Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa
Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan ja sen nomaalin suuntaisia kuomituksia ei voi käsitellä eikseen kuten tasointaakenteella. Kun kuota kuomitetaan keskiinnan nomaalin suunnassa ystyy se kaaevuutensa ansiosta kantamaan osan kuomituksesta keskiinnan suuntaisilla kalvoasituksilla eli kuomituksesta syntyy keskiinnan suuntaisten taivutus- ja vääntöjännitysten lisäksi kalvojännityksiä. Vastaavasti kuoen keskiinnan suuntainen kuomitus voi kuoen kaaevuuen takia aiheuttaa siihen taivutusta ja vääntöä eli kuomituksesta syntyy kalvojännitysten lisäksi keskiinnan suuntaisia taivutus- ja vääntöjännityksiä. Ohuen kimmoisen kuoen eusyhtälöt esitti ensimmäisenä Love v. 888. e eustuvat yksinketaistaviin oletuksiin joita sanotaan Loven hyoteeseiksi. Vastaavaa kuoiteoiaa sanotaan klassiseksi kuoiteoiaksi. Myöhemmin on esitetty takemia mutta samalla mutkikkaamia kuoiteoioita. Loven hyoteesit ovat seuaavat:. Kuoi on ohut. Kuota on ohut jos sen aksuus h veattuna keskiinnan ääkaaevuussäteisiin R ja R on ieni; kiteeinä voi olla esimekiksi h < Ri /.. Kuoen siitymät ovat ieniä jolloin voiaan käyttää lineaaista teoiaa. Siitymä voiaan katsoa ieneksi jos se on alle viiesosa kuoen aksuuesta. 3. Keskiinnan nomaalin suuntaiset nomaalijännitykset ovat niin ieniä muihin jännityksiin veattuina että niitä ei tavitse ottaa huomioon. 4. Keskiinnan nomaalilla olevat kuoen isteet ysyvät tästä taiumalla ja venymällä syntyneen kimmoinnan nomaalilla eikä nomaalin ituus muutu muoonmuutoksessa. Tämän oletuksen mukaan nomaalin suuntainen venymä ja nomaalin ja keskiinnan välinen liukuma ovat nollia kuoen isteissä. Klassisen kuoiteoian eusyhtälöt johetaan näistä hyoteeseista lähtien. Saatava yhtälöyhmä on mutkikas sillä kuoen kaaevuuesta johtuen yhtälöien muoostamisessa on käytettävä keskiintaan liittyvää käyäviivaista kooinaatistoa. Kuoen nomaalin ja keskiinnan suuntaisten asitusten kytkentä mutkistaa omalta osaltaan yhtälöitä. Tässä yhteyessä ei takastella klassisen kuoiteoian yleisiä yhtälöitä. KUORE KALVOTILA Kuoi kantaa kuomituksensa osittain keskiinnan suuntaisten asitusten eli kalvovoimien ja osittain taivutus- ja vääntömomenttien sekä leikkausvoimien avulla. Vastaavia kuoen asitustiloja kutsutaan kalvotilaksi ja taivutustilaksi. Tietyin eellytyksin kuoeen syntyvällä taivutustilalla on niin vähäinen mekitys että se voiaan jättää huomioon ottamatta kalvotilan innalla. Takastellaan esimekkinä kuoen kalvotilasta kuvan. sisäuolisen yliaineen kuomittamaa allokuota. Kuoen keskiinta on -säteinen allo ja sen aksuus on h. Painekuomitus on keskiintaa vastaan koh- Kuoien kalvoteoiaa
Lujuusoin jatkokussi IV.3 tisuoa kuomitus. Seuaavassa osoitetaan että kuoi kantaa tämän kuomituksen ääasiassa kalvovoimiensa avulla. Mekitään symbolilla kuoen leikkauksessa vakio vaikuttavaa nomaalivoimatiheyttä joka tavitaan jotta kuoi olisi staattisessa tasaainossa. on engasmainen viivakuomitus kuoen keskiinnan ymyän muotoisessa leikkauksessa. Kuomituksen ja akenteen symmetiasta seuaa että leikkausvoimatiheys kuoen keskiinnan suunnassa on kaikkialla nolla. Kuva.. Pallokuoi ja sen elementti. Kuvasta. saaaan ystysuuntaiseksi voimatasaainoyhtälöksi π π sin /. sin Tulos. on voimassa kuoen kaikissa isteissä sillä on iiumaton kulmasta. Kuoen keskiinnan elementissä on kuvan. kuomitustilanne josta aiheutuvat keskiinnan isteen ääjännitykset ovat σ σ / h σ σ. h omaalin suuntainen ääjännitys on ieni suuuusluokkaa näihin veattuna joten keskiinnan äävenymiksi ε ε saaaan käyttämällä Hooken lakia tasojännitystilaoletuksin ε ε σ ν σ.3 E Eh ν Venymien.3 johosta allon ymäysmitta muuttuu avoon π ' π ε joten muoonmuutoksen jälkeen allon säe on ' ε. Pinnan kaaevuuen muutos on siis Δ ' ε ε ε ε.4 Kuoien kalvoteoiaa
Lujuusoin jatkokussi IV.4 Sijoittamalla kaavaan.4 ε kaavasta.3 saaaan ε ν Δ Eh.5 Kuoen taivutusmomenttitiheyelle M saaaan likiavo sijoittamalla laatan taivutusmomenttitiheyen M D κ ν κ y kaavaan kaaevuuksille κ ja κ y avo Δ / yhtälöstä.5. jolloin seuaa tulos M D ν Eh h 4.6 Vastaava suuin nomaalijännitys on t σ 6M/ h / 4.7 Vetailemalla kaavojen. ja.7 jännityksiä σ ja σ t nähään niien suhteeksi σ σ t h.8 Kuva.. Paineastia. josta näkyy että kalvojännitys σ on taivutusjännitystä σ t selvästi suuemi sillä ohuella kuoella >> h. ähään että allokuoi kantaa nomaalin suuntaisen ainekuomituksen ääasiassa keskiintaa venyttävillä kalvoasituksilla. Eellä esitetty takastelu liittyi yksinketaiseen allokuoeen. Kuoen euskäyttäytymistä tehyt johtoäätökset ätevät yleisemmällekin geometialle ja kuomitukselle kun takastelukohta on taeeksi kaukana kuoeen taivutusta aiheuttavien vaikutusten esiintymiskohista. Tavallisimia syitä taivutuksen syntymiseen ovat kuoen geometian eäjatkuvuuskohat sekä iskeetit ja eäsymmetiset kuomitukset ja tuennat. Usein taivutustilalla on mekitystä vain näien häiiökohtien välittömässä läheisyyessä ja kauemana kalvotila on hallitseva. Kuvassa. on tästä esimekkinä aineastia jonka kuvaan on mekitty geometian eäjatkuvuuskohtia joien lähistöllä taivutustilalla on mekitystä. Kuoien kalvoteoiaa
Lujuusoin jatkokussi IV.5 3 PYÖRÄHDYSSYMMETRISE KUORE KALVOVOIMAT Pyöähysinta syntyy kun tasokäyä yöähtää tasossaan olevan suoan ymäi. Pyöähtävää tasokäyää sanotaan innan meiiaaniksi ja sen isteien iitämiä ymyöitä leveysymyöiksi. Kuvassa 3. on esitetty eään yöähysinnan kuva jossa yöähysakselina on kooinaattiakseli z. Kuva 3. Pyöähysinta ja sen elementti. Pinnan isteen B sijainti tunnetaan kun siihen liittyvät suueet ja on annettu. Kuvassa 3. on innasta kahen meiiaanin ja leveysymyän avulla eotettu intaelementti BCDE. Jatkossa tavitaan tämän elementin sivujen BE ja BC ituuksia joien laskemiseen tavitaan innan ääkaaevuussäteet isteessä B. Pinnan kaaevuus on sen kaaevuussäteen käänteisavo. Kun intaa leikataan isteessä B sitä vastaan kohtisuoalla tasolla syntyy tähän tasoon liittyvä leikkauskäyä. Pinnan kaaevuus leikkaustason suhteen on syntyneen leikkauskäyän kaaevuus tavanomaisessa mielessä. Pintateoiassa osoitetaan että innan isteeseen liittyy kaksi toisiaan vastaan kohtisuoaa tasoa joita vastaavat kaaevuuet ovat kaaevuuen ääiavoja eli ääkaaevuuksia. Pääkaaevuussäteet ovat näien käänteisavot. Pyöähysinnan ääkaaevuuet esiintyvät meiiaanitasossa taso OSTW kuvassa 3. ja meiiaanitasoa vastaan kohtisuoassa innan nomaalitasossa. On syytä huomata että jälkimmäinen ääkaaevuustasoista ei ole leveysymyän taso. Meiiaanitasoon liittyvä innan ääkaaevuussäe on meiiaanikäyän kaaevuussäe. Toinen ääkaaevuussäe sijaitsee myös meiiaanitasossa ja on se innan Kuoien kalvoteoiaa
Lujuusoin jatkokussi IV.6 z T B E nomaalin se osa joka jää meiiaanin ja yöähysakselin väliin eli jana PB kuvassa 3.. Kuvasta 3. nähään että leveysymyän säteelle on voimassa sin 3. P Lisäksi kuvasta 3. näkyy että z W y C B Kuva 3. Pääkaaevuussäteet. BE BC sin 3. Kuvassa 3.3 on kuoen keskiinnan elementti ja siihen vaikuttavat kalvovoimat ja sekä intakuomituksen komonentit ja. Kalvovoimat ovat kuoen leikkauksen keskiinnan suuntaiset nomaali- ja leikkausvoimatiheyet. on meiiaanivoima kehävoima ja kalvoleikkausvoima. QB PB Kuva 3.3 Pyöähyskuoen kalvovoimat. Kuoien kalvoteoiaa
Lujuusoin jatkokussi IV.7 Kuoien kalvoteoiaa Kuvan 3.3 elementille voiaan kijoittaa kolme voimatasaainoyhtälöä. Aloitetaan meiiaanin tangentin suuntaisesta yhtälöstä jolloin kuvista 3.3 ja 3.4 seuaa tulos cos 3.3 -tasaainoyhtälö sievenee kaavan 3.4 ensimmäiseksi yhtälöksi. Leveysymyän tangentin ja keskiinnan nomaalin suuntaisiksi tasaainoehoiksi saaaan cos 3.4 sin 3.5 joista saaaan sieventämällä kaavan 3.6 toinen ja kolmas yhtälö. Kaavan 3.6 yhtälöitä sanotaan yöähyskuoen kalvovoimien tasaainoiffeentiaaliyhtälöiksi. sin cos cos 3.6 Ryhmässä 3.6 on sama määä yhtälöitä ja tuntemattomia. Kalvovoimat saaaan atkaistua suoaan tasaainoyhtälöistä eli kalvotilassa oleva yöähyskuoi on staattisesti määätty jonka voimasuueet atkeavat ilman muoonmuutosten takastelua. sin cos Kuva 3.4 Kehävoiman vaikutus - ja -suunnan tasaainoon.
Lujuusoin jatkokussi IV.8 3. Pyöähyssymmetinen kuomitus ja tuenta Jos kuoen geometian lisäksi sen kuomitus ja tuenta ovat yöähyssymmetiset menevät yhtälöt 3.6 huomattavasti yksinketaisemaan muotoon. Tässä taauksessa on ja suueet ja ovat kulmasta iiumattomia. Ryhmän 3.6 keskimmäinen yhtälö toteutuu ienttisesti ja muut menevät muotoon cos 3.7 sin Ryhmälle 3.7 löyetään atkaisu suljetussa muoossa. Kun sen jälkimmäiseen yhtälöön sijoitetaan kaavasta 3. sin / saaaan aluksi 3.8 joka on kaavan 3.9 ensimmäinen yhtälö. Ketomalla yhmän 3.7 ensimmäinen yhtälö uolittain funktiolla sin ja sijoittamalla sin yhmän 3.7 toisesta yhtälöstä saaaan sin cos cos sin 3.9 sin cos sin sin 3. Tästä seuaa integoimalla kaavan 3. toinen yhtälö. sin [ cos sin sin C] 3. jossa C on integoimisvakio joka määäytyy tuennasta. Pyöähyssymmetisesti tuetun ja kuomitetun yöähyskuoen kalvovoimat saaaan siis kaavoilla 3.. Jos kuoen huiu on uminainen kalvovoiman lauseke on cos sin sin 3. sin Kuoien kalvoteoiaa
Lujuusoin jatkokussi IV.9 4 SUORA MERIDIAAI PYÖRÄHDYSKUORET Jos yöähyskuoen meiiaani on suoa on kyseessä sylinteikuoi tai katiokuoi. Sylinteikuoen meiiaani on α yhensuuntainen yöähysakselin kanssa mutta katiokuoen meiiaani leikkaa yöähysakselin. äille suoan meiiaanin yöähys- kuoille ei voia käyttää kulmaa kooinaattina koska se on vakio. Kuvasta 4. näkyy että sylinteille π / ja katiolle π / α. Lisäksi kaaevuussäe. Kuva 4. Sylintei- ja katiokuoi. Kulman tilalle on vaihettava itkin meiiaanisuoaa kulkeva kooinaatti kuvan 4. mukaisesti. Kalvovoimien tasaainoyhtälöt 3.6 ja 3.7 on myös muunnettava vastaavasti. Tämä onnistuu aja- s avotakastelulla hyöyntämällä yhteyksiä Kuva 4. -kooinaatti. lim 4. 4. Sylinteikuoen tasaainoyhtälöt Sylinteikuoella on a a ja π / jossa a on sylintein säe. Kaavasta 3.6 seuaa näillä avoilla yhtälöt a a a a a a 4. Kun ja mekinnöiksi vaihetaan tulokseksi tasaainoyhtälöt ja saaaan a a a a a 4.3 Kuoien kalvoteoiaa
Lujuusoin jatkokussi IV. Kun kuomitus ja tuenta ovat otaatiosymmetiset on lisäksi ja sekä suueet ja ovat kulmasta iiumattomia. Tällöin tasaainoyhtälöt ovat a 4.4 Kaavasta 4.4 tulee kalvovoimien atkaisuksi C on eunaehosta saatava vakio C a 4.5 4. Katiokuoen tasaainoyhtälöt Katiokuoella on π / α sinα ja tanα kun mitataan kation huiusta kuvan 4. mukaisesti. Kaavasta 3.3 seuaa näillä avoilla sin sin cosα α α sinα sinα sinα sinα sinα sinα 4.6 Kun ja ja saaaan tasaainoyhtälöt sinα sinα tanα 4.7 Rotaatiosymmetisen kuomituksen ja tuennan taauksessa on ja sekä suueet ja ovat kulmasta iiumattomia. Tasaainoyhtälöiksi tulee tanα 4.8 Kaavasta 4.8 tulee kalvovoimien atkaisuksi C on eunaehosta saatava vakio [ C ] tan α 4.9 Kuoien kalvoteoiaa
Lujuusoin jatkokussi IV. 5 YLEISE SYLITERIKUORE KALVOVOIMAT Yleinen sylinteikuoi takoittaa kuota jonka keskiinta on yleinen sylinteiinta. Tämä taas on tanslaatiossa olevan suoan ua. Jos muoostajasuoa alaa lähtökohtaansa syntyy suljettu sylinteiinta mutta muussa taauksessa avoin sylinteiinta. P O OP Kuva 5. Yleinen sylinteikuoi. On ilmeistä että yleisen sylinteikuoen ääkaaevuussäteet ovat muoostajasuoan kautta kulkevassa kuoen nomaalitasossa ja tätä vastaan kohtisuoassa kuoen oikkileikkaustasossa. Eellistä vastaava ääkaaevuussäe on ääetön ja jälkimmäistä vastaava oikkileikkauskäyän kaaevuussäe. Yleistä sylinteikuota käsitellään kuvan 5. kooinaatteja ja käyttäen. mitataan muoostajasuoaa itkin ja innan nomaalin suuntakulma mitattuna -akselin kohan nomaalista. O Kuva 5. Kalvovoimat. Kuvassa 5. on yleisen sylinteikuoen keskiinnan iffeentiaalielementtiin vaikuttavat kalvovoimat ja. Kuvan 5. avulla voiaan kijoittaa kalvovoimien tasaainoiffeentiaaliyhtälöt ja suunnissa. äin saaaan seuaavat tulokset Kuoien kalvoteoiaa
Lujuusoin jatkokussi IV. Kuoien kalvoteoiaa 5. Yhtälöistä 5. seuaa tasaainoiffeentiaaliyhtälöiksi 5. Ryhmän 5. toisesta ja ensimmäisestä yhtälöstä saaaan f 5.3 f 5.4 joissa f ja f ovat eunaehoista saatavia funktioita. Yleisen sylinteikuoen kalvovoimat saaaan siis kaavoista f f 5.5 6 KALVOJÄITYKSET Eellä käsiteltiin kuoien kalvoteoiaa kalvovoimia käyttäen. Kalvovoimat ovat kuoen keskiintaan liittyvät nomaali- ja leikkausvoimatiheyet. iitä vastaavat kalvojännitykset ovat tasan jakaantuneita kuoen aksuussuunnassa. Silloin esimekiksi yöähyskuoen kalvojännitykset ovat / h / h / h τ σ σ 6. Jos kuoeen syntyy taivutustila asittavat sitä myös taivutus- ja vääntömomenttitiheyet. äistä syntyy nomaali- ja leikkausjännityksiä jotka jakaantuvat kuoen aksuussuunnassa lineaaisesti. Tämä mekitsee sitä että kalvotila käyttää mateiaalin lujuuen tehokkaammin kuin taivutustila joten kuoien suunnittelussa olisi yittävä mahollisuuksien mukaan välttämään taivutustilan syntymistä. Taivutustilassa kuota asittavat lisäksi keskiinnan nomaalin suuntaiset leikkausvoimatiheyet joista aiheutuvat leikkausjännitykset ovat kuitenkin tavallisesti ieniä.