Jälki- ja herkkyysanalyysi. Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun
|
|
|
- Aurora Hänninen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Jälki- ja herkkyysanalyysi Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun 1
2 Hinnat ja varjohinnat Objektifunktio c T x = Kerroin c j ilmoittaa, paljonko muuttujan x j muutos maksaa = Kertoimia c sanotaan hinnoiksi Optimissa c T x = u T b = Duaalimuuttuja u i ilmoittaa, paljonko vakion b i muutos maksaa = Duaalimuuttujia u sanotaan varjohinnoiksi 2
3 Esimerkki Maksimointitehtävä ja epäyhtälörajoitteet: max 4x 1 + 5x 2 + 9x x 4 kun x 1 + x 2 + x 3 + x x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x x 1 + 5x x x x 1, x 2, x 3, x 4 0 3
4 Muunnetaan maksimointi minimoinniksi ja epäyhtälörajoitteet yhtälörajoitteiksi: min 4x 1 5x 2 9x 3 11x 4 kun x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + s 1 = 15 7x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 + s 2 = 120 3x 1 + 5x x x 4 + s 3 = 100 x 1, x 2, x 3, x 4, s 1, s 2, s 3 0 Nyt tehtävä on aloitusperusmuodossa, perusmuuttujina puutemuuttujat s 1, s 2 ja s 3 4
5 Aloitusperusmuodon simplex-taulukko: x 1 x 2 x 3 x 4 s 1 s 2 s
6 Optimaalinen simplex-taulukko: x 1 x 2 x 3 x 4 s 1 s 2 s 3 0 3/7 0 11/7 13/7 0 5/7 695/7 1 5/7 0 5/7 10/7 0 1/7 50/7 0 6/7 0 13/7 61/7 1 4/7 325/7 0 2/7 1 12/7 3/7 0 1/7 55/7 Ratkaisu:(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (50/7,0,55/7,0) ja (s 1, s 2, s 3 ) = (0,325/7,0) Minimointitehtävän objektifunktion arvo: 695/7 = alkuperäisen maksimointitehtävän objektifunktion arvo: 695/7 6
7 Muutos objektifunktion kertoimissa Muutos ei-perusmuuttujan kertoimessa: max 4x 1 + (5 + δ)x 2 + 9x x 4 kun x 1 + x 2 + x 3 + x x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x x 1 + 5x x x x 1, x 2, x 3, x 4 0 7
8 = Optimaalinen simplex-taulukko muuttuu muotoon: x 1 x 2 x 3 x 4 s 1 s 2 s δ 0 11/7 13/7 0 5/7 695/7 1 5/7 0 5/7 10/7 0 1/7 50/7 0 6/7 0 13/7 61/7 1 4/7 325/7 0 2/7 1 12/7 3/7 0 1/7 55/7 = Ratkaisu pysyy optimaalisena, jos 3/7 δ 0 δ 3/7 8
9 Muutos perusmuuttujan kertoimessa: max (4 + δ)x 1 + 5x 2 + 9x x 4 kun x 1 + x 2 + x 3 + x x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x x 1 + 5x x x x 1, x 2, x 3, x 4 0 9
10 = Optimaalinen simplex-taulukko muuttuu muotoon: x 1 x 2 x 3 x 4 s 1 s 2 s 3 δ 3/7 0 11/7 13/7 0 5/7 695/7 1 5/7 0 5/7 10/7 0 1/7 50/7 0 6/7 0 13/7 61/7 1 4/7 325/7 0 2/7 1 12/7 3/7 0 1/7 55/7 Taulukko ei ole kuitenkaan perusmuodossa 10
11 Muunnetaan perusmuotoon: = δ 3/7 0 11/7 13/7 0 5/7 695/7 1 5/7 0 5/7 10/7 0 1/7 50/7 0 6/7 0 13/7 61/7 1 4/7 325/7 0 2/7 1 12/7 3/7 0 1/7 55/ δ δ δ δ δ 1 5/7 0 5/7 10/7 0 1/7 50/7 0 6/7 0 13/7 61/7 1 4/7 325/7 0 2/7 1 12/7 3/7 0 1/7 55/7 11
12 = Ratkaisu pysyy optimaalisena, jos δ δ δ δ δ 0 12
13 Muutos oikean puolen vakioissa Muutos rajoitteen oikean puolen vakiossa = Vaikutus optimaaliseen simplex-taulukkoon näkyy siitä sarakkeesta, josta löytyy kyseisen rajoiterivin perusmuuttuja aloitusperusmuodossa b 1 + δ b b 3 =... c j... z + c j δ... ā 1j... b 1 + ā 1j δ... ā 2j... b 2 + ā 2j δ... ā 3j... b 3 + ā 3j δ 13
14 Esimerkki: max 4x 1 + 5x 2 + 9x x 4 kun x 1 + x 2 + x 3 + x x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x δ 3x 1 + 5x x x x 1, x 2, x 3, x
15 = Aloitusperusmuodon simplex-taulukko: δ = Optimaalinen simplex-taulukko: 0 3/7 0 11/7 13/7 0 5/7 695/7 1 5/7 0 5/7 10/7 0 1/7 50/7 0 6/7 0 13/7 61/7 1 4/ δ 0 2/7 1 12/7 3/7 0 1/7 55/7 15
16 = Ratkaisu pysyy sallittuna, jos 325/7 + δ 0 δ 325/7 16
17 Esimerkki: max 4x 1 + 5x 2 + 9x x 4 kun x 1 + x 2 + x 3 + x δ 7x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x x 1 + 5x x x x 1, x 2, x 3, x
18 = Aloitusperusmuodon simplex-taulukko: δ = Optimaalinen simplex-taulukko: 0 3/7 0 11/7 13/7 0 5/7 1 5/7 0 5/7 10/7 0 1/7 0 6/7 0 13/7 61/7 1 4/7 0 2/7 1 12/7 3/7 0 1/ δ δ δ δ 18
19 = Ratkaisu pysyy sallittuna, jos δ δ 0 5 δ δ 0 19
20 Duaalitehtävän ratkaiseminen Primaalin simplex-taulukko: c 1... c n z a a 1n b 1... a m1... a mn b m Duaalin simplex-taulukko: b 1... b m z a a m1 c 1... a 1n... a mn c n Duaaliteoria = Kun primaalin perusratkaisu saavuttaa optimaalisuuden, niin duaalitehtävän perusratkaisu saavuttaa samalla sallittavuuden 20
21 Primaalitehtävä: max c T x min ( c) T x kun Ax b kun Ax + Is = b x 0 x,s 0 Duaalitehtävä: min u T b max u T ( b) kun u T A c T kun u T A r T I = c T u 0 u,r 0 Duaaliteoria = Optimissa on: c T x + 0 T s = z + r T x + u T s 21
22 = Optimaalisessa simplex-taulukossa on: x 1... x n s 1... s m r 1... r n u 1... u m z Primaalin varsinaisten muuttujien suhteelliset hintakertoimet = duaalin ylijäämämuuttujien arvot optimissa Primaalin puutemuuttujien suhteelliset hintakertoimet = duaalimuuttujien arvot optimissa 22
23 Esimerkkitehtävän duaalitehtävä: min 15u u u 3 kun u 1 + 7u 2 + 3u 3 4 u 1 + 5u 2 + 5u 3 5 u 1 + 3u u 3 9 u 1 + 2u u 3 11 u 1, u 2, u
24 Primaalin optimaalinen simplex-taulukko: x 1 x 2 x 3 x 4 s 1 s 2 s 3 0 3/7 0 11/7 13/7 0 5/7 695/7 1 5/7 0 5/7 10/7 0 1/7 50/7 0 6/7 0 13/7 61/7 1 4/7 325/7 0 2/7 1 12/7 3/7 0 1/7 55/7 Duaalitehtävän ratkaisu: (u 1, u 2, u 3 ) = (13/7,0,5/7) Duaalin objektifunktion arvo optimissa: 695/7 Duaalin ylijäämämuuttujien arvot optimissa: (r 1, r 2, r 3, r 4 ) = (0,3/7,0,11/7) 24
25 Uuden muuttujan lisääminen Primaalin simplex-taulukko: c 1... c n c n+1 z a a 1n a 1,n+1 b a m1... a mn a m,n+1 b m Duaalin simplex-taulukko: b 1... b m z a a m1 c 1... a 1n... a mn c n a 1,n+1... a m,n+1 c n+1 Uusi muuttuja Uusi rajoite primaaliin duaaliin 25
26 Esimerkki: max 4x 1 + 5x 2 + 9x x 4 + c 5 x 5 kun x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 + 4x x 1 + 5x x x 4 + 8x x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Uusi duaalirajoite: u 1 + 4u 2 + 8u 3 c 5 26
27 Duaalirajoite on voimassa optimissa, jos c 5 c = Jos c 5 53/7, ratkaisu säilyy optimaalisena Jos c 5 > 53/7, ratkaisu ei ole enää optimaalinen 27
28 Muutos rajoitteen ei-perusmuuttujan kertoimissa Esimerkki: max 4x 1 + 5x 2 + 9x x 4 kun x 1 + x 2 + x 3 + x x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x x 1 + 5x x 3 + (15 + δ)x x 1, x 2, x 3, x 4 0 Vastaava duaalirajoite: u 1 + 2u 2 + (15 + δ)u
29 Duaalirajoite on voimassa optimissa, jos (15 + δ) δ 11 5 = Jos δ 11/5, ratkaisu säilyy optimaalisena Jos δ < 11/5, ratkaisu ei ole enää optimaalinen [ Muutos rajoitteen perusmuuttujan kertoimissa on hankalampi tutkia ] 29
30 Uuden rajoitteen lisääminen Esimerkki: max 4x 1 + 5x 2 + 9x x 4 kun x 1 + x 2 + x 3 + x x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x x 1 + 5x x x a 41 x 1 + a 42 x 2 + a 43 x 3 + a 44 x 4 b 4 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Uusi rajoite on voimassa optimissa, eli ratkaisu säilyy optimaalisena, jos a a a a 44 0 b 4 30
31 Parametrinen optimointi Parametrisoidaan tehtävän kertoimia ja/tai vakioita, ja ratkaistaan tehtävä parametrisoidussa muodossa 31
32 Esimerkki Regular Super Luxus Resurssit Puutyöpv Metallityöpv Tuotto max 6x x x 3 kun 0.5x 1 + 2x 2 + x 3 24 x 1 + 2x 2 + 4x 3 60 x 1, x 2, x
33 Muutetaan maksimointi minimoinniksi, lisätään puutemuuttujat, ja parametrisoidaan oikean puolen vakiot: min 6x 1 14x 2 13x 3 kun 0.5x 1 + 2x 2 + x 3 + s 1 = 24 + t x 1 + 2x 2 + 4x 3 + s 2 = 60 t x 1, x 2, x 3, s 1, s
34 Aloitusperusmuodon simplex-taulukko: x 1 x 2 x 3 s 1 s / t t Tehdään simplex-iteraatiot, kun t = 0, mutta pidetään t mukana kaikissa muunnoksissa 34
35 Optimaalinen simplex-taulukko (kun t = 0): x 1 x 2 x 3 s 1 s / t t / t Ratkaisu pysyy sallittuna, jos t t t 4 35
36 Jos t < 36/5, täytyy x 1 poistaa perusmuuttujien joukosta Jos t > 4, täytyy x 3 poistaa perusmuuttujien joukosta Uusi perusmuuttuja valitaan siten, että ratkaisu säilyy optimaalisena = Tarvitaan duaali-simplex-iteraatio 36
37 Duaali-simplex-algoritmi Duaalitehtävän simplex-algoritmin mukaiset iteraatiot, jotka kuitenkin toteutetaan primaalitehtävän simplex-taulukossa Primaalin simplex-taulukko: c 1... c n z a a 1n b 1... a m1... a mn b m Duaalin simplex-taulukko: b 1... b m z a a m1 c 1... a 1n... a mn c n 37
38 Primaali-simplex ( tavallinen simplex): Pivot-rivi p valitaan siten, että missä q on pivot-sarake b p = min a pq j { bj a jq a jq > 0 } Perusratkaisut ovat sallittuja, mutta eivät välttämättä optimaalisia 38
39 Duaali-simplex: Pivot-sarake p valitaan siten, että missä q on pivot-rivi c p = min a qp j { cj a qj a qj < 0 } Perusratkaisut ovat optimaalisia, mutta eivät välttämättä sallittuja 39
40 Esimerkki jatkuu Optimaalinen simplex-taulukko (kun t = 0): x 1 x 2 x 3 s 1 s / t t / t Ratkaisu pysyy sallittuna, jos 36/5 t 4 40
41 Jos t < 36/5, niin t < 0 = / t t / t = 1/ t t 1/ t Ratkaisu pysyy sallittuna, jos 24 t 36/5 41
42 Jos t < 24, niin 24 + t < 0 = 1/ t t 1/ t Toisella rajoiterivillä kaikki a ij :t ovat ei-negatiivisia = Ei saada pivot-alkiota = Ei ole olemassa sallittuja ratkaisuja 42
43 Optimaalinen simplex-taulukko (kun t = 0): x 1 x 2 x 3 s 1 s / t t / t Ratkaisu pysyy sallittuna, jos 36/5 t 4 43
44 Jos t > 4, niin t < 0 = / t t / t = t t / t Ratkaisu pysyy sallittuna, jos 4 t 18 44
45 Jos t > 18, niin 72 4t < 0 = t t / t = t 1/ t 1/ / t Ratkaisu pysyy sallittuna, jos 18 t 60 45
46 Jos t > 60, niin t < 0 = t 1/ t 1/ / t Toisella rajoiterivillä kaikki a ij :t ovat ei-negatiivisia = Ei saada pivot-alkiota = Ei ole olemassa sallittuja ratkaisuja 46
Lineaarinen optimointitehtävä
Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä
4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 4. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä
6. Luennon sisältö. Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 6. Luennon sisältö Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa työkalu ratkaisun analysointiin Jälki- ja herkkyysanalyysiä mitä tapahtuu optimiratkaisulle, jos tehtävän vakiot hieman muuttuvat
Kuljetustehtävä. Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan. Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij
Kuljetustehtävä Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij Lähtöpaikan i kapasiteetti on a i (oletetaan, että a i > 0
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 3. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän sallittu alue Optimointitehtävien muunnoksia Lineaarisen yhtälöryhmän perusmuoto ja perusratkaisut Lineaarisen optimointitehtävän
Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen
Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen Jos sallittuja kokonaislukuratkaisuja ei ole kovin paljon, ne voidaan käydä kaikki läpi yksitellen Käytännössä tämä ei kuitenkaan ole yleensä mahdollista
Lineaarinen optimointitehtävä
Lineaarinen optimointitehtävä min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n b m x 1, x 2,..., x n 0 1
1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
Mat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.4 Lineaarinen ohjelmointi..7 Luento 7 Duaalisimple ja herkkyysanalyysi (kirja 4.5, 5., 5.5-5.6) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Duaalisimple Herkkyysanalyysi Luentorunko Parametrinen ohjelmointi
Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali
Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Käsittelemme seuraavaksi lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa. Kuten luennossa 2 esitettiin, kohdefunktion optimiarvon herkkyys z, kun rajoitusyhtälön i, 1 i m, oikea
Optimaalisuusehdot. Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0
Optimaalisuusehdot Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0 i = 1,..., m j = 1,..., l missä f : R n R, g i : R n R kaikilla i = 1,..., m, ja h j : R n R kaikilla j = 1,..., l
8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku
38 8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku Edellä kuvattu simplex-algoritmi tarvitsee alkuratkaisuksi käyvän kantaratkaisun eli käyvän joukon kärkipisteen. Sellaisen voi konstruoida seuraavilla tavoilla:
Lineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min!
Lineaarinen optimointi Harjoitus 6-7, 016. 1. Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän c T x = min! (T) Ax b x 0 duaalitehtävän duaali on tehtävä (T). Ratkaisu. (P) c T x = min! Ax b x
Demo 1: Simplex-menetelmä
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x
Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R
Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä
Malliratkaisut Demot 6,
Malliratkaisut Demot 6, 19.2.21 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös
Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi.
5..0 Tehtävä Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi. (c) (d) Arvostelu Kanta on degeneroitunut jos ja vain jos sitä vastaava kantamatriisi on singulaarinen. Optimissa muuttujan
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 Ehtamo Duaalin muodostamisen muistisäännöt Duaalin muodostamisessa voidaan käyttää muistisääntötaulukkoa, jota voidaan lukea vasemmalta oikealle tai oikealta
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 2.2.217 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös muotoon
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x
4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen
4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen Käypä kantaratkaisu löytyy helposti, esimerkiksi tapauksessa Ax b, b 0 x 0 jolloin sen määräävät puutemuuttujat. Tällöin simplex-menetelmän alustus
Johdatus verkkoteoriaan luento Netspace
Johdatus verkkoteoriaan luento 3.4.18 Netspace Matriisioperaatio suunnatuissa verkoissa Taustoitusta verkkoteorian ulkopuolelta ennen kuljetusalgoritmia LP-ongelma yleisesti LP = linear programming =
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 1 12.3.2018 Tehtävä 1 Piirretään tilanteesta verkko, jossa kaupungeille on annetttu seuraavat numerot: 1 297 4 2 4 163 3 454 6 179 2 136 2 169 2 390 4 3 436 7 5 Kuva 1: Tehtävän 1
Harjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,
Mat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 5..7 Luento Kertausta Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / LP ja Simplex Kurssin rakenne Duaalisuus ja herkkyysanalyysi Verkkotehtävät Kokonaislukutehtävät Lineaarinen ohjelmointi
Harjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (21.4.2015) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s. t. g(x) 0 h(x) = 0 x X olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on missä max θ(u, v) s. t.
3 Simplex-menetelmä. c T x = min! Ax = b (x R n ) (3.1) x 0. Tarvittaessa sarakkeiden järjestystä voidaan vaihtaa, joten voidaan oletetaan, että
3 Simplex-menetelmä Lähdetään jostakin annettuun LP-tehtävään liittyvästä käyvästä perusratkaisusta x (0) ja pyritään muodostamaan jono x (1), x (2),... käypiä perusratkaisuja siten, että eräässä vaiheessa
TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi
TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Jussi Hakanen Tietotekniikan laitos jussi.hakanen@jyu.fi AgC 426.3 Yleiset tiedot Tietotekniikan kandidaattiopintojen valinnainen kurssi http://users.jyu.fi/~jhaka/ldo/
Simplex-algoritmi. T Informaatiotekniikan seminaari , Susanna Moisala
Simplex-algoritmi T-6.5 Informaatiotekniikan seminaari..8, Susanna Moisala Sisältö Simplex-algoritmi Lähtökohdat Miten ongelmasta muodostetaan ns. Simplextaulukko Miten haetaan käypä aloitusratkaisu Mitä
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 6 24.4.2017 Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomonisteen s. 107) mukaan yleisen muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on min θ(u,v)
Malliratkaisut Demo 4
Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku
Kirjallisuuskatsaus sisäpistemenetelmiin ja niiden soveltamiseen eri optimointiluokille (valmiin työn esittely)
Kirjallisuuskatsaus sisäpistemenetelmiin ja niiden soveltamiseen eri optimointiluokille (valmiin työn esittely) Ilari Vähä-Pietilä 28.04.2014 Ohjaaja: TkT Kimmo Berg Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa
Mat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.34 Lineaarinen ohjelmointi..27 Luento 5 Simplexin implementaatioita (kirja 3.2-3.5) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 27 / Luentorunko (/2) Simplexin implementaatiot Naiivi Revised Full tableau Syklisyys
Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.
Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli Esimerkki. Maalitehdas valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M1 ja M2. Sisämaalin maksimikysyntä on 2 tonnia/päivä. Sisämaalin
Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.
Luento : Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli simerkki: Maalifirma Sateenkaari valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M ja M. Sisämaalin maksimikysyntä on tonnia/päivä.
Harjoitus 1 (17.3.2015)
Harjoitus 1 (17.3.2015) Tehtävä 1 Piirretään tilanteesta verkko, jossa kaupungeille on annetttu seuraavat numerot: 1 = Turku 2 = Tampere 3 = Helsinki 4 = Kuopio 5 = Joensuu. a) Tehtävänä on ratkaista Bellman
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
Luento 3: Simplex-menetelmä
Luento 3: Simplex-menetelmä Kuten graafinen tarkastelu osoittaa, LP-tehtävän ratkaisu on aina käyvän alueen kulmapisteessä, eli ekstreemipisteessä (extreme point). Simplex-menetelmässä ekstreemipisteitä,
Ellipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio
Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin
Monitavoiteoptimointi
Monitavoiteoptimointi Useita erilaisia tavoitteita, eli useita objektifunktioita Tavoitteet yleensä ristiriitaisia ja yhteismitattomia Optimaalisuus tarkoittaa yleensä eri asiaa kuin yksitavoitteisessa
Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita.
Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tehtävä 1 Mitä seuraavat käsitteet tarkoittavat? Monitahokas (polyhedron).
KKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n.
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.139 Optimointioppi Kimmo Berg 7. harjoitus - ratkaisut 1. Oletetaan aluksi, että epäyhtälöt eivät ole aktiivisia p i > 0. Tässä tapauksess KKTehdot
Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Duaalisuus binäärisissä optimointitehtävissä Lagrangen duaalisuus Lagrangen
Malliratkaisut Demo 4
Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) () = 2+1. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että minimoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) () = (suurin kokonaisluku
Harjoitus 8: Excel - Optimointi
Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen
1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta
Sisältö Johdanto 2 LP tehtävän luonteen tarkastelua 3 Johdanto herkkyysanalyysiin 5 2 Optimiarvon funktio ja marginaalihinta 5 3 Johdanto duaaliteoriaan 6 2 LP-tehtävän standardimuoto 9 Johdanto Optimoinnista
Talousmatematiikan perusteet: Luento 15. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 15 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden rajoittamatonta optimointia:
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
Talousmatematiikan perusteet: Luento 12. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla
Talousmatematiikan perusteet: Luento 12 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
1 Rajoitettu optimointi I
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause
4.6 Matriisin kääntäminen rivioperaatioilla
Vaasan liopiston julkaisuja 9 kuva.plot(,n, k-o,,n, k-s,,n3, k-d ); kuva.set_label( kausi ); kuva.set_label( lkm ); kuva.ais([,,,8]); kuva = fig.add_subplot(); kuva.plot(,tulo, k-o ); kuva.set_label( kausi
OPERAATIOANALYYSI ORMS.1020
VAASAN YLIOPISTO Talousmatematiikka Prof. Ilkka Virtanen OPERAATIOANALYYSI ORMS.1020 Tentti 2.2.2008 1. Yrityksen tavoitteena on minimoida tuotannosta ja varastoinnista aiheutuvat kustannukset 4 viikon
TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010
TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Yleistä https://korppi.jyu.fi/kotka/r.jsp?course=96762 Sisältö Johdanto yksitavoitteiseen
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden
Keskeiset tulokset heikko duaalisuus (duaaliaukko, 6.2.1) vahva duaalisuus (6.2.4) satulapisteominaisuus (6.2.5) yhteys KKT ehtoihin (6.2.
Duaalisuus Lagrangen duaalifunktio ja duaalitehtävä määrittely ja geometria max θ(u,v), missä θ(u,v)=inf x X ϕ(x,u,v) s.e u 0 Lagr. funktio ϕ(x,u,v)=f(x)+u T g(x)+v T h(x) Keskeiset tulokset heikko duaalisuus
Käänteismatriisin ominaisuuksia
Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit
Harjoitus 1 (20.3.2014)
Harjoitus 1 (20.3.2014) Tehtävä 1 Piirretään tilanteesta verkko, jossa kaupungeille on annetttu seuraavat numerot: 1 = Turku 2 = Tampere 3 = Hämeenlinna 4 = Imatra 5 = Jyväskylä. 5 2 149(5) 190(4) 113(1)
(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).
NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx
Harjoitus 3 (3.4.2014)
Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
λ T b = max! λ T A c T (5.2)
5 LP tehtävän duaalitehtävä Annettuun LP-tehtävään liittyy duaalinen tehtävä, jolla on usein käytännön sovellutuksissa hyödyllinen (taloudellinen) tulkinta ja jota voidaan käyttää simplex menetelmän yhteydessä
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 4 To 15.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 4 To 15.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b
b 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}
URN: NBN:fi-fe19991228
URN: NBN:fi-fe19991228 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62
Kimppu-suodatus-menetelmä
Kimppu-suodatus-menetelmä 2. toukokuuta 2016 Kimppu-suodatus-menetelmä on kehitetty epäsileiden optimointitehtävien ratkaisemista varten. Menetelmässä approksimoidaan epäsileitä funktioita aligradienttikimpulla.
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko
Kombinatorinen optimointi
Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein
MAT-21241 OPERAATIOTUTKIMUS Kevät 2013, periodi 4. Martti Lehto TTY/ Matematiikan laitos
MAT-4 OPERAATIOTUTKIMUS Kevät 03, periodi 4 Martti Lehto TTY/ Matematiikan laitos SISÄLLYSLUETTELO. Johdantoa ja terminologiaa 3. Lineaarinen optimointi ja graafinen ratkaisu 0 3. Simplex-algoritmi 30
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x
Harjoitus 3 (31.3.2015)
Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
Luetteloivat ja heuristiset menetelmät. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Luetteloivat ja heuristiset menetelmät Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Branch and Bound sekä sen variaatiot (Branch and Cut, Lemken menetelmä) Optimointiin
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3 7.3.07 Tehtävä Olkoon tilamuuttujat Tällöin saadaan rekursioyhtälö f n (x n ) = max yn {0,} ynwn xn f 0 ( ) = 0. x n = vaiheessa n jäljellä oleva paino, n =,...,N, esine n pakataan
Malliratkaisut Demo 1
Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,
TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS
1. Suorakaiteen muotoisen lämmönvaraajan korkeus on K, leveys L ja syvyys S yksikköä. Konvektiosta ja säteilystä johtuvat lämpöhäviöt ovat verrannollisia lämmönvaraajan lämpötilan T ja ympäristön lämpötilan
Kokonaislukuoptimointi
Kokonaislukuoptimointi Optimointitehtävät, joissa muuttujat tai osa niistä voivat saada vain kokonaislukuarvoja Puhdas kokonaislukuoptimointitehtävä: Kaikki muuttujat kokonaislukuja Sekoitettu kokonaislukuoptimointitehtävä:
1 Rajoitettu optimointi III - epäyhtälörajoitteet, teoriaa
Taloustieteen mat.menetelmät syksy27 materiaali II-3 Rajoitettu optimointi III - epäyhtälörajoitteet, teoriaa. Perustehtävä Maksimoi f(x) ehdoilla g i (x), i = ; : : : ; k tässä f; g i : R n 7! R, i =
Mat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 9..7 Luento Kokonaislukuoptimoinnin algoritmeja (kirja.-.) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Luentorunko Gomoryn leikkaava taso Branch & Bound Branch & Cut Muita menetelmiä
Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät
Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Systeemianalyysin Laboratorio 19.3.2008 Sisällys Leikkaustasomenetelmät yleisesti Leikkaustasomenetelmät generoivilla kokonaislukujoukoilla Gomoryn leikkaavat
min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
Este- ja sakkofunktiomenetelmät
Este- ja sakkofunktiomenetelmät Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Luennon kulku Este- ja sisäpistemenetelmät LP-ongelmat ja logaritminen estefunktio Polun seuranta Newtonin menetelmällä Sakkofunktiomenetelmistä
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 5 2.2.28 Tehtävä a) Tehtävä voidaan sieventää muotoon max 5x + 9x 2 + x 3 s. t. 2x + x 2 + x 3 x 3 x 2 3 x 3 3 x, x 2, x 3 Tämä on tehtävän kanoninen muoto, n = 3 ja m =. b) Otetaan
Optimointi. Etsitään parasta mahdollista ratkaisua annetuissa olosuhteissa. Ongelman mallintaminen. Mallin ratkaiseminen. Ratkaisun analysointi
Optimointi Etsitään parasta mahdollista ratkaisua annetuissa olosuhteissa Ongelman mallintaminen Mallin ratkaiseminen Ratkaisun analysointi 1 Peruskäsitteitä Muuttujat: Sallittu alue: x = (x 1, x 2,...,
Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI
Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen
Demo 1: Lineaarisen tehtävän ratkaiseminen graafisesti ja Solverilla
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 2 Ehtamo Demo 1: Lineaarisen tehtävän ratkaiseminen graafisesti ja Solverilla Ratkaise lineaarinen optimointitehtävä graafisesti ja Excelin Solverin avulla.
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien
Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien ratkaiseminen Jerri Nummenpalo 17.09.2012 Ohjaaja: TkT Juuso Liesiö Valvoja: Prof. Ahti Salo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla.
2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo
2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan
TIES483 Epälineaarinen optimointi
TIES483 Epälineaarinen optimointi Käytännön optimointiongelmien ratkaiseminen jussi.hakanen@jyu.fi Syksy 2012 Käytännön optimointiongelmien ratkaiseminen Käytännössä tulee kiinnittää huomiota ainakin seuraaviin
Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien ratkaiseminen Bensonin algoritmilla
Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien ratkaiseminen Bensonin algoritmilla Juho Andelmin 21.01.2013 Ohjaaja: TkT Juuso Liesiö Valvoja: Prof. Raimo P. Hämäläinen Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
Luento 6: Monitavoiteoptimointi
Luento 6: Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f 1,, f m Esimerkiksi opiskelija haluaa oppia mahdollisimman hyvin ja paljon mahdollisimman
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 5 10.4.2017 Tehtävä 1 x 2 7 0,7 9,8 6 5 4 x 1 x 2 7 x 1 x 2 1 3 2 x 1 0 4,3 x 1 9 1 0,0 x 2 0 9,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S Optimointitehtävän sallittu
Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016
Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.
1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100
HARJOITUS, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE 07.. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 0x +0xy +5y (b.) f(x,y) = 4x y xy +x+y +00 (a.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat
811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2015-2016. VI Algoritmien suunnitteluparadigmoja
811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2015-2016 VI Algoritmien suunnitteluparadigmoja Sisältö 1. Hajota ja hallitse-menetelmä 2. Dynaaminen taulukointi 3. Ahneet algoritmit 4. Peruuttavat algoritmit 811312A
Kokonaislukuoptimointi hissiryhmän ohjauksessa
Kokonaislukuoptimointi hissiryhmän ohjauksessa Systeemianalyysin laboratorio Teknillinen Korkeakoulu, TKK 3 Maaliskuuta 2008 Sisällys 1 Johdanto Taustaa Ongelman kuvaus 2 PACE-graafi Graafin muodostaminen
T : Max-flow / min-cut -ongelmat
T-61.152: -ongelmat 4.3.2008 Sisältö 1 Määritelmät Esimerkki 2 Max-flow Graafin leikkaus Min-cut Max-flow:n ja min-cut:n yhteys 3 Perusajatus Pseudokoodi Tarkastelu 4 T-61.152: -ongelmat Virtausverkko