6. Luennon sisältö. Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa

Transkriptio

1 JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 6. Luennon sisältö Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa työkalu ratkaisun analysointiin Jälki- ja herkkyysanalyysiä mitä tapahtuu optimiratkaisulle, jos tehtävän vakiot hieman muuttuvat (objf:n kertoimet, oikean puolen vakiot, ) miten optimiratkaisu käyttäytyy, jos tehtävän vakiot muuttuvat jonkin parametrin mukaan kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi

2 Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa Lineaarista optimointitehtävää, primaalitehtävää, vastaa toinen lineaarinen optimointitehtävä, duaalitehtävä Primaalitehtävän ja duaalitehtävän objektifunktioiden optimaaliset arvot ovat samat Primaalitehtävän ja duaalitehtävän optimiratkaisut liittyvät toisiinsa komplementaarisuusehtojen välityksellä = Primaalitehtävä voidaan ratkaista duaalitehtävän avulla 1

3 Primaalitehtävä: Duaalitehtävä: min kun max kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j b i x j 0 j = 1,..., n m i=1 m i=1 b i u i u i 0 a ij u i c j i = 1,..., m i = 1,..., m j = 1,..., n 2

4 Matriisimuodossa: Primaalitehtävä: min c T x kun Ax b x 0 Duaalitehtävä: max u T b kun u T A c T u 0 3

5 Huomaa, että: max u T b max b T u kun u T A c T kun A T u c u 0 u 0 4

6 Huomaa, että: max c T x min ( c) T x kun Ax b kun ( A)x ( b) x 0 x 0 min u T b max u T ( b) kun u T A c T kun u T ( A) ( c) T u 0 u 0 5

7 Yleisemmin: Primaalitehtävä: min kun n j=1 n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i a ij x j b i i = 1,..., p i = p + 1,..., m x j R j = 1,..., q (rajoittamattomia) x j 0 j = q + 1,..., n 6

8 = Duaalitehtävä: max kun m i=1 m i=1 m i=1 b i u i a ij u i = c j a ij u i c j j = 1,..., q j = q + 1,..., n u i R i = 1,..., p (rajoittamattomia) u i 0 i = p + 1,..., m 7

9 Tuloksia matriisimuodossa Tuloksia yhtälörajoitteiselle tehtävälle: Lause (s. 27) Lause (s. 28) Tuloksia epäyhtälörajoitteiselle tehtävälle: Seuraukset 1 ja 2 (s. 28) Lause (s. 28) 8

10 Yhtälörajoitteet: n j=1 a ij x j = b i i = 1,..., m Perusmuoto: x j = b j k/ B ā jk x k j B Vastaava perusratkaisu: x j = b j x j = 0 j B j / B 9

11 Yhtälörajoitteet matriisimuodossa: Ax = b Olkoon A = [B, N], missä B sisältää joukkoa B vastaavat sarakkeet ja N muut sarakkeet Olkoot x = [x B,x N ] ja c = [c B,c N ] vastaavasti = Ax = b Bx B + Nx N = b x B = B 1 b B 1 Nx N 10

12 = Perusmuoto: x B = B 1 b B 1 Nx N Vastaava perusratkaisu: x B = B 1 b x N = 0 Olkoon B 1 b 0, jolloin perusratkaisu on sallittu 11

13 Tarkastellaan tehtävää min c T x kun Ax = b x 0 12

14 Sijoitetaan perusmuoto objektifunktioon: c T x = c T B x B + c T N x N = c T B (B 1 b B 1 Nx N ) + c T N x N = c T B B 1 b + (c T N ct B B 1 N)x N Jos c T N ct B B 1 N 0 T, niin objektifunktio saavuttaa miniminsä, kun x N = 0 Jos [c T N ct B B 1 N] j < 0 jollain j, niin objektifunktion arvo on rajoittamaton 13

15 = Lause : Perusratkaisu x B = B 1 b, x N = 0 on optimiratkaisu c T N ct B B 1 N 0 T 14

16 Tarkastellaan primaalitehtävää min c T x kun Ax = b x 0 ja sen duaalitehtävää max u T b kun u T A c T u R m (rajoittamaton) 15

17 Olkoon x primaalin sallittu ratkaisu ja u duaalin sallittu ratkaisu = u T b = u T Ax c T x = duaalin objektifunktion arvo primaalin objektifunktion arvo = jos u T b = c T x, niin x on primaalin optimiratkaisu ja u on duaalin optimiratkaisu 16

18 Olkoon x B = B 1 b, x N = 0 primaalin optimiratkaisu = c T N ct B B 1 N 0 T c T B B 1 N c T N Olkoon u T = c T B B 1 = u T A = c T B B 1 A = [c T B B 1 B,c T B B 1 N] [c T B,cT N ] = ct = u on duaalin sallittu ratkaisu Toisaalta = u T b = c T B B 1 b = c T B x B = c T B x B + c T N x N = c T x = u T = c T B B 1 on duaalin optimiratkaisu ja u T b = c T x 17

19 = Lause : Olkoot x ja u primaalin ja duaalin sallittuja ratkaisuja Silloin x ja u ovat optimiratkaisuja u T b = c T x 18

20 Tarkastellaan primaalitehtävää min c T x kun Ax b x 0 ja sen duaalitehtävää max u T b kun u T A c T u 0 19

21 Lisätään primaalitehtävään ylijäämämuuttujat: Ax b Ax Iz = b x 0 x,z 0 Määritellään ˆx = [x,z],  = [A, I] ja ĉ = [c,0] Primaalitehtävä = min ĉ Tˆx kun ˆx = b ˆx 0 20

22 Duaalitehtävän rajoitteet: u T A c T u T A c T u T Â ĉ T u 0 u T ( I) 0 T Duaalitehtävä = max u T b kun u T Â ĉ T u R m (rajoittamaton) = Edelliset tulokset ovat voimassa sellaisenaan 21

23 = Seuraukset 1 ja 2 : Olkoot x ja u primaalin ja duaalin sallittuja ratkaisuja Silloin x ja u ovat optimiratkaisuja u T b = c T x 22

24 Olkoon x primaalin sallittu ratkaisu ja u duaalin sallittu ratkaisu = x 0 ja Ax b 0 ja u T 0 T ja c T u T A 0 T = c T x u T Ax u T b Jos x primaalin optimiratkaisu ja u duaalin optimiratkaisu = c T x = u T Ax = u T b 23

25 Siten c T x = u T Ax = u T b (c T u T A)x = 0 u T (Ax b) = 0 (c j [u T A] j )x j = 0 j = 1,..., n u i ([Ax] i b i ) = 0 i = 1,..., m eli komplementaarisuusehdot 24

26 = Lause : Olkoot x ja u primaalin ja duaalin sallittuja ratkaisuja Silloin x ja u ovat optimiratkaisuja x ja u toteuttavat komplementaarisuusehdot 25