koordinaatistoon rajoite-ehtojen htäsuuruusmerkkiä vastaavat suorat ja määräämällä kummalla puolella suoraa rajoitteen epäsuuruusehto on voimassa. Käpä ratkaisualue merkitt pisteillä. 3
Missä kävän alueen pisteessä tavoitefunktion arvo z 5x 4x saa suurimman mahdollisen arvon z max? Jos kirjoitetaan z-suoran htälö ratkaistuna pstakselin muuttujan suhteen 5 z x x 4 4 nähdään, että z:n arvon muuttuminen ei muuta suoran kulmakerrointa vaan ainoastaan suoran paikkaa ( pstakseli leikkautuu kohdassa z/4 ja vaaka-akseli kohdassa z/5). Piirretään siis tavoitefunktion kuvaaja jollakin z:n arvolla, katsotaan mihin suuntaan suora siirt z:n kasvaessa ja siirretään sitten suoraa suuntansa säilttäen kasvavaan suuntaan niin kauas, että suora leikkaa käpää aluetta enää hdessä pisteessä (tai pitkin kävän alueen jotakin reunajanaa). Tämä piste on optimipiste. (Kuva seuraavalla sivulla.) Rajoitesuorien () ja () leikkauspisteenä optimipisteeksi saadaan htälörhmänä ratkaistuna ( x, x ) (3,.5). Sijoittamalla koordinaatit tavoitefunktioon saadaan z max (tuhansina euroina). Maalitehtaan optimistrategia on siis valmistaa päivittäin 3 tonnia ulkomaalia ja.5 tonnia sisämaalia, jolloin päivittäinen optimaalinen tuotto on 000. 4
Näin ollen lienee selvää, että optimipiste on aina kävän alueen jokin nurkkapiste, joten ratkaisu voidaan etsiä mös ratkaisemalla nurkkapisteiden koordinaatit, sijoittamalla tavoitefunktioon ja katsomalla missä z maksimoituu. Joskus tavoitefunktion kuvaaja on hvin samansuuntainen reunasuoran kanssa ja tällöin on tarkasteltava kulmakertoimia oikean optimipisteen valitsemiseksi. 5
MINIMOINTIPROBLEEMAN RATKAISU Edellinen esimerkki oli maksimointiprobleema. Minimointiprobleema sujuu samojen periaatteiden mukaisesti, paitsi että tavoitefunktion kuvaajaa siirretään z:n pienenevään suuntaan. ESIMERKKI Karjatilan ruokintaprobleema Amerikkalainen karjatila kättää karjan ruokintaan päivittäin vähintään 800 kg tiettä ravintoseosta. Seos koostuu maissista ja soijapavusta, joilla on seuraavan taulukon mukaiset ominaisuudet: kiloa / kilo ainetta proteiinia kuitua hinta ($ / kg) maissi 0.09 0.0 0.30 soijapapu 0.60 0.06 0.90 Seoksen dieettivaatimukset edellttävät vähintään 30% proteiinia ja enintään 5% kuitua. Miten karjatilan tulisi seos muodostaa, jotta päivittäiset kustannukset minimoituisivat? - - - Muodostetaan matemaattinen malli: Valitaan muuttujat: x = maissin määrä (kg) päivittäisessä seoksessa x = soijapavun määrä (kg) päivittäisessä seoksessa Tavoitteena on päivittäisten kustannusten minimointi Minimoi z 0.3x 0. 9x Rajoitteet: määrärajoite x x 800 proteiinirajoite 0.09x 0.6x 0.3( x x ) 0.x 0.3x 0 kuiturajoite.0x 0.06x 0.05( x x ) 0.03x 0.0x 0 0 maissia ja soijapapua ei voida kättää negatiivista määrää x x 0, 6
Siis Mallin graafinen ratkaisu: Minimoi z 0.3x 0. 9x ehdoin x x 800 (.) 0.x 0.3x 0 (.) 0.03x 0.0x 0 (3.) x x 0 (4.)(5.), Käpä ratkaisualue merkitt pisteillä. 7
Optimipiste suorien () ja () leikkauspiste ( x, x ) (470.6, 39.4) ja sijoittamalla koordinaatit tavoitefuktioon saadaan z min 437. 65. Siis päivittäiseen ravintoseokseen tulee 470.6 kg maissia ja 39.4 kg soijapapua ja päivittäiset minimikustannukset ruokinnan osalta ovat $437.65. - - - LIIKKUMAVARA (slack), YLIMÄÄRÄ (surplus) ja RAJOITTAMATTOMAT MUUTTUJAT (unrestricted variables). Liikkumavara - tppisessä rajoitteessa oikean puolen arvo leensä ilmaisee jonkin resurssin maksimisaatavuuden ja vasemman puolen lauseke ilmaisee paljonko eri aktiviteetit ovat resurssia kättäneet. Esim. raaka-ainerajoitteet maalitehdasesimerkissä: M: 6x 4x 4 M: x x 6 Tarkastellaan käpää ratkaisua x, x ) (, ). ( M: 6 + 4 = 0 < 4 (resurssia kättämättä 4 tonnia) M: + = 6 (koko resurssi kätett) Ensinmainitussa rajoitteessa on vielä liikkumavaraa. Jatkossa, varsinkin simplex-algoritmin htedessä, tämän tppiset epähtälörajoitteet kirjoitetaan htälörajoitteiksi ottamalla kättöön ei-negatiivinen liikkumavaramuuttuja (slack variable): M: 6x 4x s 4 M: x x s 6 missä s s 0, Ylimäärä - tppisessä rajoitteessa oikean puolen arvo kertoo jonkin asian minimivaatimuksen ja vasemman puolen lauseke todellisen määrän. Esim. karjatilaesimerkissä ravintoseosta tarvittiin vähintään 800 kg päivässä. x x 800 8
Helläsdäminen karjatilallinen saattaa antaa eläimille enemmän kuin minimivaatimuksen toteuttamalla esimerkiksi jonkin kävän alueen sisäpisteratkaisun. Tällöin siis vasemman puolen lausekkeessa on jonkin verran limääräistä ravinnetta. Kun halutaan kirjoittaa tämän tppinen rajoite-ehto htälörajoitteena, on vasemman puolen lausekkeesta siis mahdollisesti vähennettävä jotakin, jotta lausekkeen arvo olisi htäsuuri kuin oikean puolen minimivaatimus eli kätetään ei-negatiivista limäärämuuttujaa ( surplus variable ) S : x x S 800, missä S 0. Rajoittamattomat muuttujat Tähänastisissa esimerkeissä päätöksentekomuuttujat ovat olleet etumerkkirajoitettuja eli x 0. Näin ei kaikissa tapauksissa tarvitse olla: i ESIM. Sunset Boulevardilla sijaitseva McBurger m neljännesnaulaisia ja juustopurilaisia. ( naula = lb = 0.4536 kg) Neljännesnaulainen kättää 0.5 lb lihaa ja juustopurilainen 0. lb. Yrits aloittaa päivän 00 lb:n lihamäärällä, mutta sitä voidaan tarvittaessa tilata lisää, jolloin limääräisiä toimituskustannuksia tulee 5 centtiä / naula. Päivän päätttä jäljelle jäänt liha lahjoitetaan hväntekeväisteen. Neljännesnaulaiset tuottavat 0 c/kpl ja juustopurilaiset 5 c/kpl. McBurger ei odota mvänsä li 900 annosta päivässä. Kuinka monta kumpaakin lajia kannattaisi valmistaa? x = neljännesnaulaisten määrä päivässä x = juustopurilaisten määrä päivässä Rajoitteet: Jos aamulla saatu lihamäärä riittää, niin 0.5x 0.x 00, muussa tapauksessa 0.5x 0.x 00. Nt ei siis tiedetä, toimitaanko liikkumavaralla vai limäärällä. 9
Kätetään (etumerkki)rajoittamatonta muuttujaa x 3 seuraavasti: 0 3.5x 0.x x 00, jolloin x 3 on liikkumavaramuuttuja, jos x 3 > 0 ja limäärämuuttuja, jos x 3 < 0. Tavoitefunktio: McBurger haluaa maksimoida tuoton ja limääräisten toimituskustannusten välisen erotuksen. Näitä kustannuksia snt vain, jos x 3 < 0. Rajoittamattoman muuttujan kättö on vaivalloista ja koska möhemmin opittava simplex-algoritmi hväks sisäisesti vain ei-negatiiviset muuttujat, korvataan x 3 kahdella toisistaan riippuvalla ei-negatiivisella muuttujalla x 3 x3 x3, missä x 3, x 3 0 siten,että jos x 0, niin x 0 ja x on liikkumavaraa 3 3 3 3 3 3 jos x 0, niin x 0 ja x on limäärää. Nämä uudet muuttujat eivät siis voi olla htä aikaa >0, mutta voivat kumpikin = 0. Saadaan malli maksimoi z 0.0x 0.5x 0. 5x3 0.5x 0.x x3 x3 ehdoin 00 - - - 0
.3 HERKKYYSANALYYSI on mallin optiminjälkeistä tarkastelua, jossa tutkitaan, miten herkästi optimi muuttuu, kun mallin parametreja muutetaan. Esim. maalitehdasesimerkissä voi maalien ksntä muuttua tai raaka-aineiden saatavuus vaihdella. Mös hinnat voivat muuttua ja näin ollen mös tuotot. Herkksanalsin suorittaminen antaa joustoa mallin kättäjälle. Tutustutaan maalitehdasesimerkin avulla muutamaan tpilliseen herkksanalsin ksmksenasetteluun. - - - LP-tehtävän rajoitteet luokitellaan sitoviksi tai ei-sitoviksi. Rajoite on sitova, jos sitä vastaava suora kulkee optimipisteen kautta. Muut rajoitteet ovat ei-sitovia. Maalitehdasesimerkissä optimipiste sijaitsee raaka-aine rajoitteita () ja () vastaavien suorien leikkauspisteessä. Tämä tarkoittaa mös sitä, että optimipisteessä nämä rajoiteehdot ovat voimassa htälöinä, jolloin vastaavat resurssit on kokonaisuudessaan kätett. Sitova rajoite on tiukka (efektiivisesti rajoittava), koska sitä vastaava resurssi tulee kokonaan kätetksi. Ei-sitova rajoite on väljä, koska sitä vastaavaa resurssia jää osa kättämättä. Ongelma : Kuinka paljon tavoitefunktion kertoimet (eli maalien tuotot) voivat muuttua? Tavoitefunktion kertoimien muutokset vaikuttavat vastaavan suoran kulmakertoimeen. => Kaksi tpillistä tilannetta tutkittavana. Kuinka paljon kerroin voi muuttua, jotta optimipiste ei siirr siitä nurkkapisteestä, jossa se sijaitsee?. Kuinka paljon kerroin voi muuttua, ennenkuin tiett rajoite muuttuu tiukasta väljäksi tai päinvastoin? Tarkastellaan tavoitefunktiota z cx cx eli x c z x. c c
Ajatellaan optimipiste C tukipisteeksi, jonka varassa tavoitesuora keikkuu. On helppo havaita, että optimipiste säil pisteessä C niin kauan kuin z-suoran kulmakerroin on rajoitesuorien () ja () kulmakertoimien välissä: 6 4 c c => c c 6 4 ( c 0) Jos z-suoran kulmakerroin = ()-suoran kulmakerroin, niin optimi saavutetaan janan CB jokaisessa pisteessä. Vastaavasti, jos z:n kk. = ():n kk., niin optimi saavutetaan janan CD jokaisessa pisteessä. Kun tuottosuhde siirt m. suljetun välin ulkopuolelle, niin optimipiste siirt joko pisteeseen B (tuottosuhde >.5) tai pisteeseen D (tuottosuhde < 0.5) ja maalien optimaaliset valmistusmäärät muuttuvat.
c :n ja c :n vaihtelurajat, kun kertoimissa ksittäinen muutos: z cx 4x (eli sisämaalin tuotto ps entisenä, ulkomaalin muuttuu) => x c z x 4 => 4 6 c => 6 4 4 c z 5x c x (eli ulkomaalin tuotto ps entisenä, sisämaalin muuttuu) Nt c c 6 4 eli 4 6 c c eli 4 c 0 => c 0 6 5 3 Yllälasketut kertoimen ksittäisen muutoksen vaihtelurajat siis säilttävät optimipisteen nkisenä. Tavoitefunktion kertoimien samanaikaiset muutokset: Maalitehdas: z 5x 4x cx cx (leisesti) Optimipiste säili pisteenä C, kun c c 6. 4 Ilmaistaan samanaikaiset kerroinmuutokset muutoksina nkisiin arvoihin: z ( 5 d x, missä d i ( i,) voi olla > 0 tai < 0 tai = 0. ) x (4 d ) Tällöin epähtälöketjun oikeasta puolesta saadaan: 5 d 4 d 6 4 => 0 4d 4 6d (olettaen, että 4 d 0 ) => 4d 6d 0 4 Vasemmasta puolesta: 5 d 4 d => d d 0 6 3
Kun siis tavoitefunktion z 5x 4x kertoimissa tapahtuu samanaikaiset muutokset d ja d, niin optimipiste säil entisenä, mikäli 4 4d 6d 0 ja d d 0 6 Ongelma : Miten optimi muuttuu, jos resurssirajoitteet muuttuvat? Eritisesti a) miten paljon resurssia voidaan lisätä, kun tarkoituksena on kasvattaa tavoitefunktion arvoa? tai b) miten paljon resurssia voidaan vähentää siten, että optimiarvo ei muuttuisi? Nt ollaan siis kiinnostuneita siitä, mitä tiukkojen rajoitteiden resursseja voidaan lisätä tuloksen parantamiseksi ja mitä väljien rajoitteiden resursseja voidaan vähentää tulosta heikentämättä. Tuntunee selvältä, että väljän rajoitteen lisäämiseen ei ole tarvetta, koska resurssia nktilanteessakin jää kättämättä. Toisaalta voidaan osoittaa, että tiukan rajoitteen vähentäminen ei voi parantaa tavoitefunktion arvoa. Tarkastellaan maalitehdasesimerkin raaka-aine rajoitetta (): x x 6 (raaka-aine M) Tämän rajoitteen suora kulkee optimipisteen C = (3,.5) kautta, joten rajoite on tiukka ja resurssi siis kokonaan kätett. Jos raaka-aineen M päivittäistä saatavuutta voitaisiin kasvattaa arvosta 6, niin lisäs ei vaikuta kulmakertoimeen vaan ko. suora siirtisi suuntansa säilttäen lämäkeen (kts. seuraava kuva). Optimipiste on kuitenkin edelleen suorien () ja () leikkauspiste, joka nt kulkeutuu kohti pistettä K. Kun piste K saavutetaan, niin rajoite (4) muuttuu väljästä tiukaksi ja alkaa rajoittamaan efektiivisesti. Pisteessä K M-rajoite tulee redundantiksi, koska jos resurssia M kasvatetaan tästä, niin käpä ratkaisualue ei enää laajene. M:n saatavuutta lisäämällä voidaan käpää aluetta laajentaa vain kolmion CKD verran. 4
Piste C = (3,.5), jossa z = (tuhansia euroja) Piste K = (, ), jossa z = 3 3 Piste K määrää materiaalin M maksimimäärän, joten saadaan x x 4 6 tonnia 3 3 => Tätä suuremmat määrät eivät vaikuta enää optimia nostavasti. Vastaavasti kasvattamalla raaka-aineen M maksimisaatavuutta, rajoitesuora () siirt suuntansa säilttäen oikealle ja samalla optimipiste kulkee ()-suoraa pitkin kohti vaaka-akselilla sijaitsevaa pistettä J. 5
Piste C = (3,.5), jossa z = (tuhansia euroja) Piste J = (6, 0), jossa z = 30 6 x 4x 4 (raaka-aine M kokonaan kätett pisteessä C) Pisteessä J 6 6 + 4 0 = 36 eli raaka-aineen M maksisaatavuutta voidaan nostaa 4 tonnista 36 tonniin optimiarvoa parantaen. Pisteessä J rajoite () tulee redundantiksi, eikä resurssin kasvattaminen enää paranna kokonaistuottoa. Väljien rajoitteiden resursseja voidaan vähentää optimiarvoa muuttamatta, kunnes resurssia vastaava suora kulkee optimipisteen kautta: - rajoite (4) voidaan vähentää arvosta arvoon.5 - rajoite (3) voidaan vähentää arvosta arvoon -.5 6
Ongelma 3: Tiukkojen resurssien optimaalisessa kätössä tät tutkia mihin resurssitppiin kannattaa sijoittaa, jotta höt kasvaisi eniten. LP-analsissä saadaan resurssin ksikköarvo i kullekin resurssitpille i laskettua jakamalla z:n muutos sen aiheuttaneella resurssin i muutoksella eli i z res i Esim. M: M: z : n muutos C J M: n muutos C J 9 z : n muutos C K M : n muutos C K 3 3 3 4 Kummankin ksikkönä on tässä esimerkissä tuhatta euroa. lisätonni ainetta Väljän rajoitteen resurssimuutos ei muuta z:aa, joten 3 = 0 ja 4 = 0. Nähdään, että resurssin () eli raaka-aineen M tulisi saada etusija mahdollista lisärahoitusta jaettaessa. Resurssin ksikköarvolle kätetään mös nimitksiä duaalihinta (leisin termi) ja varjohinta (historiallinen). Nimen duaalihinta merkits selkenee möhemmin. 7
.4 ESIMERKKI USEAN MUUTTUJAN LP-PROBLEEMASTA (Oppikirjassa lisää esimerkkejä pkälässä.4) Pankin lainaohjelma: Eräs pankki on muotoilemassa seuraavan vuosineljänneksen lainaohjelmaansa. Tarkoitukseen on osoitettu miljoonaa euroa. Seuraava taulukko esittää eri lainatpit, niiden korkoprosentit sekä kokemuksen perusteella arvioidun hoitamattomien velkojen osuuden. Lainatppi henkilökohtainen auto asunto maatila teollisuus Lainakorko (%) Hoitamattoman velan todennäköiss 4 0.0 3 0.07 0.03.5 0.05 0 0.0 Hoitamattomat velat oletetaan täsin menetetiksi sekä pääoman että korkojen osalta. Kilpailu alueen muiden pankkien kanssa vaatii, että pankki varaa vähintään 40% kokonaissummasta maatila- ja teollisuuslainoihin. Alueen rakennusteollisuuden auttamiseksi asuntolainojen osuuden on oltava vähintään 50% henkilökohtaisten, auto- ja asuntolainojenhteissummasta. Pankki edellttää ohjelmassa mös, että hoitamattomien velkojen osuus kaikista lainoista hteensä ei saa littää 4%. Laadi matemaattinen malli. - - - Mallin muuttujat voidaan valita seuraavasti: x = henkilökohtaiset lainat ( miljoonaa euroa) x = autolainat x 3 = asuntolainat x 4 = maatilalainat x 5 = teollisuuslainat Pankin tavoitteena on maksimoida nettotulonsa, jotka muodostuvat korkotulojen ja hoitamattomien velkojen vuoksi menetettjen varojen erotuksena. 8
Tavoitefunktio: maksimoi z = 0.4 0.9x + 0.3 0.93x + 0. 0.97x 3 + 0.5 0.95x 4 + 0. 0.98x 5-0.x - 0.07x - 0.03x 3-0.05x 4-0.0x 5 = 0.06x + 0.0509x + 0.0864x 3 + 0.06875x 4 + 0.078x 5 Rajoitteet:. Kokonaislainapääoma x x x3 x4 x5. Maatalous- ja teollisuuslainat x4 x5 0.4 ( x x x3 x4 x5) => 0.4x 0.4x 0.4x3 0.6x4 0.6x5 0 3. Asuntolainat x 3 0 x3.5( x x ) eli x x x 0 4. Hoitamattomien velkojen osuus 0.x eli 0.07x 0.03x3 0.05x x x x x x 3 4 3 5 0.0x 4 5 0.06x 0.03x 0.0x3 0.0x4 0.0x5 5. Ei-negatiivisuus x i 0 ( i,...,5) 0.04 0 9
3. SIMPLEX-MENETELMÄ 3. Jos LP-probleemassa on useampia kuin kaksi muuttujaa, graafinen ratkaisu ei sovi. Algebrallisella Simplex-menetelmällä voidaan ratkaista mikä tahansa LP-malli. LP-probleeman optimiratkaisu liitt aina kävän ratkaisualueen johonkin nurkkapisteeseen. Kun ratkaisualue on kahden muuttujan tapauksessa useimmiten monikulmio, on se n:n muuttujan tapauksessa n-ulotteisen avaruuden jokin monisärmiö. Simplexiä varten muunnetaan LP-malli standardimuotoon eli epähtälörajoitteet htälörajoitteiksi kättämällä liikkumavara-, limäärä- ja rajoittamattomia muuttujia. Standardimuotoisen htälörhmän ns. kantaratkaisut määrittelevät täsin ratkaisualueen nurkkapisteet ja simplex-algoritmi lötää helposti kantaratkaisujen joukosta optimiratkaisun. 3.. STANDARDIMUOTO JA SEN KANTARATKAISUT Standardimuotoinen LP-malli:. Kaikki rajoitteet (paitsi muuttujien ei-negatiivisuusehdot) ovat htälöitä, joilla on einegatiivinen oikean puolen vakioarvo.. Kaikki muuttujat ovat ei-negatiivisia. 3. Tavoitefunktion optimointi voi olla maksimointia tai minimointia. - - -. Epähtälöt htälöiksi Rajoitetppi : Esim. x x 3 3x x s 3 3 Tässä kätett liikkumavaramuuttujalle smbolia s ( slack ), mutta voidaan kättää mös indeksointijärjestksessä seuraavaa x:ää tai jos halutaan korostaa liikkumavaraa kätetään smbolina esim. sx 3 eli x x 3 3x x sx 3, missä x x, sx 0 3 3, 3 30
Esim. x x 3 (-) Negatiivinen oikeanpuolen arvo muutettava positiiviseksi kertomalla -:llä, jolloin epäsuuruusmerkin suunta on vaihdettava: x x 3 x x s 3, missä x x, s 0 Rajoitetppi :, Esim.3 x x 3 3x x S 3, missä mös limäärämuuttuja S 0 3. Rajoittamattomat muuttujat ei-negatiivisiksi muuttujiksi Esim. Merkitään x on rajoittamaton j j j x x x, missä x, 0 j j jos x 0, niin x 0 j jos x 0, niin x 0. j j j x j 3. Maksimoinnin muuntaminen minimoinniksi ( tai päinvastoin) max f ( x, x,..., xn ) min f ( x, x,..., x n siinä mielessä, että molemmilla on sama optimipiste. Toisin sanoen max f ( x, x,..., xn ) min ( f ( x, x,..., x n ) )) 3
Esimerkki Muunna standardimuotoon LP-malli max z x 3x 5x3 ehdoin x x x3 5 (.) 6x 7x 9x3 4 (.) x x 4x 3 0 (3.) x, x 0 x rajoittamaton 3 - - - Rajoitteet: (.) x x x3 5 x x x3 s 5 (.) 6x 7x 9x3 4 6x 7x 9x3 s 4 (3.) sellaisenaan Muuttujat ei-negatiivisiksi: x 3 rajoittamaton x 3 x3 x3 Standardimuodossa siis: max z x 3x 5x3 5x3 x x x3 x3 s 5 6 x 7 x 9 x 3 9 x 3 s x x 4x3 4x3 x, x, x3, x3, s, s 0 ehdoin (.) 4 0 (.) (3.) 3
3.. KANTARATKAISUJEN MÄÄRÄÄMINEN Standardimuotoisessa LP-mallissa olkoon htälörhmä, jossa on m htälöä ja n muuttujaa (m < n). Jaetaan n muuttujaa kahteen joukkoon: () n-m muuttujaa, jotka asetetaan nolliksi () loput m muuttujaa, joiden arvo saadaan ratkaisemalla m:n htälön rhmä. Jos nämä m htälöä tuottavat -käsitteisen ratkaisun, on kseessä kantaratkaisu ja kätett m muuttujaa ovat kantamuuttujat ja loput n-m muuttujaa ovat eikantamuuttujat. Jos kaikilla kantamuuttujilla on ei-negatiivinen arvo, kseessä on käpä ratkaisu, muutoin ei-käpä ratkaisu. Mahdollisia kantaratkaisuja on n m n! m!( n m)! kappaletta. Esimerkki Yhtälörhmä, jossa m = ja n = 5. x 4x x x 4x 3 x x 3 x 4 4 3x 6x 5 5 8 4 5 5! Kantaratkaisuja on korkeintaan 0!3! Tarkastellaan muutamaa mahdollista tapausta: kpl. a) Valitaan ei-kantamuuttujat x x4 x5 0. Jäljelle jää kantamuuttujien htälörhmä x 4x 4x x 3 3 8 4 jolla on -käsitteinen ratkaisu x 0, x3. Koska molemmat ovat 0, niin x, x, x, x, x ) (0, 0,, 0, 0) on käpä ratkaisu. ( 3 4 5 33
b) Ei-kantamuuttujat: x x x 0 => x x 4x x 8 4 3 4 5 -käsitteinen kantaratkaisu: x 6, x 4. => ei-käpä kantaratkaisu, koska 0 c) Nollamuuttujat x, x ja x 5 : 4x x 3 3 x x 4 4 8 4 => x4 4 x3 eli ääretön määrä ratkaisuja => ei -käsitteinen eli ei kantaratkaisua d) Nollamuuttujat x, x 3 ja x 4: x x 3x 6x 5 5 8 4 0 = - => ei ratkaisua 3..3 RAJOITTAMATTOMAT MUUTTUJAT JA KANTARATKAISUT Rajoittamaton muuttuja j j x x x, siten, että x, 0, missä j j x j j x 0 => x 0 j x 0 => x 0 j j Lisäksi x j :n ja x j :n kertoimet toistensa vastalukuja, joten ko. muuttujat eivät ole toisistaan riippumattomia. => Jokaisessa kantaratkaisussa vähintään jommankumman em. muuttujista on oltava ei-kantamuuttuja ( eli = 0). 34
3.3 SIMPLEX-ALGORITMI (Taulukkomuotoinen) kännist kävästä kantaratkaisusta ja prkii sitten lötämään toisen kävän kantaratkaisun, joka parantaa tavoitefunktiota. Tämä on mahdollista vain, jos kasvu nkisessä nollamuuttujassa eli eikantamuuttujassa voi johtaa tavoitefunktion paranemiseen. => saapuva muuttuja Koska kantaratkaisussa pitää olla täsmälleen m kpl kantamuuttujia, on jonkun nkisistä kantamuuttujista tultava ei-kantamuuttujaksi. => lähtevä muuttuja Kädään seuraavassa läpi simplex-algoritmin periaatteet kättämällä esimerkkinä tuttua maalitehtaan tuotevalintaongelmaa. Seuraa graafisen ratkaisun kuvasta, miten algoritmi etenee aloitusratkaisusta optimiratkaisuun. Muutetaan malli ensin standardimuotoon ja tavoitefunktiokin muotoon, jossa kaikki muuttujat ovat htäläissmerkin vasemmalla puolella ja oikealla puolella vain vakioarvo: Maksimoi z 5x 4x eli z 5x 4x 0 ehdoin 6x 4x s 4 x x s 6 x x s3 x s4 x x, s, s, s, s 0 Yhtälöitä 4 kpl => m = 4, 3 4 Siis 4 kantamuuttujaa ja ei-kantamuuttujaa ( nollamuuttujaa). Eräs kantaratkaisu nähdään helposti asettamalla ei-kantamuuttujiksi x x 0 => s, s, s, s ) (4, 6,, ) ja graafisessa ratkaisussa ollaan tällöin origossa. ( 3 4 35
Esitetään malli seuraavana taulukkona: Kanta z x x s s s 3 s 4 Ratkaisu z -5-4 0 0 0 0 0 s 0 6 4 0 0 0 4 s 0 0 0 0 6 s 3 0-0 0 0 s 4 0 0 0 0 0 Taulukon rivejä kutsutaan kantasarakkeen muuttujan mukaan: z-rivi, s -rivi jne. 36
z-rivillä ratkaisusarakkeessa oleva 0 on z:n arvo tällä hetkellä, ollaanhan origossa eli kumpaakaan maalitppiä ei valmisteta htään, joten tuottokin on nolla. Tämän hetkinen ratkaisu ei ole optimaalinen, jos jokin nkisten ei-kantamuuttujien kertoimista z-rivillä on negatiivinen ( maksimointitehtävä). => ei olla vielä optimissa Ratkaisun parantaminen: Valitaan saapuvaksi muuttujaksi se ei-kantamuuttuja, jonka kerroin z-rivillä on negatiivisin. => x on saapuva muuttuja Mikä saapuvalle muuttujalle arvoksi seuraavassa kantaratkaisussa? Tämä lasketaan jakamalla kantamuuttujariveillä ratkaisusarakkeen alkiot vastaavalla saapuvan muuttujan sarakkeen alkiolla. Tässä htedessä ei jaeta negatiivisella alkiolla eikä nollalla. Pienin ei-negatiivinen suhde on saapuvan muuttujan arvo: Kantamuuttuja x Ratkaisu Suhde s s s 3 s 4 6-0 4 6 4/6 = 4 <= pienin ei-negat. 6/ = 6 hlätään hlätään => x = 4 ( Huomaa graafisessa ratkaisussa x -akselin pisteet 4 ja 6. Näistä vain pienin suhde on kävällä ratkaisualueella.) Mikä on lähtevä muuttuja? Koska pienin ei-negatiivinen suhde oli s -rivillä => s on lähtevä muuttuja Uuden kantaratkaisun laskeminen tapahtuu Gauss-Jordanin rivioperaatioilla (vertaa Insinöörimatematiikka ). 37