3.3 Luokkaryhmä Seuraavana tavoitteena on osoittaa, että binääristen neliömuotojen ekvivalenssiluokat muodostavat ryhmän. Määritelmä 3.39. Määritellään operaatio kahden samaa diksriminanttia olevan binäärisen neliömuodon f (a,b,c ) f 2 (a 2,b 2,c 2 ) välillä seuraavalla tavalla. Olkoot s =(b + b 2 )/2,n=(b b 2 )/2, u, v, w sellaisia ua + va 2 + ws = d = syt(a,a 2,s), d 0 = syt(d, c,c 2,n). Nyt f f 2 yhdiste tuottaa neliömuodon ( a a 2 (a 3,b 3,c 3 )= d 0 d,b 2 2 + 2a ) 2 d (v(s b2) wc 2), b2 3. 4a 3 Propositio 3.40. Ekvivalenssiluokat, ylläoleva operaatio muodostavat äärellisen Abelin ryhmän, jonka koko on h, eli luokkaluku. 3.4 Yhteys neliökuntien luokkalukuihin Kuten huomattiin, definiittien epädefiniittien neliömuotojen teorialla oli eronsa. Samalla lailla imaginääristen neliökuntien teoria oli helpompi kuin reaalisten neliökuntien. Yksi ero imaginäärisillä neliökunnilla reaalisilla neliökunnilla on se, että imaginäärisessä kunnassa N(α) > 0 kaikille α K = Q( ). Reaalisen neliökunnan tapauksessa N(α) voi olla positiivinen tai negatiivinen. Ideaaliluokkien joukossa määriteltiin ideaalit I J ekvivalenteiksi, jos oli olemassa α, β O K, joille (α)i =(β)j. Tästä seuraa, että I J ovat ekvivalentte, jos I = (α/β)j. Ei kuitenkaan tiedetä, onko α/β O K. Tämän vuoksi määritellään nyt murtoideaali. Määritelmä 3.4. Ideaali I on murtoideaali, jos on olemassa määrätty ν O K, jolle pätee, että jokaista α I, aina να O K Jokainen ideaali on murtoideaali. Lisäksi murtoideaaleille sallitaan "yhteinen nimittäjä". Kuten kunnalle K = Q( ) sen kokonaislukujen renkaalle O K voidaan antaa kannat. Voidaan antaa kanta myös ideaalille I O K. Sillä on kanta {α, }, joten jokainen β I voidaan kirjoittaa muotoon β = xα + y, missä x, y Z. 4
Lisäksi kullekin ideaalille voidaan antaa kanoninen kanta, joka on yksikäsitteinen {a, b + gδ}, missä a, b, g Z, δ O K, a>0, 0 b < a, 0 g a g a, b. Kun ideaalille on löydetty kanta {α, } on sille helppo laskea normi, nimittäin = α ᾱ 2 ᾱ /. Jos ideaalilla on kanoninen kanta {a, b + gδ}, on vastaavan murtoideaalin kanta muotoa {a/ν, (b + gδ)/ν} Edellisissä luvuissa määriteltiin ideaalit I J ekvivalenteiksi, jos oli olemassa α, β O K, joille (α)i =(β)j. Murtoideaalien tapauksessa määritellään I J, jos I =(γ)j. Ekvivalenssia kutsutaan kapeaksi ekvivalenssiksi, jos N(γ) > 0. Kun K on imaginäärinen neliökunta, kapea ekvivalenssi on sama kuin ekvivalenssi. Jos kyseessä on reaalinen neliökunta, ekvivalenssiluokka saattaa hajota kahteen kapeaan ekvivalenssiluokkaan. Ideaalista neliömuotoon neliömuodosta ideaaliin. Osoitetaan, että jokaista ideaalia vastaa muoto, jokaista muotoa vastaa ideaali, että ekvivalentit ideaalit vastaavat ekvivalentte muoto päin vastoin. Millä tahansa ideaalilla I on kahden alkion kanta {α, }, missä α, O K. Siis I = {xα + y : x, y I}. Jotta erotetaan kannat {α, } {,α } toisistaan, luodaan järjestys kannoille. Kantaa {α, } sanotaan järjestetyksi, jos α ᾱ 2 ᾱ = on positiivinen tai positiivinen imaginäärinen, eli i(α ᾱ 2 ᾱ ) > 0.. Tähän ideaaliin liitämme neliömuodon, Q I := N(α x + y) = α ᾱ x 2 +(α ᾱ 2 +ᾱ )xy + ᾱ 2 y 2, jonka diskriminantti on. Tämä on binäärinen neliömuoto, jonka kertoimet ovat rationaalisia kokonaisluku. (Tehtävä: laske!). Jos diskriminantti on negatiivinen, tämä on positiivinen definiitti muoto. Sanotaan, että tämä muoto kuuluu ideaalille I. Ideaalin I luokkaa vastaa binäärimuotojen Q I luokka. Seuraavaksi todistetaan, että tämä neliömuoto ei riipu ideaalin kannasta. Lemma 3.42. Neliömuoto Q I := N(α x+ y) ei riipu ideaalin I kannasta. Todistus. Olkoon {β,β 2 } joku toinen kanta ideaalille I. Kannasta toiseen pääsee matriisin ( ) a b σ = avulla. Ja koska kanto voi vaihtaa puoleen toiseen, on tämä matriisi kääntyvät. Seuraavaksi osoitamme, että σ SL 2 (Z) 42
Lasketaan kannan determinantti. ( ) β β det(β,β 2 ) = det 2 = β β β2 β β 2 > 0 β2 Toisaalta ( aα + bα det(β,β 2 ) = det 2 cα + d aᾱ + bᾱ 2 cᾱ + dᾱ 2 ) ( a b = )( α ᾱ ᾱ 2 ) > 0 Koska kantojen determinantit ovat molemmat positiivisia ( ) determinantit ovat riippumattomia kannoista, väistämättä det = matriisi a b kuuluu ryhmään SL 2 (Z). Näin ollen σq I (x, y) =Q I (x, y), eli neliömuoto ei riipu kannasta ideaalille I. Voidaan myös osoittaa, että muoto Q I (x, y) on primitiivinen. Lemma 3.43. Jos I =(γ)i 2, jollekin γ O K, N(γ) > 0, silloin Q Q 2 Todistus. Olkoon {α, β} kanta ideaalille I 2, silloin I :llä on kanta {γα, γβ}, koska normi on multiplikatiivinen N(I )=N(γ)N(I 2 ). Näin ollen Q I (x, y) =N(γαx + γβy)/n (γ)n(i 2 )=N(αx + βy)/n (I 2 )=Q I2 (x, y). Liitetään nyt binäärimuotoon ideaali. Mihin tahansa primitiiseen binääriseen neliömuotoon (A, B, C), jonka diskriminantti on, voidaan liittää ideaali M = {, B } jos A>0. Koska N(M) = B liittyy muoto b+ / =, niin tähän ideaaliin A N(M) N(x + B y)=ax2 + bxy + cy 2. Ja jos A<0, silloin >0, muoto on epädefiniitti. Tässä tapauksessa liitetään ideaalin M = {, B }, 43
jonka normi on N(M) = N( ) N({, B })= A, neliömuodoksi saadaan N(M) N( x+ B y)= N(M) N(x+B y)=ax2 +bxy+cy 2. Kumpikin kanta on myös järjestetty, sillä B + B = A, A > 0, B + B =, A < 0, > 0. A Lopulta osoitetaan, että jos kaksi neliömuotoa ovat ekvivalentit, niin silloin myös niiden tuottamat ideaalit ovat (kapeasti) ekvivalentit. Oletetaan, että f = f 2 (rx + sy, tx + uy), missä ru + st =. Missä ensimmäiseen neliömuotoon liittyy ideaali M toiseen M 2. Oletetaan, että näillä ideaaleilla on järjestetyt kannat {α,β } {,β 2 }. Koska neliömuoto ei riippunut ideaalin kannasta f M (rx + sy, tx + uy) =f {rα +tβ,sα +uβ }(x, y). Lisäksi, koska ru st =, on {rα + tβ, sα + uβ } on myös järjestetty kanta ideaalille M. Näin ollen f M = f M. Nyt f M (x, y) = samalla lailla N(M ) N(α x + β y)= N(α ) N(M ) (x + β y)(x + β y) α ᾱ f M2 (x, y) = N() N(M 2 ) (x + β 2 y)(x + β 2 ᾱ 2 y) Nyt muodon f M (x, ) nollat ovat β α β ᾱ ovat β 2 β 2 ᾱ 2, joten väistämättä joko β α = β 2 44 samoin f M2 (x, ) nollat
tai β = β 2. α ᾱ 2 Näistä jälkimmäinen ei toimi, sillä {α,β } {,β 2 } olivat kumpikin järjestettyjä kanto. Joten pannaan γ = β α, joten β = α γ β 2 = γ, joten kannat ideaaleille ovat M = {α,β } = {α,α γ} = α {,γ} M 2 = {,β 2 } = {, γ} = {,γ}. Ja näin ollen M 2 = M. α Vielä todetaan, että N(α ),N( ) ovat samaa etumerkkiä (ylläolevien yhtälöitten perusteella), joten N( α ) > 0, kuten pitääkin ideaalit ovat kapeasti ekvivalentte. 4 Zeeta-funktiot luokkalukulause edekindin zeeta-funktio on määritelty ζ k (s) = a O k N(a) s. Tämän funktion analyyttisten ominaisuuksien perusteella voidaan määritellä luokkaluku. Yleensä ei kuitenkaan käytännössä, vaan pelkästään teoriassa. Olkoon [K : Q] = n = r + 2s lukukunta. Määritellään seuraavat invariantit. h K on kunnan K luokkaluku, eli ideaaliluokkien määrä 2. Reg K on kunnan regulaattori. 3. ω K on kunnan K sisältämien ykkösen juurten määrä. 4. K on diskriminantti. Lause 4.. edekindin zeeta-funktio ζ K (s) suppenee absoluuttisesti alueella R(s) > se voidaan tkaa meromorfiseksi funktioksi koko kompleksi tasolla. Sillä on yksi yksinkertainen napa kohdassa s =, residyy tässä navassa on täsmälleen lim (s )ζ K(s) = 2r (2π) r2 h K Reg K s w K K 45