MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti tueksi alustavaa arvostelua varten. Alustavat hyvän vastauksen piirteet eivät välttämättä sisällä ja kuvaa tehtävien kaikkia hyväksyttyjä vastauksia. Alustavat hyvän vastauksen piirteet eivät ole osa Ylioppilastutkintolautakunnan yleisissä määräyksissä ja ohjeissa tarkoitettua tietoa siitä, miten arvosteluperusteita on sovellettu yksittäisen kokelaan koesuoritukseen. Alustavat hyvän vastauksen piirteet eivät sido Ylioppilastutkintolautakuntaa lopullisen arvostelun perusteiden laadinnassa. Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti. Laskin on kokeen apuväline, jonka rooli arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty symbolista laskinta, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä laskimella saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan laskimesta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi.
A-osa. Tehtävä arvostellaan YTL:ssä, opettajan ei tarvitse tehdä siihen merkintöjä. Oikeakin vastaus saattaa näkyä kokelaille nollana ennen kuin arvostelu on suoritettu. 0 000 4 50 4 336 4. Tehtävä arvostellaan YTL:ssä, opettajan ei tarvitse tehdä siihen merkintöjä. Oikeakin vastaus saattaa näkyä kokelaille nollana ennen kuin arvostelu on suoritettu. 4 3 4 x4 + 3 x3 3 4(x ) 6 3 4 cos(3x) 3 3. Merkitään u =(x, y). Ensimmäinen ehto, kerrottuna viidellä, antaa 3x +4y = 5. Toinen ehto antaa x + y = 5. Ensimmäisen ehdon perusteella x =5 4y. 3 Sijoitetaan se toiseen ehtoon: (5 4 3 y) + y = 5. Kerrotaan auki: 5 40y + 6 3 9 y + y = 5. Sievennetään: 40y + 5 3 9 y =0. y =0tai y = 40 9 3 5 5 Ensimmäisestä ehdosta saamme x =5tai x = 7. 5 u = (5,0) tai u =( 7, 4). 5 5 Tehtävän voi ratkaista myös vektoreilla tai trigonometrialla. 4. sin x ja kumpikin ääriarvo saavutetaan. Eksponenttifunktio on kasvava. e e sin x e. Pienin arvo on e ja suurin arvo on e. Epäyhtälö sievenee muotoon e sin x+cos x e. Ottamalla puolittain logaritmi (joka on kasvava funktio) saadaan sin x + cos x. Välillä [0, π ] on sin x sin x ja cos x cos x, joten sin x + cos x sin x + cos x =, eli epäyhtälö pätee. B-osa 5. Epäyhtälö pätee väleillä [ 3,] ja [4, [. 3+3 Jos polynomi on esitetty tulomuodossa, niin epäyhtälön p(x) 0 voi ratkaista tulon nollasääntöä käyttämällä. 3 Jokaiselle tekijälle selvitetään, millä välillä se on negatiivinen. Jokaiselle osavälille katsotaan, kuinka moni tekijä on negatiivinen (esimerkiksi kulkukaaviolla). Jos negatiivisia tekijöitä on pariton määrä, niin tulo on negatiivinen, muuten ei-negatiivinen. Voimme esimerkiksi etsiä paraabeleja, jotka sivuavat suoraa origossa.
B-osa 6. Voimme esimerkiksi etsiä paraabeleja, jotka sivuavat suoraa y = x origossa. Paraabelin y = ax + bx + c tangentti origossa saadaan derivaatan avulla: ax + b = b kun x =0. 3 Saamme siis ehdon b =. Lisäksi paraabelin pitää kulkea origon kautta: 0=a0 + b0+c eli c =0. Esimerkeiksi käyvät siten muun muassa x + x ja x + x. TAI Tarkastellaan esimerkiksi paraabeleita y = x ja y = (x ) + c. Eri parametrin c arvoilla paraabeleilla on nolla, yksi tai kaksi leikkauspistettä. Sivuaminen vastaa yhden leikkauspisteen tapausta, sillä paraabelit aukeavat eri suuntiin, eli yhtälöllä x = (x ) + c pitäisi olla täsmälleen yksi ratkaisu eli diskriminantti ( ) 4 ( c) =0. Siten esimerkeiksi käy y = x ja y = (x ) + 7. Polynomin x nx + n diskriminantti on D =( n) 4 n = n 4n. Polynomilla on kaksinkertainen nollakohta jos ja vain jos D =0 eli n(n 4) = 0. Nopanheitossa tapaus n =0ei voi esiintyä, eli ainoastaan heittämällä nelonen päädytään kaksinkertaiseen nollakohtaan. Kaksinkertaisen nollakohdan todennäköisyys toisella nopalla on siten ja toisella 6 8 Tapahtumat ovat riippumattomia, joten todennäköisyys, että ainakin toinen tapahtumista sattuu, on + 6 8 6 8 48 https://www.ylioppilastutkinto.fi/images/sivuston_tiedostot/hyv_vast_piirt/fi_09_s/m7.ods 8. Luku on jaollinen yhdeksällä jos ja vain jos sen numeroiden summa on jaollinen yhdeksällä. Lukujen, ja 333 333 333 numeroiden summat ovat 9, 8 ja 7, eli kaikki ovat jaollisia yhdeksällä. (Voi laskea myös suoraan laskimella.) 3 Jos n on jaollinen yhdeksällä, niin myös n k on jaollinen yhdeksällä, kun k on positiivinen kokonaisluku. 3 Siten on jaollinen yhdeksällä, samoin muut termit. 4 Myös summa on siten jaollinen yhdeksällä. 9. Kun x<0, niin funktio f(x) = x = + on kasvava, sillä x on x x vähenevä. Kun x 0, niin funktio f(x) = x = on kasvava, sillä +x on kasvava. +x +x Origossa funktio on jatkuva, joten se on kasvava koko reaaliakselilla. Lasketaan raja-arvot: lim x f(x) =ja lim x f(x) =. Raja-arvoja tarkastelemalla arvojoukoksi saadaan B =],[. Tapauksessa x 0 ratkaistaan yhtälö z = x (a-kohdan nojalla z [0,[): +x x = z eli f (z) = z. 3 z z Tapauksessa x<0ratkaistaan yhtälö z = x (a-kohdan nojalla z (,0]): x x = z eli f (z) = z. 3 +z +z Tämän voi kirjoittaa lyhyemmin f (z) = z, z ],[. z
B-osa 0. Kuvaajasta nähdään, että kuudes pomppu näyttää olevan viimeinen, jonka korkeus ylittää yhden yksikön. Osoitetaan tämä vielä tarkasti. Pallo osuu maahan, kun d = πk, missä k luonnollinen luku. Kuudennella pompulla kohdassa d = π (5,5) lasketaan h( 5 π)=, > π+5. 4 Seitsemännellä pompulla pallo on vielä menossa ylöspäin, kun d = 0, joten 5 sin d huippu saavutetaan, kun d>0, jolloin <. 4 d+5 Kuudes pomppu on siis viimeinen, jonka korkeus on yli yhden yksikön.. Newtonin menetelmä voidaan tulkita graafisesti seuraavalla tavalla: Pisteessä (x n,f(x n )) katsotaan, missä kuvaajan y = f(x) tangentti leikkaa x-akselin. Leikkauspisteen x-koordinaatti antaa arvon x n+. 3 Jotta päädytään tehtävässä kuvattuun tilanteeseen, täytyy tangentin kohdassa x n osua kohtaan x n+ ja tangentin kohdassa x n+ osua kohtaan x n. 3 Kuva:. Merkitään f(x) =x 6. Kun x [k,k], niin (k ) 6 f(x) k 6. Integroidaan puolittain edellinen epäyhtälö ja huomioidaan, että vakion integraali yli yksikkövälin on vakio itse: (k ) 6 k k k6. Otetaan summa yli vasemman epäyhtälön, kun k = n +,...,n, ja oikean 3 k k=n+ k k k epäyhtälön, kun k = n,...,n : n k=n+ (k )6 n f(x) dx = n f(x) dx = n [ 7 x7 ] n n = 7 7 n7 ja n k=n k6 n k=n f(x) dx = n f(x) dx =[ n 7 x7 ] n n 7(n 7 )7. 4 Muuttujanvaihdolla nähdään, että n k=n+ (k )6 = n k=n k6, jolloin edellisestä kohdasta saadaan halutut epäyhtälöt. 6
3. Joukko A 6 = {5,6,7,8,9,0}, joten sen jäsenten summa on 05. Joukon A 09 jäsenten summan voi selvittää taulukkolaskentaohjelmalla, tai alla olevalla kaavalla. Vastaus: 4 5 085 40. 3 Johdetaan seuraavaksi yleinen kaava joukon A k jäsenten summalle. Joukossa A k on k jäsentä, joten joukoissa A 0,..., A k on yhteensä k i= i = k(k ) jäsentä, alkaen nollasta. Joukon A k ensimmäinen alkio on siis k(k ). Siten joukon A k viimeinen jäsen on (k + )k. () Joukossa A k on k alkiota, joiden keskiarvo on ( k(k ) + (k + )k ) = 4 (k k + k + k ) = (k ). Joukon alkioiden summa on siten (k )k.