Integraalista ja joukon mitan käsitteestä. MariaArkko

Integraalista ja joukon mitan käsitteestä MariaArkko MatematiikanProGradu-tutkielma Jyväskylänyliopisto Matematiikanjatilastotieteenlaitos Kevät2012

1 JOHDANTO Työntarkoituksenaolitarkastellaintegraalilaskennankehittymistälähtienliikkeelle antiikistaedetenlopultariemanninjalebesguentöihin.historiaosuuttaonpääasiassakoottutieteidenkuningattaren[2]jasuomelanluentomonisteen[6]tietojenpohjalta,yksittäisiähavaintojaontehtymyösmuistalähdeteoksista.historiallisenkehityksentarkastelussalähdetäänliikkeelletyhjennysmenetelmänideastajapäädytään viipalointiperiaatteenkauttanykyisinkäytössäoleviinmerkintätapoihinjamääritelmiin. Määritelmien lisäksi tarjotaan myös tuloksia ja esimerkkejä funktioiden integroituvuudentutkimiseen.jordan-joukkojentarkastelunjälkeenfubininlauseja muuttujanvaihtotarjoavatkeinojaitseintegraalienhelpompaanlaskemiseen. RiemanninintegraalialaajennetaanvieläLebesguenulkomitanjamitallisuudenkauttayleiseenmittaanpäätyenlopultaLebesguenintegraalinmääritelmään.Ehdotuksenalukio-opetukseenmukaanonotettumyösintegraalienlaskemiseenkehittyneiden erilaistennumeeristenmenetelmientarkasteluaesimerkkienavulla.

2 Sisältö 1. Integraalinhistoriaa 1.1. Antiikki 3 1.2. Fermat 6 2. Viipalointiperiaate 2.1. Tasoalueenpinta-ala 7 2.2. Kappaleentilavuus 8 2.3. Cavalieri 10 3. Dierentiaali-jaintegraalilaskennankehittäminen 12 3.1. Newtoninmääritelmä 12 3.2. Cauchynmääritelmä 13 4. Riemanninintegraaliylikompaktinvälin 13 4.1. Nollamittainenjoukko 17 5. Riemanninintegraaliylirajoitetunjoukon 18 6. Fubininlause 19 7. Jordan-joukkojasentilavuus 20 8. MuuttujanvaihtoRiemanninintegraalissa 24 8.1. Dieomorsmijamuuttujanvaihtolause 24 8.2. Napa-japallokoordinaatit 25 9. Lebesguenmittajaintegraali 28 9.1. LebesguenmitanyhteysJordan-pituuteenyksiulotteisessaavaruudessa 30 9.2. Lebesguenintegraali 31 10. Ehdotus lukio-opetukseen: integraalien arvioiminen numeerisilla menetelmillä 33 10.1. Keskipistemenetelmä 33 10.2. Puolisuunnikasmenetelmä 35 10.3. Simpsoninsääntö 36 Viitteet 39

3 1. Integraalinhistoriaa 1.1. Antiikki. Integraalinhistoriantarkasteluvoidaanaloittaatarkastelemalla kreikkalaistenintegraalilaskennanvastineenekshaustio-elityhjennysmenetelmänperiaatteita.menetelmännimiitsessäänesiintyykirjallisuudessavastavuonna1647gregoriuksenteoksessa'opusgeometricum'.myöslatinankielensanaexhauriantviittaa tyhjentämiseen. MenetelmänkehittelijäEudoksosKnidoslainen(408-335eKr.)lähtiliikkeelleaksioomasta,jonkamukaanjoskahdellasuureellaonsuhde,niintoisellaonmonikerta, jokaontoistasuurempi.epäsuorallatodistuksellaaksioomastavoidaantodistaa ekshaustiomenetelmänperustanaolevaväite: Josannetustasuureestavähennetäänpuoletjasiitäedelleen vähennetääntaaspuoletjakuntätäprosessijatketaan, päädytäänlopultasuureeseenjokaonpienempikuinmikä tahansaannettusamankaltainensuure. VäitetunnetaanmyösnimelläArkhimedeenlemma,vaikkaitseArkhimedesmuotoilikinsenhiemaneritavalla.Nykymerkinnöillämeilläonsiisannettusuure M ja ennaltamäärätty>0:suhteestartiedetään,että0<r12:tällöinonolemassa kokonaislukunsiten,että Mrn< kaikillepositiivisillekokonaisluvuillen>n: Kreikkalaiset käyttivät periaatetta kuvioiden aloja ja tilavuuksia käsittelevien tulostentodistamiseen.arkhimedeelta(287-212ekr.)löytyyesimerkiksitodistuskartion tilavuudelle vastaavan sylinterin tilavuuden kolmasosana. Arkhimedes käytti menetelmää sekä sisältä että ulkoapäin approksimointiin, hän siis sai pinta-aloille jonkinlaisenhaarukanmillävälilläpinta-alaon. Ympyränpinta-alaavoitiinarvioidapiirtämälläympyränsisä-jaulkopuolellemonikulmioita, joiden kulmien määrä kasvaa. Tällöin ympyrän ja monikulmioiden pintaalojenerotuspieneneejamonikulmionpinta-alanavullasaadaanarviomyösympyrän pinta-alalle.yleisestiottaenantiikinmatemaatikotolivatlähelläraja-arvonkäsitettä,vaikkakukaaneisitämääritellytkään.esimerkinomaisestiesitetääneukleideen

4 Elementassaesitettyepäsuoratyhjennysmenetelmänkäyttöäesittelevätulos,jonka voiolettaaolevanjuurieudoksoksenkäsialaa. 1.1.Lause.Ympyröidenalatsuhtautuvattoisiinsakuinhalkaisijoidenneliöt. Todistus.OlkoonmeilläsiiskaksiympyrääcjaC;joidenhalkaisijatovatdjaDja pinta-alatovatajaa,kuva1. Kuva1 Väitevoidaannytkirjoittaamuodossa aa = D2: d2 Epäsuorastiriittäänytsiistodistaa,ettäväitteet aa> D2 d2 ja A a < D2 d2 eivätoletosia. Jossiisoletetaan,että A a > D2; d2 silloinonolemassaa0<asiten,että a A= 0 D2: d2

5 Olkoona a0=>0annettu.lisäksiympyröidensisäänonpiirrettysäännölliset n-kulmiot,joidenpinta-alatvastaavastiovatpnjapn.josnytn-kulmioidensivujen määräkaksinkertaistuu,ympyränjamonikulmionvälinenpinta-alapieneneeainakin puolella,kuva2. Kuva2 Annettaessasivujenmääränkasvaa,ekshaustio-ominaisuudenperusteellapäädytään lopultatilanteeseen,jossaa pn<:koskaa a0=saadaannämäkaksitietoa yhdistämällätulos,ettäolisipn>a0: Monikulmoidenpinta-aloillevoidaanlaskeakaavat pn=d2 n 4 sin n cos n ja Pn=D2 n 4 sin n cos n : Pinta-alojensuhteellesaadaansiis Pn= pn D2: d2 Yhdistämälläsaatutulosaiemmantiedon a0 A= D2; d2 kanssa,saadaan a0 A=pn Pn: Todistetuntiedonpn>a0kanssapäädytäänepäyhtälöönpn>A:Saatutulosväittäisi,ettäympyränsisäänpiirretynsäännöllisenn-kulmionpinta-alaolisisuurempi kuinitseympyränala,mikäonselvästikinristiriita.toinenalunepäyhtälöistävoidaan

6 todistaavastaavallapäättelyllävirheelliseksi. 1.2. Fermat. 1600-luvullaongelmaksinousikäyränallejäävänpinta-alanlaskeminen.EsimerkiksiPierreFermat(1601-1665)lähestyiongelmaanykyisinkintutulla menetelmälläarvioidapinta-alaasuorakulmioilla.arvioitaessaesimerkiksikäyrän y=xnjax akselinväliinjäävääpinta-alaavälillä[0;a]välijaetaanpisteillä ae;ae2;ae3:::,kune<1.suorakulmiotmuodostuvatkunjokaisensyntyvän osavälinpäätepistemäärääsuorakulmionkorkeuden,kuva3. Kuva3 Nytsuorakulmioidenpinta-alojensummaksisaadaan AE=an(a ae)+anen(ae ae2)+ane2n(ae2 ae3)+::: Summavoidaansieventäämuotoon AE=an+1(1 1 En+1 E) = 1+E+E2+:::+En: an+1

7 Nytkunsuorakulmiotkapenevat,siis E! 1,niintällöin AE! Ajasummaksi saadaantuttu A= n+1: an+1 Fermatosasitehdävastaavanpäättelynnegatiivisillepotensseille,eikuitenkaankun n= 1.Fermatmyöshuomasikäänteisyydendierentioinninjaintegroinninvälillä muttaeisitämitenkäänerikoisemminkorostanut,eikaipitänytsitätärkeänä. 1600-luvulletultaessaolikäytössäkaksirinnakkaistaapukeinoaintegrointiongelmien ratkaisemiseksi:innitesimaalitjaindivisiibelit.kielenkäyttönäistätermeistäolisekavaamuttayleisempimielipideoli,ettäinnitesimaalitovatkappaleenkanssasamaa ulottuvuutta,kuntaasindivisiibelitovatalempaaulottuvuutta.käytännönlaskemista termiensekavuuseihidastanut,käsitteidentasollaongelmiakuitenkinpohdittiin.in- nitesimaalienkohdallamietittiinmitenelementtejä,joillaonpaksuutta,saataisiin äärelliseentilavuuteenmahtumaanääretönmäärä.vastaavastiindivisiibelienkohdallamietittiinmitenkappaleista,joillaeiolepaksuutta,saadaankoottuapaksukappale. 2. Viipalointiperiaate Tyhjennysmenetelmänjälkeenintegraalinlaskemiseksisyntyiideahalutunpintaalantaitilavuudenlaskemiseksiviipaloimallaaluepienempiinosiin.Seuraavaksitarkastellaantasoalueenpinta-alanjakappaleentilavuudenlaskemisenhistoriallistakehitystäviipalointiperiaatteella.TämätarkastelujohtaamyöhemminFubininlauseeseen. 2.1. Tasoalueenpinta-ala. Aloitetaanviipalointiperiaatteentarkastelutasoalueen pinta-alasta.tarkastellaantasoaluetta,jotarajaayläpuoleltajatkuvanfunktion g:[a;b]!rjaalapuoleltajatkuvanfunktionf:[a;b]!rkuvaaja.jaetaanalue x-akseliavastaankohtisuoriinsuorakulmioihin,joidenleveyttämerkitäändx, kuva4.

8 Kuva4 Muuttujanxkohdallaviipaleenkorkeudeksisaadaanh(x)=g(x) f(x):näinollen suorakulmionpinta-alamuuttujanxkohdallaonh(x)dx:kokoalueenpinta-alasaadaan laskemallayhteenäärettömänmontatällaistasuorakulmiotaelilaskemallaintegraali A= Z b a h(x)dx: 2.2. Kappaleentilavuus. Vastaavaideatoimiimyöskappaleentilavuudenlaskemiseksi.Merkitäännytmuuttujanxkohdallakappaleenx akseliavastaankohtisuoran poikkileikkauksenpinta-alaaa(x);kuva5. Kuva5

9 Poikkileikkauskuvioksimuodostuunytlieriö,jonkapohjanpinta-alaonA(x)ja korkeusondx:kappaleentilavuusonlieriöidentilavuuksiensumma,jokavastaa integraalia V = Z b a A(x)dx: Riippuen nyt siitä kuinka helposti esimerkiksi juuri poikkileikkauksen pinta-ala saadaanlaskettua,saadaanperiaatettahyödynnettyäkäytännönongelmissa.kartion tilavuudellesaadaanlaskukaavasuhteellisenpienellävaivalla. 2.1. Esimerkki (Kartion tilavuus). Määritetään tilavuus kartiolle, jonka pohjan pinta-alaonajakorkeush.asetetaankartiositen,ettäsenpohjaonkohtisuorassa x akseliavastaanjasenhuippuontasossa,jokaleikkaax akseliakohtisuorastinollassa,kuva6. Kuva6 Kartiontilavuussaadaannytviipalointiperiaatteenmukaisestiintegraalista Zh 0 A(x)dx; missä A(x) on kartion x akselia vastaan kohtisuoran poikkileikkauksen pinta-ala muuttujanarvonxarvolla.muodostetaannytannettujentietojenavullajonkinlainen lausekepinta-alallea(x);jokavoidaansittensijoittaaitsessäänintegraaliin.

10 Poikkileikkauskuvioonpohjanapienemmässäkartiossa,jonkakorkeuson x:pieni kartioonyhdenmuotoinenkokokartionkanssasuhteessa x:h:kartioidenpohjien pinta-alojensuhdeonnytsuhteenneliö.tiedonavullavoidaanmuodostaaverranto A(x) A = h x2; jostasaadaanratkaistualausekepoikkileikkauksenpinta-alalle A(x)= h A2x2: Nytkartiontilavuussaadaanintegroituasaatuatulostahyödyntämällä Zh 0 A(x)dx= h A2 Z hx2dx=ah 0 3 : 2.3. Cavalieri. Ideaakappaleenviipaloinnistavoidaankäyttäähyväksiesimerkiksikunhalutaanselvittääkappaleentilavuusjonkintunnetunkappaleentilavuuden avulla.tätäideaakehittelibonaventuracavalieri(1598-1647),jokatutkitilavuuttaviipalointimenetelmällä.cavalierikäyttisamojamenetelmiä,joitajoarkhimedes käyttiantiikissa.jatkossasamojamenetelmiäkäyttivätvarsinaisetdierentiaali-ja integraalilaskennankehittäjätnewtonjaleibniz. SeuraavaCavalierinperiaatteenmuotoiluonperäisinvuodelta1634: Josyhdensuuntaistensuorienväliinpiirretäänkaksitasokuviotajajos mikätahansasanottujensuoriensuuntainensuoraleikkaaniistä yhtäpitkätviivat,niinkuviotovatyhtäsuuria;jajosyhdensuuntaistentasojenväliinkonstruoidaankaksikappalettajajosmikä tahansasanottujentasojensuuntainentasoleikkaaniistäyhtä suuretkuviotniinkappaleetovatyhtäsuuria. Cavalierinperiaatteenideanaonsiis,ettäjoskappaleidenleikkauskuvioidenpinta-alat vastaavattoisiaanniintällöinkappaleillaonoltavamyössamatilavuus. 2.2. Esimerkki (Pallontilavuuskartiontilavuudenavulla). HyödynnetäänCavalierinmenetelmääpallontilavuudenmäärittämissä,käyttäenhyödyksitunnettuakartiontilavuudenkaavaa. Määritelläänensinhalututkappaleet,jonkajälkeenvoidaantutkiapoikkileikkausten

11 pinta-aloja.merkitäänympyrälieriönkorkeuttajapohjansädettäkirjaimellar:poistetaan nyt lieriöstä kärjellään seisova ympyräkartio. Asetetaan näin muodostunut kappalepuolipallonkanssasamaantasoonjaleikataankappaleitapohjankanssa yhdensuuntaisellatasolla,kuva7. Kuva7 pinnanpinta-alaon(r2 Tasonetäisyyttäkappaleidenpohjastamerkitäänkirjaimellax:Nytpuolipallonleikkaus- kappaleenleikkauspinnanpinta-alaonmyöskin(r2 x2):vastaavastivoidaanlaskea,ettälieriöstäsyntyneen x2):näinollen Cavalierinperiaatteenmukaisestipuolipallontilavuusvastaalieriökappaleentilavuutta.Kuntiedetään,ettäkartionpoistaminenlieriöstäviekolmasosansentilavuudesta, jäljelläjäävänosantilavuusonkaksikolmasosaakokolieriöstäsiis 23 r3:kaksinkertaistamallapuolipallollesaatutulossaadaanpallontilavuudelletuttukaava 43r3: 2.3. Esimerkki. Määritelläänviipalointiperiaatteellatilavuuspyörähdyskappaleen puolikkaalle,jonkasivuleikkauskuvioonkäyräny=pxmuotoinen,kuva8. Nytx akseliavastaankohtisuorapoikkileikkausonpuoliympyränmuotoinen.tämän poikkileikkauksenpinta-alamuuttujanxkohdallaona(x)=12 x:kappaleentilavuudeksi,kunx2[0;a];saadaan V = Z a 0 A(x)dx= 2 Za 0 xdx=a2 4 :

12 Kuva8 3. Differentiaali-jaintegraalilaskennankehittäminen Varsinaiseninnitesimaalilaskennanelidierentiaali-jaintegraalilaskennankatsotaansyntyneenNewtonin(1642-1727)jaLeibnizin(1646-1716)toisistaanriippumattomantyöntuloksena.VaikkaNewtoneiensimmäisenäderivoinuttaiintegroinut,eikä nähnytnäidentoimenpiteidenyhteyttä,voidaanhänensanoavakiinnuttaneennämä teoriatyleiseksialgoritmiksi,jotavoitiinsoveltaamoniintunnettuihinfunktioihin. Leibniztaasenymmärsiitsetuloksiakehitellessäänhyvienmerkintöjentärkeydenja merkinnät R integraalillejadxinnitesimaalisellemuutokselleovatkinlähtöisinjuuri häneltä. Integraalin määritelmän kehittyminen pohjautuu kiinteästi teorioita tutkineisiin matemaatikoihinjaluontevaaonkinaloittaatarkastelunewtoninmääritelmästä,jossaonvieläpaljonepämääräisyyttä.lopultaraja-arvonkehittämisenmyötäpäädytään RiemanninmääritelmiinjaniistävieläedelleenLebesguenintegraaliin,edetenniin, ettäyhäsuurempaajoukkoafunktioitavoidaanintegroida. 3.1. Newtoninmääritelmä. Newtonilleintegraaliolivainderivaatankäänteisoperaatio.NykyajanmerkinnöinNewtoninintegraalillesaadaanseuraavamääritelmä. 3.1. Määritelmä (Newton). Välillä [a;b] määritelty reaaliarvoinen funktio f on Newton-integroituva,josvälillä[a;b]funktiollefonolemassaantiderivaatta, merkitäänf;jollef0=f:tällöinvoidaankirjoittaa (3.1) Zb a f(x)dx=f(b) F(a):

13 Newtoninintegraaliatäytyypitääkeskeneräisenä,koskaintegoituvuusjaintegraalin arvoriippuvatjostakinsellaisesta,jonkaolemassaolonmäärittämiseentailaskemiseen tarvittavaatapaaeioleannettu.ainoastaan,joställäinenfunktiofsatutaanlöytämään, niin integraali voidaan laskea. Muuten ei tiedetä onko integraalia edes olemassa. JatkossaesiteltävätCauchynjaRiemanninintegraalitvaativatmyösjotainfunktion jatkuvuudelta,newtoninmääritelmässäjatkuvuudestaeipuhuta. 3.2. Cauchynmääritelmä. Kunnollinenmääritelmäintegraalillesaadaankinvasta BernhardRiemannilta(1826-1866)1800-luvunpuolivälissä. AugustinCauchy(1789-1857)olimuotoillutvastaavanmääritelmänaiemminpelkästään jatkuvillefunktioille.teoriankehittymisenmahdollisticauchyntyöraja-arvojenparissa.seuraavassaesitelläännykyajanmerkinnöincauchynmääritelmäintegraalille,periaatteessasamallatavallakuinhänolisisenitseluennoillaanesittänyt. 3.2.Määritelmä(Cauchy).Olkoonfjatkuvavälillä[a;b]jaolkoonP välinjako a=x0<x1<:::<xn 1<xn=b: Muodostetaansumma S(f;P)= n X i=1 f(x i 1)(xi xi 1): OlkoonjjPjj=max1in(xi xi 1)jamääritellään (3.2) Zb a f(x)dx= jjpjj!0s(f;p): lim Cauchytodisti,ettätällainenraja-arvoonolemassa.JatkuvillefunktioillemuodostettuCauchynintegraalivastaaNewtoninintegraalia,kuitenkinjoissakinrajoittamattomissatilanteissaNewtoninmääritelmätoimiiCauchynmääritelmääparemmin. 4. Riemanninintegraaliylikompaktinvälin BernhardRiemann(1826-1866)kehittiomaltaosaltaanintegraalinmääritelmää eteenpäin.

14 4.1.Määritelmä (Välinjako).ReaaliakselinkompaktillevälilleI=[a;b]voidaan määrittääjako P=fx0;x1;:::;xng; missäa=x0<x1<:::<xn=b:jakop jakaavälin[a;b]osaväleihin,joitaon nkappaletta. VälinjaonvoivastaavastimääritellämyösjoukolleIRn: VälinI=I1 ::: InRnjakoP onkarteesinentulo P=P1 ::: Pn; missäpionkomponenttiväliniijakomiosaväliin,i=1;::;n: Nytvoidaanmääritellämitätarkoitetaanporrasfunktiollarajoitetullefunktiolle. 4.2. Määritelmä (Porrasfunktio).Rajoitettufunktioh:I!Ronporrasfunktio josonolemassavälinirnjakop siten,ettäfunktiohonvakiojokaisenosavälin sisuksessa. Ennenkuinmäärittelemmeylä-jaalaporrasfunktioidenavullaRiemanninintegraalinmääritelläänensinmitätarkoitetaanalkeisintegraalilla. 4.3.Määritelmä(Alkeisintegraali).Olkoonh:I!RvälinIRnporrasfunktio japväliinliittyväjako.näinollenjokaisenosavälinijsisälläfunktiosaavakioarvon cj2r:porrasfunktionalkeisintegraaliksiylivälinimääritelläännyt S(h)=S(h;I)= X j cj(ij); missä(ij)onosavälinijgeometrinentilavuus. Huomautus.VälinIRngeometrinentilavuuson (I)=n(I)=(b1 a1) ::: (bn an); missäbj ajonvälinijpituus. Porrasfunktioidenavullasaadaanintegraalillemääriteltyäylä-jaala-integraali.Jos nämäintegraalitovatyhtäsuuretsaadaanrajoitetunfunktionintegraalimääritettyä.

4.4.Määritelmä(Riemanninintegraaliporrasfunktioidenavulla).Rajoitettu funktiof:i!ronriemann-integroituvaylivälini,mikälisenalaintegraali ala Z If=supfS(h;I):h:I!Rporrasfunktio;hfg jayläintegraali ylä Z If=inffS(g;I):g:I!Rporrasfunktio;gfg ovatyhtäsuuret,jolloinfunktionriemanninintegraaliylivälinion (4.1) ZIf=ala Z If=ylä Z If: 4.5.Esimerkki.Ylä-jaalaporrasfunktioidenavullasaadaanlaskettuaintegraali esimerkiksifunktiollef:[0;1]!r;f(x)=x2,vaikkakinmääritelmänkäyttöjakoineenontyölästä. Määritetäänfunktionf :[0;1]!R;f(x)=x2;integraaliylä-jaalaporrasfunktioidenavulla.Valitaanvälin[0;1]jaoksi P=f0;2 n;2 2 n;:::;(2n 1) 2 n;1g: Valitaannytosaväliltä[(m 1) 2 n;m 2 n]vasemmanpuoleisenpäätepisteenmukaan alaporrasfunktionh1arvojaoikeanpuoleisenpäätepisteenmukaanyläporrasfunktion h2arvo.tälläosavälilläon h1(x)= m 2n12 ja h2(x)= 2 mn 2: Tarkastellaanseuraavaksiporrasfunktioidenalkeisintegraaleja. Yläporrasfunktiollesaadaan S(h2)= k=1 2nX 2 kn 2 2 n= k=1 2nX k 2 2 3n =2 3n 2n(2n+1)(2 2n+1) =1 6 6 2+2 n+2 n+1+2 2n!1 3 ; kunn!1: Vastaavastisaadaanalaporrasfunktioille S(h1)=1 6 2 2 n 2 n+1+2 2n!1 3 ; kunn!1: 15

16 Nytkoska S(h1)!1 3 ja S(h2)!1 3 ; kunn!1; funktiofonmääritelmänmukaanintegroituvaja Z[0;1]f=1 3 : 4.6.Esimerkki.Ylä-jaalaporrasfunktioidenavullavoidaantutkiafunktionintegroituvuutta.Tarkastellaankinfunktionf:[0;1]!R; f(x)= 8 1; kunx2q >< 0; muulloin >: integroituvuutta. Nytjokaisellefunktionalaporrasfunktiolleonh10jayläporrasfunktiolleh21: TällöinonS(h1)0jaS(h2)1,janäinollenfeioleRiemann-integroituva. JatkossafunktionintegroituvuuttavoidaantarkastellaesimerkiksiRiemanninehdon avulla,jonkaideanaontarkastellaylä-jaalaporrasfunktioidenalkeisintegraalienerotusta.jostämäerotussaadaanmielivaltaisenpieneksi,niinfunktioonintegroituva. 4.7.Lause(Riemanninehto).Rajoitettufunktiof:I!RonRiemann-integroituva täsmälleensilloinkunjokaiselleannetulle>0löytyyporrasfunktioth1:i!rja h2:i!r;jotkatäyttävätehdoth1fh2ja (4.2) S(h2) S(h1)<: Todistus.Integroituvallefonporrasfunktioth1fjah2f,joille ZIf S(h1)< 2 ja S(h2) Z If< 2 ; jasitenehto(4.2)täyttyy.kääntäen,olkoon>0;jah1fh2siten,että(4.2) onvoimassa.silloin 0ylä Z If ala Z IfS(h2) S(h1)<; jotenfonintegroituva.

17 4.8. Esimerkki. Tarkastellaan aikaisemman esimerkin 4.5 ylä- ja alaporrasfunktioidenalkeisintegraalienerotusta.saadaan S(h2) S(h1)=1 6 2 n+1+2 n+2 ; jolloin,kunn!1,saadaan S(h2) S(h1)!0: Näinollenfunktiof:[0;1]!R;f(x)=x2;onintegroituva. 4.1. Nollamittainenjoukko. Tunnettaessatulos,ettäjatkuvafunktioonintegroituva,ks.[5,s.13],voidaanintegroituvuudentarkastelussakeskittyämiettimäänkuinka paljonfunktiollasaaollaepäjatkuvuuspisteitä.lebesguenehtoriemann-integroituvuudellekertoofunktionolevanriemann-integroituvakunepäjatkuvuuspisteidenjoukko onnollamittainen.määritelläänkinensinnollamittainenjoukko. 4.9.Määritelmä(Nollamittaisuus).JoukkoARnonnollamittainen,josjokaiselle >0löytyynumeroituvajoukkoperhe(Ik)k2NkompaktejavälejäIkRnsiten,että A k2nik [ ja X k2nn(ik)<: Nytsaadaanjohdettuatulosfunktionintegroituvuudelle. 4.10.Lause(Lebesguenehto).KompaktinvälinIRnrajoitettufunktiof:I!R onriemann-integroituvatäsmälleensilloinkunsenepäjatkuvuuspisteidenjoukko Ef=fx2I:feiolejatkuvapisteessäxg onnollamittainen. Todistus.Ks.[1,s.171-173]. 4.11.Esimerkki.Tarkastellaanfunktionf:[0;1]!R; f(x)= 8 1; kunx2q >< 0; muulloin >: integroituvuuttalebesguenehdolla. NytepäjatkuvuuspisteidenjoukkoE=[0;1]eiolenollamittainen,eikäfunktiokaan sitenoleintegroituva.

18 4.12. Esimerkki. Olkoonjoukko A = fak = (ak1;ak2) 2 Q Q : k 2 Ngvälin I=[0;1] [0;1]rationaalipisteet.Tarkastellaannytfunktionf:I!R; f(x)= 8 2 k; kunx=akjollakink2n >< 0; kunx2ina >: integroituvuuttalebesguenehdolla. NytEf=A;jokaonnumeroituvanajoukkonanollamittainen.Jokainenx2InAon nimittäinjatkuvuuspiste: Jos>0onannettu,niin2 k<kunk>k:kunvalitaan 0<minfkx akk:k=1;:::;kg; niinkaikilley2b(x;)\ion f(y) f(x)<2 k: FunktioonsiisLebesguenehdonnojallaintegroituva. 5. Riemanninintegraaliylirajoitetunjoukon Riemanninintegraalirajoitetullejoukollesaadaanmääriteltyäpalauttamallatilanne integroinniksivälinyli.mietittäessämilloinfunktioonriemann-integroituvarajoitetunjoukonsuhteenlähestytäänasiaafunktionnollajatkonavulla. 5.1.Määritelmä (Funktionnollajatko).Funktionf :A!Rnollajatkojoukkoon BAonfunktiof0:B!R,jolle f0(x)= 8 f(x) kun x2a >< 0 kun x2bna: >: FunktionnollajatkonavullasaadaanmääritelmäfunktionRiemann-integroituvuudelle. 5.2.Määritelmä(Riemann-integroituvuus).OlkoonARnrajoitettujoukko. Rajoitettufunktiof:A!RonRiemann-integroituva,jossennollajatkof0:I!R kompaktiinväliiniaonintegroituva,jatällöin ZAf= Z If0:

19 5.3. Esimerkki. Tiedetään,ettäkompaktinvälin I Rn f:i!rgraagfonnollamittainen,ks.[5,s.17].josnytrajoitetunjoukonarn integroituvanfunktion funktiof:a!ronintegroituva,niinsennollajatkof0:i!rkompaktiinväliin IAonintegroituva.SitennollajatkongraaGf0onnollamittainen,jolloinsitäon myösgfgf0: 6. Fubininlause Tyhjennysmenetelmänjaviipalointimenetelmänperiaatteidenmukainenmenetelmä saada integraali paremmin laskettavaan muotoon saadaan Fubinin lauseesta. Useampiulotteisissatilanteissaintegrointisaadaanmuutettuaesimerkiksiuseammiksiyksiulotteiseksiintegroinneiksi.Vastaavaaideaahansoveltavatmyösesimerkiksi viipalointimenetelmä,jokamuuttaaesimerkiksikolmiulotteisentilanteenperäkkäisiksiintegroinneiksiyksi-jakaksiulotteisissatilanteissa.cavalierinperiaatteenmukaisestisaadaanesitettyäjoukonarn+1y-leikkauskiinteälley2rseuraavasti Ay=fx2Rn:(x;y)2Ag: NytvoidaanmuotoillaFubininlause. 6.1.Lause(Fubininlause).Oletetaan,ettäfunktiof:A!Ronintegroituva rajoitetussajoukossaarn+1:josjokaiselley2pn+1(a),missäpn+1onvastaava projektiokuvaus,funktionfy-leikkaus fy:ay!r:x7!f(x;y) onintegroituva,niinfunktio F:pn+1(A)!R:y7! Z Ayfy= Z Ayf(x;y)dx onintegroituva,jaonvoimassafubininyhtälö (6.1) ZAf= Z Af(x;y)d(x;y)= Z pn+1(a)f= ZAyf(x;y)dx Z pn+1(a)! dy: Todistus.Ks.[5,s.45].

20 6.2.Esimerkki.OlkoonI=[0;] [0;1] [0;2].Lasketaanfunktion f:i!r:f(x)=x1x23cos(x1x2) integraali Fubinin lausetta hyödyntäen. Funktion xi-leikkaukset, i = 1;2;3; ovat jatkuvinakuvauksinaintegroituvia,jotenfubininlausettavoidaansoveltaaperäkkäisiä kertoja.saadaan ZIf(x)dx= Z 2 0 x23 Z Z1 0 0 x1cos(x1x2)dx2dx1 dx3 =. 2 0 3 1x3 Z.1 0 0 sin(x1x2)dx1 =8 3 3 Z 0 sinx1dx1 =8 3 3( cos+cos0)=16 3 3: 6.3.Esimerkki.Olkoon D=f(x;y)2R2: 1x0; 0y1+xg: Lasketaanfunktionf:D!R:f(x;y)=1 y+xintegraalifubininlausettahyödyntäen.nytfunktionx jay leikkauksetovatjatkuvinakuvauksinaintegroituvia jafubininlausettavoidaannäinollenkäyttää.saadaan ZD(1 y+x)d(x;y)= Z 0 Z1+x 1 0 (1 y+x)dydx = Z 0.1+x 1 0 (y 2 1y2+xy)dx = Z 0(1 1 2 x2+x+1 2 )dx =1.0 2 1 1 3 x3+x2+x=1 6 : 7. Jordan-joukkojasentilavuus Laajennetaan nyt tarkastelua yleisempiin Jordan-joukkoihin. Määritellään ensin Jordaninsisä-jaulkotilavuudenkäsitteet,joidenavullasaadaansittentulosJordanmitallisuudelle.

21 7.1.Määritelmä.OlkoonSIkompaktillevälilleIRn:JokaisellevälinIjaolle määritelläänj(p;s)summaksiniidenosavälientilavuuksista,jotkasisältävätvain joukon S sisäpisteitäja J(P;S)summaksiosavälientilavuuksista,jotkasisältävät pisteitäjoukostas[@s:lukuja c(s)=supfj(p;s);ponvälinijakog c(s)=inffj(p;s);ponvälinijakog kutsutaanjoukonsn-ulotteiseksijordaninsisä-jaulkotilavuudeksi.joukonssanotaanolevanjordan-mitallinenjosc(s)=c(s):tällöintätäarvoakutsutaanjoukon Jordan-tilavuudeksijasitämerkitäänc(S): Huomautus.Ainaonvoimassa 0 c(s) c(s):edelleen,jos S onäärellinen joukko,niintällöinc(s)=c(s)=0:itseasiassajoukolle,jollaeiolesisäpisteitäon c(s)=0koskaj(p;s)=0: 7.2.Esimerkki.Rationaalilukujenjoukollemillätahansavälillä[a;b]Jordaninsisä- tilavuusonnolla,aivankutenvastaavalleirrationaalilukujenjoukolle.kuitenkinmolem- millejoukoillejordaninulkotilavuusonb a:itseasiassamolemmillejoukoille J(P;S) b akaikillajaoilla P;silläjokainenvälisisältääsekärationaali-että irrationaalilukuja.kumpikaanjoukoistaeiolesiisjordan-mitallinen. 7.3.Esimerkki.Ennenvarsinaistaintegraalinkeksimistäympyränpinta-alaapystyttiin arvioimaan piirtämällä sen sisä-ja ulkopuolelle monikulmioita ja seuraamalla mitämonikulmoidenpinta-alalletapahtuukunkulmienmääräkasvaa.tyhjennysmenetelmällesaadaannäinollenyhteysintegraaleihinjordaninsisä-jaulkotilavuudenkautta.muodostetaannytr säteisenympyränysisä-jaulkopuolellesäännölliset monikulmiot,joidenpinta-alaavoimmetarkastellajordaninsisä-jaulkotilavuutena. Syntyvätjoukoteivätoleaivanmääritelmän7.1mukaisiamuttaideapysyysamana. Sillä,jospinta-alojenerotuslähestyynollaakulmienmääränkasvaessa,onympyrä Jordan-mitallinenjoukko.Jaetaansiisympyräkulman=k;k2N;k4;mukaisestiosiin,kuva9.

22 Kuva9 Näinsaadaanmuodostettuamonikulmio,jossaonk= 2Nkulmaa.Sisäpuolelle muodostuvankulmionpinta-alasaadaanlaskettuakolmioista,jonkakorkeuson cos rjakanta2 sin r:saadaan J(P;Y)= cos sin r2: Vastaavastiympyränulkopuolellevoidaanmuodostaamonikulmiokolmioista,joiden korkeusonrjakanta2tan r:monikulmionpinta-alaksisaadaan J(P;Y)= tan r2: Näidenkahdenmonikulmionalojenerotukseksisaadaan r2 sin cos 1 cos : Nytkulmanpienentyessä sin!1 ja cos 1 cos!0: ErotuslähestyysiisnollaajaympyräontätenJordan-mitallinen. Jordan-tilavuusitsessäänonyhteydessäRiemanninintegraaliinkarakteristisenfunktionkautta.

7.4.Määritelmä(Karakteristinenfunktio).Funktio S:Rn!R:f(x)= 8 1 kunx2s >< 0 kunx2rnns; >: onjoukonsrnkarakteristinenfunktio. Jordaninsisä-jaulkotilavuusvoidaannytlausuaintegraaleina c(s)=ala Z IS(x)dx ja c(s)=ylä Z IS(x)dx; kunsikompaktillevälilleirnjasonjoukonskarakteristinenfunktio.seuraavanavoidaanantaajatkossahyödyllinentulossenmääräämiseksimilloinjoukko onjordan-mitallinen. 7.5.Lause.OlkoonSrajoitettujoukkoavaruudessaRnjamerkitäänjoukon reunaa@s:saamme c(@s)=c(s) c(s): TällöinjoukkoSonJordan-mitallinenjosjavainjosc(@S)=0;jaedelleenyhtäpitävästi täsmälleensilloinkun@sonnollamittainen. Todistus.Ks.[1,s.397],[5,5.Ÿ]. JatkossaJordan-joukontilavuusvoidaanlaskeasuoraankarakteristisenfunktion kautta.tilavuussaadaanintegroimallakarakterististafunktiotavälinisuhteen c(a)= Z IA= Z A1; milletahansakompaktillevälilleia: 7.6.Esimerkki. Osoitetaan,ettäjoukossa[0;1[ Rkäyrieny=paxjay=ax2; a>0;rajaamanalueenpinta-alaeiriipuvakiostaa: Ratkaistaanensinkäyrienleikkauspisteiksi x=0jax=a 1=3:Nytkoskakäyrien rajaamantasoalueenareunakoostuukahdestanollamittaisengraanosasta, ks.[5,s.17],onjoukonreunanollamittainenjajoukkoonjordan-joukko. 23

24 AlueenApinta-alaksisaadaannytFubininlauseella ZA1= Z a Zpax 0 1dydx 1 3 ax2 = Z pax 0 ax2dx =. a 0 2 1 3 1 pax3 2 3 ax3=1 3 : Kutenhuomataanalueenpinta-alaeiriipuvakiostaa: 8. MuuttujanvaihtoRiemanninintegraalissa Useinintegroidessasyntyytilanteita,joissamuuttujanvaihdostaonapua.Ideana onsiismuuttaaintegroitavafunktioparemminintegroitavaanmuotoon,jolloinpitää kuitenkinottaahuomioonmyösintegrointialueenmuodonjakoonmuutos.muuttujanvaihdollevoidaanjohtaavarsinainenmuuttujanvaihtolause,jossaoletetaan,että itsemuuttujanvaihtokuvausondieomorsmijajoukotjoidensuhteenintegrointia suoritetaanovatjordan-joukkoja.tarpeenmuuttujanvaihdollejaintegrointialueen muutokselleluofubininlause,jonkahyödyntäminentehtävissäonriippuvainennimenomaanintegrointialueesta. 8.1. Dieomorsmijamuuttujanvaihtolause. MääritelläänensinmitätarkoitetaanJacobindeterminantilla.Tämänjälkeenvoidaanesitellätulosdieomorsmille. a 1 3 3 8.1. Määritelmä (Jacobin determinantti). Avoimessa joukossa A Rn dierentioituvankuvaukseng:(g1;:::;gn):a!rnjacobindeterminanttipisteessäx2a on (8.1) Jg(x)=det[@igk(x)]i;k; toisinsanoensenderivaatandf(x):rn!rnmatriisindeterminantti. Muuttujanvaihdonkannaltahyödyllinentulossaadaandieomorsmille. 8.2.Lause(Dieomorsmi).OlkoonWRnavoinjoukkojaT:W!Rnjatkuvasti dierentioituvainjektio.josjt(x)6=0kaikillex2w;niint(w)rnonavoinja T:W!T(W)ondieomorsmi(ts.myösT 1onjatkuvastidierentioituva).

Todistus.Ks.[5,s.52]. 25 8.3.Lause(Muuttujanvaihtolause).Oletetaan,että 1)T:W!RnonjatkuvastidierentioituvakuvausavoimessajoukossaWRn; 2)RW onrajoitettujordan-joukkojolle RW;ja 3)jollekinsuljetullenollamittaisellejoukolleN R0:=(intR)nNrajoitettunakuvausT:R0!T(R0)ondieomorsmi. Ravoimeenjoukkoon SilloinT(R)onJordan-joukko,jarajoitetulleintegroituvallefunktiollef:T(R)!R onvoimassamuuttujanvaihtoyhtälö (8.2) ZT(R)f = Z R(fT)jJTj: Todistus.Ks.[7,s.424-428]. MitanmielessävoidaantarkastellaJacobindeterminantinosuuttamuuttujanvaihdossa,seonkuitenkinjuurisekorjaustermi,jokaottaahuomioonintegrointialueen koonmuutoksenmuuttujanvaihtoakäytettäessä.keskeisiädieomorsiamuuttujanvaihtokuvauksiaovatmuunnoksetnapa-japallokoordinaatteihin. 8.2. Napa-japallokoordinaatit. 8.2.1. Napakoordinaattikuvaus. Napakoordinaattikuvaus g:r2!r2; g(r;)=(rcos;rsin); onjatkuvastidierentioituva,jotenjoukollew=]0;1[ ]0;2[on g:w!r2nf(x;0)2r2:x0g; g(r;)=(rcos;rsin); ondieomorsmi.napakoordinaattikuvauksellejacobindeterminantinitseisarvoon jjgj=r:

26 8.4.Esimerkki.Lasketaanalueen D=f(x;y)2R2;x2+y2a2;a>0g ylifunktionf :D!R:(x;y)7!(x2+y2)sintegraali,kuns0:Integroidessa käytetäännapakoordinaattimuunnostag,jolled=g(u)joukolleu=[0;a] [0;2]: Koskag:intU!g(intU)ondieomorsmi(ks.8.2.1),niinsaadaan ZDf= Z U(r2)s rd(r;)= Z 2 Za 0 0 r2s+1drd= s+1a2s+2: Tämäantaaesimerkiksitapauksissas=1;12;32vastaavasti a4 2 ; 2 3 a3 ja 2 5 a5: 8.2.2. Pallokoordinaattikuvaus. Pallokoordinaattikuvaukselle g:]0;1[ ]0;2[ ] 2 ; 2 [!R3; g(r;;)=(rcoscos;rsincos;rsin); voidaanmyöslaskeajacobindeterminantti Jg=det 2 coscos rsincos rcossin3 6 664 sincos rcoscos rsinsin 5=r2cos: sin 0 rcos 7 PallokoordinaattikuvausonjoukossaU=]0;1[ ]0;2[ ] 2;2[jatkuvastidierentioituvainjektio,joten g:u!r3nf(x;0;z)2r3:x0g; g(r;;)=(rcoscos;rsincos;rsin); ondieomorsmi. 8.5. Esimerkki. Perinteinenkaavakolmiulotteisenpallontilavuudellasaadaanintegroimallapallokoordinaattimuunnoksenavulla.OlkoonsiisD=B(0;R)R3pallo,jonkasädeonRjakeskipisteorigo.Integrointirajoiksipallokoordinaattimuunnoksessasaadaan 0rR; 02; ja 2 2 :

27 KoskaintRonpallokoordinaattimuunnoksendieomorsuusalueella(ks.8.2.2),niin muuttujanvaihtolauseenavullapallontilavuudeksisaadaan ZD1d(x;y;z)= Z 2 0 0 r2cosdrdd Z 2 2cosd Z R 0 r2dr =2 2 R3=4R3 3 3 : 8.6.Esimerkki.OlkoonB= B(0;1)suljettuyksikköpallo.Lasketaanintegraali 1 Z B p 2+x 2+y2+z2d(x;y;z): Käytetäänpallokoordinaattimuunnostag,jolloinuusiintegrointisuoritetaanjoukon R=f(r;;)2R3;0r1;02; 2 2 g ZR Z 2 2 suhteen.jacobindeterminantinarvoonsiisr2cos.koskaintronjälleenpallokoordinaattimuunnoksendieomorsuusalueella(ks.8.2.2),niinmuuttujanvaihtolauseen avullasaadaan 1 Z B p 2+x 2+y2+z2d(x;y;z)= Z 2 Z1 Z 0 2 0 r2cosp2+r2drdd 1 2 =2 Z 2 2cosd 0 r p2+r2 rdr =2 sin 1 2 0 r p2+r2 Z 1 0 p 2+r2dr =2 2 2 p3 1r p2+r2+2 0 2 2 logjr+p2+r2j =4 p3 p 2 3 log(1+p3)+0+logp2 p3 =4 2 log(1+p3)+logp2 : Z 1

28 8.7.Esimerkki.OlkoonjoukkoAR3alue,jotarajoittavatpallotx2+y2+z2=a2 jax2+y2+z2=b2;joille0<b<a:lasketaanpallokoordinaattikuvauksenavulla integraali 1 Z A 2dxdydz: Integrointisuoritetaannytjoukon (x2+y2+z2)3 R=f(r;;)2R3;bra;02; 2 2 g suhteen. KoskaintRonpallokoordinaattimuunnoksendieomorsuusalueella(ks.8.2.2),niin muuttujanvaihtolauseenavullasaadaan 1 Z A 2dxdydz= Z a Z2 r2cos b 0 r3 drdd (x2+y2+z2)3 = Z 2 0 d Z a1 b r dr Z 2 2cosd =2 ln a b a 2=4ln b 9. Lebesguenmittajaintegraali : SeuraavanatavoitteenaolisimääritelläjonkinlainenmittaavaruudessaRnsiten, ettäsevastaisiluonnollistageometristamittaajalisäksisentulisiollasiirtojenjakiertojensuhteeninvariantti.lisäksivaaditaan,ettäerillistenjoukkojenyhdisteenmitta onjoukkojenmittojensumma.mitanpystyisimyösunelmatilanteessamääräämään kaikillejoukoille.osoittautuukuitenkin,ettätästävaatimuksestatäytyyluopua. KaikkienjoukkojenkohdallavoidaankuitenkintutkiaLebesguenulkomittaa,jonka ideanaonpeittäämitattavajoukkoarnulkoapäinäärettömänmonellayksinkertaisellajoukolla. 9.1.Määritelmä(Lebesguenulkomitta).JoukonARnLebesguenulkomittaon luku m (A)=m n(a)=inf ( 1 X j=1 (I j):ij2k;aj=1 1 [ I j ) ; missä(ij)onavoimenn-välinijgeometrinenmittajakonavaruudenrnkaikkien avoimienn-välienjatyhjänjoukonmuodostamakokoelma. Z 2 2

MääritellylläLebesguenulkomitallavoidaantodistaaolevanuseitahyödyllisiä ominaisuuksia. 9.2.Lause.Lebesguenulkomitallem n:fa:arng![0;1]pätee 1)m n()=0; 2)monotonisuus:josAB,niinm n(a)m n(b); 3)subadditiivisuus:josA1;A2;:::Rn;niin 29 m n( k=1 1 [ A k) 1 X k=1 m n(ak); 4)m n(fxg)=0jokaisellex2rnjayleisemmin 5)josAonnumeroituva,niinm n(a)=0: Todistus.Ks.[3,s.9]. 9.3.Esimerkki.Välin[0;1]rationaaliluvuillevoidaanmäärittääLebesguenulkomitta.Koskavälinrationaalipisteidenjoukkoonnumeroituva,onsenulkomittalauseen 9.2perusteellanolla. Seuraavanatulisimiettiämillaisillejoukoillepätee,ettänumeroituvanmonenpis- tevieraanjoukonyhdisteenmittaontäsmälleenjoukkojenmittojensumma,toisinsa- noentutkiatäydellisenadditiivisuudentoteutumista.pohtimallakysymystäpäädytään Carathéodorynehtoon,jokamääritteleeLebesgue-mitallisetjoukot. 9.4.Määritelmä(Carathéodorynehto).JoukkoARnonLebesgue-mitallinenjos jokaiselleernpätee m n(e)=m n(e\a)+m n(ena): JatkossaavaruudenRnmitallistenosajoukkojenkokoelmastakäytetäänmerkintää Mn:YhdistämälläLebesgue-mitallisuusulkomitanmääritelmäänsaadaanmääriteltyäLebesguenmitta.

30 9.5.Määritelmä.JoukonARnLebesguenmittaon m(a)=mn(a)=m n(a); josjoukkoaonlebesgue-mitallinen. VastaavastikuinLebesguenulkomitallevoidaanmyösLebesguenmitallatodistaa olevanhyödyllisiäominaisuuksia. 9.6.Lause.Määritelläänjoukkofunktiom:Mn![0;1]asettamalla m(a)=m n(a): Tällöinjoukkofunktiomontäysadditiivinenmitta,toisinsanoen 1)m()=0;ja 2)josA1;A2;:::2Mnovatpareittainpistevieraita,niin m i=1 1 [ A i! = 1 X i=1 m(a i): Todistus.Ks.[3,s.15]. Lebesguenmitallaontyhjennysmenetelmäänliittyenrajankäyntiominaisuus: josmitallistenjoukkojenjono(ai)on 1)kasvava,niin m [ i Ai! =lim i!1m(ai); 2)väheneväjam(Ak)<1jollekink,niin m \ i Ai! =lim i!1m(ai): Todistus.Ks.[3,s.16]. 9.1. LebesguenmitanyhteysJordan-pituuteenyksiulotteisessaavaruudessa. LebesguenmitallajajoukonJordan-pituudellaonseuraavayhteys,ks.[1]: a)jokaisellerajoitetullejoukolleeonvoimassam (E)c(E): b) Olkoot E R rajoitettu joukko ja K joukon E kompakti osajoukko. Tällöin c(k)m (E): Nämäkaksitulostayhdistämälläsaadaan,ettäjokaisellekompaktillejoukolle

31 KRonvoimassac(K)=m (K):KoskarajoitetullejoukolleEjoukonreuna@E onkompaktijoukko,päädytääntilanteeseen: JoukkoEonJordan-mitallinen,josjavainjossenreunaonnollamittainenLebesguen mielessä.tätäominaisuuttahankäytettiinjordaninjoukonmäärittelyyn. 9.2. Lebesguen integraali. Lebesguelähtitarkastelemaanintegrointiaeritavalla kuinriemannjamuutedeltäjänsä.riemannkeskittyiintegraalissaanlähtöjoukkoon jasenepäjatkuvuuspisteidenmäärään,kuntaaslebesguealoittitarkastelunmaalijoukonarvoistaolettaen,ettäniitäonäärellinenmäärä.hänsiiskäviläpijokaisen maalijoukonarvonjaetsiarvoavastaavanlähtöjoukon,jonkaeisiistarvitseolla esimerkiksiyhtenäinenväli.sellaisiafunktioita,jotkasaavatvainäärellisenmäärän arvojakutsutaanyksinkertaisiksifunktioiksi. 9.7.Määritelmä(Yksinkertainenfunktio).Funktiof:Rn!Ronyksinkertainen, josf saaäärellisenmontaarvoajaalkukuvaf 1(c)2Mnjokaisellec2R:Tällöin merkitäänf2y: Otetaankäyttöönmyösmerkintä Y+=ff2Y:f(x)>0kaikillax2Rng: Huomattavaaon,ettäRiemanninintegraalinmääritelmässäesiintyvätporrasfunktiot ovatyksinkertaisia.myösmitallisenjoukon Akarakteristinenfunktioonyksinkertainen.NytvoidaanmääritelläyksinkertaisenfunktionLebesguenintegraali. 9.8.Määritelmä(Lebesguenintegraali).Olkoonf2Y+ja f(x)= k X j=1 a jaj(x) sennormaaliesitys.jose2m;niin I(f;E)= k X j=1 a jm(aj\e) onfunktionflebesguenintegraaliylijoukone.

32 Huomautus.Normaaliesityksellätarkoitetaanfunktionesittämistämuodossa f(x)= k X j=1 a jaj(x); kaikillax2rn;missäaj=f 1(aj)funktionfarvojoukollefa1;:::;akg: 9.9.Esimerkki.Tiedetään,ettävälin[0;1]rationaalilukujenLebesguenmittaon0 javälinkaikkienirrationaalilukujenmittaon1.tutkitaannytlebesguenintegraalia funktiolle f:[0;1]!r:f=a1a1+a2a2; missäa1=0,a1=[0;1]\qjaa2=1;a2=[0;1]\(rnq): Lebesguenintegraaliksiylivälin[0;1]saadaan I(f;[0;1])=a1 m(a1)+a2 m(a2)=0 0+1 1=1: Tästäseuraa,ettäLebesguenintegraalinarvoon1.SamanfunktionRiemann-integraalia eioleedesolemassa. 9.10.Määritelmä. Olkoonf :A![0;1]mitallinen.TällöinfunktionLebesgueintegraaliylijoukonAon ZAfdm= Z Afdx=supfI(u;A):u2Y+;ufjoukossaAg: Huomautus.RajoitetulleJordan-joukolleAon c(a)= Z A1= Z A1dm=m(A): Lebesguenintegraalinmääritelmäävoidaannytlaajentaafunktioihin,jotkasaavatmuitakinkuinpositiivisiaarvoja.Tämämahdollistuutarkastelemallafunktion positiivi-janegatiiviosia.määritelläänensinmitätarkoitetaanfunktionpositiivi-ja negatiiviosilla. 9.11.Määritelmä.JoukonARnfunktionf:A!Rpositiiviosaon f+:a![0;1[:x7!maxff(x);0g janegatiiviosa f :A![0;1[:x7!maxf f(x);0g= minff(x);0g:

33 NytvoidaanmääritelläfunktionLebesguenintegraalipositiivi-janegatiiviosien avulla. 9.12.Määritelmä.OlkoonA2Mjaf:A![0;1]mitallinen.Jos ZAf+dm<1 tai ZAf dm<1; niinfunktionlebesguenintegraaliylijoukonaon ZAfdm= Z Af+dm Z Af dm: Funktiotasanotaanintegroituvaksi,mikälisenintegraalionäärellinen. Huomautus.Muillekinkuinintegroituvillefunktioillevoidaansiismuodostaaintegraali,kunhantoinenfunktionpositiivi-tainegatiiviosanintegraaleistaonäärellinen. 10. Ehdotuslukio-opetukseen:integraalienarvioiminennumeerisilla menetelmillä Lukiomatematiikansyventävilläkursseillatutustutaanintegrointiinerilaisilla numeerisillamenetelmillä.nämänumeerisetmenetelmätantavatarvioitakäyränalle jäävän alueen pinta-alasta. Pinta-alalle saadaan arvio laskemalla yhteen suorakulmioidentaipuolisuunnikkaidenpinta-aloja.yhdistämällänämäkaksieritapaapäädytäänsimpsoninsääntöön,jokaantaayleensämenetelmistäparhaanarvionpintaalasta.lisäksimainittakoonesimerkkinäuusistamenetelmistäintegraaliennumeeriseen laskemiseentarkoitetuterilaisettietokoneohjelmat.esimerkiksikoulumaailmassakäytössäolevageogebra-ohjelmaantaamahdollisuudenhavainnollistaaopetuksessasitä kuinkanopeastivälinjakopisteidenmääränkasvattaminenmyösnopeastitarkentaa arvioitapinta-aloille. 10.1. Keskipistemenetelmä. Lähdetäänliikkeellesiisarvioimallakäyränallejäävää pinta-alaasuorakulmioilla.josfunktioonkasvavaannetullavälillä,niinvalitsemalla suorakulmionkorkeusjakovälinalku-tailoppupisteenperusteellasaadaanpinta-alalle arviovastaavastiala-taiyläsummanamuodostuneistasuorakulmioista,kuva10.

34 Kuva10 Arviotavoidaanparantaavalitsemallajakoväliltäsenkeskipiste,jolloinsyntyviensuorakulmioidenyläreunatvastaavatvieläkinparemminfunktiongraaa. 10.1.Esimerkki.Keskipistemenetelmällävoidaanlaskeaarvioyksikköympyränpintaalallearvioimallaympyränneljänneksen Y =f(x;y)2r2;0yp1 x2;x0g pinta-alaaneljälläsuorakulmiolla.suorakulmioidenkorkeusmääräytyykeskipistemenetelmälläneljänjakovälinkeskipisteidenx1=0;125;x2=0;375;x3=0;625ja x4=0;875antamienarvojenmukaan.neljänneksenpinta-alaksisaadaan AK(Y)=0;25( p 1 0;1252+ p 1 0;3752+ p 1 0;6252+ p 1 0;8752) =0;795982: Saatuaarvoavoidaanverrataoikeaanyksikköympyränneljänneksenalaan A= 4 =0;785398:::; jolloinhuomataankeskipistemenetelmänantavanvainsadasosanverranliiansuuren arvionpinta-alasta.

35 10.2. Puolisuunnikasmenetelmä. Yleensäsuorakulmioitaparempiarviopinta-alalle saadaankorvaamallasuorakulmiotpuolisuunnikkailla,jotkamuodostuvatkunjakovälien päätepistearvotyhdistetäänjanoilla,kuva11. Kuva11 Josdonjakovälinpituusjay1jay2ovatfunktionarvotjakovälinpäätepisteissä,niin puolisuunnikkaanpinta-alaon y1+y2 2 d: 10.2.Esimerkki. Puolisuunnikasmenetelmäantaaympyräneljänneksenpinta-alalle ainaliianpienenarvion,koskamuodostetutpuolisuunnikkaatjäävätainakäyränalapuolellevaikkajakoatihennettäisiinkin.neljälläjakovälilläsaadaanpinta-alanarvioksi AP(Y)=0;25 1+ p 1 0;252 2 +:::+ p 1 0;752+0! 2 =0;748927: Puolisuunnikasmenetelmä tuottaa siis tässä tapauksessa neljä sadasosaa todellista liianpienenarvon.

36 10.3. Simpsoninsääntö. YhdistämälläkeskipistemenetelmäpuolisuunnikasmenetelmänkanssapainotettunakeskiarvonapäädytäänSimpsoninsääntöön.Puolisuunnikkaanpinta-alaotetaanhuomioonkertoimella13jakeskipistemenetelmänsuorakulmiokertoimella 23:MenetelmäonnimettyenglantilaisenThomasSimpsonin(1710-1761)mukaan. JohdetaanSimpsoninsääntöfunktionkuvaajanjax akselinvälillä[a;b]rajaaman alueenpinta-alalle.sääntövaatii,ettäjakovälejäonparillinenmäärä,jotenhelpointaonlähteäliikkeellesoveltamallamenetelmiäkokovälillä[a;b]:merkitäänfunktion arvojavälienpäätepisteissäy0jay2.keskipistemenetelmäntarvitsemaaarvoamerkitääny1:jakovälejäpituudeltaandonsiiskaksi.yhdistämälläkahdellaeritavallapinta-alallelasketutarviotpainotettunakeskiarvonasaadaansimpsoninsäännön mukaiseksipinta-alaksi (10.1) AS2=1 3 AP+2 3 AK=1 3 y0+y2 2 2d+2 3 2dy1=d 3 (y0+4y1+y2): Vastaavastineljänjakovälintilanteessakahdellaensimmäiselläjakahdellaviimeiselläjakovälillävoidaankummallakinerikseensoveltaakaavaa(10.1).Neljänjakovälin tilanteessapinta-alaksisaadaan (10.2) AS4=d 3 (y0+4y1+y2)+d 3 (y2+4y3+y4)=d 3 (y0+4y1+2y2+4y3+y4): Kaavassaolevienjakopisteidenarvojenkertoimienvoidaanhuomatanoudattavan tiettyäkaavaa,jotenjosjakoahalutaantihentäätällöinmyössimpsoninsäännön johtaminenonhelppoa. 10.3.Esimerkki.Simpsoninsäännölläsaadaanmyösarvioympyräneljänneksen pinta-alalle. Neljälläjakovälilläpinta-alaksisaadaan AS4(Y)=0;25 3 1 0;252+2 1+4p p 1 0;52+4 p 1 0;752+0 =0;770898: Kahdeksallajakovälilläsaadaanentistäparempiarvio AS8(Y)=0;125 3 1 0;1252+2 1+4p p 1 0;252+:::+4 p 1 0;8752+0 =0;780297:

37 Neljälläjakovälilläpäästäänsiissadasosanpäähänoikeastaarvostakuntaaskahdeksallavälilläpäästäänjotuhannesosientarkkuuteen. 10.4.Esimerkki.LasketaanSimpsoninsäännölläkäyräny=2xjax akselinvälillä [1;3]rajaamanalueenpinta-alakahdellajaneljälläjakovälilläjaverrataansitäsuoraanintegroimallasaatuunarvoon. Kahdellajakovälilläjakopisteetovatsiisx0=1;x1=2jax2=3:Jakovälinpituus ond=1:pinta-alaksikaavalla(10.1)saadaan AS2=d 3 (y0+4y1+y2) =1 3 (21+4 22+23) 8;66666: Neljälläjakovälilläjakopisteetovatx0=1;x1=1;5;x2=2;x3=2;5jax4=3. Jakovälinpituusond=0;5:Sijoittamallatiedotkaavaan(10.2)saadaan AS4=d 3 (y0+4y1+2y2+4y3+y4) =0;5 3 (21+4 21;5+2 22+4 22;5+23) 8;65685: Suoraanintegroimallasaadaan Z3 1 2xdx= Z 3 1 exln2dx=. 3 1 ln2 2x= 1 ln28;65617: 6 Verrattaessatuloksiahuomataan,ettäjoneljälläjakovälilläpäästäänkolmendesimaalinosaltaoikeaantulokseen. 10.5.Esimerkki.Lasketaanfunktionf(x)=x2 sinxkuvaajanjax akselinvälillä [0;]rajaamanalueenpinta-alaSimpsoninsäännöllä.Verrataanneljälläjakahdeksallaosavälilläsaatujatuloksiakaksiosittaisintegrointiavaativanintegraalinantamaan arvoon Z 0 x2sinxdx=2 45;869604: Jaettaessaintegroimisvälineljäänosaväliintuleeosavälinpituudeksisiis d= 4,ja

38 Simpsoninsäännöllä(10.2)pinta-alaksisaadaan AS4= 12 0+4 2sin 4 4 +2 2sin 2 2 +4 32 4 sin 3!5;85958: 4 Tulospoikkeaaintegroinnintuottamastaarvostasadasosanverran. Kahdeksallaosavälilläarviotasaadaantarkennettuaentisestään.Nytjakovälin pituudenollessad=8,pinta-alaksisaadaan AS8= 24 4 2sin 8 8 +2 2sin 4 4 +:::+4 72 8 sin 7!5;869246: 8 Kahdeksanjakovälinarvioantaajokolmendesimaalinosaltaoikeantuloksen.

Viitteet 39 [1] Apostol, T.M.: Mathematical analysis, A modern approach to advanced calculus (rst ed.). -Addison-Wesley publishing company, Inc., 1963. [2] Boyer, C.B.: Tieteiden kuningatar, matematiikan historia. -WS Bookwell Oy, Juva, 2000. [3] Kilpeläinen, T.: Mitta- ja integraaliteoria. -luentomoniste 2003-2004. [4] Marsden, J.E., Tromba, A.J.: Vector calculus (4th ed.). -W.H.Freeman and company, USA, 1996. [5] Purmonen, V.T.: Integraalilaskentaa 1. -Jyväskylän yliopiston Matematiikan ja tilastotieteen laitoksen luentomoniste 53, 2010. [6] Suomela, P.: Matematiikan historia. Jyväskylän yliopiston Matematiikan ja tilastotieteen laitoksen luentomoniste 5, 2006. [7] Williamson, R.E., R.H. Crowell: Calculus of vector functions (2nd ed.). -Prentice-Hall, Inc., Englewood Clis, N.J., 1968.