RMS22 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 28 Harjoitus 8 Ratkaisuehdotuksia Tehtävissä 1, 2, ja 3 tarkastelemme seuraavaa tilannetta: Pankki harkitsee myöntääkö 5. euron lainan asiakkaalle 12% korolla, vai sijoittaako kyseiset 5. euroa valtion obligaatioihin 6% korolla. Pankki arvioi, että 4%:n todennäköisyydellä asiakas ei pysty maksamaan lainaansa takaisin. Pankki voi teettää tutkimuksen asiakkaan luotettavuudesta 5 eurolla. Todennäköisyys, että tutkimus antaa suotuisan tuloksen asiakkaalle, joka pystyy maksamaan lainansa on 77/96. Todennäköisyys, että tutkimus antaa suotuisan tuloksen asiakkaalle, joka ei pysty maksamaan lainaansa on 1/4. 1. Piirrä pankin tilannetta vastaava päätöspuu (ilman todennäköisyyksiä). Ratkaisuehdotus: (Palkkiot kiloeuroissa) maks. Suotuisa tul. Tutkitaan as. maks. Epas. tul. maks. Ei tutkita as. 1
2. Kannattaako pankin teettää tutkimus asiakkaasta? Ratkaisuehdotus: lkoot L = maksetaan, ei L = a ei makseta, S = Raportti on suotuisa, ei S = Raportti ei ole suotuisa, T = Asiakas tutkitaan, ei T = Asiakasta ei tutkita, = stetaan obligaatioita, ei = Annetaan laina. Näillä merkinnöillä abstraktein todennäköisyyksin täytetty päätöspuu on muotoa T P (S) P (ei S) ei ei P (L S) P (ei L S) P (L ei S) P (ei L ei S) ei T ei P (L) P (ei L) Prioritodennäkösyydet L:lle on annettu: P(ei L) =,4 ja P(L) =,96. Lisäksi on annettu uskottavuudet P(S L) = 77/96 ja P(ei S L) = 19/96 sekä P(S ei L) = 1/4 ja P(ei S ei L) = 3/4. 2
Laskemme sitten päätöspuuhun tarvitsemamme posterioritodennäköisyydet: P(L S) = P(L)P(S L) P(L)P(S L) + P(ei L)P(S ei L) =,96 77/96,96 77/96 +,4 1/4 =,987, P(ei L S) = 1 P(L S) =,13, P(L ei S) = P(L)P(ei S L) P(L)P(ei S L) + P(ei L)P(ei S ei L) =,96 19/96,96 19/96 +,4 3/4 =,864, P(ei L ei S) = 1 P(L ei S) =,136. Sijoittamalla saadut luvut edellisessä edellä rakennettuun päätöspuuhun ja laskemalla odotusarvot normaaliin tapaan lähtien liikkeelle lehdistä saamme täytetyn päätöspuun BLAH maks. Suotuisa tul. Tutkitaan as. maks. Epas. tul. maks. Ei tutkita as. 3
3. (a) Kuinka paljon pankin kannattaa korkeintaan maksaa tutkimuksen teettämisestä? (b) Kuinka paljon kannattaisi pankin maksaa oraakkelitutkijalle, joka ilmoittaa välittömasti pystyykö asiakas maksamaan lainansa vai ei? Ratkaisuehdotus: 4. Öljy-yhtiö y:n pitää päättää poratako öljyä paikasta P. Poraaminen maksaa 1.=C. Jos öljyä löytyy, niin siitä saadaan 6..=C. Öljyyhtiö y arvelee, että öljyn löytymisen todennäköisyys on 45%. Ennen varsinaista poraamista Öljy-yhtiö y voi palkata geologin arvioimaan paikkaa P. Geologin palkkaaminen maksaa 1.=C. Geologista tiedetään, että jos hän antaa suotuisan raportin, niin öljyä löytyy. Toisaalta geologi on antanut kerran epäsuotuisan raportin vaikka öljyä onkin lopulta löytynyt. Geologi on tehnyt uransa aikana 1 tutkimusta. Kannattaako Öljy-yhtiö y:n palkata geologi? Ratkaisuehdotus: lkoot 1 = Paikassa P on öljyä, ei = Paikassa P ei ole öljyä, S = Geologin raportti on suotuisa, ei S = Geologin raportti ei ole suotuisa, G = Palkataan geologi, ei G = Ei palkata geologia. Tällöin, symbolisesti, päätöspuu on BLAH Näemme, että päätöstä varten tarvitsemme numeeriset arvot todennäköisyyksille BLAH 5. lkoon mahdollisia, toistensa poissulkevia, maailmantiloja n kappaletta: s 1, s 2,..., s n ja olkoon mahdollisia, toistensa poissulkevia, havaintoja m kappaletta: o 1, o 2,..., o m. Todista Bayesin kaava (1) P(s i o j ) = P(s i )P(o j s i ) n k=1 P(o j s k )P(s k ) kaikille i n, j m. Vihje: Bayesin kaava seuraa loogisesti ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä ja Kolmogorovin aksioomista. 1 Merkinnät ja S menevät ristiin vastaavien merkintöjen o ja s kanssa. Luennoija pahoittelee! 4
Ratkaisuehdotus: Tarkastelemme aluksi Bayesin kaavan (1) oikean puolen alakertaa n P(o j s k )P(s k ). Huomaamme, että k=1 P(o j s k )P(s k ) = P(o j s k ). Toisaalta täsmälleen yksi maailmantiloista s k, k n, sattuu. Siten n P(o j s k ) = P(o j ). k=1 Siispä Bayesin kaavan (1) oikean puolen alakerta on itse asiassa todennäköisyys P(o j ) ja kaava (1) on sama, kuin kaava (2) P(s i o j ) = P(s i)p(o j s i ). P(o j ) Mutta nyt, kertomalla kaavan (2) molemmat puolet luvulla P(o j ), huomaamme, että kaava (2) onkin yhtäpitävä triviaalin identiteetin P(o j s i ) = P(s i o j ) kanssa. Koska tämä identiteetti pitää aina paikkansa, niin loogisesti Bayesin kaava (1) pitää myös aina paikkansa. 5