Tehtävä 1 Fluidi virtaa vaakasuoran pinnan yli. Pinnan lähelle muodostuvan rajakerroksen nopeusjakaumaa voidaan approksimoida funktiolla ( πy ) u(y) = U sin, kun 0 < y < δ. 2δ Tässä U on nopeus kaukana pinnasta, y on etäisyys pinnasta ja δ on rajakerroksen paksuus (kts. kuva). (a) Määritä leikkaujännitysjakauma τ(y) rajakerroksessa ja hahmottele tämän kuvaaja. (b) Laske pintaan neliösenttimetrille kohdistuva vaakasuuntainen voima neljällä eri fluidilla: 10 asteinen ilma, 30 asteinen ilma, 10 asteinen vesi ja 30 asteinen vesi. Oleta vallitsevaksi paineeksi ilmanpaine merenpinnan tasolla. Ilmoita aineominaisuuksien lähde selvästi. (c) Pohdi lämpötilan vaikutusta fluidin viskositeettiin b-kohdan valossa. Kuva 1: Tehtävän asettelu. Ratkaisu (Kappale 1.6) (a) Leikkausjännitys on suoraan verrannollinen leikkausnopeuteen. Mikäli nopeusjakauma tunnetaan, voidaan leikkausjännitysjakauma laskea suoraviivaisesti lausekkeesta τ(y) = µ du dy, jossa du/dy mittaa nopeutta, jolla differentiaalinen fluidialkio leikkautuu. Koska nopeusjakauma rajakerroksessa tunnetaan, saadaan leikkausjännitysjakaumaksi τ(y) = µ d ( πy ) dy U sin = πuµ 2δ 2δ ( πy ) cos 2δ Tätä jakaumaa on hahmoteltu kuvassa 2. Kuten kuvasta nähdään, saavuttaa leikkausjännitys maksiminsa pinnalla, ja leikkausjännitys häviää rajakerroksen reunalla. Koska rajakerroksen ulkopuolella nopeus on vakio ei fluidissa tapahdu tällöin leikkautumista, jolloin myös leikkausjännitys häviää..
Kuva 2: Leikkausjännitysjakauma rajakerroksessa. Koska leikkausjännitys on suoraan verrannollinen nopeusjakauman derivaattaan, leikkausjännityksen suuruus kytkeytyy nopeusjakauman jyrkkyyteen. 1 Mitä jyrkemmin nopeus kasvaa siirryttäessä kauemmas pinnalta, sitä suurempi on leikkausjännitys. (b) Leikkausjännitys on paineen tavoin määritetty voimana per pinta-alayksikkö. Tällöin pintaan tietylle alalle kohdistuva vaakasuuntainen voima saadaan leikkausjännityksen ja pinnan pinta-alan tulona. Tässä tapauksessa leikkausjännitystä kysytään pinnalla y = 0, jolloin voima saadaan lauseekkeella F τ = τ(0) = πuµ. 2δ Jotta voima voidaan laskea, tarvitaan fluidin dynaaminen viskositeetti µ. Fluidien viskositeetteja löytyy eri lähteistä. Ilmalle 2 löysin viskositeetin arvoiksi 1, 764 10 5 kg/(m s) ja 1, 860 10 5 kg/(m s) ja vedelle 3 1, 3039 10 3 kg/(m s) ja 0, 7972 10 3 kg/(m s) 10 ja 30 asteen lämpötiloissa. Näillä viskositeetin arvoilla neliösenttimetrille kohdistuvaksi voimaksi saadaan F τ,ilma,10 = π 10 m/s 1, 764 10 5 kg/(m s) 10 4 m 2 F τ,ilma,30 = π 10 m/s 1, 860 10 5 kg/(m s) 10 4 m 2 F τ,vesi,10 = π 10 m/s 1, 3039 10 3 kg/(m s) 10 4 m 2 F τ,vesi,30 = π 10 m/s 0, 7972 10 3 kg/(m s) 10 4 m 2 4, 6 µn 4, 9 µn 0, 34 mn 0, 21 mn 1 Huomaa, että kuvaajissa akselit on valittu siten, että etäisyys on pystyakselilla. Tämän vuoksi tehtävänannon kuvaajan kulmakerroin ei kuvaa leikkausnopeutta, vaan akselit pitäisi ensin vaihtaa toisin päin. Virtausmekaniikassa yleisestikin kannattaa pyrkiä eroon derivaatan tulkitsemisesta puhtaasti geometrisesti ja pitää ensisijaisesti mielessä, että derivaatta mittaa muutosnopeutta. Tehtävän tapauksessa mitataan, kuinka nopeasti nopeus muuttuu, kun siirrymme kauemmas pinnalta. 2 https://www.engineeringtoolbox.com/air-absolute-kinematic-viscosity-d_601.html 3 https://wiki.anton-paar.com/en/water/
(c) B-kohdassa ilman viskositeetti kasvaa ja veden pienenee lämpötilan kasvaessa. Tämä ero kaasujen ja nesteiden välillä liittyy siihen, että kaasuissa ja nesteissä viskositeetti liittyy pääasiassa eri mekanismeihin. Kaasuissa viskositeetti liittyy liikemäärän siirtymiseen törmäilevien molekyylien välillä. Nesteissä viskositeetti liittyy molekyylien välisiin koheesiovoimiin. Kun kaasun lämpötila nousee, molekyylien lämpöliike kasvaa, molekyylien väliset törmäykset voimistuvat ja liikemäärän siirtyminen tehostuu. Nesteen lämpötilan kasvaessa molekyylit siirtyvät keskimäärin kauemmas toisistaan, jolloin koheesiovoimat heikkenevät ja myös liikemäärän siirtyminen heikkenee. Tehtävä 2 Tarkastellaan kuvan U-manometria. Putkissa ja B on 20 asteista vettä ja manometrineste on elohopeaa. (a) Laske, kuinka suuri prosentuualinen virhe tehdään paine-eron arvioinnissa, jos paine-ero pisteiden ja B välillä lasketaan yksinkertaisesti kaavalla p p B = ρgh, jossa ρ on manometrinesteen tiheys, g on putoamiskiihtyvyys ja h on manometripatsaan korkeus. (b) Miksi kaava ei anna tässä tapauksessa oikeaa paine-eroa? (c) Miten prosentuaalinen virhe muuttuisi, jos putkissa ja B olisi ilmaa? B 1,20 m 0,70 m Kuva 3: Tehtävän asettelu. Ratkaisu (Kappale 2.6) (a) Jotta voimme laskea prosentuaalisen virheen, tulee meidän ratkaista, mikä on todellinen paine-ero putkien välillä. Todellinen paine-ero saadaan käymällä manometri läpi päästä päähän ja käyttämällä hydrostaattisen paineen lauseketta p = p 0 + ρg h
yksittäisille osaväleille. Tässä p 0 on paine jossain tunnetussa pisteessä ja h on pystysuuntainen siirtymä tarkastelupisteen ja tunnetun pisteen välillä (positiivinen siirryttäessä alaspäin). Kirjoitetaan manometriyhtälö lähtien pisteestä B ja siirtyen kohti pistettä pysähtyen nesteiden rajapinnoilla (kts. kuva 4). Paineeksi pisteessä saadaan p = p B + ρ vesi g h B 1 + ρgh + ρ vesi g h 2, Tässä siis siirrytään ensin vedessä pisteestä B veden ja elohopeapatsaan rajapinnalle 1. Tä- B 1,20 m 0,70 m 1 2 Kuva 4: Tehtävän jako osaväleihin. män jälkeen siirrytään elohopeassa rajapinnan 2 tasolle. Tässä on syytä huomata, että samassa fluidissa voidaan siirtyä vaakasuorassa ilman, että paine muuttuu. Nyt elohopeassa voidaan siis siirtyä rajapinnan 2 tasolla manometrin oikeasta haarasta vasempaan haaraan. Lopuksi siirrytään vedessä rajapinnalta 2 pisteeseen. Paine-eroksi saadaan p p B = ρ vesi g h B 1 + ρgh + ρ vesi g h 2. (1) Sijoittamalla tähän fluidien tiheydet 4 ja osavälien siirtymät, saadaan paine-eroksi p p B = 998, 2 kg m 9, 81 m kg 0, 70 m + 13545 3 s2 m 9, 81 m 0, 50 m 3 s2 998, 2 kg m 9, 81 m 1, 20 m 61, 5 kpa. 3 s2 Yksinkertaistettu kaava antaa paine-eroksi p p B = 13545 kg m 9, 81 m 0, 50 m 66, 4 kpa. 3 s2 Prosentuaaliseksi virheeksi käytettäessä yksinkertaistettua kaavaa saadaan tällöin ε = 66, 4 61, 5 61, 5 100% 8, 0% (b) Yksinkertaistettu kaava ei anna oikeaa paine-eroa, koska se antaa käytännössä paine-eron rajapintojen 1 ja 2 välillä. Tässä ei siis huomioida sitä, että paine vasemmassa haarassa pienenee, kun siirrymme vedessä ylöspäin. Tämä nähdään, kun kaava (1) kirjoitetaan muodossa p p B = ρgh + ρ vesi g ( h B 1 + h 2 ) = ρgh ρ vesi gh, 4 https://wiki.anton-paar.com/en/water/ ja https://www.engineeringtoolbox.com/mercury-d_1002.html
jossa on käytetty hyväksi tietoa h B 1 + h = h 2. Tämän paine-eron lausekkeen viimeinen termi kuvaa siis suoraan sitä, kuinka suuri virhe yksinkertaistetun kaavan käytössä tehdään. (c) Koska virhe on suoraan verrannollinen fluidin tiheyteen, on kaasun tapauksessa virhe huomattavasti pienempi. Prosentuaalinen virhe voidaan kirjoittaa muodossa ε = ρ ilma gh ρgh ρ ilma gh 100% = ρ ilma ρ ρ ilma 100% = 1, 204 100% 0, 0089%, 13545 1, 204 joka on käytännössä merkityksettömän pieni. Kaavasta nähdään, että suhteellisen virheen osalta oleellinen mitta on mitattavan fluidin tiheyden suhde tämän fluidin ja manometrinesteen tiheyseroon. Koska manometrifluidina pyritään käyttämään raskaita nesteitä, on ilman (tai muiden kaasujen) tapauksessa yksinkertaistetun kaavan käytöstä syntyvä virhe mitättömän pieni, sillä kaavassa osoittaja on tällöin hyvin pieni suhteessa nimittäjään. Käytännössä pieni virhe johtuu siitä, että hydrostaattinen paine ei juurikaan muutu kaasussa siirryttäessä tasolta 2 tasolle 1. Näissä tilanteissa paine-ero voidaan määrittää käytännössä suoraan manometripatsaan korkeudesta ilman muita mittoja. Tehtävä 3 Tarkastellaan kuvan 3 mukaista porttia, joka on saranoitu yläreunastaan kohdasta. Portin korkeus ja leveys ovat 1, 6 m ja 5 m. Kuvassa portin vasemmalla puolella on makeaa vettä (ρ = 999 kg/m 3 ) ja oikealla puolella merivettä (ρ = 1025 kg/m 3 ). Portti aukeaa, kun vuorovesi laskee, ja sulkeutuu, kun vuorovesi nousee. Määritä vuoroveden korkeus h, jolla portti on juuri lähdössä aukeamaan. 3,2 m 1,6 m Kuva 5: Tehtävän asettelu.
Ratkaisu (Kappale 2.8) Kappaleeseen vaikuttavaan hydrostaattiseen voimaan liittyy kaksi keskeistä käsitettä: efektiivinen paine, jolla voiman suuruus lasketaan ja voiman vaikutuspiste. Efektiivinen paine lasketaan vaikutuspinnan geometrisessa keskiössä. Merkitään tätä etäisyyttä vapaasta pinnasta kappaleen pintaa pitkin muuttujalla y c. Pystysuoralla tai kaltevalla pinnalla voima ei kuitenkaan vaikuta pinnan keskiössä vaan keskiön alapuolella. Merkitään tämän voiman vaikutuspisteen etäisyyttä vapaasta pinnasta kappaleen pintaa pitkin muuttujalla y R. Tehtävän tapauksessa sekä hydrostaattinen paine, että hydrostaattisen voiman vaikutuspiste portin vasemmalla ja oikealla puolella on eri (kts. kuva 6). Portin aukeamisen kannalta oleellista on näiden voimien aiheuttama momentti portin yläreunan suhteen, josta portti on saranoitu. Jos veden pinnan tasot olisivat molemmilla puolilla samat, olisi oikean puolen momentti itseisarvoltaan suurempi, koska hydrostaattinen paine olisi oikealla puolella suurempi suuremman tiheyden vuoksi. Kun veden pinta oikealla puolella laskee, alkaa hydrostaattinen paine ja siten hydrostaattinen voima sillä puolella pienentyä. 5 Portti on juuri lähdössä aukeamaan, kun momentit oikealla ja vasemmalla puolella ovat yhtä suuret. Tehtävän ratkaisemiseksi tulee siis määrittää hydrostaattinen voima ja sen aiheuttama momentti eli voiman vaikutuspiste oikealla ja vasemmalla puolella. Portin vasemmalla puolella momentti on vakio, mutta oikealla puolella se on funktio vuoroveden korkeudesta h. Momenttiehdosta saadaan tällöin ratkaistua tuntematon h. 3,2 m 1,6 m Kuva 6: Porttiin vaikuttavat voimat. Koska portin geometria on molemmilla puolilla sama, lasketaan efektiivinen paine molemmilla puolilla samassa pisteessä eli portin geometrisessä keskipisteessä. Koska portti on suorakaiteen muotoinen, on keskipiste pystysuunnassa portin puolivälissä eli 0, 8 m pohjan yläpuolella. Tällöin y c,l = 3, 2 m 0, 8 m = 2, 4 m y c,r = h 0, 8 m. Hydrostaattinen voima saadaan kertomalla hydrostaattinen paine pinnan keskiössä portin pintaalalla eli F = ρgy c, 5 Samalla myös voiman vaikutuspiste siirtyy.
jolloin vasemman ja oikean puolen voimiksi saadaan F L = 999 kg m 3 9, 81 m s 2 2, 4 m 1, 6 5 m2 188, 16 kn F R = 1025 kg m 3 9, 81 m s 2 (h 0, 8 m) 1, 6 5 m2 = 80, 442 (h 0, 8 m) kn m. Hydrostaattisen voiman vaikutuspisteen etäisyys veden pinnasta on laskettavissa kaavalla y R = I xc y c + y c, missä I xc on kappaleen pinnan jäyhyysmomentti geometrisen keskiön kautta kulkevan vaakasuoran (paperia vastaan kohtisuoran) akselin suhteen. Suorakaiteen tapauksessa pätee I xc = ab3 12, missä a ja b ovat suorakaiteen sivun pituudet akselin suunnassa ja sitä vastaan kohtisuorassa suunnassa. Sijoittamalla tämä vaikutuspisteen lausekkeeseen saadaan y R = ab3 12aby c + y c = b2 12y c + y c. Sijoittamalla tähän portin korkeus ja pinnan keskiön etäisyydet vasemmalla ja oikealla saadaan y R,L = 1, 62 m 2 + 2, 4 m 2, 4889 m 12 2, 4 m 1, 6 2 m 2 0, 2133 m2 y R,R = + h 0, 8 m 12 (h 0, 8 m) h 0, 8 m + h 0, 8 m. Momenttiehto akselin suhteen voidaan kirjoittaa muodossa F L [y R,L (3, 2 m 1, 6 m)] = F R [y R,R (h 1, 6 m)]. Sijoittamalla tähän hydrostaattisten voimien ja vaikutuspisteiden lausekkeet saadaan ( ) 0, 2133 m 2 kn 188, 16 (2, 4889 1, 6) knm = 80, 442 (h 0, 8 m) + h 0, 8 m h + 1, 6 m h 0, 8 m m 188, 16 0, 889 m 2 = 0, 2133 m 2 + 0, 8 m h 0, 64 m 2 80, 442 (2, 079 + 0, 64 0, 2133) m2 h 3, 13 m. 0, 8 m Jos tällä arvolla lasketaan hydrostaattinen voima ja sen vaikutuspiste portin oikealla puolella, huomataan, että voima on noin 187, 4 kn ja vaikutuspisteen etäisyys akselista on noin 89, 2 cm. Voima on siis hieman pienempi kuin vasemman puolen voima 188, 2 kn ja voiman vaikutuspiste on hieman alempana kuin vasemman puolen voiman, joka vaikuttaa noin 88, 9 cm akselin alapuolella.